ખૂણાઓના સરવાળાની ગણતરી માટેનું સૂત્ર. નિયમિત બહુકોણ

પાઠનો પ્રકાર: વ્યવહારુ પાઠ, સંયુક્ત પાઠ.

પાઠ હેતુઓ:

1. બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો દર્શાવતું સૂત્ર મેળવો

2. વિકાસ તાર્કિક વિચારસરણીઅને ધ્યાન

3. માનસિક કાર્યની સંસ્કૃતિને પ્રોત્સાહન આપવું

સાધન: કોષ્ટક "બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો", વર્કબુકભૂમિતિમાં, મોડેલોનો સમૂહ બહિર્મુખ બહુકોણ.

વપરાયેલી તકનીકો: ટેકનોલોજીના તત્વો આલોચનાત્મક વિચારસરણી, આરોગ્ય-બચત તકનીકો, સમસ્યા-આધારિત શિક્ષણ તકનીક.

પાઠ પ્રગતિ:

આઈ . પાઠની ભાવનાત્મક શરૂઆત:

હેલો મિત્રો. હેલો, મહેમાનો. મિત્રો, મારી તરફ જુઓ. હું ચિંતિત છું, અને તમે? તમારો મૂડ શું છે? ચાલો એકબીજાને ટેકો આપીએ, એકબીજા પર સ્મિત કરીએ, અને મને ખાતરી છે કે આપણે સાથે મળીને બધી મુશ્કેલીઓ દૂર કરીશું, આપણે આ કરી શકીએ છીએ.

તમને શું લાગે છે કે આજનો પાઠ શું હશે? શું તમે ખોટમાં છો? અમે હમણાં માટે અમારા પાઠનો વિષય તૈયાર કરીશું નહીં; અમે તેના પર પછીથી, કામ દરમિયાન પાછા આવીશું.

II . જ્ઞાન અપડેટ કરવું:

ગાણિતિક શ્રુતલેખન (આગળનો) બોર્ડના પાછળના ભાગ પર પરીક્ષણ દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થી બોર્ડની પાછળ કામ કરે છે.

આ કાર્યનો હેતુ: બધું પુનરાવર્તન કરો જરૂરી માહિતીઆગળના કામ માટે.

કસોટીનો પ્રકાર: પરસ્પર અથવા સ્વ-પરીક્ષણ, વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરે છે.

શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓની પસંદગીની 2-3 કૃતિઓ તપાસે છે. સ્કોર સાચા જવાબોની સંખ્યા પર આધારિત છે.

શ્રુતલેખન:

1 બહુકોણ સાથેnશિરોબિંદુઓ કહેવાય છે... (n-ચોરસ).

2. કોઈપણ બેને જોડતો ખંડ પડોશી શિખરો, કહેવાય છે... (બહુકોણનો કર્ણ).

3. જો બહુકોણ તેના બે પડોશી શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી દરેક સીધી રેખાની એક બાજુ પર રહે છે, તો તેને... (બહિર્મુખ) કહેવામાં આવે છે.

4. ચતુષ્કોણના બે શિરોબિંદુઓ કે જે અડીને ન હોય તેને... (વિરુદ્ધ) કહેવાય છે.

5. રકમ કેટલી છે? ડિગ્રી માપદંડત્રિકોણના બધા ખૂણા?.. (180°).

પરિણામો: ખ્યાલn-ગોન, તેના કર્ણ, એક બહિર્મુખ બહુકોણ, તેના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ, ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓના ડિગ્રી માપનો સરવાળો આપણે આપણા પાઠના આગળના તબક્કે, પ્રયોગશાળાના કાર્યમાં ઉપયોગ કરીશું.

III . નવી સામગ્રી શીખવી:

લેબોરેટરી વર્ક (જોડીમાં).

કાર્યનો હેતુ: પ્રાયોગિક રીતે બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો દર્શાવતું સૂત્ર મેળવો.

ઉપયોગ માટે દિશાઓ:

1. ત્રણ બહિર્મુખ બહુકોણ બનાવો.

2. એક શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ દોરો.

3. પરિણામી ત્રિકોણની સંખ્યા સાથે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યાની તુલના કરો.

4. દરેક બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળાને ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો.

પરિણામોને કોષ્ટકમાં રેકોર્ડ કરો (કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ તેમના પરિણામો બોર્ડ પર લખે છે)

શું હવે પાઠનો વિષય ઘડવો શક્ય છે?

- વિષય: "બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો"

5. એક પૂર્વધારણા બનાવો: “બહિર્મુખના ખૂણાઓનો સરવાળોn-ગોન બરાબર છે (n-2) ٠ 180°"

ચાલો પાઠ્યપુસ્તકના પૃષ્ઠ 99 પર સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ વાંચીને આ પૂર્વધારણાની પુષ્ટિ કરીએ. ચાલો સૂત્રને નોટબુકમાં લખીએ. વિદ્યાર્થીઓ તેમના પરિણામોનું મૂલ્યાંકન કરે છે પ્રયોગશાળા કામપાંચ-પોઇન્ટ સિસ્ટમ અનુસાર.

IV . આરોગ્ય-બચત વિરામ.

લક્ષ્ય: થાકને અટકાવો, પાઠના વિષયમાં સમાવિષ્ટ તત્વો (વિવિધ પ્રકારના ખૂણાઓ સાથે) સાથે કસરતોને જોડીને વિદ્યાર્થીઓના સ્વાસ્થ્યને જાળવો.

બાળકો ડેસ્ક પર બેઠા છે. તેમને 90°ના ખૂણા પર બેસવા માટે આમંત્રિત કરો.

મિત્રો, ઉભા થાઓ. વિશાળ કોણ દોરવા માટે તમારા હાથનો ઉપયોગ કરો. લિફ્ટિંગ જમણો હાથ, જમણો ખૂણો બતાવો. લિફ્ટિંગ દ્વારા તે જ કરો ડાબો હાથ. પછી વૈકલ્પિક રીતે મૂર્ખ હોવાનો ડોળ કરો, અને પછી તીક્ષ્ણ ખૂણા. બેસો.

વી . અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું એકીકરણ.

લક્ષ્ય: વિદ્યાર્થીઓને સીધી રેખા ઉકેલતા શીખવો અને વ્યસ્ત સમસ્યા, બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા માટે સૂત્ર લાગુ કરવું.

સમસ્યાનું નિરાકરણ

1. વર્કબુકમાં કામ કરો. (વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક સમસ્યા અને તેનું નિરાકરણ મોટેથી વાંચે છે, ખાલી જગ્યાઓ ભરીને, બાકીના તેના કાર્યનું કાળજીપૂર્વક નિરીક્ષણ કરે છે. જો કોઈ વિદ્યાર્થી ભૂલ કરે છે, તો વર્ગ તેને સુધારે છે.)

કાર્ય નંબર 4. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને (n-2) 180°, બહિર્મુખ ખૂણાઓનો સરવાળો શોધો:

એ) દશકોણ

b) બાવીસ-બાજુવાળા ત્રિકોણ

જવાબ: a) 1620°, b) 3600°

2. નંબર 365 (c) લેખિતમાં નક્કી કરો. બહિર્મુખ બહુકોણની કેટલી બાજુઓ છે, દરેક કોણ 120° માપે છે?

વિદ્યાર્થીઓમાંથી એકને સમસ્યાના ઉકેલ માટે બોર્ડમાં બોલાવવામાં આવે છે, બાકીના તેમની નોટબુકમાં કામ કરે છે.

ઉકેલ: બહિર્મુખના ખૂણાઓનો સરવાળોn-ગોન 180° છે٠ ( n-2). તેથી 180°٠ ( n-2)=120°٠ n

અહીંથી: 180°٠ n-360°=120°٠ n, 60°٠ n=360°,n=6.

જવાબ: 6 બાજુઓ.

માર્ગદર્શક પ્રશ્નો:

બહિર્મુખના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છેn- ચોરસ?

બહિર્મુખના ખૂણાઓના સરવાળાની ગણતરી કરવાની બીજી રીતn-gon, જો તેના દરેકnકોણ 120° બરાબર છે?

આવા બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા કેવી રીતે શોધવી?

VI . સ્વતંત્ર કાર્ય

લક્ષ્ય: વિષયની નિપુણતાનું સ્તર તપાસો

કાર્ય 1.

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, બહિર્મુખના ખૂણાઓનો સરવાળો શોધોnચોરસ

વિકલ્પ 1 વિકલ્પ 2

n=12. જવાબ: 1800°n=32. જવાબ: 5400°

કાર્ય 2.

બહિર્મુખ બહુકોણની કેટલી બાજુઓ હોય છે, જેનો દરેક ખૂણો સમાન હોય છે:

વિકલ્પ 1 વિકલ્પ 2

90°. જવાબ: ચાર 60° જવાબ: ત્રણ

દરેક વિકલ્પમાંથી કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ તેમના જવાબો બોર્ડની પાછળ લખે છે, શિક્ષક તપાસે છે, બાકીના વિદ્યાર્થીઓ તેમની પસંદગીનું સ્વ-અથવા પરસ્પર પરીક્ષણ કરે છે.

હોમવર્ક:

લક્ષ્ય: બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં વિદ્યાર્થીઓની કુશળતાને મજબૂત બનાવો.

1. પૃષ્ઠ 99 પર બિંદુ 40, પૃષ્ઠ 114 પર પ્રશ્ન 3;

2. સમસ્યાઓ નં. 364 (c), 365 (d) ઉકેલો.

VII . પાઠ સારાંશ:

1. સિંકવાઇનનું સંકલન કરવું.

2. ગુણ આપવો (અંકગણિત સરેરાશ: શ્રુતલેખન, l/r, s/r).

3. હોમવર્ક પર ટિપ્પણી કરવી.

4. વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા નોટબુક સોંપવી.

સિંકવાઇન

બહુકોણ

બહિર્મુખn-કોલસો

અમે બાંધીએ છીએ, અમે તોડીએ છીએ, અમે ગણતરી કરીએ છીએ

બહિર્મુખ ખૂણાઓનો સરવાળોn-ગોન બરાબર છે (n-2) 180°

ફોર્મ્યુલા

8મા ધોરણમાં, શાળામાં ભૂમિતિના પાઠ દરમિયાન, વિદ્યાર્થીઓને સૌપ્રથમ બહિર્મુખ બહુકોણની વિભાવના સાથે પરિચય કરાવવામાં આવે છે. ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તેઓ શીખશે કે આ આંકડો ખૂબ જ છે રસપ્રદ મિલકત. ભલે તે કેટલું જટિલ હોય, બહિર્મુખ બહુકોણના તમામ આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત મૂલ્ય લે છે. આ લેખમાં, ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના શિક્ષક બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો શું છે તે વિશે વાત કરે છે.

બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો

આ સૂત્ર કેવી રીતે સાબિત કરવું?

આ વિધાનના પુરાવા તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચાલો યાદ કરીએ કે કયા બહુકોણને બહિર્મુખ કહેવામાં આવે છે. બહિર્મુખ બહુકોણ એ બહુકોણ છે જે તેની કોઈપણ બાજુ ધરાવતી રેખાની એક બાજુ પર સંપૂર્ણપણે રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ આકૃતિમાં બતાવેલ એક:

જો બહુકોણ સંતુષ્ટ ન થાય ઉલ્લેખિત સ્થિતિ, તો તેને બિન-બહિર્મુખ કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

બહિર્મુખ બહુકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર છે, જ્યાં બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા છે.

આ હકીકતનો પુરાવો ત્રિકોણમાં ખૂણાઓના સરવાળા પરના પ્રમેય પર આધારિત છે, જે તમામ શાળાના બાળકો માટે જાણીતો છે. મને ખાતરી છે કે આ પ્રમેય તમને પણ પરિચિત છે. ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો છે.

બહિર્મુખ બહુકોણને અનેક ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવાનો વિચાર છે. આ કરી શકાય છે અલગ અલગ રીતે. અમે કઈ પદ્ધતિ પસંદ કરીએ છીએ તેના આધારે, પુરાવા થોડા અલગ હશે.

1. કેટલાક શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા તમામ સંભવિત કર્ણનો ઉપયોગ કરીને બહિર્મુખ બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરો. તે સમજવું સરળ છે કે પછી આપણું n-gon ત્રિકોણમાં વિભાજિત થશે:

તદુપરાંત, બધા પરિણામી ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો આપણા n-ગોનના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો છે. છેવટે, પરિણામી ત્રિકોણમાંનો દરેક ખૂણો આપણા બહિર્મુખ બહુકોણનો આંશિક કોણ છે. એટલે કે, જરૂરી રકમ બરાબર છે.

2. તમે બહિર્મુખ બહુકોણની અંદર એક બિંદુ પણ પસંદ કરી શકો છો અને તેને તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડી શકો છો. પછી આપણું n-gon ત્રિકોણમાં વિભાજિત થશે:

તદુપરાંત, આ કિસ્સામાં આપણા બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો આ બધા ત્રિકોણના ઓછા ખૂણાના સરવાળા સમાન હશે. કેન્દ્રીય કોણ, જે બરાબર છે. એટલે કે, જરૂરી રકમ ફરીથી બરાબર છે.

બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો

ચાલો હવે પ્રશ્ન પૂછીએ: "બહિર્મુખ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો શું છે?" આ પ્રશ્નનો જવાબ નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે. દરેક બાહ્ય ખૂણો અનુરૂપ આંતરિક એકને અડીને છે. તેથી તે સમાન છે:

પછી તમામ બાહ્ય ખૂણાઓનો સરવાળો બરાબર થાય છે. એટલે કે, તે સમાન છે.

એટલે કે, ખૂબ જ રમુજી પરિણામ પ્રાપ્ત થાય છે. જો આપણે કોઈપણ બહિર્મુખ n-ગોનના તમામ બાહ્ય ખૂણાઓને અનુક્રમે એક પછી એક કાવતરું કરીએ, તો પરિણામ બરાબર સમગ્ર સમતલ હશે.

આ રસપ્રદ હકીકતનીચે પ્રમાણે ચિત્રિત કરી શકાય છે. ચાલો અમુક બહિર્મુખ બહુકોણની બધી બાજુઓને પ્રમાણસર ઘટાડીએ જ્યાં સુધી તે બિંદુમાં ભળી ન જાય. આ થાય તે પછી, બધા બાહ્ય ખૂણાઓ એક બીજાથી એક બાજુ નાખવામાં આવશે અને આ રીતે સમગ્ર પ્લેન ભરાઈ જશે.

રસપ્રદ હકીકત, તે નથી? અને ભૂમિતિમાં આવા ઘણાં તથ્યો છે. તેથી ભૂમિતિ શીખો, પ્રિય શાળાના બાળકો!

બહિર્મુખ બહુકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે તે અંગેની સામગ્રી સેર્ગેઈ વેલેરીવિચે તૈયાર કરી હતી.

ત્રિકોણ, ચોરસ, ષટ્કોણ - આ આંકડા લગભગ દરેક માટે જાણીતા છે. પરંતુ તે શું છે તે અહીં છે નિયમિત બહુકોણ, દરેક જણ જાણે નથી. પરંતુ આ બધા સમાન છે એક નિયમિત બહુકોણ તે છે જે સમાન ખૂણા અને બાજુઓ ધરાવે છે. આવા ઘણા બધા આંકડા છે, પરંતુ તે બધા પાસે છે સમાન ગુણધર્મો, અને સમાન સૂત્રો તેમને લાગુ પડે છે.

નિયમિત બહુકોણના ગુણધર્મો

કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ, તે ચોરસ હોય કે અષ્ટકોણ, વર્તુળમાં અંકિત કરી શકાય છે. આ મૂળભૂત ગુણધર્મનો ઉપયોગ આકૃતિ બનાવતી વખતે થાય છે. વધુમાં, એક વર્તુળ બહુકોણમાં લખી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, સંપર્કના બિંદુઓની સંખ્યા તેની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી હશે. તે મહત્વનું છે કે નિયમિત બહુકોણમાં અંકિત વર્તુળ હશે સામાન્ય કેન્દ્ર. આ ભૌમિતિક આકૃતિઓ સમાન પ્રમેયને આધીન છે. નિયમિત n-ગોનની કોઈપણ બાજુ તેની આસપાસના પરિઘની ત્રિજ્યા R સાથે સંબંધિત છે તેથી, તેનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર: a = 2R ∙ sin180°. દ્વારા તમે માત્ર બાજુઓ જ નહીં, પણ બહુકોણની પરિમિતિ પણ શોધી શકો છો.

નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા કેવી રીતે શોધવી

કોઈપણમાં એકબીજાની સમાન ભાગોની ચોક્કસ સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે, જે, જ્યારે કનેક્ટ થાય છે, ત્યારે બંધ રેખા બનાવે છે. આ કિસ્સામાં, પરિણામી આકૃતિના બધા ખૂણા હોય છે સમાન મૂલ્ય. બહુકોણને સરળ અને જટિલમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ જૂથમાં ત્રિકોણ અને ચોરસનો સમાવેશ થાય છે. જટિલ બહુકોણ છે મોટી સંખ્યાબાજુઓ આમાં સ્ટાર-આકારની આકૃતિઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. જટિલ નિયમિત બહુકોણ માટે, બાજુઓને વર્તુળમાં લખીને જોવા મળે છે. ચાલો સાબિતી આપીએ. સાથે નિયમિત બહુકોણ દોરો કોઈપણ સંખ્યાબાજુઓ n. તેની આસપાસ એક વર્તુળ દોરો. ત્રિજ્યા R સેટ કરો. હવે કલ્પના કરો કે તમને કેટલાક n-gon આપવામાં આવ્યા છે. જો તેના ખૂણાઓના બિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય અને એકબીજાની સમાન હોય, તો પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ શોધી શકાય છે: a = 2R ∙ sinα: 2.

અંકિત નિયમિત ત્રિકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધવી

સમભુજ ત્રિકોણ એ નિયમિત બહુકોણ છે. સમાન સૂત્રો તેને ચોરસ અને n-ગોન તરીકે લાગુ પડે છે. ત્રિકોણને નિયમિત ગણવામાં આવશે જો તેની બાજુઓ લંબાઈમાં સમાન હોય. આ કિસ્સામાં, ખૂણા 60⁰ છે. ચાલો આપેલ બાજુની લંબાઈ a સાથે ત્રિકોણ બનાવીએ. તેની મધ્ય અને ઊંચાઈ જાણીને, તમે તેની બાજુઓનું મૂલ્ય શોધી શકો છો. આ કરવા માટે, આપણે a = x: cosα સૂત્ર દ્વારા શોધવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું, જ્યાં x એ મધ્ય અથવા ઊંચાઈ છે. ત્રિકોણની બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી, આપણને a = b = c મળે છે. પછી તે સાચું હશે આગામી નિવેદન a = b = c = x: cosα. એ જ રીતે, તમે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં બાજુઓની કિંમત શોધી શકો છો, પરંતુ x એ આપેલ ઊંચાઈ હશે. આ કિસ્સામાં, તે આકૃતિના આધાર પર સખત રીતે પ્રક્ષેપિત થવું જોઈએ. તેથી, ઊંચાઈ x જાણીને, આપણે બાજુ a શોધીએ છીએ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણસૂત્ર a = b = x: cosα અનુસાર. a ની કિંમત શોધ્યા પછી, તમે આધાર c ની લંબાઈની ગણતરી કરી શકો છો. ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીએ. આપણે અડધા આધાર c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα ની કિંમત શોધીશું. પછી c = 2xtanα. આ સરળ રીતે તમે કોઈપણ અંકિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધી શકો છો.

વર્તુળમાં અંકિત ચોરસની બાજુઓની ગણતરી

કોઈપણ અન્ય અંકિત નિયમિત બહુકોણની જેમ, એક ચોરસ હોય છે સમાન બાજુઓઅને ખૂણા. ત્રિકોણની જેમ તેના પર સમાન સૂત્રો લાગુ પડે છે. તમે વિકર્ણ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને ચોરસની બાજુઓની ગણતરી કરી શકો છો. ચાલો આ પદ્ધતિને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ. તે જાણીતું છે કે વિકર્ણ ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. શરૂઆતમાં તેનું મૂલ્ય 90 ડિગ્રી હતું. આમ, ભાગાકાર કર્યા પછી, તેમના આધાર પરના ખૂણા 45 અંશ સમાન હશે. તદનુસાર, ચોરસની દરેક બાજુ સમાન હશે, એટલે કે: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, જ્યાં e એ ચોરસનો કર્ણ છે, અથવા પછી બનેલા જમણા ત્રિકોણનો આધાર વિભાગ આ નથી એકમાત્ર રસ્તોચોરસની બાજુઓ શોધવી. ચાલો આ આંકડો વર્તુળમાં લખીએ. આ વર્તુળ R ની ત્રિજ્યા જાણીને, આપણે ચોરસની બાજુ શોધીએ છીએ. અમે તેને નીચે પ્રમાણે ગણીશું: a4 = R√2. નિયમિત બહુકોણની ત્રિજ્યાની ગણતરી R = a: 2tg (360 o: 2n) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, જ્યાં a એ બાજુની લંબાઈ છે.

એન-ગોનની પરિમિતિની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

n-gon ની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓનો સરવાળો છે. તેની ગણતરી કરવી સરળ છે. આ કરવા માટે, તમારે બધી બાજુઓનો અર્થ જાણવાની જરૂર છે. કેટલાક પ્રકારના બહુકોણ માટે ખાસ સૂત્રો છે. તેઓ તમને પરિમિતિને વધુ ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે. તે જાણીતું છે કે કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ સમાન બાજુઓ ધરાવે છે. તેથી, તેની પરિમિતિની ગણતરી કરવા માટે, તેમાંથી ઓછામાં ઓછા એકને જાણવું પૂરતું છે. સૂત્ર આકૃતિની બાજુઓની સંખ્યા પર આધારિત છે. સામાન્ય રીતે, તે આના જેવું દેખાય છે: P = an, જ્યાં a એ બાજુનું મૂલ્ય છે અને n એ ખૂણાઓની સંખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 સે.મી.ની બાજુવાળા નિયમિત અષ્ટકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે, તમારે તેને 8 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, 5 સે.મી.ની બાજુવાળા ષટ્કોણ માટે, અમે ગણતરી કરીએ છીએ નીચે પ્રમાણે: P = 5 ∙ 6 = 30 cm અને તેથી દરેક બહુકોણ માટે.

સમાંતરગ્રામ, ચોરસ અને સમચતુર્ભુજની પરિમિતિ શોધવી

નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ છે તેના આધારે, તેની પરિમિતિની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ કાર્યને ખૂબ સરળ બનાવે છે. ખરેખર, અન્ય આંકડાઓથી વિપરીત, આ કિસ્સામાં તમારે તેની બધી બાજુઓ જોવાની જરૂર નથી, એક પર્યાપ્ત છે. સમાન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ચતુષ્કોણની પરિમિતિ શોધીએ છીએ, એટલે કે, એક ચોરસ અને એક સમચતુર્ભુજ. આ હકીકત હોવા છતાં વિવિધ આકૃતિઓ, તેમના માટેનું સૂત્ર એક P = 4a છે, જ્યાં a બાજુ છે. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. જો સમચતુર્ભુજ અથવા ચોરસની બાજુ 6 સેમી હોય, તો આપણે નીચે પ્રમાણે પરિમિતિ શોધીએ છીએ: P = 4 ∙ 6 = 24 સે.મી વિરુદ્ધ બાજુઓ. તેથી, તેની પરિમિતિ એક અલગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. તેથી, આપણે આકૃતિની લંબાઈ a અને પહોળાઈ b જાણવાની જરૂર છે. પછી આપણે સૂત્ર P = (a + b) ∙ 2 લાગુ પાડીએ છીએ. એક સમાંતરગ્રામ કે જેમાં તેમની વચ્ચેની બધી બાજુઓ અને ખૂણા સમાન હોય તેને સમચતુર્ભુજ કહેવાય છે.

સમભુજ અને કાટકોણ ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવી

સાચા એકની પરિમિતિ P = 3a સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જ્યાં a એ બાજુની લંબાઈ છે. જો તે અજાણ્યું હોય, તો તે મધ્યક દ્વારા શોધી શકાય છે. IN જમણો ત્રિકોણ સમાન મૂલ્યમાત્ર બે બાજુઓ છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા આધાર શોધી શકાય છે. એકવાર ત્રણેય બાજુઓના મૂલ્યો જાણી લીધા પછી, અમે પરિમિતિની ગણતરી કરીએ છીએ. તે P = a + b + c સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જ્યાં a અને b સમાન બાજુઓ છે અને c એ આધાર છે. યાદ કરો કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં a = b = a, જેનો અર્થ a + b = 2a છે, પછી P = 2a + c. ઉદાહરણ તરીકે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુ 4 સેમી છે, ચાલો તેનો આધાર અને પરિમિતિ શોધીએ. અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 cm સાથે પરિમિતિની ગણતરી કરીએ છીએ. હવે પરિમિતિ P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.

નિયમિત બહુકોણના ખૂણાઓ કેવી રીતે શોધવા

એક નિયમિત બહુકોણ આપણા જીવનમાં દરરોજ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત ચોરસ, ત્રિકોણ, અષ્ટકોણ. એવું લાગે છે કે આ આંકડો જાતે બનાવવા કરતાં કંઈ સરળ નથી. પરંતુ આ ફક્ત પ્રથમ નજરમાં જ સરળ છે. કોઈપણ n-ગોન બાંધવા માટે, તમારે તેના ખૂણાઓની કિંમત જાણવાની જરૂર છે. પરંતુ તેમને કેવી રીતે શોધવું? પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકોએ પણ નિયમિત બહુકોણ બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. તેઓએ તેમને વર્તુળોમાં કેવી રીતે ફિટ કરવું તે શોધી કાઢ્યું. અને પછી તેઓએ તેને ચિહ્નિત કર્યું જરૂરી બિંદુઓ, તેમને સીધી રેખાઓ સાથે જોડે છે. માટે સરળ આંકડાબાંધકામની સમસ્યા હલ થઈ. સૂત્રો અને પ્રમેય મેળવ્યા હતા. ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડ, તેમની પ્રખ્યાત કૃતિ "ઇન્સેપ્શન" માં 3-, 4-, 5-, 6- અને 15-ગોન્સ માટે સમસ્યાઓ ઉકેલવા સાથે વ્યવહાર કરે છે. તેમણે તેમને બાંધવા અને ખૂણા શોધવાના રસ્તાઓ શોધી કાઢ્યા. ચાલો જોઈએ કે 15-ગોન માટે આ કેવી રીતે કરવું. પ્રથમ તમારે તેના આંતરિક ખૂણાઓના સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ફોર્મ્યુલા S = 180⁰(n-2) નો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. તેથી, આપણને 15-ગોન આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા n 15 છે. આપણે જે ડેટા જાણીએ છીએ તે ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ અને S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ મેળવીએ છીએ. અમને 15-ગોનના તમામ આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો મળ્યો. હવે તમારે તેમાંના દરેકનું મૂલ્ય મેળવવાની જરૂર છે. કુલ 15 ખૂણા છે અમે ગણતરી 2340⁰: 15 = 156⁰ કરીએ છીએ. તેથી દરેકને આંતરિક ખૂણો 156⁰ બરાબર છે, હવે શાસક અને હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને તમે નિયમિત 15-ગોન બનાવી શકો છો. પરંતુ વધુ જટિલ n-gons વિશે શું? ઘણી સદીઓથી, વૈજ્ઞાનિકોએ આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે સંઘર્ષ કર્યો છે. તે ફક્ત 18મી સદીમાં કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસે શોધી કાઢ્યું હતું. તે 65537-ગોન બાંધવામાં સક્ષમ હતો. ત્યારથી, સમસ્યા સત્તાવાર રીતે સંપૂર્ણપણે ઉકેલાઈ હોવાનું માનવામાં આવે છે.

રેડિયનમાં n-ગોન્સના ખૂણાઓની ગણતરી

અલબત્ત, બહુકોણના ખૂણા શોધવાની ઘણી રીતો છે. મોટેભાગે તેઓ ડિગ્રીમાં ગણવામાં આવે છે. પરંતુ તેઓ રેડિયનમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ કેવી રીતે કરવું? તમારે નીચે પ્રમાણે આગળ વધવાની જરૂર છે. પ્રથમ, આપણે નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધીએ છીએ, પછી તેમાંથી 2 બાદ કરીએ છીએ આનો અર્થ એ થાય કે આપણને મૂલ્ય મળે છે: n - 2. મળેલા તફાવતને n (“pi” = 3.14) વડે ગુણાકાર કરો. હવે જે બાકી છે તે પરિણામી ઉત્પાદનને n-ગોનમાં ખૂણાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાનું છે. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે સમાન દસકોણનો ઉપયોગ કરીને આ ગણતરીઓને ધ્યાનમાં લઈએ. તેથી, n સંખ્યા 15 છે. ચાલો S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 સૂત્ર લાગુ કરીએ. અલબત્ત, રેડિયનમાં ખૂણાની ગણતરી કરવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો નથી. તમે સરળતાથી કોણને 57.3 દ્વારા ડિગ્રીમાં વિભાજિત કરી શકો છો. છેવટે, આ એક રેડિયનની સમકક્ષ કેટલી ડિગ્રી છે.

ડિગ્રીમાં ખૂણાઓની ગણતરી

ડિગ્રી અને રેડિયન ઉપરાંત, તમે ડિગ્રીમાં નિયમિત બહુકોણના ખૂણા શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે. થી કુલ સંખ્યાકોણ, 2 બાદ કરો, પરિણામી તફાવતને નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરો. આપણે મળેલા પરિણામને 200 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. માર્ગ દ્વારા, ડિગ્રી તરીકે કોણ માપવાના આવા એકમનો વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગ થતો નથી.

n-ગોન્સના બાહ્ય ખૂણાઓની ગણતરી

કોઈપણ નિયમિત બહુકોણ માટે, આંતરિક એક ઉપરાંત, તમે બાહ્ય કોણની પણ ગણતરી કરી શકો છો. તેનું મૂલ્ય અન્ય આંકડાઓની જેમ જ જોવા મળે છે. તેથી, નિયમિત બહુકોણનો બાહ્ય કોણ શોધવા માટે, તમારે આંતરિક એકનું મૂલ્ય જાણવાની જરૂર છે. આગળ, આપણે જાણીએ છીએ કે આ બે ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 ડિગ્રી જેટલો હોય છે. તેથી, અમે નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ છીએ: 180⁰ ઓછા આંતરિક કોણની કિંમત. આપણે તફાવત શોધીએ છીએ. તે તેની બાજુના ખૂણાના મૂલ્ય જેટલું હશે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસનો આંતરિક કોણ 90 ડિગ્રી છે, જેનો અર્થ છે કે બાહ્ય કોણ 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ હશે. જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, તે શોધવાનું મુશ્કેલ નથી. બાહ્ય ખૂણો+180⁰ થી અનુક્રમે, -180⁰ સુધીનું મૂલ્ય લઈ શકે છે.