મુખ્ય મેટ્રિક્સ. ડમીઝ માટે ગણિત

મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યા- પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની ચોક્કસ સંખ્યા ધરાવતી સંખ્યાઓનું કોષ્ટક કહેવાય છે

મેટ્રિક્સના તત્વો એ ij સ્વરૂપની સંખ્યાઓ છે, જ્યાં i એ પંક્તિ નંબર છે j એ કૉલમ નંબર છે

ઉદાહરણ 1 i = 2 j = 3

હોદ્દો: A=

મેટ્રિસિસના પ્રકાર:

1. જો પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી ન હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ:

2. જો પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે ચોરસ:

પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સની સંખ્યા ચોરસ મેટ્રિક્સતેણીને બોલાવી ક્રમમાં. ઉદાહરણમાં n = 2

ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો:

a 11, a 22......., a nn તત્વો ધરાવતા કર્ણને કહેવાય છે મુખ્ય , અને a 12, a 2 n -1, …….a n 1 – તત્વો ધરાવતો કર્ણ સહાયક

એક મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો જ બિનશૂન્ય હોય તેને કહેવામાં આવે છે કર્ણ:

ઉદાહરણ 4 n=3

3. જો વિકર્ણ મેટ્રિક્સમાં 1 સમાન તત્વો હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે એકલઅને અક્ષર E દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 6 n=3

4. એક મેટ્રિક્સ, જેનાં તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે, કહેવાય છે નલ મેટ્રિક્સ અને અક્ષર O દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે

ઉદાહરણ 7

5. ત્રિકોણાકાર nth ક્રમનું મેટ્રિક્સ એ ચોરસ મેટ્રિક્સ છે, જેના મુખ્ય કર્ણની નીચે સ્થિત તમામ ઘટકો શૂન્યની બરાબર છે:

ઉદાહરણ 8 n=3

મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ:

મેટ્રિક્સ A અને B નો સરવાળો એક મેટ્રિક્સ C છે જેના તત્વો મેટ્રિક્સ A અને B ના અનુરૂપ તત્વોના સરવાળા સમાન છે.

માત્ર મેટ્રિક્સ છે સમાન નંબરપંક્તિઓ અને કૉલમ.

મેટ્રિક્સ A અને સંખ્યા k નું ઉત્પાદનઆવા મેટ્રિક્સ kA કહેવાય છે, જેનું દરેક તત્વ ka ij ની બરાબર છે

ઉદાહરણ 10

મેટ્રિક્સને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી તે સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદનમેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પ્રથમ મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિ પસંદ કરવાની અને બીજા મેટ્રિક્સના પ્રથમ કૉલમના અનુરૂપ ઘટકો દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામ ઉમેરવાની જરૂર છે. આ પરિણામને 1લી પંક્તિ અને 10મી કૉલમમાં પરિણામ મેટ્રિક્સમાં મૂકો. અમે અન્ય તમામ ઘટકો સાથે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ: 1લી લાઇનથી બીજા કૉલમમાં, 3જી સુધી, વગેરે, પછી નીચેની લીટીઓ સાથે.

ઉદાહરણ 11

મેટ્રિક્સ B દ્વારા મેટ્રિક્સ A નો ગુણાકાર ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો પ્રથમ મેટ્રિક્સના કૉલમની સંખ્યા બીજા મેટ્રિક્સના કૉલમ્સની સંખ્યા જેટલી હોય.

- કાર્ય અસ્તિત્વમાં છે;

- કામ અસ્તિત્વમાં નથી

ઉદાહરણો 12 મેટ્રિક્સ II માં છેલ્લી લીટીને ગુણાકાર કરવા માટે કંઈ નથી, એટલે કે. કામ અસ્તિત્વમાં નથી

મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝપંક્તિ ઘટકોને કૉલમ ઘટકો સાથે બદલવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ13

એક શક્તિ સુધી વધારીનેમેટ્રિક્સના પોતાના દ્વારા અનુક્રમિક ગુણાકાર કહેવાય છે.

નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ તત્વો માત્ર સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે નહીં. ચાલો કલ્પના કરીએ કે તમે તમારા બુકશેલ્ફમાં રહેલા પુસ્તકોનું વર્ણન કરી રહ્યાં છો. તમારા શેલ્ફને વ્યવસ્થિત રહેવા દો અને તમામ પુસ્તકો સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત સ્થળોએ હોવા જોઈએ. ટેબલ, જેમાં તમારી લાઇબ્રેરીનું વર્ણન હશે (છાજલીઓ દ્વારા અને શેલ્ફ પરના પુસ્તકોના ક્રમ પ્રમાણે), તે પણ મેટ્રિક્સ હશે. પરંતુ આવા મેટ્રિક્સ આંકડાકીય રહેશે નહીં. બીજું ઉદાહરણ. સંખ્યાઓને બદલે વિવિધ કાર્યો છે, જે અમુક અવલંબન દ્વારા સંયુક્ત છે. પરિણામી કોષ્ટકને મેટ્રિક્સ પણ કહેવામાં આવશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મેટ્રિક્સ કોઈપણ છે લંબચોરસ ટેબલ, બનેલું સજાતીયતત્વો અહીં અને આગળ આપણે સંખ્યાઓના બનેલા મેટ્રિસિસ વિશે વાત કરીશું.

ની જગ્યાએ કૌંસમેટ્રિક્સ લખવા માટે વપરાય છે ચોરસ કૌંસઅથવા સીધા ડબલ ઊભી રેખાઓ

(2.1*)

વ્યાખ્યા 2. જો અભિવ્યક્તિમાં(1) m = n, પછી તેઓ વાત કરે છે ચોરસ મેટ્રિક્સ, શું જો , પછી ઓહ લંબચોરસ.

m અને n ના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, ત્યાં કેટલાક છે ખાસ પ્રકારોમેટ્રિસિસ:

સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા ચોરસમેટ્રિક્સ તેણી છે નિર્ણાયકઅથવા નિર્ણાયક, જે મેટ્રિક્સ તત્વોથી બનેલું છે અને સૂચિત છે

દેખીતી રીતે, D E =1; .

વ્યાખ્યા 3. જો , પછી મેટ્રિક્સએ કહેવાય છે બિન-અધોગતિ અથવા ખાસ નથી.

વ્યાખ્યા 4. જો detA = 0 , પછી મેટ્રિક્સએ કહેવાય છે અધોગતિ અથવા ખાસ.

વ્યાખ્યા 5. બે મેટ્રિસિસએ અનેબી કહેવાય છે સમાન અને લખો A = B જો તેમની પાસે હોય સમાન કદઅને તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન છે, એટલે કે..

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિસિસ અને સમાન છે, કારણ કે તેઓ કદમાં સમાન છે અને એક મેટ્રિક્સનું દરેક ઘટક અન્ય મેટ્રિક્સના અનુરૂપ તત્વની સમાન છે. પરંતુ મેટ્રિસિસને સમાન કહી શકાય નહીં, જો કે બંને મેટ્રિસિસના નિર્ધારકો સમાન છે, અને મેટ્રિસિસના કદ સમાન છે, પરંતુ સમાન સ્થળોએ સ્થિત તમામ ઘટકો સમાન નથી. મેટ્રિસિસ અલગ છે કારણ કે તેમની પાસે છે વિવિધ કદ. પ્રથમ મેટ્રિક્સનું કદ 2x3 છે, અને બીજું 3x2 છે. જો કે તત્વોની સંખ્યા સમાન છે - 6 અને તત્વો પોતે સમાન 1, 2, 3, 4, 5, 6 છે, પરંતુ તે દરેક મેટ્રિક્સમાં અલગ અલગ જગ્યાએ છે. પરંતુ પરિભાષા 5 અનુસાર મેટ્રિસિસ સમાન છે.

વ્યાખ્યા 6. જો તમે મેટ્રિક્સ કૉલમ્સની ચોક્કસ સંખ્યાને ઠીક કરો છોએ અને સમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ, પછી દર્શાવેલ કૉલમ અને પંક્તિઓના આંતરછેદ પરના તત્વો ચોરસ મેટ્રિક્સ બનાવે છે n- ક્રમાંક, જેનો નિર્ણાયક કહેવાય છે સગીર k - મી ઓર્ડર મેટ્રિક્સએ.

ઉદાહરણ. મેટ્રિક્સના ત્રણ બીજા-ક્રમના સગીર લખો

મેટ્રિક્સ પરિમાણ એ પંક્તિઓ અને કૉલમ ધરાવતી સંખ્યાઓનું કોષ્ટક છે. સંખ્યાઓને આ મેટ્રિક્સના ઘટકો કહેવામાં આવે છે, જ્યાં પંક્તિ સંખ્યા છે, કૉલમ નંબર છે, જેના આંતરછેદ પર છે આ તત્વ. પંક્તિઓ અને કૉલમ ધરાવતું મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે: .

મેટ્રિસિસના પ્રકાર:

1) ખાતે - ચોરસ , અને તેઓ કૉલ કરે છે મેટ્રિક્સ ઓર્ડર ;

2) એક ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં તમામ બિન-વિકર્ણ તત્વો શૂન્ય સમાન હોય છે

– કર્ણ ;

3) એક કર્ણ મેટ્રિક્સ જેમાં તમામ કર્ણ તત્વો સમાન હોય છે

એકમ - એકલ અને દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે;

4) ખાતે - લંબચોરસ ;

5) જ્યારે – પંક્તિ મેટ્રિક્સ (પંક્તિ વેક્ટર);

6) જ્યારે – મેટ્રિક્સ-કૉલમ (વેક્ટર-કૉલમ);

7) બધા માટે - શૂન્ય મેટ્રિક્સ.

નોંધ કરો કે મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાચોરસ મેટ્રિક્સનું નિર્ણાયક છે. મી ક્રમના મેટ્રિક્સને અનુરૂપ નિર્ણાયકનો પણ ક્રમ છે.

1લી ક્રમના મેટ્રિક્સનું નિર્ધારક નંબર કહેવાય છે.

2જી ઓર્ડર મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક નંબર કહેવાય છે . (1.1)

3જી ઓર્ડર મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક નંબર કહેવાય છે . (1.2)

ચાલો આગળની રજૂઆત માટે જરૂરી વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ.

સગીર એમ ij તત્વ એ ij મેટ્રિસિસ n-ઓર્ડર A ને મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે ( n-1)-કાઢી નાખીને મેટ્રિક્સ Aમાંથી મેળવેલો ઓર્ડર i-મી લીટી અને jમી કૉલમ.

બીજગણિતીય પૂરક A ij તત્વ એ ij મેટ્રિસિસ n- ક્રમ A એ આ તત્વનો નાનો છે, જે ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે.

ચાલો નિર્ણાયકોના મૂળભૂત ગુણધર્મો ઘડીએ જે તમામ ઓર્ડરના નિર્ધારકોમાં સહજ છે અને તેમની ગણતરીને સરળ બનાવીએ.

1. જ્યારે મેટ્રિક્સ સ્થાનાંતરિત થાય છે, ત્યારે તેનો નિર્ણાયક બદલાતો નથી.

2. મેટ્રિક્સની બે પંક્તિઓ (સ્તંભો) ને ફરીથી ગોઠવતી વખતે, તેના નિર્ણાયક ફેરફારો ચિહ્ન.

3. એક નિર્ણાયક કે જેમાં બે પ્રમાણસર (સમાન) પંક્તિઓ (સ્તંભો) હોય તે શૂન્યની બરાબર છે.

4. કુલ ગુણકનિર્ણાયકની કોઈપણ પંક્તિ (સ્તંભ) ના ઘટકો નિર્ણાયકની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

5. જો નિર્ણાયકની કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકો બે પદોનો સરવાળો હોય, તો નિર્ણાયકને બે અનુરૂપ નિર્ધારકોના સરવાળામાં વિઘટિત કરી શકાય છે.

6. નિર્ણાયક બદલાશે નહીં જો તેની અન્ય પંક્તિ (કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકો, અગાઉ કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તેની કોઈપણ પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) ના ઘટકોમાં ઉમેરવામાં આવે.

7. મેટ્રિક્સ નિર્ણાયક સરવાળો સમાનદ્વારા તેની કોઈપણ પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) ના ઘટકોના ઉત્પાદનો બીજગણિત ઉમેરાઓઆ તત્વો.

ચાલો સમજાવીએ આ મિલકત 3જી ઓર્ડર નિર્ણાયકના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને. IN આ કિસ્સામાંમિલકત 7 નો અર્થ થાય છે - 1લી પંક્તિના ઘટકોમાં નિર્ણાયકનું વિઘટન. નોંધ કરો કે વિઘટન માટે, જ્યાં છે ત્યાં પંક્તિ (કૉલમ) પસંદ કરો શૂન્ય તત્વો, કારણ કે વિસ્તરણમાં તેમને અનુરૂપ શરતો અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

મિલકત 7 એ લેપ્લેસ દ્વારા ઘડવામાં આવેલ એક નિર્ણાયક વિઘટન પ્રમેય છે.

8. નિર્ણાયકની કોઈપણ પંક્તિ (સ્તંભ) ના ઘટકોના ઉત્પાદનનો સરવાળો તેની અન્ય પંક્તિ (કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિત પૂરક દ્વારા શૂન્ય બરાબર છે.

છેલ્લી મિલકતને ઘણીવાર નિર્ણાયકનું સ્યુડો-વિઘટન કહેવામાં આવે છે.

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. મેટ્રિક્સ શું કહેવાય છે?

2. કયા મેટ્રિક્સને ચોરસ કહેવામાં આવે છે? તેના હુકમનો અર્થ શું છે?

3. કયા મેટ્રિક્સને કર્ણ, ઓળખ કહેવામાં આવે છે?

4. કયા મેટ્રિક્સને પંક્તિ મેટ્રિક્સ અને કૉલમ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે?

5. ચોરસ મેટ્રિક્સની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા શું છે?

6. કઈ સંખ્યાને 1લી, 2જી અને 3જી ક્રમની નિર્ણાયક કહેવામાં આવે છે?

7. મેટ્રિક્સ તત્વના નાના અને બીજગણિતીય પૂરકને શું કહેવામાં આવે છે?

8. નિર્ણાયકોના મુખ્ય ગુણધર્મો શું છે?

9. કઈ મિલકતનો ઉપયોગ કરીને કોઈ પણ ઓર્ડરના નિર્ણાયકની ગણતરી કરી શકે છે?

મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ(સ્કીમ 2)

સંખ્યાબંધ કામગીરીને મેટ્રિસિસના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાં મુખ્ય નીચે મુજબ છે:

1) સ્થાનાંતરણ - મેટ્રિક્સ પંક્તિઓને કૉલમ સાથે અને કૉલમ્સને પંક્તિઓ સાથે બદલીને;

2) સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર તત્વ-દ્વારા-તત્વ થાય છે, એટલે કે , ક્યાં , ;

3) મેટ્રિક્સ ઉમેરણ, માત્ર સમાન પરિમાણના મેટ્રિસિસ માટે વ્યાખ્યાયિત;

4) બે મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર, માત્ર મેળ ખાતી મેટ્રિસિસ માટે વ્યાખ્યાયિત.

બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો (તફાવત). આવા પરિણામી મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે, જેનું દરેક તત્વ મેટ્રિક્સ-કમાન્ડ્સના અનુરૂપ તત્વોના સરવાળા (તફાવત) જેટલું છે.

બે મેટ્રિસિસ કહેવામાં આવે છે સંમત થયા , જો પ્રથમ એકના કૉલમની સંખ્યા બીજાની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોય. બે મેળ ખાતા મેટ્રિસનું ઉત્પાદન અને આવા પરિણામી મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે , શું , (1.4)

ક્યાં, . તે અનુસરે છે કે મેટ્રિક્સની મી પંક્તિ અને મી સ્તંભનું તત્વ મેટ્રિક્સની મી પંક્તિના ઘટકો અને મેટ્રિક્સની મી સ્તંભના ઘટકોના જોડીવાઇઝ ઉત્પાદનના સરવાળા સમાન છે.

મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન વિનિમયાત્મક નથી, એટલે કે, A . બી બી . A. એક અપવાદ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસ મેટ્રિસિસ અને એકમ Aનું ઉત્પાદન . ઇ = ઇ . એ.

ઉદાહરણ 1.1.મેટ્રિસ A અને B નો ગુણાકાર કરો જો:

.

ઉકેલ.મેટ્રિસિસ સુસંગત હોવાથી (મેટ્રિક્સ કૉલમની સંખ્યા મેટ્રિક્સ પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે), અમે સૂત્ર (1.4) નો ઉપયોગ કરીશું:

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. મેટ્રિસિસ પર કઈ ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે?

2. બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો (તફાવત) શું કહેવાય છે?

3. બે મેટ્રિસીસનું ઉત્પાદન શું કહેવાય છે?

ચતુર્ભુજ રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે ક્રેમરની પદ્ધતિ બીજગણિતીય સમીકરણો (સ્કીમ 3)

ચાલો આપણે સંખ્યાબંધ જરૂરી વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોકહેવાય છે વિજાતીય , જો તેની ઓછામાં ઓછી એક મફત શરતો શૂન્યથી અલગ હોય, અને સજાતીય , જો તેની તમામ મુક્ત શરતો શૂન્ય સમાન હોય.

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી એ સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ છે જે, જ્યારે સિસ્ટમમાં ચલોને બદલે છે, ત્યારે તે તેના દરેક સમીકરણોને ઓળખમાં ફેરવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત , જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછું એક ઉકેલ છે, અને બિન-સંયુક્ત , જો તેણી પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

સમીકરણોની એક સાથે સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ જો તેણી પાસે છે એકમાત્ર ઉકેલ, અને અનિશ્ચિત , જો તેની પાસે એક કરતાં વધુ ઉકેલો છે.

ચાલો એક અસંગત ગણીએ ચોરસ સિસ્ટમરેખીય બીજગણિત સમીકરણો, નીચેના સામાન્ય સ્વરૂપ ધરાવે છે:

. (1.5) સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો અજ્ઞાત સાથે સંકળાયેલ ગુણાંકથી બનેલું મેટ્રિક્સ છે: .

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ધારકને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય નિર્ણાયક અને નિયુક્ત થયેલ છે.

સહાયક નિર્ણાયક મુખ્ય નિર્ણાયકમાંથી મી કૉલમને મુક્ત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1.1 (ક્રેમરનું પ્રમેય).જો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની ચતુર્ભુજ પ્રણાલીનો મુખ્ય નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોય, તો સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે, જે સૂત્રો દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

જો મુખ્ય નિર્ણાયક છે, તો સિસ્ટમ પાસે કાં તો અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે (તમામ શૂન્ય સહાયક નિર્ણાયકો માટે) અથવા તેની પાસે કોઈ ઉકેલ નથી (જો ઓછામાં ઓછું એક સહાયક નિર્ણાયક શૂન્યથી અલગ હોય તો)

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાઓના પ્રકાશમાં, ક્રેમરનું પ્રમેય અલગ રીતે ઘડી શકાય છે: જો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોય, તો સિસ્ટમ સંયુક્ત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તે જ સમયે ; જો મુખ્ય નિર્ણાયક શૂન્ય છે, તો સિસ્ટમ કાં તો સંયુક્ત રીતે અનિશ્ચિત છે (બધા માટે ) અથવા અસંગત છે (જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યથી અલગ હોય તો).

આ પછી, પરિણામી સોલ્યુશન તપાસવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.2.ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો

ઉકેલ.સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયક હોવાથી

શૂન્યથી અલગ છે, પછી સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે. ચાલો સહાયક નિર્ધારકોની ગણતરી કરીએ

ચાલો ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ (1.6): , ,

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. સમીકરણોની પદ્ધતિને ઉકેલવાને શું કહે છે?

2. સમીકરણોની કઈ સિસ્ટમ સુસંગત અથવા અસંગત કહેવાય છે?

3. સમીકરણોની કઈ સિસ્ટમને ચોક્કસ અથવા અનિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે?

4. સમીકરણોની સિસ્ટમના કયા મેટ્રિક્સને મુખ્ય કહેવામાં આવે છે?

5. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના સહાયક નિર્ણાયકોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

6. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ક્રેમરની પદ્ધતિનો સાર શું છે?

7. જો તેનો મુખ્ય નિર્ણાયક શૂન્ય હોય તો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી હોઈ શકે?

પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની ચતુર્ભુજ પ્રણાલી ઉકેલવી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ (સ્કીમ 4)

બિનશૂન્ય નિર્ણાયક ધરાવતા મેટ્રિક્સને કહેવામાં આવે છે બિન-અધોગતિ ; નિર્ણાયક ધરાવે છે શૂન્ય બરાબર – અધોગતિ .

મેટ્રિક્સને વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે આપેલ ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, જો મેટ્રિક્સને જમણી અને ડાબી બાજુએ તેના વ્યસ્ત વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, ઓળખ મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે. (1.7)

નોંધ કરો કે આ કિસ્સામાં મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન અને વિનિમયાત્મક છે.

પ્રમેય 1.2.જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિઆપેલ ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનું અસ્તિત્વ એ આપેલ મેટ્રિક્સનું બિન-શૂન્ય નિર્ણાયક છે

જો પરીક્ષણ દરમિયાન સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એકવચન હોવાનું બહાર આવે છે, તો તેના માટે કોઈ વિપરીત નથી, અને વિચારણા હેઠળની પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાતી નથી.

જો મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે, એટલે કે નિર્ણાયક 0 છે, તો નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને તેના માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધી શકાય છે.

1. બધા મેટ્રિક્સ તત્વોના બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરો.

2. સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સમાં મળેલા બીજગણિત ઉમેરાઓ લખો.

3. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ બનાવો: (1.8)

4. ફોર્મ્યુલા (1.7) અનુસાર મળી આવેલ મેટ્રિક્સ A-1 ની શુદ્ધતા તપાસો. નોંધ કરો કે આ ચેકને સિસ્ટમ સોલ્યુશનની અંતિમ તપાસમાં શામેલ કરી શકાય છે.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ (1.5) ને મેટ્રિક્સ સમીકરણ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: , જ્યાં સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ છે, તે અજાણ્યોનો સ્તંભ છે, અને મુક્ત શબ્દોનો કૉલમ છે. ચાલો આ સમીકરણને ડાબી બાજુએ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીએ, આપણને મળે છે:

કારણ કે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા દ્વારા, સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે અથવા (1.9)

આમ, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની ચતુર્ભુજ પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે, તમારે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના વિપરિત મેટ્રિક્સ વડે ડાબી બાજુના મુક્ત શબ્દોના સ્તંભને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. આ પછી, તમારે પરિણામી સોલ્યુશન તપાસવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.3.વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ.ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ

. પરિણામે, મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે અને તેનું વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે.

ચાલો મુખ્ય મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરક શોધીએ:

ચાલો મેટ્રિક્સમાં સ્થાનાંતરિત બીજગણિત ઉમેરણો લખીએ

. ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવા માટે સૂત્રો (1.8) અને (1.9) નો ઉપયોગ કરીએ

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. કયા મેટ્રિક્સને એકવચન, બિન-ડિજનરેટ કહેવામાં આવે છે?

2. કયા મેટ્રિક્સને આપેલ એકનું વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે? તેના અસ્તિત્વની સ્થિતિ શું છે?

3. આપેલ એક માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ શું છે?

4. જે એક મેટ્રિક્સ સમીકરણશું રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ સમકક્ષ છે?

5. સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ(સ્કીમ 5)

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમનો અભ્યાસ ગૌસિયન પદ્ધતિ દ્વારા તેના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના રૂપાંતર સાથે શરૂ થાય છે. સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનું પરિમાણ બરાબર થવા દો.

મેટ્રિક્સ વિસ્તૃત કહેવાય છે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ , જો, અજ્ઞાતના ગુણાંક સાથે, તે મફત શબ્દોની કૉલમ ધરાવે છે. તેથી, પરિમાણ છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ પર આધારિત છે પ્રાથમિક પરિવર્તનો , જેમાં સમાવેશ થાય છે:

- મેટ્રિક્સ પંક્તિઓનું પુનર્ગઠન;

- મેટ્રિક્સની પંક્તિઓનો સ્ટિયરિંગ વ્હીલથી અલગ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો;

- મેટ્રિક્સ પંક્તિઓનો તત્વ મુજબનો ઉમેરો;

- શૂન્ય રેખા કાઢી નાખવું;

- મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન (આ કિસ્સામાં, પરિવર્તન સ્તંભ મુજબ કરવામાં આવે છે).

પ્રાથમિક પરિવર્તનો મૂળ સિસ્ટમને તેની સમકક્ષ સિસ્ટમ તરફ દોરી જાય છે. સિસ્ટમ્સ સમકક્ષ કહેવાય છે , જો તેમની પાસે ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય.

મેટ્રિક્સ રેન્ક કહેવાય છે સર્વોચ્ચ ક્રમતેના સગીરો જે શૂન્ય નથી. પ્રાથમિક પરિવર્તનો મેટ્રિક્સના ક્રમમાં ફેરફાર કરતા નથી.

જ્યારે ઉકેલોની ઉપલબ્ધતા વિશે પૂછવામાં આવ્યું સજાતીય સિસ્ટમરેખીય સમીકરણોનો જવાબ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

પ્રમેય 1.3 (ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય).રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની બિન-સમાન સિસ્ટમ સુસંગત છે જો અને માત્ર જો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોય, એટલે કે.

ચાલો ગૌસિયન પદ્ધતિ પછી મેટ્રિક્સમાં બાકી રહેલી પંક્તિઓની સંખ્યા (તે મુજબ, સિસ્ટમમાં બાકી રહેલા સમીકરણોની સંખ્યા) દ્વારા સૂચવીએ. આ રેખાઓ મેટ્રિસીસ કહેવામાં આવે છે મૂળભૂત .

જો , તો સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે (સંયુક્ત રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે), તેનું મેટ્રિક્સ પ્રાથમિક પરિવર્તન દ્વારા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે. આવી સિસ્ટમ ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને અથવા સાર્વત્રિક ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.

જો (સિસ્ટમમાં ચલોની સંખ્યા સમીકરણો કરતા વધારે હોય), તો મેટ્રિક્સને પ્રાથમિક રૂપાંતરણ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે સ્ટેપ્ડ વ્યુ. આવી સિસ્ટમમાં ઘણા ઉકેલો છે અને સંયુક્ત રીતે અનિશ્ચિત છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવા માટે, સંખ્યાબંધ કામગીરી કરવી જરૂરી છે.

1. સમીકરણોની ડાબી બાજુએ અજાણ્યાઓની સિસ્ટમ છોડી દો ( મૂળભૂત ચલો ), બાકીના અજાણ્યાઓને જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવ્યા છે ( મફત ચલો ). ચલોને મૂળભૂતમાં વિભાજીત કર્યા પછી અને મફત સિસ્ટમફોર્મ લે છે:

. (1.10)

2. મૂળભૂત ચલોના ગુણાંકમાંથી, એક નાના બનાવો ( મૂળભૂત સગીર ), જે બિન-શૂન્ય હોવું જોઈએ.

3. જો સિસ્ટમનો મૂળભૂત માઇનોર (1.10) શૂન્યની બરાબર હોય, તો પછી મૂળભૂત ચલોમાંના એકને ફ્રી સાથે બદલો; બિન-શૂન્ય માટે પરિણામી આધાર ગૌણ તપાસો.

4. ક્રેમરની પદ્ધતિના સૂત્રો (1.6) લાગુ કરવા, તેમના સમીકરણોની જમણી બાજુ ગણીને મફત સભ્યો, માં મુક્ત રાશિઓ દ્વારા મૂળભૂત ચલોની અભિવ્યક્તિ શોધો સામાન્ય દૃશ્ય. સિસ્ટમ ચલોનો પરિણામી ક્રમાંકિત સમૂહ તેના છે સામાન્ય નિર્ણય .

5. (1.10) મનસ્વી મૂલ્યોમાં મફત ચલો આપીને, મૂળભૂત ચલોના અનુરૂપ મૂલ્યોની ગણતરી કરો. તમામ ચલોના મૂલ્યોના પરિણામી ક્રમાંકિત સમૂહને કહેવામાં આવે છે ખાનગી ઉકેલ ફ્રી ચલોના આપેલ મૂલ્યોને અનુરૂપ સિસ્ટમો. સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ચોક્કસ ઉકેલો છે.

6. મેળવો મૂળભૂત ઉકેલ સિસ્ટમ - મફત ચલોના શૂન્ય મૂલ્યો માટે મેળવેલ ચોક્કસ ઉકેલ.

નોંધ કરો કે સિસ્ટમ (1.10) ના ચલોના આધાર સેટની સંખ્યા એ તત્વો દ્વારા તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી છે. ચલોના દરેક મૂળભૂત સેટનું પોતાનું મૂળભૂત સોલ્યુશન હોવાથી, તેથી, સિસ્ટમમાં મૂળભૂત ઉકેલો પણ છે.

સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે તેમાં ઓછામાં ઓછું એક - શૂન્ય (તુચ્છ) ઉકેલ હોય છે. ચલો સાથેના રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ માટે બિન-શૂન્ય ઉકેલો હોય, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેનો મુખ્ય નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય. આનો અર્થ એ છે કે તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ ઓછી સંખ્યાઅજ્ઞાત આ કિસ્સામાં, સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો માટે સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીનો અભ્યાસ બિન-સમાન પ્રણાલીના અભ્યાસની જેમ જ હાથ ધરવામાં આવે છે. સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલો છે મહત્વપૂર્ણ મિલકત: જો બે ઓળખાય છે વિવિધ ઉકેલોરેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ, પછી તેમનું રેખીય સંયોજન પણ આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. નીચેના પ્રમેયની માન્યતા ચકાસવી સરળ છે.

પ્રમેય 1.4.સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ એ અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલનો સરવાળો અને સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના કેટલાક વિશિષ્ટ ઉકેલોનો સરવાળો છે.

ઉદાહરણ 1.4.

આપેલ સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો અને એક ચોક્કસ ઉકેલ શોધો:

ઉકેલ.ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને તેને લાગુ કરીએ પ્રાથમિક પરિવર્તનો:

. ત્યારથી અને પછી પ્રમેય 1.3 દ્વારા (ક્રોનેકર-કેપેલી) આપેલ સિસ્ટમરેખીય બીજગણિત સમીકરણો સુસંગત છે. ચલોની સંખ્યા, એટલે કે, સિસ્ટમ અનિશ્ચિત છે. સિસ્ટમ ચલોના આધાર સેટની સંખ્યા બરાબર છે

. પરિણામે, ચલોના 6 સેટ મૂળભૂત હોઈ શકે છે: . ચાલો તેમાંથી એકનો વિચાર કરીએ. પછી ગૌસ પદ્ધતિના પરિણામે મેળવેલ સિસ્ટમને ફરીથી લખી શકાય છે

. મુખ્ય નિર્ણાયક . ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. સહાયક ક્વોલિફાયર

સૂત્રો (1.6) મુજબ અમારી પાસે છે

. આ અભિવ્યક્તિફ્રી વેરિયેબલ્સ દ્વારા બેઝિસ વેરિએબલ્સ સિસ્ટમના સામાન્ય સોલ્યુશનને રજૂ કરે છે:

મુ ચોક્કસ મૂલ્યોફ્રી વેરીએબલ્સ, સામાન્ય સોલ્યુશનમાંથી આપણે સિસ્ટમનું ચોક્કસ સોલ્યુશન મેળવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ખાનગી ઉકેલ મફત ચલોના મૂલ્યોને અનુરૂપ છે . અમે સિસ્ટમનો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. સમીકરણોની કઈ સિસ્ટમને સજાતીય અથવા અસંગત કહેવાય છે?

2. કયા મેટ્રિક્સને વિસ્તૃત કહેવામાં આવે છે?

3. મેટ્રિસીસના મૂળભૂત પ્રાથમિક પરિવર્તનોની યાદી બનાવો. રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની કઈ પદ્ધતિ આ પરિવર્તનો પર આધારિત છે?

4. મેટ્રિક્સનો ક્રમ શું છે? તમે તેની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકો?

5. ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય શું કહે છે?

6. ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા તેના ઉકેલના પરિણામે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ કયા સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે? આનો અર્થ શું છે?

7. મેટ્રિક્સની કઈ પંક્તિઓ મૂળભૂત કહેવાય છે?

8. શું સિસ્ટમ ચલોમૂળભૂત કહેવાય છે, જે મફત છે?

9. અસંગત પ્રણાલીના કયા ઉકેલને ખાનગી કહેવામાં આવે છે?

10.તેના કયા ઉકેલોને મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે? રેખીય સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીમાં કેટલા મૂળભૂત ઉકેલો હોય છે?

11.રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના કયા ઉકેલને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે? વિશે પ્રમેય ઘડવો સામાન્ય નિર્ણયસમીકરણોની અસંગત સિસ્ટમ.

12. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલોના મુખ્ય ગુણધર્મો શું છે?

આવા મેટ્રિસિસ પર વિવિધ કામગીરી કરવામાં આવે છે: તેઓ એકબીજાથી ગુણાકાર કરે છે, નિર્ણાયકો શોધે છે, વગેરે. મેટ્રિક્સ - ખાસ કેસએરે: જો એરેમાં કોઈપણ સંખ્યાના પરિમાણો હોઈ શકે છે, તો માત્ર બે-પરિમાણીય એરેને મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

પ્રોગ્રામિંગમાં, મેટ્રિક્સને દ્વિ-પરિમાણીય એરે પણ કહેવામાં આવે છે. પ્રોગ્રામમાંના કોઈપણ એરેનું નામ હોય છે, જાણે કે તે એક જ ચલ હોય. એરે કોષોમાંથી કયો છે તે સ્પષ્ટ કરવા માટે, જ્યારે પ્રોગ્રામમાં તેનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાં રહેલા સેલની સંખ્યા વેરીએબલ સાથે વપરાય છે. પ્રોગ્રામમાં દ્વિ-પરિમાણીય મેટ્રિક્સ અને n-પરિમાણીય એરે બંને માત્ર આંકડાકીય જ નહીં, પણ સાંકેતિક, શબ્દમાળા, બુલિયન અને અન્ય માહિતી પણ સમાવી શકે છે, પરંતુ સમગ્ર એરેમાં હંમેશા સમાન હોય છે.

મેટ્રિસિસ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે મોટા અક્ષરોમાં A:MxN, જ્યાં A એ મેટ્રિક્સનું નામ છે, M એ મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની સંખ્યા છે અને N એ કૉલમની સંખ્યા છે. તત્વો - અનુરૂપ નાના અક્ષરોપંક્તિ અને કૉલમ a (m, n) માં તેમની સંખ્યા દર્શાવતા સૂચકાંકો સાથે.

સૌથી સામાન્ય મેટ્રિસિસ લંબચોરસ છે, જોકે દૂરના ભૂતકાળમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓ પણ ત્રિકોણાકાર ગણાતા હતા. જો મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા સમાન હોય, તો તેને વર્ગ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, M=N પાસે મેટ્રિક્સ ઓર્ડરનું નામ પહેલેથી જ છે. માત્ર એક પંક્તિ ધરાવતા મેટ્રિક્સને પંક્તિ કહેવામાં આવે છે. માત્ર એક જ સ્તંભ ધરાવતા મેટ્રિક્સને કોલમર મેટ્રિક્સ કહેવાય છે. વિકર્ણ મેટ્રિક્સ એ એક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં માત્ર કર્ણની સાથે સ્થિત તત્વો શૂન્ય સિવાયના હોય છે. જો બધા તત્વો એક સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સને ઓળખ કહેવામાં આવે છે, જો બધા તત્વો શૂન્ય સમાન હોય, તો તેને શૂન્ય કહેવામાં આવે છે.

જો તમે મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સને સ્વેપ કરો છો, તો તે સ્થાનાંતરિત થઈ જાય છે. જો બધા તત્વો જટિલ સંયોજકો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો તે જટિલ સંયોજક બને છે. વધુમાં, મેટ્રિક્સ તત્વો પર લાદવામાં આવેલી શરતો દ્વારા નિર્ધારિત અન્ય પ્રકારના મેટ્રિસિસ છે. પરંતુ આમાંની મોટાભાગની શરતો ફક્ત ચોરસ રાશિઓને જ લાગુ પડે છે.

વિષય પર વિડિઓ

મેટ્રિક્સને મોટા લેટિન અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ( એ, IN, સાથે,...).

વ્યાખ્યા 1. લંબચોરસ કોષ્ટક દૃશ્ય,

સમાવેશ થાય છે mરેખાઓ અને nકૉલમ કહેવામાં આવે છે મેટ્રિક્સ.

મેટ્રિક્સ એલિમેન્ટ, i – પંક્તિ નંબર, j – કૉલમ નંબર.

મેટ્રિસિસના પ્રકાર:

મુખ્ય કર્ણ પર તત્વો:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. 2જા, 3જા અને ક્રમના નિર્ધારકો

બે ચોરસ મેટ્રિસ આપવા દો:

વ્યાખ્યા 1. બીજા ક્રમના મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક એ 1 ∆ દ્વારા સૂચિત સંખ્યા છે અને તેની બરાબર છે , ક્યાં

ઉદાહરણ. 2જી ક્રમ નિર્ણાયકની ગણતરી કરો:

વ્યાખ્યા 2. ચોરસ મેટ્રિક્સના 3જા ક્રમનો નિર્ધારક એ 2 ફોર્મની સંખ્યા કહેવાય છે:

નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની આ એક રીત છે.

ઉદાહરણ. ગણતરી કરો

વ્યાખ્યા 3. જો નિર્ણાયકમાં n-પંક્તિઓ અને n-સ્તંભોનો સમાવેશ થાય છે, તો તેને n-મી ક્રમ નિર્ધારક કહેવામાં આવે છે.

નિર્ધારકોના ગુણધર્મો:

જ્યારે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે નિર્ણાયક બદલાતો નથી (એટલે ​​​​કે, જો તેમાંની પંક્તિઓ અને કૉલમ ક્રમ જાળવી રાખતી વખતે સ્વેપ કરવામાં આવે છે).

જો તમે નિર્ણાયકમાં કોઈપણ બે પંક્તિઓ અથવા બે કૉલમને સ્વેપ કરો છો, તો નિર્ણાયક ફક્ત ચિહ્ન બદલશે.

કોઈપણ પંક્તિ (કૉલમ) ના સામાન્ય અવયવને નિર્ણાયકના સંકેતની બહાર લઈ શકાય છે.

જો નિર્ણાયકની કોઈપણ પંક્તિ (સ્તંભ) ના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન છે.

જો કોઈપણ બે પંક્તિઓના ઘટકો સમાન અથવા પ્રમાણસર હોય તો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

જો અન્ય પંક્તિ (કૉલમ) ના અનુરૂપ ઘટકોને એક પંક્તિ (કૉલમ) ના ઘટકોમાં ઉમેરવામાં આવે, તો નિર્ણાયક બદલાશે નહીં, સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે.

ઉદાહરણ.

વ્યાખ્યા 4.કૉલમ અને પંક્તિને વટાવીને આપેલમાંથી મેળવેલ નિર્ધારક કહેવાય છે સગીરઅનુરૂપ તત્વ. M ij તત્વ એ ij .

વ્યાખ્યા 5. બીજગણિતીય પૂરકતત્વ a ij ને અભિવ્યક્તિ કહેવામાં આવે છે

§3. મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ

રેખીય કામગીરી

1) મેટ્રિસિસ ઉમેરતી વખતે, તેમના સમાન નામના ઘટકો ઉમેરવામાં આવે છે.

મેટ્રિસિસ બાદ કરતી વખતે, તેમના સમાન નામના ઘટકો બાદબાકી કરવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સને સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના દરેક ઘટકને તે સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે:

3.2.મેટ્રિક્સ ગુણાકાર.

કામમેટ્રિસિસ એમેટ્રિક્સ માટે INએક નવું મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો મેટ્રિક્સની i-મી પંક્તિના તત્વોના ઉત્પાદનના સરવાળા સમાન છે એમેટ્રિક્સના jth કૉલમના અનુરૂપ ઘટકોને IN. મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન એમેટ્રિક્સ માટે INજો મેટ્રિક્સ કૉલમ્સની સંખ્યા હોય તો જ શોધી શકાય છે એમેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી INનહિંતર, કાર્ય અશક્ય છે.

ટિપ્પણી:

(વિનિમયાત્મક મિલકતનું પાલન કરતું નથી)

§ 4. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ અસ્તિત્વમાં છે, અને મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન હોવું જોઈએ.

વ્યાખ્યા 1. મેટ્રિક્સ એકહેવાય છે બિન-અધોગતિ, જો આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી

વ્યાખ્યા 2. એ-1 કહેવાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સઆપેલ બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે એ, જો આ મેટ્રિક્સને આપેલ એક વડે ગુણાકાર કરતી વખતે, જમણી અને ડાબી બંને બાજુએ, ઓળખ મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ

1 માર્ગ (બીજગણિત ઉમેરણોનો ઉપયોગ કરીને)

ઉદાહરણ 1: