પિરામિડમાં ઊંચાઈનો આધાર કેવી રીતે શોધવો. નિયમિત પિરામિડના મૂળભૂત ગુણધર્મો

વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ 2: પિરામિડ સમસ્યા. પિરામિડનો જથ્થો

વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ 3: પિરામિડ સમસ્યા. યોગ્ય પિરામિડ

વ્યાખ્યાન: પિરામિડ, તેનો આધાર, બાજુની પાંસળી, ઊંચાઈ, બાજુની સપાટી; ત્રિકોણાકાર પિરામિડ; નિયમિત પિરામિડ

પિરામિડ- આ વોલ્યુમેટ્રિક બોડી, જેના આધાર પર બહુકોણ છે અને તેના તમામ ચહેરા ત્રિકોણથી બનેલા છે.

પિરામિડનો ખાસ કિસ્સો તેના આધાર પર વર્તુળ સાથેનો શંકુ છે.

ચાલો પિરામિડના મુખ્ય ઘટકો જોઈએ:

એપોથેમ- આ એક સેગમેન્ટ છે જે પિરામિડની ટોચને બાજુના ચહેરાના નીચલા ધારની મધ્ય સાથે જોડે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ પિરામિડની ધારની ઊંચાઈ છે.

આકૃતિમાં તમે ADS, ABS, BCS, CDS ત્રિકોણ જોઈ શકો છો. જો તમે નામોને ધ્યાનથી જોશો, તો તમે જોઈ શકશો કે દરેક ત્રિકોણમાં એક છે સામાન્ય પત્ર– S. એટલે કે, આનો અર્થ એ છે કે બધું બાજુના ચહેરા(ત્રિકોણ) એક બિંદુએ ભેગા થાય છે, જેને પિરામિડની ટોચ કહેવાય છે.

સેગમેન્ટ OS કે જે શિરોબિંદુને આધારના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ સાથે જોડે છે (ત્રિકોણના કિસ્સામાં - ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુ પર) કહેવાય છે. પિરામિડ ઊંચાઈ.

કર્ણ વિભાગ એ એક પ્લેન છે જે પિરામિડની ટોચ પરથી પસાર થાય છે, તેમજ આધારના કર્ણમાંથી એક છે.

પિરામિડની બાજુની સપાટી ત્રિકોણથી બનેલી હોવાથી, બાજુની સપાટીનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે દરેક ચહેરાનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને ઉમેરવું જરૂરી છે. ચહેરાઓની સંખ્યા અને આકાર આધાર પર આવેલા બહુકોણની બાજુઓના આકાર અને કદ પર આધારિત છે.

પિરામિડમાં એકમાત્ર પ્લેન જે તેના શિરોબિંદુ સાથે સંબંધિત નથી તેને કહેવામાં આવે છે આધારપિરામિડ

આકૃતિમાં આપણે જોઈએ છીએ કે આધાર સમાંતરગ્રામ છે, જો કે, તે કોઈપણ મનસ્વી બહુકોણ હોઈ શકે છે.

ગુણધર્મો:

પિરામિડના પ્રથમ કેસને ધ્યાનમાં લો, જેમાં તેની સમાન લંબાઈની ધાર હોય છે:

• આવા પિરામિડના પાયાની આસપાસ એક વર્તુળ દોરી શકાય છે. જો તમે આવા પિરામિડની ટોચને પ્રોજેક્ટ કરો છો, તો તેનું પ્રક્ષેપણ વર્તુળની મધ્યમાં સ્થિત થશે.
• પિરામિડના પાયા પરના ખૂણા દરેક ચહેરા પર સમાન હોય છે.
• તે જ સમયે પૂરતી સ્થિતિહકીકત એ છે કે પિરામિડના પાયાની આસપાસ એક વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે, અને અમે એમ પણ ધારી શકીએ છીએ કે બધી કિનારીઓ જુદી જુદી લંબાઈની છે, અમે આધાર અને ચહેરાઓની દરેક ધાર વચ્ચેના સમાન ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

જો તમે એવા પિરામિડ પર આવો છો જેમાં બાજુના ચહેરા અને આધાર વચ્ચેના ખૂણા સમાન હોય, તો નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:

• તમે પિરામિડના પાયાની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરી શકશો, જેની ટોચ બરાબર કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત છે.
• જો તમે ઊંચાઈની દરેક બાજુની ધારને આધાર તરફ દોરો છો, તો તે સમાન લંબાઈની હશે.
• આવા પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર શોધવા માટે, તે પાયાની પરિમિતિ શોધવા અને તેને ઊંચાઈની અડધી લંબાઈથી ગુણાકાર કરવા માટે પૂરતું છે.
• S bp = 0.5P oc H.
• પિરામિડના પ્રકાર.
• પિરામિડના પાયામાં કયા બહુકોણ આવેલા છે તેના આધારે, તે ત્રિકોણાકાર, ચતુષ્કોણીય, વગેરે હોઈ શકે છે. જો પિરામિડનો આધાર આવેલું હોય નિયમિત બહુકોણ(સાથે સમાન બાજુઓ), તો પછી આવા પિરામિડને નિયમિત કહેવામાં આવશે.

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ

ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ જે ઘણીવાર ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં દેખાય છે તે પિરામિડ છે. આ વર્ગની તમામ આકૃતિઓમાં સૌથી સરળ ત્રિકોણાકાર છે. આ લેખમાં આપણે વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું મૂળભૂત સૂત્રોઅને યોગ્ય ગુણધર્મો

આકૃતિ વિશે ભૌમિતિક વિચારો

ગુણધર્મો પર આગળ વધતા પહેલા નિયમિત પિરામિડત્રિકોણાકાર, ચાલો આપણે કયા પ્રકારની આકૃતિ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ તેના પર નજીકથી નજર કરીએ.

ચાલો ધારીએ કે ત્યાં છે મનસ્વી ત્રિકોણવી ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. ચાલો આ જગ્યામાં કોઈ પણ બિંદુ પસંદ કરીએ જે ત્રિકોણના સમતલમાં ન હોય અને તેને ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડીએ. અમને ત્રિકોણાકાર પિરામિડ મળ્યો.

તે 4 બાજુઓ ધરાવે છે, જે તમામ ત્રિકોણ છે. બિંદુઓ જ્યાં ત્રણ ચહેરા મળે છે તેને શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. આકૃતિમાં તેમાંથી ચાર પણ છે. બે ચહેરાના આંતરછેદની રેખાઓ કિનારીઓ છે. પ્રશ્નમાં રહેલા પિરામિડમાં 6 કિનારીઓ છે.

આકૃતિ ચાર બાજુઓથી બનેલી હોવાથી તેને ટેટ્રાહેડ્રોન પણ કહેવામાં આવે છે.

યોગ્ય પિરામિડ

ઉપર આપણે ત્રિકોણાકાર આધાર સાથે મનસ્વી આકૃતિ ધ્યાનમાં લીધી. હવે ધારો કે આપણી પાસે છે લંબ સેગમેન્ટપિરામિડની ટોચથી તેના આધાર સુધી. આ સેગમેન્ટને ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, તમે આકૃતિ માટે 4 વિવિધ ઊંચાઈઓ દોરી શકો છો. જો ઊંચાઈ પર છેદે છે ભૌમિતિક કેન્દ્રત્રિકોણાકાર આધાર, પછી આવા પિરામિડને સીધો કહેવામાં આવે છે.

એક સીધો પિરામિડ, જેનો આધાર એક સમભુજ ત્રિકોણ છે, તેને નિયમિત કહેવામાં આવે છે. તેના માટે, આકૃતિની બાજુની સપાટી બનાવતા ત્રણેય ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ અને એકબીજાના સમાન છે. નિયમિત પિરામિડનો ખાસ કિસ્સો એ પરિસ્થિતિ છે જ્યારે ચારેય બાજુઓ સમભુજ સમાન ત્રિકોણ હોય છે.

ચાલો નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેના પરિમાણોની ગણતરી માટે અનુરૂપ સૂત્રો આપીએ.

પાયાની બાજુ, ઊંચાઈ, બાજુની ધાર અને એપોથેમ

સૂચિબદ્ધ પરિમાણોમાંથી કોઈપણ બે બાકીની બે લાક્ષણિકતાઓને અનન્ય રીતે નિર્ધારિત કરે છે. ચાલો આ જથ્થાઓને સંબંધિત સૂત્રો રજૂ કરીએ.

ચાલો ધારીએ કે નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની બાજુ a છે. તેની બાજુની ધારની લંબાઈ b છે. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ અને તેના એપોથેમની ઊંચાઈ કેટલી હશે?

ઊંચાઈ h માટે આપણને અભિવ્યક્તિ મળે છે:

આ સૂત્ર પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે જેના માટે બાજુની ધાર, ઊંચાઈ અને પાયાની ઊંચાઈનો 2/3 ભાગ છે.

પિરામિડનું એપોથેમ એ કોઈપણ માટે ઊંચાઈ છે બાજુનો ત્રિકોણ. એપોથેમ a b ની લંબાઈ બરાબર છે:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

આ સૂત્રો પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિકોણાકાર નિયમિત પિરામિડના પાયાની બાજુ અને તેની બાજુની ધારની લંબાઈ ગમે તે હોય, એપોથેમ હંમેશા હશે. વધુ ઊંચાઈપિરામિડ

પ્રસ્તુત બે સૂત્રો પ્રશ્નમાં આકૃતિની તમામ ચાર રેખીય લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે. તેથી, તેમાંથી જાણીતા બેને જોતાં, તમે લેખિત સમાનતાઓની સિસ્ટમને હલ કરીને બાકીના શોધી શકો છો.

આકૃતિ વોલ્યુમ

સંપૂર્ણપણે કોઈપણ પિરામિડ (વળેલા એક સહિત) માટે, તેના દ્વારા મર્યાદિત જગ્યાના જથ્થાનું મૂલ્ય આકૃતિની ઊંચાઈ અને તેના પાયાના ક્ષેત્રને જાણીને નક્કી કરી શકાય છે. અનુરૂપ સૂત્રફોર્મ ધરાવે છે:

આ અભિવ્યક્તિને વિચારણા હેઠળની આકૃતિ પર લાગુ કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ નીચેનું સૂત્ર:

જ્યાં નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ h છે અને તેની પાયાની બાજુ a છે.

ટેટ્રાહેડ્રોનના જથ્થા માટે સૂત્ર મેળવવું મુશ્કેલ નથી જેમાં બધી બાજુઓ એકબીજાની સમાન હોય અને સમભુજ ત્રિકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે. આ કિસ્સામાં, આકૃતિનું પ્રમાણ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

એટલે કે, તે બાજુ a ની લંબાઈ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

સપાટી વિસ્તાર

ચાલો આપણે નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીએ. કુલ વિસ્તારઆકૃતિના તમામ ચહેરાઓને તેનો સપાટી વિસ્તાર કહેવામાં આવે છે. બાદમાં અનુરૂપ વિકાસને ધ્યાનમાં લઈને અનુકૂળ રીતે અભ્યાસ કરી શકાય છે. નીચેની આકૃતિ બતાવે છે કે નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડનો વિકાસ કેવો દેખાય છે.

ચાલો ધારીએ કે આપણે આકૃતિના આધાર a ની ઊંચાઈ h અને બાજુ જાણીએ છીએ. પછી તેના આધારનું ક્ષેત્રફળ સમાન હશે:

દરેક શાળાના બાળક આ અભિવ્યક્તિ મેળવી શકે છે જો તેને યાદ હોય કે ત્રિકોણનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો અને તે પણ ધ્યાનમાં લે કે ઊંચાઈ સમભુજ ત્રિકોણદ્વિભાજક અને મધ્યક પણ છે.

બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર ત્રણ સરખા દ્વારા રચાય છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ, છે:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

આ સમાનતા આધારની ઊંચાઈ અને લંબાઈના સંદર્ભમાં પિરામિડના એપોથેમના અભિવ્યક્તિને અનુસરે છે.

આકૃતિનો કુલ સપાટી વિસ્તાર છે:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

નોંધ કરો કે ટેટ્રેહેડ્રોન માટે કે જેમાં ચારેય બાજુઓ સમાન સમભુજ ત્રિકોણ હોય, વિસ્તાર S સમાન હશે:

નિયમિત કાપેલા ત્રિકોણાકાર પિરામિડના ગુણધર્મો

જો ગણવામાં આવેલ ત્રિકોણાકાર પિરામિડમાં પ્લેન હોય, આધારની સમાંતર, ટોચને કાપી નાખો, પછી બાકીના નીચલા ભાગને કાપવામાં આવેલ પિરામિડ કહેવામાં આવશે.

ત્રિકોણાકાર આધારના કિસ્સામાં, વર્ણવેલ વિભાગીકરણ પદ્ધતિનું પરિણામ એ એક નવો ત્રિકોણ છે, જે સમભુજ પણ છે, પરંતુ પાયાની બાજુ કરતાં તેની બાજુની લંબાઈ ઓછી છે. એક કપાયેલ ત્રિકોણાકાર પિરામિડ નીચે બતાવેલ છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે આ આંકડો પહેલેથી જ બે સુધી મર્યાદિત છે ત્રિકોણાકાર પાયાઅને ત્રણ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડ.

ચાલો ધારીએ કે પરિણામી આકૃતિની ઊંચાઈ h બરાબર છે, નીચલા અને ઉપલા પાયાની બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે a 1 અને a 2 છે, અને એપોથેમ (ટ્રેપેઝોઈડની ઊંચાઈ) b ની બરાબર છે. પછી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કાપેલા પિરામિડના સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરી શકાય છે:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

અહીં પ્રથમ પદ એ બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે, બીજો શબ્દ ત્રિકોણાકાર પાયાનો વિસ્તાર છે.

આકૃતિના વોલ્યુમની ગણતરી નીચે પ્રમાણે કરવામાં આવે છે:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

માટે અસ્પષ્ટ વ્યાખ્યાકાપેલા પિરામિડની લાક્ષણિકતાઓ, તમારે તેના ત્રણ પરિમાણો જાણવાની જરૂર છે, જે આપેલ સૂત્રો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ત્રિકોણાકાર પિરામિડ એ પિરામિડ છે જે તેના પાયા પર ત્રિકોણ ધરાવે છે. આ પિરામિડની ઊંચાઈ એ કાટખૂણે છે જે પિરામિડની ટોચથી તેના પાયા સુધી નીચે આવે છે.

પિરામિડની ઊંચાઈ શોધવી

પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી? ખૂબ જ સરળ! કોઈપણ ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમે વોલ્યુમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો: V = (1/3)Sh, જ્યાં S એ પાયાનો વિસ્તાર છે, V એ પિરામિડનો જથ્થો છે, h તેની ઊંચાઈ છે. આ સૂત્રમાંથી, ઊંચાઈનું સૂત્ર મેળવો: ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમારે પિરામિડના જથ્થાને 3 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પછી પરિણામી મૂલ્યને પાયાના ક્ષેત્રફળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, તે હશે: h = (3V)/S. ત્રિકોણાકાર પિરામિડનો આધાર ત્રિકોણ હોવાથી, તમે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. જો આપણે જાણીએ છીએ: ત્રિકોણ S અને તેની બાજુ z નો વિસ્તાર, તો ક્ષેત્ર સૂત્ર S=(1/2)γh: h = (2S)/γ અનુસાર, જ્યાં h એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે, γ ત્રિકોણની ધાર છે; ત્રિકોણની બાજુઓ અને બે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો, પછી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: S = (1/2)γφsinQ, જ્યાં γ, φ ત્રિકોણની બાજુઓ છે, આપણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ છીએ. કોણ Q ની સાઈનનું મૂલ્ય ઈન્ટરનેટ પર ઉપલબ્ધ સાઈનના કોષ્ટકમાં જોવાની જરૂર છે. આગળ, અમે વિસ્તાર મૂલ્યને ઊંચાઈ સૂત્રમાં બદલીએ છીએ: h = (2S)/γ. જો કાર્ય માટે ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો પિરામિડનું કદ પહેલેથી જ જાણીતું છે.

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધો, એટલે કે, એક પિરામિડ જેમાં બધા ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ છે, ધારનું કદ γ જાણીને. આ કિસ્સામાં, પિરામિડની કિનારીઓ સમભુજ ત્રિકોણની બાજુઓ છે. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ હશે: h = γ√(2/3), જ્યાં γ એ સમબાજુ ત્રિકોણની ધાર છે, h એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે. જો આધાર (S) નું ક્ષેત્રફળ અજ્ઞાત હોય, અને માત્ર ધારની લંબાઈ (γ) અને પોલિહેડ્રોનનું વોલ્યુમ (V) આપવામાં આવે, તો અગાઉના પગલામાંથી સૂત્રમાં જરૂરી ચલ બદલવું આવશ્યક છે. તેના સમકક્ષ દ્વારા, જે ધારની લંબાઈના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (નિયમિત) આ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈના ગુણાંકના 1/4 જેટલું છે જે 3 ના વર્ગમૂળ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. અમે પાછલા ભાગમાં પાયાના ક્ષેત્રફળને બદલે આ સૂત્રને બદલીએ છીએ. સૂત્ર, અને અમે નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). ટેટ્રાહેડ્રોનનું વોલ્યુમ તેની ધારની લંબાઈ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, પછી આકૃતિની ઊંચાઈની ગણતરી માટેના સૂત્રમાંથી, તમે બધા ચલો દૂર કરી શકો છો અને ફક્ત બાજુ છોડી શકો છો. ત્રિકોણાકાર ચહેરોઆંકડા આવા પિરામિડના જથ્થાને ઉત્પાદનમાંથી તેના ચહેરાની ઘન લંબાઈને 2 ના વર્ગમૂળ દ્વારા 12 વડે ભાગીને ગણતરી કરી શકાય છે.

આ અભિવ્યક્તિને અગાઉના સૂત્રમાં બદલીને, અમે ગણતરી માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. પણ યોગ્ય ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમગોળામાં લખી શકાય છે, અને માત્ર ગોળાની ત્રિજ્યા (R) જાણીને તમે ટેટ્રાહેડ્રોનની ઊંચાઈ શોધી શકો છો. ટેટ્રાહેડ્રોનની ધારની લંબાઈ છે: γ = 4R/√6. અમે અગાઉના સૂત્રમાં આ અભિવ્યક્તિ સાથે વેરીએબલ γ ને બદલીએ છીએ અને ફોર્મ્યુલા મેળવીએ છીએ: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા (R) જાણીને સમાન સૂત્ર મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણની ધારની લંબાઈ વચ્ચેના 12 ગુણોત્તર જેટલી હશે વર્ગમૂળ 6 અને ત્રિજ્યા. અમે આ અભિવ્યક્તિને અગાઉના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને અમારી પાસે છે: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

પિરામિડની ઊંચાઈની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તમારે નિયમિત પિરામિડ શું છે તે જાણવાની જરૂર છે. ચતુષ્કોણીય પિરામિડ એ પિરામિડ છે જે તેના પાયા પર ચતુષ્કોણ ધરાવે છે. જો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં આપણી પાસે છે: વોલ્યુમ (V) અને પિરામિડના આધાર (S) નો વિસ્તાર, તો પોલિહેડ્રોન (h) ની ઊંચાઈની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ હશે - વિભાજીત કરો વિસ્તાર S: h = (3V)/S વડે 3 વડે ગુણાકાર કરેલ વોલ્યુમ. આપેલ વોલ્યુમ (V) અને બાજુની લંબાઈ γ સાથે પિરામિડનો ચોરસ આધાર આપેલ છે, અગાઉના સૂત્રમાં વિસ્તાર (S) ને બાજુની લંબાઈના ચોરસ સાથે બદલો: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. નિયમિત પિરામિડની ઊંચાઈ h = SO એ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી બરાબર પસાર થાય છે જે પાયાની નજીક ઘેરાયેલું હોય છે. આ પિરામિડનો આધાર ચોરસ હોવાથી, બિંદુ O એ કર્ણ AD અને BC નું આંતરછેદ બિંદુ છે. અમારી પાસે છે: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. આગળ, અમે અંદર છીએ જમણો ત્રિકોણઅમે SOC (પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને) શોધીએ છીએ: SO = √(SC 2 -OC 2). હવે તમે જાણો છો કે નિયમિત પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી.

વિદ્યાર્થીઓને ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરતા ઘણા સમય પહેલા પિરામિડનો ખ્યાલ આવે છે. દોષ વિશ્વના પ્રખ્યાત મહાન ઇજિપ્તીયન અજાયબીઓનો છે. તેથી, જ્યારે આ અદ્ભુત પોલિહેડ્રોનનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરો છો, ત્યારે મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ પહેલેથી જ સ્પષ્ટપણે તેની કલ્પના કરે છે. ઉપરોક્ત તમામ આકર્ષણો યોગ્ય આકાર ધરાવે છે. શું થયું છે નિયમિત પિરામિડ, અને તે કયા ગુણધર્મો ધરાવે છે તેની આગળ ચર્ચા કરવામાં આવશે.

વ્યાખ્યા

પિરામિડની ઘણી બધી વ્યાખ્યાઓ છે. પ્રાચીન સમયથી, તે ખૂબ જ લોકપ્રિય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડે તેને શારીરિક આકૃતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જેમાં વિમાનોનો સમાવેશ થાય છે, જે એકથી શરૂ કરીને, ચોક્કસ બિંદુએ એકરૂપ થાય છે.

હેરોન વધુ ચોક્કસ ફોર્મ્યુલેશન પ્રદાન કરે છે. તેમણે ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે આ આંકડો હતો કે માં બેઝ અને વિમાનો છે ત્રિકોણના રૂપમાં, એક તબક્કે કન્વર્જિંગ.

આધુનિક અર્થઘટનના આધારે, પિરામિડને એક અવકાશી પોલિહેડ્રોન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે જેમાં ચોક્કસ k-gon અને k હોય છે. સપાટ આંકડા ત્રિકોણાકાર આકાર, એક સામાન્ય મુદ્દો છે.

ચાલો તેને વધુ વિગતમાં જોઈએ, તે કયા ઘટકો ધરાવે છે:

• k-gon ને આકૃતિનો આધાર ગણવામાં આવે છે;
• 3-ગોનલ આકાર બાજુના ભાગની કિનારીઓ તરીકે બહાર નીકળે છે;
• ઉપલા ભાગ કે જેમાંથી બાજુના તત્વો ઉદ્ભવે છે તેને સર્વોચ્ચ કહેવાય છે;
• શિરોબિંદુને જોડતા તમામ ભાગોને ધાર કહેવામાં આવે છે;
• જો કોઈ સીધી રેખા શિરોબિંદુથી આકૃતિના પ્લેન સુધી 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર નીચે કરવામાં આવે છે, તો તેનો ભાગ અંદર બંધ છે આંતરિક જગ્યા- પિરામિડની ઊંચાઈ;
• કોઈપણ પાર્શ્વીય તત્વમાં, એક કાટખૂણે, જેને એપોથેમ કહેવાય છે, તે આપણા પોલિહેડ્રોનની બાજુએ દોરવામાં આવી શકે છે.

કિનારીઓની સંખ્યા 2*k સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, જ્યાં k એ k-gon ની બાજુઓની સંખ્યા છે. પિરામિડ જેવા પોલિહેડ્રોનના કેટલા ચહેરા છે તે k+1 અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.

મહત્વપૂર્ણ!પિરામિડ યોગ્ય ફોર્મસ્ટીરિયોમેટ્રિક આકૃતિ કહેવાય છે જેનું બેઝ પ્લેન સમાન બાજુઓ સાથે k-gon છે.

મૂળભૂત ગુણધર્મો

યોગ્ય પિરામિડ ધરાવે છે ઘણી મિલકતો, જે તેના માટે અનન્ય છે. ચાલો તેમને સૂચિબદ્ધ કરીએ:

1. આધાર એ યોગ્ય આકારની આકૃતિ છે.
2. પિરામિડની ધાર કે જે બાજુના ઘટકોને મર્યાદિત કરે છે તે સમાન સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે.
3. બાજુના તત્વો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
4. આકૃતિની ઊંચાઈનો આધાર બહુકોણના કેન્દ્રમાં આવે છે, જ્યારે તે એક સાથે અંકિત અને પરિક્રમાનું કેન્દ્રિય બિંદુ છે.
5. બધી બાજુની પાંસળીઓ સમાન ખૂણા પર આધારના પ્લેન તરફ વળેલી છે.
6. તમામ બાજુની સપાટીઓ આધારની તુલનામાં સમાન ઝોકનો કોણ ધરાવે છે.

દરેકનો આભાર સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મો, તત્વ ગણતરીઓ કરવાનું ખૂબ સરળ છે. ઉપરોક્ત ગુણધર્મોના આધારે, અમે ધ્યાન આપીએ છીએ બે ચિહ્નો:

1. એવા કિસ્સામાં જ્યારે બહુકોણ વર્તુળમાં બંધબેસે છે, ત્યારે બાજુના ચહેરાઓનો આધાર હશે સમાન ખૂણા.
2. બહુકોણની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરતી વખતે, શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી પિરામિડની તમામ કિનારીઓ હશે સમાન લંબાઈઅને આધાર સાથે સમાન ખૂણા.

આધાર ચોરસ છે

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ - પોલિહેડ્રોન જેનો આધાર ચોરસ છે.

તેના ચાર બાજુના ચહેરા છે, જે દેખાવમાં સમદ્વિબાજુ છે.

એક ચોરસ પ્લેન પર દર્શાવવામાં આવ્યો છે, પરંતુ તે નિયમિત ચતુષ્કોણના તમામ ગુણધર્મો પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો ચોરસની બાજુને તેના કર્ણ સાથે સાંકળવી જરૂરી હોય, તો નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: કર્ણ એ ચોરસની બાજુના ગુણાંક અને બેના વર્ગમૂળ સમાન છે.

તે નિયમિત ત્રિકોણ પર આધારિત છે

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ એ પોલિહેડ્રોન છે જેનો આધાર નિયમિત 3-ગોન છે.

જો આધાર છે જમણો ત્રિકોણ, અને બાજુની કિનારીઓ આધારની કિનારીઓ જેટલી હોય છે, પછી આવી આકૃતિ ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવાય છે.

ટેટ્રાહેડ્રોનના તમામ ચહેરા સમભુજ 3-ગોન્સ છે. IN આ કિસ્સામાંતમારે કેટલાક મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે અને ગણતરી કરતી વખતે તેના પર સમય બગાડવો નહીં:

• કોઈપણ આધાર પર પાંસળીના ઝોકનો કોણ 60 ડિગ્રી છે;
• બધા આંતરિક ચહેરાઓનું કદ પણ 60 ડિગ્રી છે;
• કોઈપણ ચહેરો આધાર તરીકે કાર્ય કરી શકે છે;
• , આકૃતિની અંદર દોરેલા, આ સમાન તત્વો છે.

પોલિહેડ્રોનના વિભાગો

કોઈપણ પોલિહેડ્રોનમાં ત્યાં છે વિવિધ પ્રકારના વિભાગોફ્લેટ ઘણીવાર માં શાળા અભ્યાસક્રમભૂમિતિઓ બે સાથે કામ કરે છે:

• અક્ષીય
• આધારની સમાંતર.

શિરોબિંદુ, બાજુની કિનારીઓ અને અક્ષમાંથી પસાર થતા પ્લેન સાથે પોલિહેડ્રોનને છેદન કરીને અક્ષીય વિભાગ મેળવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ધરી એ શિરોબિંદુથી દોરેલી ઊંચાઈ છે. કટીંગ પ્લેન બધા ચહેરા સાથે આંતરછેદની રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત છે, પરિણામે ત્રિકોણ બને છે.

ધ્યાન આપો!નિયમિત પિરામિડમાં, અક્ષીય વિભાગ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

જો કટીંગ પ્લેન આધારની સમાંતર ચાલે છે, તો પરિણામ એ બીજો વિકલ્પ છે. આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે આધારની સમાન ક્રોસ-વિભાગીય આકૃતિ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો પાયા પર ચોરસ હોય, તો આધારની સમાંતર વિભાગ પણ માત્ર નાના પરિમાણોનો ચોરસ હશે.

આ સ્થિતિ હેઠળ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તેઓ આકૃતિઓની સમાનતાના ચિહ્નો અને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે, થેલ્સના પ્રમેય પર આધારિત. સૌ પ્રથમ, સમાનતા ગુણાંક નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે.

જો પ્લેન આધારની સમાંતર દોરવામાં આવે છે અને તે કાપી નાખે છે ટોચનો ભાગપોલિહેડ્રોન, પછી નીચલા ભાગમાં નિયમિત કાપવામાં આવેલ પિરામિડ મેળવવામાં આવે છે. પછી કાપેલા બહુહેડ્રોનના પાયા કહેવાય છે સમાન બહુકોણ. આ કિસ્સામાં, બાજુના ચહેરા આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે. અક્ષીય વિભાગ પણ સમદ્વિબાજુ છે.

કાપેલા પોલિહેડ્રોનની ઊંચાઈ નક્કી કરવા માટે, ઊંચાઈને અંદર દોરવી જરૂરી છે અક્ષીય વિભાગ, એટલે કે, ટ્રેપેઝોઇડમાં.

સપાટી વિસ્તારો

મૂળભૂત ભૌમિતિક સમસ્યાઓજે શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં ઉકેલવાના હોય છે પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ શોધો.

બે પ્રકારના સપાટી વિસ્તાર મૂલ્યો છે:

• બાજુના તત્વોનો વિસ્તાર;
• સમગ્ર સપાટીનો વિસ્તાર.

નામ પરથી જ તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ. બાજુની સપાટીફક્ત બાજુના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે તેને શોધવા માટે, તમારે ફક્ત બાજુના વિમાનોના વિસ્તારોને ઉમેરવાની જરૂર છે, એટલે કે, સમદ્વિબાજુના 3-ગોન્સ વિસ્તારો. ચાલો બાજુના ઘટકોના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ:

1. સમદ્વિબાજુ 3-ગોનનું ક્ષેત્રફળ Str=1/2(aL) જેટલું છે, જ્યાં a એ આધારની બાજુ છે, L એ એપોથેમ છે.
2. પાર્શ્વીય વિમાનોની સંખ્યા આધાર પર કે-ગોનના પ્રકાર પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, યોગ્ય ચતુષ્કોણીય પિરામિડચાર બાજુના વિમાનો છે. તેથી, ઉમેરવું જરૂરી છે ચારનો વિસ્તારઆંકડા Side=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. અભિવ્યક્તિ આ રીતે સરળ છે કારણ કે મૂલ્ય 4a = Rosn છે, જ્યાં Rosn એ આધારની પરિમિતિ છે. અને અભિવ્યક્તિ 1/2*Rosn એ તેની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
3. તેથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે નિયમિત પિરામિડના બાજુના તત્વોનો વિસ્તાર આધાર અને એપોથેમના અર્ધ-પરિમિતિના ઉત્પાદન જેટલો છે: Sside = Rosn * L.

ચોરસ સંપૂર્ણ સપાટીપિરામિડમાં બાજુના વિમાનોના વિસ્તારોના સરવાળા અને આધારનો સમાવેશ થાય છે: Sp.p = Sside + Sbas.

આધારના ક્ષેત્રની વાત કરીએ તો, અહીં સૂત્રનો ઉપયોગ બહુકોણના પ્રકાર અનુસાર થાય છે.

નિયમિત પિરામિડનો જથ્થોબેઝ પ્લેનના ક્ષેત્રફળના ગુણાંક અને ઊંચાઈને ત્રણ વડે વિભાજિત કરવા સમાન: V=1/3*Sbas*H, જ્યાં H એ પોલિહેડ્રોનની ઊંચાઈ છે.

ભૂમિતિમાં નિયમિત પિરામિડ શું છે

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના ગુણધર્મો