રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે કાર્લ ગૌસ પદ્ધતિઓ. ડમી માટે ગૌસીયન પદ્ધતિ: સ્લોઉ સરળતાથી હલ કરવી

ગૌસ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે (1) ને ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સવાળી સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરવું, જેમાંથી તમામ અજ્ઞાતના મૂલ્યો પછી ક્રમિક રીતે (વિપરીત) મેળવવામાં આવે છે. ચાલો એક કોમ્પ્યુટેશનલ સ્કીમનો વિચાર કરીએ. આ સર્કિટને સિંગલ ડિવિઝન સર્કિટ કહેવામાં આવે છે. તો ચાલો આ રેખાકૃતિ જોઈએ. 11 ≠0 (અગ્રણી તત્વ) ને પ્રથમ સમીકરણને 11 વડે ભાગવા દો. અમને મળે છે
(2)
સમીકરણ (2) નો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા x 1 ને દૂર કરવું સરળ છે (આ કરવા માટે, દરેક સમીકરણમાંથી સમીકરણ (2) બાદબાકી કરવા માટે તે પૂરતું છે, અગાઉ x 1 માટે અનુરૂપ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો) , એટલે કે, પ્રથમ પગલામાં આપણે મેળવીએ છીએ
.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પગલું 1 પર, અનુગામી રેખાઓના દરેક તત્વ, બીજાથી શરૂ કરીને, તફાવત સમાનમૂળ તત્વ અને પ્રથમ કૉલમ અને પ્રથમ (રૂપાંતરિત) પંક્તિ પરના તેના "પ્રોજેક્શન" ના ઉત્પાદન વચ્ચે.
આ પછી, પ્રથમ સમીકરણને એકલા છોડીને, અમે પ્રથમ પગલામાં મેળવેલા સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણો પર સમાન રૂપાંતર કરીએ છીએ: અમે તેમાંથી અગ્રણી તત્વ સાથેનું સમીકરણ પસંદ કરીએ છીએ અને તેની મદદથી, બાકીનામાંથી x 2 ને બાકાત કરીએ છીએ. સમીકરણો (પગલું 2).
n પગલાંઓ પછી, (1) ને બદલે, આપણે સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
(3)
આમ, પ્રથમ તબક્કે આપણે ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમ (3) મેળવીએ છીએ. આ તબક્કાને ફોરવર્ડ સ્ટ્રોક કહેવામાં આવે છે.
બીજા તબક્કે (વિપરીત), આપણે (3) x n, x n -1, ..., x 1 મૂલ્યોમાંથી ક્રમિક રીતે શોધીએ છીએ.
ચાલો પરિણામી ઉકેલને x 0 તરીકે દર્શાવીએ. પછી તફાવત ε=b-A x 0 શેષ કહેવાય છે.
જો ε=0 હોય, તો મળેલ ઉકેલ x 0 સાચો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ બે તબક્કામાં કરવામાં આવે છે:

1. પ્રથમ તબક્કાને ફોરવર્ડ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ તબક્કે, મૂળ સિસ્ટમ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
2. બીજા તબક્કાને રિવર્સ સ્ટ્રોક કહેવામાં આવે છે. બીજા તબક્કે, મૂળની સમકક્ષ ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમ ઉકેલાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો હેતુ

ગૌસીયન પદ્ધતિના પ્રકાર

1. શાસ્ત્રીય ગૌસીયન પદ્ધતિ;
2. ગૌસ પદ્ધતિના ફેરફારો. ગૌસીયન પદ્ધતિના ફેરફારોમાંની એક એ મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથેની યોજના છે. મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથે ગૌસ પદ્ધતિની વિશેષતા એ સમીકરણોની આવી પુનઃ ગોઠવણી છે જેથી kth સ્ટેપ પર અગ્રણી તત્વ kth સ્તંભમાં સૌથી મોટું તત્વ હોવાનું બહાર આવે.
3. જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિ;

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ
ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ગણતરીની સરળતા માટે, ચાલો લીટીઓને સ્વેપ કરીએ:

ચાલો બીજી લીટીને (2) વડે ગુણાકાર કરીએ. 2જીમાં 3જી લાઇન ઉમેરો

2જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. 1લીમાં 2જી લાઇન ઉમેરો

1લી લીટીથી આપણે x 3 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
2જી લીટીથી આપણે x 2 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
3જી લીટીથી આપણે x 1 વ્યક્ત કરીએ છીએ:

જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ
ચાલો Jordano-Gauss પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન SLAE ઉકેલીએ.

અમે ક્રમિક રીતે રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ RE પસંદ કરીશું, જે મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણ પર આવેલું છે.
રિઝોલ્યુશન તત્વ (1) ની બરાબર છે.



NE = SE - (A*B)/RE
RE - રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ (1), A અને B - મેટ્રિક્સ તત્વો STE અને RE તત્વો સાથે લંબચોરસ બનાવે છે.
ચાલો દરેક તત્વની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:

x 1	x 2	x 3	બી
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	બી
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	બી
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

ગૌસીયન પદ્ધતિનો અમલ

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો

ગેમ થિયરીમાં ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવામાં ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ

રેખીય પ્રોગ્રામિંગમાં જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય

કૃષિ એકેડમી"

વિભાગ ઉચ્ચ ગણિત

માર્ગદર્શિકા

વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે “રેખીય સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ

એકાઉન્ટિંગ ફેકલ્ટીના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા સમીકરણો પત્રવ્યવહાર ફોર્મશિક્ષણ (NISPO)

ગોર્કી, 2013

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ

સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમો

રેખીય સમીકરણોની બે પ્રણાલીઓ સમકક્ષ કહેવાય છે જો તેમાંથી એકનો દરેક ઉકેલ બીજાનો ઉકેલ હોય. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં કહેવાતા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને ક્રમિક રીતે સમકક્ષ સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રાથમિક પરિવર્તનો , જે છે:

1) સિસ્ટમના કોઈપણ બે સમીકરણોની પુનઃ ગોઠવણી;

2) સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુઓને બિનશૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો;

3) કોઈપણ સમીકરણમાં કોઈપણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને અન્ય સમીકરણ ઉમેરવું;

4) શૂન્ય ધરાવતા સમીકરણને પાર કરવું, એટલે કે. ફોર્મના સમીકરણો

ગૌસિયન નાબૂદી

સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત:

ગૌસીયન પદ્ધતિનો સાર અથવા અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે દૂર કરવાની પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે.

પ્રથમ, પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, અજ્ઞાતને પ્રથમ સિવાયના સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. આવા સિસ્ટમ પરિવર્તનો કહેવામાં આવે છે ગૌસિયન નાબૂદી પગલું . અજ્ઞાત કહેવાય છે ચલને સક્ષમ કરી રહ્યું છે પરિવર્તનના પ્રથમ પગલા પર. ગુણાંક કહેવાય છે રિઝોલ્યુશન પરિબળ , પ્રથમ સમીકરણ કહેવાય છે સમીકરણ ઉકેલવું , અને પર ગુણાંકનો કૉલમ પરવાનગી કૉલમ .

ગૌસીયન નાબૂદીનું એક પગલું ચલાવતી વખતે, તમારે ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે નીચેના નિયમો:

1) ગુણાંક અને નિરાકરણ સમીકરણની મુક્ત અવધિ યથાવત રહે છે;

2) રિઝોલ્યુશન ગુણાંકની નીચે સ્થિત રિઝોલ્યુશન કૉલમના ગુણાંક શૂન્ય બની જાય છે;

3) પ્રથમ પગલું કરતી વખતે અન્ય તમામ ગુણાંક અને મફત શરતોની ગણતરી લંબચોરસ નિયમ અનુસાર કરવામાં આવે છે:

, ક્યાં i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

અમે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ પર સમાન પરિવર્તનો કરીશું. આ એક સિસ્ટમ તરફ દોરી જશે જેમાં પ્રથમ બે સિવાયના તમામ સમીકરણોમાં અજાણ્યાને દૂર કરવામાં આવશે. સિસ્ટમના દરેક સમીકરણો (ગૌસિયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ) પર આવા પરિવર્તનના પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમ નીચેના પ્રકારોમાંથી એકની સમકક્ષ સ્ટેપ સિસ્ટમમાં ઘટાડો થાય છે.

રિવર્સ ગૌસીયન પદ્ધતિ

સ્ટેપ સિસ્ટમ

ત્રિકોણાકાર દેખાવ ધરાવે છે અને બસ (i=1,2,…,n). આવી સિસ્ટમ ધરાવે છે એકમાત્ર ઉકેલ. અજાણ્યાઓ છેલ્લા સમીકરણ (ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત) થી શરૂ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

સ્ટેપ સિસ્ટમમાં ફોર્મ છે

જ્યાં, એટલે કે સિસ્ટમના સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા સમાન છે. આ સિસ્ટમ પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, કારણ કે છેલ્લું સમીકરણ ચલના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સંતુષ્ટ થશે નહીં.

સ્ટેપ ટાઇપ સિસ્ટમ

અસંખ્ય ઉકેલો છે. છેલ્લા સમીકરણથી, અજાણ્યા દ્વારા અજ્ઞાત વ્યક્ત થાય છે . પછી, ઉપાંત્ય સમીકરણમાં, અજ્ઞાતને બદલે, તેની અભિવ્યક્તિ અજ્ઞાત દ્વારા બદલવામાં આવે છે. . ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત ચાલુ રાખવું, અજાણ્યા અજ્ઞાત દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે . આ કિસ્સામાં, અજાણ્યાઓ કહેવાય છે મફત અને કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને અજ્ઞાત મૂળભૂત

મુ વ્યવહારુ ઉકેલસિસ્ટમો, સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સાથે, અજાણ્યાઓ અને કૉલમ માટેના ગુણાંકનો સમાવેશ કરીને તમામ પરિવર્તનો કરવા માટે અનુકૂળ છે. મફત સભ્યો.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ બનાવીએ અને પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીએ:

.

સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં, નંબર 3 (તે પ્રકાશિત થયેલ છે) એ રીઝોલ્યુશન ગુણાંક છે, પ્રથમ પંક્તિ રિઝોલ્યુશન પંક્તિ છે, અને પ્રથમ કૉલમ રિઝોલ્યુશન કૉલમ છે. જ્યારે આગલા મેટ્રિક્સ પર જાઓ છો, ત્યારે રિઝોલ્યુશન પંક્તિ બદલાતી નથી; અને મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો ચતુષ્કોણના નિયમ અનુસાર પુનઃગણતરી કરવામાં આવે છે. બીજી લીટીમાં તત્વ 4 ને બદલે આપણે લખીએ છીએ , બીજી લાઇનમાં એલિમેન્ટ -3 ને બદલે તે લખવામાં આવશે વગેરે આમ, બીજું મેટ્રિક્સ મેળવવામાં આવશે. આ મેટ્રિક્સનું રિઝોલ્યુશન એલિમેન્ટ બીજી હરોળમાં નંબર 18 હશે. આગલું (ત્રીજું મેટ્રિક્સ) બનાવવા માટે, બીજી પંક્તિને યથાવત છોડી દો, રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ હેઠળ કૉલમમાં શૂન્ય લખો અને બાકીના બે ઘટકોની પુનઃ ગણતરી કરો: નંબર 1 ને બદલે, લખો , અને નંબર 16 ને બદલે આપણે લખીએ છીએ.

પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમમાં ઘટાડો થયો હતો સમકક્ષ સિસ્ટમ

ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ . ચાલો આ મૂલ્યને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ: y=3. ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાં મળેલા મૂલ્યોને બદલીએ yઅને z: , x=2.

આમ, સમીકરણોની આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે x=2, y=3, .

ઉદાહરણ 2. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ પર પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીએ:

બીજા મેટ્રિક્સમાં, ત્રીજી પંક્તિના દરેક ઘટકને 2 વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

ચોથા મેટ્રિક્સમાં, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિઓના દરેક ઘટકને 11 વડે વિભાજિત કરવામાં આવ્યા હતા.

. પરિણામી મેટ્રિક્સ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે

નક્કી કરે છે આ સિસ્ટમ, ચાલો શોધીએ , , .

ઉદાહરણ 3. સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ અને પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીએ:

.

બીજા મેટ્રિક્સમાં, બીજી, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિઓના દરેક ઘટકને 7 વડે વિભાજિત કરવામાં આવ્યા હતા.

પરિણામે, સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ

મૂળની સમકક્ષ.

અજ્ઞાત કરતાં બે ઓછા સમીકરણો હોવાથી, બીજા સમીકરણમાંથી . ચાલો પ્રથમ સમીકરણ માટે અભિવ્યક્તિને બદલીએ: , .

આમ, સૂત્રો આપો સામાન્ય ઉકેલસમીકરણોની આ સિસ્ટમની. અજાણ્યાઓ મફત છે અને કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, પછી અને . ઉકેલ સિસ્ટમના ચોક્કસ ઉકેલોમાંથી એક છે, જેમાંથી અસંખ્ય છે.

જ્ઞાનના સ્વ-નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો

1) શું પરિવર્તન રેખીય સિસ્ટમોપ્રાથમિક કહેવાય છે?

2) સિસ્ટમના કયા પરિવર્તનોને ગૌસિયન એલિમિનેશન સ્ટેપ કહેવામાં આવે છે?

3) રિઝોલ્વિંગ ચલ, રિઝોલ્વિંગ ગુણાંક, રિઝોલ્વિંગ કોલમ શું છે?

4) ગૌસિયન નાબૂદીનું એક પગલું ચલાવતી વખતે કયા નિયમોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ?

આ લેખમાં, પદ્ધતિને રેખીય સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ તરીકે ગણવામાં આવે છે. પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે, એટલે કે, તે તમને સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ લખવાની મંજૂરી આપે છે સામાન્ય દૃશ્ય, અને પછી ત્યાં ચોક્કસ ઉદાહરણોમાંથી મૂલ્યો બદલો. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ક્રેમરના સૂત્રોથી વિપરીત, જ્યારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી રહ્યા હોય, ત્યારે તમે એવા લોકો સાથે પણ કામ કરી શકો છો કે જેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે. અથવા તેઓ પાસે તે બિલકુલ નથી.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ લાવવાનો અર્થ શું છે?

પ્રથમ, આપણે આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમ લખવાની જરૂર છે તે આના જેવું દેખાય છે. સિસ્ટમ લો:

ગુણાંક કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, અને મફત શરતો જમણી બાજુએ એક અલગ કૉલમમાં લખવામાં આવે છે. મફત સભ્યો સાથેના કૉલમને સુવિધા માટે અલગ કરવામાં આવે છે જેમાં આ કૉલમનો સમાવેશ થાય છે તેને વિસ્તૃત કહેવામાં આવે છે.

આગળ, ગુણાંક સાથેના મુખ્ય મેટ્રિક્સને ટોચ પર લાવવાની જરૂર છે ત્રિકોણાકાર આકાર. ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવાનો આ મુખ્ય મુદ્દો છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોક્કસ મેનિપ્યુલેશન્સ પછી મેટ્રિક્સ દેખાવું જોઈએ જેથી તેના નીચલા ડાબા ભાગમાં ફક્ત શૂન્ય હોય:

પછી, જો આપણે લખીએ નવું મેટ્રિક્સફરીથી સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે, કોઈ નોંધ કરી શકે છે કે માં છેલ્લી લીટીપહેલાથી જ મૂળમાંથી એકનું મૂલ્ય ધરાવે છે, જે પછી ઉપરના સમીકરણમાં બદલાઈ જાય છે, બીજું મૂળ મળે છે, વગેરે.

આ સૌથી વધુ ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું વર્ણન છે સામાન્ય રૂપરેખા. અચાનક તંત્ર પાસે કોઈ ઉકેલ ન આવે તો શું થાય? અથવા તેમાંના અનંત ઘણા છે? આ અને અન્ય ઘણા પ્રશ્નોના જવાબો આપવા માટે, ગૌસીયન પદ્ધતિને ઉકેલવામાં ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ ઘટકોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

મેટ્રિસિસ, તેમની મિલકતો

કોઈ નહિ છુપાયેલ અર્થમેટ્રિક્સમાં નથી. તે સરળ છે અનુકૂળ રીતતેમની સાથે અનુગામી કામગીરી માટે ડેટા રેકોર્ડિંગ. શાળાના બાળકોને પણ તેમનાથી ડરવાની જરૂર નથી.

મેટ્રિક્સ હંમેશા લંબચોરસ હોય છે, કારણ કે તે વધુ અનુકૂળ છે. ગૌસ પદ્ધતિમાં પણ, જ્યાં બધું ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ બાંધવા માટે નીચે આવે છે, પ્રવેશમાં એક લંબચોરસ દેખાય છે, ફક્ત તે જગ્યાએ શૂન્ય સાથે જ્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી. શૂન્ય લખી શકાતું નથી, પરંતુ તે ગર્ભિત છે.

મેટ્રિક્સનું કદ છે. તેની "પહોળાઈ" એ પંક્તિઓની સંખ્યા છે (m), "લંબાઈ" એ કૉલમની સંખ્યા છે (n). પછી મેટ્રિક્સ A નું કદ (કેપિટલ અક્ષરોનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે તેમને દર્શાવવા માટે થાય છે) લેટિન અક્ષરો) A m×n તરીકે સૂચવવામાં આવશે. જો m=n, તો આ મેટ્રિક્સ ચોરસ છે, અને m=n એ તેનો ક્રમ છે. તદનુસાર, મેટ્રિક્સ A ના કોઈપણ ઘટકને તેની પંક્તિ અને કૉલમ નંબરો દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: a xy ; x - પંક્તિ નંબર, ફેરફારો, y - કૉલમ નંબર, ફેરફારો.

B એ નિર્ણયનો મુખ્ય મુદ્દો નથી. સૈદ્ધાંતિક રીતે, બધી ક્રિયાઓ સીધા સમીકરણો સાથે જાતે કરી શકાય છે, પરંતુ સંકેત વધુ બોજારૂપ હશે, અને તેમાં મૂંઝવણમાં પડવું વધુ સરળ રહેશે.

નિર્ધારક

મેટ્રિક્સમાં નિર્ણાયક પણ છે. આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા. હવે તેનો અર્થ શોધવાની જરૂર નથી; તમે ફક્ત બતાવી શકો છો કે તે કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે, અને પછી તે મેટ્રિક્સના કયા ગુણધર્મો નક્કી કરે છે. નિર્ણાયકને શોધવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો કર્ણ દ્વારા છે. મેટ્રિક્સમાં કાલ્પનિક કર્ણ દોરવામાં આવે છે; તેમાંના દરેક પર સ્થિત તત્વોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવામાં આવે છે: જમણી તરફ ઢોળાવ સાથે કર્ણ - વત્તા ચિહ્ન સાથે, ડાબી બાજુ ઢોળાવ સાથે - ઓછા ચિહ્ન સાથે.

એ નોંધવું અત્યંત અગત્યનું છે કે નિર્ણાયકની ગણતરી માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ કરી શકાય છે. માટે લંબચોરસ મેટ્રિક્સતમે નીચે મુજબ કરી શકો છો: પંક્તિઓની સંખ્યા અને કૉલમની સંખ્યામાંથી, સૌથી નાનું પસંદ કરો (તેને k રહેવા દો), અને પછી મેટ્રિક્સમાં k કૉલમ્સ અને k પંક્તિઓને રેન્ડમલી માર્ક કરો. પસંદ કરેલ કૉલમ્સ અને પંક્તિઓના આંતરછેદ પર સ્થિત તત્વો એક નવું બનાવશે ચોરસ મેટ્રિક્સ. જો આવા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય સંખ્યા હોય, તો તેને મૂળ લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો આધાર ગૌણ કહેવામાં આવે છે.

તમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં નુકસાન થતું નથી. જો તે શૂન્ય હોવાનું બહાર આવે છે, તો આપણે તરત જ કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સમાં કાં તો અસંખ્ય ઉકેલો છે અથવા તો કંઈ જ નથી. આવા ઉદાસી કિસ્સામાં, તમારે વધુ આગળ વધવાની અને મેટ્રિક્સના રેન્ક વિશે જાણવાની જરૂર છે.

સિસ્ટમ વર્ગીકરણ

મેટ્રિક્સની રેન્ક જેવી વસ્તુ છે. આ તેના બિન-શૂન્ય નિર્ણાયકનો મહત્તમ ક્રમ છે (જો આપણે બેઝિસ માઇનોર વિશે યાદ રાખીએ, તો આપણે કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સનો રેન્ક એ બેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ છે).

રેન્ક સાથેની પરિસ્થિતિના આધારે, SLAE ને આમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

• સંયુક્ત. યુસંયુક્ત પ્રણાલીઓમાં, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ (માત્ર ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે) વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ (મુક્ત શરતોના કૉલમ સાથે) ની રેન્ક સાથે એકરુપ છે. આવી પ્રણાલીઓમાં ઉકેલ હોય છે, પરંતુ જરૂરી નથી કે એક જ હોય, તેથી વધુમાં સંયુક્ત સિસ્ટમોવિભાજિત:
• - ચોક્કસ- એક જ ઉકેલ છે. અમુક સિસ્ટમોમાં, મેટ્રિક્સનો ક્રમ અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા (અથવા કૉલમની સંખ્યા, જે સમાન વસ્તુ છે) સમાન હોય છે;
• - અવ્યાખ્યાયિત -અસંખ્ય ઉકેલો સાથે. આવી સિસ્ટમોમાં મેટ્રિસિસનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો છે.
• અસંગત. યુઆવી સિસ્ટમોમાં, મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિસિસની રેન્ક એકરૂપ થતી નથી. અસંગત સિસ્ટમો પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

ગૌસ પદ્ધતિ સારી છે કારણ કે સોલ્યુશન દરમિયાન તે સિસ્ટમની અસંગતતાનો અસ્પષ્ટ પુરાવો (મોટા મેટ્રિસેસના નિર્ધારકોની ગણતરી કર્યા વિના) અથવા અસંખ્ય ઉકેલો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે સીધા જ આગળ વધતા પહેલા, તમે તેને ઓછા બોજારૂપ અને ગણતરીઓ માટે વધુ અનુકૂળ બનાવી શકો છો. આ પ્રાથમિક પરિવર્તનો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે - જેમ કે તેમના અમલીકરણથી અંતિમ જવાબ કોઈપણ રીતે બદલાતા નથી. એ નોંધવું જોઈએ કે આપેલ કેટલાક પ્રાથમિક પરિવર્તનો માત્ર મેટ્રિસિસ માટે જ માન્ય છે, જેનો સ્ત્રોત SLAE હતો. અહીં આ પરિવર્તનોની સૂચિ છે:

1. પુનઃવ્યવસ્થિત શબ્દમાળાઓ. દેખીતી રીતે, જો તમે સિસ્ટમ રેકોર્ડમાં સમીકરણોનો ક્રમ બદલો છો, તો આ ઉકેલને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. પરિણામે, આ સિસ્ટમના મેટ્રિક્સમાંની પંક્તિઓ પણ અદલાબદલી થઈ શકે છે, અલબત્ત, મફત શરતોની કૉલમને ભૂલશો નહીં.
2. ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા સ્ટ્રિંગના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર. ખૂબ જ ઉપયોગી! તેનો ઉપયોગ ટૂંકો કરવા માટે થઈ શકે છે મોટી સંખ્યાઓમેટ્રિક્સમાં અથવા શૂન્ય દૂર કરો. ઘણા નિર્ણયો, હંમેશની જેમ, બદલાશે નહીં, પરંતુ આગળની કામગીરી વધુ અનુકૂળ બનશે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે ગુણાંક ન હોવો જોઈએ શૂન્ય બરાબર.
3. પ્રમાણસર પરિબળો સાથે પંક્તિઓ દૂર કરી રહ્યા છીએ. આ અંશતઃ પાછલા ફકરામાંથી અનુસરે છે. જો મેટ્રિક્સમાં બે અથવા વધુ પંક્તિઓ પ્રમાણસર ગુણાંક ધરાવે છે, તો પછી જ્યારે પંક્તિઓમાંથી એકને પ્રમાણસર ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર/વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે બે (અથવા, ફરીથી, વધુ) એકદમ સમાન પંક્તિઓ પ્રાપ્ત થાય છે, અને વધારાની પંક્તિઓ દૂર કરી શકાય છે. માત્ર એક.
4. નલ લીટી દૂર કરી રહ્યા છીએ. જો, રૂપાંતર દરમિયાન, એક પંક્તિ ક્યાંક પ્રાપ્ત થાય છે જેમાં મુક્ત શબ્દ સહિત તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય, તો આવી પંક્તિને શૂન્ય કહી શકાય અને મેટ્રિક્સની બહાર ફેંકી શકાય.
5. એક પંક્તિના ઘટકોમાં બીજી પંક્તિના ઘટકો (અનુરૂપ કૉલમમાં) ઉમેરીને, ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. બધામાં સૌથી અસ્પષ્ટ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિવર્તન. તેના પર વધુ વિગતમાં રહેવું યોગ્ય છે.

પરિબળ વડે ગુણાકાર કરીને સ્ટ્રિંગ ઉમેરવી

સમજવાની સરળતા માટે, આ પ્રક્રિયાને તબક્કાવાર તોડવા યોગ્ય છે. મેટ્રિક્સમાંથી બે પંક્તિઓ લેવામાં આવી છે:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

ચાલો કહીએ કે તમારે પ્રથમને બીજામાં ઉમેરવાની જરૂર છે, ગુણાંક "-2" દ્વારા ગુણાકાર.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

પછી મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિને નવી સાથે બદલવામાં આવે છે, અને પ્રથમ યથાવત રહે છે.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

એ નોંધવું જોઈએ કે ગુણાકાર ગુણાંક એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે, બે પંક્તિઓ ઉમેરવાના પરિણામે, નવી પંક્તિના ઘટકોમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, એવી સિસ્ટમમાં સમીકરણ મેળવવું શક્ય છે જ્યાં એક ઓછું અજ્ઞાત હશે. અને જો તમને આવા બે સમીકરણો મળે, તો ઓપરેશન ફરીથી કરી શકાય છે અને એક સમીકરણ મેળવી શકાય છે જેમાં બે ઓછા અજાણ્યા હશે. અને જો દરેક વખતે તમે મૂળ પંક્તિઓની નીચે હોય તેવા તમામ પંક્તિઓ માટે એક ગુણાંકને શૂન્યમાં ફેરવો છો, તો પછી તમે સીડીની જેમ, મેટ્રિક્સના ખૂબ જ તળિયે જઈ શકો છો અને એક અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ મેળવી શકો છો. આને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે

એક સિસ્ટમ બનવા દો. તેમાં m સમીકરણો અને n અજ્ઞાત મૂળ છે. તમે તેને નીચે પ્રમાણે લખી શકો છો:

મુખ્ય મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ ગુણાંકમાંથી સંકલિત કરવામાં આવે છે. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં મફત શરતોનો કૉલમ ઉમેરવામાં આવે છે અને અનુકૂળતા માટે, એક રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે.

• મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિનો ગુણાંક k = (-a 21 /a 11) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
• પ્રથમ સંશોધિત પંક્તિ અને મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ ઉમેરવામાં આવે છે;
• બીજી પંક્તિને બદલે, અગાઉના ફકરામાંથી ઉમેરાનું પરિણામ મેટ્રિક્સમાં દાખલ કરવામાં આવે છે;
• હવે માં પ્રથમ ગુણાંક નવી સેકન્ડરેખા એ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 છે.

હવે પરિવર્તનની સમાન શ્રેણી કરવામાં આવે છે, ફક્ત પ્રથમ અને ત્રીજી પંક્તિઓ સામેલ છે. તદનુસાર, અલ્ગોરિધમના દરેક પગલા પર, તત્વ a 21 ને 31 દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પછી બધું 41, ... a m1 માટે પુનરાવર્તિત થાય છે. પરિણામ એ મેટ્રિક્સ છે જ્યાં પંક્તિઓમાં પ્રથમ તત્વ શૂન્ય છે. હવે તમારે લીટી નંબર એક વિશે ભૂલી જવાની અને લીટી બેથી શરૂ કરીને સમાન અલ્ગોરિધમ કરવાની જરૂર છે:

• ગુણાંક k = (-a 32 /a 22);
• બીજી સંશોધિત લાઇન "વર્તમાન" લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવે છે;
• ઉમેરાનું પરિણામ ત્રીજી, ચોથી અને તેથી લીટીઓમાં બદલાય છે, જ્યારે પ્રથમ અને બીજું યથાવત રહે છે;
• મેટ્રિક્સની પંક્તિઓમાં પ્રથમ બે તત્વો પહેલાથી જ શૂન્ય સમાન છે.

જ્યાં સુધી ગુણાંક k = (-a m,m-1 /a mm) દેખાય ત્યાં સુધી અલ્ગોરિધમનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. આનો અર્થ એ છે કે માં છેલ્લી વખતઅલ્ગોરિધમ માત્ર નીચલા સમીકરણ માટે કરવામાં આવ્યું હતું. હવે મેટ્રિક્સ ત્રિકોણ જેવો દેખાય છે, અથવા સ્ટેપ્ડ આકાર ધરાવે છે. નીચે લીટીમાં સમાનતા a mn × x n = b m છે. ગુણાંક અને મુક્ત શબ્દ જાણીતો છે, અને મૂળ તેમના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે: x n = b m /a mn. x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 શોધવા માટે પરિણામી મૂળને ટોચની લાઇનમાં બદલવામાં આવે છે. અને તેથી સમાનતા દ્વારા: દરેક આગલી લાઇનમાં છે નવું મૂળ, અને, સિસ્ટમના "ટોચ" પર પહોંચ્યા પછી, કોઈ ઘણા ઉકેલો શોધી શકે છે. તે એક જ હશે.

જ્યારે કોઈ ઉકેલ નથી

જો મેટ્રિક્સ પંક્તિઓમાંથી એકમાં ફ્રી ટર્મ સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આ પંક્તિને અનુરૂપ સમીકરણ 0 = b જેવું દેખાય છે. તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. અને આ પ્રકારનું સમીકરણ સિસ્ટમમાં સમાયેલું હોવાથી, સમગ્ર સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે, એટલે કે, તે અધોગતિગ્રસ્ત છે.

જ્યારે અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે

એવું બની શકે છે કે આપેલ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં સમીકરણના એક ગુણાંક ઘટક અને એક મુક્ત પદ સાથે કોઈ પંક્તિઓ નથી. ત્યાં ફક્ત એવી રેખાઓ છે જે, જ્યારે ફરીથી લખવામાં આવે છે, ત્યારે તે બે અથવા વધુ ચલો સાથેના સમીકરણની જેમ દેખાશે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે છે અનંત સંખ્યાનિર્ણયો આ કિસ્સામાં, જવાબ સામાન્ય ઉકેલના સ્વરૂપમાં આપી શકાય છે. આ કેવી રીતે કરવું?

મેટ્રિક્સના તમામ ચલોને મૂળભૂત અને મફતમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે. મૂળભૂત તે છે જે સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની "ધાર પર" ઊભા છે. બાકીના મફત છે. સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, મૂળભૂત ચલો મફતમાં લખવામાં આવે છે.

સગવડ માટે, મેટ્રિક્સને પહેલા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ફરીથી લખવામાં આવે છે. પછી તેમાંના છેલ્લામાં, જ્યાં બરાબર માત્ર એક મૂળભૂત ચલ બાકી છે, તે એક બાજુ રહે છે, અને બાકીનું બધું બીજી તરફ સ્થાનાંતરિત થાય છે. આ એક મૂળભૂત ચલ સાથે દરેક સમીકરણ માટે કરવામાં આવે છે. પછી, બાકીના સમીકરણોમાં, જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, તેના માટે મેળવેલ અભિવ્યક્તિ મૂળભૂત ચલને બદલે અવેજી કરવામાં આવે છે. જો પરિણામ ફરીથી માત્ર એક મૂળભૂત ચલ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ છે, તો તે ફરીથી ત્યાંથી વ્યક્ત થાય છે, અને તેથી જ, જ્યાં સુધી દરેક મૂળભૂત ચલ મુક્ત ચલો સાથે અભિવ્યક્તિ તરીકે લખવામાં ન આવે ત્યાં સુધી. આ SLAE નો સામાન્ય ઉકેલ છે.

તમે સિસ્ટમનો મૂળભૂત ઉકેલ પણ શોધી શકો છો - મફત ચલોને કોઈપણ મૂલ્યો આપો, અને પછી આ ચોક્કસ કેસ માટે મૂળભૂત ચલોની કિંમતોની ગણતરી કરો. ત્યાં અસંખ્ય ચોક્કસ ઉકેલો છે જે આપી શકાય છે.

ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે ઉકેલ

અહીં સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.

સગવડ માટે, તેનું મેટ્રિક્સ તરત જ બનાવવું વધુ સારું છે

તે જાણીતું છે કે જ્યારે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ પંક્તિને અનુરૂપ સમીકરણ પરિવર્તનના અંતે યથાવત રહેશે. તેથી, તે વધુ નફાકારક રહેશે જો મેટ્રિક્સનો ઉપરનો ડાબો તત્વ સૌથી નાનો હોય - તો ઓપરેશન પછી બાકીની પંક્તિઓના પ્રથમ ઘટકો શૂન્ય થઈ જશે. આનો અર્થ એ છે કે સંકલિત મેટ્રિક્સમાં પ્રથમની જગ્યાએ બીજી પંક્તિ મૂકવી ફાયદાકારક રહેશે.

બીજી લીટી: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

ત્રીજી લીટી: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

હવે, મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે, તમારે મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે મધ્યવર્તી પરિણામોપરિવર્તનો

દેખીતી રીતે, આવા મેટ્રિક્સને ચોક્કસ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને ધારણા માટે વધુ અનુકૂળ બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે દરેક ઘટકને “-1” વડે ગુણાકાર કરીને બીજી લાઇનમાંથી તમામ “બાદબાકી” દૂર કરી શકો છો.

એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે ત્રીજી લાઇનમાં બધા તત્વો ત્રણના ગુણાંક છે. પછી તમે દરેક ઘટકને "-1/3" વડે ગુણાકાર કરીને, આ સંખ્યા દ્વારા રેખા ટૂંકી કરી શકો છો (માઈનસ - તે જ સમયે, દૂર કરવા માટે નકારાત્મક મૂલ્યો).

વધુ સરસ લાગે છે. હવે આપણે પ્રથમ લાઇનને એકલા છોડીને બીજી અને ત્રીજી સાથે કામ કરવાની જરૂર છે. કાર્ય એ ત્રીજી લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરવાનું છે, આવા ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે કે તત્વ a 32 શૂન્યની બરાબર બને છે.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (જો અમુક રૂપાંતરણ દરમિયાન જવાબ પૂર્ણાંક ન હોય તો, છોડવા માટેની ગણતરીઓની ચોકસાઈ જાળવવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. તે "જેમ છે તેમ", સ્વરૂપમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અને ત્યારે જ, જ્યારે જવાબો પ્રાપ્ત થાય, ત્યારે નક્કી કરો કે શું રાઉન્ડ કરવું અને રેકોર્ડિંગના બીજા સ્વરૂપમાં કન્વર્ટ કરવું)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

મેટ્રિક્સ ફરીથી નવા મૂલ્યો સાથે લખવામાં આવે છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામી મેટ્રિક્સ પહેલેથી જ છે સ્ટેપ વ્યુ. તેથી, ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના વધુ પરિવર્તનની જરૂર નથી. અહીં શું કરી શકાય છે તે ત્રીજી લાઇનમાંથી દૂર કરવાનું છે એકંદર ગુણાંક "-1/7".

હવે બધું સુંદર છે. સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં મેટ્રિક્સને ફરીથી લખવાનું અને મૂળની ગણતરી કરવાનું બાકી છે.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

એલ્ગોરિધમ કે જેના દ્વારા હવે મૂળ શોધવામાં આવશે તેને ગૌસીયન પદ્ધતિમાં રિવર્સ મૂવ કહેવામાં આવે છે. સમીકરણ (3) z મૂલ્ય ધરાવે છે:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

અને પ્રથમ સમીકરણ આપણને x શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

અમારી પાસે આવી સિસ્ટમને સંયુક્ત કૉલ કરવાનો અધિકાર છે, અને તે પણ નિશ્ચિત છે, એટલે કે, એક અનન્ય ઉકેલ છે. જવાબ નીચેના ફોર્મમાં લખાયેલ છે:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

અનિશ્ચિત સિસ્ટમનું ઉદાહરણ

ગૉસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સિસ્ટમને હલ કરવાના પ્રકારનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે; હવે જો સિસ્ટમ અનિશ્ચિત હોય તો તે કેસને ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે, એટલે કે, તેના માટે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો શોધી શકાય છે.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

સિસ્ટમનો દેખાવ પહેલેથી જ ચિંતાજનક છે, કારણ કે અજાણ્યાઓની સંખ્યા n = 5 છે, અને સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ પહેલેથી જ આ સંખ્યા કરતા બરાબર ઓછો છે, કારણ કે પંક્તિઓની સંખ્યા m = 4 છે, એટલે કે સર્વોચ્ચ ક્રમચોરસ નિર્ણાયક 4 છે. આનો અર્થ એ છે કે ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા છે, અને આપણે તેના સામાન્ય સ્વરૂપને જોવું જોઈએ. રેખીય સમીકરણો માટેની ગૌસ પદ્ધતિ તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રથમ, હંમેશની જેમ, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે.

બીજી લાઇન: ગુણાંક k = (-a 21 /a 11) = -3. ત્રીજી લાઇનમાં, પ્રથમ તત્વ રૂપાંતરણ પહેલાં છે, તેથી તમારે કંઈપણ સ્પર્શ કરવાની જરૂર નથી, તમારે તેને જેમ છે તેમ છોડવાની જરૂર છે. ચોથી લીટી: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોને બદલામાં તેમના દરેક ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને તેમને જરૂરી પંક્તિઓમાં ઉમેરીને, અમે નીચેના ફોર્મનું મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજી, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિઓ એકબીજાના પ્રમાણસર તત્વો ધરાવે છે. બીજી અને ચોથી સામાન્ય રીતે સમાન હોય છે, તેથી તેમાંથી એકને તરત જ દૂર કરી શકાય છે, અને બાકીની એકને ગુણાંક “-1” વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે અને લાઇન નંબર 3 મેળવી શકાય છે. અને ફરીથી, બે સરખી રેખાઓમાંથી, એક છોડી દો.

પરિણામ આના જેવું મેટ્રિક્સ છે. જ્યારે સિસ્ટમ હજી સુધી લખવામાં આવી નથી, ત્યારે અહીં મૂળભૂત ચલો નક્કી કરવા જરૂરી છે - જે ગુણાંક 11 = 1 અને 22 = 1 પર ઊભા છે, અને મફત રાશિઓ - બાકીના બધા.

બીજા સમીકરણમાં માત્ર એક મૂળભૂત ચલ છે - x 2. આનો અર્થ એ છે કે તેને ત્યાંથી x 3 , x 4 , x 5 ચલ દ્વારા લખીને વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે મુક્ત છે.

અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.

પરિણામ એ એક સમીકરણ છે જેમાં માત્ર મૂળભૂત ચલ x 1 છે. ચાલો તેની સાથે x 2 ની જેમ જ કરીએ.

બધા મૂળભૂત ચલો, જેમાંથી બે છે, તે ત્રણ મુક્ત રાશિઓ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, હવે આપણે સામાન્ય સ્વરૂપમાં જવાબ લખી શકીએ છીએ.

તમે સિસ્ટમના ચોક્કસ ઉકેલોમાંથી એક પણ સ્પષ્ટ કરી શકો છો. આવા કિસ્સાઓ માટે, શૂન્ય સામાન્ય રીતે મફત ચલો માટે મૂલ્યો તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. પછી જવાબ હશે:

16, 23, 0, 0, 0.

બિન-સહકારી પ્રણાલીનું ઉદાહરણ

ઉકેલ અસંગત સિસ્ટમોગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા સમીકરણો - સૌથી ઝડપી. તે તરત જ સમાપ્ત થાય છે કારણ કે એક તબક્કે એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે જેનો કોઈ ઉકેલ નથી. એટલે કે, મૂળની ગણતરી કરવાનો તબક્કો, જે ખૂબ લાંબો અને કંટાળાજનક છે, તે દૂર થઈ ગયો છે. નીચેની સિસ્ટમ ગણવામાં આવે છે:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

હંમેશની જેમ, મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે:

અને તે એક પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

k 1 = -2k 2 = -4

પ્રથમ રૂપાંતર પછી, ત્રીજી લાઇન ફોર્મનું સમીકરણ ધરાવે છે

ઉકેલ વિના. પરિણામે, સિસ્ટમ અસંગત છે, અને જવાબ ખાલી સેટ હશે.

પદ્ધતિના ફાયદા અને ગેરફાયદા

જો તમે પેન વડે કાગળ પર SLAE ને ઉકેલવા માટેની કઈ પદ્ધતિ પસંદ કરો છો, તો આ લેખમાં જે પદ્ધતિની ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે સૌથી આકર્ષક લાગે છે. જો તમારે નિર્ણાયક અથવા કેટલાક મુશ્કેલ વિપરીત મેટ્રિક્સ માટે જાતે શોધ કરવી પડે તેના કરતાં પ્રારંભિક પરિવર્તનોમાં મૂંઝવણમાં આવવું વધુ મુશ્કેલ છે. જો કે, જો તમે આ પ્રકારના ડેટા સાથે કામ કરવા માટે પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરો છો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પ્રેડશીટ્સ, પછી તે તારણ આપે છે કે આવા પ્રોગ્રામ્સમાં મેટ્રિસીસના મુખ્ય પરિમાણો - નિર્ણાયક, સગીર, વ્યસ્ત, અને તેથી વધુની ગણતરી માટે પહેલાથી જ અલ્ગોરિધમ્સ હોય છે. અને જો તમને ખાતરી છે કે મશીન આ મૂલ્યોની જાતે ગણતરી કરશે અને ભૂલ કરશે નહીં, તો તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ સલાહભર્યું છે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઅથવા ક્રેમરના સૂત્રો, કારણ કે તેમની એપ્લિકેશન નિર્ધારકો અને વ્યસ્ત મેટ્રિસીસની ગણતરી સાથે શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે.

અરજી

ગૌસીયન સોલ્યુશન એ અલ્ગોરિધમ હોવાથી, અને મેટ્રિક્સ વાસ્તવમાં દ્વિ-પરિમાણીય એરે છે, તેનો પ્રોગ્રામિંગમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. પરંતુ લેખ પોતાને "ડમીઝ માટે" માર્ગદર્શિકા તરીકે સ્થાન આપે છે, એવું કહેવું જોઈએ કે પદ્ધતિને સ્પ્રેડશીટ્સમાં મૂકવાનું સૌથી સરળ સ્થાન છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક્સેલ. ફરીથી, મેટ્રિક્સના રૂપમાં કોષ્ટકમાં દાખલ થયેલ કોઈપણ SLAE ને એક્સેલ દ્વારા દ્વિ-પરિમાણીય એરે તરીકે ગણવામાં આવશે. અને તેમની સાથે કામગીરી માટે ઘણા સરસ આદેશો છે: વધુમાં (તમે ફક્ત મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકો છો સમાન કદ!), સંખ્યા વડે ગુણાકાર, મેટ્રિક્સ ગુણાકાર (સાથે પણ ચોક્કસ પ્રતિબંધો), વ્યસ્ત અને સ્થાનાંતરિત મેટ્રિસિસ શોધવા અને, સૌથી અગત્યનું, નિર્ણાયકની ગણતરી. જો આ સમય માંગી લેનાર કાર્યને એક આદેશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ વધુ ઝડપથી નક્કી કરવો શક્ય છે અને તેથી, તેની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા સ્થાપિત કરો.

આજે આપણે રેખીય પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિને સમજવા જઈ રહ્યા છીએ બીજગણિતીય સમીકરણો. ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન SLAE ને ઉકેલવા માટે સમર્પિત અગાઉના લેખમાં આ સિસ્ટમો શું છે તે વિશે તમે વાંચી શકો છો. ગૌસ પદ્ધતિને કોઈ ચોક્કસ જ્ઞાનની જરૂર નથી, તમારે ફક્ત ધ્યાન અને સુસંગતતાની જરૂર છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી, તેને લાગુ કરવા માટે તે પૂરતું છે શાળા તૈયારી, વિદ્યાર્થીઓને ઘણીવાર આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવી મુશ્કેલ લાગે છે. આ લેખમાં અમે તેમને કંઈપણ ઘટાડવાનો પ્રયાસ કરીશું!

ગૌસ પદ્ધતિ

એમ ગૌસીયન પદ્ધતિ- SLAE ને ઉકેલવા માટેની સૌથી સાર્વત્રિક પદ્ધતિ (બહુના અપવાદ સાથે મોટી સિસ્ટમો). અગાઉ જે ચર્ચા કરવામાં આવી હતી તેનાથી વિપરીત, તે માત્ર એક જ સોલ્યુશન ધરાવતી સિસ્ટમો માટે જ નહીં, પણ અસંખ્ય ઉકેલો ધરાવતી સિસ્ટમો માટે પણ યોગ્ય છે. અહીં ત્રણ સંભવિત વિકલ્પો છે.

1. સિસ્ટમમાં એક અનન્ય ઉકેલ છે (સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર નથી);
2. સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે;
3. ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, સિસ્ટમ અસંગત છે.

તેથી અમારી પાસે એક સિસ્ટમ છે (તેનો એક ઉકેલ છે) અને અમે તેને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા જઈ રહ્યા છીએ. આ કેવી રીતે કામ કરે છે?

ગૌસ પદ્ધતિમાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે - આગળ અને વ્યસ્ત.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો સીધો સ્ટ્રોક

પ્રથમ, ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ. આ હેતુ માટે માં મુખ્ય મેટ્રિક્સમફત સભ્યોની કૉલમ ઉમેરો.

ગૌસ પદ્ધતિનો સંપૂર્ણ સાર એ છે કે, પ્રાથમિક પરિવર્તનો દ્વારા, આ મેટ્રિક્સસ્ટેપ્ડ (અથવા જેમ તેઓ ત્રિકોણાકાર પણ કહે છે) દેખાવ માટે. આ ફોર્મમાં, મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણની નીચે (અથવા ઉપર) માત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.

તમે શું કરી શકો:

1. તમે મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ ફરીથી ગોઠવી શકો છો;
2. જો મેટ્રિક્સમાં સમાન (અથવા પ્રમાણસર) પંક્તિઓ હોય, તો તમે તેમાંથી એક સિવાય તમામને દૂર કરી શકો છો;
3. તમે સ્ટ્રિંગને કોઈપણ સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) વડે ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરી શકો છો;
4. નલ પંક્તિઓ દૂર કરવામાં આવે છે;
5. તમે સ્ટ્રિંગમાં શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરેલ સ્ટ્રિંગ ઉમેરી શકો છો.

રિવર્સ ગૌસીયન પદ્ધતિ

અમે આ રીતે સિસ્ટમ રૂપાંતરિત કર્યા પછી, એક અજ્ઞાત એક્સએન જાણીતું બને છે, અને તમે કરી શકો છો વિપરીત ક્રમપહેલાથી જ જાણીતા x ને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં બદલીને બાકીના બધા અજાણ્યાઓને શોધો, પહેલા સુધી.

જ્યારે ઇન્ટરનેટ હંમેશા હાથમાં હોય, ત્યારે તમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શકો છો ઓનલાઇન.તમારે ફક્ત ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરમાં ગુણાંક દાખલ કરવાની જરૂર છે. પરંતુ તમારે કબૂલ કરવું જોઈએ, તે સમજવું વધુ સુખદ છે કે ઉદાહરણ હલ થયું નથી કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ, પરંતુ તમારા પોતાના મગજ સાથે.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

અને હવે - એક ઉદાહરણ જેથી બધું સ્પષ્ટ અને સમજી શકાય. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવા દો, અને તમારે તેને ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવાની જરૂર છે:

પ્રથમ આપણે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ:

હવે ચાલો પરિવર્તનો કરીએ. આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે આપણે મેટ્રિક્સનો ત્રિકોણાકાર દેખાવ પ્રાપ્ત કરવાની જરૂર છે. ચાલો 1લી લીટીને (3) વડે ગુણાકાર કરીએ. 2જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. 1લીમાં 2જી લાઇન ઉમેરો અને મેળવો:

પછી 3જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. ચાલો 2જીમાં 3જી લીટી ઉમેરીએ:

ચાલો 1લી લીટીને (6) વડે ગુણાકાર કરીએ. ચાલો 2જી લીટીને (13) વડે ગુણાકાર કરીએ. ચાલો 1લીમાં 2જી લીટી ઉમેરીએ:

વોઇલા - સિસ્ટમ યોગ્ય સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે. તે અજાણ્યાઓને શોધવાનું બાકી છે:

સિસ્ટમ માં આ ઉદાહરણમાંએક અનન્ય ઉકેલ છે. અમે એક અલગ લેખમાં અસંખ્ય સોલ્યુશન્સ સાથે સિસ્ટમોને ઉકેલવા વિશે વિચારણા કરીશું. કદાચ શરૂઆતમાં તમને ખબર નહીં હોય કે મેટ્રિક્સનું રૂપાંતર ક્યાંથી શરૂ કરવું, પરંતુ યોગ્ય પ્રેક્ટિસ કર્યા પછી તમને તે અટકી જશે અને નટ્સ જેવી ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને તોડી નાખશે. અને જો તમને અચાનક કોઈ SLAE આવે કે જે ક્રેક કરવા માટે ખૂબ જ અઘરું હોય, તો અમારા લેખકોનો સંપર્ક કરો! તમે પત્રવ્યવહાર કચેરીમાં વિનંતી છોડીને કરી શકો છો. સાથે મળીને અમે કોઈપણ સમસ્યા હલ કરીશું!

ગૌસીયન પદ્ધતિની વ્યાખ્યા અને વર્ણન

રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટે ગૌસીયન ટ્રાન્સફોર્મેશન પદ્ધતિ (સમીકરણ અથવા મેટ્રિક્સમાંથી અજાણ્યા ચલોને ક્રમિક રીતે દૂર કરવાની પદ્ધતિ તરીકે પણ ઓળખાય છે) ક્લાસિક પદ્ધતિઓમ બીજગણિત સમીકરણો (SLAE) ની સિસ્ટમ હલ કરવી. મેળવવા જેવી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે પણ આ શાસ્ત્રીય પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિસિસઅને મેટ્રિક્સની રેન્ક નક્કી કરવી.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પરિવર્તનમાં રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં નાના (પ્રાથમિક) ક્રમિક ફેરફારો કરવામાં આવે છે, જે નવા રચના સાથે ઉપરથી નીચે સુધી ચલોને દૂર કરવા તરફ દોરી જાય છે. ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમસમીકરણો, જે મૂળ સમકક્ષ છે.

વ્યાખ્યા 1

સોલ્યુશનના આ ભાગને ફોરવર્ડ ગૌસીયન સોલ્યુશન કહેવામાં આવે છે, કારણ કે સમગ્ર પ્રક્રિયા ઉપરથી નીચે સુધી કરવામાં આવે છે.

સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમને ત્રિકોણાકારમાં ઘટાડ્યા પછી, આપણે બધું શોધીએ છીએ સિસ્ટમ ચલોનીચેથી ઉપર સુધી (એટલે ​​કે, મળેલા પ્રથમ ચલો બરાબર સિસ્ટમ અથવા મેટ્રિક્સની છેલ્લી રેખાઓ પર કબજો કરે છે). દ્રાવણના આ ભાગને ગૌસીયન દ્રાવણના વ્યસ્ત તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તેનું અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ છે: પ્રથમ, સમીકરણો અથવા મેટ્રિક્સની સિસ્ટમના તળિયેના સૌથી નજીકના ચલોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, પછી પરિણામી મૂલ્યો ઉચ્ચ સ્થાને મૂકવામાં આવે છે અને આમ બીજું ચલ જોવા મળે છે, વગેરે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમનું વર્ણન

ગૌસિયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલ માટે ક્રિયાઓનો ક્રમ SLAE પર આધારિત મેટ્રિક્સમાં આગળ અને પાછળના સ્ટ્રોકને વૈકલ્પિક રીતે લાગુ કરવાનો સમાવેશ કરે છે. સમીકરણોની પ્રારંભિક પ્રણાલીમાં નીચેનું સ્વરૂપ રહેવા દો:

$\begin(કેસો) a_(11) \cdot x_1 +... a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(કેસ)$

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ને ઉકેલવા માટે, મેટ્રિક્સના રૂપમાં સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ લખવી જરૂરી છે:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

મેટ્રિક્સ $A$ ને મુખ્ય મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે અને તે ક્રમમાં લખેલા ચલોના ગુણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને $b$ ને તેની મુક્ત શરતોની કૉલમ કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ $A$, મફત શબ્દોના કૉલમ સાથે બાર દ્વારા લખવામાં આવે છે, તેને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે:

$A = \begin(એરે)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(એરે)$

હવે તેને નીચેના સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમ (અથવા મેટ્રિક્સ પર, કારણ કે આ વધુ અનુકૂળ છે) પર પ્રારંભિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને તે જરૂરી છે:

$\begin(કેસ) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))... α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \ એન્ડ(કેસ)$ (1)

સમીકરણ (1) ની પરિવર્તિત પ્રણાલીના ગુણાંકમાંથી મેળવેલ મેટ્રિક્સને સ્ટેપ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે, આ સ્ટેપ મેટ્રિક્સ સામાન્ય રીતે આના જેવો દેખાય છે:

$A = \begin(એરે)(ccc a_(33) અને b_3 \end(એરે)$

આ મેટ્રિસીસ ગુણધર્મોના નીચેના સમૂહ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે:

1. તેની બધી શૂન્ય રેખાઓ બિન-શૂન્ય રેખાઓ પછી આવે છે
2. જો $k$ નંબર સાથે મેટ્રિક્સની કેટલીક પંક્તિ બિન-શૂન્ય હોય, તો સમાન મેટ્રિક્સની પાછલી પંક્તિમાં $k$ નંબર ધરાવતા આ કરતાં ઓછા શૂન્ય હોય છે.

સ્ટેપ મેટ્રિક્સ મેળવ્યા પછી, પરિણામી ચલોને બાકીના સમીકરણો (અંતથી શરૂ કરીને) માં બદલવા અને ચલોના બાકીના મૂલ્યો મેળવવા જરૂરી છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે મૂળભૂત નિયમો અને અનુમતિ રૂપાંતરણ

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમને સરળ બનાવતી વખતે, તમારે ફક્ત પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

આવા રૂપાંતરણને એવા ઓપરેશન્સ તરીકે ગણવામાં આવે છે જે તેના અર્થમાં ફેરફાર કર્યા વિના મેટ્રિક્સ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમ પર લાગુ કરી શકાય છે:

• અનેક રેખાઓનું પુન: ગોઠવણ,
• મેટ્રિક્સની એક પંક્તિમાંથી બીજી પંક્તિ ઉમેરીને અથવા બાદબાકી કરવી,
• શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવા સ્થિરાંક વડે સ્ટ્રિંગનો ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરવો,
• સિસ્ટમની ગણતરી અને સરળીકરણની પ્રક્રિયામાં મેળવેલ માત્ર શૂન્ય ધરાવતી રેખા, કાઢી નાખવી આવશ્યક છે,
• તમારે બિનજરૂરી પ્રમાણસર રેખાઓ દૂર કરવાની પણ જરૂર છે, સિસ્ટમ માટે ગુણાંક સાથેની એકમાત્ર એક પસંદ કરવી જે વધુ ગણતરીઓ માટે વધુ યોગ્ય અને અનુકૂળ હોય.

તમામ પ્રાથમિક પરિવર્તનો ઉલટાવી શકાય તેવું છે.

સરળ ગૌસ ટ્રાન્સફોર્મેશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ઉદ્ભવતા ત્રણ મુખ્ય કિસ્સાઓનું વિશ્લેષણ

ત્યાં ત્રણ કિસ્સાઓ છે જે સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે ઉદ્ભવે છે:

1. જ્યારે સિસ્ટમ અસંગત હોય છે, એટલે કે, તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી
2. સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સોલ્યુશન છે, અને એક અનન્ય છે, અને મેટ્રિક્સમાં બિન-શૂન્ય પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા એકબીજાની સમાન છે.
3. સિસ્ટમમાં ચોક્કસ જથ્થો અથવા સમૂહ હોય છે શક્ય ઉકેલો, અને તેમાં પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા કરતાં ઓછી છે.

અસંગત સિસ્ટમ સાથેના ઉકેલનું પરિણામ

આ વિકલ્પ માટે, જ્યારે ઉકેલો મેટ્રિક્સ સમીકરણગૌસ પદ્ધતિ સમાનતાને પરિપૂર્ણ કરવાની અશક્યતા સાથે કેટલીક લાઇન મેળવવા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તેથી, જો ઓછામાં ઓછી એક અયોગ્ય સમાનતા થાય, તો પરિણામી અને મૂળ સિસ્ટમો પાસે ઉકેલો હોતા નથી, પછી ભલે તે અન્ય સમીકરણો ધરાવે છે. અસંગત મેટ્રિક્સનું ઉદાહરણ:

$\begin(એરે)(ccc

છેલ્લી લાઇનમાં અશક્ય સમાનતા છે: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

સમીકરણોની સિસ્ટમ કે જેમાં માત્ર એક જ ઉકેલ છે

આ સિસ્ટમો, સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં ઘટાડી અને શૂન્ય સાથેની પંક્તિઓ દૂર કર્યા પછી, મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં સમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સ ધરાવે છે. અહીં સૌથી સરળ ઉદાહરણઆવી સિસ્ટમ:

$\begin(કેસો) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \અંત(કેસો)$

ચાલો તેને મેટ્રિક્સના રૂપમાં લખીએ:

$\begin(એરે)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(એરે)$

બીજી પંક્તિના પ્રથમ કોષને શૂન્ય પર લાવવા માટે, અમે ટોચની પંક્તિને $-2$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને મેટ્રિક્સની નીચેની પંક્તિમાંથી બાદ કરીએ છીએ, અને ટોચની પંક્તિને તેના મૂળ સ્વરૂપમાં છોડીએ છીએ, પરિણામે અમારી પાસે નીચે મુજબ છે. :

$\begin(એરે)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 અને 3 અને 10 \end(એરે)$

આ ઉદાહરણને સિસ્ટમ તરીકે લખી શકાય છે:

$\begin(કેસો) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \અંત(કેસો)$

નીચલા સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે આગામી મૂલ્ય$x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. આ મૂલ્યને ઉપલા સમીકરણમાં બદલીએ: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, આપણને $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ મળે છે.

ઘણા સંભવિત ઉકેલો સાથેની સિસ્ટમ

આ સિસ્ટમ તેમાં કૉલમની સંખ્યા કરતાં નોંધપાત્ર પંક્તિઓની નાની સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે (મુખ્ય મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે).

આવી સિસ્ટમમાં ચલોને બે પ્રકારમાં વહેંચવામાં આવે છે: મૂળભૂત અને મફત. આવી સિસ્ટમનું રૂપાંતર કરતી વખતે, તેમાં સમાવિષ્ટ મુખ્ય ચલો ડાબી બાજુએ “=” ચિહ્ન સુધી છોડી દેવા જોઈએ, અને બાકીના ચલો અહીં સ્થાનાંતરિત થવા જોઈએ. જમણી બાજુસમાનતા

આવી સિસ્ટમમાં માત્ર ચોક્કસ સામાન્ય ઉકેલ છે.

ચાલો તેને સૉર્ટ કરીએ નીચેની સિસ્ટમસમીકરણો

$\begin(કેસ) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \અંત(કેસ)$

ચાલો તેને મેટ્રિક્સના રૂપમાં લખીએ:

$\begin(એરે)(cccc|c) 2 અને 3 અને 0 અને 1 અને 1 \\ 0 અને 0 અને 5 અને 4 અને 1 \\ \end(એરે)$

અમારું કાર્ય સિસ્ટમ માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું છે. આ મેટ્રિક્સ માટે, આધાર ચલો $y_1$ અને $y_3$ હશે ($y_1$ માટે - કારણ કે તે પ્રથમ આવે છે, અને $y_3$ના કિસ્સામાં - તે શૂન્ય પછી સ્થિત છે).

આધાર ચલો તરીકે, અમે બરાબર તે પસંદ કરીએ છીએ જે પંક્તિમાં પ્રથમ છે અને શૂન્યની બરાબર નથી.

બાકીના ચલોને મુક્ત કહેવામાં આવે છે; આપણે તેમના દ્વારા મૂળભૂતને વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે.

કહેવાતા રિવર્સ સ્ટ્રોકનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેથી ઉપરથી સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ, આ કરવા માટે, અમે સિસ્ટમની નીચેથી $y_3$ વ્યક્ત કરીએ છીએ:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

હવે અમે વ્યક્ત કરેલ $y_3$ ને સિસ્ટમના ઉપલા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

અમે $y_1$ ને મફત ચલોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ $y_2$ અને $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

સોલ્યુશન તૈયાર છે.

ઉદાહરણ 1

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સ્લોઉ ઉકેલો. ઉદાહરણો. ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 3 બાય 3 મેટ્રિક્સ દ્વારા આપવામાં આવેલ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

$\begin(કેસ) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \\ અંત(કેસ)$

ચાલો આપણી સિસ્ટમને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના રૂપમાં લખીએ:

$\begin(એરે)(ccc

હવે, સગવડતા અને વ્યવહારિકતા માટે, તમારે મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને ટોચનો ખૂણોછેલ્લી કૉલમ $1$ હતી.

આ કરવા માટે, 1લી લાઇનમાં તમારે મધ્યમાંથી લાઇન ઉમેરવાની જરૂર છે, $-1$ દ્વારા ગુણાકાર કરીને, અને મધ્ય રેખા પોતે જ લખો, તે તારણ આપે છે:

$\begin(એરે)(ccc

$\begin(એરે)(ccc $

ટોચની અને છેલ્લી રેખાઓને $-1$ વડે ગુણાકાર કરો અને છેલ્લી અને મધ્ય રેખાઓને પણ સ્વેપ કરો:

$\begin(એરે)(ccc

$\begin(એરે)(ccc

અને છેલ્લી લીટીને $3$ વડે વિભાજીત કરો:

$\begin(એરે)(ccc

અમે સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, જે મૂળની સમકક્ષ છે:

$\begin(કેસો) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \અંત(કેસો)$

ઉપલા સમીકરણમાંથી આપણે $x_1$ વ્યક્ત કરીએ છીએ:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

ઉદાહરણ 2

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને 4 બાય 4 મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત સિસ્ટમને ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

$\begin(એરે)(cccc 2 અને 37 \\ \end(એરે)$.

શરૂઆતમાં, અમે ઉપલા ડાબા ખૂણામાં $1$ મેળવવા માટે તેને અનુસરતા ટોચની લાઇનોને સ્વેપ કરીએ છીએ:

$\begin(એરે)(cccc 2 અને 37 \\ \end(એરે)$.

હવે ટોચની લાઇનને $-2$ વડે ગુણાકાર કરો અને 2જી અને 3જીમાં ઉમેરો. 4 થી અમે 1 લી લીટી ઉમેરીએ છીએ, જે $-3$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

$\begin(એરે)(cccc 1 અને 3 અને -1 અને 4 \\ \end(એરે)$

હવે લીટી નંબર 3 માં આપણે લીટી 2 ને $4$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને લીટી 4 માં લાઇન 2 ને $-1$ થી ગુણાકાર કરીએ છીએ.

$\begin(એરે)(cccc & 3 અને 0 અને 6 \\ \end(એરે)$

અમે રેખા 2 ને $-1$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને રેખા 4 ને $3$ વડે ભાગીએ છીએ અને રેખા 3 ને બદલીએ છીએ.

$\begin(એરે)(cccc 1 અને 10 \\ \end(એરે)$

હવે આપણે છેલ્લી લીટીમાં ઉપાંત્ય એક ઉમેરીએ છીએ, જેને $-5$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

$\begin(એરે)(cccc 1 અને 0 \\ \end(એરે)$

અમે પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\અંત(કેસ)$