સામાન્ય “મારા પતિ અને હું 22 વર્ષ સાથે રહ્યા, અને જ્યારે હું 41 વર્ષનો થયો, ત્યારે તે અચાનક મૃત્યુ પામ્યો - તે શેરીમાં દારૂ પીતી વખતે થીજી ગયો. મને બે બાળકો, 20 અને 18 વર્ષના છોકરાઓ સાથે છોડી દેવામાં આવ્યો. સૌથી મોટો સૈન્યમાં હતો, સૌથી નાનો ફેક્ટરીમાં કામ કરતો હતો અને હોસ્ટેલમાં રહેતો હતો - આ ઉપનગરોમાં છે. હું આખો સમય એકલો હતો

તમે ગુલામ નથી!
બંધ શૈક્ષણિક અભ્યાસક્રમભદ્ર ​​વર્ગના બાળકો માટે: "વિશ્વની સાચી વ્યવસ્થા."
http://noslave.org

વિકિપીડિયામાંથી સામગ્રી - મફત જ્ઞાનકોશ

ખાસ કેસો

જટિલ મેટ્રિસિસમાં, તમામ એકાત્મક, હર્મિટિયન અને સ્ક્યુ-હર્મિટિયન મેટ્રિસિસ સામાન્ય છે. વાસ્તવિક મેટ્રિસિસમાં, તમામ ઓર્થોગોનલ, સપ્રમાણ અને ત્રાંસી-સપ્રમાણ મેટ્રિસિસ સામાન્ય છે. જો કે, તે સાચું નથી કે તમામ સામાન્ય મેટ્રિસીસ કાં તો એકાત્મક, હર્મિટિયન અથવા સ્ક્યુ-હર્મિટિયન છે. ઉદાહરણ તરીકે,

ન તો એકાત્મક છે, ન હર્મિટિયન, ન તો ત્રાંસી-હર્મિટિયન, જો કે તે સામાન્ય છે, કારણ કે

પરિણામો

A ને સામાન્ય ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ગણો. ત્યારથી (એ ∗ એ) ii = (A.A. ∗) ii , પ્રથમ પંક્તિમાં પ્રથમ કૉલમ જેવો જ ધોરણ હોવો જોઈએ:

પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમના પ્રથમ ઘટકો સમાન છે, અને પ્રથમ કૉલમના બાકીના ભાગમાં શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે શબ્દમાળામાં 2 થી n સુધીના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ. 2 થી n ક્રમાંકિત પંક્તિ/સ્તંભ જોડી માટે આ દલીલો ચાલુ રાખીને, આપણે શોધીએ છીએ કે A કર્ણ છે.

સામાન્યતાની વિભાવના મહત્વની છે કારણ કે સામાન્ય મેટ્રિસિસ બરાબર તે જ છે જે વર્ણપટ પ્રમેયની ચિંતા કરે છે:

મેટ્રિક્સ Λ ના વિકર્ણ તત્વો એઇજેનવેલ્યુ છે, અને U ના સ્તંભો એ મેટ્રિક્સ A ના ઇજેનવેક્ટર છે. ( eigenvaluesΛ માં તેમના અનુરૂપ યોગ્ય કૉલમ્સ U માં સમાન ક્રમમાં છે).

સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેય જણાવવાની બીજી રીત એ છે કે સામાન્ય મેટ્રિસિસ એ બરાબર તે મેટ્રિસિસ છે જેને અવકાશના યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ આધારને પસંદ કરીને વિકર્ણ મેટ્રિક્સ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. સી n. એવી દલીલ પણ કરી શકાય છે કે મેટ્રિક્સ સામાન્ય છે જો અને માત્ર જો તેની eigenspace સાથે સુસંગત હોય સી nઅને eigenvectorsધોરણ મુજબ ઓર્થોગોનલ સ્કેલર ઉત્પાદનવી સી n .

સામાન્ય મેટ્રિસિસ માટે સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેય એ વધુ સામાન્ય શુર વિઘટનનો એક વિશેષ કેસ છે, જે તમામ ચોરસ મેટ્રિસિસ માટે ધરાવે છે. A ને ચોરસ મેટ્રિક્સ થવા દો. પછી, શુર વિઘટન અનુસાર, તે એકરૂપ રીતે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેવું જ છે, કહો કે બી. જો A સામાન્ય છે, તો B પણ સામાન્ય છે. પરંતુ પછી B એ ઉપર જણાવેલ કારણ માટે વિકર્ણ હોવું આવશ્યક છે.

સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેય અમને સ્પેક્ટ્રમના સંદર્ભમાં સામાન્ય મેટ્રિસિસને વર્ગીકૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

IN સામાન્ય કેસબે સામાન્ય મેટ્રિક્સનો સરવાળો અથવા ઉત્પાદન સામાન્ય મેટ્રિક્સ હોવું જરૂરી નથી. જો કે, નીચેના લાગુ પડે છે:

આ ખાસ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ કૉલમ યુ  ∗ એ A અને B બંનેના ઇજેનવેક્ટર છે, અને માં ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે સી n. નિવેદન બીજગણિતીય રીતે બંધ ક્ષેત્ર પરના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે આવનજાવન મેટ્રિસિસ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં સંયુક્ત રીતે ઘટાડી શકાય તેવુંઅને તે કે એક સામાન્ય મેટ્રિક્સ કર્ણમાં ઘટાડી શકાય તેવું છે, માં બાદમાં કેસઉમેરા સાથે કે આ એક જ સમયે કરી શકાય છે.

સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ

તમે તદ્દન આપી શકો છો લાંબી યાદીસામાન્ય મેટ્રિક્સની સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ. ચાલો A ​​- n × nજટિલ મેટ્રિક્સ. નીચેના નિવેદનો સમકક્ષ છે:

1. A સામાન્ય છે.
2. એ છે કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડોએકાત્મક મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને.
3. અવકાશના તમામ બિંદુઓ મેટ્રિક્સ A ના ઓર્થોનોર્મલ ઇજનવેક્ટરના કેટલાક સમૂહના રેખીય સંયોજનો તરીકે મેળવી શકાય છે.
4. ||કુહાડી|| = ||એ ∗ x|| કોઈપણ x માટે.
5. મેટ્રિક્સ A ના ફ્રોબેનિયસ ધોરણની ગણતરી મેટ્રિક્સ A ના ઇજેન મૂલ્યો પરથી કરી શકાય છે: અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): \operatorname(tr) (A^* A) = \sum\nolimits_j |\lambda_j|^2.
6. હર્મિટિયન ભાગ અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): (A + A^\ast)/2અને ત્રાંસી-હર્મીટિયન ભાગો અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): (A - A^(\ast))/2મેટ્રિસેસ એ કમ્યુટ.
7. એ∗ એ બહુપદી છે (ડિગ્રી ≤ n− 1 ) A માંથી .
8. એ ∗ = એયુકેટલાક એકાત્મક મેટ્રિક્સ માટે યુ.
9. U અને P સફર, જ્યાં U અને P ધ્રુવીય વિઘટનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે એ = યુ.પી.પર એકાત્મક મેટ્રિક્સ U અને કેટલાક હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ P.
10. A કેટલાક સામાન્ય મેટ્રિક્સ N સાથે વિવિધ ઇજેનવેલ્યુ ધરાવતા પ્રવાસ કરે છે.
11. σi = |λ i| બધા 1 ≤ માટે ≤ n i , જ્યાં A પાસે છે σ 1 ≥ ... ≥ એકવચન ઇજન મૂલ્યો σn |λ 1 | ≥ ... ≥ |અને eigenvectors|.
12. λn સામાન્ય મેટ્રિક્સ A નો ઓપરેટર નોર્મ બરાબર છેસંખ્યાત્મક અનેવર્ણપટ ત્રિજ્યા

મળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sup_( \|x\|=1 ) \|Ax\| = \sup_( \|x\|=1 ) |\langle Ax, x \rangle| = \max \( |\lambda | : \lambda \in \sigma(A) \) ઉપર સૂચિબદ્ધ વ્યાખ્યાઓમાંથી કેટલીક, પરંતુ બધી નહીં, અનંત-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યાઓમાં સામાન્ય ઓપરેટરો માટે સામાન્ય કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બાઉન્ડેડ ઓપરેટર સંતોષકારક (9) માત્ર છે.

અર્ધ-સામાન્ય

સામ્યતા કનેક્શનને ધ્યાનમાં લેવું ક્યારેક ઉપયોગી (અને ક્યારેક ભ્રામક) છેવિવિધ પ્રકારો વિવિધ પ્રકારના સામ્યતા તરીકે સામાન્ય મેટ્રિસિસ:

• જટિલ સંખ્યાઓ
• ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિસિસ એ બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓનો એનાલોગ છે
• કન્જુગેટ-ટ્રાન્સપોઝ મેટ્રિક્સ એ સંયોજક સંખ્યાનું એનાલોગ છે
• એકાત્મક મેટ્રિસિસ એ ચોક્કસ મૂલ્ય 1 સાથે જટિલ સંખ્યાઓનો એનાલોગ છે
• હર્મિટિયન મેટ્રિસિસ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના એનાલોગ છે
• હર્મિટિયન ધન ચોક્કસ મેટ્રિસિસ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના એનાલોગ છે

સ્ક્યુ-હર્મીટિયન મેટ્રિસીસ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યાઓના એનાલોગ છે

મળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): a+bi \mapsto \begin(pmatrix)a&b\\-b&a\end(pmatrix),

અને આ એમ્બેડિંગ સાથે, સરવાળો અને ગુણાકાર સાચવવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત તમામ સામ્યતાઓ સાચવવામાં આવશે તે તપાસવું સરળ છે.

લેખ "સામાન્ય મેટ્રિક્સ" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

• લિંક્સ હોર્ન, રોજર એ. એન્ડ જોહ્ન્સન, ચાર્લ્સ આર. (1985),મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ

, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ISBN 978-0-521-38632-6.

જ્યાં સુધી મને યાદ છે, હું હંમેશાં લોકોની જીવનની તરસ અને અત્યંત નિરાશાજનક અથવા ઉદાસીમાં પણ આનંદ મેળવવાની ક્ષમતા તરફ આકર્ષિત રહ્યો છું. જીવન પરિસ્થિતિઓ. તે કહેવું સરળ છે - હું હંમેશા પ્રેમ કરું છું " ભાવનામાં મજબૂત» લોકો. તે સમયે મારા માટે “સર્વાઈવલ”નું એક વાસ્તવિક ઉદાહરણ અમારો યુવાન પાડોશી, લિયોકાડિયા હતો. મારી પ્રભાવશાળી બાલિશ આત્મા તેણીની હિંમત અને તેણીની જીવવાની ખરેખર અદમ્ય ઇચ્છાથી આશ્ચર્યચકિત થઈ ગઈ. લિયોકાડિયા મારી તેજસ્વી મૂર્તિ હતી અને સર્વોચ્ચ ઉદાહરણઆ બીમારી તેના વ્યક્તિત્વ અથવા તેના જીવનને નષ્ટ કરવાની મંજૂરી આપ્યા વિના, વ્યક્તિ કોઈપણ શારીરિક બિમારીથી ઉપર કેટલો ઊંચો થઈ શકે છે...
કેટલાક રોગો સાજા થઈ શકે છે અને આખરે આવું થાય તેની રાહ જોવા માટે તમારે ધીરજની જરૂર છે. તેણીની માંદગી તેણીના બાકીના જીવન માટે તેની સાથે હતી અને ક્યારેય બનવાની કોઈ આશા નહોતી સામાન્ય વ્યક્તિઆ હિંમતવાન યુવતી, કમનસીબે, ન કરી.
ભાગ્ય, મજાક ઉડાવનાર, તેની સાથે ખૂબ જ ક્રૂર વર્તન કરે છે. જ્યારે લિયોકાડિયા હજુ પણ ખૂબ જ નાની પરંતુ એકદમ સામાન્ય છોકરી હતી, ત્યારે તે "નસીબદાર" હતી કે તેણે પથ્થરના કેટલાક પગથિયાં નીચે પડી અને તેની કરોડરજ્જુ અને સ્ટર્નમને ગંભીર રીતે નુકસાન પહોંચાડ્યું. શરૂઆતમાં, ડોકટરોને પણ ખાતરી ન હતી કે તે ક્યારેય ચાલવા માટે સક્ષમ હશે કે નહીં. પરંતુ, થોડા સમય પછી, આ મજબૂત, ખુશખુશાલ છોકરી હજી પણ, તેના નિશ્ચય અને ખંતને કારણે, હોસ્પિટલના પલંગ પરથી ઉભી થવામાં અને ધીમે ધીમે પરંતુ ચોક્કસપણે ફરીથી તેણીના "પ્રથમ પગલાં" લેવાનું શરૂ કરી શકી.
એવું લાગે છે કે બધું સારી રીતે સમાપ્ત થયું. પરંતુ, થોડા સમય પછી, દરેકની ભયાનકતા માટે, તેણીની આગળ અને પાછળ એક વિશાળ, એકદમ ભયંકર ખૂંધ ઉગાડવાનું શરૂ થયું, જેણે પાછળથી તેના શરીરને શાબ્દિક રીતે ઓળખી ન શકાય તેવું વિકૃત કરી નાખ્યું... અને સૌથી વધુ અપમાનજનક બાબત એ હતી કે તે કુદરત, જાણે મજાક કરતી હોય, પુરસ્કાર આપે. આ એક અદ્ભુત સુંદર, તેજસ્વી અને શુદ્ધ ચહેરાવાળી એક વાદળી આંખોવાળી છોકરી, ત્યાંથી, તે બતાવવા માંગતી હોય કે તે કેવી અદ્ભુત સુંદરતા બની શકી હોત જો તેના માટે આટલું ક્રૂર ભાગ્ય તૈયાર ન થયું હોત ...
હું શું કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ પણ કરતો નથી હૃદયનો દુખાવોઅને એકલતાએ આમાંથી પસાર થવું પડ્યું અદ્ભુત સ્ત્રી, એક નાની છોકરી તરીકે, કોઈક રીતે તેના ભયંકર કમનસીબીની આદત પાડવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો છે. અને તે કેવી રીતે ટકી શકે અને તૂટી ન શકે જ્યારે, ઘણા વર્ષો પછી, પહેલેથી જ બની ગઈ એક પુખ્ત છોકરી, પોતાની જાતને અરીસામાં જોવી અને સમજવું પડ્યું કે તે ક્યારેય સરળ સ્ત્રી સુખનો અનુભવ કરી શકશે નહીં, ભલે ગમે તેટલું સારું અને દયાળુ વ્યક્તિતેણી ન હતી... તેણીએ તેના કમનસીબીને શુદ્ધ અને ખુલ્લા આત્મા સાથે સ્વીકારી અને દેખીતી રીતે, આ તે છે જેણે તેણીને ગુસ્સે થયા વિના, પોતાની જાતમાં ખૂબ જ મજબૂત વિશ્વાસ જાળવી રાખવામાં મદદ કરી. આપણી આસપાસની દુનિયાઅને મારા દુષ્ટ, ટ્વિસ્ટેડ ભાગ્ય પર રડતા નથી.
આજ સુધી, મને હજી પણ તેણીનું સતત ગરમ સ્મિત અને આનંદી યાદ છે ચમકતી આંખો, જે તેના મૂડ અથવા શારીરિક સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના દર વખતે અમને મળે છે (અને ઘણી વાર મને લાગ્યું કે તે તેના માટે કેટલું મુશ્કેલ હતું)... હું ખરેખર આ મજબૂત, તેજસ્વી સ્ત્રીને તેના અખૂટ આશાવાદ અને તેના ઊંડા આધ્યાત્મિક સારા માટે પ્રેમ અને સન્માન આપું છું. . અને એવું લાગતું હતું કે તેણી પાસે સમાન ભલાઈ પર વિશ્વાસ કરવાનું સહેજ પણ કારણ નથી, કારણ કે ઘણી રીતે તેણી ક્યારેય અનુભવી શકી ન હતી કે તે ખરેખર જીવવા જેવું છે. અથવા કદાચ તેણીએ તેને આપણે અનુભવી શકીએ તેના કરતા વધુ ઊંડું લાગ્યું? ..
આવા અપંગ જીવન અને સામાન્ય લોકોના જીવન વચ્ચેના તફાવતને સમજવા માટે હું તે સમયે ખૂબ નાની છોકરી હતી. સ્વસ્થ લોકો, પરંતુ મને સારી રીતે યાદ છે કે ઘણા વર્ષો પછી પણ, મારા અદ્ભુત પાડોશીની યાદોએ મને સહન કરવામાં ઘણી વાર મદદ કરી ભાવનાત્મક ફરિયાદોઅને એકલતા અને જ્યારે તે ખરેખર, ખરેખર મુશ્કેલ હતું ત્યારે તૂટી પડવું નહીં.
હું એવા લોકોને ક્યારેય સમજી શક્યો નથી કે જેઓ હંમેશા કોઈ વસ્તુથી અસંતુષ્ટ હોય છે અને સતત તેમના, હંમેશા "કડવું અને અન્યાયી" ભાગ્ય વિશે ફરિયાદ કરે છે... અને હું ક્યારેય તે કારણને સમજી શક્યો નથી કે જેણે તેમને એવું માનવાનો અધિકાર આપ્યો કે સુખ તેમના માટે અગાઉથી નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. તેમનો જન્મ અને તેમની પાસે શું છે, સારું, ફક્ત " કાનૂની અધિકાર"આ અવ્યવસ્થિત (અને સંપૂર્ણપણે અયોગ્ય!) સુખ માટે...

સામાન્ય મેટ્રિક્સને સંસ્થાકીય સાધન તરીકે વિચારી શકાય છે, એક ફાઇલ કેબિનેટ જેમાં બધું હોય છે શક્ય પ્રવેશોઅવકાશમાં n-ટ્યુપલ્સ, જેમાં કંઈ ખૂટતું નથી અથવા ડુપ્લિકેટ નથી. પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે આ સાધનનો ઉપયોગ કરવાના ફાયદા મર્યાદિત છે. નાનુંબ્લોક કોડ્સ, કારણ કે કોડ્સ કરતાં લાંબા સમય સુધી n=20 જગ્યા n- ટ્યુપલ્સમાં લાખો તત્વો હોય છે. જો કે, મોટા કોડ્સ માટે પણ, સામાન્ય મેટ્રિક્સ વ્યક્તિને મહત્વની પ્રારંભિક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, જેમ કે ભૂલ શોધ અને ભૂલ સુધારણા અને કોડની ભૂલ સુધારણા ક્ષમતાઓની મર્યાદાઓ વચ્ચે સંભવિત ટ્રેડ-ઓફ. આ પ્રતિબંધોમાંથી એક, કહેવાય છે હેમિંગ મર્યાદા, નીચે પ્રમાણે વર્ણવેલ છે.

પેરિટી બિટ્સની સંખ્યા: (6.52,a)

કોસેટ્સની સંખ્યા: (6.52,6)

અહીં કિંમત સમીકરણ (6.16) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, પસંદ કરવા માટેની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે nબીટ j ભૂલભરેલું નોંધ કરો કે સમીકરણની શરતોનો સરવાળો (6.52) માં સ્થિત છે ચોરસ કૌંસ, આપે છે ન્યૂનતમ જથ્થોપંક્તિઓ, જે ભૂલોના તમામ સંયોજનોને સુધારવા માટે સામાન્ય મેટ્રિક્સમાં હાજર હોવા જોઈએ, સુધી t-બીટ ભૂલો. અસમાનતા સંખ્યાની નીચલી સીમા નક્કી કરે છેp- કોડ સુધારણા ક્ષમતાઓના કાર્ય તરીકે પેરિટી બીટ (અથવા કોસેટ્સ). t-બીટ ભૂલો. એ જ રીતે, આપણે કહી શકીએ કે અસમાનતા આપે છેઉપલી મર્યાદા tકોડ સુધારણા ક્ષમતાઓ n- p- - સંખ્યાના કાર્ય તરીકે બીટ ભૂલો tપેરિટી (અથવા કોસેટ) બીટ. કરેક્શન સક્ષમ કરવા માટેp-) - મનસ્વી રેખીય બ્લોક કોડની બીટ ભૂલો

(p, nહેમિંગ મર્યાદાને સંતોષવા માટે જરૂરી શરત છે. nસામાન્ય મેટ્રિક્સ કેવી રીતે આ મર્યાદાનું વિઝ્યુઅલ પ્રતિનિધિત્વ પ્રદાન કરી શકે છે તે બતાવવા માટે, ચાલો ઉદાહરણ તરીકે BHC કોડ (127,106) લઈએ. મેટ્રિક્સમાં બધું જ છે = 2127 = 1.70 x 10 38- જગ્યાના ટુકડા. મેટ્રિક્સની ટોચની પંક્તિમાં = 2106 = 8.11 x 10 31 કોડવર્ડ્સ છે; તેથી તે મેટ્રિક્સમાં કૉલમની સંખ્યા છે. ડાબી બાજુની સ્તંભમાં કોસેટ વર્ગોના 2,097,152 રચનાત્મક ઘટકો છે; તેથી તે મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની સંખ્યા છે.ભલે નંબર tટ્યુપલ્સ અને કોડ શબ્દો ફક્ત વિશાળ છે, અમને રસ નથી

ચોક્કસ પ્રકાર

મેટ્રિક્સનું દરેક તત્વ. મુખ્ય રસ એ કોસેટ્સની સંખ્યા છે. ત્યાં 2,097,152 કોસેટ્સ છે અને તેથી 2,097,151 ભૂલભરેલા સંયોજનો છે જેને આ કોડ સુધારી શકે છે. નીચે દર્શાવે છે કે કોસેટ્સની આ સંખ્યા કેવી રીતે નક્કી કરે છે ઉપલી મર્યાદાસંયોજન માટે પ્રથમ કોસેટની હાજરી જરૂરી છે. એક-, બે- અને ત્રણ-બીટ ભૂલોની જરૂરિયાતો પછી સૂચિબદ્ધ છે. તે દરેક પ્રકારની ભૂલને સુધારવા માટે જરૂરી કોસેટ્સની સંખ્યા અને જરૂરી ભૂલ પ્રકાર સુધી તમામ પ્રકારની ભૂલોને સુધારવા માટે જરૂરી કોસેટ્સની કુલ સંખ્યા પણ દર્શાવે છે. આ કોષ્ટકમાંથી તમે જોઈ શકો છો કે કોડ (127,106) 1, 2 અથવા 3 ભૂલભરેલા બિટ્સ ધરાવતા તમામ સંયોજનોને સુધારવામાં સક્ષમ છે, અને આ 2,097,152 સંભવિત કોસેટ્સમાંથી માત્ર 341504 માટે જવાબદાર છે. ન વપરાયેલ 1,755,648 રેખાઓ વપરાયેલ કરતાં ભૂલ સુધારણાની વધુ સંભાવના દર્શાવે છે. ખરેખર, તમે મેટ્રિક્સમાં તમામ સંભવિત 4-બીટ ભૂલોને સ્ક્વિઝ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. પરંતુ જ્યારે ટેબલ પર જોવું. 6.3 તે તદ્દન સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે આ અશક્ય છે, કારણ કે બતાવ્યા પ્રમાણે છેલ્લી લીટીકોષ્ટકો, મેટ્રિક્સમાં બાકી રહેલા કોસેટ્સની સંખ્યા 4-બીટ ભૂલોને સુધારવા માટે જરૂરી કોસેટ્સની કુલ સંખ્યા કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી છે. પરિણામે, વર્ણવેલ કોડ (127,106) ની હેમિંગ મર્યાદા 3-બીટ સુધીની બધી ભૂલોને સુધારવાની ખાતરી આપે છે.

કોષ્ટક 6.3. કોડ માટે કરેક્શન શક્યતાઓની મર્યાદા (127, 106)

બીટ ભૂલોની સંખ્યા જરૂરી સંખ્યા કુલ સંખ્યાજરૂરી

coset વર્ગો coset વર્ગો

તેથી, કોઈપણ મેટ્રિક્સ A સમીકરણને સંતોષે છે એ ∗ એ = A.A. ∗ , કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. (બે મેટ્રિક્સ A અને B એકાત્મક રીતે સમાન હોવાનું કહેવાય છે જો ત્યાં એકાત્મક મેટ્રિક્સ S હોય જેના માટે એ = એસ -1 બી.એસ. .)

સામાન્ય મેટ્રિક્સની વિભાવનાને અનંત-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યાઓ અને સામાન્ય તત્વોમાં સામાન્ય ઓપરેટરો સુધી વિસ્તૃત કરી શકાય છે. C*-બીજગણિત.

ખાસ કેસો

જટિલ મેટ્રિસિસમાં, તમામ એકાત્મક, હર્મિટિયન અને સ્ક્યુ-હર્મિટિયન મેટ્રિસિસ સામાન્ય છે. વાસ્તવિક મેટ્રિસિસમાં, તમામ ઓર્થોગોનલ, સપ્રમાણ અને ત્રાંસી-સપ્રમાણ મેટ્રિસિસ સામાન્ય છે. જો કે, તે સાચું નથી કે તમામ સામાન્ય મેટ્રિસીસ કાં તો એકાત્મક, હર્મિટિયન અથવા સ્ક્યુ-હર્મિટિયન છે. ઉદાહરણ તરીકે,

ન તો એકાત્મક છે, ન હર્મિટિયન, ન તો ત્રાંસી-હર્મિટિયન, જો કે તે સામાન્ય છે, કારણ કે

પરિણામો

A ને સામાન્ય ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ ગણો. ત્યારથી (એ ∗ એ) ii = (A.A. ∗) ii , પ્રથમ પંક્તિમાં પ્રથમ કૉલમ જેવો જ ધોરણ હોવો જોઈએ:

$\backslash left\; \backslash |A\; e\_1\; \backslash right\backslash |^2\; =\; \backslash left\; \backslash |A^*\; e\_1\; \backslash right\; \backslash |^2.$

પ્રથમ પંક્તિ અને પ્રથમ કૉલમના પ્રથમ ઘટકો સમાન છે, અને પ્રથમ કૉલમના બાકીના ભાગમાં શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે શબ્દમાળામાં 2 થી n સુધીના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ. 2 થી n ક્રમાંકિત પંક્તિ/સ્તંભ જોડી માટે આ દલીલો ચાલુ રાખીને, આપણે શોધીએ છીએ કે A કર્ણ છે.

સામાન્યતાની વિભાવના મહત્વની છે કારણ કે સામાન્ય મેટ્રિસિસ બરાબર તે જ છે જે વર્ણપટ પ્રમેયની ચિંતા કરે છે:

મેટ્રિક્સ Λ ના વિકર્ણ તત્વો એઇજેનવેલ્યુ છે, અને U ના સ્તંભો એ મેટ્રિક્સ A ના ઇજેનવેક્ટર છે. (Λ માં eigenvalues ​​U માં તેમના અનુરૂપ eigencolums જેવા જ ક્રમમાં છે).

સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેય જણાવવાની બીજી રીત એ છે કે સામાન્ય મેટ્રિસિસ એ બરાબર તે મેટ્રિસિસ છે જેને અવકાશના યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ આધારને પસંદ કરીને વિકર્ણ મેટ્રિક્સ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. સી n. એવી દલીલ પણ કરી શકાય છે કે મેટ્રિક્સ સામાન્ય છે જો અને માત્ર જો તેની eigenspace સાથે સુસંગત હોય સી nઅને eigenvectors પ્રમાણભૂત સ્કેલર ઉત્પાદન માટે ઓર્થોગોનલ છે સી n .

સામાન્ય મેટ્રિસિસ માટે સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેય એ વધુ સામાન્ય શુર વિઘટનનો એક વિશેષ કેસ છે, જે તમામ ચોરસ મેટ્રિસિસ માટે ધરાવે છે. A ને ચોરસ મેટ્રિક્સ થવા દો. પછી, શુર વિઘટન અનુસાર, તે એકરૂપ રીતે ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ જેવું જ છે, કહો કે બી. જો A સામાન્ય છે, તો B પણ સામાન્ય છે. પરંતુ પછી B એ ઉપર જણાવેલ કારણ માટે વિકર્ણ હોવું આવશ્યક છે.

સ્પેક્ટ્રલ પ્રમેય અમને સ્પેક્ટ્રમના સંદર્ભમાં સામાન્ય મેટ્રિસિસને વર્ગીકૃત કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

સામાન્ય રીતે, બે સામાન્ય મેટ્રિક્સનો સરવાળો અથવા ઉત્પાદન સામાન્ય મેટ્રિક્સ હોવું જરૂરી નથી. જો કે, નીચેના લાગુ પડે છે:

આ ખાસ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ કૉલમ યુ  ∗ એ A અને B બંનેના ઇજેનવેક્ટર છે, અને માં ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે સી n. નિવેદન બીજગણિતીય રીતે બંધ ક્ષેત્ર પરના પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે આવનજાવન મેટ્રિસિસ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં સંયુક્ત રીતે ઘટાડી શકાય તેવુંઅને તે સામાન્ય મેટ્રિક્સ એક કર્ણમાં ઘટાડી શકાય તેવું છે, પછીના કિસ્સામાં આ એક સાથે કરી શકાય છે.

સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ

સામાન્ય મેટ્રિક્સની સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓની એક લાંબી સૂચિ આપી શકે છે. ચાલો A ​​- n × nજટિલ મેટ્રિક્સ. નીચેના નિવેદનો સમકક્ષ છે:

1. A સામાન્ય છે.
2. એ છે કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડોએકાત્મક મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને.
3. અવકાશના તમામ બિંદુઓ મેટ્રિક્સ A ના ઓર્થોનોર્મલ ઇજનવેક્ટરના કેટલાક સમૂહના રેખીય સંયોજનો તરીકે મેળવી શકાય છે.
4. ||કુહાડી|| = ||એ ∗ x|| કોઈપણ x માટે.
5. મેટ્રિક્સ A ના ફ્રોબેનિયસ ધોરણની ગણતરી મેટ્રિક્સ A ના ઇજેન મૂલ્યો પરથી કરી શકાય છે: $\backslash operatorname(tr)\; (A^*A)\; =\; \backslash sum\backslash nolimits\_j\; |\backslash lambda\_j|^2.$
6. હર્મિટિયન ભાગ $(A\; +\; A^\backslash ast)/2$અને ત્રાંસી-હર્મીટિયન ભાગો $(A\; -\; A^(\backslash ast))/2$મેટ્રિસેસ એ કમ્યુટ.
7. એ∗ એ બહુપદી છે (ડિગ્રી ≤ n− 1 ) A માંથી .
8. એ ∗ = એયુકેટલાક એકાત્મક મેટ્રિક્સ માટે યુ.
9. U અને P સફર, જ્યાં U અને P ધ્રુવીય વિઘટનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે એ = યુ.પી.એકાત્મક મેટ્રિક્સ U અને કેટલાક હકારાત્મક ચોક્કસ મેટ્રિક્સ P માં.
10. A કેટલાક સામાન્ય મેટ્રિક્સ N સાથે વિવિધ ઇજેનવેલ્યુ ધરાવતા પ્રવાસ કરે છે.
11. σi = |λ i| બધા 1 ≤ માટે ≤ n i , જ્યાં A પાસે છે σ 1 ≥ ... ≥ એકવચન ઇજન મૂલ્યો σn |λ 1 | ≥ ... ≥ |અને eigenvectors|.
12. λn સામાન્ય મેટ્રિક્સ A નો ઓપરેટર નોર્મ બરાબર છેસંખ્યાત્મક અનેવર્ણપટ ત્રિજ્યા

મળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): \sup_( \|x\|=1 ) \|Ax\| = \sup_( \|x\|=1 ) |\langle Ax, x \rangle| = \max \( |\lambda | : \lambda \in \sigma(A) \) ઉપર સૂચિબદ્ધ વ્યાખ્યાઓમાંથી કેટલીક, પરંતુ બધી નહીં, અનંત-પરિમાણીય હિલ્બર્ટ જગ્યાઓમાં સામાન્ય ઓપરેટરો માટે સામાન્ય કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બાઉન્ડેડ ઓપરેટર સંતોષકારક (9) માત્ર છે.

અર્ધ-સામાન્ય

વિવિધ પ્રકારના સામાન્ય મેટ્રિસીસ વચ્ચેના સંબંધોને વિવિધ પ્રકારની જટિલ સંખ્યાઓના સમાન ગણવા તે કેટલીકવાર ઉપયોગી (અને ક્યારેક ભ્રામક) છે:

• જટિલ સંખ્યાઓ
• ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિસિસ એ બિન-શૂન્ય જટિલ સંખ્યાઓનો એનાલોગ છે
• કન્જુગેટ-ટ્રાન્સપોઝ મેટ્રિક્સ એ સંયોજક સંખ્યાનું એનાલોગ છે
• એકાત્મક મેટ્રિસિસ એ ચોક્કસ મૂલ્ય 1 સાથે જટિલ સંખ્યાઓનો એનાલોગ છે
• હર્મિટિયન મેટ્રિસિસ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના એનાલોગ છે
• હર્મિટિયન ધન ચોક્કસ મેટ્રિસિસ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના એનાલોગ છે

સ્ક્યુ-હર્મીટિયન મેટ્રિસીસ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યાઓના એનાલોગ છે

મળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ કરો.): a+bi \mapsto \begin(pmatrix)a&b\\-b&a\end(pmatrix),

અને આ એમ્બેડિંગ સાથે, સરવાળો અને ગુણાકાર સાચવવામાં આવે છે. ઉપરોક્ત તમામ સામ્યતાઓ સાચવવામાં આવશે તે તપાસવું સરળ છે.

લેખ "સામાન્ય મેટ્રિક્સ" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

• લિંક્સ હોર્ન, રોજર એ. એન્ડ જોહ્ન્સન, ચાર્લ્સ આર. (1985),મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ

, કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટી પ્રેસ, ISBN 978-0-521-38632-6.

નોર્મલિયોજી મેટ્રિકા સ્ટેટસ ટી સ્રિટિસ ફિઝિકા એટિકમેનિસ: ઇંગ્લેન્ડ. સામાન્ય મેટ્રિક્સ વોક. સામાન્ય મેટ્રિક્સ, f; નોર્મલમેટ્રિક્સ, એફ રસ. સામાન્ય મેટ્રિક્સ, f pranc. matrice normale, f … Fizikos terminų žodynas

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જે તેના જોડાણ (એટલે ​​​​કે) સાથે ફરે છે ... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

મેટ્રિસિસનું સામાન્ય (જોર્ડન) સ્વરૂપ. દરેક સાથે ચોરસ મેટ્રિક્સજોડાયેલ આખો વર્ગમેટ્રિક્સ A સમાન મેટ્રિક્સ. આ વર્ગમાં હંમેશા એક મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં છે જેનું વિશિષ્ટ સામાન્ય (અથવા પ્રમાણભૂત) જોર્ડન સ્વરૂપ છે [શબ્દ “N. (f.) f. મી."... ...

ગણિતમાં મેટ્રિક્સ, તત્વોની સિસ્ટમ aij (સંખ્યાઓ, કાર્યો અથવા અન્ય જથ્થાઓ કે જેના પર બીજગણિતીય કામગીરી કરી શકાય છે), ફોર્મમાં ગોઠવાય છે. લંબચોરસ રેખાકૃતિ. જો સર્કિટમાં m પંક્તિઓ અને n કૉલમ હોય, તો આપણે એક (m n) મેટ્રિક્સની વાત કરીએ છીએ. … … ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

એક લંબચોરસ કોષ્ટક જેમાં m પંક્તિઓ અને n કૉલમ હોય છે; તેણીનો ખાંચો. M. કદના તત્વો (પ્રથમ અનુક્રમણિકા પંક્તિ નંબર, બીજો કૉલમ નંબર સૂચવે છે) M. સંખ્યાઓ, કાર્યો અથવા અન્ય માત્રાઓ હોઈ શકે છે, જેના પર બીજગણિત ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. કામગીરી એમ.…… ભૌતિક જ્ઞાનકોશ

1) એન. એફ. મેટ્રિસીસ એ મેટ્રિક્સ પૂર્વનિર્ધારિત ખાસ પ્રકાર, ચોક્કસ પ્રકારના રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને Ac માંથી મેળવવામાં આવે છે. વિચારણા હેઠળના પરિવર્તનના પ્રકારને આધારે, K પ્રદેશ પર, જેના ગુણાંક A છે, A ના પ્રકાર પર અને ... ગાણિતિક જ્ઞાનકોશ

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ સામાન્ય સ્વરૂપ(અર્થો). ગણિતમાં સામાન્ય સ્વરૂપ પણ સૌથી સરળ છે પ્રામાણિક દૃશ્ય, જેમાં ઑબ્જેક્ટ ઘટાડવામાં આવે છે સમકક્ષ પરિવર્તનો. વિષયવસ્તુ 1 જોર્ડનોવા ... ... વિકિપીડિયા

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, મેટ્રિક્સ જુઓ. મેટ્રિક્સ એ ગાણિતિક પદાર્થ તરીકે લખાયેલ છે લંબચોરસ ટેબલરિંગ અથવા ક્ષેત્રના તત્વો (ઉદાહરણ તરીકે, પૂર્ણાંકો, વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ), જે રજૂ કરે છે ... ... વિકિપીડિયા

મેટ્રિક્સ એ એક ગાણિતિક ઑબ્જેક્ટ છે જે સંખ્યાઓના લંબચોરસ કોષ્ટક (અથવા રિંગના ઘટકો) ના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે અને તેની અને અન્ય સમાન વસ્તુઓ વચ્ચે બીજગણિત ક્રિયાઓ (ઉમેર, બાદબાકી, ગુણાકાર, વગેરે) ને મંજૂરી આપે છે. અમલ માટેના નિયમો... ... વિકિપીડિયા

આઇ મેટ્રિક્સ (જર્મન મેટ્રિઝ, લેટિન મેટ્રિક્સ ગર્ભાશયમાંથી, સ્ત્રોત, શરૂઆત), પ્રિન્ટિંગમાં, 1) કાસ્ટિંગ મોલ્ડનું બદલી શકાય તેવું તત્વ, જેમાં ટાઇપોગ્રાફિક કાસ્ટ કરતી વખતે વપરાયેલ અક્ષર અથવા ચિહ્નની ઊંડાઈ (ક્યારેક ફોટોગ્રાફિક) છબી સાથે. . ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ