લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન અને શોધ મૂલ્યો. લઘુગણક, ઉદાહરણો, ઉકેલોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર

લોગરીધમ્સ સાથે અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે, સૂચિબદ્ધ સમાનતાઓનો ઉપયોગ જમણેથી ડાબે અને ડાબેથી જમણે બંને થાય છે.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે ગુણધર્મોના પરિણામોને યાદ રાખવું જરૂરી નથી: જ્યારે પરિવર્તન હાથ ધરે છે, ત્યારે તમે લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને અન્ય તથ્યો (ઉદાહરણ તરીકે, b≥0 માટે હકીકત) મેળવી શકો છો, જેમાંથી અનુરૂપ પરિણામો અનુસરે છે. " આડ અસર"આ અભિગમ ફક્ત એ હકીકતમાં જ પ્રગટ થાય છે કે ઉકેલ થોડો લાંબો હશે. ઉદાહરણ તરીકે, પરિણામ વિના કરવા માટે, જે સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે , અને લોગરીધમ્સના મૂળભૂત ગુણધર્મોથી શરૂ કરીને, તમારે નીચેના સ્વરૂપના પરિવર્તનની સાંકળ હાથ ધરવી પડશે: .

ઉપરની સૂચિમાંથી છેલ્લી મિલકત વિશે પણ એવું જ કહી શકાય, જેનો જવાબ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે , કારણ કે તે લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી પણ અનુસરે છે. મુખ્ય વસ્તુ એ સમજવાની છે કે ડિગ્રી માટે હંમેશા તક હોય છે હકારાત્મક સંખ્યાઘાતાંકમાં લઘુગણક સાથે, ઘાતનો આધાર અને લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાને સ્વેપ કરો. વાજબી બનવા માટે, અમે નોંધીએ છીએ કે આ પ્રકારના પરિવર્તનના અમલીકરણને સૂચવતા ઉદાહરણો વ્યવહારમાં ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. અમે ટેક્સ્ટમાં નીચે થોડા ઉદાહરણો આપીશું.

સંખ્યાત્મક સમીકરણોને લઘુગણક સાથે રૂપાંતરિત કરવું

અમે લઘુગણકના ગુણધર્મો યાદ રાખ્યા છે, હવે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવા માટે તેમને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરવું તે શીખવાનો સમય છે. ચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓને બદલે સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓને રૂપાંતરિત કરીને પ્રારંભ કરવું સ્વાભાવિક છે, કારણ કે તે મૂળભૂત બાબતો શીખવા માટે વધુ અનુકૂળ અને સરળ છે. તે અમે શું કરીશું, અને અમે ખૂબ સાથે શરૂ કરીશું સરળ ઉદાહરણો, લઘુગણકની ઇચ્છિત મિલકત કેવી રીતે પસંદ કરવી તે શીખવા માટે, પરંતુ અમે ઉદાહરણોને ધીમે ધીમે જટિલ બનાવીશું, જ્યાં સુધી, મેળવવા માટે અંતિમ પરિણામતમારે એક પંક્તિમાં ઘણી મિલકતો લાગુ કરવાની જરૂર પડશે.

લઘુગણકની ઇચ્છિત ગુણધર્મ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

લોગરીધમ્સના ઘણા ગુણધર્મો છે, અને તે સ્પષ્ટ છે કે તમારે તેમાંથી યોગ્ય એક પસંદ કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે, જે આ ચોક્કસ કિસ્સામાં જરૂરી પરિણામ તરફ દોરી જશે. સામાન્ય રીતે રૂપાંતરિત લઘુગણક અથવા અભિવ્યક્તિના પ્રકારને લઘુગણકના ગુણધર્મો વ્યક્ત કરતા સૂત્રોના ડાબા અને જમણા ભાગોના પ્રકારો સાથે સરખાવીને આ કરવું મુશ્કેલ નથી. જો કોઈ એક સૂત્રની ડાબી કે જમણી બાજુ આપેલ લઘુગણક અથવા અભિવ્યક્તિ સાથે એકરુપ હોય, તો સંભવતઃ, તે આ ગુણધર્મ છે જેનો ઉપયોગ પરિવર્તન દરમિયાન થવો જોઈએ. નીચેના ઉદાહરણોઆ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

ચાલો લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણના ઉદાહરણો સાથે શરૂ કરીએ, જે સૂત્ર a b =b, a>0, a≠1, b>0 સૂત્રને અનુરૂપ છે.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો, જો શક્ય હોય તો: a) 5 લોગ 5 4, b) 10 લોગ(1+2·π), c) , ડી) 2 લોગ 2 (−7) , e) .

ઉકેલ.

અક્ષર a) હેઠળના ઉદાહરણમાં લોગ a b સ્પષ્ટપણે દેખાય છે, જ્યાં a=5, b=4. આ સંખ્યાઓ a>0, a≠1, b>0 શરતોને સંતોષે છે, જેથી તમે સુરક્ષિત રીતે લોગ a b =b સમાનતાનો ઉપયોગ કરી શકો. આપણી પાસે 5 લોગ 5 4=4 છે.

b) અહીં a=10, b=1+2·π, શરતો a>0, a≠1, b>0 મળે છે. આ કિસ્સામાં, સમાનતા 10 લોગ(1+2·π) =1+2·π થાય છે.

c) અને આ ઉદાહરણમાં આપણે લોગ a b, where અને b=ln15 ફોર્મની ડિગ્રી સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. તેથી .

લોગ a b (અહીં a=2, b=−7) સમાન પ્રકારના હોવા છતાં, અક્ષર g હેઠળની અભિવ્યક્તિ) a log a b =b સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાતી નથી. કારણ એ છે કે તે અર્થહીન છે કારણ કે તેમાં લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યા છે. તદુપરાંત, સંખ્યા b=−7 એ b>0 શરતને સંતોષતી નથી, જે લોગ a b =b સૂત્રનો આશરો લેવાનું અશક્ય બનાવે છે, કારણ કે તેને a>0, a≠1, b> શરતોની પરિપૂર્ણતાની જરૂર છે. 0. તેથી, આપણે 2 લોગ 2 (−7) ની કિંમતની ગણતરી કરવા વિશે વાત કરી શકતા નથી. આ કિસ્સામાં, 2 લોગ 2 (−7) =−7 લખવામાં ભૂલ હશે.

એ જ રીતે, અક્ષર e) હેઠળના ઉદાહરણમાં ફોર્મનો ઉકેલ આપવો અશક્ય છે , કારણ કે મૂળ અભિવ્યક્તિનો અર્થ નથી.

જવાબ:

a) 5 લોગ 5 4 =4, b) 10 લોગ(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી.

ઘાતાંકમાં લઘુગણક સાથે કેટલીક સકારાત્મક બિન-એકતા સંખ્યાની શક્તિ તરીકે સકારાત્મક સંખ્યાને દર્શાવવાનું ઘણી વખત ઉપયોગી રૂપાંતરણ છે. તે લોગરીધમ a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 ની સમાન વ્યાખ્યા પર આધારિત છે, પરંતુ સૂત્ર જમણેથી ડાબે લાગુ થાય છે, એટલે કે b=a log a b સ્વરૂપમાં . ઉદાહરણ તરીકે, 3=e ln3 અથવા 5=5 લોગ 5 5 .

ચાલો સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવા માટે લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) લોગ 3.75 1, h) લોગ 5 π 7 1 .

ઉકેલ.

અક્ષરો હેઠળના ઉદાહરણોમાં a), b) અને c) અભિવ્યક્તિઓ log −2 1, log 1 1, log 0 1 આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ નથી, કારણ કે લઘુગણકના આધારમાં નકારાત્મક સંખ્યા હોવી જોઈએ નહીં, શૂન્ય અથવા એક, કારણ કે અમે લઘુગણકને માત્ર એવા આધાર માટે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જે હકારાત્મક અને એકતાથી અલગ હોય. તેથી, ઉદાહરણોમાં a) - c) અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધવાનો કોઈ પ્રશ્ન ન હોઈ શકે.

અન્ય તમામ કાર્યોમાં, દેખીતી રીતે, લઘુગણકના પાયા અનુક્રમે સકારાત્મક અને બિન-એકતા નંબરો 7, e, 10, 3.75 અને 5·π 7 ધરાવે છે, અને લઘુગણકના ચિન્હો હેઠળ દરેક જગ્યાએ એકમો છે. અને આપણે એકતાના લઘુગણકની મિલકત જાણીએ છીએ: કોઈપણ a>0, a≠1 માટે a 1=0 લોગ કરો. આમ, સમીકરણોના મૂલ્યો b) – e) શૂન્યની બરાબર છે.

જવાબ:

a), b), c) અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) લોગ 3.75 1=0, h) લોગ 5 e 7 1= 0

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો: a) , b) lne , c) lg10 , d) લોગ 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) લોગ −3 (−3) , f) લોગ 1 1 .

ઉકેલ.

તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે આધારના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરવો પડશે, જે a>0, a≠1 માટે a=1 સૂત્ર લોગને અનુરૂપ છે. ખરેખર, બધા અક્ષરો હેઠળના કાર્યોમાં, લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યા તેના આધાર સાથે એકરુપ છે. આમ, હું તરત જ કહેવા માંગુ છું કે આપેલ દરેક સમીકરણનું મૂલ્ય 1 છે. જો કે, તમારે નિષ્કર્ષ પર ઉતાવળ કરવી જોઈએ નહીં: અક્ષરો હેઠળના કાર્યોમાં a) - d) અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો ખરેખર એક સમાન હોય છે, અને કાર્યોમાં e) અને f) મૂળ અભિવ્યક્તિઓ અર્થપૂર્ણ નથી, તેથી તે એમ કહી શકાય નહીં કે આ અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો 1 ની બરાબર છે.

જવાબ:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) લોગ 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી.

ઉદાહરણ.

મૂલ્ય શોધો: a) લોગ 3 3 11, b) , c) , d) લોગ −10 (−10) 6 .

ઉકેલ.

દેખીતી રીતે, લોગરીધમના ચિહ્નો હેઠળ આધારની કેટલીક શક્તિઓ છે. આના આધારે, આપણે સમજીએ છીએ કે અહીં આપણને આધારની ડિગ્રીના ગુણધર્મની જરૂર પડશે: લોગ a a p =p, જ્યાં a>0, a≠1 અને p કોઈપણ છે વાસ્તવિક સંખ્યા. આને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે નીચેના પરિણામો છે: a) log 3 3 11 =11, b) , વી) . શું ફોર્મ લોગ −10 (−10) 6 =6 ના અક્ષર d) હેઠળના ઉદાહરણ માટે સમાન સમાનતા લખવી શક્ય છે? ના, તમે કરી શકતા નથી, કારણ કે અભિવ્યક્તિ લોગ −10 (−10) 6 નો કોઈ અર્થ નથી.

જવાબ:

a) લોગ 3 3 11 = 11, b) , વી) , ડી) અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.

ઉદાહરણ.

સમાન આધારનો ઉપયોગ કરીને લોગરીધમના સરવાળા અથવા તફાવત તરીકે અભિવ્યક્તિ રજૂ કરો: a) , b) , c) લોગ((−5)·(−12)) .

ઉકેલ.

a) લઘુગણકની નિશાની હેઠળ એક ઉત્પાદન છે, અને આપણે ઉત્પાદન લોગ a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 લોગરીધમની મિલકત જાણીએ છીએ. , y>0. અમારા કિસ્સામાં, લઘુગણકના આધારની સંખ્યા અને ઉત્પાદનમાંની સંખ્યાઓ હકારાત્મક છે, એટલે કે, તેઓ પસંદ કરેલી મિલકતની શરતોને સંતોષે છે, તેથી, અમે તેને સુરક્ષિત રીતે લાગુ કરી શકીએ છીએ: .

b) અહીં આપણે ગુણાંક લઘુગણકની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં a>0, a≠1, x>0, y>0. અમારા કિસ્સામાં, લઘુગણકનો આધાર હકારાત્મક સંખ્યા e છે, અંશ અને છેદ π હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ મિલકતની શરતોને સંતોષે છે, તેથી અમને પસંદ કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર છે: .

c) પ્રથમ, નોંધ લો કે અભિવ્યક્તિ લોગ((−5)·(−12)) અર્થપૂર્ણ છે. પરંતુ તે જ સમયે, તેના માટે અમને ઉત્પાદન લોગ a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y ના લોગરીધમ માટે સૂત્ર લાગુ કરવાનો અધિકાર નથી. >0, કારણ કે સંખ્યાઓ −5 અને −12 – ઋણ છે અને શરતો x>0, y>0 ને સંતોષતી નથી. એટલે કે, તમે આવા પરિવર્તન કરી શકતા નથી: લોગ((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). તો આપણે શું કરવું જોઈએ? આવા કિસ્સાઓમાં, મૂળ અભિવ્યક્તિને નકારાત્મક સંખ્યાઓને ટાળવા માટે પ્રારંભિક પરિવર્તનની જરૂર છે. વિશે સમાન કેસોઅમે એક પૃષ્ઠમાં લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ સાથેના અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતર વિશે વિગતવાર ચર્ચા કરીશું, પરંતુ હમણાં માટે અમે આ ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીશું, જે અગાઉથી સ્પષ્ટ છે અને સમજૂતી વિના: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

જવાબ:

અ) , b) , c) લોગ((−5)·(−12))=log5+lg12.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

ઉકેલ.

અહીં ઉત્પાદનના લઘુગણકના તમામ સમાન ગુણધર્મો અને ભાગના લઘુગણક કે જેનો આપણે અગાઉના ઉદાહરણોમાં ઉપયોગ કર્યો છે તે અમને મદદ કરશે, ફક્ત હવે અમે તેને જમણેથી ડાબે લાગુ કરીશું. એટલે કે, અમે લઘુગણકના સરવાળાને ઉત્પાદનના લઘુગણકમાં અને લઘુગણકના તફાવતને ભાગના લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. અમારી પાસે છે
અ) લોગ 3 0.25+લોગ 3 16+લોગ 3 0.5=લોગ 3 (0.25 16 0.5)=લોગ 3 2.
b) .

જવાબ:

અ) લોગ 3 0.25+લોગ 3 16+લોગ 3 0.5=લોગ 3 2, b) .

ઉદાહરણ.

લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળની ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવો: a) લોગ 0.7 5 11, b) , c) લોગ 3 (−5) 6 .

ઉકેલ.

તે જોવાનું સરળ છે કે આપણે log a b p ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. લઘુગણકના અનુરૂપ ગુણધર્મમાં ફોર્મ લોગ a b p =p·log a b છે, જ્યાં a>0, a≠1, b>0, p - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા. એટલે કે, જો a>0, a≠1, b>0 શરતો પૂરી થાય, તો પાવર લોગ a b p ના લઘુગણકમાંથી આપણે ઉત્પાદન p·log a b પર આગળ વધી શકીએ છીએ. ચાલો આપેલ અભિવ્યક્તિઓ સાથે આ પરિવર્તન કરીએ.

a) આ કિસ્સામાં a=0.7, b=5 અને p=11. તેથી લોગ 0.7 5 11 = 11·લોગ 0.7 5.

b) અહીં, a>0, a≠1, b>0 શરતો સંતુષ્ટ છે. તેથી જ

c) અભિવ્યક્તિ લોગ 3 (−5) 6 માં સમાન બંધારણ લોગ a b p , a=3 , b=−5 , p=6 છે. પરંતુ b માટે શરત b>0 સંતુષ્ટ નથી, જે ફોર્મ્યુલા લોગ a b p =p·log a b લાગુ કરવાનું અશક્ય બનાવે છે. તો શું, તમે કાર્યનો સામનો કરી શકતા નથી? તે શક્ય છે, પરંતુ અભિવ્યક્તિનું પ્રારંભિક પરિવર્તન જરૂરી છે, જેની અમે શીર્ષક હેઠળના ફકરામાં નીચે વિગતવાર ચર્ચા કરીશું. ઉકેલ આના જેવો હશે: લોગ 3 (−5) 6 =લોગ 3 5 6 =6 લોગ 3 5.

જવાબ:

a) લોગ 0.7 5 11 = 11 લોગ 0.7 5 ,
b)
c) લોગ 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

ઘણી વાર, પરિવર્તનો હાથ ધરતી વખતે, પાવરના લઘુગણક માટેનું સૂત્ર p·log a b=log a b p સ્વરૂપમાં જમણેથી ડાબે લાગુ કરવું પડે છે (એ, b અને p માટે સમાન શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે). ઉદાહરણ તરીકે, 3·ln5=ln5 3 અને log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

ઉદાહરણ.

a) લોગ 2 5 ની કિંમતની ગણતરી કરો જો તે જાણીતું હોય કે log2≈0.3010 અને log5≈0.6990. b) અપૂર્ણાંકને લઘુગણક તરીકે આધાર 3 પર વ્યક્ત કરો.

ઉકેલ.

a) નવા લઘુગણક આધાર પર સંક્રમણ માટેનું સૂત્ર તમને આ લઘુગણકને ગુણોત્તર તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે દશાંશ લઘુગણક, જેનો અર્થ આપણને જાણીતો છે: . જે બાકી છે તે ગણતરીઓ હાથ ધરવાનું છે, અમારી પાસે છે .

b) અહીં નવા આધાર પર જવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે, અને તેને જમણેથી ડાબે લાગુ કરો, એટલે કે ફોર્મમાં . અમને મળે છે .

જવાબ:

a) લોગ 2 5≈2.3223, b) .

આ તબક્કે, અમે સૌથી વધુના પરિવર્તનને ખૂબ કાળજીપૂર્વક ધ્યાનમાં લીધું છે સરળ અભિવ્યક્તિઓલઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને. આ ઉદાહરણોમાં, અમારે એક ગુણધર્મ લાગુ કરવાની હતી અને વધુ કંઈ નહીં. હવે સાથે સ્પષ્ટ અંતઃકરણતમે ઉદાહરણો પર આગળ વધી શકો છો, જેના રૂપાંતરણ માટે લોગરીધમ્સ અને અન્ય ગુણધર્મોના ઉપયોગની જરૂર છે. વધારાના પરિવર્તનો. અમે આગામી ફકરામાં તેમની સાથે વ્યવહાર કરીશું. પરંતુ તે પહેલાં, ચાલો લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી પરિણામોના ઉપયોગના ઉદાહરણોને સંક્ષિપ્તમાં જોઈએ.

ઉદાહરણ.

a) લઘુગણક ચિન્હ હેઠળના મૂળમાંથી છુટકારો મેળવો. b) અપૂર્ણાંકને આધાર 5 લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરો. c) લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં સત્તાઓથી તમારી જાતને મુક્ત કરો. ડી) અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો . e) અભિવ્યક્તિને આધાર 3 સાથે પાવર વડે બદલો.

ઉકેલ.

a) જો આપણે ડિગ્રીના લઘુગણકની મિલકતમાંથી કોરોલરી યાદ કરીએ , પછી તમે તરત જ જવાબ આપી શકો છો: .

b) અહીં આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જમણેથી ડાબે, અમારી પાસે છે .

c) બી આ કિસ્સામાંસૂત્ર પરિણામ આપે છે . અમને મળે છે .

d) અને અહીં સૂત્ર અનુરૂપ કોરોલરી લાગુ કરવા માટે પૂરતું છે . તેથી .

e) લઘુગણકની મિલકત અમને ઇચ્છિત પરિણામ પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે: .

જવાબ:

અ) . b) . વી) . જી) . ડી) .

વિવિધ ગુણધર્મોની સળંગ એપ્લિકેશન

લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતર પરના વાસ્તવિક કાર્યો સામાન્ય રીતે અગાઉના ફકરામાં આપણે જે કામ કર્યા હતા તેના કરતાં વધુ જટિલ હોય છે. તેમાં, એક નિયમ તરીકે, પરિણામ એક પગલામાં મેળવવામાં આવતું નથી, પરંતુ ઉકેલમાં પહેલેથી જ એક પછી એક મિલકતના અનુક્રમિક એપ્લિકેશનનો સમાવેશ થાય છે, વધારાના સમાન પરિવર્તનો, જેમ કે ઓપનિંગ કૌંસ, કાસ્ટિંગ. સમાન શરતો, અપૂર્ણાંક ઘટાડવા વગેરે. તો ચાલો આવા ઉદાહરણોની નજીક જઈએ. આમાં કંઈ જટિલ નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે ક્રિયાઓના ક્રમનું અવલોકન કરીને કાળજીપૂર્વક અને સતત કાર્ય કરવું.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો (લોગ 3 15−લોગ 3 5) 7 લોગ 7 5.

ઉકેલ.

કૌંસમાં લઘુગણક વચ્ચેનો તફાવત, ભાગાંક લઘુગણકના ગુણધર્મ અનુસાર, લઘુગણક લોગ 3 (15:5) દ્વારા બદલી શકાય છે, અને પછી તેની કિંમત લોગ 3 (15:5)=log 3 3=1 ની ગણતરી કરો. અને લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા 7 લોગ 7 5 અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય 5 બરાબર છે. આ પરિણામોને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, આપણને મળે છે (લોગ 3 15−લોગ 3 5) 7 લોગ 7 5 =1 5=5.

અહીં સમજૂતી વિના ઉકેલ છે:
(લોગ 3 15−લોગ 3 5) 7 લોગ 7 5 =લોગ 3 (15:5) 5=
=લોગ 3 3·5=1·5=5 .

જવાબ:

(લોગ 3 15−log 3 5) 7 લોગ 7 5 =5.

ઉદાહરણ.

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ લોગ 3 લોગ 2 2 3 −1 ની કિંમત શું છે?

ઉકેલ.

આપણે સૌપ્રથમ પાવરના લઘુગણક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ લઘુગણકનું રૂપાંતર કરીએ છીએ: log 2 2 3 =3. આમ, લોગ 3 લોગ 2 2 3 = લોગ 3 3 અને પછી લોગ 3 3=1. તો લોગ 3 લોગ 2 2 3 −1=1−1=0 .

જવાબ:

લોગ 3 લોગ 2 2 3 −1=0 .

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ.

નવા લઘુગણક આધાર પર જવા માટેનું સૂત્ર લોગરીધમના ગુણોત્તરને એક આધાર સાથે લોગ 3 5 તરીકે દર્શાવવા માટે પરવાનગી આપે છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપ લેશે. લઘુગણકની વ્યાખ્યા પ્રમાણે 3 લોગ 3 5 =5, એટલે કે , અને પરિણામી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય, લઘુગણકની સમાન વ્યાખ્યાના આધારે, બે બરાબર છે.

અહીં ટૂંકું સંસ્કરણઉકેલો, જે સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે: .

જવાબ:

આગળના ફકરામાં માહિતીમાં સરળતાથી સંક્રમણ કરવા માટે, ચાલો 5 2+log 5 3 અને log0.01 સમીકરણો પર એક નજર કરીએ. તેમની રચના લઘુગણકના કોઈપણ ગુણધર્મોને બંધબેસતી નથી. તો શું થાય છે, તેઓ લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતરિત કરી શકાતા નથી? જો તમે લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોને લાગુ કરવા માટે આ અભિવ્યક્તિઓ તૈયાર કરતા પ્રારંભિક પરિવર્તનો હાથ ધરો તો તે શક્ય છે. તેથી 5 2+લોગ 5 3 =5 2 5 લોગ 5 3 =25 3=75, અને log0.01=log10 −2 =−2. આગળ આપણે આવી અભિવ્યક્તિની તૈયારી કેવી રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે તેના પર વિગતવાર જોઈશું.

લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા માટે અભિવ્યક્તિઓ તૈયાર કરી રહ્યા છીએ

રૂપાંતરિત થતી અભિવ્યક્તિમાં લોગરીધમ્સ ઘણી વાર સૂત્રના ડાબા અને જમણા ભાગોથી સંકેતની રચનામાં અલગ પડે છે જે લઘુગણકના ગુણધર્મોને અનુરૂપ હોય છે. પરંતુ ઘણી વાર નહીં, આ અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનમાં લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ શામેલ છે: તેનો ઉપયોગ કરવા માટે તમારે ફક્ત પ્રારંભિક તૈયારી. અને આ તૈયારી ચોક્કસ હાથ ધરવા સમાવેશ થાય છે ઓળખ પરિવર્તન, ગુણધર્મ લાગુ કરવા માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં લઘુગણક લાવવું.

વાજબીતામાં, અમે નોંધીએ છીએ કે અભિવ્યક્તિના લગભગ કોઈપણ રૂપાંતરણ પ્રારંભિક પરિવર્તન તરીકે કાર્ય કરી શકે છે, સમાન શરતોના મામૂલી ઘટાડાથી લઈને એપ્લિકેશન સુધી ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો. આ સમજી શકાય તેવું છે, કારણ કે રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ કોઈપણ ગાણિતિક વસ્તુઓ સમાવી શકે છે: કૌંસ, મોડ્યુલો, અપૂર્ણાંક, મૂળ, શક્તિઓ, વગેરે. આમ, લોગરીધમના ગુણધર્મોનો વધુ લાભ લેવા માટે તમારે કોઈપણ જરૂરી પરિવર્તન કરવા માટે તૈયાર રહેવાની જરૂર છે.

ચાલો આપણે તરત જ કહીએ કે આ બિંદુએ આપણે આપણી જાતને તમામ કલ્પનાશીલ પ્રારંભિક રૂપાંતરણોનું વર્ગીકરણ અને વિશ્લેષણ કરવાનું કાર્ય સુયોજિત કરતા નથી જે અમને પછીથી લઘુગણકના ગુણધર્મો અથવા લઘુગણકની વ્યાખ્યાને લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે. અહીં અમે તેમાંથી ફક્ત ચાર પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, જે સૌથી સામાન્ય છે અને વ્યવહારમાં મોટાભાગે જોવા મળે છે.

અને હવે તેમાંના દરેક વિશે વિગતવાર, તે પછી, અમારા વિષયના માળખામાં, જે બાકી છે તે લોગરીધમના સંકેતો હેઠળ ચલ સાથેના અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તનને સમજવાનું છે.

લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળ અને તેના આધાર પર શક્તિઓની ઓળખ

ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે તરત જ શરૂઆત કરીએ. ચાલો લોગરીધમ લઈએ. દેખીતી રીતે, આ સ્વરૂપમાં તેની રચના લઘુગણકના ગુણધર્મોના ઉપયોગ માટે અનુકૂળ નથી. શું કોઈક રીતે કન્વર્ટ કરવું શક્ય છે આ અભિવ્યક્તિતેને સરળ બનાવવા માટે, અથવા વધુ સારી રીતે, તેની કિંમતની ગણતરી કરો? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો આપણા ઉદાહરણના સંદર્ભમાં 81 અને 1/9 નંબરો પર નજીકથી નજર કરીએ. અહીં એ નોંધવું સરળ છે કે આ સંખ્યાઓ 3 ની ઘાત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, ખરેખર, 81 = 3 4 અને 1/9 = 3 −2. આ કિસ્સામાં, મૂળ લઘુગણક ફોર્મમાં રજૂ કરવામાં આવે છે અને સૂત્ર લાગુ કરવાનું શક્ય બને છે . તેથી, .

વિશ્લેષણ કરેલ ઉદાહરણનું વિશ્લેષણ નીચેના વિચારને જન્મ આપે છે: જો શક્ય હોય તો, તમે ડિગ્રી અથવા તેના પરિણામોના લઘુગણકની મિલકતને લાગુ કરવા માટે લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં ડિગ્રીને અલગ કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો. આ ડિગ્રીઓને કેવી રીતે અલગ પાડવી તે શોધવાનું બાકી છે. ચાલો આ મુદ્દા પર કેટલીક ભલામણો આપીએ.

કેટલીકવાર તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળની સંખ્યા અને/અથવા તેના આધારમાં કેટલીક પૂર્ણાંક શક્તિ દર્શાવે છે, જેમ કે ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણમાં. લગભગ સતત આપણે બેની શક્તિઓ સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે, જે સારી રીતે પરિચિત છે: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. ત્રણની શક્તિઓ વિશે પણ એવું જ કહી શકાય: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... સામાન્ય રીતે, જો તમારી આંખો સામે હોય તો તે નુકસાન પહોંચાડશે નહીં ડિગ્રીનું કોષ્ટક કુદરતી સંખ્યાઓ એક ડઝનની અંદર. દસ, એકસો, હજાર, વગેરેની પૂર્ણાંક શક્તિઓ સાથે કામ કરવું પણ મુશ્કેલ નથી.

ઉદાહરણ.

મૂલ્યની ગણતરી કરો અથવા અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: a) log 6 216, b) , c) log 0.000001 0.001.

ઉકેલ.

a) દેખીતી રીતે, 216=6 3, તેથી લોગ 6 216=લોગ 6 6 3 =3.

b) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શક્તિઓનું કોષ્ટક તમને અનુક્રમે 343 અને 1/243 સંખ્યાઓને શક્તિ 7 3 અને 3 −4 તરીકે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી, આપેલ લઘુગણકનું નીચેનું રૂપાંતર શક્ય છે:

c) 0.000001=10 −6 અને 0.001=10 −3 થી, પછી લોગ 0.000001 0.001=લોગ 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

જવાબ:

a) લોગ 6 216=3, b) , c) લોગ 0.000001 0.001=1/2.

વધુ માં મુશ્કેલ કેસોસંખ્યાઓની શક્તિઓને અલગ પાડવા માટે વ્યક્તિએ આશરો લેવો પડશે.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને વધુમાં કન્વર્ટ કરો સરળ દૃશ્યલોગ 3 648 લોગ 2 3 .

ઉકેલ.

ચાલો જોઈએ કે 648 નંબરનું વિઘટન શું થાય છે મુખ્ય પરિબળો:

એટલે કે, 648=2 3 ·3 4. આમ, લોગ 3 648 લોગ 2 3 = લોગ 3 (2 3 3 4) લોગ 2 3.

હવે આપણે ઉત્પાદનના લઘુગણકને લઘુગણકના સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, તે પછી આપણે પાવરના લોગરીધમના ગુણધર્મો લાગુ કરીએ છીએ:
લોગ 3 (2 3 3 4)લોગ 2 3=(લોગ 3 2 3 +લોગ 3 3 4)લોગ 2 3=
=(3·લોગ 3 2+4)·લોગ 2 3 .

પાવરના લઘુગણકની મિલકતમાંથી કોરોલરીના આધારે, જે સૂત્રને અનુરૂપ છે , ઉત્પાદન log32·log23 એ નું ઉત્પાદન છે, અને, જેમ જાણીતું છે, તે એક સમાન છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે 3 લોગ 3 2 લોગ 2 3+4 લોગ 2 3=3 1+4 લોગ 2 3=3+4 લોગ 2 3.

જવાબ:

લોગ 3 648 લોગ 2 3=3+4 લોગ 2 3.

ઘણી વાર, લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં અભિવ્યક્તિઓ અમુક સંખ્યાઓના મૂળ અને/અથવા શક્તિઓના ઉત્પાદનો અથવા ગુણોત્તરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, , . સમાન અભિવ્યક્તિઓડિગ્રી તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, મૂળથી સત્તામાં સંક્રમણ કરવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ થાય છે. આ પરિવર્તનો લઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં શક્તિઓને અલગ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને પછી લઘુગણકના ગુણધર્મોને લાગુ કરે છે.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો: a) , b).

ઉકેલ.

a) લઘુગણકના પાયામાં અભિવ્યક્તિ એ સાથેની શક્તિઓનું ઉત્પાદન છે સમાન આધારો પર, દ્વારા અનુરૂપ મિલકતઅમારી પાસે ડિગ્રી છે 5 2 ·5 −0.5 ·5 −1 =5 2−0.5−1 =5 0.5.

હવે ચાલો લોગરીધમ ચિન્હ હેઠળના અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરીએ: આપણે મૂળમાંથી શક્તિ તરફ જઈશું, ત્યારબાદ આપણે સમાન આધારો સાથે શક્તિના ગુણોત્તરની મિલકતનો ઉપયોગ કરીશું: .

તે પ્રાપ્ત પરિણામોને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં બદલવાનું બાકી છે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો અને રૂપાંતર સમાપ્ત કરો:

b) 729 = 3 6 અને 1/9 = 3 −2 થી, મૂળ અભિવ્યક્તિ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

આગળ, આપણે પાવરના રુટની પ્રોપર્ટી લાગુ કરીએ છીએ, રુટથી પાવર તરફ જઈએ છીએ અને લોગરિધમના બેઝને પાવરમાં કન્વર્ટ કરવા માટે પાવરના રેશિયોની પ્રોપર્ટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: .

વિચારણા છેલ્લું પરિણામ, અમારી પાસે છે .

જવાબ:

અ) , b).

તે સ્પષ્ટ છે કે માં સામાન્ય કેસલઘુગણકની નિશાની હેઠળ અને તેના આધારમાં સત્તા મેળવવા માટે, વિવિધ પરિવર્તનની જરૂર પડી શકે છે વિવિધ અભિવ્યક્તિઓ. ચાલો એક-બે ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે: a) , b) .

ઉકેલ.

અમે આગળ નોંધીએ છીએ કે આપેલ અભિવ્યક્તિમાં ફોર્મ લોગ A B p છે, જ્યાં A=2, B=x+1 અને p=4. સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓઅમે પાવર લોગ a b p =p·log a b ના લોગરીધમના ગુણધર્મ અનુસાર આ પ્રકારનું રૂપાંતર કર્યું છે, તેથી, આપેલ અભિવ્યક્તિ સાથે હું તે જ કરવા માંગુ છું, અને લોગ 2 (x+1) 4 થી 4·લોગ પર જાઓ. 2 (x+1) . હવે ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિની કિંમત અને રૂપાંતર પછી મેળવેલ અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે x=−2. અમારી પાસે લોગ 2 (−2+1) 4 =લોગ 2 1=0 , અને 4 લોગ 2 (−2+1)=4 લોગ 2 (−1)- અર્થહીન અભિવ્યક્તિ. આ એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઉભો કરે છે: "અમે શું ખોટું કર્યું?"

અને તેનું કારણ આ છે: અમે રૂપાંતરણ લોગ 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , ફોર્મ્યુલા લોગ a b p =p·log a b ના આધારે કર્યું, પરંતુ આ સૂત્રશરતો પૂરી થાય તો જ અમને અરજી કરવાનો અધિકાર છે: a>0, a≠1, b>0, p - કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા. એટલે કે, આપણે જે રૂપાંતરણ કર્યું છે તે થાય છે જો x+1>0, જે x>−1 સમાન છે (A અને p માટે, શરતો પૂરી થાય છે). જો કે, અમારા કિસ્સામાં, મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે ચલ xના ODZમાં માત્ર અંતરાલ x>−1 જ નહીં, પણ અંતરાલ xનો પણ સમાવેશ થાય છે.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

ડીએલને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂરિયાત

ચાલો આપણે લોગ 2 (x+1) 4 પસંદ કરેલ અભિવ્યક્તિના રૂપાંતરણનું વિશ્લેષણ કરવાનું ચાલુ રાખીએ, અને હવે જોઈએ કે જ્યારે અભિવ્યક્તિ 4 · લોગ 2 (x+1) પર જઈએ ત્યારે ODZ નું શું થાય છે. અગાઉના ફકરામાં, અમને મૂળ અભિવ્યક્તિનો ODZ મળ્યો - આ સમૂહ છે (−∞, −1)∪(−1, +∞) . હવે ચાલો એક્સ્પ્રેશન 4·log 2 (x+1) માટે ચલ xના સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધીએ. તે શરત x+1>0 દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે સમૂહ (−1, +∞) ને અનુરૂપ છે. તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે લોગ 2 (x+1) 4 થી 4·log 2 (x+1) તરફ આગળ વધીએ ત્યારે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી સાંકડી થાય છે. અને અમે એવા રૂપાંતરણોને ટાળવા સંમત થયા જે DL ના સંકુચિત થવા તરફ દોરી જાય છે, કારણ કે આ વિવિધ નકારાત્મક પરિણામો તરફ દોરી શકે છે.

અહીં તે તમારા માટે નોંધવું યોગ્ય છે કે તે પરિવર્તનના દરેક પગલા પર OA ને નિયંત્રિત કરવા અને તેના સંકુચિતતાને અટકાવવા માટે ઉપયોગી છે. અને જો અચાનક પરિવર્તનના કોઈ તબક્કે DL સંકુચિત થઈ ગયું હોય, તો પછી આ પરિવર્તન માન્ય છે કે કેમ અને અમને તે હાથ ધરવાનો અધિકાર છે કે કેમ તે ખૂબ કાળજીપૂર્વક જોવાનું યોગ્ય છે.

વાજબી બનવા માટે, ચાલો કહીએ કે વ્યવહારમાં આપણે સામાન્ય રીતે અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરવું પડે છે જેમાં ચલોનો ODZ એવો હોય છે કે, જ્યારે રૂપાંતરણો હાથ ધરે છે, ત્યારે આપણે લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ આપણને પહેલાથી જ જાણીતા સ્વરૂપમાં પ્રતિબંધ વિના કરી શકીએ છીએ, બંનેમાંથી ડાબેથી જમણે અને જમણેથી ડાબે. તમને ઝડપથી આની આદત પડી જાય છે, અને તમે યાંત્રિક રીતે પરિવર્તનો હાથ ધરવાનું શરૂ કરો છો, તે વિચાર્યા વિના કે તે હાથ ધરવાનું શક્ય છે કે કેમ. અને આવી ક્ષણો પર, નસીબની જેમ, વધુ જટિલ ઉદાહરણો સરકી જાય છે જેમાં લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોની બેદરકારીપૂર્વક ઉપયોગ ભૂલો તરફ દોરી જાય છે. તેથી તમારે હંમેશા સતર્ક રહેવાની જરૂર છે અને ખાતરી કરો કે ODZ નું કોઈ સંકુચિત નથી.

લોગરીધમ્સના ગુણધર્મો પર આધારિત મુખ્ય પરિવર્તનોને અલગથી પ્રકાશિત કરવાથી નુકસાન થશે નહીં, જે ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક હાથ ધરવામાં આવવું જોઈએ, જે OD ના સંકુચિતતા તરફ દોરી શકે છે, અને પરિણામે, ભૂલો તરફ દોરી શકે છે:

લઘુગણકના ગુણધર્મો પર આધારિત અભિવ્યક્તિઓના કેટલાક રૂપાંતરણો પણ વિરુદ્ધ તરફ દોરી શકે છે - ODZ ના વિસ્તરણ. ઉદાહરણ તરીકે, 4·log 2 (x+1) થી લોગ 2 (x+1) 4 માં સંક્રમણ ODZ ને સમૂહ (−1, +∞) થી (−∞, −1)∪(−1, +∞). જો આપણે મૂળ અભિવ્યક્તિના માળખામાં રહીએ તો આવા પરિવર્તનો થાય છે. તેથી હમણાં જ ઉલ્લેખિત રૂપાંતરણ 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 મૂળ અભિવ્યક્તિ 4·log 2 (x+1) માટે ચલ xના ODZ પર થાય છે, એટલે કે, માટે x+1> 0, જે (−1, +∞) સમાન છે.

હવે જ્યારે અમે લોગરીધમ્સના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને ચલ સાથે અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે તમારે ધ્યાન આપવાની જરૂર છે તે ઘોંઘાટની ચર્ચા કરી છે, આ રૂપાંતરણોને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે હાથ ધરવા તે શોધવાનું બાકી છે.

X+2>0 . શું તે અમારા કિસ્સામાં કામ કરે છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો x ચલના ODZ જોઈએ. તે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે , જે x+2>0 શરતની સમકક્ષ છે (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ અસમાનતાઓની પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ). આમ, અમે પાવરના લઘુગણકની મિલકતને સુરક્ષિત રીતે લાગુ કરી શકીએ છીએ.

અમારી પાસે છે
3 લોગ(x+2) 7 −લોગ(x+2)−5 લોગ(x+2) 4 =
=3·7·લોગ(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

તમે અલગ રીતે કાર્ય કરી શકો છો, કારણ કે ODZ તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે આના જેવું:

જવાબ:

3 લોગ(x+2) 7 −લોગ(x+2)−5 લોગ(x+2) 4 =0.

પરંતુ જ્યારે લોગરીધમના ગુણધર્મો સાથેની શરતો ODZ માં પૂરી ન થાય ત્યારે શું કરવું? આને આપણે ઉદાહરણોથી સમજીશું.

ચાલો અભિવ્યક્તિ લોગ(x+2) 4 − log(x+2) 2 ને સરળ બનાવવાની જરૂર છે. આ અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર, અગાઉના ઉદાહરણની અભિવ્યક્તિથી વિપરીત, પાવરના લઘુગણકની મિલકતનો મફત ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. શા માટે? આ કિસ્સામાં ચલ x નું ODZ એ બે અંતરાલ x>−2 અને xનું જોડાણ છે<−2 . При x>−2 આપણે પાવરના લઘુગણકના ગુણધર્મને સરળતાથી લાગુ પાડી શકીએ છીએ અને ઉપરના ઉદાહરણ પ્રમાણે કાર્ય કરી શકીએ છીએ: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). પરંતુ ODZ માં એક વધુ અંતરાલ x+2 છે<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2અને આગળ k lg|x+2| ડિગ્રીના ગુણધર્મોને લીધે 4 −lg|x+2| 2. ચલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે |x+2|>0 હોવાથી, પાવરના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી અભિવ્યક્તિને પરિવર્તિત કરી શકાય છે. અમારી પાસે છે લોગ|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. હવે તમે તમારી જાતને મોડ્યુલમાંથી મુક્ત કરી શકો છો, કારણ કે તેણે તેનું કામ કર્યું છે. કારણ કે આપણે x+2 પર રૂપાંતરણ કરીએ છીએ<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ જોઈએ જેથી મોડ્યુલો સાથે કામ કરવું પરિચિત બને. ચાલો અભિવ્યક્તિમાંથી કલ્પના કરીએ રેખીય દ્વિપદી x−1, x−2 અને x−3 ના લઘુગણકના સરવાળા અને તફાવત પર જાઓ. પ્રથમ આપણે ODZ શોધીએ છીએ:

અંતરાલ (3, +∞) પર x−1, x−2 અને x−3 અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો હકારાત્મક છે, તેથી આપણે સરવાળા અને તફાવતના લઘુગણકના ગુણધર્મોને સરળતાથી લાગુ કરી શકીએ છીએ:

અને અંતરાલ (1, 2) પર x−1 અભિવ્યક્તિના મૂલ્યો હકારાત્મક છે, અને x−2 અને x−3 અભિવ્યક્તિના મૂલ્યો નકારાત્મક છે. તેથી, ગણવામાં આવેલ અંતરાલ પર આપણે મોડ્યુલસનો ઉપયોગ કરીને x−2 અને x−3 ને −|x−2|

અને −|x−3|

અમારી પાસે છે

અનુક્રમે તે જ સમયે

સામાન્ય રીતે, સમાન તર્ક, ઉત્પાદનના લઘુગણક, ગુણોત્તર અને ડિગ્રીના સૂત્રોના આધારે, ત્રણ વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગી પરિણામો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, જે વાપરવા માટે તદ્દન અનુકૂળ છે:

ફોર્મ લોગ a (X·Y) ના બે મનસ્વી અભિવ્યક્તિઓ X અને Y ના ઉત્પાદનના લઘુગણકને લોગરીધમ લોગ a |X|+log a |Y|ના સરવાળા દ્વારા બદલી શકાય છે. , a>0 , a≠1 .
ચોક્કસ ફોર્મ લોગ a (X:Y) ના લોગરીધમ લોગરીધમ લોગ a |X|−log a |Y| ના તફાવત દ્વારા બદલી શકાય છે. , a>0, a≠1, X અને Y એ મનસ્વી સમીકરણો છે.
અમુક અભિવ્યક્તિ B ના લોગરિધમથી લઈને લોગ a B p ફોર્મની એક સમાન શક્તિ p સુધી આપણે p·log a |B| અભિવ્યક્તિ પર જઈ શકીએ છીએ. , જ્યાં a>0, a≠1, p એ એક સમાન સંખ્યા છે અને B એ મનસ્વી અભિવ્યક્તિ છે.

સમાન પરિણામો આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, M. I. Skanavi દ્વારા સંપાદિત, યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશતા લોકો માટે ગણિતમાં સમસ્યાઓના સંગ્રહમાં ઘાતાંકીય અને લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સૂચનાઓમાં.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.

પાવર, સરવાળો અને તફાવતના લઘુગણકના ગુણધર્મો લાગુ કરવા માટે તે સારું રહેશે. પરંતુ શું આપણે આ અહીં કરી શકીએ? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે આપણે ડીઝેડ જાણવાની જરૂર છે.

ચાલો તેને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે x+4, x−2 અને (x+4) 13 ચલ xના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણીમાં સમીકરણો હકારાત્મક અને નકારાત્મક એમ બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. તેથી, આપણે મોડ્યુલો દ્વારા કામ કરવું પડશે.

મોડ્યુલ પ્રોપર્ટીઝ તમને તેને આ રીતે ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપે છે

ઉપરાંત, પાવરના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ કરવાથી અને પછી સમાન શરતો લાવવાથી તમને કંઈપણ અટકાવતું નથી:

પરિવર્તનનો બીજો ક્રમ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે:

અને ODZ પર x−2 અભિવ્યક્તિ સકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે, પછી જ્યારે સમ ઘાતાંક 14 લઈએ ત્યારે

કાર્યો જેનો ઉકેલ છે પરિવર્તન લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ , યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં એકદમ સામાન્ય છે.

મુખ્ય મુદ્દાઓ ઉપરાંત ઓછામાં ઓછા સમયના રોકાણ સાથે સફળતાપૂર્વક તેમની સાથે સામનો કરવા માટે લઘુગણક ઓળખ, તમારે કેટલાક વધુ સૂત્રોને યોગ્ય રીતે જાણવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

આ છે: a log a b = b, જ્યાં a, b > 0, a ≠ 1 (તે લઘુગણકની વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરે છે).

log a b = log c b / log c a અથવા log a b = 1/log b a
જ્યાં a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

લોગ a m b n = (m/n) લોગ |a | |b|
જ્યાં a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
જ્યાં a, b, c > 0 અને a, b, c ≠ 1

ચોથી સમાનતાની માન્યતા બતાવવા માટે, ચાલો ડાબી બાજુનો લઘુગણક લઈએ અને જમણી બાજુપર આધારિત. આપણને લોગ a (b સાથેનો લોગ) = લોગ a (a સાથે b લોગ) અથવા b સાથે લોગ = a · લોગ a b સાથે લોગ મળે છે; log c b = log c a · ( log c b / log c a ); log with b = log with b.

અમે લઘુગણકની સમાનતા સાબિત કરી છે, જેનો અર્થ છે કે લઘુગણક હેઠળના સમીકરણો પણ સમાન છે. ફોર્મ્યુલા 4 સાબિત થયું છે.

ઉદાહરણ 1.

81 લોગ 27 5 લોગ 5 4 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

લોગ 27 5 = 1/3 લોગ 3 5, લોગ 5 4 = લોગ 3 4 / લોગ 3 5. તેથી,

લોગ 27 5 લોગ 5 4 = 1/3 લોગ 3 5 (લોગ 3 4 / લોગ 3 5) = 1/3 લોગ 3 4.

પછી 81 લોગ 27 5 લોગ 5 4 = (3 4) 1/3 લોગ 3 4 = (3 લોગ 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

તમે નીચેનું કાર્ય જાતે પૂર્ણ કરી શકો છો.

ગણતરી કરો (8 લોગ 2 3 + 3 1/ લોગ 2 3) - લોગ 0.2 5.

સંકેત તરીકે, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; લોગ 0.2 5 = -1.

જવાબ: 5.

ઉદાહરણ 2.

ગણતરી કરો (√11) લોગ √3 9- લોગ 121 81 .

ઉકેલ.

ચાલો સમીકરણો બદલીએ: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, લોગ √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, લોગ 121 81 = 2 લોગ 11 3 (સૂત્ર 3 નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો).

પછી (√11) લોગ √3 9- લોગ 121 81 = (11 1/2) 4-2 લોગ 11 3 = (11) 2- લોગ 11 3 = 11 2 / (11) લોગ 11 3 = 11 2 / ( 11 લોગ 11 3) = 121/3.

ઉદાહરણ 3.

લોગ 2 24 / લોગ 96 2 - લોગ 2 192 / લોગ 12 2 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

અમે ઉદાહરણમાં સમાવિષ્ટ લોગરીધમ્સને બેઝ 2 સાથે લોગરીધમ સાથે બદલીએ છીએ.

લોગ 96 2 = 1/લોગ 2 96 = 1/લોગ 2 (2 5 3) = 1/(લોગ 2 2 5 + લોગ 2 3) = 1/(5 + લોગ 2 3);

લોગ 2 192 = લોગ 2 (2 6 3) = (લોગ 2 2 6 + લોગ 2 3) = (6 + લોગ 2 3);

લોગ 2 24 = લોગ 2 (2 3 3) = (લોગ 2 2 3 + લોગ 2 3) = (3 + લોગ 2 3);

લોગ 12 2 = 1/લોગ 2 12 = 1/લોગ 2 (2 2 3) = 1/(લોગ 2 2 2 + લોગ 2 3) = 1/(2 + લોગ 2 3).

પછી લોગ 2 24 / લોગ 96 2 – લોગ 2 192 / લોગ 12 2 = (3 + લોગ 2 3) / (1/(5 + લોગ 2 3)) – ((6 + લોગ 2 3) / (1/( 2 + લોગ 2 3)) =

= (3 + લોગ 2 3) · (5 + લોગ 2 3) – (6 + લોગ 2 3)(2 + લોગ 2 3).

કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સમાન શબ્દો લાવ્યા પછી, આપણને નંબર 3 મળે છે. (અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવતી વખતે, આપણે લોગ 2 3 ને n દ્વારા દર્શાવી શકીએ છીએ અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

જવાબ: 3.

તમે નીચેનું કાર્ય જાતે પૂર્ણ કરી શકો છો:

ગણતરી કરો (લોગ 3 4 + લોગ 4 3 + 2) લોગ 3 16 લોગ 2 144 3.

અહીં આધાર 3 લઘુગણકમાં સંક્રમણ કરવું અને મોટી સંખ્યાના અવયવીકરણને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં બનાવવું જરૂરી છે.

જવાબ: 1/2

ઉદાહરણ 4.

આપેલ ત્રણ સંખ્યાઓ A = 1/(લોગ 3 0.5), B = 1/(લોગ 0.5 3), C = લોગ 0.5 12 – લોગ 0.5 3. તેમને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો.

ઉકેલ.

ચાલો A = 1/(લોગ 3 0.5) = લોગ 0.5 3 નંબરોને રૂપાંતરિત કરીએ; C = લોગ 0.5 12 – લોગ 0.5 3 = લોગ 0.5 12/3 = લોગ 0.5 4 = -2.

ચાલો તેમની સરખામણી કરીએ

લોગ 0.5 3 > લોગ 0.5 4 = -2 અને લોગ 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

અથવા -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

જવાબ આપો. તેથી, સંખ્યાઓ મૂકવાનો ક્રમ છે: C; એ; IN

ઉદાહરણ 5.

અંતરાલમાં કેટલા પૂર્ણાંકો છે (લોગ 3 1 / 16 ; લોગ 2 6 48).

ઉકેલ.

ચાલો આપણે નક્કી કરીએ કે નંબર 3 ની કઈ શક્તિઓ વચ્ચે નંબર 1/16 સ્થિત છે. અમને 1/27 મળે છે< 1 / 16 < 1 / 9 .

ફંક્શન y = લોગ 3 x વધી રહ્યું હોવાથી, પછી લોગ 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

લોગ 6 48 = લોગ 6 (36 4 / 3) = લોગ 6 36 + લોગ 6 (4 / 3) = 2 + લોગ 6 (4 / 3). ચાલો લોગ 6 (4/3) અને 1/5 ની સરખામણી કરીએ. અને આ માટે આપણે 4/3 અને 6 1/5 નંબરોની તુલના કરીએ છીએ. ચાલો બંને સંખ્યાઓને 5મી ઘાત સુધી વધારીએ. આપણને મળે છે (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

લોગ 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

તેથી, અંતરાલ (લોગ 3 1 / 16 ; લોગ 6 48) માં અંતરાલ [-2; 4] અને તેના પર પૂર્ણાંક -2 મૂકવામાં આવે છે; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

જવાબ: 7 પૂર્ણાંકો.

ઉદાહરણ 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

પછી 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.

જવાબ:-1.

ઉદાહરણ 7.

તે જાણીતું છે કે લોગ 2 (√3 + 1) + લોગ 2 (√6 – 2) = A. લોગ 2 (√3 –1) + લોગ 2 (√6 + 2) શોધો.

ઉકેલ.

સંખ્યાઓ (√3 + 1) અને (√3 – 1); (√6 – 2) અને (√6 + 2) સંયુક્ત છે.

ચાલો અભિવ્યક્તિનું નીચેનું રૂપાંતર કરીએ

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

પછી લોગ 2 (√3 – 1) + લોગ 2 (√6 + 2) = લોગ 2 (2/(√3 + 1)) + લોગ 2 (2/(√6 – 2)) =

લોગ 2 2 – લોગ 2 (√3 + 1) + લોગ 2 2 – લોગ 2 (√6 – 2) = 1 – લોગ 2 (√3 + 1) + 1 – લોગ 2 (√6 – 2) =

2 – લોગ 2 (√3 + 1) – લોગ 2 (√6 – 2) = 2 – A.

જવાબ: 2 – એ.

ઉદાહરણ 8.

અભિવ્યક્તિની અંદાજિત કિંમતને સરળ બનાવો અને શોધો (લોગ 3 2 લોગ 4 3 લોગ 5 4 લોગ 6 5 ... લોગ 10 9.

ઉકેલ.

અમે તમામ લઘુગણકને ઘટાડીએ છીએ સામાન્ય જમીન 10.

(લોગ 3 2 લોગ 4 3 લોગ 5 4 લોગ 6 5 ... લોગ 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (lg 2 ની અંદાજિત કિંમત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, સ્લાઇડ નિયમઅથવા કેલ્ક્યુલેટર).

જવાબ: 0.3010.

ઉદાહરણ 9.

લોગ a 2 b 3 √(a 11 b -3) જો લોગ √ a b 3 = 1 હોય તો ગણતરી કરો. (આ ઉદાહરણમાં, a 2 b 3 એ લઘુગણકનો આધાર છે).

ઉકેલ.

જો લોગ √ a b 3 = 1, તો 3/(0.5 log a b = 1. અને log a b = 1/6.

પછી લોગ કરો a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (લોગ a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) તે લોગ a b = 1/ 6 આપણને મળે છે (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10.5/5 = 2.1.

જવાબ: 2.1.

તમે નીચેનું કાર્ય જાતે પૂર્ણ કરી શકો છો:

લોગ √3 6 √2.1 ની ગણતરી કરો જો લોગ 0.7 27 = a.

જવાબ: (3 + a) / (3a).

ઉદાહરણ 10.

6.5 4/ લોગ 3 169 · 3 1/ લોગ 4 13 + લોગ125 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

6.5 4/ લોગ 3 169 · 3 1/ લોગ 4 13 + લોગ 125 = (13/2) 4/2 લોગ 3 13 · 3 2/ લોગ 2 13 + 2લોગ 5 5 3 = (13/2) 2 લોગ 13 3 3 2 લોગ 13 2 + 6 = (13 લોગ 13 3 / 2 લોગ 13 3) 2 (3 લોગ 13 2) 2 + 6 = (3/2 લોગ 13 3) 2 (3 લોગ 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 લોગ 13 3) 2) · (2 લોગ 13 3) 2 + 6.

(2 લોગ 13 3 = 3 લોગ 13 2 (સૂત્ર 4))

આપણને 9 + 6 = 15 મળે છે.

જવાબ: 15.

હજુ પણ પ્રશ્નો છે? લોગરીધમિક અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય કેવી રીતે શોધવું તેની ખાતરી નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે, નોંધણી કરો.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

પાઠનો પ્રકાર:જ્ઞાનના સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણનો પાઠ

લક્ષ્યો:

સામાન્ય પુનરાવર્તન અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીના ભાગરૂપે લઘુગણક અને તેમની મિલકતો વિશે વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાનને અપડેટ કરો;
વિદ્યાર્થીઓની માનસિક પ્રવૃત્તિ, એપ્લિકેશન કુશળતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનકસરત કરતી વખતે;
વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો વ્યક્તિગત ગુણોવિદ્યાર્થીઓ, સ્વ-નિયંત્રણ કુશળતા અને તેમની પ્રવૃત્તિઓનું સ્વ-મૂલ્યાંકન; સખત મહેનત, ધીરજ, ખંત અને સ્વતંત્રતા કેળવો.

સાધન:કમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર, પ્રેઝન્ટેશન (પરિશિષ્ટ 1), હોમવર્ક સાથે કાર્ડ્સ (તમે ઇલેક્ટ્રોનિક ડાયરીમાં સોંપણી સાથે ફાઇલ જોડી શકો છો).

પાઠ પ્રગતિ

આઈ. સંસ્થાકીય ક્ષણ. શુભેચ્છાઓ, પાઠ માટે તૈયાર થાઓ.

II. ગૃહકાર્યની ચર્ચા.

III. પાઠનો વિષય અને હેતુ જણાવો. પ્રેરણા.(સ્લાઇડ 1) પ્રસ્તુતિ.

અમે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમની અમારી સામાન્ય સમીક્ષા ચાલુ રાખીએ છીએ. અને આજે પાઠમાં આપણે લઘુગણક અને તેમના ગુણધર્મો વિશે વાત કરીશું.

લઘુગણકની ગણતરી કરવા અને લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરવા માટેના કાર્યો મૂળભૂત અને બંનેના નિયંત્રણ અને માપન સામગ્રીમાં આવશ્યકપણે હાજર છે. પ્રોફાઇલ સ્તર. તેથી, અમારા પાઠનો ધ્યેય ખ્યાલ "લોગરીધમ" ના અર્થ વિશેના વિચારોને પુનઃસ્થાપિત કરવાનો અને લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓને કન્વર્ટ કરવાની કુશળતાને અપડેટ કરવાનો છે. તમારી નોટબુકમાં પાઠનો વિષય લખો.

IV. જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

1. /મૌખિક રીતે/પ્રથમ, ચાલો યાદ કરીએ કે લઘુગણક કોને કહેવાય. (સ્લાઇડ 2)

(એક આધાર માટે ધન સંખ્યા b નું લઘુગણક (જ્યાં a > 0, a?1) એ ઘાતાંક છે જેના પર સંખ્યા b મેળવવા માટે a સંખ્યાને વધારવી આવશ્યક છે)

લોગ a b = n<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)

તેથી, “LOGARITHM” એ “EXPONSOR” છે!

(સ્લાઇડ 3) પછી a n = b ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકાય છે = b - મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ.

જો આધાર a = 10 હોય, તો લઘુગણકને દશાંશ કહેવામાં આવે છે અને તેને lgb સૂચવવામાં આવે છે.

જો a = e, તો લઘુગણકને પ્રાકૃતિક કહેવામાં આવે છે અને તેને lnb સૂચવવામાં આવે છે.

2. /લેખિતમાં/ (સ્લાઇડ 4)યોગ્ય સમીકરણો મેળવવા માટે ખાલી જગ્યાઓ ભરો:

લોગ? x + લોગ a ? =લોગ? (?y)

લોગ એ? - લોગ? y = લોગ ? (x/?)

લોગ a x? = plog? (?)

પરીક્ષા:

1; 1; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

આ લઘુગણકના ગુણધર્મો છે. અને ગુણધર્મોનું બીજું જૂથ: (સ્લાઇડ 5)

પરીક્ષા:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. મૌખિક કાર્ય

(સ્લાઇડ 6) નંબર 1. ગણતરી કરો:

એ) બી) સી) ડી); ડી).

જવાબો : a) 4; b) - 2; c) 2; ડી) 7; ડી) 27.

(સ્લાઇડ 7) નંબર 2. એક્સ શોધો:

એ); b) (જવાબો: a) 1/4; b) 9).

નંબર 3. શું આવા લઘુગણકને ધ્યાનમાં લેવાનો અર્થ છે:

એ); b) ; વી) ? (ના)

VI. સ્વતંત્ર કાર્યજૂથોમાં, મજબૂત વિદ્યાર્થીઓ - સલાહકારો. (સ્લાઇડ 8)

નંબર 1. ગણતરી કરો: .

#2: સરળ બનાવો:

નંબર 3. જો અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો

નંબર 4. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

નંબર 5. ગણતરી કરો:

નંબર 6. ગણતરી કરો:

નંબર 7. ગણતરી કરો:

નંબર 8. ગણતરી કરો:

પૂર્ણ થયા પછી, તૈયાર સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને અથવા દસ્તાવેજ કેમેરાનો ઉપયોગ કરીને તપાસો અને ચર્ચા કરો.

VII. વધેલી જટિલતાના કાર્યનું નિરાકરણ(બોર્ડ પર મજબૂત વિદ્યાર્થી, બાકીનો નોટબુકમાં) (સ્લાઇડ 9)

અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

VIII. હોમવર્ક(કાર્ડ્સ પર) ભિન્નતા.(સ્લાઇડ 10)

નંબર 1. ગણતરી કરો:

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

કાર્યો જેનો ઉકેલ છે લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં એકદમ સામાન્ય છે.

ન્યૂનતમ સમય સાથે સફળતાપૂર્વક તેમની સાથે સામનો કરવા માટે, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ઉપરાંત, તમારે કેટલાક વધુ સૂત્રોને જાણવાની અને યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

આ છે: a log a b = b, જ્યાં a, b > 0, a ≠ 1 (તે લઘુગણકની વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ અનુસરે છે).

log a b = log c b / log c a અથવા log a b = 1/log b a
જ્યાં a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

લોગ a m b n = (m/n) લોગ |a | |b|
જ્યાં a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
જ્યાં a, b, c > 0 અને a, b, c ≠ 1

ચોથી સમાનતાની માન્યતા બતાવવા માટે, ચાલો ડાબી અને જમણી બાજુઓના લઘુગણકને આધાર a પર લઈએ. આપણને લોગ a (b સાથેનો લોગ) = લોગ a (a સાથે b લોગ) અથવા b સાથે લોગ = a · લોગ a b સાથે લોગ મળે છે; log c b = log c a · ( log c b / log c a ); log with b = log with b.

ઉદાહરણ 1.

81 લોગ 27 5 લોગ 5 4 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

લોગ 27 5 = 1/3 લોગ 3 5, લોગ 5 4 = લોગ 3 4 / લોગ 3 5. તેથી,

લોગ 27 5 લોગ 5 4 = 1/3 લોગ 3 5 (લોગ 3 4 / લોગ 3 5) = 1/3 લોગ 3 4.

પછી 81 લોગ 27 5 લોગ 5 4 = (3 4) 1/3 લોગ 3 4 = (3 લોગ 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

તમે નીચેનું કાર્ય જાતે પૂર્ણ કરી શકો છો.

ગણતરી કરો (8 લોગ 2 3 + 3 1/ લોગ 2 3) - લોગ 0.2 5.

સંકેત તરીકે, 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; લોગ 0.2 5 = -1.

જવાબ: 5.

ઉદાહરણ 2.

ગણતરી કરો (√11) લોગ √3 9- લોગ 121 81 .

ઉકેલ.

ચાલો સમીકરણો બદલીએ: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, લોગ √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, લોગ 121 81 = 2 લોગ 11 3 (સૂત્ર 3 નો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો).

પછી (√11) લોગ √3 9- લોગ 121 81 = (11 1/2) 4-2 લોગ 11 3 = (11) 2- લોગ 11 3 = 11 2 / (11) લોગ 11 3 = 11 2 / ( 11 લોગ 11 3) = 121/3.

ઉદાહરણ 3.

લોગ 2 24 / લોગ 96 2 - લોગ 2 192 / લોગ 12 2 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

અમે ઉદાહરણમાં સમાવિષ્ટ લોગરીધમ્સને બેઝ 2 સાથે લોગરીધમ સાથે બદલીએ છીએ.

લોગ 96 2 = 1/લોગ 2 96 = 1/લોગ 2 (2 5 3) = 1/(લોગ 2 2 5 + લોગ 2 3) = 1/(5 + લોગ 2 3);

લોગ 2 192 = લોગ 2 (2 6 3) = (લોગ 2 2 6 + લોગ 2 3) = (6 + લોગ 2 3);

લોગ 2 24 = લોગ 2 (2 3 3) = (લોગ 2 2 3 + લોગ 2 3) = (3 + લોગ 2 3);

લોગ 12 2 = 1/લોગ 2 12 = 1/લોગ 2 (2 2 3) = 1/(લોગ 2 2 2 + લોગ 2 3) = 1/(2 + લોગ 2 3).

પછી લોગ 2 24 / લોગ 96 2 – લોગ 2 192 / લોગ 12 2 = (3 + લોગ 2 3) / (1/(5 + લોગ 2 3)) – ((6 + લોગ 2 3) / (1/( 2 + લોગ 2 3)) =

= (3 + લોગ 2 3) · (5 + લોગ 2 3) – (6 + લોગ 2 3)(2 + લોગ 2 3).

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

જવાબ: 3.

તમે નીચેનું કાર્ય જાતે પૂર્ણ કરી શકો છો:

ગણતરી કરો (લોગ 3 4 + લોગ 4 3 + 2) લોગ 3 16 લોગ 2 144 3.

જવાબ: 1/2

ઉદાહરણ 4.

ઉકેલ.

ચાલો તેમની સરખામણી કરીએ

લોગ 0.5 3 > લોગ 0.5 4 = -2 અને લોગ 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

અથવા -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

જવાબ આપો. તેથી, સંખ્યાઓ મૂકવાનો ક્રમ છે: C; એ; IN

ઉદાહરણ 5.

અંતરાલમાં કેટલા પૂર્ણાંકો છે (લોગ 3 1 / 16 ; લોગ 2 6 48).

ઉકેલ.

ફંક્શન y = લોગ 3 x વધી રહ્યું હોવાથી, પછી લોગ 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

જવાબ: 7 પૂર્ણાંકો.

ઉદાહરણ 6.

3 lglg 2/ lg 3 - lg20 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

પછી 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1.

જવાબ:-1.

ઉદાહરણ 7.

તે જાણીતું છે કે લોગ 2 (√3 + 1) + લોગ 2 (√6 – 2) = A. લોગ 2 (√3 –1) + લોગ 2 (√6 + 2) શોધો.

ઉકેલ.

સંખ્યાઓ (√3 + 1) અને (√3 – 1); (√6 – 2) અને (√6 + 2) સંયુક્ત છે.

ચાલો અભિવ્યક્તિનું નીચેનું રૂપાંતર કરીએ

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

પછી લોગ 2 (√3 – 1) + લોગ 2 (√6 + 2) = લોગ 2 (2/(√3 + 1)) + લોગ 2 (2/(√6 – 2)) =

લોગ 2 2 – લોગ 2 (√3 + 1) + લોગ 2 2 – લોગ 2 (√6 – 2) = 1 – લોગ 2 (√3 + 1) + 1 – લોગ 2 (√6 – 2) =

2 – લોગ 2 (√3 + 1) – લોગ 2 (√6 – 2) = 2 – A.

જવાબ: 2 – એ.

ઉદાહરણ 8.

ઉકેલ.

ચાલો બધા લઘુગણકને સામાન્ય આધાર 10 સુધી ઘટાડીએ.

(લોગ 3 2 લોગ 4 3 લોગ 5 4 લોગ 6 5 ... લોગ 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0.3010 (lg 2 ની અંદાજિત કિંમત કોષ્ટક, સ્લાઇડ નિયમ અથવા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે).

જવાબ: 0.3010.

ઉદાહરણ 9.

ઉકેલ.

જો લોગ √ a b 3 = 1, તો 3/(0.5 log a b = 1. અને log a b = 1/6.

જવાબ: 2.1.

તમે નીચેનું કાર્ય જાતે પૂર્ણ કરી શકો છો:

લોગ √3 6 √2.1 ની ગણતરી કરો જો લોગ 0.7 27 = a.

જવાબ: (3 + a) / (3a).

ઉદાહરણ 10.

6.5 4/ લોગ 3 169 · 3 1/ લોગ 4 13 + લોગ125 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

(2 લોગ 13 3 = 3 લોગ 13 2 (સૂત્ર 4))