અજાણ્યા મિનુએન્ડ શોધવા માટે ત્રણ સમીકરણો. સમીકરણ

સમીકરણો એક છે મુશ્કેલ વિષયોએસિમિલેશન માટે, પરંતુ તે જ સમયે તેઓ પૂરતા છે શક્તિશાળી સાધનમોટાભાગની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે.

સમીકરણોનો ઉપયોગ વર્ણન કરવા માટે થાય છે વિવિધ પ્રક્રિયાઓ, પ્રકૃતિમાં બનતું. અન્ય વિજ્ઞાનમાં સમીકરણોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે: અર્થશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્ર.

IN આ પાઠઅમે સૌથી સરળ સમીકરણોના સારને સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું, અજાણ્યાઓને વ્યક્ત કરવાનું શીખીશું અને ઘણા સમીકરણોને હલ કરીશું. જેમ જેમ તમે નવી સામગ્રીઓ શીખશો તેમ, સમીકરણો વધુ જટિલ બનશે, તેથી મૂળભૂત બાબતોને સમજવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

સમીકરણ શું છે?

સમીકરણ એ એક સમાનતા છે જેમાં ચલ હોય છે જેનું મૂલ્ય તમે શોધવા માંગો છો. આ મૂલ્ય એવું હોવું જોઈએ કે જ્યારે તેને માં અવેજી કરવામાં આવે મૂળ સમીકરણસાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થઈ હતી.

ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ 2 + 2 = 4 એ સમાનતા છે. ડાબી બાજુની ગણતરી કરતી વખતે, સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 4 = 4 પ્રાપ્ત થાય છે.

પરંતુ સમાનતા 2 + છે x= 4 એ એક સમીકરણ છે કારણ કે તેમાં ચલ છે x, જેનું મૂલ્ય શોધી શકાય છે. મૂલ્ય એવું હોવું જોઈએ કે જ્યારે આ મૂલ્યને મૂળ સમીકરણમાં બદલો, ત્યારે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે એક મૂલ્ય શોધવું જોઈએ કે જેના પર સમાન ચિહ્ન તેના સ્થાનને ન્યાયી ઠેરવશે - ડાબી બાજુ જમણી બાજુની સમાન હોવી જોઈએ.

સમીકરણ 2 + x= 4 પ્રાથમિક છે. ચલ મૂલ્ય xસંખ્યા 2 ની બરાબર છે. અન્ય કોઈપણ મૂલ્ય માટે, સમાનતા જોવામાં આવશે નહીં

તેઓ કહે છે કે નંબર 2 છે મૂળઅથવા સમીકરણ ઉકેલવું 2 + x = 4

રુટઅથવા સમીકરણનો ઉકેલ- આ ચલનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સમીકરણ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવાય છે.

ત્યાં ઘણા મૂળ હોઈ શકે છે અથવા બિલકુલ કોઈ નથી. સમીકરણ ઉકેલોતેનો અર્થ છે તેના મૂળ શોધવા અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ચલ અન્યથા કહેવાય છે અજ્ઞાત. તમને જે પસંદ હોય તેને કૉલ કરવાનો તમને અધિકાર છે. આ સમાનાર્થી છે.

નોંધ. "સમીકરણ હલ કરો" વાક્ય પોતાને માટે બોલે છે. સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ છે સમીકરણને "સમાન કરવું" - તેને સંતુલિત બનાવવું જેથી ડાબી બાજુ જમણી બાજુની બરાબર થાય.

એક વસ્તુ બીજી દ્વારા વ્યક્ત કરો

સમીકરણોનો અભ્યાસ પરંપરાગત રીતે અન્ય સંખ્યા દ્વારા સમાનતામાં સમાવિષ્ટ એક સંખ્યાને વ્યક્ત કરવાનું શીખવાથી શરૂ થાય છે. ચાલો આ પરંપરા તોડીએ નહીં અને તે જ કરીએ.

નીચેના અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો:

8 + 2

આ અભિવ્યક્તિ 8 અને 2 નંબરોનો સરવાળો છે. અર્થ આપેલ અભિવ્યક્તિ 10 બરાબર છે

8 + 2 = 10

અમને સમાનતા મળી. હવે તમે સમાન સમાનતામાં સમાવિષ્ટ અન્ય સંખ્યાઓ દ્વારા આ સમાનતામાંથી કોઈપણ સંખ્યાને વ્યક્ત કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો નંબર 2 વ્યક્ત કરીએ.

નંબર 2 વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે પ્રશ્ન પૂછવાની જરૂર છે: "નંબર 2 મેળવવા માટે 10 અને 8 નંબર સાથે શું કરવું જોઈએ." તે સ્પષ્ટ છે કે નંબર 2 મેળવવા માટે, તમારે નંબર 10 માંથી નંબર 8 બાદબાકી કરવાની જરૂર છે.

તે આપણે કરીએ છીએ. અમે નંબર 2 લખીએ છીએ અને સમાન ચિહ્ન દ્વારા અમે કહીએ છીએ કે આ નંબર 2 મેળવવા માટે અમે નંબર 10 માંથી નંબર 8 બાદ કર્યો:

2 = 10 − 8

અમે સમાનતા 8 + 2 = 10 માંથી નંબર 2 વ્યક્ત કર્યો. ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે, આમાં કંઈ જટિલ નથી.

સમીકરણો હલ કરતી વખતે, ખાસ કરીને જ્યારે અન્યની દ્રષ્ટિએ એક સંખ્યા વ્યક્ત કરતી વખતે, સમાન ચિહ્નને શબ્દ સાથે બદલવું અનુકૂળ છે. ત્યાં છે" . આ માનસિક રીતે થવું જોઈએ, અને અભિવ્યક્તિમાં જ નહીં.

તેથી, સમાનતા 8 + 2 = 10 માંથી સંખ્યા 2 દર્શાવતા, આપણને સમાનતા 2 = 10 − 8 મળે છે. આ સમાનતા નીચે પ્રમાણે વાંચી શકાય છે:

2 છે 10 − 8

એટલે કે નિશાની = "is" શબ્દ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. વધુમાં, સમાનતા 2 = 10 − 8 માંથી ભાષાંતર કરી શકાય છે ગાણિતિક ભાષાસંપૂર્ણ સુવિધાયુક્ત માટે માનવ ભાષા. પછી તે નીચે પ્રમાણે વાંચી શકાય છે:

નંબર 2 છેનંબર 10 અને નંબર 8 વચ્ચેનો તફાવત

નંબર 2 છેનંબર 10 અને નંબર 8 વચ્ચેનો તફાવત.

પરંતુ આપણે આપણી જાતને ફક્ત "છે" શબ્દ સાથે સમાન ચિહ્નને બદલવા માટે મર્યાદિત કરીશું અને અમે હંમેશા આ કરીશું નહીં. પ્રાથમિક અભિવ્યક્તિઓ ગણિતની ભાષાને માનવ ભાષામાં અનુવાદિત કર્યા વિના સમજી શકાય છે.

ચાલો પરિણામી સમાનતા 2 = 10 − 8 ને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત કરીએ:

8 + 2 = 10

ચાલો આ વખતે નંબર 8 વ્યક્ત કરીએ 8 નંબર મેળવવા માટે બાકીની સંખ્યાઓ સાથે શું કરવાની જરૂર છે? તે સાચું છે, તમારે 10 નંબરમાંથી 2 બાદબાકી કરવાની જરૂર છે

8 = 10 − 2

ચાલો પરિણામી સમાનતા 8 = 10 − 2 ને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત કરીએ:

8 + 2 = 10

આ વખતે આપણે 10 નંબરને વ્યક્ત કરીશું. પરંતુ તે તારણ આપે છે કે દસને વ્યક્ત કરવાની કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે તે પહેલેથી જ વ્યક્ત થયેલ છે. ડાબા અને જમણા ભાગોને સ્વેપ કરવા માટે તે પૂરતું છે, પછી આપણને જે જોઈએ છે તે મળે છે:

10 = 8 + 2

ઉદાહરણ 2. સમાનતા 8 − 2 = 6 ધ્યાનમાં લો

ચાલો આ સમાનતામાંથી નંબર 8 વ્યક્ત કરીએ, 8 નંબરને વ્યક્ત કરવા માટે, બાકીની બે સંખ્યાઓ ઉમેરવી આવશ્યક છે:

8 = 6 + 2

ચાલો પરિણામી સમાનતા 8 = 6 + 2 ને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત કરીએ:

8 − 2 = 6

ચાલો આ સમાનતામાંથી સંખ્યા 2 વ્યક્ત કરીએ, 2 ને વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે 8 માંથી 6 બાદ કરવાની જરૂર છે

2 = 8 − 6

ઉદાહરણ 3. સમાનતા 3 × 2 = 6 ધ્યાનમાં લો

ચાલો સંખ્યા 3 ને વ્યક્ત કરીએ. સંખ્યા 3 ને વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે 6 ભાગ્યા 2 ની જરૂર છે

ચાલો પરિણામી સમાનતાને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત કરીએ:

3 × 2 = 6

ચાલો આ સમાનતામાંથી નંબર 2 વ્યક્ત કરીએ, 2 ને વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે 6 ભાગ્યા 3ની જરૂર છે

ઉદાહરણ 4. સમાનતા ધ્યાનમાં લો

ચાલો આ સમાનતામાંથી 15 નંબરને વ્યક્ત કરીએ

15 = 3 × 5

ચાલો પરિણામી સમાનતા 15 = 3 × 5 ને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પરત કરીએ:

ચાલો આ સમાનતામાંથી 5 સંખ્યાને વ્યક્ત કરીએ, તમારે 15 ભાગ્યા 3ની જરૂર છે

અજાણ્યાઓને શોધવાના નિયમો

ચાલો અજાણ્યાઓ શોધવા માટેના ઘણા નિયમો ધ્યાનમાં લઈએ. તેઓ તમને પરિચિત હોઈ શકે છે, પરંતુ તેમને ફરીથી પુનરાવર્તન કરવાથી નુકસાન થતું નથી. ભવિષ્યમાં, તેઓ ભૂલી શકાય છે, કારણ કે આપણે આ નિયમો લાગુ કર્યા વિના સમીકરણો ઉકેલવાનું શીખીએ છીએ.

ચાલો પહેલા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ, જે આપણે અગાઉના વિષયમાં જોયું હતું, જ્યાં સમાનતા 8 + 2 = 10 માં આપણે સંખ્યા 2 ને વ્યક્ત કરવાની જરૂર હતી.

સમાનતા 8 + 2 = 10 માં, સંખ્યાઓ 8 અને 2 એ શરતો છે, અને સંખ્યા 10 એ સરવાળો છે.

નંબર 2 વ્યક્ત કરવા માટે, અમે નીચે મુજબ કર્યું:

2 = 10 − 8

એટલે કે, 10 ના સરવાળામાંથી આપણે શબ્દ 8 બાદ કર્યો.

હવે કલ્પના કરો કે સમાનતા 8 + 2 = 10 માં, નંબર 2 ને બદલે એક ચલ છે x

8 + x = 10

આ કિસ્સામાં, સમાનતા 8 + 2 = 10 એ સમીકરણ 8 + બને છે x= 10 અને ચલ x અજ્ઞાત શબ્દ

અમારું કાર્ય તેને શોધવાનું છે અજ્ઞાત શબ્દ, એટલે કે, સમીકરણ 8 + હલ કરો x= 10. અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે, નીચેનો નિયમ આપવામાં આવ્યો છે:

અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે, તમારે સરવાળામાંથી જાણીતા શબ્દને બાદ કરવાની જરૂર છે.

જે મૂળભૂત રીતે એ છે કે જ્યારે આપણે સમાનતા 8 + 2 = 10 માં બે વ્યક્ત કર્યા ત્યારે આપણે શું કર્યું. શબ્દ 2 ને વ્યક્ત કરવા માટે, અમે સરવાળા 10 માંથી બીજો શબ્દ 8 બાદ કર્યો

2 = 10 − 8

હવે, અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે x, આપણે સરવાળા 10 માંથી જાણીતા શબ્દ 8 ને બાદ કરવો જોઈએ:

x = 10 − 8

જો તમે પરિણામી સમાનતાની જમણી બાજુની ગણતરી કરો છો, તો તમે શોધી શકો છો કે ચલ શું બરાબર છે x

x = 2

અમે સમીકરણ હલ કર્યું છે. ચલ મૂલ્ય x 2 બરાબર છે. ચલની કિંમત ચકાસવા માટે xમૂળ સમીકરણ 8 + પર મોકલ્યું x= 10 અને અવેજી xકોઈપણ ઉકેલાયેલ સમીકરણ સાથે આ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, કારણ કે તમે સંપૂર્ણ રીતે ખાતરી કરી શકતા નથી કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ કરવામાં આવ્યું છે:

પરિણામે

જો અજાણ્યો શબ્દ પ્રથમ નંબર 8 હોય તો તે જ નિયમ લાગુ થશે.

x + 2 = 10

આ સમીકરણમાં xઅજ્ઞાત શબ્દ છે, 2 જાણીતો શબ્દ છે, 10 સરવાળો છે. અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે x, તમારે સરવાળા 10 માંથી જાણીતા શબ્દ 2 ને બાદ કરવાની જરૂર છે

x = 10 − 2

x = 8

ચાલો પાછલા વિષયના બીજા ઉદાહરણ પર પાછા આવીએ, જ્યાં સમાનતા 8 − 2 = 6 માં સંખ્યા 8 વ્યક્ત કરવી જરૂરી હતી.

સમાનતા 8 − 2 = 6 માં, નંબર 8 એ લઘુત્તમ છે, સંખ્યા 2 એ સબટ્રાહેન્ડ છે અને સંખ્યા 6 એ તફાવત છે

નંબર 8 વ્યક્ત કરવા માટે, અમે નીચે મુજબ કર્યું:

8 = 6 + 2

એટલે કે, આપણે 6 નો તફાવત ઉમેર્યો અને બાદબાકી કરેલ 2.

હવે કલ્પના કરો કે સમાનતા 8 − 2 = 6 માં, સંખ્યા 8 ને બદલે, એક ચલ છે. x

x − 2 = 6

આ કિસ્સામાં ચલ xકહેવાતી ભૂમિકા નિભાવે છે અજ્ઞાત મીનીએન્ડ

અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, નીચેનો નિયમ પ્રદાન કરવામાં આવે છે:

અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે.

જ્યારે આપણે સમાનતા 8 − 2 = 6 માં સંખ્યા 8 વ્યક્ત કરી ત્યારે આ અમે કર્યું. 8 ના લઘુઅંકને વ્યક્ત કરવા માટે, અમે 6 ના તફાવત સાથે 2 નો સબટ્રાહેન્ડ ઉમેર્યો.

હવે, અજાણ્યા મિનુએન્ડને શોધવા માટે x, આપણે તફાવત 6 માં સબટ્રાહેન્ડ 2 ઉમેરવો જોઈએ

x = 6 + 2

જો તમે જમણી બાજુની ગણતરી કરો છો, તો તમે શોધી શકો છો કે ચલ શેના બરાબર છે x

x = 8

હવે કલ્પના કરો કે સમાનતા 8 − 2 = 6 માં, સંખ્યા 2 ને બદલે, એક ચલ છે. x

8 − x = 6

આ કિસ્સામાં ચલ xભૂમિકા નિભાવે છે અજ્ઞાત સબટ્રેહેન્ડ

અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, નીચેનો નિયમ આપવામાં આવે છે:

અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, તમારે મીન્યુએન્ડમાંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે.

આ તે છે જ્યારે આપણે સમાનતા 8 − 2 = 6 માં સંખ્યા 2 વ્યક્ત કરી હતી. સંખ્યા 2 ને વ્યક્ત કરવા માટે, અમે મીન્યુએન્ડ 8 માંથી તફાવત 6 બાદ કર્યો.

હવે, અજાણ્યા સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે x, તમારે ફરીથી મિનિટ 8 માંથી તફાવત 6 બાદ કરવાની જરૂર છે

x = 8 − 6

અમે જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ છીએ અને મૂલ્ય શોધીએ છીએ x

x = 2

ચાલો પાછલા વિષયના ત્રીજા ઉદાહરણ પર પાછા આવીએ, જ્યાં સમાનતા 3 × 2 = 6 માં આપણે 3 નંબરને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.

સમાનતા 3 × 2 = 6 માં, સંખ્યા 3 એ ગુણાકાર છે, સંખ્યા 2 એ ગુણક છે, સંખ્યા 6 એ ગુણાંક છે

નંબર 3 વ્યક્ત કરવા માટે અમે નીચે મુજબ કર્યું:

એટલે કે, આપણે 6 ના ગુણાંકને 2 ના અવયવ વડે ભાગ્યા.

હવે કલ્પના કરો કે સમાનતા 3 × 2 = 6 માં, સંખ્યા 3 ને બદલે એક ચલ છે x

x× 2 = 6

આ કિસ્સામાં ચલ xભૂમિકા નિભાવે છે અજ્ઞાત ગુણાકાર.

અજ્ઞાત ગુણાકાર શોધવા માટે, નીચેનો નિયમ આપવામાં આવે છે:

અજ્ઞાત ગુણાકાર શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને અવયવ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

જ્યારે આપણે સમાનતા 3 × 2 = 6 માંથી નંબર 3 વ્યક્ત કર્યો ત્યારે આ અમે કર્યું. અમે ઉત્પાદન 6 ને પરિબળ 2 દ્વારા વિભાજિત કર્યું.

હવે અજ્ઞાત ગુણાકાર શોધવા માટે x, તમારે ઉત્પાદન 6 ને પરિબળ 2 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

જમણી બાજુની ગણતરી કરવાથી આપણે ચલની કિંમત શોધી શકીએ છીએ x

x = 3

જો ચલ હોય તો આ જ નિયમ લાગુ પડે છે xગુણકને બદલે સ્થિત છે, ગુણાકારની જગ્યાએ નહીં. ચાલો કલ્પના કરીએ કે સમાનતા 3 × 2 = 6 માં, નંબર 2 ને બદલે એક ચલ છે x

આ કિસ્સામાં ચલ xભૂમિકા નિભાવે છે અજ્ઞાત ગુણક. અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, અજ્ઞાત ગુણાકાર શોધવા માટે સમાન પ્રક્રિયા પૂરી પાડવામાં આવે છે, એટલે કે, જાણીતા પરિબળ દ્વારા ઉત્પાદનને વિભાજિત કરવું:

શોધવા માટે અજ્ઞાત ગુણક, તમારે ઉત્પાદનને તેના ગુણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

જ્યારે આપણે સમાનતા 3 × 2 = 6 માંથી નંબર 2 વ્યક્ત કર્યો ત્યારે આ અમે કર્યું. પછી નંબર 2 મેળવવા માટે આપણે 6 ના ગુણાંકને તેના ગુણાકાર અને 3 વડે ભાગ્યા.

હવે અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે xઅમે 6 ના ગુણાંકને 3 ના ગુણાકાર વડે ભાગ્યા.

સમાનતાની જમણી બાજુની ગણતરી તમને x બરાબર શું છે તે શોધવાની મંજૂરી આપે છે

x = 2

ગુણાકાર અને ગુણાકારને મળીને અવયવ કહેવામાં આવે છે. ગુણાકાર અને ગુણાકાર શોધવાના નિયમો સમાન હોવાથી, આપણે ઘડી શકીએ છીએ સામાન્ય નિયમઅજ્ઞાત પરિબળ શોધવું:

અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમીકરણ 9 × હલ કરીએ x= 18. ચલ xઅજ્ઞાત પરિબળ છે. આ અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદન 18 ને જાણીતા પરિબળ 9 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ x× 3 = 27. ચલ xઅજ્ઞાત પરિબળ છે. આ અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદન 27 ને જાણીતા પરિબળ 3 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે

ચાલો પાછલા વિષયના ચોથા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ, જ્યાં સમાનતામાં આપણે સંખ્યા 15 ને વ્યક્ત કરવાની જરૂર હતી. આ સમાનતામાં, સંખ્યા 15 એ ડિવિડન્ડ છે, નંબર 5 એ વિભાજક છે અને નંબર 3 એ ભાગાકાર છે.

15 નંબરને વ્યક્ત કરવા માટે અમે નીચે મુજબ કર્યું:

15 = 3 × 5

એટલે કે, આપણે 3 ના ભાગને 5 ના ભાજક વડે ગુણ્યા.

હવે કલ્પના કરો કે સમાનતામાં, 15 નંબરને બદલે, એક ચલ છે x

આ કિસ્સામાં ચલ xભૂમિકા નિભાવે છે અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ.

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, નીચેનો નિયમ આપવામાં આવે છે:

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે ભાગાકારને વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

જ્યારે અમે સમાનતામાંથી 15 નંબર વ્યક્ત કર્યો ત્યારે આ અમે કર્યું. 15 નંબરને વ્યક્ત કરવા માટે, આપણે 3 ના ભાગને 5 ના ભાજક વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.

હવે, અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે x, તમારે ભાગ્ય 3 ને વિભાજક 5 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે

x= 3 × 5

x .

x = 15

હવે કલ્પના કરો કે સમાનતામાં, 5 નંબરને બદલે, એક ચલ છે x .

આ કિસ્સામાં ચલ xભૂમિકા નિભાવે છે અજ્ઞાત વિભાજક.

અજ્ઞાત વિભાજક શોધવા માટે, નીચેનો નિયમ આપવામાં આવે છે:

જ્યારે અમે સમાનતામાંથી 5 નંબર વ્યક્ત કર્યો ત્યારે આ અમે કર્યું. 5 નંબરને વ્યક્ત કરવા માટે, આપણે ડિવિડન્ડ 15 ને ભાગાંક 3 વડે ભાગીએ છીએ.

હવે અજાણ્યા વિભાજકને શોધવા માટે x, તમારે ડિવિડન્ડ 15 ને ભાગ 3 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે

ચાલો પરિણામી સમાનતાની જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ. આ રીતે આપણે શોધીએ છીએ કે વેરીએબલ શું છે x .

x = 5

તેથી, અજાણ્યાઓને શોધવા માટે, અમે નીચેના નિયમોનો અભ્યાસ કર્યો:

• અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે, તમારે સરવાળામાંથી જાણીતા શબ્દને બાદ કરવાની જરૂર છે;
• અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે;
• અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, તમારે મીન્યુએન્ડમાંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે;
• અજ્ઞાત ગુણાકાર શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે;
• અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને ગુણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે;
• અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે ભાગલાને વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે;
• અજાણ્યા વિભાજકને શોધવા માટે, તમારે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

ઘટકો

અમે સમાનતામાં સમાવિષ્ટ સંખ્યાઓ અને ચલોને ઘટકો કહીશું

તેથી, ઉમેરાના ઘટકો છે શરતોઅને સરવાળો

બાદબાકી ઘટકો છે નમ્રતા, સબટ્રાહેન્ડઅને તફાવત

ગુણાકારના ઘટકો છે ગુણાકાર, પરિબળઅને કામ

વિભાજનના ઘટકો એ ડિવિડન્ડ, વિભાજક અને ભાગલાકાર છે.

અમે કયા ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ તેના આધારે, અજ્ઞાત શોધવા માટેના અનુરૂપ નિયમો લાગુ થશે. અમે અગાઉના વિષયમાં આ નિયમોનો અભ્યાસ કર્યો હતો. સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, આ નિયમોને હૃદયથી જાણવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1. 45 + સમીકરણનું મૂળ શોધો x = 60

45 - મુદત, x- અજ્ઞાત શબ્દ, 60 - રકમ. અમે ઉમેરણના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. અમને યાદ છે કે અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે, તમારે સરવાળામાંથી જાણીતા શબ્દને બાદ કરવાની જરૂર છે:

x = 60 − 45

ચાલો જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ અને મૂલ્ય મેળવીએ x 15 ની બરાબર

x = 15

તેથી સમીકરણનું મૂળ 45+ છે x= 60 બરાબર 15.

મોટેભાગે, અજાણ્યા શબ્દને એવા સ્વરૂપમાં ઘટાડવો જોઈએ જેમાં તે વ્યક્ત કરી શકાય.

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

અહીં, અગાઉના ઉદાહરણથી વિપરીત, અજ્ઞાત શબ્દ તરત જ વ્યક્ત કરી શકાતો નથી, કારણ કે તેમાં 2 નો ગુણાંક છે. અમારું કાર્ય આ સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં લાવવાનું છે જેમાં તેને વ્યક્ત કરી શકાય. x

આ ઉદાહરણમાં, અમે ઉમેરાના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ - શરતો અને સરવાળો. 2 xપ્રથમ પદ છે, 4 બીજી પદ છે, 8 સરવાળો છે.

આ કિસ્સામાં, શબ્દ 2 xચલ સમાવે છે x. ચલની કિંમત શોધ્યા પછી xમુદત 2 xએક અલગ દેખાવ લેશે. તેથી, શબ્દ 2 xસંપૂર્ણપણે અજાણ્યા શબ્દ તરીકે લઈ શકાય છે:

હવે અમે અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટેનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ. સરવાળામાંથી જાણીતા શબ્દને બાદ કરો:

ચાલો પરિણામી સમીકરણની જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ:

અમારી પાસે એક નવું સમીકરણ છે. હવે આપણે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ: ગુણાકાર, ગુણક અને ઉત્પાદન. 2 - ગુણાકાર, x- ગુણક, 4 - ઉત્પાદન

આ કિસ્સામાં, ચલ xમાત્ર ગુણક નથી, પરંતુ અજ્ઞાત ગુણક છે

આ અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને ગુણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

ચાલો જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ અને ચલની કિંમત મેળવીએ x

ચકાસવા માટે, મૂળ સમીકરણ અને અવેજીમાં મળેલ રૂટને મોકલો x

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો 3x+ 9x+ 16x= 56

અજાણ્યાને તરત જ વ્યક્ત કરો xતે પ્રતિબંધિત છે. પ્રથમ તમારે આ સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે જેમાં તે વ્યક્ત કરી શકાય.

અમે ડાબી બાજુએ રજૂ કરીએ છીએ આપેલ સમીકરણ:

અમે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. 28 - ગુણાકાર, x- ગુણક, 56 - ઉત્પાદન. તે જ સમયે xઅજ્ઞાત પરિબળ છે. અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને ગુણાકાર દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

અહીંથી x 2 બરાબર છે

સમાન સમીકરણો

અગાઉના ઉદાહરણમાં, સમીકરણ ઉકેલતી વખતે 3x + 9x + 16x = 56 , અમે લાવ્યા સમાન શરતોસમીકરણની ડાબી બાજુએ. પરિણામે, અમે એક નવું સમીકરણ 28 મેળવ્યું x= 56. જૂનું સમીકરણ 3x + 9x + 16x = 56 અને પરિણામી નવું સમીકરણ 28 x= 56 કહેવાય છે સમકક્ષ સમીકરણો, કારણ કે તેમના મૂળ એકરૂપ છે.

સમીકરણો સમકક્ષ કહેવાય છે જો તેમના મૂળ એકરૂપ થાય.

ચાલો તેને તપાસીએ. સમીકરણ માટે 3x+ 9x+ 16x= 56 આપણને 2 ની બરાબર રૂટ મળી. ચાલો પહેલા આ મૂળને સમીકરણમાં બદલીએ 3x+ 9x+ 16x= 56 , અને પછી સમીકરણ 28 માં x= 56, જે અગાઉના સમીકરણની ડાબી બાજુએ સમાન શરતો લાવીને મેળવવામાં આવ્યો હતો. આપણે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતાઓ મેળવવી જોઈએ

કામગીરીના ક્રમ મુજબ, ગુણાકાર પ્રથમ કરવામાં આવે છે:

ચાલો રુટ 2 ને બીજા સમીકરણ 28 માં બદલીએ x= 56

આપણે જોઈએ છીએ કે બંને સમીકરણો સમાન મૂળ ધરાવે છે. તેથી સમીકરણો 3x+ 9x+ 16x= 6 અને 28 x= 56 ખરેખર સમકક્ષ છે.

સમીકરણ ઉકેલવા માટે 3x+ 9x+ 16x= 56 અમે તેમાંથી એકનો ઉપયોગ કર્યો - સમાન શરતોનો ઘટાડો. સમીકરણના યોગ્ય ઓળખ પરિવર્તનથી અમને સમકક્ષ સમીકરણ 28 મેળવવાની મંજૂરી મળી x= 56, જે ઉકેલવા માટે સરળ છે.

થી ઓળખ પરિવર્તનપર આ ક્ષણેઆપણે ફક્ત અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવા, સમાન શબ્દો ઉમેરવા, બહાર કાઢવા તે જાણીએ છીએ સામાન્ય ગુણકકૌંસની બહાર, અને કૌંસને પણ ખોલો. ત્યાં અન્ય રૂપાંતરણો છે જેના વિશે તમારે જાણવું જોઈએ. પરંતુ માટે સામાન્ય વિચારસમીકરણોના સમાન પરિવર્તન વિશે, આપણે જે વિષયોનો અભ્યાસ કર્યો છે તે પૂરતા છે.

ચાલો કેટલાક રૂપાંતરણોને ધ્યાનમાં લઈએ જે આપણને સમકક્ષ સમીકરણ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે

જો તમે સમીકરણની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા ઉમેરશો, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

અને તે જ રીતે:

જો તમે સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી સમાન સંખ્યા બાદ કરો છો, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો સમાન સંખ્યામાં સમાન સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે (અથવા બંને બાજુથી બાદબાકી કરવામાં આવે તો) સમીકરણનું મૂળ બદલાશે નહીં.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો

સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી 10 બાદ કરો

અમને સમીકરણ 5 મળ્યું x= 10. અમે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે x, તમારે ઉત્પાદન 10 ને જાણીતા પરિબળ 5 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

અને અવેજી xમૂલ્ય 2 મળ્યું

અમને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળી. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

સમીકરણ ઉકેલવું આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી સંખ્યા 10 બાદ કરીએ છીએ. પરિણામે, અમે એક સમકક્ષ સમીકરણ મેળવ્યું. આ સમીકરણનું મૂળ, સમીકરણ જેવું 2 ની બરાબર છે

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ 4 ઉકેલો( x+ 3) = 16

સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી સંખ્યા 12 બાદ કરો

ડાબી બાજુએ 4 બાકી હશે x, અને જમણી બાજુએ નંબર 4

અમને સમીકરણ 4 મળ્યું x= 4. અમે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે x, તમારે ઉત્પાદન 4 ને જાણીતા પરિબળ 4 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે

ચાલો મૂળ સમીકરણ 4 પર પાછા ફરીએ( x+ 3) = 16 અને અવેજી xમૂલ્ય 1 મળ્યું

અમને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળી. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

સમીકરણ 4 ઉકેલવું ( x+ 3) = 16 આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી સંખ્યા 12 બાદ કરી. પરિણામે, અમે સમકક્ષ સમીકરણ 4 પ્રાપ્ત કર્યું x= 4. આ સમીકરણનું મૂળ, જેમ કે સમીકરણ 4( x+ 3) = 16 પણ 1 બરાબર છે

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો સમાનતાની ડાબી બાજુએ કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ:

સમીકરણની બંને બાજુએ નંબર 8 ઉમેરો

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુએ સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:

ડાબી બાજુએ 2 બાકી હશે x, અને જમણી બાજુએ નંબર 9

પરિણામી સમીકરણ 2 માં x= 9 આપણે અજ્ઞાત શબ્દ વ્યક્ત કરીએ છીએ x

ચાલો મૂળ સમીકરણ પર પાછા ફરીએ અને અવેજી xમૂલ્ય 4.5 મળ્યું

અમને સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળી. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

સમીકરણ ઉકેલવું અમે સમીકરણની બંને બાજુએ નંબર 8 ઉમેર્યો પરિણામે, અમને સમકક્ષ સમીકરણ મળ્યું. આ સમીકરણનું મૂળ, સમીકરણ જેવું પણ 4.5 ની બરાબર છે

આગળનો નિયમ જે આપણને સમકક્ષ સમીકરણ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે તે નીચે મુજબ છે

જો તમે સમીકરણમાં કોઈ શબ્દને એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ખસેડો છો, તેનું ચિહ્ન બદલો છો, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

એટલે કે, જો આપણે કોઈ શબ્દને સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં લઈ જઈએ, તેની નિશાની બદલીએ તો સમીકરણનું મૂળ બદલાશે નહીં. આ ગુણધર્મ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે એક મહત્વપૂર્ણ અને વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતી એક છે.

નીચેના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:

આ સમીકરણનું મૂળ 2 બરાબર છે. ચાલો બદલીએ xઆ રુટ અને તપાસો કે શું સંખ્યાત્મક સમાનતા સાચી છે

પરિણામ સાચી સમાનતા છે. આનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા 2 ખરેખર સમીકરણનું મૂળ છે.

હવે ચાલો આ સમીકરણની શરતો સાથે પ્રયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, તેમને એક ભાગથી બીજા ભાગમાં ખસેડીએ, ચિહ્નો બદલીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, શબ્દ 3 xસમીકરણની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. ચાલો તેને જમણી બાજુએ ખસેડીએ, ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીએ:

પરિણામ એક સમીકરણ છે 12 = 9x − 3x . આ સમીકરણની જમણી બાજુએ:

xઅજ્ઞાત પરિબળ છે. ચાલો આ જાણીતું પરિબળ શોધીએ:

અહીંથી x= 2. જેમ તમે જોઈ શકો છો, સમીકરણનું મૂળ બદલાયું નથી. તેથી સમીકરણો 12 + 3 છે x = 9xઅને 12 = 9x − 3x સમકક્ષ છે.

વાસ્તવમાં, આ રૂપાંતર એ અગાઉના પરિવર્તનની એક સરળ પદ્ધતિ છે, જ્યાં સમીકરણની બંને બાજુએ સમાન સંખ્યા ઉમેરવામાં આવી હતી (અથવા બાદબાકી કરવામાં આવી હતી).

અમે કહ્યું કે સમીકરણ 12 + 3 માં x = 9xમુદત 3 xસાઇન બદલતા, જમણી બાજુ ખસેડવામાં આવી હતી. વાસ્તવમાં, નીચે મુજબ થયું: શબ્દ 3 સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી બાદ કરવામાં આવ્યો હતો x

પછી ડાબી બાજુએ સમાન શરતો આપવામાં આવી હતી અને સમીકરણ મેળવવામાં આવ્યું હતું 12 = 9x − 3x પછી સમાન શરતો ફરીથી આપવામાં આવી, પરંતુ જમણી બાજુએ, અને સમીકરણ 12 = 6 પ્રાપ્ત થયું x

પરંતુ કહેવાતા "ટ્રાન્સફર" આવા સમીકરણો માટે વધુ અનુકૂળ છે, તેથી જ તે ખૂબ વ્યાપક બન્યું છે. સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, આપણે વારંવાર આ ચોક્કસ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીશું.

12 + 3 સમીકરણો પણ સમકક્ષ છે x= 9xઅને 3x− 9x= −12 . આ વખતે સમીકરણ 12 + 3 છે x= 9xશબ્દ 12 ને જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવ્યો હતો, અને શબ્દ 9 xડાબી તરફ. આપણે ભૂલવું જોઈએ નહીં કે ટ્રાન્સફર દરમિયાન આ શરતોના સંકેતો બદલાયા હતા

આગળનો નિયમ જે આપણને સમકક્ષ સમીકરણ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે તે નીચે મુજબ છે:

જો સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, શૂન્યની બરાબર નથી, તો તમને આપેલ એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કે ભાગાકાર કરવામાં આવે તો સમીકરણના મૂળ બદલાશે નહીં. જ્યારે તમારે સમીકરણ સમાવિષ્ટ ઉકેલવાની જરૂર હોય ત્યારે આ ક્રિયાનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ.

પ્રથમ, ચાલો એવા ઉદાહરણો જોઈએ જેમાં સમીકરણની બંને બાજુઓ સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવશે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો

અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ ધરાવતા સમીકરણોને હલ કરતી વખતે, પ્રથમ સમીકરણને સરળ બનાવવાનો રિવાજ છે.

IN આ કિસ્સામાંઅમે આવા સમીકરણ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. આ સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે, બંને બાજુઓને 8 વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે:

આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે , આપણે આપેલ અપૂર્ણાંકના અંશને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. આપણી પાસે બે અપૂર્ણાંક છે અને તેમાંના દરેકને 8 નંબરથી ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. અમારું કાર્ય આ સંખ્યા 8 દ્વારા અપૂર્ણાંકના અંશનો ગુણાકાર કરવાનું છે.

હવે રસપ્રદ ભાગ થાય છે. બંને અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ 8 નું પરિબળ ધરાવે છે, જે 8 થી ઘટાડી શકાય છે. આ અમને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિથી છુટકારો મેળવવાની મંજૂરી આપશે:

પરિણામે, સરળ સમીકરણ રહે છે

સારું, અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે આ સમીકરણનું મૂળ 4 છે

xમૂલ્ય 4 મળ્યું

પરિણામ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, અમે બંને બાજુઓને 8 વડે ગુણ્યા. પરિણામે, અમને સમીકરણ મળ્યું. આ સમીકરણનું મૂળ, સમીકરણની જેમ, 4 છે. આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણો સમકક્ષ છે.

જે પરિબળ દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તે સામાન્ય રીતે સમીકરણના ભાગ પહેલાં લખવામાં આવે છે, અને તેની પછી નહીં. તેથી, સમીકરણ ઉકેલતા, અમે બંને બાજુઓને 8 ના અવયવ વડે ગુણ્યા અને નીચેની એન્ટ્રી મળી:

આનાથી સમીકરણનું મૂળ બદલાયું નથી, પરંતુ જો આપણે શાળામાં આ કર્યું હોત, તો અમને ઠપકો આપવામાં આવ્યો હોત, કારણ કે બીજગણિતમાં તે અભિવ્યક્તિ પહેલાં એક પરિબળ લખવાનો રિવાજ છે જેની સાથે તેનો ગુણાકાર થાય છે. તેથી, સમીકરણની બંને બાજુના ગુણાકારને 8 ના અવયવ દ્વારા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

ડાબી બાજુએ, 15 ના અવયવો 15 થી ઘટાડી શકાય છે, અને જમણી બાજુએ, 15 અને 5 ના અવયવો 5 થી ઘટાડી શકાય છે.

ચાલો સમીકરણની જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ:

ચાલો શબ્દ ખસેડીએ xસમીકરણની ડાબી બાજુથી જમણી બાજુએ, ચિહ્ન બદલીને. અને આપણે શબ્દ 15 ને સમીકરણની જમણી બાજુથી ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, ફરીથી ચિહ્ન બદલીએ છીએ:

અમે બંને બાજુએ સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ, અમને મળે છે

અમે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. ચલ x

ચાલો મૂળ સમીકરણ પર પાછા ફરીએ અને અવેજી xમૂલ્ય 5 મળ્યું

પરિણામ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે. આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, આપણે બંને બાજુઓને 15 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આગળ સમાન રૂપાંતરણો કરીને, અમે 10 = 2 સમીકરણ મેળવ્યું x. આ સમીકરણનું મૂળ, સમીકરણ જેવું 5 બરાબર છે. મતલબ કે આ સમીકરણો સમકક્ષ છે.

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો

ડાબી બાજુએ તમે બે ટ્રિપલ ઘટાડી શકો છો, અને જમણી બાજુ 18 ની બરાબર હશે

સરળ સમીકરણ રહે છે. અમે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. ચલ xઅજ્ઞાત પરિબળ છે. ચાલો આ જાણીતું પરિબળ શોધીએ:

ચાલો મૂળ સમીકરણ અને અવેજી પર પાછા ફરીએ xમૂલ્ય 9 મળ્યું

પરિણામ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

ઉદાહરણ 4. સમીકરણ ઉકેલો

સમીકરણની બંને બાજુઓને 6 વડે ગુણાકાર કરો

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ. જમણી બાજુએ, પરિબળ 6 ને અંશ સુધી વધારી શકાય છે:

સમીકરણોની બંને બાજુએ શું ઘટાડી શકાય છે તે ઘટાડીએ:

ચાલો આપણે જે બાકી રાખ્યું છે તે ફરીથી લખીએ:

ચાલો શરતોના સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ કરીએ. અજ્ઞાત સમાવતી શરતો x, અમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ જૂથ કરીએ છીએ, અને અજ્ઞાત મુક્ત શરતો - જમણી બાજુએ:

ચાલો બંને ભાગોમાં સમાન શરતો રજૂ કરીએ:

હવે ચાલો ચલની કિંમત શોધીએ x. આ કરવા માટે, ઉત્પાદન 28 ને જાણીતા પરિબળ 7 દ્વારા વિભાજીત કરો

અહીંથી x= 4.

ચાલો મૂળ સમીકરણ પર પાછા ફરીએ અને અવેજી xમૂલ્ય 4 મળ્યું

પરિણામ એ સાચું સંખ્યાત્મક સમીકરણ છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

ઉદાહરણ 5. સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં સમીકરણની બંને બાજુએ કૌંસ ખોલીએ:

સમીકરણની બંને બાજુઓને 15 વડે ગુણાકાર કરો

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુએ કૌંસ ખોલીએ:

સમીકરણની બંને બાજુએ શું ઘટાડી શકાય છે તે ઘટાડીએ:

ચાલો આપણે જે બાકી રાખ્યું છે તે ફરીથી લખીએ:

ચાલો જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ:

ચાલો શરતોના સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ કરીએ. અમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ અજ્ઞાત ધરાવતા શબ્દો અને જમણી બાજુએ અજાણ્યા વગરના શબ્દોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ. ભૂલશો નહીં કે સ્થાનાંતરણ દરમિયાન, શરતો તેમના ચિહ્નોને વિરુદ્ધ બદલે છે:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુએ સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:

ચાલો મૂલ્ય શોધીએ x

પરિણામી જવાબને સંપૂર્ણ ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

ચાલો મૂળ સમીકરણ અને અવેજી પર પાછા ફરીએ xકિંમત મળી

તે એક જગ્યાએ બોજારૂપ અભિવ્યક્તિ હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ચાલો ચલોનો ઉપયોગ કરીએ. ડાબી બાજુસમાનતાને ચલમાં મૂકો એ, અને ચલમાં સમાનતાની જમણી બાજુ બી

અમારું કાર્ય એ સુનિશ્ચિત કરવાનું છે કે શું ડાબી બાજુ જમણી બાજુ સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમાનતા A = B સાબિત કરો

ચાલો ચલ A માં સમીકરણની કિંમત શોધીએ.

ચલ મૂલ્ય એબરાબર હવે ચાલો ચલની કિંમત શોધીએ બી. એટલે કે આપણી સમાનતાની જમણી બાજુનું મૂલ્ય. જો તે પણ સમાન હોય, તો સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થશે

આપણે જોઈએ છીએ કે ચલની કિંમત બી, તેમજ ચલ A ની કિંમત છે. મતલબ કે ડાબી બાજુ જમણી બાજુની બરાબર છે. આના પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

ચાલો હવે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો નહીં, પણ ભાગાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . ચાલો તેને હલ કરીએ સામાન્ય પદ્ધતિ: અજ્ઞાત ધરાવતાં શબ્દો સમીકરણની ડાબી બાજુએ જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, અને અજ્ઞાત મુક્ત શબ્દોને જમણી બાજુએ જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આગળ, જાણીતી ઓળખ રૂપાંતરણો કરીને, આપણે મૂલ્ય શોધીએ છીએ x

ચાલો તેના બદલે મળેલ મૂલ્ય 2 ને બદલીએ xમૂળ સમીકરણમાં:

ચાલો હવે સમીકરણની બધી શરતોને અલગ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 અમુક સંખ્યા દ્વારા અમે નોંધીએ છીએ કે આ સમીકરણના તમામ પદોમાં 2 નો સામાન્ય પરિબળ છે. અમે દરેક પદને તેના દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:

ચાલો દરેક શબ્દમાં ઘટાડો કરીએ:

ચાલો આપણે જે બાકી રાખ્યું છે તે ફરીથી લખીએ:

ચાલો જાણીતા ઓળખ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણ ઉકેલીએ:

અમને રૂટ 2 મળ્યો. તેથી સમીકરણો 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 અને 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 સમકક્ષ છે.

સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાથી તમે ગુણાંકમાંથી અજાણ્યાને દૂર કરી શકો છો. અગાઉના ઉદાહરણમાં જ્યારે આપણને સમીકરણ 7 મળ્યું x= 14, આપણે ઉત્પાદન 14 ને જાણીતા પરિબળ 7 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર હતી. પરંતુ જો આપણે ડાબી બાજુના પરિબળ 7 માંથી અજાણ્યાને મુક્ત કર્યા હોત, તો મૂળ તરત જ મળી શક્યું હોત. આ કરવા માટે, તે બંને બાજુઓને 7 દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે પૂરતું હતું

અમે પણ આ પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ કરીશું.

માઈનસ વન વડે ગુણાકાર

જો સમીકરણની બંને બાજુઓને બાદબાકી એક વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો તમને આના સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

આ નિયમ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર (અથવા ભાગાકાર) કરવાથી આપેલ સમીકરણનું મૂળ બદલાતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે જો તેના બંને ભાગોને −1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે તો મૂળ બદલાશે નહીં.

આ નિયમ તમને સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ તમામ ઘટકોના ચિહ્નોને બદલવાની મંજૂરી આપે છે. આ શેના માટે છે? ફરીથી, એક સમકક્ષ સમીકરણ મેળવવા માટે જે ઉકેલવા માટે સરળ છે.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો. શા માટે મૂળની સમાનઆ સમીકરણ?

સમીકરણની બંને બાજુએ 5 નંબર ઉમેરો

ચાલો સમાન શબ્દો જોઈએ:

હવે વિશે યાદ કરીએ. સમીકરણની ડાબી બાજુ શું છે? આ માઈનસ વન અને વેરીએબલનું ઉત્પાદન છે x

એટલે કે ચલની સામે માઈનસ ચિહ્ન xચલનો જ ઉલ્લેખ કરતું નથી x, પરંતુ એક માટે, જે આપણે જોતા નથી, કારણ કે ગુણાંક 1 સામાન્ય રીતે લખવામાં આવતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ ખરેખર આના જેવું દેખાય છે:

અમે ગુણાકારના ઘટકો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. શોધવા માટે એક્સ, તમારે ઉત્પાદન −5 ને જાણીતા પરિબળ −1 દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

અથવા સમીકરણની બંને બાજુઓને −1 વડે વિભાજીત કરો, જે વધુ સરળ છે

તેથી સમીકરણનું મૂળ 5 છે. તપાસવા માટે, ચાલો તેને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ. ભૂલશો નહીં કે મૂળ સમીકરણમાં બાદબાકી ચલની સામે છે xઅદ્રશ્ય એકમનો ઉલ્લેખ કરે છે

પરિણામ એ સાચું સંખ્યાત્મક સમીકરણ છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

ચાલો હવે સમીકરણની બંને બાજુઓને માઈનસ વન વડે ગુણાકાર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

કૌંસ ખોલ્યા પછી, અભિવ્યક્તિ ડાબી બાજુએ રચાય છે, અને જમણી બાજુ 10 ની બરાબર હશે.

સમીકરણની જેમ આ સમીકરણનું મૂળ 5 છે

આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણો સમકક્ષ છે.

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

આ સમીકરણમાં, બધા ઘટકો નકારાત્મક છે. નકારાત્મક ઘટકો કરતાં હકારાત્મક ઘટકો સાથે કામ કરવું વધુ અનુકૂળ છે, તેથી ચાલો સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ તમામ ઘટકોના ચિહ્નોને બદલીએ. આ કરવા માટે, આ સમીકરણની બંને બાજુઓને −1 વડે ગુણાકાર કરો.

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે −1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈપણ સંખ્યા તેના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલશે. તેથી, −1 વડે ગુણાકાર કરવાની અને કૌંસ ખોલવાની પ્રક્રિયાનું વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું નથી, પરંતુ વિપરીત ચિહ્નો સાથેના સમીકરણના ઘટકો તરત જ લખવામાં આવે છે.

આમ, સમીકરણને −1 વડે ગુણાકાર કરવાથી નીચે પ્રમાણે વિગતવાર લખી શકાય છે:

અથવા તમે ફક્ત બધા ઘટકોના ચિહ્નોને બદલી શકો છો:

પરિણામ એ જ આવશે, પણ ફરક એટલો હશે કે આપણે પોતાનો સમય બચાવીશું.

તેથી, સમીકરણની બંને બાજુઓને −1 વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણને સમીકરણ મળે છે. ચાલો આ સમીકરણ ઉકેલીએ. બંને બાજુઓમાંથી 4 બાદ કરો અને બંને બાજુઓને 3 વડે ભાગો

જ્યારે રુટ મળે છે, ત્યારે ચલ સામાન્ય રીતે ડાબી બાજુએ લખવામાં આવે છે, અને તેની કિંમત જમણી બાજુએ છે, જે આપણે કર્યું છે.

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને −1 વડે ગુણાકાર કરીએ. પછી બધા ઘટકો તેમના ચિહ્નોને વિરુદ્ધમાં બદલશે:

પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી 2 બાદ કરો xઅને સમાન શરતો આપો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુએ એક ઉમેરીએ અને સમાન શબ્દો આપીએ:

શૂન્યની બરાબરી

અમે તાજેતરમાં શીખ્યા કે જો આપણે સમીકરણમાં કોઈ શબ્દને એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં લઈ જઈએ, તેની નિશાની બદલીએ, તો આપણને આપેલા એકની સમકક્ષ સમીકરણ મળશે.

જો તમે માત્ર એક શબ્દ જ નહીં, પરંતુ બધી શરતો એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ખસેડો તો શું થશે? તે સાચું છે, જે ભાગમાં બધી શરતો દૂર કરવામાં આવી હતી ત્યાં શૂન્ય બાકી હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્યાં કંઈપણ બાકી રહેશે નહીં.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણને ધ્યાનમાં લો. ચાલો આ સમીકરણને હંમેશની જેમ હલ કરીએ - અમે એક ભાગમાં અજ્ઞાત ધરાવતા શબ્દોને જૂથબદ્ધ કરીશું, અને બીજા ભાગમાં અજ્ઞાત શબ્દોને મુક્ત રાખીશું. આગળ, જાણીતી ઓળખ પરિવર્તનો કરીને, આપણે ચલની કિંમત શોધીએ છીએ x

હવે તેના તમામ ઘટકોને શૂન્યમાં સમકક્ષ કરીને સમાન સમીકરણને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે તમામ શરતોને જમણી બાજુથી ડાબી તરફ ખસેડીએ છીએ, ચિહ્નો બદલીને:

ચાલો ડાબી બાજુએ સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:

બંને બાજુએ 77 ઉમેરો અને બંને બાજુઓને 7 વડે વિભાજીત કરો

અજ્ઞાત શોધવા માટેના નિયમોનો વિકલ્પ

દેખીતી રીતે, સમીકરણોના સમાન રૂપાંતરણો વિશે જાણીને, તમારે અજ્ઞાત શોધવા માટેના નિયમોને યાદ રાખવાની જરૂર નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણમાં અજ્ઞાત શોધવા માટે, અમે ઉત્પાદન 10 ને જાણીતા પરિબળ 2 વડે ભાગ્યા

પરંતુ જો તમે સમીકરણની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરશો તો મૂળ તરત જ મળી જશે. અંશમાં સમીકરણની ડાબી બાજુએ અવયવ 2 અને છેદમાં અવયવ 2 2થી ઘટશે. અને જમણી બાજુ 5 ની બરાબર હશે

અમે અજ્ઞાત શબ્દ વ્યક્ત કરીને ફોર્મના સમીકરણો ઉકેલ્યા:

પરંતુ તમે સમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરી શકો છો જેનો આપણે આજે અભ્યાસ કર્યો છે. સમીકરણમાં, ચિહ્નને બદલીને શબ્દ 4 ને જમણી બાજુએ ખસેડી શકાય છે:

સમીકરણની ડાબી બાજુએ, બે બે રદ થઈ જશે. જમણી બાજુ 2 ની બરાબર હશે. તેથી .

અથવા તમે સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી 4 બાદ કરી શકો છો તો તમને નીચે મુજબ મળશે:

ફોર્મના સમીકરણોના કિસ્સામાં, ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવું વધુ અનુકૂળ છે. ચાલો બંને ઉકેલોની તુલના કરીએ:

પ્રથમ ઉકેલ ખૂબ ટૂંકા અને સુઘડ છે. બીજા ઉકેલને તમારા માથામાં વિભાજન કરીને નોંધપાત્ર રીતે ટૂંકાવી શકાય છે.

જો કે, બંને પદ્ધતિઓ જાણવી જરૂરી છે અને તે પછી જ તમે પસંદ કરો છો તેનો ઉપયોગ કરો.

જ્યારે અનેક મૂળ હોય છે

એક સમીકરણમાં બહુવિધ મૂળ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ x(x+ 9) = 0 બે મૂળ ધરાવે છે: 0 અને −9.

Eq માં. x(x+ 9) = 0 આવી કિંમત શોધવી જરૂરી હતી xજેના પર ડાબી બાજુ શૂન્યની બરાબર હશે. આ સમીકરણની ડાબી બાજુએ સમીકરણો છે xઅને (x+9), જે પરિબળો છે. ઉત્પાદન કાયદાઓ પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર છે જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય (ક્યાં તો પ્રથમ પરિબળ અથવા બીજું) હોય.

એટલે કે, Eq માં. x(x+ 9) = 0 સમાનતા પ્રાપ્ત થશે જો xશૂન્ય અથવા બરાબર હશે (x+9)શૂન્ય બરાબર હશે.

x= 0 અથવા x + 9 = 0

આ બંને સમીકરણોને શૂન્ય પર સેટ કરીને, આપણે સમીકરણના મૂળ શોધી શકીએ છીએ x(x+ 9) = 0. પ્રથમ મૂળ, ઉદાહરણમાંથી જોઈ શકાય છે, તરત જ મળી આવ્યું હતું. બીજા રુટને શોધવા માટે તમારે હલ કરવાની જરૂર છે પ્રાથમિક સમીકરણ x+ 9 = 0 . અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે આ સમીકરણનું મૂળ −9 છે. ચકાસણી બતાવે છે કે રુટ સાચો છે:

−9 + 9 = 0

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

આ સમીકરણના બે મૂળ છે: 1 અને 2. સમીકરણની ડાબી બાજુ એ સમીકરણોનું ઉત્પાદન છે ( x− 1) અને ( x− 2). અને ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય (અથવા પરિબળ ( x− 1) અથવા પરિબળ ( x − 2) ).

ચાલો આના જેવું કંઈક શોધીએ xજે અંતર્ગત અભિવ્યક્તિઓ ( x− 1) અથવા ( x− 2) શૂન્ય બનો:

અમે મૂળ સમીકરણમાં એક પછી એક મળી આવેલા મૂલ્યોને બદલીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે આ મૂલ્યો માટે ડાબી બાજુ શૂન્યની બરાબર છે:

જ્યારે અનંત ઘણા મૂળ હોય છે

એક સમીકરણમાં અસંખ્ય મૂળ હોઈ શકે છે. એટલે કે, આવા સમીકરણમાં કોઈપણ સંખ્યાને બદલીને, આપણે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો

આ સમીકરણનું મૂળ કોઈપણ સંખ્યા છે. જો તમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલો અને સમાન શબ્દો ઉમેરો, તો તમને સમાનતા 14 = 14 મળશે. આ સમાનતા કોઈપણ માટે પ્રાપ્ત થશે x

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

આ સમીકરણનું મૂળ કોઈપણ સંખ્યા છે. જો તમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલો છો, તો તમને સમાનતા મળશે 10x + 12 = 10x + 12. આ સમાનતા કોઈપણ માટે પ્રાપ્ત થશે x

જ્યારે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી

એવું પણ બને છે કે સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલો નથી, એટલે કે, તેના કોઈ મૂળ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x, સમીકરણની ડાબી બાજુ જમણી બાજુની બરાબર હશે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, દો. પછી સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો સમાનતાની ડાબી બાજુએ કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ:

ચાલો સમાન શબ્દો જોઈએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે ડાબી બાજુ જમણી બાજુની બરાબર નથી. અને આ કોઈપણ મૂલ્ય માટે કેસ હશે. y. ઉદાહરણ તરીકે, દો y = 3 .

અક્ષર સમીકરણો

સમીકરણમાં માત્ર ચલો સાથેની સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ અક્ષરો પણ હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ઝડપ શોધવાનું સૂત્ર એક શાબ્દિક સમીકરણ છે:

આ સમીકરણ એકસરખી પ્રવેગિત ગતિ દરમિયાન શરીરની ગતિનું વર્ણન કરે છે.

એક ઉપયોગી કૌશલ્ય એ અક્ષર સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ કોઈપણ ઘટકને વ્યક્ત કરવાની ક્ષમતા છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણથી અંતર નક્કી કરવા માટે, તમારે ચલ વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે s .

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરો t

જમણી બાજુ પર ચલો tચાલો તેને કાપીએ t

પરિણામી સમીકરણમાં, અમે ડાબી અને જમણી બાજુઓને સ્વેપ કરીએ છીએ:

અંતર શોધવા માટે અમારી પાસે એક સૂત્ર છે, જેનો અમે અગાઉ અભ્યાસ કર્યો હતો.

ચાલો સમીકરણમાંથી સમય નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે તમારે ચલને વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે t .

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરો t

જમણી બાજુ પર ચલો tચાલો તેને કાપીએ tઅને આપણે જે છોડી દીધું છે તે ફરીથી લખો:

પરિણામી સમીકરણમાં v×t = sબંને ભાગોમાં વિભાજીત કરો વિ

ડાબી બાજુએ ચલો વિચાલો તેને કાપીએ વિઅને આપણે જે છોડી દીધું છે તે ફરીથી લખો:

અમારી પાસે સમય નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર છે, જેનો અમે અગાઉ અભ્યાસ કર્યો હતો.

ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ 50 કિમી પ્રતિ કલાક છે

વિ= 50 કિમી/કલાક

અને અંતર 100 કિમી છે

s= 100 કિમી

પછી પત્ર નીચેનું ફોર્મ લેશે

આ સમીકરણ પરથી સમય શોધી શકાય છે. આ કરવા માટે તમારે વેરીએબલને વ્યક્ત કરવામાં સક્ષમ હોવું જરૂરી છે t. તમે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજિત કરીને અને આ રીતે ચલની કિંમત નક્કી કરીને અજાણ્યા વિભાજકને શોધવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો. t

અથવા તમે સમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરી શકો છો. પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો t

પછી બંને બાજુઓને 50 વડે વિભાજીત કરો

ઉદાહરણ 2 x

સમીકરણની બંને બાજુઓમાંથી બાદબાકી કરો a

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ b

a + bx = c, પછી અમારી પાસે હશે તૈયાર સોલ્યુશન. તેમાં અવેજી કરવા માટે તે પૂરતું હશે જરૂરી મૂલ્યો. તે મૂલ્યો કે જે અક્ષરો માટે અવેજી કરવામાં આવશે a, b, cસામાન્ય રીતે કહેવાય છે પરિમાણો. અને ફોર્મના સમીકરણો a + bx = cકહેવાય છે પરિમાણો સાથે સમીકરણ. પરિમાણો પર આધાર રાખીને, રુટ બદલાશે.

ચાલો સમીકરણ 2 + 4 હલ કરીએ x= 10. તે અક્ષર સમીકરણ જેવું લાગે છે a + bx = c. સમાન રૂપાંતરણ કરવાને બદલે, અમે તૈયાર સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ચાલો બંને ઉકેલોની તુલના કરીએ:

આપણે જોઈએ છીએ કે બીજો ઉકેલ ઘણો સરળ અને ટૂંકો છે.

તૈયાર સોલ્યુશન માટે તમારે કરવાની જરૂર છે નાની નોંધ. પરિમાણ bશૂન્ય ન હોવું જોઈએ (b ≠ 0), કારણ કે શૂન્ય વડે વિભાજનની મંજૂરી છે.

ઉદાહરણ 3. એક શાબ્દિક સમીકરણ આપવામાં આવે છે. આ સમીકરણ પરથી વ્યક્ત કરો x

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુએ કૌંસ ખોલીએ

ચાલો શરતોના સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ કરીએ. ચલ ધરાવતા પરિમાણો x, અમે સમીકરણની ડાબી બાજુએ જૂથ કરીએ છીએ, અને આ ચલથી મુક્ત પરિમાણો - જમણી બાજુએ.

ડાબી બાજુએ આપણે પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ છીએ x

ચાલો બંને બાજુઓને અભિવ્યક્તિમાં વિભાજીત કરીએ a − b

ડાબી બાજુએ, અંશ અને છેદ દ્વારા ઘટાડી શકાય છે a − b. આ રીતે ચલ આખરે વ્યક્ત થાય છે x

હવે, જો આપણે ફોર્મના સમીકરણ તરફ આવીએ a(x − c) = b(x + d), પછી અમારી પાસે તૈયાર સોલ્યુશન હશે. તેમાં જરૂરી મૂલ્યોને બદલવા માટે તે પૂરતું હશે.

ધારો કે આપણને એક સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે 4(x− 3) = 2(x+ 4) . તે એક સમીકરણ જેવું છે a(x − c) = b(x + d). ચાલો તેને બે રીતે હલ કરીએ: સમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને અને તૈયાર સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને:

સગવડ માટે, ચાલો તેને સમીકરણમાંથી બહાર કાઢીએ 4(x− 3) = 2(x+ 4) પરિમાણ મૂલ્યો a, b, c, ડી . આ અમને અવેજીમાં ભૂલ ન કરવાની મંજૂરી આપશે:

અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, અહીં છેદ શૂન્યની બરાબર ન હોવો જોઈએ ( a − b ≠ 0) જો આપણે ફોર્મના સમીકરણનો સામનો કરીએ a(x − c) = b(x + d)જેમાં પરિમાણો aઅને bસમાન હશે, આપણે તેને ઉકેલ્યા વિના કહી શકીએ કે આ સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે તફાવત છે સમાન સંખ્યાઓશૂન્ય બરાબર.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 2(x − 3) = 2(x + 4)સ્વરૂપનું સમીકરણ છે a(x − c) = b(x + d). Eq માં. 2(x − 3) = 2(x + 4)પરિમાણો aઅને bસમાન જો આપણે તેને હલ કરવાનું શરૂ કરીએ, તો આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીશું કે ડાબી બાજુ જમણી બાજુની બરાબર નહીં હોય:

ઉદાહરણ 4. એક શાબ્દિક સમીકરણ આપવામાં આવે છે. આ સમીકરણ પરથી વ્યક્ત કરો x

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ:

બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો a

ડાબી બાજુએ xચાલો તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ

અભિવ્યક્તિ દ્વારા બંને બાજુઓને વિભાજીત કરો (1 - a)

એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણો

આ પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવેલ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે એક અજ્ઞાત સાથે પ્રથમ ડિગ્રીના રેખીય સમીકરણો.

જો સમીકરણ પ્રથમ ડિગ્રીને આપવામાં આવે છે, તેમાં અજાણ્યા દ્વારા ભાગાકાર શામેલ નથી, અને અજાણ્યામાંથી મૂળ પણ શામેલ નથી, તો તેને રેખીય કહી શકાય. આપણે હજી સુધી શક્તિઓ અને મૂળનો અભ્યાસ કર્યો નથી, તેથી આપણા જીવનને જટિલ ન બનાવવા માટે, આપણે "રેખીય" શબ્દને "સરળ" તરીકે સમજીશું.

આ પાઠમાં ઉકેલવામાં આવેલા મોટાભાગના સમીકરણો આખરે એક સરળ સમીકરણ પર આવ્યા જેમાં તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજિત કરવું પડ્યું. ઉદાહરણ તરીકે, આ સમીકરણ 2 છે( x+ 3) = 16. ચાલો તેને હલ કરીએ.

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ, આપણને 2 મળે છે x+ 6 = 16. ચાલો ચિહ્ન બદલીને પદ 6 ને જમણી બાજુએ ખસેડીએ. પછી આપણને 2 મળે છે x= 16 − 6. જમણી બાજુની ગણતરી કરો, આપણને 2 મળશે x= 10. શોધવા માટે x, ઉત્પાદન 10 ને જાણીતા પરિબળ 2 દ્વારા વિભાજીત કરો. તેથી x = 5.

સમીકરણ 2( x+ 3) = 16 રેખીય છે. તે સમીકરણ 2 પર નીચે આવે છે x= 10, જેનું મૂળ શોધવા માટે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવું જરૂરી હતું. આ સરળ સમીકરણ કહેવાય છે એક અજાણ્યા સાથે પ્રથમ ડિગ્રીનું રેખીય સમીકરણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ . "પ્રમાણિક" શબ્દ "સરળ" અથવા "સામાન્ય" નો સમાનાર્થી છે.

પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં અજાણ્યા સાથે પ્રથમ ડિગ્રીના રેખીય સમીકરણને ફોર્મનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે ax = b.

આપણું પરિણામી સમીકરણ 2 x= 10 એ પ્રથમ ડિગ્રીનું રેખીય સમીકરણ છે જેમાં પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં એક અજ્ઞાત છે. આ સમીકરણ પ્રથમ ડિગ્રી ધરાવે છે, એક અજ્ઞાત, તેમાં અજ્ઞાત દ્વારા વિભાજન નથી અને તે અજ્ઞાતમાંથી મૂળ ધરાવતું નથી, અને તે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત છે, એટલે કે, સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં જેમાં મૂલ્ય સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે. x. પરિમાણોને બદલે aઅને bઆપણા સમીકરણમાં સંખ્યાઓ 2 અને 10 છે. પરંતુ આવા સમીકરણમાં અન્ય સંખ્યાઓ પણ હોઈ શકે છે: હકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા શૂન્યની બરાબર.

જો રેખીય સમીકરણમાં હોય a= 0 અને b= 0, પછી સમીકરણ અનંતપણે ઘણા બધા મૂળ ધરાવે છે. ખરેખર, જો aશૂન્ય સમાન અને bશૂન્ય બરાબર, પછી રેખીય સમીકરણ કુહાડી= bફોર્મ 0 લેશે x= 0. કોઈપણ મૂલ્ય માટે xડાબી બાજુ જમણી બાજુ સમાન હશે.

જો રેખીય સમીકરણમાં હોય a= 0 અને b≠ 0, તો સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી. ખરેખર, જો aશૂન્ય સમાન અને bઅમુક સંખ્યાની બરાબર છે જે શૂન્યની બરાબર નથી, કહો નંબર 5, પછી સમીકરણ ax = bફોર્મ 0 લેશે x= 5. ડાબી બાજુ શૂન્ય હશે, અને જમણી બાજુ પાંચ હશે. અને શૂન્ય પાંચ બરાબર નથી.

જો રેખીય સમીકરણમાં હોય a≠ 0, અને bકોઈપણ સંખ્યાની સમાન હોય, તો સમીકરણમાં એક મૂળ હોય છે. તે પરિમાણને વિભાજીત કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે bપરિમાણ દીઠ a

ખરેખર, જો aશૂન્ય ન હોય તેવી અમુક સંખ્યાની બરાબર, નંબર 3 કહો, અને bઅમુક સંખ્યાની બરાબર, નંબર 6 કહો, પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે.
અહીંથી.

રેકોર્ડિંગનું બીજું સ્વરૂપ છે રેખીય સમીકરણએક અજાણ્યા સાથે પ્રથમ ડિગ્રી. તે આના જેવું દેખાય છે: ax−b= 0. આ સમાન સમીકરણ છે ax = b

શું તમને પાઠ ગમ્યો?
અમારી સાથે જોડાઓ નવું જૂથ VKontakte અને નવા પાઠ વિશે સૂચનાઓ પ્રાપ્ત કરવાનું પ્રારંભ કરો

અજાણી સંખ્યા સાથેની સમાનતાને સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.

સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે અજ્ઞાત સંખ્યાનું મૂલ્ય શોધવું જેમ કે સમાનતા સાચી હોય.

આ સંખ્યાને સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

x+ 23 = 45; x = 22, 22 + 23 = 45 થી.

આમ, આ વ્યાખ્યા સમીકરણને ચકાસવાની રીતનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે: અજ્ઞાત સંખ્યાના મળેલા મૂલ્યને અભિવ્યક્તિમાં બદલવું, તેની કિંમતની ગણતરી કરવી અને આપેલ સંખ્યા (જવાબ) સાથે પરિણામની તુલના કરવી.

જો અજાણ્યા નંબરની કિંમત યોગ્ય રીતે મળી આવે, તો સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે.

સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

સૌથી સરળ સમીકરણો અને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ પ્રારંભિક ગાણિતિક તાલીમની સિસ્ટમમાં નિશ્ચિતપણે સ્થાપિત થઈ ગયો છે. સમીકરણો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા વાસ્તવિકતાના ટુકડાઓનું મોડેલિંગનું એક માધ્યમ છે, અને તેમની સાથે પરિચિતતા એ ગાણિતિક શિક્ષણનો આવશ્યક ભાગ છે. તે જ સમયે, પ્રાથમિક શાળાના બાળકોને સમીકરણો સાથે પરિચય આપવાથી તેઓ પ્રાથમિક શાળામાં ગણિતનો અભ્યાસ કરવા માટે તૈયાર થાય છે.

ગણિતમાં, સમીકરણને સામાન્ય રીતે "દલીલોના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાનું વિશ્લેષણાત્મક રજૂઆત તરીકે સમજવામાં આવે છે જેના માટે આપેલ બે કાર્યોના મૂલ્યો સમાન હોય છે. દલીલો કે જેના પર આ કાર્યો આધાર રાખે છે તેને કહેવામાં આવે છે અજ્ઞાતઅને અજ્ઞાતના મૂલ્યો કે જેના પર ફંક્શનના મૂલ્યો સમાન છે ઉકેલો - સમીકરણના મૂળ."આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણનો ખ્યાલ, સૌ પ્રથમ, સાથે સંકળાયેલ છે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ(અંકગણિત સાથેના અમારા કિસ્સામાં), અને બીજું, - સાથેચોક્કસ સમૂહમાંથી મૂલ્યો લેતા ચલનો ખ્યાલ.

પ્રાથમિક શાળામાં, સમીકરણ ઉકેલવાની બે રીતોની ચર્ચા કરવામાં આવે છે.

પસંદગી પદ્ધતિ

અજાણ્યા નંબરનું યોગ્ય મૂલ્ય ક્યાં તો તેમાંથી પસંદ કરવામાં આવ્યું છે મૂલ્યો સેટ કરો, અથવા સંખ્યાઓના મનસ્વી સમૂહમાંથી.

પસંદ કરેલી સંખ્યા, જ્યારે અભિવ્યક્તિમાં બદલાઈ જાય, ત્યારે તેને સાચી સમાનતામાં ફેરવવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે:

7, 10, 5, 4, 1, 3 નંબરોમાંથી, દરેક સમીકરણ માટે x નું મૂલ્ય પસંદ કરો જે સાચી સમાનતા આપશે: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b

દરેક સૂચિત સંખ્યાને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને અને પરિણામી મૂલ્યની જવાબ સાથે સરખામણી કરીને તપાસવામાં આવે છે.

મોટી સંખ્યામાં સૂચિત મૂલ્યો સાથે, આ પદ્ધતિ ઘણો સમય અને પ્રયત્ન લે છે. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરતી વખતે, બાળક સ્વતંત્ર રીતે અજાણ્યાના સંભવિત અર્થ શોધી શકશે નહીં.

ક્રિયા ઘટકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરવાની રીત.

ક્રિયા ઘટકોના ઇન્ટરકનેક્શન માટેના નિયમોનો ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

સમીકરણ ઉકેલો: 9 + x=14

શબ્દ અજ્ઞાત છે. અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે, તમારે સરવાળામાંથી જાણીતા શબ્દને બાદ કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ x = 14 - 9; x = 5.

સમીકરણ ઉકેલો: 7 -x=2

સબટ્રાહેન્ડ અજ્ઞાત. અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, તમારે મીન્યુએન્ડમાંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ x = 1 - 2; x = 5.

સમીકરણ ઉકેલો: x-1 = 9

અજ્ઞાત મિનુએન્ડ. અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી x = 9 + 1; x = 10.

ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ સાથેના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, ગુણાકાર અને ભાગાકારના ઘટકોની અવલંબનનાં નિયમોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

સમીકરણ ઉકેલો: 96:x=24

વિભાજક અજ્ઞાત. અજાણ્યા વિભાજકને શોધવા માટે, તમારે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ x = 96: 24; x = 4. ચાલો ઉકેલ તપાસીએ: 24 4 = 96.

સમીકરણ ઉકેલો: x:23 = 4

ડિવિડન્ડ અજ્ઞાત. અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે વિભાજકને ભાગલાકાર દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ x = 23 4; x = 92. ચાલો ઉકેલ તપાસીએ: 92: 23 = 4.

સમીકરણ ઉકેલો: o:- 14 = 84

ગુણક અજ્ઞાત. અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ x = 84:14; x = 6. ચાલો ઉકેલ તપાસીએ: x 14 = 84.

આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવાની ઝડપી રીત પૂરી પાડે છે. મુશ્કેલી એ છે કે ઘણા બાળકો ક્રિયાના ઘટકો અને ઘટકોના નામના સંબંધ માટેના નિયમોને ગૂંચવણમાં મૂકે છે (તમારે 6 નિયમો અને 10 ઘટકોના નામ સારી રીતે જાણવાની જરૂર છે).

વધુ મુશ્કેલ સમીકરણો માટે, ફિટિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

35 + x + x + x = 35 - તે સ્પષ્ટ છે કે અજાણ્યા ફક્ત શૂન્ય મૂલ્ય લઈ શકે છે;

78-x-x = 76 - દેખીતી રીતે x = 1, ત્યારથી 78 - 1 - 1 = 76.

ફોર્મ (6 + x) - 5 = 38 ના કૌંસ સાથેના સમીકરણો માટે, ક્રિયા ઘટકોના સંબંધ માટેના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે. સમીકરણની ડાબી બાજુને પ્રથમ તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે, કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને એક અજાણ્યા ઘટક તરીકે ધ્યાનમાં લેતા. આ એક અજ્ઞાત ઘટક છે મિનુએન્ડ. અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે:

આમ, સમીકરણ તેનું સામાન્ય સ્વરૂપ ધારણ કરે છે. આ સમીકરણમાં તમારે અજ્ઞાત શબ્દ શોધવાની જરૂર છે: x = 43-6; x = 37.

ચાલો ઉકેલ તપાસીએ (અજાણ્યાના મળેલા મૂલ્યને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં બદલો): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.

પ્રાથમિક ધોરણોની પ્રેક્ટિસ માટે સંખ્યાબંધ વૈકલ્પિક ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકો બાળકોને વધુ પરિચય આપે છે જટિલ સમીકરણો(I.I. Arginskaya, L.G. Peterson), જેના ઉકેલ માટે ક્રિયાના ઘટકોના સંબંધ માટેના નિયમોને વારંવાર લાગુ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

સમીકરણ ઉકેલો: (y-3)-5-875 = 210

ચાલો સમીકરણની ડાબી બાજુ જોઈએ અને ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરીએ.

(y-3)- 5 -875 = 210

ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિનો પ્રકાર છેલ્લી ક્રિયા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: છેલ્લી ક્રિયા બાદબાકી છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે અભિવ્યક્તિને તફાવત તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કરીએ છીએ.

Minuend (y - 3) 5, બાદબાકી 875, તફાવત મૂલ્ય 210.

અજ્ઞાત ઘટાડો માં સમાયેલ છે. ચાલો minuend શોધીએ (અમે આ સમગ્ર અભિવ્યક્તિને સિંગલ મિન્યુએન્ડ તરીકે ગણીએ છીએ): અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે.

(y- 3)- 5 = 210 + 875;

(y - 3) 5 = 1085: y

ચાલો ફરીથી પ્રક્રિયા નક્કી કરીએ: (y - 3) 5 = 1085.

છેલ્લી ક્રિયાના આધારે, અમે ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિને ઉત્પાદન તરીકે ગણીએ છીએ. પ્રથમ પરિબળ (y - 3), બીજો પરિબળ 5 છે, ઉત્પાદનની કિંમત 1085 છે. પ્રથમ અવયવમાં અજ્ઞાત સમાયેલ છે. ચાલો તેને શોધીએ (અમે સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ y - 3 અજ્ઞાતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ). અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

y - 3 = 1085: 5;

અમને એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું છે જેમાં સૂક્ષ્મતા અજ્ઞાત છે. ચાલો તેને શોધીએ:

ચાલો મૂળ સમીકરણમાં અજાણ્યાના મળેલા મૂલ્યને બદલીને ઉકેલ તપાસીએ:

(218-3)-5-875 = 210.

ડાબી બાજુના મૂલ્યની ગણતરી કર્યા પછી, અમને ખાતરી છે કે સાચી સમાનતા પ્રાપ્ત થઈ છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ યોગ્ય રીતે હલ થયું છે.

ઉપરોક્ત ઉકેલ પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે આ એક લાંબી, શ્રમ-સઘન પ્રક્રિયા છે જેમાં બાળકને તમામ નિયમોનું સ્પષ્ટ જ્ઞાન, ઉચ્ચ સ્તરનું વિશ્લેષણ અને ચલની જટિલ રચનાને સમજવાની ક્ષમતા હોવી જરૂરી છે. એક સંપૂર્ણ તરીકે પગલું-દર-પગલાં સોલ્યુશન (સંશ્લેષણ અને અમૂર્તતાનું ઉચ્ચ સ્તર).

એક પુખ્ત જે હાઈસ્કૂલમાં વપરાતા સમાન સમીકરણોને ઉકેલવાની સાર્વત્રિક પદ્ધતિથી પરિચિત છે (કૌંસ ખોલવા, સમીકરણના ઘટકોને ડાબેથી જમણે ખસેડવા) સ્પષ્ટપણે આ પદ્ધતિની અપૂર્ણતા અને વધુ પડતી શ્રમ તીવ્રતા જુએ છે. આ સંદર્ભમાં, સંખ્યાબંધ પદ્ધતિશાસ્ત્રીઓ પ્રાથમિક શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં આવા જટિલ માળખાના સમીકરણોને સક્રિય રીતે રજૂ કરવાની સલાહ અંગે યોગ્ય રીતે શંકા વ્યક્ત કરે છે. ઉકેલની આ પદ્ધતિ ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી અતાર્કિક છે અને જેમ જેમ ધોરણ 5-7માં ગણિતના શિક્ષક બાળકને આ પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલવા માટેની સામાન્ય તકનીકોનો પરિચય કરાવે છે તેમ તેમ ભૂલી અને કાઢી નાખવામાં આવશે.

કુશળતા વિકસાવવાની લાંબી રીત સમીકરણો ઉકેલવાખૂબ જ પ્રથમ અને પ્રમાણમાં નિર્ણય સાથે શરૂ થાય છે સરળ સમીકરણો. આવા સમીકરણો દ્વારા અમારો અર્થ એવા સમીકરણો છે કે જેમાં ડાબી બાજુ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો, તફાવત, ઉત્પાદન અથવા ભાગ ધરાવે છે, જેમાંથી એક અજ્ઞાત છે અને જમણી બાજુએ સંખ્યા છે. એટલે કે, આ સમીકરણોમાં અજ્ઞાત સમન્ડ, મીન્યુએન્ડ, સબટ્રાહેન્ડ, ગુણક, ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક હોય છે. આવા સમીકરણોના ઉકેલની ચર્ચા આ લેખમાં કરવામાં આવશે.

અહીં અમે એવા નિયમો આપીશું જે તમને અજાણ્યા શબ્દ, પરિબળ વગેરે શોધવાની મંજૂરી આપે છે. તદુપરાંત, અમે લાક્ષણિક સમીકરણોને હલ કરીને, વ્યવહારમાં આ નિયમોના ઉપયોગને તરત જ ધ્યાનમાં લઈશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

તેથી, આપણે મૂળ સમીકરણ 3+x=8 માં x ને બદલે નંબર 5 બદલીએ છીએ, આપણને 3+5=8 મળે છે - આ સમાનતા સાચી છે, તેથી, અમને અજ્ઞાત શબ્દ યોગ્ય રીતે મળ્યો છે. જો, તપાસ કરતી વખતે, અમને ખોટી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળી, તો આ અમને સૂચવે છે કે અમે સમીકરણને ખોટી રીતે હલ કર્યું છે. આના મુખ્ય કારણો કાં તો ખોટા નિયમનો ઉપયોગ અથવા ગણતરીની ભૂલો હોઈ શકે છે.

અજાણ્યા મીન્યુએન્ડ અથવા સબટ્રાહેન્ડ કેવી રીતે શોધવું?

સંખ્યાઓના સરવાળા અને બાદબાકી વચ્ચેનું જોડાણ, જેનો આપણે અગાઉના ફકરામાં પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, તે અમને જાણીતા સબટ્રાહેન્ડ અને તફાવત દ્વારા અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટેનો નિયમ તેમજ જાણીતા સબટ્રાહેન્ડ દ્વારા અજાણ્યા સબટ્રેહેન્ડ શોધવાનો નિયમ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. સૂક્ષ્મતા અને તફાવત. અમે તેમને એક પછી એક ઘડીશું અને તરત જ અનુરૂપ સમીકરણોનો ઉકેલ રજૂ કરીશું.

અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x−2=5 ને ધ્યાનમાં લો. તેમાં એક અજ્ઞાત મિનુએન્ડ છે. ઉપરોક્ત નિયમ આપણને જણાવે છે કે તેને શોધવા માટે આપણે જાણીતા તફાવત 5 માં જાણીતો સબટ્રેહેન્ડ 2 ઉમેરવો જોઈએ, આપણી પાસે 5+2=7 છે. આમ, જરૂરી મિનિટ સાત બરાબર છે.

જો આપણે સ્પષ્ટતાઓને છોડી દઈએ, તો ઉકેલ નીચે મુજબ લખાયેલ છે:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7.

સ્વ-નિયંત્રણ માટે, ચાલો તપાસ કરીએ. અમે મૂળ સમીકરણમાં મળેલા મિનુએન્ડને બદલીએ છીએ, અને અમે સંખ્યાત્મક સમાનતા 7−2=5 મેળવીએ છીએ. તે સાચું છે, તેથી, અમે ખાતરી કરી શકીએ છીએ કે અમે અજ્ઞાત મિનિટનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે નક્કી કર્યું છે.

તમે અજાણ્યા સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે આગળ વધી શકો છો. તે ઉમેરીને જોવા મળે છે આગામી નિયમ: અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, તમારે મીન્યુએન્ડમાંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે.

ચાલો લેખિત નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફોર્મ 9−x=4 નું સમીકરણ હલ કરીએ. આ સમીકરણમાં, અજ્ઞાત એ સબટ્રાહેન્ડ છે. તેને શોધવા માટે, આપણે જાણીતા મીન્યુએન્ડ 9 માંથી જાણીતા તફાવત 4 બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, આપણી પાસે 9−4=5 છે. આમ, જરૂરી સબટ્રાહેન્ડ પાંચ બરાબર છે.

ચાલો આપીએ ટૂંકું સંસ્કરણઆ સમીકરણના ઉકેલો:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5.

જે બાકી છે તે મળેલ સબટ્રાહેન્ડની શુદ્ધતા તપાસવાનું છે. ચાલો x ને બદલે મૂળ સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્ય 5 ને બદલીને તપાસ કરીએ, અને આપણને સંખ્યાત્મક સમાનતા 9−5=4 મળે છે. તે સાચું છે, તેથી અમને મળેલી સબટ્રાહેન્ડની કિંમત સાચી છે.

અને આગલા નિયમ પર આગળ વધતા પહેલા, અમે નોંધીએ છીએ કે ગ્રેડ 6 માં સમીકરણો ઉકેલવા માટેનો નિયમ ગણવામાં આવે છે, જે તમને કોઈપણ શબ્દને સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. વિરોધી ચિહ્ન. તેથી, અજ્ઞાત સમન્ડ, મિનુએન્ડ અને સબટ્રેહેન્ડ શોધવા માટે ઉપર ચર્ચા કરાયેલા તમામ નિયમો તેની સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે.

અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે જરૂર છે...

ચાલો x·3=12 અને 2·y=6 સમીકરણો પર એક નજર કરીએ. તેમનામાં અજાણ્યો નંબરડાબી બાજુનું પરિબળ છે, અને ઉત્પાદન અને બીજું પરિબળ જાણીતું છે. અજ્ઞાત ગુણક શોધવા માટે, તમે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો: અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

આ નિયમનો આધાર એ છે કે આપણે સંખ્યાઓના ભાગાકારને ગુણાકારના અર્થની વિરુદ્ધ અર્થ આપ્યો છે. એટલે કે, ગુણાકાર અને ભાગાકાર વચ્ચે જોડાણ છે: સમાનતા a·b=c થી, જેમાં a≠0 અને b≠0 તે c:a=b અને c:b=c, અને ઊલટું અનુસરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો x·3=12 સમીકરણનો અજાણ્યો પરિબળ શોધીએ. નિયમ મુજબ, આપણે વિભાજન કરવાની જરૂર છે પ્રખ્યાત કાર્યજાણીતા પરિબળ 3 દ્વારા 12. ચાલો હાથ ધરીએ: 12:3=4. આમ, અજ્ઞાત પરિબળ 4 છે.

સંક્ષિપ્તમાં, સમીકરણનો ઉકેલ સમાનતાના ક્રમ તરીકે લખાયેલ છે:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4.

પરિણામ તપાસવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે: અમે મૂળ સમીકરણમાં અક્ષરને બદલે મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ, અમને 4·3=12 મળે છે - એક સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા, તેથી અમે અજ્ઞાત પરિબળનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે શોધી કાઢ્યું છે.

અને બીજી એક વાત: શીખેલા નિયમ પ્રમાણે કાર્ય કરીને, આપણે વાસ્તવમાં સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્ય સિવાયના જાણીતા અવયવ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. 6ઠ્ઠા ધોરણમાં એવું કહેવામાં આવશે કે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે, આ સમીકરણના મૂળને અસર કરતું નથી.

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક કેવી રીતે શોધવું?

અમારા વિષયના માળખામાં, તે જાણવાનું બાકી છે કે જાણીતા વિભાજક અને ભાગ સાથે અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ કેવી રીતે શોધવું, તેમજ જાણીતા ડિવિડન્ડ અને ભાગ સાથે અજ્ઞાત વિભાજક કેવી રીતે શોધવું. અગાઉના ફકરામાં ઉલ્લેખિત ગુણાકાર અને ભાગાકાર વચ્ચેનું જોડાણ અમને આ પ્રશ્નોના જવાબો આપવા દે છે.

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે ભાગાકારને વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેની એપ્લિકેશન જોઈએ. ચાલો સમીકરણ x:5=9 હલ કરીએ. આ સમીકરણનું અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, નિયમ અનુસાર, તમારે જાણીતા ભાગ 9 ને જાણીતા ભાજક 5 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, આપણે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કુદરતી સંખ્યાઓ: 9·5=45. આમ, જરૂરી ડિવિડન્ડ 45 છે.

અમે તમને બતાવીશું ટૂંકી નોંધઉકેલો:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45.

ચેક પુષ્ટિ કરે છે કે અજાણ્યા ડિવિડન્ડનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે મળ્યું હતું. ખરેખર, જ્યારે ચલ x ને બદલે મૂળ સમીકરણમાં નંબર 45 ને બદલે છે, ત્યારે તે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 45:5=9 માં ફેરવાય છે.

નોંધ કરો કે વિશ્લેષિત નિયમને સમીકરણની બંને બાજુઓને જાણીતા વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ પરિવર્તન સમીકરણના મૂળને અસર કરતું નથી.

ચાલો અજાણ્યા વિભાજક શોધવા માટેના નિયમ તરફ આગળ વધીએ: અજ્ઞાત વિભાજક શોધવા માટે, તમારે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો સમીકરણ 18:x=3 માંથી અજાણ્યા વિભાજક શોધીએ. આ કરવા માટે, આપણે જાણીતા ભાગ 3 દ્વારા જાણીતા ડિવિડન્ડ 18 ને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, આપણી પાસે 18:3=6 છે. આમ, જરૂરી વિભાજક છ છે.

ઉકેલ આ રીતે લખી શકાય છે:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6.

ચાલો વિશ્વસનીયતા માટે આ પરિણામ તપાસીએ: 18:6=3 એ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે, તેથી, સમીકરણનું મૂળ યોગ્ય રીતે મળ્યું.

તે સ્પષ્ટ છે કે આ નિયમમાત્ર ત્યારે જ વાપરી શકાય જ્યારે ભાગાંક બિન-શૂન્ય હોય, જેથી કરીને શૂન્ય વડે વિભાજનનો સામનો ન કરવો પડે. જ્યારે ભાગાંક શૂન્ય બરાબર હોય, તો બે કિસ્સાઓ શક્ય છે. જો ડિવિડન્ડ શૂન્યની બરાબર હોય, એટલે કે, સમીકરણનું સ્વરૂપ 0:x=0 હોય, તો પછી વિભાજકનું કોઈપણ બિન-શૂન્ય મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આવા સમીકરણના મૂળ એવી કોઈપણ સંખ્યા છે જે શૂન્યની બરાબર નથી. જો ખાતે શૂન્ય બરાબરજો ડિવિડન્ડ શૂન્યથી અલગ હોય, તો પછી વિભાજકના મૂલ્ય વિના મૂળ સમીકરણ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવાય છે, એટલે કે, સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી. ઉદાહરણ માટે, અમે સમીકરણ 5:x=0 રજૂ કરીએ છીએ, તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

શેરિંગ નિયમો

અજ્ઞાત સમન્ડ, મિન્યુએન્ડ, સબટ્રેહેન્ડ, ગુણક, ડિવિડન્ડ અને વિભાજક શોધવા માટેના નિયમોનો સતત ઉપયોગ તમને વધુ એક ચલ સાથે સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પરવાનગી આપે છે. જટિલ પ્રકાર. આ વાતને એક ઉદાહરણથી સમજીએ.

સમીકરણ 3 x+1=7 ધ્યાનમાં લો. પ્રથમ, આપણે અજાણ્યા શબ્દ 3 x શોધી શકીએ છીએ, આ કરવા માટે આપણે 7 માંથી જાણીતા શબ્દ 1 ને બાદ કરવાની જરૂર છે, આપણને 3 x = 7−1 અને પછી 3 x = 6 મળે છે. હવે ઉત્પાદન 6 ને જાણીતા પરિબળ 3 વડે ભાગીને અજ્ઞાત પરિબળ શોધવાનું બાકી છે, આપણી પાસે x=6:3 છે, જ્યાંથી x=2. મૂળ સમીકરણનું મૂળ આ રીતે મળે છે.

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે પ્રસ્તુત કરીએ છીએ ટૂંકા ઉકેલઅન્ય સમીકરણ (2 x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14.

સંદર્ભો.

• ગણિત.. 4 થી ગ્રેડ. પાઠ્યપુસ્તક સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ બપોરે 2 વાગ્યે ભાગ 1 / [એમ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, વગેરે.] - 8મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2011. - 112 પૃષ્ઠ: બીમાર. - (રશિયાની શાળા). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 280 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 5-346-00699-0.