A kryptis = mg(h n – h k) (14,19)
čia h n ir h k yra pradinis ir galutinis aukštis (14.7 pav.) materialaus taško, kurio masė m, g – pagreičio modulis laisvasis kritimas.
Gravitacijos A gijos darbas nustatomas pagal pradinę ir galutinę materialiojo taško padėtis ir nepriklauso nuo trajektorijos tarp jų.
Jis gali būti teigiamas, neigiamas arba lygus nuliui:
a) Gijos > 0 – kai materialus taškas nusileidžia,
b) laidas< 0 - при подъеме материальной точки,
c) Strypas = 0 – su sąlyga, kad aukštis nesikeičia, arba esant uždarai materialaus taško trajektorijai.
Trinties jėgos darbas pastoviu greičiu b.t. ( v = konst) ir trinties jėgos ( F tr = konst) laiko intervalu t:
A tr = ( F tr, v)t, (14.20)
Trinties jėgos atliekamas darbas gali būti teigiamas, neigiamas ir lygus nuliui. Pavyzdžiui:
A 
) apatinį bloką veikiančios trinties jėgos darbas iš viršutinio bloko pusės (14.8 pav.), A tr.2,1 > 0, nes kampas tarp jėgos, veikiančios apatinį bloką nuo viršutinio bloko F tr.2.1 ir greitis v 2 apatinės juostos (Žemės paviršiaus atžvilgiu) yra lygus nuliui;
b) A tr.1,2< 0 - угол между силой трения F tr.1,2 ir greitis v 1 viršutinė juosta lygi 180 (žr. 14.8 pav.);
c) A tr = 0 – pavyzdžiui, blokas yra ant besisukančio horizontalaus disko (blokas disko atžvilgiu nejuda).
Trinties jėgos darbas priklauso nuo trajektorijos tarp materialaus taško pradinės ir galutinės padėties.
§15. Mechaninė energija
Materialaus taško kinetinė energija K – SFV, lygus pusei masės sandauga m.t. kvadratiniam jo greičio moduliui:
(15.1)
Kinetinė energija, atsirandanti dėl kūno judėjimo, priklauso nuo atskaitos sistemos ir yra neneigiamas dydis:
Kinetinės energijos vienetas-džaulis: [K] = J.
Teorema apie kinetinė energija - kinetinės energijos prieaugis m.t. lygus atstojamosios jėgos darbui A p:
K = A r. (15.3)
Rezultatinės jėgos darbą galima rasti kaip visų jėgų darbo A i sumą F i (i = 1,2,…n) taikomas m.t.:
(15.4)
Medžiagos taško greičio modulis: esant A p > 0 - didėja; adresu A p< 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.
Materialių taškų sistemos kinetinė energija K с lygus visų kinetinių energijų K i sumai n m.t., priklausantis šiai sistemai:
(15.5)
čia m i ir v i yra i-osios m.t masės ir greičio modulis. šios sistemos.
Sistemos kinetinės energijos prieaugis m.t.K c lygi darbų A pi sumai iš visų n Rezultatinės jėgos, veikiančios i-tuosius materialius sistemos taškus:
(15.6)
Jėgų laukas- erdvės sritis, kurios kiekviename taške kūną veikia jėgos.
Stacionarus jėgos laukas- laukas, kurio stiprumas laikui bėgant nekinta.
Homogeninis jėgų laukas- laukas, kurio jėgos yra lygios visuose jo taškuose.
Centrinis jėgų laukas- laukas, kuriame visų jėgų veikimo kryptys eina per vieną tašką, vadinamą lauko centru, o jėgų dydis priklauso tik nuo atstumo iki šio centro.
Nekonservatyvios jėgos (nx.sl)- jėgos, kurių darbas priklauso nuo trajektorijos tarp pradinės ir galutinės kūno padėties .
Nekonservatyvių jėgų pavyzdys yra trinties jėga. Trinties jėgų darbas uždara trajektorija in bendras atvejis nelygu nuliui.
Konservatyvios jėgos (ks.sl)- jėgos, kurių darbą lemia pradinė ir galutinė m.t. ir nepriklauso nuo trajektorijos tarp jų. Esant uždarai trajektorijai, konservatyvių jėgų atliktas darbas yra lygus nuliui. Konservatyvių jėgų laukas vadinamas potencialu.
Konservatyvių jėgų pavyzdys yra gravitacija ir elastingumas.
Potenciali energija P – SPV, kuri yra santykinės sistemos dalių (kūno) padėties funkcija.
Potencialios energijos vienetas-džaulis: [P] = J.
Potencialios energijos teorema
Materialių taškų sistemos potencinės energijos sumažėjimas lygus konservatyvių jėgų darbui:
–P s = P n – P k = A ks.sl (15.7 )
Potenciali energija nustatoma pastovios vertės ribose ir gali būti teigiama, neigiama arba nulis.
Materialaus taško potenciali energija P bet kuriuo metu jėgos laukas- SPV, lygus konservatyviųjų jėgų darbui judant m.t. nuo tam tikro lauko taško iki taško, potenciali energija kurioje imamas lygus nuliui:
P = A ks.sl. (15.8)
Tampriai deformuotos spyruoklės potenciali energija
(15.9)
G 
de x yra laisvo spyruoklės galo poslinkis; k yra spyruoklės standumas, C yra savavališka konstanta (parenkama iš problemos sprendimo patogumo sąlygos).
P(x) grafikai įvairioms konstantoms: a) C > 0, b) C = 0, c) C< 0 параболы (рис.15.1).
Esant sąlygai P (0) = 0 konstanta C = 0 ir
(15.10)
Darbas, energija, jėga
Jėgos sukelia arba kūno pagreitį (dinaminis veiksmas), arba jo formos pasikeitimą (statinis veiksmas).
Jei jėga perkelia kūną tam tikru atstumu, tada ji veikia kūną.
Darbas= jėga x poslinkis.
At F = konst(tuo atveju nuolatinė jėga judant) A = Fs, tuo atveju kintamoji jėga– jėgos integralas per poslinkį A = .
Galia– atlikto darbo ir laiko, per kurį jis buvo atliktas, santykis:
Galia = darbas / laikas .
Momentinė galia yra darbo išvestinė laiko atžvilgiu: R = dA/dt. Nes dA = Fds(priversti judėti), tada R = Fds/dt = Fv. Momentinė galia lygi gaminiui momentinė jėga momentiniu greičiu.
Energija- organizmo gebėjimas dirbti, viena priemonė įvairių formų judesiai. Kiekybinės charakteristikos priklauso nuo energijos rūšies (mechaninė, vidinė, cheminė, branduolinė, elektromagnetinė ir kt.).
Yra du būdai perkelti judesį ir jį atitinkančią energiją iš vieno kūno į kitą – darbo ir šilumos pavidalu (per šilumos mainus). Mikrodalelėms (atomams, elektronams) šios sąvokos netaikomos.
Jei kūnas juda gravitacijos kryptimi, tai darbas atliekamas su kūnu A = G h arba A T = mg h.
Norint pakelti kūną (padidinti atstumą nuo Žemės centro), reikia su juo dirbti. Darbas atliktas jėga F judant prieš gravitaciją (keliant kūną) į aukštį h nepriklauso nuo kelio – priklauso tik nuo to, kiek kūnas gali nusileisti iki tam tikro lygio. Šis darbas saugomas potencialios kūno energijos (padėties energijos) pavidalu. A=W n = mgh, lygiavertis darbas, išleista kūno pakėlimui.
Tai nėra bendra potenciali energija – tik energijos prieaugis, kai kūnas pakyla į aukštį (atskaitos taškas pasirenkamas savavališkai). Galimi pakeitimai gravitacinis laukas aukštyje W n = m .
Potenciali energija vadinama energija, kuri priklauso tik nuo santykinė padėtis materialūs taškai (arba kūnai).
Jėgos, veikiančios materialųjį tašką (kūną), vadinamos potencialinėmis, jeigu šių jėgų darbas judant taškui (kūnui) priklauso tik nuo pradinės ir galutinės taško (kūno) padėties erdvėje ir nepriklauso nuo judėjimo kelio. .
Visuose fiziniai reiškiniai Svarbu ne pati potenciali energija, o jos pokytis, nulemiantis nuveiktus darbus. Dėl pakeitimų orientacinio lygio susitariama iš anksto.
Potenciali energija apima padėties energiją ir elastinės deformacijos energiją.
Potencialią energiją gali turėti ne tik sąveikaujančių jėgų sistema, bet ir vienas tampriai deformuojamas kūnas (suspausta spyruoklė, ištemptas strypas). Šiuo atveju potenciali energija priklauso nuo santykinės padėties atskiros dalys korpusas (spyruoklės ritės).
Kinetinė energija kūnas yra jo matas mechaninis judėjimas ir matuojamas darbu, kurį kūnas gali atlikti stabdydamas iki visiško sustojimo.
Iš ramybės būsenos greičio ir kelio pokytis iki momento t: V =prie, S=Vt/2=prie 2 /2.
Stabdant kūną veikia jėga, nukreipta prieš jo judėjimą. Kol kūnas visiškai sustos veikiamas jėgos F atliks darbą A: A = Fs = F v 2 /2a = mv 2 /2.
Kūno kinetinė energija K = mv 2 /2
 |
Kylant į aukštį kaupiasi potencinė energija W n, krintant iš tokio aukščio, ši potenciali energija virto kinetine WĮ. W n = W k = mgh = mv 2/2.
Pavyzdys: greičio nustatymas naudojant švytuoklės svorį.
1. Turinio modelio formulavimas
Nustatykite kulkos greitį. Problema išspręsta naudojant švytuoklinį svorį, pakabintą ant lengvo, standaus ir laisvai besisukančio strypo. Pradiniai duomenys – pagal paveikslą.
2. Koncepcinio modelio formulavimas
Krovinyje įstrigusi kulka perduos savo kinetinę energiją „kulkos apkrovos“ sistemai, kuri didžiausio strypo nuokrypio nuo vertikalės momentu visiškai transformuos į potencialią sistemos energiją. Problemos sprendimas grindžiamas energijos tvermės dėsniu. Neatsižvelgiama į energijos nuostolius kulkos ir apkrovos kaitinimui, oro pasipriešinimo įveikimui, strypo pagreitėjimui ir kt.
3. Matematinio modelio kūrimas.
Ši transformacija apibūdinama lygybių grandine, iš kurios nustatomas norimas greitis v.
(M + m)V 2 /2 = (M + m) gl (1 – cosα).
4. Modelio tyrimas ir problemos sprendimas.
Procesai, vykstantys kulkai prasiskverbus į apkrovą, nebėra vien mechaniniai. Taikomas įstatymas suteikia tik apatinę sąmatos ribą – išlaikoma visa, o ne mechaninė energija sistemos – už teisingas sprendimas problema, turime naudoti impulso išsaugojimo dėsnį.
Šioje pamokoje apžvelgsime skirtingas judėjimas gravitacijos veikiamus kūnus ir išmokti rasti šios jėgos atliekamą darbą. Taip pat supažindinsime su kūno potencialios energijos samprata, išsiaiškinsime, kaip ši energija susijusi su gravitacijos darbu, išvesime formulę, pagal kurią ši energija randama. Naudodami šią formulę išspręsime uždavinį, paimtą iš pasirengimo vieningam valstybiniam egzaminui rinkinio.
Ankstesnėse pamokose tyrinėjome gamtos jėgų rūšis. Kiekvienai jėgai darbas turi būti teisingai apskaičiuotas. Ši pamoka skirta gravitacijos darbui tirti.
Mažais atstumais nuo Žemės paviršiaus gravitacija yra pastovi ir yra lygi , kur m- kūno svoris, g- laisvo kritimo pagreitis.
Tegul kūnas turi masę m laisvai krenta iš aukščio virš bet kurio lygio, nuo kurio atliekamas atgalinis skaičiavimas iki aukščio virš to paties lygio (žr. 1 pav.).
Ryžiai. 1. Laisvas kūno kritimas iš aukščio į aukštį
Šiuo atveju kūno poslinkio modulis lygus skirtumuišie aukščiai:
Kadangi judėjimo kryptis ir gravitacijos jėga sutampa, gravitacijos atliktas darbas yra lygus:
Aukščio reikšmę šioje formulėje galima skaičiuoti iš bet kurio lygio (jūros lygio, žemėje iškastos duobės dugno lygio, stalo paviršiaus, grindų paviršiaus ir kt.). Bet kokiu atveju šio paviršiaus aukštis parenkamas lygus nuliui, todėl vadinamas šio aukščio lygiu nulinis lygis .
Jei kūnas nukrenta iš aukščio h iki nulinio lygio, tada gravitacijos atliktas darbas bus lygus:
Jei kūnas, išmestas aukštyn iš nulinio lygio, pasiekia aukštį, viršijantį šį lygį, gravitacijos atliktas darbas bus lygus:
Tegul kūnas turi masę m juda kartu pasvirusi plokštuma aukščio h ir tuo pačiu daro judesį, kurio modulis lygus ilgiui pasvirusi plokštuma (žr. 2 pav.).
Ryžiai. 2. Kūno judėjimas išilgai nuožulnios plokštumos
Jėgos atliktas darbas yra skaliarinis produktas jėgos vektorius į kūno judėjimo vektorių, padarytą veikiant tam tikrai jėgai, ty gravitacijos darbui šiuo atveju bus lygus:
kur yra kampas tarp gravitacijos ir poslinkio vektorių.
2 paveiksle matote, kad judėjimas () reiškia hipotenuzą stačiakampis trikampis, ir aukštį h- koja. Pagal stačiojo trikampio savybę:
Vadinasi
Gavome gravitacijos darbo išraišką, kuri yra tokia pati kaip ir vertikaliojo kūno judėjimo atveju. Galime daryti išvadą: jei kūno trajektorija nėra tiesi ir kūnas juda veikiamas gravitacijos, tai gravitacijos darbą lemia tik kūno aukščio pokytis virš tam tikro nulinio lygio ir nepriklauso nuo kūno trajektorija.
Ryžiai. 3. Kūno judėjimas kreivinė trajektorija
Įrodykime ankstesnį teiginį. Tegul kūnas juda tam tikra kreivine trajektorija (žr. 3 pav.). Šią trajektoriją mintyse padalijame į keletą mažų atkarpų, kurių kiekvieną galima laikyti maža pasvirusia plokštuma. Kūno judėjimas per visą jo trajektoriją gali būti pavaizduotas kaip judėjimas išilgai daugelio pasvirusių plokštumų. Kiekvienoje sekcijoje gravitacijos atliktas darbas bus lygus gravitacijos ir šios sekcijos aukščio sandaugai. Jei aukščių pokyčiai atskirose srityse yra vienodi, tada gravitacijos darbas jiems yra lygus:
Bendras darbas visoje trajektorijoje yra lygus atskirų ruožų darbų sumai:
- bendras kūno įveiktas aukštis,
Taigi gravitacijos darbas nepriklauso nuo kūno trajektorijos ir visada yra lygus sunkio jėgos ir aukščių skirtumo sandaugai pradinėje ir galutinėje padėtyse. Q.E.D.
Judant žemyn darbas teigiamas, kilus aukštyn – neigiamas.
Tegul koks nors kūnas juda uždara trajektorija, tai yra, jis pirmiausia nusileido, o tada kita trajektorija grįžo į pradinį tašką. Kadangi kūnas atsidūrė tame pačiame taške, kuriame buvo iš pradžių, aukščių skirtumas tarp pradinės ir galutinės kūno padėties yra lygus nuliui, todėl gravitacijos atliktas darbas bus lygus nuliui. Vadinasi, gravitacijos darbas, kai kūnas juda uždara trajektorija, yra lygus nuliui.
Gravitacijos darbo formulėje iš skliaustų išimame (-1):
Iš ankstesnių pamokų žinome, kad jėgų, veikiančių kūną, darbas yra lygus skirtumui tarp galutinio ir pradinė vertė kinetinė kūno energija. Gauta formulė taip pat parodo ryšį tarp gravitacijos darbo ir skirtumo tarp tam tikrų verčių fizinis kiekis, lygus . Šis kiekis vadinamas potenciali kūno energija, kuris yra aukštyje h virš kažkokio nulinio lygio.
Potencialios energijos pokytis yra neigiamo dydžio, jei atliekamas teigiamas gravitacijos darbas (matoma iš formulės). Jei padaryta neigiamas darbas, tada potencialios energijos pokytis bus teigiamas.
Jei kūnas nukrenta iš aukščio h iki nulinio lygio, tada gravitacijos atliktas darbas bus lygus kūno, pakelto į aukštį, potencinės energijos vertei h.
Kūno potenciali energija, pakeltas iki tam tikro aukščio virš nulinio lygio, yra lygus gravitacijos atliekamam darbui, kai duotas kūnas nukrenta iš tam tikro aukščio į nulinį lygį.
Skirtingai nuo kinetinės energijos, kuri priklauso nuo kūno greičio, potenciali energija gali būti nelygi nuliui net ramybės būsenoje.
Ryžiai. 4. Kūnas žemiau nulinio lygio
Jei kūnas yra žemiau nulinio lygio, tai jis turi neigiamą potencialią energiją (žr. 4 pav.). Tai yra, potencialios energijos ženklas ir dydis priklauso nuo nulinio lygio pasirinkimo. Darbas, atliekamas judant kūną, nepriklauso nuo nulinio lygio pasirinkimo.
Sąvoka „potenciali energija“ taikoma tik kūnų sistemai. Visuose aukščiau pateiktuose samprotavimuose ši sistema buvo „Žemė yra kūnas, iškeltas virš Žemės“.
Homogeniškas stačiakampis masė m su uždėtais šonkauliais horizontali plokštuma ant kiekvieno iš trijų veidų paeiliui. Kokia yra gretasienio potenciali energija kiekvienoje iš šių padėčių?
Duota:m- gretasienio masė; - gretasienio kraštų ilgis.
Rasti:; ;
Sprendimas
Jei reikia nustatyti baigtinių matmenų kūno potencialią energiją, galime manyti, kad visa tokio kūno masė yra sutelkta viename taške, kuris vadinamas šio kūno masės centru.
Esant simetriškam geometriniai kūnai masės centras sutampa su geometrinis centras, tai yra (šiam uždaviniui) su gretasienio įstrižainių susikirtimo tašku. Taigi, būtina apskaičiuoti aukštį, kuriame duotas taškas adresu įvairiose vietose gretasienis (žr. 5 pav.).
Ryžiai. 5. Problemos iliustracija
Norint rasti potencialią energiją, gautas aukščio vertes reikia padauginti iš gretasienio masės ir gravitacijos pagreičio.
Atsakymas:; ;
Įjungta šią pamoką išmokome skaičiuoti gravitacijos darbą. Tuo pačiu matėme, kad, nepaisant kūno judėjimo trajektorijos, gravitacijos darbą lemia kūno pradinės ir galutinės padėties aukščių skirtumas virš tam tikro nulinio lygio. Taip pat pristatėme potencialios energijos sąvoką ir parodėme, kad gravitacijos darbas yra lygus kūno potencinės energijos pokyčiui, paimtam priešingu ženklu. Kiek reikia nuveikti, norint perkelti 2 kg sveriantį miltų maišą iš lentynos, esančios 0,5 m aukštyje grindų atžvilgiu, ant stalo, esančio 0,75 m aukštyje nuo grindų? Kokia yra miltų maišelio, gulinčio ant lentynos, potenciali energija grindų atžvilgiu ir potenciali energija, kai jis yra ant stalo?
Gravitacijos darbas. Problemų sprendimas
Pamokos tikslas: nustatyti gravitacijos darbo formulę; nustatyti, kad gravitacijos atliekamas darbas nepriklauso nuo kūno trajektorijos; ugdyti praktinius problemų sprendimo įgūdžius.
Pamokos eiga.
1. Organizacinis momentas. Mokinių sveikinimas, neatvykusių tikrinimas, pamokos tikslų nustatymas.
2.Namų darbų tikrinimas.
3.Naujos medžiagos mokymasis. Ankstesnėje pamokoje apibrėžėme darbo nustatymo formulę. Kokia formulė lemia pastovios jėgos atliekamą darbą? (A =FScosα)
Kas yra A irS?
Dabar pritaikykime šią formulę gravitacijai. Bet pirmiausia prisiminkime, kas yra gravitacijos jėga? (F= mg)
Apsvarstykite atvejį a) kūnas krenta vertikaliai žemyn. Kaip jūs ir aš žinome, gravitacija visada nukreipta tiesiai žemyn. Norint nustatyti kryptįSreikia atsiminti apibrėžimą. (Poslinkis yra vektorius, jungiantis pradinį ir pabaigos taškas. Jis nukreiptas nuo pradžios iki pabaigos)
Tai. nustatyti Kadangi judėjimo kryptis ir gravitacija sutampa, tadaα =0 ir gravitacijos atliekamas darbas yra toks:
Apsvarstykite atvejį b) kūnas juda vertikaliai aukštyn. Nes gravitacijos ir judėjimo kryptys yra priešingosα =0 ir gravitacijos atliekamas darbas yra .
Tai. Taigi, jei palyginsite dvi modulio formules, jos bus vienodos.
Apsvarstykite atvejį c) kūnas juda išilgai nuožulnios plokštumos. Jėgos darbas yra lygus jėgos vektoriaus ir kūno poslinkio, atliekamo veikiant tam tikrai jėgai, skaliarinei sandaugai, tai yra, gravitacijos darbas šiuo atveju bus lygus, Kur – kampas tarp sunkio jėgos ir poslinkio vektorių. Paveikslėlyje parodyta, kad judėjimas () reiškia stačiojo trikampio hipotenuzę ir aukštį virš jūros lygioh– koja. Pagal stačiojo trikampio savybę:
.Vadinasi
Tai. ka galima isvaduoti?(kad gravitacijos atliekamas darbas nepriklauso nuo judėjimo trajektorijos.)
Pasvarstykime paskutinis pavyzdys, kai trajektorija
judėjimas bus uždara linija. Kas pasakys, kam prilygs darbas ir kodėl? (A = 0, nes poslinkis yra 0)
Atkreipkime dėmesį!: gravitacijos darbas, kai kūnas juda uždara trajektorija, yra lygus nuliui.
4. Medžiagos tvirtinimas.
1 užduotis. Medžiotojas šaudo nuo skardžio 40° kampu į horizontą. Kulkos kritimo metu gravitacijos atliktas darbas buvo 5 J. Jei kulka į žemę patekdavo 250 m atstumu nuo uolos, tai kokia jos masė?
2 užduotis. Būdamas Neptūne, kūnas judėjo taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Šio judėjimo metu gravitacijos atliktas darbas buvo 840 J. Jei šio kūno masė yra 5 kg, tai koks yra Neptūno gravitacijos pagreitis?
5. Namų darbai.
