Integracija trupmeninė racionali funkcija.
Metodas neapibrėžti koeficientai

Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau apžvelgėme kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate pradedantysis, turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek... sistemų sprendimu tiesines lygtis. Šiuo atžvilgiu skubiai Rekomenduoju lankyti pamoką. Būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus („mokyklos“ metodą ir sisteminių lygčių sudėties (atėmimo) metodą).

Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario arba daugianario sandaugų. Be to, trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje Kai kurių trupmenų integravimas.

Tinkamos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas

Iškart pavyzdys ir standartinis algoritmas trupmeninės racionalios funkcijos integralo sprendiniai.

1 pavyzdys

1 veiksmas. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami trupmeninės racionalios funkcijos integralą, yra išsiaiškinti kitas klausimas: ar trupmena tinkama? Šis žingsnis yra daroma žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis daugianario:

Pirmaujanti skaitiklio galia yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir atnešti panašius terminus, bet jūs galite tai padaryti lengviau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį

ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei iš tikrųjų atidarysime skliaustus, negausime laipsnio didesnio nei trys.

Išvada: Pagrindinis skaitiklio laipsnis GRIEŽTAI yra mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, o tai reiškia, kad trupmena yra tinkama.

Jei į šiame pavyzdyje skaitiklyje buvo daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnių, tada trupmena būtų negerai.

Dabar nagrinėsime tik teisingas trupmenines racionalias funkcijas. Nagrinėsime atvejį, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui pamokos pabaigoje.

2 veiksmas. Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį:

Paprastai tariant, tai jau yra veiksnių rezultatas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Kankinimo objektas neabejotinai bus kvadratinis trikampis. Nuspręskime kvadratinė lygtis:

Diskriminuojantis didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinalį tikrai galima koeficientuoti:

Bendra taisyklė: VISKAS, kas yra vardiklyje, GALI būti faktorinuota – faktoriuota

Pradėkime formuluoti sprendimą:

3 veiksmas. Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.

Pažvelkime į mūsų integrando funkciją:

Ir, žinote, kažkaip intuityvi mintis iškyla, kad būtų malonu turėti mūsų didelė frakcija pavirsti į keletą mažų. Pavyzdžiui, taip:

Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama teorema matematinė analizė tvirtina – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.

Yra tik vienas laimikis, šansai yra tokie Iki pasimatymo Mes nežinome, todėl pavadinimas - neapibrėžtų koeficientų metodas.

Kaip atspėjote, vėlesni kūno judesiai yra tokie, neskubėkite! bus siekiama tiesiog juos ATPAŽINTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.

Būkite atsargūs, išsamiai paaiškinsiu tik vieną kartą!

Taigi, pradėkime šokti nuo:

Kairėje pusėje sumažiname išraišką iki bendro vardiklio:

Dabar galime saugiai atsikratyti vardiklių (nes jie yra vienodi):

Kairėje pusėje atidarome skliaustus, bet kol kas nelieskite nežinomų koeficientų:

Tuo pačiu kartojame mokyklinę daugianario daugybos taisyklę. Kai buvau mokytojas, išmokau ištarti šią taisyklę tiesiu veidu: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Iš požiūrio taško aiškus paaiškinimas Geriau dėti koeficientus skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):

Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:

Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus į pirmąją sistemos lygtį:

Gerai atsiminkite sekantį dalyką. Kas nutiktų, jei dešinėje pusėje iš viso nebūtų s? Tarkime, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje reikėtų dešinėje dėti nulį: . Kodėl nulis? Bet kadangi dešinėje pusėje visada galite priskirti tą patį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje pusėje nėra kintamųjų ir (arba) laisvas narys, tada atitinkamų sistemos lygčių dešiniosiose pusėse dedame nulius.

Į antrąją sistemos lygtį įrašome atitinkamus koeficientus:

Ir galiausiai, mineralinis vanduo, atrenkame laisvus narius.

Ech...kažkaip pajuokavau. Anekdotus atmetus – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarstys terminus išilgai skaičių tiesės ir išrinks didžiausius. Būkime rimti. Nors... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.

Sistema paruošta:

Mes išsprendžiame sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, bet šiuo atveju pravartu tiksliai išreikšti iš 1-osios lygties, nes ten mažiausi šansai.

(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.

(3) 2 ir 3 lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad

(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kur tai randame

(5) Pakeiskite ir į pirmąją lygtį, gaudami .

Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, praktikuokite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Išsprendus sistemą visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kas sistemos lygtis, todėl viskas turėtų „susivesti“.

Beveik ten. Buvo rasti koeficientai ir:

Baigtas darbas turėtų atrodyti maždaug taip:

Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sunku: mes naudojame tiesiškumo savybes neapibrėžtas integralas ir integruoti. Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename iš trijų integralų turime „nemokamą“ sudėtinga funkcija, kalbėjau apie jo integravimo klasėje ypatybes Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Patikrinkite: išskirkite atsakymą:

Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Tikrinimo metu turėjome sumažinti išraišką iki bendro vardiklio, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos redukavimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: . Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama ši trupmena: ? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematiškai, kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima koeficientuoti (nesunku patikrinti, ar lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl trinario negalima koeficientuoti). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys maždaug taip su nežinomais koeficientais viršuje ar dar kažkas?

3 pavyzdys

Įveskite funkciją

1 veiksmas. Tikrinama, ar turime tinkamą trupmeną
Pagrindinis skaitiklis: 2
Aukščiausias vardiklio laipsnis: 8
, o tai reiškia, kad trupmena yra teisinga.

2 veiksmas. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Kvadratinis trinaris dėl aukščiau nurodytų priežasčių nesuyra į kūrinį. Gaubtas. Mažiau darbo.

3 veiksmas.Įsivaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju išplėtimas turi tokią formą:

Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:

1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmosios laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. 1, 2 pavyzdžiai susideda tik iš tokių „vienišų“ veiksnių.

2) Jei vardiklis turi daugkartinis daugiklis, tada jums reikia jį išskaidyti taip:
- tai yra, nuosekliai eikite per visus „X“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą išplėtimą ir įsitikinkite, kad jie yra išplėsti tiksliai pagal šią taisyklę.

3) Jei vardiklyje yra neišskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju), tada skaidant skaitiklyje reikia parašyti tiesinė funkcija su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).

Tiesą sakant, yra dar vienas 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktikoje tai yra labai reta.

4 pavyzdys

Įveskite funkciją kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!

Jei suprantate principus, pagal kuriuos reikia išplėsti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite peržvelgti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

1 veiksmas. Akivaizdu, kad trupmena teisinga:

2 veiksmas. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma . Vardiklį koeficientuokite naudodami sutrumpintą daugybos formulę

3 veiksmas. Naudodami neapibrėžtų koeficientų metodą, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:

Atkreipkite dėmesį, kad daugianario negalima koeficientuoti (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje pateikiame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.

Suvedame trupmeną į bendrą vardiklį:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

(1) Išreiškiame iš pirmosios lygties ir pakeičiame ją antrąja sistemos lygtimi (tai yra racionaliausias būdas).

(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.

(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.

Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta.

(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus.

(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Su šiuo metodu galite susipažinti paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.

(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integralu pradedame išskirti tobulas kvadratas(priešpaskutinė pamokos pastraipa Kai kurių trupmenų integravimas).

(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.

(5) Paimkite trečiąjį integralą. Paruošta.

Funkcijų integravimo bandomasis darbas, įskaitant racionalios trupmenos klausė I ir II kurso studentai. Integralų pavyzdžiai daugiausia bus įdomūs matematikams, ekonomistams ir statistikams. Šie pavyzdžiai buvo paklausti bandomasis darbas vardu pavadintoje LNU. I. Frankas. Sąlygos sekančius pavyzdžius„Rasti integralą“ arba „Apskaičiuoti integralą“, kad sutaupytumėte vietos ir jūsų laiko, jie nebuvo išrašyti.

15 pavyzdys. Priėjome trupmeninių-racionalių funkcijų integravimą. Jie užima ypatinga vieta tarp integralų, nes jiems reikia daug laiko apskaičiuoti ir padėti mokytojams pasitikrinti jūsų žinias ne tik apie integraciją. Norėdami supaprastinti funkciją pagal integralą, skaitiklyje pridedame ir atimame išraišką, kuri leis padalyti funkciją po integralu į dvi paprastas

Dėl to vieną integralą randame gana greitai, antruoju trupmeną reikia išplėsti į elementariųjų trupmenų sumą

Sumažinę iki bendro vardiklio, gauname tokius skaitmenis

Tada atidarykite skliaustus ir grupę

Vertę prilyginame vienodi laipsniai„X“ dešinėje ir kairėje. Dėl to gauname trijų tiesinių lygčių sistemą (SLAE) su trimis nežinomaisiais.

Kaip išspręsti lygčių sistemas, aprašyta kituose svetainės straipsniuose. Galų gale jūs gausite kitas sprendimas SLAU
A=4; B = -9/2; C=-7/2.
Konstantas keičiame į trupmenų išplėtimą į paprasčiausias ir atliekame integravimą

Tai užbaigia pavyzdį.

16 pavyzdys. Vėl turime rasti trupmeninės racionalios funkcijos integralą. Norėdami pradėti kubinė lygtis, kuris yra trupmenos vardiklyje, išskaidysime jį į paprastus veiksnius

Toliau trupmeną išskaidome į paprasčiausias formas

Suburkime kartu dešinėje pusėjeį bendrą vardiklį ir atidarykite skaitiklio skliaustus.

Sulyginame tų pačių kintamojo laipsnių koeficientus. Dar kartą ateikime į SLAE su trimis nežinomaisiais

Pakeiskime vertės A, B, Cį plėtinį ir apskaičiuokite integralą

Pirmieji du terminai suteikia logaritmą, paskutinįjį taip pat lengva rasti.

17 pavyzdys. Trupmeninės racionalios funkcijos vardiklyje turime kubelių skirtumą. Naudodamiesi sutrumpintomis daugybos formulėmis, išskaidome ją į dvi dalis pagrindiniai veiksniai

Toliau gavo trupmeninė funkcija užsirašykite sumą paprastosios trupmenos ir nuneškite juos po žeme bendras vardiklis

Skaitiklyje gauname tokią išraišką.

Iš jo sudarome tiesinių lygčių sistemą 3 nežinomiesiems apskaičiuoti

A=1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Į formulę pakeičiame A, B, C ir atliekame integravimą. Dėl to gauname tokį atsakymą:

Čia antrojo integralo skaitiklis buvo paverstas logaritmu, o likusi dalis po integralu suteikia arctangentą.
Panašūs pavyzdžiai Internete yra daug informacijos apie racionaliųjų trupmenų integravimą. Panašių pavyzdžių galite rasti iš toliau pateiktos medžiagos.

„Matematikas, kaip ir menininkas ar poetas, kuria raštus. O jei jo raštai stabilesni, tai tik todėl, kad jie susideda iš idėjų... Matematiko raštai, kaip ir menininko ar poeto raštai, turi būti gražūs; Idėjos, kaip ir spalvos ar žodžiai, turi atitikti viena kitą. Grožis yra pirmasis reikalavimas: bjauriai matematikai nėra vietos pasaulyje».

G.H.Hardy

Pirmajame skyriuje buvo pažymėta, kad yra gana primityvų paprastos funkcijos, kurio nebegalima išreikšti elementarios funkcijos. Šiuo atžvilgiu didžiulę praktinę reikšmę įgyja tos funkcijų klasės, apie kurias galime tiksliai pasakyti, kad jų antidariniai yra elementarios funkcijos. Ši funkcijų klasė apima racionalios funkcijos, reiškiantis dviejų santykį algebriniai daugianariai. Daugelis problemų lemia racionaliųjų trupmenų integravimą. Todėl labai svarbu mokėti integruoti tokias funkcijas.

2.1.1. Trupmeninės racionalios funkcijos

Racionalioji trupmena(arba trupmeninė racionali funkcija) vadinamas dviejų algebrinių daugianarių ryšiu:

kur ir yra daugianariai.

Prisiminkime tai daugianario (daugianario, visa racionali funkcija ) nlaipsnis vadinama formos funkcija

Kur – realūs skaičiai. Pavyzdžiui,

– pirmojo laipsnio daugianario;

– ketvirtojo laipsnio daugianario ir kt.

Racionalioji trupmena (2.1.1) vadinama teisinga, jeigu laipsnis žemesnis už laipsnį , t.y. n<m, kitaip trupmena vadinama negerai.

Bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip daugianario (visos dalies) ir tinkamos trupmenos (trupmeninės dalies) suma. Netinkamos trupmenos sveikos ir trupmeninės dalys gali būti atskirtos pagal daugianario padalijimo „kampu“ taisyklę.

2.1.1 pavyzdys. Nustatykite šių netinkamų racionalių trupmenų visas ir trupmenines dalis:

A) , b) .

Sprendimas . a) Naudodami „kampo“ padalijimo algoritmą, gauname

Taigi, mes gauname

b) Čia taip pat naudojame „kampo“ padalijimo algoritmą:

Kaip rezultatas, mes gauname

Apibendrinkime. Bendruoju atveju neapibrėžtasis racionaliosios trupmenos integralas gali būti pavaizduotas kaip daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integralų suma. Rasti polinomų antidarinius nėra sunku. Todėl toliau daugiausia svarstysime tinkamas racionaliąsias trupmenas.

2.1.2. Paprasčiausios racionalios trupmenos ir jų integravimas

Tarp tinkamų racionaliųjų trupmenų yra keturi tipai, kurie klasifikuojami kaip paprasčiausios (elementariosios) racionalios trupmenos:

3) ,

4) ,

kur yra sveikasis skaičius, , t.y. kvadratinis trinaris neturi tikrų šaknų.

1 ir 2 tipų paprastųjų trupmenų integravimas nesukelia didelių sunkumų:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Dabar panagrinėkime paprastųjų 3 tipo trupmenų integravimą, bet nenagrinėsime 4 tipo trupmenų.

Pradėkime nuo formos integralų

Šis integralas paprastai apskaičiuojamas išskiriant tobuląjį vardiklio kvadratą. Rezultatas yra šios formos lentelės integralas

arba .

2.1.2 pavyzdys. Raskite integralus:

A) , b) .

Sprendimas . a) Iš kvadratinio trinalio pasirinkite visą kvadratą:

Iš čia randame

b) Išskirdami visą kvadratą nuo kvadratinio trinalio, gauname:

Taigi,

Norėdami rasti integralą

Jūs galite išskirti vardiklio išvestinę skaitiklyje ir išplėsti integralą į dviejų integralų sumą: pirmasis iš jų pakeičiant priklauso nuo išvaizdos

o antrasis – į aukščiau aptartą.

2.1.3 pavyzdys. Raskite integralus:

Sprendimas . Atkreipkite dėmesį, kad . Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje:

Pirmasis integralas apskaičiuojamas naudojant pakaitalą :

Antrajame integrale vardiklyje pasirenkame tobulą kvadratą

Pagaliau gauname

2.1.3. Tinkamas racionalus trupmenos plėtimas
paprastųjų trupmenų sumai

Bet kuri tinkama racionali trupmena gali būti pavaizduota unikaliu būdu kaip paprastųjų trupmenų suma. Norėdami tai padaryti, vardiklis turi būti koeficientas. Iš aukštesnės algebros žinoma, kad kiekvienas daugianomas su realiais koeficientais

TEMA: Racionaliųjų trupmenų integravimas.

Dėmesio! Tiriant vieną iš pagrindinių integravimo metodų: racionaliųjų trupmenų integravimą, norint atlikti griežtus įrodymus, reikia atsižvelgti į daugianario komplekso sritį. Todėl būtina mokytis iš anksto kai kurios kompleksinių skaičių savybės ir operacijos su jais.

Paprastųjų racionaliųjų trupmenų integravimas.

Jeigu P(z) Ir K(z) yra daugianariai kompleksinėje srityje, tada jie yra racionalios trupmenos. Tai vadinama teisinga, jei laipsnis P(z) mažesnis laipsnis K(z) , Ir negerai, jei laipsnis R ne mažiau kaip laipsnis K.

Bet kuri netinkama trupmena gali būti pavaizduota taip: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – daugianaris, kurio laipsnis mažesnis už laipsnį K(z).

Taigi, racionaliųjų trupmenų integravimas yra susijęs su daugianario, tai yra, laipsnio funkcijų ir tinkamų trupmenų integravimu, nes tai yra tinkama trupmena.

5 apibrėžimas. Paprasčiausios (arba elementariosios) trupmenos yra šių tipų trupmenos:

1) , 2) , 3) , 4) .

Išsiaiškinkime, kaip jie integruojasi.

3) (studijavo anksčiau).

5 teorema. Kiekviena tinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip paprastųjų trupmenų suma (be įrodymo).

Išvada 1. Jei yra tinkama racionalioji trupmena, o tarp daugianario šaknų yra tik paprastosios tikrosios šaknys, tai trupmeną skaidant į paprastųjų trupmenų sumą bus tik 1 tipo paprastosios trupmenos:

1 pavyzdys.

Išvada 2. Jei yra tinkama racionalioji trupmena, o tarp daugianario šaknų yra tik kelios tikrosios šaknys, tai trupmeną skaidant į paprastųjų trupmenų sumą bus tik 1 ir 2 tipų paprastosios trupmenos :

2 pavyzdys.

Išvada 3. Jei yra tinkama racionalioji trupmena ir jei tarp daugianario šaknų yra tik paprastos kompleksinės konjuguotos šaknys, tai trupmeną skaidant į paprastųjų trupmenų sumą bus tik paprastosios 3 tipo trupmenos:

3 pavyzdys.

Išvada 4. Jei yra tinkama racionalioji trupmena, o tarp daugianario šaknų yra tik kelios sudėtingos konjuguotos šaknys, tai trupmeną skaidant į paprastųjų trupmenų sumą bus tik paprastosios 3 ir 4 trupmenos tipai:

Norėdami nustatyti nežinomus koeficientus aukščiau pateiktuose plėtiniuose, atlikite šiuos veiksmus. Kairioji ir dešinioji plėtinio, turinčio nežinomus koeficientus, pusės padauginamos iš Gaunama dviejų daugianario lygybė. Iš jo gaunamos reikalingų koeficientų lygtys naudojant:

1. lygybė galioja bet kurioms X reikšmėms (dalinės vertės metodas). Šiuo atveju gaunamas bet koks lygčių skaičius, iš kurių bet kuris m leidžia rasti nežinomus koeficientus.

2. koeficientai sutampa tiems patiems X laipsniams (neapibrėžtų koeficientų metodas). Šiuo atveju gaunama m - lygčių su m - nežinomaisiais sistema, iš kurios randami nežinomi koeficientai.

3. kombinuotas metodas.

5 pavyzdys. Išskleiskite trupmeną prie paprasčiausių.

Sprendimas:

Raskime koeficientus A ir B.

1 metodas – privačios vertės metodas:

2 metodas – neapibrėžtų koeficientų metodas:

Atsakymas:

Racionaliųjų trupmenų integravimas.

6 teorema. Bet kurios racionalios trupmenos bet kuriame intervale, kuriame jo vardiklis nėra lygus nuliui, neapibrėžtas integralas egzistuoja ir išreiškiamas elementariomis funkcijomis, būtent racionaliosiomis trupmenomis, logaritmais ir arctangentais.

Įrodymas.

Įsivaizduokime racionalią trupmeną formoje: . Šiuo atveju paskutinis narys yra tinkama trupmena, o pagal 5 teoremą jis gali būti pavaizduotas kaip tiesinis paprastųjų trupmenų derinys. Taigi racionaliosios trupmenos integravimas redukuojamas į daugianario integravimą S(x) ir paprastosios trupmenos, kurių antidariniai, kaip parodyta, turi teoremoje nurodytą formą.