Trupmeninės tiesinės funkcijos apibrėžimas. Trupmeninė tiesinė funkcija

Trupmeninė racionali funkcija

Formulė y = k/x, grafikas yra hiperbolė. 1 dalyje GIA šią funkciją siūloma be poslinkių išilgai ašių. Todėl jis turi tik vieną parametrą k. Labiausiai didelis skirtumas in išvaizda grafika priklauso nuo ženklo k.

Sunkiau pastebėti skirtumus diagramose, jei k vienas simbolis:

Kaip matome, tuo daugiau k, tuo didesnė hiperbolė.

Paveikslėlyje parodytos funkcijos, kurių parametras k labai skiriasi. Jei skirtumas nėra toks didelis, tai gana sunku jį nustatyti akimis.

Šiuo atžvilgiu toliau pateikta užduotis, kurią radau apskritai gerame pasirengimo valstybiniam egzaminui vadove, yra tiesiog „šedevras“:

Negana to, gana mažame paveikslėlyje glaudžiai išdėstyti grafikai tiesiog susilieja. Taip pat viename pavaizduotos hiperbolės su teigiamu ir neigiamu k koordinačių plokštuma. Tai visiškai dezorientuos kiekvieną, pažvelgusį į šį piešinį. „Šiena maža žvaigždė“ tiesiog patraukia jūsų dėmesį.

Ačiū Dievui, tai tik treniruotės. IN realių variantų buvo pasiūlytos teisingesnės formuluotės ir akivaizdūs brėžiniai.

Išsiaiškinkime, kaip nustatyti koeficientą k pagal funkcijos grafiką.

Iš formulės: y = k/x iš to išplaukia k = y x. Tai yra, galime paimti bet kurį sveikąjį tašką su patogiomis koordinatėmis ir jas padauginti – gauname k.

k= 1 · (- 3) = - 3.

Todėl šios funkcijos formulė yra tokia: y = – 3/x.

Įdomu panagrinėti situaciją su trupmeniniu k. Šiuo atveju formulę galima parašyti keliais būdais. Tai neturėtų būti klaidinanti.

Pavyzdžiui,

Įjungta šią diagramą neįmanoma rasti vieno sveikojo skaičiaus taško. Todėl vertė k galima nustatyti labai apytiksliai.

k= 1·0,7≈0,7. Tačiau galima suprasti, kad 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

Taigi, apibendrinkime.

k> 0 hiperbolė yra 1 ir 3 koordinačių kampai(kvadrantai),

k < 0 - во 2-м и 4-ом.

Jeigu k modulis didesnis nei 1 ( k= 2 arba k= - 2), tada grafikas yra virš 1 (žemiau - 1) išilgai y ašies ir atrodo platesnis.

Jeigu k modulis mažesnis nei 1 ( k= 1/2 arba k= - 1/2), tada grafikas yra žemiau 1 (virš - 1) išilgai y ašies ir atrodo siauresnis, „paspaustas“ link nulio:

1. Trupmeninis tiesinė funkcija ir jos tvarkaraštis

Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.

Su koncepcija racionalūs skaičiai tikriausiai jau pažįstate vienas kitą. Taip pat racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.

Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. formos funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra pastovi). Trupmeninė tiesinė funkcija apibrėžta visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo jums žinomo grafiko y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Su neribotu x padidėjimu absoliuti vertė funkcija y = 1/x absoliučia reikšme mažėja neribotai ir abi grafiko šakos artėja prie x ašies: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių hiperbolės artėjimo šakos vadinamos jo asimptotų.

1 pavyzdys.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Sprendimas.

Pasirinkime visą dalį: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: poslinkis 3 vieneto segmentasį dešinę, ištempiant išilgai Oy ašies 7 kartus ir perkeliant 2 vienetų segmentus į viršų.

Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti panašiai, paryškinant „sveikąją dalį“. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.

Norint sudaryti bet kurios savavališkos trupmeninės-tiesinės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės x = -d/c ir y = a/c asimptotes.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta, kai x = -1. Tai reiškia, kad tiesė x = -1 tarnauja vertikali asimptota. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumento x absoliuti reikšme padidėja.

Norėdami tai padaryti, padalykite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kaip x → ∞ trupmena bus linkusi į 3/2. Tai reiškia, kad horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 3/2.

3 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).

Sprendimas.

Pažymime „visą trupmenos dalį“:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: poslinkis 1 vienetu į kairę, simetriškas rodymas Ox atžvilgiu ir poslinkis 2 vienetų segmentai aukštyn išilgai Oy ašies.

Domenas D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.

Atsakymas: 1 pav.

2. Trupmeninė racionali funkcija

Apsvarstykime dalinai racionali funkcija y = P(x) / Q(x) formos, kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.

Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) arba y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jei funkcija y = P(x) / Q(x) reiškia dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnį, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka naudoti metodus, panašius į tuos, kuriuos jau pristatėme aukščiau.

Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы baigtinis skaičius elementariosios trupmenos, kurių forma nustatoma trupmenos Q(x) vardiklį išskaidžius į realiųjų faktorių sandaugą:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikų braižymas

Panagrinėkime keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninės racionalios funkcijos grafikus.

4 pavyzdys.

Nubraižykite funkcijos y = 1/x 2 grafiką.

Sprendimas.

Naudojame funkcijos y = x 2 grafiką, kad sukurtume y = 1/x 2 grafiką ir naudojame grafikų „padalijimo“ techniką.

Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).

Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.

Atsakymas: 2 pav.

5 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Sprendimas.

Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Čia mes panaudojome faktorizavimo, mažinimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos metodą.

Atsakymas: 3 pav.

6 pavyzdys.

Nubraižykite funkcijos y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) grafiką.

Sprendimas.

Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lyginė, grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Prieš kurdami grafiką, dar kartą paverskime išraišką, paryškindami visą dalį:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies išskyrimas trupmeninės racionalios funkcijos formulėje yra vienas iš pagrindinių kuriant grafikus.

Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. tiesė y = 1 yra horizontalioji asimptote.

Atsakymas: 4 pav.

7 pavyzdys.

Panagrinėkime funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykime tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. labiausiai aukščiausias taškas dešinė pusė grafika. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių neužtenka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „pakilti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turime išspręsti lygtį x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga. Norėdami rasti kuo daugiau puiki vertė funkciją, reikia išsiaiškinti, prie kokio didžiausio A lygtis A = x/(x 2 + 1) turės sprendinį. Mes pakeisime pradinė lygtis kvadratas: Ax 2 – x + A = 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 – 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A = 1/2.

Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

1. Trupmeninė tiesinė funkcija ir jos grafikas

Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.

Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Taip pat racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.

Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. formos funkcija

y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra pastovi). Tiesinė trupmeninė funkcija apibrėžiama visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo jums žinomo grafiko y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia reikšme mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisės: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių hiperbolės artėjimo šakos vadinamos jo asimptotų.

1 pavyzdys.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Sprendimas.

Pasirinkime visą dalį: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus tokias transformacijas: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempiant išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkus 2 vieneto segmentais aukštyn.

Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti panašiai, paryškinant „sveikąją dalį“. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.

Norint sudaryti bet kurios savavališkos trupmeninės-tiesinės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės x = -d/c ir y = a/c asimptotes.

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.

Sprendimas.

Funkcija neapibrėžta, kai x = -1. Tai reiškia, kad tiesi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumento x absoliuti reikšme padidėja.

Norėdami tai padaryti, padalykite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Kaip x → ∞ trupmena bus linkusi į 3/2. Tai reiškia, kad horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 3/2.

3 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).

Sprendimas.

Pažymime „visą trupmenos dalį“:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: poslinkis 1 vienetu į kairę, simetriškas rodymas Ox atžvilgiu ir poslinkis 2 vienetų segmentai aukštyn išilgai Oy ašies.

Domenas D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.

Atsakymas: 1 pav.

2. Trupmeninė racionali funkcija

Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.

Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) arba y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Jei funkcija y = P(x) / Q(x) reiškia dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnį, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka naudoti metodus, panašius į tuos, kuriuos jau pristatėme aukščiau.

Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikų braižymas

Panagrinėkime keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninės racionalios funkcijos grafikus.

4 pavyzdys.

Nubraižykite funkcijos y = 1/x 2 grafiką.

Sprendimas.

Naudojame funkcijos y = x 2 grafiką, kad sukurtume y = 1/x 2 grafiką ir naudojame grafikų „padalijimo“ techniką.

Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).

Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.

Atsakymas: 2 pav.

5 pavyzdys.

Nubraižykite funkciją y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Sprendimas.

Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Čia mes panaudojome faktorizavimo, mažinimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos metodą.

Atsakymas: 3 pav.

6 pavyzdys.

Nubraižykite funkcijos y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) grafiką.

Sprendimas.

Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lyginė, grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Prieš kurdami grafiką, dar kartą paverskime išraišką, paryškindami visą dalį:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies išskyrimas trupmeninės racionalios funkcijos formulėje yra vienas iš pagrindinių kuriant grafikus.

Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. tiesė y = 1 yra horizontali asimptotė.

Atsakymas: 4 pav.

7 pavyzdys.

Panagrinėkime funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykime tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. aukščiausias taškas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių neužtenka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „pakilti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turime išspręsti lygtį x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga. Norint rasti didžiausią funkcijos reikšmę, reikia išsiaiškinti, prie kokio didžiausio A lygtis A = x/(x 2 + 1) turės sprendinį. Pradinę lygtį pakeiskime kvadratine: Ax 2 – x + A = 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 – 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A = 1/2.

Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafikus?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

savivaldybės ugdymo įstaiga

"Vidutinis vidurinę mokyklą Nr. 24"

Problemiška – abstraktus darbas

apie algebrą ir analizės principus

Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikai

11 A klasės mokiniai Natalija Sergeevna Tovčegrečko darbo vadovė Valentina Vasiljevna Parševa matematikos mokytoja, aukštojo mokslo mokytoja kvalifikacinė kategorija

Severodvinskas

Įvadas

N.A. Virčenko, I.I. Lyashko, K.I. Švecovas. Katalogas. Funkcijų grafikai. Kijevo „Naukova Dumka“ 1979 V.S. Kramor. Pakartokite ir sisteminkite mokyklos kursas algebra ir analizės pradžia. Maskvos „Apšvietos“ 1990 Yu.N. Makarychevas, N.G. Mindjukas. Algebra – 8 klasė. Papildomi skyriai į mokyklinis vadovėlis. Maskvos „Apšvietimas“, 1998 I.M. Gelfandas, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol. Funkcijos ir grafikai (pagrindinės technikos). Leidykla MCNMO, Maskva 2004 S.M. Nikolskis. M.K. Potapovas, N.N. Rešetnikovas, A.V. Ševkinas. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 11 klasei.
Mačiau, kad grafikai sudėtingos funkcijos gali būti sukonstruota nenaudojant išvestinės, t.y. elementariais būdais. Todėl savo rašinio temą pasirinkau: „Trupmeninių racionalių funkcijų grafikai“.

Pagrindinė dalis. Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikai

1. Trupmeninė – tiesinė funkcija ir jos grafikas

Ryžiai. 1

.

Šios formulės dešinėje pusėje esančią išraišką pavaizduokime trupmena:

Tai reiškia, kad 2 paveiksle pavaizduotas formule pateiktos funkcijos grafikas

.

Ši trupmena turi skaitiklį ir vardiklį, kurie yra tiesiniai dvejetainiai x atžvilgiu. Tokios funkcijos vadinamos trupmeninėmis tiesinėmis funkcijomis.

Apskritai funkcija pateikta pagal formulę malonus
, Kur
x yra kintamasis, a,

.

Jei bc-ad=0, с≠0, išreikšdami b iš šios lygybės per a, c ir d ir pakeisdami ją į formulę, gausime:

Taigi, pirmuoju atveju gavome tiesinę funkciją bendras vaizdas
, antruoju atveju – konstanta
. Dabar parodykime, kaip nubraižyti tiesinę trupmeninę funkciją, jei ji pateikiama pagal formos formulę
2 pavyzdys. Nubraižykime funkciją
, t.y. pateiksime jį formoje
: pasirenkame visą trupmenos dalį, skaitiklį padalijus iš vardiklio, gauname:

Taigi,
. Matome, kad šios funkcijos grafiką galima gauti iš funkcijos y=5/x grafiko, naudojant du nuoseklius poslinkius: hiperbolę y=5/x į dešinę perkeliant 3 vienetais, o tada perkeliant gautą hiperbolę.
2 vienetais aukštyn Su šiais poslinkiais hiperbolės y = 5/x asimptotės taip pat pasislinks: x ašis 2 vienetais aukštyn, o y ašis 3 vienetais į dešinę. Norėdami sudaryti grafiką, koordinačių plokštumoje punktyrine linija braižome asimptotes: tiesė y=2 ir tiesė x=3. Kadangi hiperbolė susideda iš dviejų šakų, kiekvienai iš jų sudarysime dvi lenteles: vieną x.<3, а другую для x>3 (t. y. pirmasis yra į kairę nuo asimptotų susikirtimo taško, o antrasis yra į dešinę nuo jo):

Man patinka bet kokia trupmena
galima parašyti panašiai, išryškinant visą jo dalį. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos lygiagrečiai koordinačių ašys ir ištemptas išilgai Oy ašies.

3 pavyzdys.

Nubraižykime funkciją
.Kadangi mes žinome, kad grafikas yra hiperbolė, užtenka rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos (asimptotės), ir dar kelis taškus. Pirmiausia suraskime vertikalią asimptotę. Funkcija neapibrėžta, kur 2x+2=0, t.y. ties x=-1. Todėl vertikali asimptotė yra tiesė x = -1. Norėdami rasti horizontalią asimptotę, turite pažvelgti į tai, į ką artėja funkcijos reikšmės, kai argumentas didėja (absoliučia verte), antrieji trupmenos skaitiklio ir vardiklio nariai
palyginti mažas. Štai kodėl

.

Todėl horizontalioji asimptotė yra tiesė y=3/2. Nustatykime savo hiperbolės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Kai x = 0, turime y = 5/2. Funkcija lygi nuliui, kai 3x+5=0, t.y. ties x = -5/3 Pažymėję brėžinyje taškus (-5/3;0) ir (0;5/2) ir nubrėžę rastas horizontalias ir vertikalias asimptotes, sukonstruosime grafiką (4 pav.). .

Apskritai, norint rasti horizontaliąją asimptotę, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio, tada y=3/2+1/(x+1), y=3/2 yra horizontalioji asimptotė.

2. Trupmeninė racionali funkcija

,

Kuriame skaitiklis ir vardiklis yra n-osios ir daugianariai m laipsnis. Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Kur k 1 ... k s yra daugianario Q (x) šaknys, turinčios atitinkamai dauginius m 1 ... m s, o trinaliai atitinka konjugacijos poras sudėtingos šaknys Q (x) formos trupmenos daugyba m 1 ... m t

Skambino elementarus racionalios trupmenos atitinkamai pirmasis, antrasis, trečiasis ir ketvirtasis tipai. Čia A, B, C, k – realūs skaičiai; m ir m - natūralieji skaičiai, m, m>1; trinaris su realiais koeficientais x 2 +px+q turi menamas šaknis. Akivaizdu, kad trupmeninės-racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą. Funkcijos grafikas

Iš funkcijos 1/x m (m~1, 2, ...) grafiko gauname naudojant lygiagretus perdavimas išilgai x ašies │k│ mastelio vienetais į dešinę. Formos funkcijos grafikas

Tai lengva sukurti, jei pasirenkate vardiklyje tobulas kvadratas, tada atlikite atitinkamą funkcijos 1/x 2 grafiko formavimą. Funkcijos grafikas

susideda iš dviejų funkcijų grafikų sandaugos:

y= Bx+ C Ir

Kur a d-b c 0 ,
,

kur n - natūralusis skaičius, gali atlikti bendra schema tiriant funkciją ir nubraižant grafiką kai kuriose konkrečių pavyzdžių Galite sėkmingai sudaryti grafiką, atlikdami atitinkamas grafiko transformacijas; geriausias būdas duoti metodus aukštoji matematika. 1 pavyzdys. Nubraižykite funkciją

.

Išskyrę visą dalį, turime

.

Frakcija
Pavaizduokime ją kaip elementariųjų trupmenų sumą:

.

Sukurkime funkcijų grafikus:

Pridėjus šiuos grafikus gauname grafiką suteikta funkcija:

6, 7, 8 paveiksluose pateikti funkcijų grafikų sudarymo pavyzdžiai
Ir
. 2 pavyzdys. Funkcijos grafikas
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

Išvada

Kur n

Sukurtas šių funkcijų grafikų braižymo algoritmas;

Įgyta patirties brėžiant tokias funkcijas kaip:

;

Išmokau dirbti su papildoma literatūra ir medžiaga, atrinkti mokslinę informaciją - įgijau patirties atliekant grafinius darbus kompiuteriu - išmokau rašyti probleminį abstraktų darbą;

Anotacija. XXI amžiaus išvakarėse mus užplūdo nesibaigiantis kalbų ir spėliojimų srautas apie informacijos greitkelį ir artėjančią technologijų erą.

XXI amžiaus išvakarėse mus užplūdo nesibaigiantis kalbų ir spėliojimų srautas apie informacijos greitkelį ir artėjančią technologijų erą.

Čia koeficientai už X o laisvieji skaitiklio ir vardiklio nariai pateikiami tikrieji skaičiai. Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas bendruoju atveju yra hiperbolė.

Paprasčiausia trupmeninė tiesinė funkcija y = - tu-

streikuoja atvirkštinis proporcingas ryšys; ją vaizduojanti hiperbolė gerai žinoma iš aukštųjų mokyklų kursų (5.5 pav.).

Ryžiai. 5.5

Pavyzdys. 5.3

Nubraižykite tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką:

• 1. Kadangi ši trupmena neturi prasmės kada x = 3, Tai funkcijos X sritis susideda iš dviejų begalinių intervalų:
• 3) ir (3; +°°).

2. Norint ištirti funkcijos elgesį ties apibrėžimo srities riba (t.y. kai X-»3 ir val X-> ±°°), naudinga konvertuoti ši išraiškaį dviejų terminų sumą taip:

Kadangi pirmasis narys yra pastovus, funkcijos elgesį ties riba iš tikrųjų lemia antrasis kintamasis narys. Ištyręs jo kitimo procesą, kada X-> 3 ir X->±°°, mes darome tokias išvadas palyginti su nurodyta funkcija:

• a) jei x->3 teisingai(t. y. *>3) funkcijos reikšmė didėja neribotai: adresu-> +°°: ties x->3 paliko(t. y. ties x y – taigi norima hiperbolė artėja prie tiesės be apribojimų su lygtimi x = 3 (apačioje kairėje Ir viršuje dešinėje) taigi ši tiesi linija yra vertikali asimptota hiperbolė;
• b) kada x ->±°° antrasis narys mažėja be ribos, todėl funkcijos reikšmė artėja prie pirmojo, pastovaus nario be ribos, t.y. vertinti y = 2. Šiuo atveju funkcijos grafikas artėja be apribojimų (apačioje kairėje ir viršuje dešinėje) iki lygties nurodytos tiesės y = 2; taigi ši linija yra horizontalioji asimptote hiperbolė.

komentuoti.Šiame skyriuje gauta informacija yra svarbiausia apibūdinti funkcijos grafiko elgseną nutolusioje plokštumos dalyje (vaizdžiai tariant, begalybėje).

• 3. Darydami prielaidą, kad l = 0, randame y = ~. Todėl norima hi-

perbolė kerta ašį Oi taške M x = (0;-^).

• 4. Nulinė funkcija ( adresu= 0) bus kada X= -2; todėl ši hiperbolė kerta ašį Oi taške M 2 (-2; 0).
• 5. Trupmena yra teigiama, jei skaitiklis ir vardiklis turi tą patį ženklą, ir neigiamas, jei skiriasi. Išspręsdami atitinkamas nelygybių sistemas, nustatome, kad funkcija turi du teigiamus intervalus: (-°°; -2) ir (3; +°°) ir vieną neigiamą intervalą: (-2; 3).
• 6. Pateikus funkciją kaip dviejų dėmenų sumą (žr. 2 punktą), gana lengva aptikti du mažėjimo intervalus: (-°°; 3) ir (3; +°°).
• 7. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi kraštutinumų.
• 8. Nustatykite Y šios funkcijos reikšmes: (-°°; 2) ir (2; +°°).
• 9. Taip pat nėra lyginių, nelyginių ar periodiškumo. Surinkta informacija pakankamai schematiškai

nubrėžkite hiperbolę grafiškai atspindinčios šios funkcijos savybes (5.6 pav.).

Ryžiai. 5.6

Iki šiol aptartos funkcijos vadinamos algebrinė. Dabar pereikime prie svarstymo transcendentinis funkcijas.