Raskite pagrindinę diferencialinės lygties sprendinių sistemą. Tiesinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais

Norėdami suprasti, kas tai yra pagrindinė sprendimų sistema spustelėję galite žiūrėti to paties pavyzdžio vaizdo pamoką. Dabar pereikime prie visumos aprašymo būtinus darbus. Tai padės išsamiau suprasti šio klausimo esmę.

Kaip rasti pagrindinę tiesinės lygties sprendinių sistemą?

Paimkime, pavyzdžiui, šią tiesinių lygčių sistemą:

Raskime sprendimą linijinė sistema lygtys Norėdami pradėti, mes reikia išrašyti sistemos koeficientų matricą.

Paverskime šią matricą į trikampę. Pirmą eilutę perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(11)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(21)$ padaryti nulį, iš antrosios eilutės turite atimti pirmąjį, o skirtumą įrašyti antroje eilutėje. Norėdami vietoje elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės reikia atimti pirmąją, o skirtumą įrašyti trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(41)$ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš penktos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Pirmą ir antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(22)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(32)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės reikia atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(42)$ padaryti nulį, turite iš ketvirtos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(52)$ padaryti nulį, turite iš penktos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 3, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Mes tai matome paskutinės trys eilutės yra vienodos, taigi, jei iš ketvirtos ir penktos atimsite trečiąjį, jie taps nuliu.

Pagal šią matricą užsirašyti nauja sistema lygtys.

Matome, kad turime tik tris tiesiškai nepriklausomas lygtis ir penkis nežinomuosius, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų vektorių. Taigi mes turime perkelti paskutinius du nežinomuosius į dešinę.

Dabar mes pradedame išreikšti tuos nežinomus dalykus, kurie yra kairėje pusėje, per tuos, kurie yra dešinėje. Pradedame nuo paskutinės lygties, pirmiausia išreiškiame $x_3$, tada gautą rezultatą pakeičiame antrąja lygtimi ir išreiškiame $x_2$, o tada pirmąja lygtimi ir čia išreiškiame $x_1$. Taigi mes išreiškėme visus nežinomus, kurie yra kairėje pusėje, per nežinomus, kurie yra dešinėje.

Tada vietoj $x_4$ ir $x_5$ galime pakeisti bet kokius skaičius ir rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$. Kiekvienas penkis iš šių skaičių bus mūsų pradinės lygčių sistemos šaknys. Norėdami rasti vektorius, kurie yra įtraukti į FSR turime pakeisti 1 vietoj $x_4$, o vietoj $x_5$ pakeisti 0, rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$, o tada atvirkščiai $x_4=0$ ir $x_5=1$.

Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Antrosios eilės diferencialinė lygtis turi formą .

Apibrėžimas. Bendras antros eilės lygties sprendimas yra funkcija, kuri bet kuriai vertei yra šios lygties sprendimas.

Apibrėžimas. Antros eilės tiesinė vienalytė lygtis vadinama lygtimi. Jeigu koeficientai pastovūs, t.y. nepriklauso nuo , tada ši lygtis vadinama lygtimi su pastovūs koeficientai ir parašykite taip: .

Lygtis vadinsime tai tiesine nehomogenine lygtimi.

Apibrėžimas. Lygtis, gauta iš tiesinės vienalytė lygtis funkcijos pakeitimas vienetu ir atitinkamais laipsniais vadinamas charakteristine lygtimi.

Yra žinoma, kad kvadratinė lygtis turi sprendimą, priklausantį nuo diskriminanto: , t.y. jei , tada šaknys ir yra tikros skirtingi skaičiai. Jei, tada. Jeigu, t.y. , tada taip ir bus įsivaizduojamas skaičius, ir šaknys ir - kompleksiniai skaičiai. Šiuo atveju sutinkame pažymėti .

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Diskriminantas tai kvadratinė lygtis, Štai kodėl.

Parodysime, kaip rasti iš charakteringosios lygties šaknų formos bendras sprendimas antros eilės vienalytė tiesinė lygtis.

Jei yra tikrosios charakteristikų lygties šaknys, tada .

Jei charakteristikų lygties šaknys yra vienodos, t.y. , tada bendras diferencialinės lygties sprendinys ieškomas naudojant formulę arba .

Jeigu charakteristikos lygtis turi sudėtingas šaknis, tada .

5 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendinį.

Sprendimas. Sukurkime šiai diferencialinei lygčiai būdingą lygtį: . Jo šaknys yra galiojančios ir skirtingos. Todėl bendras sprendimas .

Fundamentali tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendinių sistema. Teorema apie tiesinės vienalytės diferencialinės lygties bendrojo sprendinių sandarą. Šiame skyriuje mes įrodysime, kad pagrindas linijinė erdvė bet kuri homogeninės lygties dalinių sprendinių rinkinys gali tarnauti kaip n jos linijinis savarankiški sprendimai.
Def. 14.5.5.1. pagrindinė sistema sprendimus. Fundamentali sprendimų sistema tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis n -oji tvarka yra bet kokia tiesinė nepriklausoma sistema y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) jo n privatūs sprendimai.
14.5.5.1.1 teorema apie tiesinės vienalytės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio struktūrą. Bendras sprendimas y (x ) tiesinės vienalytės diferencialinės lygties yra tiesinis funkcijų derinys iš pagrindinės šios lygties sprendinių sistemos:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
dokumentas. Leiskite y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) yra pagrindinė tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendinių sistema. Būtina įrodyti, kad bet koks konkretus sprendimas y kas ( x ) šios lygties yra formulėje y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) tam tikrai konstantų rinkiniui C 1 , C 2 , …, Cn . Paimkime bet kurį tašką, apskaičiuokime skaičius ir raskime konstantas C 1 , C 2 , …, Cn kaip linijinio sprendimo Ne vienalytė sistema algebrines lygtis

Toks sprendimas egzistuoja ir yra unikalus, nes šios sistemos determinantas yra lygus . Apsvarstykite linijinį derinį y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) funkcijos iš pagrindinės sprendinių sistemos su šiomis konstantų reikšmėmis C 1 , C 2 , …, Cn ir palyginkite ją su funkcija y kas ( x ). Funkcijos y (x ) Ir y kas ( x ) tenkina tą pačią lygtį ir tą patį pradines sąlygas taške x 0, todėl dėl Koši problemos sprendimo unikalumo jie sutampa: y kas ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Teorema įrodyta.
Iš šios teoremos išplaukia, kad vienalytės lygties dalinių sprendinių tiesinės erdvės matmuo su nuolatiniai koeficientai neviršija n . Belieka įrodyti, kad šis matmuo yra ne mažesnis kaip n .
14.5.5.1.2 teorema apie tiesinės vienalytės diferencialinės lygties pamatinės sprendinių sistemos egzistavimą. Bet koks linijinis vienalytis diferencialinė lygtis n eilė su ištisiniais koeficientais turi fundamentalią sprendinių sistemą, t.y. sistema nuo n tiesiškai nepriklausomi sprendimai.
dokumentas. Paimkime bet kurį skaitinį determinantą n -oji eilė, nelygi nuliui

Mes ir toliau tobulinsime savo technologijas elementarios transformacijos įjungta vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Remiantis pirmomis pastraipomis, medžiaga gali atrodyti nuobodi ir vidutiniška, tačiau toks įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio techninės technikos tobulinimo, bus daug nauja informacija, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?

Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys visi sistemos lygtys lygus nuliui. Pavyzdžiui:

Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra nuosekli ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, į akis krenta vadinamasis trivialus sprendimas . Trivialus, tiems, kurie visiškai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia be pasipuikavimo. Žinoma, ne akademiškai, o suprantamai =) ...Kam muštis, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:

1 pavyzdys

Sprendimas: norint išspręsti vienarūšę sistemą reikia parašyti sistemos matrica ir elementariųjų transformacijų pagalba įnešti į laipsnišką formą. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia užrašyti vertikalios juostos ir nulio stulpelio nemokami nariai- juk kad ir ką darytum su nuliais, jie liks nuliais:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –3.

(2) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.

Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.

Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama ekvivalentiška vienalytė sistema , ir naudojant atvirkštinį Gauso metodą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.

Atsakymas:

Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, Jei sistemos matricos rangas(V šiuo atveju 3) lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju – 3 vnt.).

Sušildykime ir priderinkime radiją prie elementarių transformacijų bangos:

2 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Norėdami galutinai konsoliduoti algoritmą, išanalizuokite galutinę užduotį:

7 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę sistemą, parašykite atsakymą vektorine forma.

Sprendimas: užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

(1) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas. Dar kartą atkreipiu dėmesį į daugybę kartų sutiktą techniką, kuri leidžia gerokai supaprastinti kitą veiksmą.

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie 2 ir 3 eilučių. Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie 4 eilutės.

(3) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų pašalintos.

Rezultatas yra standartas žingsnių matrica, o sprendimas tęsiamas raižytu takeliu:

– pagrindiniai kintamieji;
– laisvieji kintamieji.

Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvaisiais kintamaisiais. Iš 2 lygties:

– pakeisti į 1 lygtį:

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Kadangi nagrinėjamame pavyzdyje yra trys laisvieji kintamieji, pagrindinėje sistemoje yra trys vektoriai.

Pakeiskime trejetą verčių į bendrą sprendinį ir gauti vektorių, kurio koordinatės tenkina kiekvieną homogeninės sistemos lygtį. Ir dar kartą kartoju, kad labai patartina patikrinti kiekvieną gautą vektorių – tai neužims daug laiko, bet visiškai apsaugos nuo klaidų.

Už vertybių trigubą rasti vektorių

Ir galiausiai trims gauname trečiąjį vektorių:

Atsakymas:, kur

Norintys išvengti trupmenines vertes gali apsvarstyti trynukus ir gaukite atsakymą lygiaverte forma:

Kalbant apie trupmenas. Pažiūrėkime į užduotyje gautą matricą ir paklauskime savęs: ar įmanoma supaprastinti tolesnį sprendimą? Juk čia iš pradžių per trupmenas išreiškėme pagrindinį kintamąjį, paskui trupmenomis pagrindinį kintamąjį, ir, turiu pasakyti, šis procesas nebuvo pats paprasčiausias ir ne pats maloniausias.

Antras sprendimas:

Idėja yra pabandyti pasirinkti kitus bazinius kintamuosius. Pažiūrėkime į matricą ir trečiame stulpelyje pastebėkime du. Taigi kodėl gi ne nulis viršuje? Atlikime dar vieną elementarią transformaciją:

taip pat žr. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas internete
Ieškokite pagrindinės sprendimų sistemos bendras atvejis yra pakankamai sunki užduotis. Tačiau yra lygčių klasė, kuriai šią problemą galima gana lengvai išspręsti. Dabar pradedame mokytis šios klasės.
(*)

Tiesine diferencialine lygtimi (*) vadinkime lygtį su pastoviais koeficientais, jei koeficientai šioje lygtyje yra pastovūs, tai yra a i (x)=const. Tada atitinkama vienalytė lygtis L(y)=0 turės formą
. (6)
Ieškosime (6) lygties sprendinio formoje y = e rx . Tada y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Pakeitę į (6), gauname

.

Pavyzdys. Lygčiai y""-3y" + 2y=0 būdingos lygties r 2 - 3r + 2 = 0 šaknys yra lygios r 1 = 1, r 2 = 2 (šaknys rastos per paieškos paslaugą Diskriminantas). Vadinasi, pagrindinė sprendinių sistema susideda iš funkcijų y 1 = e x, y 2 = e 2 x, o bendrasis sprendinys rašomas taip: y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Tarp charakteristikų lygties šaknų yra kartotiniai. Tarkime, kad r 1 turi daugumą α, o visi kiti yra skirtingi. Pirmiausia panagrinėkime atvejį r 1 = 0. Tada charakteristikos lygtis turi formą

.

n-osios eilės LDE - ur-e, tiesinė nežinomos funkcijos ir jos išvestinių atžvilgiu ir turi formą

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g (x)- (1) ur-e nurodyta forma

*jei y 1 yra LOU sprendinys, tai C y 1, kur C yra savavališka konstanta, taip pat yra šios lygties sprendimas.

*LOE y 1 + y 2 sprendinių suma yra to paties lygio sprendinys.

1 0 Tiesinis derinys su savavališkomis sprendinių konstantomis y 1 , y 2 ,…, y m LOU yra tos pačios lygties sprendinys.

*jei LOU (1) su realiaisiais koeficientais p i (x)∈R turi kompleksinis sprendimas y(x)=u(x)+iv(x), tai šio sprendinio realioji dalis Rey=u(x) ir jos menamoji dalis Imy=v(x) yra atskirai tos pačios lygties sprendiniai.

Funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) vadinamos tiesiškai priklausomas tam tikru intervalu (a,b), jei yra konstantos a1,a2,…,an≠0 taip, kad visiems intervalo x (a,b) tapatumas a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + yra tiesa a n y n (x)=0. Jei funkcijos yra tiesiškai priklausomos, tai bent viena iš jų yra tiesinis kitų derinys.

Jei tapatybė galioja tik a1=a2=…=an=0, tada funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) iškviečiamos tiesiškai nepriklausomas intervale (a, b).

*jei funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) tiesiškai priklausomas intervale (a, b), tada determinantas (Vronskio sala)

W(x)=W= =0 šiame intervale.

Būklė linijinė nepriklausomybė privatūs sprendimai:

* jei tiesiškai nepriklausomos funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) yra LOE (1) sprendiniai, kurių koeficientai p i (x) yra tolydžios intervale (a,b), tada joms sudarytos Wronskio determinantas nėra = 0 bet kuriame intervalo (a,b) taške.

Bendrasis LOU (1) sprendinys su ištisiniais koeficientais p i (x) ties (a,b) (i=1,2,...,n) yra tiesinis derinys y oo = n tiesiškai nepriklausomų dalinių sprendinių y i tuo pačiu intervalas su savavališkais pastoviais koeficientais .

1 0 maksimalus skaičius tiesiškai nepriklausomi LOU sprendiniai yra lygūs jo tvarkai.

FSR- bet kurie n nepriklausomi daliniai sprendžiantys n-osios eilės LOU.

*y ant =y oo +y chn

Tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio sandara. Savavališkų konstantų kitimo metodas ieškant konkretaus n-osios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimo.

LPDE sprendžiami savavališkų konstantų keitimo metodu. Pirmiausia randamas bendras sprendimas vienalytė lygtis , turintis tą patį kairėje pusėje, kaip originalas nehomogeninė lygtis. Tada lygties sprendinys randamas formoje, t.y. Daroma prielaida, kad konstantos C yra nepriklausomo kintamojo x f-mi. Šiuo atveju funkcijos C 1 (x) ir C 2 (x) gali būti gautos kaip sistemos sprendimas

U jis = u oo + u chn

didžiausias lygties sprendinių skaičius yra lygus jos tvarkai.

bendras sprendimas

44*. Tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Charakteristinis daugianario ir charakteristikų lygtis. Esminės sprendinių sistemos konstravimas byloje paprastos šaknys charakteringas daugianaris (tikrasis ir kompleksinis).

Formos y lygtis"+p(x)y=f(x), kur p(x), f(x) yra tolydžios funkcijos intervale a

Jei f(x)= 0, tai lygtis vadinama vienalyte.

Jei LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Visi koeficientai pi yra pastovūs, tada jo dalinius sprendinius galima rasti forma y=e kx, kur k yra konstanta. Pakeičiant ur

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Sumažinus e kx gauname vadinamąjį Būdingas lygis

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Ši n-ojo laipsnio lygtis nustato tas k reikšmes, kuriose y=e kx yra pradinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – tikras ir skirtingas

FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m = k ~ ,

k ~ - m - daugybinė ur-i šaknis, o visos kitos n- m šaknys yra skirtingos

FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x