Nustatykite internetinės funkcijos monotoniškumą. Kodėl tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę? Pasiruošimas egzamino testui su Shkolkovo yra jūsų sėkmės raktas

didėjant intervalui \(X\), jei bet kuriam \(x_1, x_2\in X\), kad \(x_1 0\) bet kuriam \(t\in \mathbb(R)\) .

Taigi funkcija \(f(t)\) griežtai didėja visiems \(t\in \mathbb(R)\) .

Tai reiškia, kad lygtis \(f(ax)=f(x^2)\) yra lygiavertė lygčiai \(ax=x^2\) .

Lygtis \(x^2-ax=0\) \(a=0\) turi vieną šaknį \(x=0\), o \(a\ne 0\) turi dvi skirtingas šaknis \(x_1 =0 \) ir \(x_2=a\) .
Turime rasti \(a\) reikšmes, kurių lygtis turės bent dvi šaknis, taip pat atsižvelgiant į tai, kad \(a>0\) .
Todėl atsakymas yra toks: \(a\in (0;+\infty)\) .

Atsakymas:

\((0;+\infty)\) .

4 užduotis #1232

Užduoties lygis: lygus vieningam valstybiniam egzaminui

Raskite visas parametro \(a\) reikšmes, kurių kiekvienos lygtis \

turi unikalų sprendimą.

Padauginkime dešinę ir kairę lygties puses iš \(2^(\sqrt(x+1))\) (nes \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) ir perrašykime lygtį forma :\

Apsvarstykite funkciją \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\), skirtą \(t\geqslant 0\) (nuo \(\sqrt (x) +1)\geqslant 0\) ).

Išvestinė \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\) .

Nes \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) visiems \(t\geqslant 0\) , tada \( y"0\) visiems \(a\). Vadinasi, lygtis visada turi dvi šaknis \(x_1\) ir \(x_2\), ir jos yra skirtingų ženklų (nes pagal Vietos teoremą \(x_1\cdot) x_2 =-\dfrac(1)(a^2) 0 at . X= 0 išvestinė eina į nulį. Funkcija didėja monotoniškai išilgai visos skaitinės ašies.

Funkcijos ekstremumas

Apibrėžimas 1. Taškas X 0 vadinamas maksimaliu funkcijos tašku f(XX 0 nelygybė galioja

Apibrėžimas 2. Taškas X 1 vadinamas minimaliu funkcijos tašku f(X), jei kurioje nors taško kaimynystėje X 1, nelygybė galioja

Funkcijų reikšmės taškuose X 0 ir X 1 atitinkamai vadinami funkcijos maksimalus ir minimumas.

Maksimalią ir mažiausią funkcijas jungia bendras pavadinimas funkcijos ekstremumas.

Dažnai vadinamas funkcijos ekstremumu vietinis ekstremumas, pabrėžiant tai, kad ekstremumo sąvoka siejama tik su pakankamai maža taško kaimynyste x n. Taigi viename intervale funkcija gali turėti kelis kraštutinumus ir gali atsitikti taip, kad minimumas viename taške yra didesnis už maksimumą kitame, pavyzdžiui, 8 pav.

Maksimumo (arba minimumo) buvimas atskirame intervalo taške X visai nereiškia, kad šiuo metu funkcija f(X) šiame intervale užima didžiausią (mažiausią) reikšmę (arba, kaip sakoma, turi pasaulinis maksimumas (minimalus)).

Būtina sąlyga ekstremumui: funkcijai y = f(X) taške turėjo ekstremumą X 0, būtina, kad jo išvestinė šiame taške būtų lygi nuliui ( )arba neegzistavo.

Taškai, kur padaryta būtina sąlyga ekstremumas, t.y. išvestinė yra nulis arba neegzistuoja kritiškas(arba stacionarus ).

Taigi, jei bet kuriame taške yra ekstremumas, tada šis taškas yra labai svarbus. Tačiau labai svarbu pažymėti, kad atvirkščiai nėra tiesa. Kritinis taškas nebūtinai yra ekstremalus taškas.

8 pav. Funkcijų ekstremumai f(X)

1 pavyzdys. Raskite svarbiausius funkcijos taškus ir patikrinkite, ar šiuose taškuose yra ar nėra ekstremumo.

Kaip įterpti matematines formulesį svetainę?

Jei kada nors reikės pridėti vieną ar dvi matematines formules į tinklalapį, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių pavidalu, kuriuos automatiškai sugeneruoja Wolfram Alpha. . Be paprastumo, tai universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemos. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet jau morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią JavaScript biblioteką, kuri rodo matematinis žymėjimasžiniatinklio naršyklėse naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą galite greitai prijungti MathJax scenarijų prie savo svetainės, kuri bus tinkamas momentas automatiškai įkeliama iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) atsisiųskite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas – sudėtingesnis ir daug laiko reikalaujantis – pagreitins jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir vos per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba dokumentacijos puslapyje:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. iki šablono pradžios (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir esate pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Bet koks fraktalas konstruojamas pagal tam tikra taisyklė, kuris taikomas nuosekliai neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodi kubeliai. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Rezultatas yra rinkinys, susidedantis iš likusių 20 mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą be galo, gauname Menger kempinę.

Funkcijos padidėjimas, sumažėjimas ir ekstremumai

Funkcijos didėjimo, mažėjimo ir ekstremalių intervalų radimas yra toks: savarankiška užduotis, ir svarbiausia kitų užduočių dalis, visų pirma, išsamus funkcijos tyrimas. Pradinė informacija apie funkcijos padidėjimą, sumažėjimą ir kraštutinumus yra pateikta teoriniame skyriuje apie išvestinę, kurią primygtinai rekomenduoju atlikti išankstinį tyrimą (arba kartojimas)– taip pat dėl to, kad ši medžiaga yra pagrįsta pačia iš esmės išvestinė, yra harmoningas šio straipsnio tęsinys. Nors, jei laiko trūksta, galima ir grynai formaliai praktikuoti pavyzdžius iš šios dienos pamokos.

Ir šiandien ore tvyro reto vieningumo dvasia, ir aš tiesiogiai jaučiu, kad visi esantys dega noru išmokti ištirti funkciją naudojant išvestinę. Todėl jūsų monitoriaus ekranuose iš karto atsiranda protinga, gera, amžina terminija.

Už ką? Viena iš priežasčių yra pati praktiškiausia: kad būtų aišku, ko iš jūsų paprastai reikalaujama atliekant tam tikrą užduotį!

Funkcijos monotoniškumas. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai

Panagrinėkime kai kurias funkcijas. Norėdami supaprastinti, darome prielaidą, kad jis yra tęstinis visoje skaičių eilutėje:

Tik tuo atveju iš karto atsikratykime galimų iliuzijų, ypač tiems skaitytojams, kurie neseniai susipažino su nuolatinio funkcijos ženklo intervalais. Dabar mūsų NEĮdomu, kaip funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu (viršuje, apačioje, kur ašis susikerta). Kad įtikintumėte, mintyse ištrinkite ašis ir palikite vieną grafiką. Nes čia ir slypi susidomėjimas.

Funkcija didėja intervale, jei bet kuriuose dviejuose šio intervalo taškuose sieja santykiai, nelygybė yra tiesa. tai yra didesnę vertę argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o jo grafikas eina „iš apačios į viršų“. Per tą laiką demonstravimo funkcija auga.

Panašiai funkcija mažėja intervale, jei bet kuriuose dviejuose tam tikro intervalo taškuose yra tokia, kad nelygybė yra teisinga. Tai yra, didesnė argumento reikšmė atitinka MAŽINĖ VERTĖ funkcija, o jos grafikas eina iš viršaus į apačią. Mūsų funkcija mažėja intervalais .

Jei funkcija intervale didėja arba mažėja, tai šiame intervale ji vadinama griežtai monotoniška. Kas yra monotonija? Supraskite tai pažodžiui – monotonija.

Taip pat galite apibrėžti nemažėjančią funkciją (atpalaiduota sąlyga pirmajame apibrėžime) ir nedidėjančią funkciją (atpalaiduota sąlyga 2-ajame apibrėžime). Iškviečiama intervalo nemažėjanti arba nedidėjanti funkcija monotoniška funkcijašiuo intervalu (griežta monotonija - ypatingas atvejis„tiesiog“ monotonija).

Teorija taip pat svarsto kitus funkcijos padidėjimo/sumažėjimo nustatymo būdus, įskaitant pusintervalus, segmentus, tačiau kad nepiltume ant galvos aliejus-alyva-alyva, sutiksime operuoti atvirais intervalais su kategoriškais apibrėžimais. - tai aiškiau ir daugeliui išspręsti praktines problemas visai pakankamai.

Taigi mano straipsniuose formuluotė „funkcijos monotoniškumas“ beveik visada pasislėps intervalais griežtas monotoniškumas (griežtai didėjanti arba griežtai mažėjanti funkcija).

Taško kaimynystė. Žodžiai, po kurių mokiniai bėga kur tik gali ir iš siaubo slepiasi kampuose. ...Nors po įrašo Koši ribos tikriausiai nebeslepia, o tik šiek tiek dreba =) Nesijaudinkite, dabar teoremų įrodymų nebus matematinė analizė– Man reikėjo, kad aplinka griežčiau suformuluotų apibrėžimus ekstremalūs taškai. Prisiminkime:

Taško kaimynystė vadinamas intervalu, kuriame yra šį tašką, tuo tarpu patogumo dėlei intervalas dažnai laikomas simetrišku. Pavyzdžiui, taškas ir jo standartinė kaimynystė:

Tiesą sakant, apibrėžimai:

Taškas vadinamas griežtu maksimaliu tašku, jei egzistuoja jos kaimynystė, kurios visoms vertybėms, išskyrus patį tašką, yra nelygybė. Mūsų konkretus pavyzdys tai yra esmė.

Taškas vadinamas griežtu minimaliu tašku, jei egzistuoja jos kaimynystė, kurios visoms vertybėms, išskyrus patį tašką, yra nelygybė. Brėžinyje yra taškas „a“.

Pastaba : kaimynystės simetrijos reikalavimas visai nebūtinas. Be to, pats kaimynystės (net mažytės, net mikroskopinės) egzistavimo faktas tenkina nurodytomis sąlygomis

Taškai vadinami griežtai ekstremaliais taškais arba tiesiog funkcijos ekstremumais. Tai yra apibendrintas maksimalaus ir minimalaus balo terminas.

Kaip mes suprantame žodį „ekstremalus“? Taip, taip pat tiesiogiai, kaip ir monotonija. Ekstremalūs kalnelių taškai.

Kaip ir monotoniškumo atveju, laisvi postulatai egzistuoja ir teoriškai yra dar labiau paplitę (kurios, žinoma, patenka į griežtus atvejus!):

Taškas vadinamas maksimaliu tašku, jei egzistuoja jo aplinka tokia, kad kiekvienam
Taškas vadinamas minimaliu tašku, jei egzistuoja jos kaimynystė tokia, kad visoms šios kaimynystės vertybėms nelygybė .

Atkreipkite dėmesį, kad pagal paskutinius du apibrėžimus bet kuris pastovios funkcijos taškas (arba funkcijos „plokščia atkarpa“) laikomas ir maksimaliu, ir mažiausiu tašku! Funkcija, beje, yra ir nedidinanti, ir nemažinanti, tai yra monotoniška. Tačiau šiuos svarstymus paliksime teoretikams, nes praktiškai beveik visada kontempliuojame tradicines „kalvas“ ir „daubas“ (žr. brėžinį) su unikaliu „kalno karaliumi“ arba „pelkės princese“. Kaip įvairovė atsiranda patarimas, nukreiptas aukštyn arba žemyn, pavyzdžiui, funkcijos minimumas taške.

O, o kalbant apie honorarą:
– reikšmė vadinama funkcijos maksimumu;
– reikšmė vadinama funkcijos minimumu.

Bendras pavadinimas– funkcijos ekstremumai.

Būkite atsargūs su savo žodžiais!

Ekstremalūs taškai yra „X“ reikšmės.
Kraštutinumai yra „žaidimo“ vertybės.

! Pastaba : kartais išvardyti terminai nurodo „X-Y“ taškus, kurie yra tiesiogiai PATSIOS funkcijos GRAFĖJE.

Kiek ekstremalių gali turėti funkcija?

Nėra, 1, 2, 3, ... ir tt ad begalybės. Pavyzdžiui, sinusas turi be galo daug minimumų ir maksimumų.

SVARBU! Terminas „funkcijos maksimumas“ nėra tapatus terminui „ maksimali vertė funkcijos“. Nesunku pastebėti, kad vertė yra maksimali tik vietiniame rajone, o viršuje kairėje yra „šaltesni bendražygiai“. Taip pat „minimali funkcija“ nėra tas pats, kas „ minimalią vertę funkcijos“, o brėžinyje matome, kad reikšmė minimali tik tam tikroje srityje. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinami ekstremumo taškai vietiniai ekstremumo taškai o ekstremumai – vietiniai kraštutinumai . Jie vaikšto ir klaidžioja netoliese ir globalus broliai. Taigi, bet kuri parabolė turi savo viršūnę pasaulinis minimumas arba pasaulinis maksimumas. Be to, aš neskirsiu kraštutinumų tipų, o paaiškinimas išsakomas labiau bendrais ugdymo tikslais - papildomi būdvardžiai „vietinis“ / „pasaulinis“ neturėtų jus nustebinti.

Apibendrinkime trumpą teorijos apžvalgą bandomuoju šūviu: ką reiškia užduotis „rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremalumo taškus“?

Formuluotė skatina jus rasti:

– didėjančios/mažėjančios funkcijos intervalai (nemažėjanti, nedidėjanti atsiranda daug rečiau);

– maksimalus ir (arba) minimalus balas (jei yra). Na, o kad nepasisektų, geriau susirasti minimumus/maksimumus patiems ;-)

Kaip visa tai nustatyti?

Naudojant išvestinę funkciją!
Kaip rasti didėjimo, mažėjimo intervalus,

Daugelis taisyklių iš tikrųjų jau žinomos ir suprantamos iš vedinių reikšmės pamokos.

Tangentinė išvestinė atneša linksmų naujienų, kad funkcija plečiasi visoje apibrėžimo srityje.

Su kotangentu ir jo išvestine situacija yra visiškai priešinga.

Arsinusas didėja per intervalą - išvestinė čia yra teigiama: .
Kai funkcija apibrėžta, bet nediferencijuojama. Tačiau kritiniame taške yra dešinioji išvestinė ir dešinioji liestinė, o kitame krašte yra jų kairiarankiai atitikmenys.

Manau, jums nebus per sunku atlikti panašius argumentus dėl lanko kosinuso ir jo išvestinės.

Visi išvardyti atvejai, kurių daugelis yra lentelės išvestiniai, primenu, tiesiogiai išplaukia iš darinio apibrėžimo.

Kodėl tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę?

Kad geriau suprastume, kaip atrodo šios funkcijos grafikas: kur eina „iš apačios į viršų“, kur „iš viršaus į apačią“, kur pasiekia minimumus ir maksimumus (jei išvis pasiekia). Ne visos funkcijos yra tokios paprastos – daugeliu atvejų mes visai neįsivaizduojame apie konkrečios funkcijos grafiką.

Atėjo laikas pereiti prie prasmingesnių pavyzdžių ir apsvarstyti algoritmą, kaip rasti funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos padidėjimo/sumažėjimo intervalus ir kraštutinumus

Sprendimas:

1) Pirmajame žingsnyje turite rasti funkcijos apibrėžimo sritį, taip pat atkreipti dėmesį į pertrūkių taškus (jei jie yra). IN šiuo atveju funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje, ir šis veiksmas V tam tikru mastu formaliai. Tačiau daugeliu atvejų čia įsiplieskia rimtos aistros, todėl vertinkime pastraipą be panieka.

2) Antrasis algoritmo taškas yra dėl

būtina ekstremumo sąlyga:

Jei taške yra ekstremumas, tada reikšmė neegzistuoja.

Supainioti dėl pabaigos? „X modulio“ funkcijos ekstremumas .

Sąlyga būtina, bet nepakankama, o atvirkščiai – ne visada tiesa. Taigi iš lygybės dar neišplaukia, kad funkcija taške pasiekia maksimumą ar minimumą. Klasikinis pavyzdys jau pabrėžta aukščiau - tai kubinė parabolė ir jos kritinis taškas.

Bet kaip ten bebūtų, būtina ekstremumo sąlyga diktuoja poreikį rasti įtartinus taškus. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę ir išspręskite lygtį:

Pirmojo straipsnio apie funkcijų grafikus pradžioje sakiau, kaip greitai sukurti parabolę naudojant pavyzdį : „...paimame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui: ...Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė...“. Dabar, manau, visi supranta, kodėl parabolės viršūnė yra būtent šiame taške =) Apskritai čia reikėtų pradėti nuo panašaus pavyzdžio, bet jis per paprastas (net manekenams). Be to, pačioje pamokos pabaigoje yra analogas apie funkcijos išvestinę. Todėl padidinkime laipsnį:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir apytikslis galutinis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Atėjo ilgai lauktas susitikimo su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis momentas:

3 pavyzdys

Išnagrinėkite funkciją naudodami pirmąją išvestinę

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip skirtingai galima performuluoti vieną ir tą pačią užduotį.

Sprendimas:

1) Funkcija taškuose patiria begalinius netolygumus.

2) Mes nustatome kritinius taškus. Raskime pirmąją išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

Išspręskime lygtį. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui:

Taigi gauname tris svarbius taškus:

3) Nubraižome VISUS aptiktus taškus skaičių eilutėje ir intervalo metodu nustatome IŠVEDINĖS ženklą:

Primenu, kad reikia paimti tam tikrą intervalo tašką ir jame apskaičiuoti išvestinės vertę ir nustatyti jo ženklą. Pelningiau net neskaičiuoti, o „įvertinti“ žodžiu. Paimkime, pavyzdžiui, tašką, priklausantį intervalui, ir atliksime keitimą: .

Du „pliusai“ ir vienas „minusas“ suteikia „minusą“, vadinasi, išvestinė yra neigiama per visą intervalą.

Veiksmas, kaip suprantate, turi būti atliktas kiekvienam iš šešių intervalų. Beje, atkreipkite dėmesį, kad skaitiklio koeficientas ir vardiklis yra griežtai teigiami bet kuriame bet kurio intervalo taške, o tai labai supaprastina užduotį.

Taigi, išvestinė mums pasakė, kad PATI FUNKCIJA padidėja ir sumažėja . To paties tipo intervalus patogu sujungti sujungimo piktograma.

Kai funkcija pasiekia maksimumą:
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą:

Pagalvokite, kodėl jums nereikia perskaičiuoti antrosios vertės ;-)

Einant per tašką, išvestinė ženklo nekeičia, todėl funkcija ten NE EKSTREMUMO - ir sumažėjo, ir liko mažėjanti.

! Pakartokime svarbus punktas: taškai nelaikomi kritiniais – funkcija juose neapibrėžta. Atitinkamai, ekstremalių čia iš esmės negali būti (net jei išvestinė keičia ženklą).

Atsakymas: funkcija padidėja ir mažėja Kai pasiekiamas funkcijos maksimumas: , o taške – minimumas: .

Žinios apie monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus kartu su nusistovėjusiais asimptotais jau suteikia geras pasirodymas O išvaizda funkcinė grafika. Vidutinio pasirengimo lygio žmogus gali žodžiu nustatyti, kad funkcijos grafikas turi dvi vertikalias asimptotes ir įstrižinė asimptotė. Štai mūsų herojus:

Pabandykite dar kartą susieti tyrimo rezultatus su šios funkcijos grafiku.
Kritiniame taške ekstremumo nėra, tačiau grafike yra vingio taškas (kas paprastai būna panašiais atvejais).

4 pavyzdys

Raskite funkcijos kraštutinumą

5 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus, maksimumus ir minimumus

...tai beveik kaip kokia „X kube“ šventė šiandien...
Soooo, kas galerijoje už tai pasiūlė išgerti? =)

Kiekviena užduotis turi savo esminius niuansus ir technines subtilybes, kurios pakomentuojamos pamokos pabaigoje.

Funkcija vadinama didėjant intervalui
, jei dėl kokių nors taškų

nelygybė galioja
(didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę).

Taip pat ir funkcija
paskambino mažėjant intervalui
, jei dėl kokių nors taškų
iš šio intervalo, jei sąlyga įvykdoma
nelygybė galioja
(didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę).

Per intervalą didėja
ir mažėjant intervalui
funkcijos vadinamos monotoniškas intervale
.

Žinant diferencijuojamos funkcijos išvestinę, galima rasti jos monotoniškumo intervalus.

Teorema (pakankama sąlyga funkcijai padidinti).
funkcijas
teigiamas intervale
, tada funkcija
per šį intervalą didėja monotoniškai.

Teorema (pakankama sąlyga funkcijai mažėti).
funkcijas
Jei išvestinė yra diferencijuojama intervale
, tada funkcija
neigiamas intervale

per šį intervalą mažėja monotoniškai. Geometrinė reikšmė
iš šių teoremų yra ta, kad mažėjančių funkcijų intervaluose funkcijos grafiko liestinės susidaro su ašimi

bukais kampais, o didėjančiais intervalais – smailiais (žr. 1 pav.).
Teorema (būtina funkcijos monotoniškumo sąlyga). Jei funkcija
(
skiriasi ir
) intervale

, tada šiame intervale jis nemažėja (padidėja).
:

Funkcijos monotoniškumo intervalų radimo algoritmas Pavyzdys.
.

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus paskambino Taškas

maksimalus funkcijos taškas toks visiems
, atitinkančią sąlygą
.

, nelygybė galioja Maksimali funkcija

yra funkcijos reikšmė didžiausiame taške.
.

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus paskambino 2 paveiksle parodytas funkcijos, turinčios maksimumus taškuose, grafiko pavyzdys
minimalus funkcijos taškas
maksimalus funkcijos taškas toks visiems
, atitinkančią sąlygą
, jei yra koks nors skaičius .

. Fig. 2 funkcija taške turi minimumą Yra bendras aukštų ir žemumų pavadinimas -. Atitinkamai, vadinami didžiausi ir mažiausi taškai ekstremalūs taškai.

Atkarpoje apibrėžta funkcija gali turėti maksimumą ir minimumą tik taškuose, esančiuose šios atkarpos viduje. Taip pat nereikėtų painioti funkcijos maksimumo ir minimumo su didžiausia ir mažiausia vertė segmente – tai iš esmės skirtingos sąvokos.

Ekstremumo taškuose darinys turi ypatingų savybių.

Teorema (būtina ekstremumo sąlyga). Tegul taške
funkcija
turi ekstremumą. Tada arba
.

neegzistuoja arba
Tie taškai iš funkcijos apibrėžimo srities, kurioje
neegzistuoja arba kuriame , yra vadinami.

kritinius funkcijos taškus Taigi ekstremalūs taškai yra tarp kritinių taškų. IN bendras atvejis

Funkcijos monotoniškumo intervalų radimo algoritmas kritinis taškas neturi būti kraštutinis taškas. Jei funkcijos išvestinė tam tikrame taške yra lygi nuliui, tai nereiškia, kad funkcija šiame taške turi ekstremumą.
Pasvarstykime
. Turime
, bet taškas

nėra ekstremumo taškas (žr. 3 pav.). Tegul taške
Teorema (pirma pakankama ekstremumo sąlyga).
Tegul taške yra tęstinis, o išvestinė kai praeina per tašką

keičia ženklą. Tada – kraštutinis taškas: maksimalus, jei ženklas pasikeičia iš „+“ į „–“, ir minimalus, jei iš „–“ į „+“. Jei, einant per tašką

vedinys nekeičia ženklo, tada taške ekstremalaus nera.
Teorema (antra pakankama ekstremumo sąlyga).
Tegul taške
dvigubai diferencijuojamos funkcijos išvestinė lygus nuliui ( ), o antroji jo išvestinė šiuo metu yra nulis (
) ir yra ištisinis tam tikroje taško kaimynystėje
. Tada
– ekstremalumo taškas