Tai yra formos numerių pavadinimas, kur ir - realūs skaičiai, a yra specialiosios rūšies skaičius, kurio kvadratas lygus , t.y. . Veiksmai su kompleksiniais skaičiais atliekami pagal tas pačias taisykles kaip ir su daugianariais, tačiau yra pakeičiami . Pavyzdžiui:

;

;

.

Lygybė reiškia, kad ir .

Senovės graikų matematikai laikė tik „tikrais“. natūraliuosius skaičius, bet praktiniais skaičiavimais du tūkstantmečius pr. V Senovės Egiptas Ir Senovės Babilonas Frakcijos jau panaudotos. Kitas svarbus etapas plėtojant skaičiaus sampratą buvo įvesti neigiami skaičiai – tai padarė kinų matematikai du šimtmečius prieš Kristų. Neigiami skaičiai buvo naudojami III a. AD senovės graikų matematikas Diofantas, jau žinojęs operacijų su jais taisykles, o VII a. AD šiuos skaičius išsamiai ištyrė Indijos mokslininkai, palyginę tokius skaičius su skola. Neigiamų skaičių pagalba buvo galima vieningai apibūdinti dydžių pokyčius. Jau VIII a. AD buvo nustatyta, kad kvadratinė šaknis iš teigiamas skaičius turi dvi reikšmes – teigiamą ir neigiamą, o iš neigiamų skaičių negalima išskirti kvadratinių šaknų: nėra tokio skaičiaus kaip .

XVI amžiuje ryšium su tyrimu kubinės lygtys Paaiškėjo, kad iš neigiamų skaičių reikia išskirti kvadratines šaknis. Kubinių lygčių sprendimo formulėje (žr. Algebrinę lygtį) yra kubo ir kvadratinės šaknys. Ši formulė patikimai veikia tuo atveju, kai lygtis turi vieną tikrąją šaknį (pavyzdžiui, lygčiai), o jei ji turėjo tris realias šaknis (pavyzdžiui, ), tai po ženklu kvadratinė šaknis pasirodė neigiamas skaičius. Paaiškėjo, kad kelias į šias tris lygties šaknis veda per neįmanomą neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją.

„Be ir net prieš vieno ar kito matematiko valią, įsivaizduojami skaičiai vėl ir vėl atsiranda skaičiuojant ir tik palaipsniui, atrandant jų naudojimo naudą, jie vis labiau plinta. F. Kleinas

Siekdamas paaiškinti susidariusį paradoksą, italų algebristas G. Cardano 1545 m. pasiūlė įvesti skaičius. nauja gamta. Jis parodė, kad lygčių sistema , , kuri realiųjų skaičių aibėje neturi sprendinių, turi formos sprendinius , tereikia sutikti tokias išraiškas veikti pagal įprastos algebros taisykles ir daryti prielaidą, kad . Cardano tokius kiekius vadino „grynai neigiamais“ ir netgi „sofistiškai neigiamais“, laikė juos nenaudingais ir stengėsi jų nenaudoti. Tiesą sakant, naudojant tokius skaičius neįmanoma išreikšti nei kiekio matavimo rezultato, nei šio kiekio pokyčio. Bet jau 1572 metais buvo išleista italų algebristo R. Bombelli knyga, kurioje buvo nustatytos pirmosios aritmetinių veiksmų su tokiais skaičiais taisyklės iki kubinių šaknų ištraukimo iš jų. Pavadinimas „įsivaizduojami skaičiai“ buvo įvestas 1637 m. prancūzų matematikas ir filosofas R. Dekartas, o 1777 metais – vienas didžiausių XVIII amžiaus matematikų. – L. Euleris pasiūlė naudoti pirmąją raidę prancūziškas žodis imaginaire (įsivaizduojamas) skaičiui žymėti ("įsivaizduojamas" vienetas); šis simbolis plačiai naudojamas K. Gauso (1831) dėka.

Per XVII a. Toliau diskutuota apie imaginacijų aritmetinę prigimtį ir galimybę juos interpretuoti geometriškai.

Pamažu vystėsi kompleksinių skaičių operacijų technika. XVII – XVIII amžių sandūroje. buvo pastatyta bendroji teorija laipsnio šaknys pirmiausia iš neigiamo, o paskui iš bet kokių kompleksinių skaičių, remiantis tokią formulę Anglų matematikas A. Moivre (1707 m.)

Naudodami šią formulę taip pat galite išvesti kelių lankų kosinusų ir sinusų lygybes. L. Euleris išvedė nepaprastą formulę 1748 m

,

kurie surišo eksponentinė funkcija su trigonometriniais. Naudodami Eulerio formulę, skaičių galite padidinti iki bet kokios sudėtingos laipsnio. Įdomu tai, kad, pavyzdžiui. Galima rasti kompleksinių skaičių sinusus ir kosinusus, apskaičiuoti tokių skaičių logaritmus, t.y. sukurti sudėtingo kintamojo funkcijų teoriją.

„Niekas neabejoja rezultatų, gautų atliekant skaičiavimus su įsivaizduojamais dydžiais, tikslumu, nors tai tik algebrinės formos ir absurdiškų dydžių hieroglifai. P. Carnot

XVIII amžiaus pabaigoje. Prancūzų matematikas J. Lagrange'as galėjo pasakyti, kad matematinės analizės nebesunkina įsivaizduojami dydžiai. Naudodami kompleksinius skaičius išmokome išreikšti tiesinių problemų sprendimus. diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais. Tokios lygtys randamos, pavyzdžiui, virpesių teorijoje materialus taškas atsparioje aplinkoje. Dar anksčiau šveicarų matematikas J. Bernoulli naudojo kompleksinius skaičius integralams skaičiuoti.

Nors per XVIII a. Daugelis problemų buvo išspręstos naudojant kompleksinius skaičius, įskaitant taikomų problemų, susiję su kartografija, hidrodinamika ir kt., tačiau griežtai logiško šių skaičių teorijos pagrindimo dar nebuvo. Todėl prancūzų mokslininkas P. Laplasas manė, kad menamų skaičių pagalba gauti rezultatai yra tik pasiūlymai, įgyjantys tikrų tiesų pobūdį tik patvirtinus tiesioginiais įrodymais.

„Dangaus kūnų judėjimo teorija“. Pabaigoje XVIII-XIX pradžia V. gauta geometrinė kompleksinių skaičių interpretacija. Danas G. Wesselis, prancūzas J. Arganas ir vokietis K. Gaussas savarankiškai pasiūlė kompleksinį skaičių pavaizduoti kaip tašką koordinačių plokštuma . Vėliau paaiškėjo, kad skaičių dar patogiau pavaizduoti ne pačiu tašku, o vektoriumi, einu į šį tašką nuo pradžios. Taikant šį aiškinimą, kompleksinių skaičių sudėjimas ir atėmimas atitinka tas pačias operacijas su vektoriais. Vektorius gali būti nurodytas ne tik jo koordinatėmis ir , bet ir ilgiu bei kampu, kurį jis sudaro su teigiama x ašies kryptimi. Šiuo atveju skaičius įgauna formą

, kuri vadinama kompleksinio skaičiaus trigonometrine forma. Skaičius vadinamas kompleksinio skaičiaus moduliu ir žymimas . Skaičius vadinamas argumentu ir žymimas . Atminkite, kad if , reikšmė neapibrėžta, bet kai ji apibrėžta iki kartotinių. Anksčiau minėta Eulerio formulė leidžia parašyti skaičių forma (kompleksinio skaičiaus eksponentinė forma). Labai patogu kompleksinius skaičius dauginti eksponentine forma. Jis gaminamas pagal formulę

Geometrinė kompleksinių skaičių interpretacija leido apibrėžti daugybę sąvokų, susijusių su kompleksinio kintamojo funkcijomis, ir išplėtė jų taikymo sritį. Tapo aišku, kad kompleksiniai skaičiai yra naudingi daugeliu klausimų, kai jie sprendžia dydžius, vaizduojamus vektoriais plokštumoje: tiriant skysčio srautą, elastingumo teorijos problemas.

Rusijos ir sovietų mokslininkai labai prisidėjo kuriant sudėtingo kintamojo funkcijų teoriją. N. I. Muskhelishvili nagrinėjo jos pritaikymą elastingumo teorijai, M. V. Keldyšas ir M. A. Lavrentjevas – aero- ir hidrodinamikai, N. N. Bogolyubovas ir V. S. Vladimirovas – problemoms. kvantinė teorija laukus.

Kompleksinių skaičių teorijos pagrindai.

Skaitmeniniai rinkiniai. Poreikis plėsti skaičiaus sampratą.

Viena iš pagrindinių matematikos sąvokų yra skaičiaus sąvoka. Ši koncepcija praėjo ilgą vystymosi kelią, praturtinta nauju turiniu.

Istoriškai pirmieji praktiškai atsirado ir į mokslą buvo įtraukti natūralūs skaičiai, kurie yra kiekių skaičiavimo įrankis. atskiri daiktai. Jie susidaro begalinis rinkinys, kuris žymimas N.

Tada prireikė įvesti neigiamus skaičius per praktinė veikla asmuo (pareigos samprata). Neigiami sveikieji skaičiai kartu su natūraliaisiais skaičiais ir skaičiumi 0 sudaro begalinę aibę Z.

Praktikos poreikis, kaip ir pačios matematikos vidiniai poreikiai, jos loginis vystymasis, parodė rinkinio nepakankamumą racionalūs skaičiai spręsti įvairias problemas.

Pavyzdžiui,

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais.

Todėl reikėjo sukurti naują išplėstinį skaičių rinkinį, kuriame kiekvienam skaičių eilutės taškui būtų skaitinė reikšmė ir kurioje bet kuri x formos lygtis n = a. Toks rinkinys vadinamas tikru arba realūs skaičiai R.

Kiekvienas ankstesnis rinkinys yra kitame:

Mokslo ir praktikos raida parodė įvestos aibės R nepakankamumą. Paprasčiausia lygtis šioje aibėje yra neišsprendžiama

Norėdami to atsikratyti, buvo įvestas užrašas

Gautas skaičius i buvo vadinamas įsivaizduojamu vienetu.

Istorinė informacija.

1545 – italų matematikasGirolamo Cardanospręsdamas kubines lygtis pirmą kartą netyčia gavau įsivaizduojamus skaičius

1748 – rusų matematikas Leonardas Eileris rado santykį e ix = cos x + i∙sin x

1803 – prancūzų matematikasLazaras Nicolas Carnotpristatė kompleksinio skaičiaus sąvoką.

1835 – vokiečių matematikasCarlas Friedrichas Gaussaspateisino kompleksinio skaičiaus egzistavimą.

Apibrėžimas. Įsivaizduojamasis vienetas i yra skaičius, kurio kvadratas yra -1.

Apibrėžimas . Sudėtingas skaičiusyra a + i∙b formos skaičius, kur a ir b yra realieji skaičiai. Skaičius a vadinamastikroji kompleksinio skaičiaus dalis, b – įsivaizduojama kompleksinio skaičiaus dalis. (BET NE i∙b!!!)

Yra du ypatingi atvejai:

Apibrėžimas. Skaičiaus rašymas formojevadinamas a + i∙balgebrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma.

Apibrėžimas . Vadinami du kompleksiniai skaičiai lygus , jei jų menamoji ir tikroji dalys yra lygios.

Apibrėžimas . Vadinamas kompleksinis skaičius a - i∙bkompleksinis konjugatasį kompleksinį skaičių a + i∙b.

Apibrėžimas . Vadinami kompleksiniai skaičiai a + i∙b ir - a - i∙bpriešingai.

Operacijos su kompleksiniais skaičiais

V algebrinė formaįrašų.

1. Papildymas.

Taisyklė . Norėdami pridėti du kompleksinius skaičius algebriniame žymėjime, turite pridėti jų įsivaizduojamą ir tikrąją dalis.

(a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) + (-2 + 7i) =

2. Atimtis.

Taisyklė . Norėdami atimti du kompleksinius skaičius algebriniu žymėjimu, turite atitinkamai atimti jų įsivaizduojamą ir realiąją dalis.

(a 1 + ib 1) - (a 2 + ib 2) =

(3 + 5i) - (-2 + 7i) =

3. Daugyba.

Taisyklė . Norėdami padauginti du kompleksinius skaičius algebriniame žymėjime, turite juos padauginti iš termino ir perkelti į algebrinį žymėjimą.

(a 1 + ib 1 ) ∙ (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) ∙ (-2 + 7i) =

4. Padalijimas.

Taisyklė . Norėdami padalinti vieną kompleksinį skaičių iš kito, turite padauginti abu skaičius iš kompleksinio daliklio konjugato ir atlikti operacijas.

Užduotys.

1. Kurie iš šių skaičių yra lygūs?

0,3 + 0,2i

0,3 - 0,2i

0,6 + 0,4i

1. Kurie iš šių skaičių yra tikri? Grynai įsivaizduojama?

2+0i

0+2i

3–5i

4+2i

1. Raskite visus pateiktų kompleksinių skaičių konjugatus ir priešingybes.

Leiskite jums priminti reikalinga informacija apie kompleksinius skaičius.

Sudėtingas skaičius yra formos išraiška a + bi, Kur a, b yra realūs skaičiai ir i- vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, simbolis, kurio kvadratas lygus –1, tai yra i 2 = –1. Skaičius a paskambino tikroji dalis, ir numerį b - įsivaizduojama dalis kompleksinis skaičius z = a + bi. Jeigu b= 0, tada vietoj a + 0i jie tiesiog rašo a. Matyti, kad tikrieji skaičiai yra ypatingas atvejis kompleksiniai skaičiai.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais yra tokios pačios kaip ir su realiaisiais skaičiais: juos galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti vienas iš kito. Sudėjimas ir atėmimas vyksta pagal taisyklę ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, o daugyba vyksta pagal taisyklę ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (skelbimas + pr. Kr)i(čia jis naudojamas i 2 = –1). Skaičius = a – bi paskambino kompleksinis konjugatasĮ z = a + bi. Lygybė z · = a 2 + b 2 leidžia suprasti, kaip padalyti vieną kompleksinį skaičių iš kito (ne nulio) kompleksinio skaičiaus:

(Pavyzdžiui, .)

Sudėtingi skaičiai turi patogų ir vaizdinį vaizdą geometrinis vaizdas: numeris z = a + bi gali būti pavaizduotas vektoriumi su koordinatėmis ( a; b) įjungta Dekarto plokštuma(arba, kas yra beveik tas pats, taškas – vektoriaus su šiomis koordinatėmis pabaiga). Šiuo atveju dviejų kompleksinių skaičių suma vaizduojama kaip atitinkamų vektorių suma (kurią galima rasti naudojant lygiagretainio taisyklę). Pagal Pitagoro teoremą, vektoriaus ilgis su koordinatėmis ( a; b) yra lygus . Šis kiekis vadinamas modulis kompleksinis skaičius z = a + bi ir žymimas | z|. Kampas, kurį šis vektorius sudaro teigiama x ašies kryptimi (skaičiuojant prieš laikrodžio rodyklę), vadinamas argumentas kompleksinis skaičius z ir žymimas Arg z. Argumentas neapibrėžiamas vienareikšmiškai, o tik pridedant 2 kartotinį π radianų (arba 360°, jei skaičiuojant laipsniais) – juk aišku, kad sukimasis tokiu kampu aplink pradžią vektoriaus nepakeis. Bet jei ilgio vektorius r sudaro kampą φ su teigiama x ašies kryptimi, tada jos koordinatės yra lygios ( r cos φ ; r nuodėmė φ ). Iš čia paaiškėja trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius: z = |z| · (cos(Arg z) + i nuodėmė (Arg z)). Šia forma dažnai patogu rašyti kompleksinius skaičius, nes tai labai supaprastina skaičiavimus. Padauginti kompleksinius skaičius trigonometrine forma yra labai paprasta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i nuodėmė (Arg z 1 + Arg z 2)) (dauginant du kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami). Iš čia sekti Moivre'o formulės: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i nuodėmė ( n· (Arg z))). Naudojant šias formules, lengva išmokti iš kompleksinių skaičių išskirti bet kokio laipsnio šaknis. n-oji šaknis galios iš skaičiaus z– tai kompleksinis skaičius w, Ką w n = z. Tai aišku , ir , kur k gali gauti bet kokią reikšmę iš aibės (0, 1, ..., n– 1). Tai reiškia, kad visada yra tiksliai nšaknys n kompleksinio skaičiaus laipsnis (plokštumoje jie yra dėsnio viršūnėse n-gon).