Koreliacinė analizė naudojama tada, kai reikia įvertinti signalo laikinąsias savybes nenaudojant spektrinės analizės, pavyzdžiui, įvertinti signalo kitimo greitį ar trukmę, vieno signalo laiko ryšį (koreliaciją) su kitu.

Abipusis koreliacijos funkcija nustato dviejų signalų laiko ryšį laike. Jei signalai nepriklauso vienas nuo kito, jų koreliacijos funkcija lygi nuliui. Kuo platesnė koreliacijos funkcija, tuo didesnis ryšys tarp dviejų signalų.

Kryžminės koreliacijos funkcija nustatoma pagal ryšį

Kryžminės koreliacijos funkcijos gavimo pavyzdys parodytas 1 pav. Koreliacijos funkcijos reikšmė bet kuriuo momentu x nustatoma pagal funkcijos ir perkeltos kopijos susikirtimo plotą.

Kryžminės koreliacijos funkcija nebūtinai yra simetriška ir jos maksimumas gali būti ne taške x=0.

Autokoreliacija riboto laiko signalo funkcija (ACF) yra formos išraiška

Kur x– pradinio signalo laiko poslinkis.

Geometrinė autokoreliacijos funkcijos reikšmė yra nustatyti funkcijos ir jos kopijos susikirtimo plotą, pasislinkusį laiku. x(2 pav.)

Pamainos laiko keitimas x kol signalas ir jo kopija nustos susikirsti (šiuo atveju), gauname ACF. Akivaizdu, kad pasikeitus poslinkio ženklui ir jo reikšmei sutampa, autokoreliacijos funkcija yra ta pati, t.y. , kuri byloja apie jos lygų charakterį. Aišku, kada x=0 autokoreliacijos funkcija turi maksimumą ir

ir savo ruožtu visos energijos signalas lygus

Taigi autokoreliacijos funkcijos maksimumas lemia bendrą signalo energiją. Didėjant pamainai x ACF sumažėja iki nulio.

Pavyzdžiai

Kvadratinis impulsas ( ryžių.).

c) Gaminio plotas lygus x Dėl

>0 turime x<0

o integralas už

Didžiausia ACF yra lygi signalo energijai: 2) Trikampis impulsas. ACF konstrukcija parodyta.

ryžių. 4 Produktas yra netiesinė funkcija t . Bendra signalo energija (maksimali ACF) lygi

3. Signalas yra vienodų impulsų, esančių vienodais atstumais vienas nuo kito, paketas. ACF taip pat bus kaip impulsų paketas, išdėstytas vienodais atstumais vienas nuo kito, o paketo impulsų amplitudės sumažės nuo centro iki kraštų (žr. ryžių. 5)

14. Bendroji radijo signalų teorija. Siaurajuosčio ir plačiajuosčio signalo samprata. Radijo signalo dažnio ir fazės samprata, jų ryšys. Signalinės bazės samprata.

Bendrieji apibrėžimai

Radijo signalai apima aukšto dažnio beveik harmoninius (kvaziharmoninius) virpesius, kurių amplitudė arba momentinis dažnis arba fazė lėtai keisti pagal kažkokį įstatymą. Vieno ar kelių aukšto dažnio harmoninių virpesių parametrų keitimo procesas vadinamas moduliacija. Radijo ryšio sistemoje moduliacijos dėsnis turi atitikti siunčiamo žemo dažnio pranešimo kitimo dėsnį.

Pradinio aukšto dažnio harmoninio virpesio dažnis vadinamas nešlio dažniu. Įrenginys, sukuriantis šį virpesį, vadinamas nešlio dažnio generatoriumi arba pagrindiniu osciliatoriumi. Jai keliami dideli amplitudės ir dažnio stabilumo reikalavimai.

Nešiklio vibracija turi formą

kur yra amplitudė, yra dažnis,  0 yra pradinė fazė.

Yra amplitudės (AM), dažnio (FM) ir fazės (PM) moduliavimas. Su amplitudine moduliacija kinta momentinė amplitudė pagal žemo dažnio signalo dėsnį, keičiant fazinę moduliaciją, keičiasi fazė; Taip pat yra mišrių moduliavimo tipų. Impulsinius moduliavimo ir manipuliavimo tipus galima išskirti į atskirą klasę, kurioje įvyksta diskretiškas aukšto dažnio virpesių parametro pokytis.

Signalų bazės sąvokos

Ryšių sistemose naudojama signalų bazės sąvoka, kurią lemia Kotelnikovo teorema. Tai yra, remiantis tuo, bet koks signalas su baigtiniu spektru gali būti suskaidytas į keletą mėginių, paimtų tam tikrais laiko intervalais, kur F – viršutinė ribinė signalo spektro dažnis (1 pav.).

Ryžiai. 1. Kotelnikovo bokšto paaiškinimas

Tokiu atveju, jei signalas egzistuoja tik tam tikrą laiką -T ‚ tada mėginių skaičius bus lygus

Ši vertė nustato erdvės, kurioje signalas vaizduojamas koordinatėmis (momentinių verčių pavyzdžiais laiko intervalais), matmenį. Šiuo atžvilgiu komunikacijos teorijoje šis dydis vadinamas signalo baze:

. (2.2)

Kitais atvejais jie sako, kad reikšmė lemia signalo pagrindą, t.y. koordinačių ašių, kuriose išdėstytas signalas, skaičius.

Lyginamoji siaurajuosčio ir

plačiajuosčio ryšio signalus

Esamose ryšių sistemose, naudojančiose diskrečius signalus, paprastų signalų bazinė reikšmė yra lygi (2 pav.). Tą patį signalą galima pavaizduoti kaip kompleksinį signalą, kurio pagrindas bus lygus - (žr. 2 pav.).

Ryžiai. 2. Paprasti ir sudėtingi signalai

Signalo bazė rodo spektro pločio priklausomybę nuo signalo trukmės. Naudojant paprastus signalus, jo spektro plotis yra mažas:

Todėl tokie signalai vadinami siaurajuosčiais. Reikėtų pažymėti, kad siaurajuosčio signalo spektras po moduliacijos nedaug skiriasi nuo pirminio signalo spektro.

Sudėtingiems signalams

Šiuo atveju kompleksinio signalo spektras tiek prieš moduliaciją, tiek po jo yra daug didesnis nei pirminio signalo spektras, todėl dažniausiai jis vadinamas plačiajuosčiu.

Pirmiausia prisiminkime visos radijo signalo fazės sąvoką

Signalai, kurių bendra fazė keičiasi pagal moduliavimo signalą, vadinami kampu moduliuotais signalais.

Pirmiausia pažvelkime į fazės moduliacijos PM signalus. Signalams su PM bendra fazė keičiasi pagal moduliavimo signalą:

o patį radijo signalą galima pavaizduoti taip:

kur vadinamas dažnio moduliacijos indeksu arba dažnio nuokrypiu, o moduliuojančio signalo dydis neviršija vieneto, tada visa radijo signalo fazė gali būti apskaičiuojama kaip momentinio dažnio integralas:

kur yra savavališka visos fazės integravimo konstanta (8). Atkreipkite dėmesį, kad juostos pralaidumo signalo išraiškoje yra visiškai neteisinga pakeisti momentinio dažnio išraišką, o ne nešlio dažnį:

nes Išraiška (9) teisinga!

16. Signalai su intrapulsine moduliacija. Signalai su tiesine dažnio moduliacija. Faziniu kodu valdomi signalai. Matematiniai modeliai, spektrinės charakteristikos, taikymo ypatybės.

Faziniu kodu valdomi impulsai (PCM)

FCM radijo impulsams būdingas staigus fazės pasikeitimas impulso viduje pagal tam tikrą dėsnį, pavyzdžiui (1.66 pav.):

trijų elementų signalo kodas

fazių kaitos dėsnis

trijų elementų signalas

arba septynių elementų signalas (1.67 pav.)

Taigi galime padaryti tokias išvadas:

· Signalų su čirpimu ASF yra nuolatinis.

· ASF apvalkalas nustatomas pagal signalo gaubto formą.

· Didžiausia ASF reikšmė nustatoma pagal signalo energiją, kuri savo ruožtu yra tiesiogiai proporcinga signalo amplitudei ir trukmei.

· Spektro plotis lygus kur yra dažnio nuokrypis ir nepriklauso nuo signalo trukmės.

· Signalo bazė (plačiajuosčio ryšio santykis) Gal būt n>>1. Todėl čirpimo signalai vadinami plačiajuosčiu.

FCM radijo impulsai, kurių trukmė yra vienas kitą be intervalų sekančių elementarių radijo impulsų, kurių kiekvieno trukmė yra vienoda ir vienoda Elementariųjų impulsų amplitudės ir dažniai yra vienodi, o pradinės fazės gali skirtis. (ar kokią kitą vertę). Pradinių fazių kaitos dėsnį (kodas) lemia signalo paskirtis. FCM radijo impulsams, naudojamiems radare, buvo sukurti atitinkami kodai, pavyzdžiui:

1, +1, -1 - trijų elementų kodai

-du keturių elementų kodo variantai

1 +1 +1, -1, -1, +1, -2 - septynių elementų kodas

Koduotų impulsų spektrinis tankis nustatomas naudojant Furjė transformacijų adityvumo savybę, elementariųjų radijo impulsų spektrinių tankių sumos pavidalu.

Trijų elementų ir septynių elementų impulsų ASF grafikai parodyti 1.68 pav

Kaip matyti iš aukščiau pateiktų paveikslų, PCM radijo signalų spektro plotis nustatomas pagal elementaraus radijo impulso trukmę.

Plačiajuosčio ryšio koeficientas

Kur N- elementarių radijo impulsų skaičius.

FCM signalai naudojami plačiajuosčio ryšio sistemose, radare ir objektų identifikavimo įrenginiuose.

6. Normalizuotos funkcijos samprata. Ortonormalios funkcijų sistemos samprata.

Metrinių parametrų normalizavimas . Funkcijų norma erdvėje L 2 nustatoma pagal išraišką:

Nesunku daryti išvadą, kad kuo didesnis intervalas šioje formulėje, tuo didesnė (jei visi kiti dalykai yra vienodi) bus normos reikšmė. Analizuojant ir lyginant signalus (tiek analoginius, tiek daugiamačius diskrečius), ši sąvoka ne visada patogi, o vietoj jos labai dažnai naudojama normos, normalizuotos pagal intervalo ilgį, sąvoka. Simboliškai normalizavimui žymėti naudosime ženklą :

||s(t)|| = , ||s n || =.

Signalo metrika (atstumas tarp signalų) su panašiu normalizavimu:

d (s(t), v(t)) = , d (s n , v n) =

Šios išraiškos naudojamos apskaičiuojant signalų vidurkio kvadratinį skirtumą arba kvadratinio vidurkio paklaidą atliekant bet kokią operaciją, kai jos rezultatas lyginamas su teoriškai laukiamu arba a priori žinomu.

Normalizuota skaliarinė signalų sandauga:

b s(t), v(t)  =s(t)v(t) dt = ||s(t)|| ||v(t)|| cos .

b s n , v n   =(1/N)s n v n = ||s n || ||s n || cos .

Kampo kosinusas (koreliacijos koeficientas) tarp signalų - funkcijų nekeičia jo reikšmių, kai apskaičiuojama naudojant tiek normalizuotas, tiek nenormalizuotas skaliarinės sandaugos ir signalo normos vertes (normalizavimo reikšmes skaitiklyje ir vardiklyje išraiškos (2.1.8) sumažinamos). Funkcijų abipusis statmenumas nustatomas panašiai kaip vektorių abipusis statmenumas pagal sąlygą, kad skaliarinė sandauga turi nulinę reikšmę.

Periodinių funkcijų norma, metrika ir skaliarinė sandauga paprastai normalizuojama pagal pagrindinio periodo T trukmę.

Ortogonaliniai signalai. Du signalai vadinami stačiakampiais, jei jie turi nulinio taško sandaugą

b u(t), v(t) =u(t)v(t) dt = 0.

Atitinkamai, du tokie signalai savo funkcinėje erdvėje yra vienas nuo kito statmeni (kampas tarp signalų yra  = 90 o), visiškai nepriklausomi vienas nuo kito (nekoreliuojami, r = cos  ir turi nulinės energijos sąveikos (E uv = 0).

2.3.1 paveiksle pateikti vienas kitą stačiakampių signalų pavyzdžiai. Dviejų kairiųjų signalų nulinę skaliarinę sandaugą užtikrina jų forma (signalų sandaugos teigiamų ir neigiamų verčių suma lygi nuliui), o dviejų dešiniųjų - santykinė padėtis(ne nulinės signalo reikšmės neturi bendrų koordinačių).

Ryžiai. 2.3.1. Ortogonaliniai signalai.

Praeidami pažymime, kad stačiakampių signalų sumos energija ir galia turi adityvumo savybę, nes turi nulinę skaliarinės sandaugos vertę ir atitinkamai sąveikos energiją.

Ortonormalus erdvės pagrindas. Signalų rinkinys – vektoriai (v k, k = 1, 2, ..., N) N matmenų Dekarto erdvėje su vienetine norma ir tarpusavio ortogonalumo sąlygų įvykdymu:

b v m , v n  = (2.3.1)

gali būti laikomas ortonormaliu pagrindu suteikta erdvė. Išraiška (2.3.1) paprastai rašoma tokia forma:

b v m , v n  =  mn , (2.3.1")

čia  mn yra Kronecker impulsas, lygus dešiniajai išraiškos pusei (2.3.1).

Naudojant ortonormalų pagrindą, bet koks savavališkas signalas gali būti pavaizduotas kaip tiesinis svertinių bazinių vektorių derinys:

s = c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c N v N ,

kur svorio reikšmė su k nustatoma pagal vektoriaus s projekciją į atitinkamą koordinačių kryptį:

c k =  s, v k  .

Išplečiant šias nuostatas funkcinei erdvei L 2 kaip erdvės koordinatiniam pagrindui, turime naudoti funkcijų rinkinį (u 0 (t), u 1 (t), u 2 (t), ...), riba – begalinė, kuri turi būti stačiakampių funkcijų sistema(u k (t), k = 0, 1, 2, …), t.y. visos šio segmento funkcijos turi būti viena kitai stačiakampės:

b u m (t), u n (t) =u m (t) u n (t) dt = 0, m = 1, 2, ... ; n = 1, 2,...; m  n.

Stačiakampių funkcijų sistema intervale bus ortonormalus(ortonormalios funkcijos), jei visos sistemos funkcijos, kai m=n turi vieneto normą, t.y. sąlygos tenkinamos:

b u m (t), u m (t) = ||u m (t)|| 2 =(u m (t)) 2 dt = 1, ||u m (t)|| = 1, m = 1, 2, ....

Šios sąlygos gali būti parašytos tokia apibendrinta forma:

u m (t) u n * (t) dt =  m,n .

Stačiakampių funkcijų sistemą visada galima paversti ortonormalia normalizuojant, t.y. visas funkcijas dalijant iš jų normos.

Koreliacinės analizės problema kilo dėl radaro, kai reikėjo lyginti identiškus laike pasislinkusius signalus.

Kiekybiškai įvertinti signalo ir jo laiko poslinkio kopijos skirtumo laipsnį
Įprasta įvesti signalo autokoreliacijos funkciją (ACF), lygią skaliarinis produktas signalas ir jo perkelta kopija.

(4.1)

ACF savybės

1) Kada
autokoreliacijos funkcija tampa lygi signalo energijai:

(4.2)

2) ACF – tolygi funkcija

(4.3)

3) Svarbi autokoreliacijos funkcijos savybė yra tokia: bet kuriai laiko poslinkio reikšmei ACF modulis neviršija signalo energijos:

4) Paprastai ACF vaizduojama simetriška linija su centriniu maksimumu, kuris visada yra teigiamas. Be to, priklausomai nuo signalo tipo, autokoreliacijos funkcija gali turėti arba monotoniškai mažėjantį, arba svyruojantį pobūdį.

Tarp ACF ir signalo energijos spektro yra glaudus ryšys.

Pagal (4.1) formulę ACF yra skaliarinė sandauga
. Čia simbolis rodo signalo kopiją su laiko poslinkiu
.

Pereidami prie Plancherelio teoremos, galime parašyti lygybę:

(4.4) Taigi gauname rezultatą

(4.5)

Modulio kvadratas spektrinis tankis reiškia signalo energijos spektrą. Taigi energijos spektras ir autokoreliacijos funkcija yra susieti Furjė transformacijų pora.

Akivaizdu, kad yra ir atvirkštinis ryšys

(4.6)

Šie rezultatai iš esmės svarbūs dėl dviejų priežasčių: pirma, pasirodo, kad įmanoma įvertinti signalų koreliacines savybes, remiantis jų energijos pasiskirstymu spektre. Antra, formulės (4.5), (4.6) nurodo energijos spektro eksperimentinio nustatymo būdą. Dažnai patogiau pirmiausia gauti ACF, o tada, naudojant Furjė transformaciją, rasti signalo energijos spektrą. Ši technika tapo plačiai paplitusi tiriant signalų savybes naudojant didelės spartos kompiuterius realiuoju laiku.

Dažnai įvedamas patogus skaitmeninis parametras - koreliacijos intervalas, kuris yra pagrindinės ACF skilties pločio įvertinimas.

9.. Kryžminės koreliacijos funkcija ir jos savybės. Ryšys tarp kryžminės koreliacijos funkcijos ir abipusio energijos spektro.

Dviejų signalų kryžminės koreliacijos funkcija

Dviejų realių signalų kryžminės koreliacijos funkcija (ICF) yra šios formos skaliarinė sandauga:

(4.8)

TCF naudojamas kaip ortogonaliosios būsenos „stabilumo“ matas, kai signalai pasislenka laiku.

Kadangi šie signalai praeina per įvairius įrenginius, gali būti, kad signalas kurį laiką bus pasislinkęs signalo atžvilgiu .

VKF savybės.

1) Skirtingai nuo vieno signalo ACF, ACF, kuris apibūdina dviejų nepriklausomų signalų sistemos savybes, nėra lygiavertė argumento funkcija. :

(4.9)

2) Jei nagrinėjamų signalų energija yra baigtinė, tada jų CCF yra ribotas.

3) At
VCF vertės neturi pasiekti maksimumo.

CCF pavyzdys yra stačiakampių ir trikampių vaizdo impulsų kryžminės koreliacijos funkcija.

Remiantis Plancherelio teorema

mes gauname

(4.11)

Taigi kryžminės koreliacijos funkcija ir abipusis energijos spektras yra susieti vienas su kitu Furjė transformacijų pora.

Autokoreliacijos funkcija. Korelograma.

Jei laiko eilutėje yra tendencija ir cikliniai pokyčiai, tolesnio eilutės lygio reikšmės priklauso nuo ankstesnių. Priklausomybė tarp nuoseklių laiko eilutės lygių vadinama eilučių lygių autokoreliacija.

Jį galima išmatuoti kiekybiškai, naudojant koreliacijos indeksą tarp pradinės laiko eilutės lygių ir šios eilutės lygių, pasislinkusių keliais žingsniais laike.

Pateikiame laiko eilutes: y, y,…y ir tegul tai įvyksta tiesinė koreliacija tarp y t Ir y t -1.

Nustatykime koreliacijos koeficientą tarp eilučių y t Ir y t -1.

Tam naudosime tokią formulę:

Butas x j = y t -1 , y j = y t -1 , mes gauname

(5.1)

Antrosios ir aukštesnės eilės autokoreliacijos koeficientai nustatomi panašiai. Taigi 2-osios eilės autokoreliacijos koeficientas apibūdina ryšio tarp lygių glaudumą adresu Ir adresu ir nustatoma pagal formulę:

(5.2)

Autokoreliacijos serijos lygio tvarka vadinama vėlavimu.

Formulės (5.1) atsilikimui lygus vienam, už (5.3) – du.

Pirmojo, antrojo ir kt. lygių autokoreliacijos koeficientų seka. užsakymai vadinami laiko eilučių autokoreliacijos funkcija (ACF).

Jos verčių priklausomybės nuo vėlavimo reikšmės grafikas vadinamas korelograma.

ACF ir korelograma leidžia nustatyti vėlavimą, kai autokoreliacija yra didžiausia, taigi ir vėlavimą, kai ryšys tarp dabartinio ir ankstesnio serijos lygių yra artimiausias, t.y. su jų pagalba galite atskleisti serialo struktūrą.

Patartina naudoti autokoreliacijos koeficientą ir ACF, kad būtų galima nustatyti tendencijos komponento ir ciklinio komponento buvimą ar nebuvimą laiko eilutėje:

jei 1-osios eilės autokoreliacijos koeficientas yra didžiausias, tada tiriamoje eilutėje yra tik tendencija;

jei k-osios eilės autokoreliacijos koeficientas yra didžiausias, tada serijoje yra cikliniai svyravimai su k momentų dažniu laike;

jei nė vienas iš koeficientų nėra reikšmingas, tada galima daryti vieną iš dviejų prielaidų dėl šios eilutės struktūros: arba eilutėje nėra tendencijų ir ciklinių pokyčių, o jos struktūra panaši į 5.1c pav. , arba serijoje yra stipri netiesinė tendencija, kuriai nustatyti reikia papildomos analizės.

49. Apibendrintos regresijos modelis. Apibendrintas metodas mažiausių kvadratų. Aitkeno teorema

Kuriant modelį, pavyzdžiui, linijinį

Y = a + b 1 * x 1 + b 2 * x 2 +… + b p * x p + ε (59.1)

Atsitiktinis dydis  reiškia nepastebimą kintamąjį. Skirtingoms modelio specifikacijoms skirtumai tarp teorinių ir faktinių verčių gali skirtis. Į užduotį regresinė analizė apima ne tik paties modelio konstravimą, bet ir tyrimus atsitiktiniai nukrypimai aš t.y. likutinės vertės. Sudarę regresijos lygtį, patikriname, ar įverčiai  i turi tam tikrų savybių. Šios OLS gautų įverčių savybės yra labai svarbios. praktinę reikšmę naudojant regresijos ir koreliacijos rezultatus.

Regresijos koeficientai b i rasti remiantis sistema normalios lygtys ir atstovaujantys atrankinius ryšio stiprumo charakteristikų įvertinimus, turi turėti nešališkumo savybę. Nešališkas įvertinimas tai reiškia tikėtina vertė likusi dalis lygi nuliui.

Tai reiškia, kad rastas regresijos parametras b i gali būti laikomas vidutine reikšme galimas vertes regresijos koeficientai su nešališkais likutiniais įverčiais.

Praktiniais tikslais svarbus ne tik įverčių nešališkumas, bet ir įverčių efektyvumas. Įverčiai laikomi efektyviais, jei jų dispersija yra mažiausia.

Tam, kad pasikliautinieji intervalai regresijos parametrai yra realūs, būtina, kad įverčiai būtų nuoseklūs. Įverčių nuoseklumui būdingas jų tikslumo padidėjimas didėjant imties dydžiui.

Likučių tyrimai  i apima šių penkių būtinų OLS sąlygų patikrinimą:

atsitiktinis palaikų pobūdis;

nulinė vidutinė likučių vertė, nepriklausoma nuo x i;

homoskedastiškumas – kiekvieno nuokrypio  i sklaida yra vienoda visoms x reikšmėms;

liekanų autokoreliacijos nebuvimas. Likučių  i reikšmės pasiskirsto nepriklausomai viena nuo kitos;

likučiai atitinka normalųjį pasiskirstymą.

Jeigu atsitiktinių likučių  i pasiskirstymas neatitinka kai kurių OLS prielaidų, tai modelis turėtų būti koreguojamas.

Pirmiausia patikrinamas likučių  i atsitiktinis pobūdis.

Jei grafike gaunama horizontali likučių pasiskirstymo juosta, tai liekanos reiškia atsitiktiniai dydžiai ir MNK išteisintas, teorinės vertybės y x gerai apytiksliai atitinka tikrąsias y vertes.

Galimi tokie atvejai: jeigu  i . priklauso nuo y x tada:

likučiai  i . ne atsitiktinai

likučiai  i . neturi nuolatinės sklaidos

likučiai  i . yra sistemingi

Tokiais atvejais turite naudoti kitą funkciją arba įvesti Papildoma informacija ir perstatykite regresijos lygtį, kol likučiai  i bus atsitiktiniai dydžiai.

Antroji prielaida reiškia lygybę nuliui Vidutinis dydis likučiai:

. (59.2)

Trečioji OLS prielaida reikalauja, kad likučių dispersija būtų homoskedastinė. Tai reiškia, kad kiekvienai koeficiento x j reikšmei liekanos  i turi tokią pačią dispersiją. Jei ši OLS naudojimo sąlyga neįvykdoma, atsiranda heteroskedastiškumas.

50. Prieinami apibendrinti mažiausi kvadratai

Mažiausio kvadrato metodas. Truputį daugiau paplitę tipai regresijos modeliai aptariami skyriuje Pagrindiniai tipai netiesiniai modeliai. Pasirinkus modelį, kyla klausimas: kaip galima šiuos modelius įvertinti? Jei esate susipažinę su metodais tiesinė regresija(aprašyta Daugialypės regresijos skyriuje) arba ANOVA (aprašyta skyriuje). Dispersijos analizė), tada žinosite, kad visi šie metodai naudoja mažiausiųjų kvadratų įvertinimą. Pagrindinė šio metodo idėja yra sumažinti priklausomo kintamojo stebimų verčių kvadratinių nuokrypių sumą nuo modelio numatytų verčių. (Terminas mažiausi kvadratai pirmą kartą buvo pavartotas Legendre, 1805 m.)
Mažiausių kvadratų svertinis metodas. Trečias labiausiai paplitęs metodas, be mažiausių kvadratų metodo ir nuokrypių sumos modulių panaudojimo įvertinimui (žr. aukščiau), yra svertinių mažiausių kvadratų metodas. Įprastas metodas Mažiausi kvadratai daro prielaidą, kad likučių sklaida yra vienoda visoms nepriklausomų kintamųjų reikšmėms. Kitaip tariant, daroma prielaida, kad visų matavimų paklaidos dispersija yra vienoda. Dažnai ši prielaida nėra reali. Visų pirma, nukrypimų nuo jo aptinkama versle, ekonomikoje ir taikymuose biologijoje (atkreipkite dėmesį, kad parametrų įverčius naudojant svertinių mažiausių kvadratų metodą taip pat galima gauti naudojant Daugialypės regresijos modulį).

Pavyzdžiui, norite ištirti santykį tarp numatomų pastato statybos išlaidų ir faktiškai išleistų pinigų sumos. Tai gali būti naudinga apskaičiuojant numatomus perviršius. Šiuo atveju pagrįsta manyti, kad absoliučioji vertė išlaidų viršijimas (išreikštas doleriais) yra proporcingas projekto kainai. Todėl, norėdami pasirinkti linijinį regresijos modelis turėtų būti naudojamas svertinis mažiausių kvadratų metodas. Praradimo funkcija galėtų būti, pavyzdžiui, kažkas panašaus (žr. Neter, Wasserman ir Kutner, 1985, p. 168):

Nuostoliai = (pastebėti-numatyti) 2 * (1/x 2)

Šioje lygtyje pirmoji nuostolių funkcijos dalis reiškia standartinė funkcija mažiausių kvadratų metodo nuostolis (stebėtas atėmus prognozuojamą kvadratą; t. y. likučių kvadratas), o antrasis yra lygus šio nuostolio „svoriui“ kiekvienu konkrečiu atveju – padalijus iš nepriklausomo kintamojo kvadrato (x). ) kiekvienam stebėjimui. Realioje įvertinimo situacijoje programa susumuoja nuostolių funkcijos reikšmes per visus stebėjimus (pavyzdžiui, projektavimo projektus), kaip aprašyta aukščiau, ir parinks parametrus, kurie sumažina sumą. Grįžtant prie nagrinėjamo pavyzdžio, nei daugiau projekto(x), tuo mažiau mums reiškia ta pati klaida numatant jos vertę. Šiuo metodu gaunami patikimesni regresijos parametrų įverčiai (išsamiau žr. Neter, Wasserman ir Kutner. 1985).

51. Čiau testas

Oficialus statistinis testas, skirtas įvertinti laiko eilutės tendencijų modelį, atsižvelgiant į struktūrinius pokyčius pasiūlė Gregory Chow*. Taikant šį testą apskaičiuojami tendencijų lygčių parametrai. Pateikiame lentelėje pateiktą žymėjimo sistemą.

3 lentelė – Legenda Chow testo algoritmui

Tarkime, hipotezė H0 patvirtina tiriamos laiko eilutės tendencijos struktūrinį stabilumą. Likutinę kvadratų sumą pagal gabalų tiesinį modelį (C cl ost) galima rasti kaip C 1 ost ir C 2 ost sumą

C cl ost = C 1 ost + C 2 ost (62.1)

Atitinkamas laisvės laipsnių skaičius bus:

(n 1 – k 1) + (n 2 – k 2) = n – k 1 – k 2 (62,2)

Tada sumažinimas liekamoji dispersija perkeldami vienos tendencijos lygtį į dalinį tiesinį modelį, nustatykite taip:

DC ost = C 3 ost - C ost (62,3)

Laisvės laipsnių skaičius, atitinkantis DC, atsižvelgiant į santykį (23), bus:

n – k 3 – (n – n 1 – k 2) = k 1 + k 2 – k 3 (62,4)

Tada pagal G. Chow metodą randamas G. Chow tikroji vertė F-testas, skirtas šioms nuokrypoms pagal svyravimo laisvės laipsnį:

(62.5)

Rasta F fakto reikšmė lyginama su pirmąja lentele (Fišerio pasiskirstymo lentelė reikšmingumo lygiui α ‚ ir laisvės laipsnių skaičius (k 1 + k 2 – k 3) ir (n - k 1 - k 2)

Jei F faktas > F lentelė, tai hipotezė apie tendencijos struktūrinį stabilumą atmetama, o struktūrinių pokyčių įtaka tiriamo rodiklio dinamikai laikoma reikšminga. Šiuo atveju laiko eilučių tendencijos modeliavimas turėtų būti atliktas naudojant atskirą tiesinį modelį. Jeigu

F faktas< F табл то нулевая гипотеза структурной стабильности тенденции не отвергается. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Chow testo ypatybės.

1. Jei parametrų skaičius visose 3 lentelės (1), (2), (3) lygtyse yra vienodas ir lygus k, tada (56) formulė supaprastinama:

(62.6)

2. Chow testas leidžia padaryti išvadą apie struktūrinio stabilumo buvimą ar nebuvimą tiriamoje laiko eilutėje. Jei F yra faktas< F табл, то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара метров а 1 и а 2 , а также b 1 и b 2 соответственно статистически не значимы. Если же F факт >F lentelę tada struktūrinio stabilumo hipotezė atmetama, o tai reiškia statistinis reikšmingumas(1) ir (2) lygčių parametrų įverčių skirtumai.

H. Taikant Chow testą daroma prielaida, kad būtinos sąlygos normalus skirstinys likučiai (1) ir (2) lygtyse ir jų skirstinių nepriklausomumas.

Jei hipotezė apie y eilutės tendencijos struktūrinį stabilumą atmetama, tolesnė analizė gali apimti šių priežasčių priežasčių tyrimą. struktūriniai skirtumai ir daugiau de 1 tendencijų pokyčių pobūdžio tyrimas. IN priimtus užrašusšios priežastys lemia (1) ir (2) lygčių parametrų įverčių skirtumus.

Galimi šie šių lygčių parametrų skaitinių įverčių pokyčių deriniai:

Skaitinio įvertinimo pokytis laisvas narys Tendencijos lygtys a 2 palyginti su a 1 su sąlyga, kad skirtumai b 1 Ir b 2 statistiškai nereikšmingas. Geometriškai tai reiškia, kad linijos (1) (2) yra lygiagrečios. Staigus serialo lygio pasikeitimas t, šiuo metu Produktas yra netiesinė funkcija‚ir pastovus vidutinis absoliutus laikotarpio augimas;

Skaitinio parametro įvertinimo keitimas b 2 palyginti su b 1 su sąlyga, kad skirtumai tarp 1 ir 2 yra statistiškai nereikšmingi. Geometriškai tai reiškia, kad linijos (1) ir (2) kerta koordinačių ašį viename taške. Tendencijos pokytis įvyksta pasikeitus vidutiniam absoliučiam laiko eilutės padidėjimui, pradedant nuo laiko momento Produktas yra netiesinė funkcija‚ su pastoviu pradiniu serijos lygiu laiko momentu Produktas yra netiesinė funkcija=0

Parametrų a 1 ir a 2 skaitinių įverčių pasikeitimas, taip pat b 1 Ir b 2. Tai atsispindi grafike pokyčiu pradinis lygis ir absoliutaus augimo laikotarpio vidurkis

Tyrinėdamas stačiakampių vaizdo impulsų paketo ACF, skaitytojas tikrai pastebėjo, kad atitinkamas grafikas turi specifinę skilties formą. Praktiniu požiūriu, turint omenyje ACF naudojimą tokio signalo aptikimo arba jo parametrų matavimo problemai išspręsti, visiškai nesvarbu, kad atskiros skiltys turi trikampio formos. Svarbu tik jų santykinis lygis, palyginti su centriniu maksimumu ties .

Mūsų artimiausia užduotis yra pakeisti autokoreliacijos funkcijos apibrėžimą taip, kad galėtume iš jo išgauti Naudinga informacija, abstrahuojantis nuo smulkmenų. To pagrindas yra diskretiško signalo matematinio modelio idėja (žr. 1 skyrių).

Sudėtingų signalų su atskira struktūra aprašymas.

Identiškų stačiakampių vaizdo impulsų paketas yra paprasčiausias sudėtingų signalų klasės atstovas, sudarytas pagal tokiu principu. Visas signalo gyvavimo intervalas yra padalintas į sveikąjį skaičių M > 1 lygius intervalus, vadinamus pozicijomis. Kiekvienoje padėtyje signalas gali būti vienoje iš dviejų būsenų, kurios atitinka skaičius +1 ir -1.

Ryžiai. 3.6 paaiškina kai kuriuos kelių padėčių kompleksinio signalo generavimo būdus. Tiksliau, čia M = 3.

Galima pastebėti, kad fizinė atskiro signalo išvaizda gali būti skirtinga.

Ryžiai. 3.6. Trijų padėčių kompleksinis signalas: a - amplitudės kodavimas; b - fazinis kodavimas

Tuo atveju simbolis atitinka teigiama vertė atitinkamoje padėtyje perduodamo vaizdo impulso aukštis; simbolis -1 atitinka neigiamą reikšmę - . Jie sako, kad šiuo atveju įgyvendinamas sudėtingo signalo amplitudinis kodavimas. B atveju įvyksta fazinis kodavimas. Norint perduoti +1 simbolį, atitinkamoje vietoje sukuriamas harmoninio signalo segmentas su nuline pradine faze. Kad būtų rodomas simbolis -1, naudojamas tos pačios trukmės ir dažnio sinusinės bangos segmentas, tačiau jo fazė perkeliama papildomai 180°.

Nepaisant šių dauh sigyalų grafikų skirtumų, iš esmės galima nustatyti visišką jų tapatumą matematinių modelių požiūriu. Iš tiesų, bet kurio tokio signalo modelis yra skaičių seka, kurioje kiekvienas simbolis turi vieną iš dviejų galimų reikšmių +1. Patogumo dėlei sutarsime ateityje tokią seką papildyti nuliais „tuščiose“ vietose, kur signalas neapibrėžtas. Pavyzdžiui, šiuo atveju išplėstinė diskretinio signalo rašymo forma (1 1, -1, 1) turės formą

Svarbiausia apdorojimo operacija diskretūs signalai susideda iš tokio signalo perkėlimo tam tikru pozicijų skaičiumi, palyginti su pradine padėtimi. keičiasi jo forma. Kaip pavyzdį žemiau pateiktas originalus signalas (pirmoji eilutė) ir jo kopijos (paskesnės eilutės), paslinktos 1, 2 ir 3 pozicijomis delsos link:

Diskreti autokoreliacijos funkcija.

Pabandykime apibendrinti formulę (3.15), kad galėtume apskaičiuoti diskrečiąjį ACF analogą kelių padėčių signalų atžvilgiu. Akivaizdu, kad integravimo operacija čia turėtų būti pakeista sumavimu, o vietoj kintamojo turėtų būti naudojamas sveikasis skaičius (teigiamas arba neigiamas), nurodantis, kiek pozicijų kopija pasislenka pirminio signalo atžvilgiu.

Kadangi matematiniame signalo modelyje „tuščiose“ pozicijose yra nuliai, diskrečiąjį ACF įrašome formoje

Ši sveikųjų skaičių argumentų funkcija, žinoma, jau turi daug žinomos savybėsįprasta autokoreliacijos funkcija. Taigi nesunku pastebėti, kad atskirasis ACF yra lygus:

Naudojant Bullet Shift, šis ACF nustato atskirojo signalo energiją:

Kai kurie pavyzdžiai.

Norėdami tai iliustruoti, apskaičiuokime trijų padėčių signalo atskirąjį ACF su tos pačios vertės kiekvienoje padėtyje: Parašykime šį signalą kartu su kopijomis, perkeltomis 1, 2 ir 3 pozicijomis:

Matyti, kad jau val lygus nuliui adresu . Apskaičiavę sumas, gauname

Autokoreliacijos funkcijos šoninės skiltys mažėja tiesiškai didėjant skaičiui ir panašiai kaip trijų analoginių vaizdo impulsų autokoreliacijos funkcijos atveju.

Panagrinėkime diskretišką signalą, kuris skiriasi nuo ankstesnio su skaičiavimo ženklu antroje padėtyje:

Panašiai apskaičiuojame šio signalo diskrečios autokoreliacijos funkcijos reikšmes:

Galima pastebėti, kad pirmoji šoninė skiltis keičia savo ženklą, išlikdama nepakitusi absoliučia verte.

Galiausiai apsvarstykite trijų padėčių diskretišką signalą su matematiniu formos modeliu

Jo autokoreliacijos funkcija yra:

Iš trijų čia tirtų diskrečiųjų signalų koreliacijos savybių požiūriu tobuliausias yra trečiasis, kadangi tokiu atveju realizuojamas žemiausio lygio autokoreliacijos funkcijos šoninės skiltys.

Barkerio signalai.

Diskretūs signalai, turintys geriausią autokoreliacijos funkcijos struktūrą, buvo intensyvių specialistų tyrimų objektas. teorinė radijo inžinerija ir taikomąją matematiką. Visos signalų klasės su tobulu koreliacinės savybės. Tarp jų labai išgarsėjo vadinamieji Barkerio signalai (kodai). Šie signalai turi unikalią savybę: nepriklausomai nuo padėties numerio M, jų autokoreliacijos funkcijų reikšmės, apskaičiuotos pagal (3.29) formulę, neviršija vienybės. Tuo pačiu metu šių signalų energija, ty vertė, yra skaitinė lygi M.

Barkerio signalai gali būti įgyvendinami tik tada, kai padėčių skaičius M = 2, 3, 4, 5, 7, 11 ir 13. Atvejis yra trivialus. Barkerio signalą ištyrėme ankstesnės pastraipos pabaigoje. Barkerio signalų matematiniai modeliai ir atitinkamos autokoreliacijos funkcijos pateikti lentelėje. 3.2.

3.2 lentelė Barkerio signalo modeliai

Iliustracijai pav. 3.7 paveiksle parodytas dažniausiai naudojamas 13 padėčių Barker signalas abiem kodavimo būdams, taip pat grafinis vaizdavimas jo ACF.

Ryžiai. 3.7. Barkerio signalas esant M = 13: a - amplitudės kodavimas; b - fazinis kodavimas; c - autokoreliacijos funkcija

Pabaigoje pažymėkime, kad šiame skyriuje atliktas kai kurių diskrečiųjų signalų savybių ir jų autokoreliacijos funkcijų tyrimas yra preliminaraus, įvadinio pobūdžio. Sistemingas šių klausimų tyrimas bus atliktas skyriuje. 15.

Signalų autokoreliacijos funkcijų samprata . Signalo s(t), kurio energija yra baigtinė, autokoreliacinė funkcija (CF - koreliacijos funkcija) yra kiekybinė integralinė signalo formos charakteristika, identifikuojanti signale visada vykstančio imčių tarpusavio laiko ryšio pobūdį ir parametrus. periodiniams signalams, taip pat skaitymo verčių intervalas ir priklausomybės laipsnis dabartines akimirkas laikas nuo dabartinės akimirkos priešistorės. ACF nustatomas dviejų signalo kopijų s(t) sandauga, pasislinkusių viena kitos atžvilgiu laiku :

B s () =s(t) s(t+) dt = ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)|| ||s(t+)|| cos (). (6.1.1)

Kaip matyti iš šios išraiškos, ACF yra signalo ir jo kopijos skaliarinė sandauga, funkcinė priklausomybė nuo poslinkio vertės  kintamosios reikšmės. Atitinkamai, ACF turi fizinį energijos matmenį, o esant  = 0, ACF vertė yra tiesiogiai lygi signalo energijai ir yra didžiausia įmanoma (signalo sąveikos su savimi kampo kosinusas yra lygus 1 ):

B s (0) = s(t) 2 dt = E s .

ACF reiškia lygines funkcijas, kurias lengva patikrinti pakeitus kintamąjį t = t- išraiškoje (6.1.1):

B s () = s(t-) s(t) dt = B s (-).

Maksimalus ACF, lygus energijai signalas, kai =0, visada yra teigiamas, o ACF modulis esant bet kokiai laiko poslinkio vertei neviršija signalo energijos. Pastaroji tiesiogiai išplaukia iš skaliarinės sandaugos savybių (kaip ir Koši-Bunyakovskio nelygybė):

ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+||cos (),

cos () = 1, kai  = 0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t)|| = E s ,

cos ()< 1 при   0, ás(t), s(t+)ñ = ||s(t)||||s(t+)||cos () < E s .

Kaip pavyzdys pav. 6.1.1 rodomi du signalai - stačiakampis impulsas ir tokios pat trukmės radijo impulsas T bei šiuos signalus atitinkančios jų ACF formos. Radijo impulsų svyravimų amplitudė nustatoma lygi
stačiakampio impulso amplitudės, o signalo energijos taip pat bus vienodos, o tai patvirtina vienodos ACF centrinių maksimumų vertės. Kai impulsų trukmė yra baigtinė, ACF trukmės taip pat yra baigtinės ir yra lygios dviguboms impulsų trukmėms (kai baigtinio impulso kopija pasislenka jo trukmės intervalu ir į kairę, ir į dešinę, impulso sandauga su jo kopija tampa lygi nuliui). Radijo impulso ACF virpesių dažnis yra lygus radijo impulso užpildymo virpesių dažniui (Šoniniai ACF minimumai ir maksimumai atsiranda kiekvieną kartą, nuosekliai keičiant radijo impulso kopiją per pusę periodo jo užpildymo virpesių).

Atsižvelgiant į paritetą, grafinis ACF vaizdavimas paprastai atliekamas tik esant teigiamoms  reikšmėms. Praktiškai signalai paprastai nurodomi teigiamų argumentų verčių intervale nuo 0-T. Ženklas + išraiškoje (6.1.1) reiškia, kad didėjant  reikšmėms, signalo s(t+) kopija pasislenka į kairę išilgai t ašies ir išeina už 0. Skaitmeniniams signalams tai reikia atitinkamai išplėsti duomenis į regioną neigiamos reikšmės argumentas. O kadangi atliekant skaičiavimus užduočių intervalas  dažniausiai būna didelis mažiau nei intervalas nurodant signalą, tada praktiškiau signalo kopiją perstumti į kairę išilgai argumento ašies, t.y. naudojant funkciją s(t-) vietoj s(t+) išraiškoje (6.1.1).

B s () = s(t) s(t-) dt. (6,1,1 colio)

Baigtinių signalų atveju, didėjant poslinkio  reikšmei, laikinas signalo sutapimas su jo kopija mažėja, todėl sąveikos kampo kosinusas ir visa skaliarinė sandauga linkę nuliui:

= 0.

ACF, apskaičiuotas iš centro signalo vertės s(t), yra autokovarija signalo funkcija:

C s () = dt, (6.1.2)

čia  s yra vidutinė signalo reikšmė. Kovariacijos funkcijos yra susijusios su koreliacinėmis funkcijomis gana paprastu ryšiu:

C s () = B s () -  s 2 .

Laike ribotų signalų ACF. Praktikoje dažniausiai tiriami ir analizuojami signalai, duodami per tam tikrą intervalą. Norint palyginti skirtingais laiko intervalais nurodytų signalų ACF, ACF modifikavimas su normalizavimu pagal intervalo ilgį yra praktiškai pritaikytas. Taigi, pavyzdžiui, nurodydami signalą intervale:

B s () =
s(t) s(t+) dt. (6.1.3)

ACF taip pat galima apskaičiuoti silpnai slopinamiems signalams su begalinė energija, kaip vidutinė signalo ir jo kopijos skaliarinės sandaugos vertė, kai signalo nustatymo intervalas linkęs į begalybę:

B s () 
. (6.1.4)

ACF pagal šias išraiškas turi fizinį galios matmenį ir yra lygus vidutinei signalo ir jo kopijos abipusei galiai, funkciškai priklausomai nuo kopijos poslinkio.

Periodinių signalų ACF. Periodinių signalų energija yra begalinė, todėl periodinių signalų ACF skaičiuojamas per vieną periodą T, suvidurkinant signalo skaliarinę sandaugą ir jo pasislinkusią kopiją per laikotarpį:

B s () = (1/T) s(t) s(t-) dt. (6.1.5)

Matematiškai griežtesnė išraiška:

B s () 
.

Esant =0, ACF vertė, normalizuota pagal periodą, yra lygi vidutinei signalų galiai per laikotarpį. Šiuo atveju periodinių signalų ACF yra periodinė funkcija su tuo pačiu periodu T. Taigi signalui s(t) = A cos( 0 t+ 0), kai T=2/ 0, turime:

B s () =
A cos( 0 t+ 0) A cos( 0 (t-)+ 0) = (A 2 /2) cos( 0 ). (6.1.6)

Autokoviacijos funkcijos (ACF) apskaičiuojami panašiai, naudojant centre išdėstytas signalo vertes. Nepaprastas šių funkcijų bruožas yra jų paprastas ryšys su signalų sklaida  s 2 (standarto kvadratas - standartinis signalo verčių nuokrypis nuo vidutinės vertės). Kaip žinoma, dispersijos vertė yra lygi vidutinei signalo galiai, kuri yra tokia:

|C s ()| ≤  s 2, C s (0) =  s 2  ||s(t)|| 2. (6.1.7)

FAC reikšmės, normalizuotos pagal dispersijos vertę, yra autokoreliacijos koeficientų funkcija:

 s () = C s ()/C s (0) = C s ()/ s 2  cos ). (6.1.8)

Ši funkcija kartais vadinama „tikra“ autokoreliacijos funkcija. Dėl normalizavimo jo reikšmės nepriklauso nuo signalo reikšmių s(t) vaizdavimo vienetų (skalės) ir apibūdina tiesinio ryšio tarp signalo verčių laipsnį, priklausomai nuo poslinkio  tarp signalų dydžio. pavyzdžiai.  s ()  cos () reikšmės gali skirtis nuo 1 (visiška tiesioginė mėginių koreliacija) iki -1 (atvirkštinė koreliacija).

Fig. 6.1.3 parodytas signalų s(k) ir s1(k) = s(k)+triukšmas pavyzdys su FAK koeficientais, atitinkančiais šiuos signalus -  s ir  s1. Kaip matyti iš grafikų, FAK užtikrintai atskleidė buvimą periodiniai svyravimai signaluose. Triukšmas signale s1(k) sumažino periodinių virpesių amplitudę, nekeičiant periodo. Tai patvirtina kreivės C s / s 1 grafikas, t.y. Signalo s(k) FAC su normalizavimu (palyginimui) su signalo sklaidos reikšme s1(k), kur aiškiai matyti, kad triukšmo impulsai, visiškai statistiškai nepriklausomi nuo jų rodmenų, padidino signalo vertę. C s1 (0), palyginti su C s ( 0) reikšme, ir šiek tiek „išliejo“ autokovaiacijos koeficientų funkciją. Taip yra dėl to, kad triukšmo signalų vertė  s () linkusi į 1 ties   0 ir svyruoja apie nulį, kai  ≠ 0, o svyravimų amplitudės yra statistiškai nepriklausomos ir priklauso nuo signalų imčių skaičiaus ( didėjant mėginių skaičiui, jie linkę į nulį).

Diskrečiųjų signalų ACF. Esant duomenų atrankos intervalui t = const, ACF skaičiavimas atliekamas intervalais  = t ir paprastai rašomas kaip diskrečioji imties poslinkio n skaičių n funkcija:

B s (nt) = t s k s k-n . (6.1.9)

Diskretieji signalai dažniausiai nurodomi tam tikro ilgio skaitinių masyvų pavidalu, kurių imties numeracija k = 0,1,...K, kai t=1, o diskrečiųjų ACF skaičiavimas energijos vienetais atliekamas vienpuse versija. , atsižvelgiant į masyvų ilgį. Jei naudojamas visas signalų masyvas ir ACF pavyzdžių skaičius yra lygus masyvo pavyzdžių skaičiui, tada skaičiavimas atliekamas pagal formulę:

B s (n) =
s k s k-n . (6.1.10)

Daugiklis K/(K-n) šioje funkcijoje yra pataisos koeficientas laipsniškam padaugintų ir sumuojamų reikšmių skaičiaus mažėjimui didėjant poslinkiui n. Be šios necentruotų signalų pataisos, ACF vertėse atsiranda vidutinių verčių sumavimo tendencija. Matuojant signalo galios vienetais, daugiklis K/(K-n) pakeičiamas daugikliu 1/(K-n).

Formulė (6.1.10) naudojama gana retai, daugiausia deterministiniams signalams su nedideliu imčių skaičiumi. Atsitiktinių ir triukšmingų signalų atveju vardiklio (K-n) ir padaugintų imčių skaičiaus sumažėjimas, kai poslinkis didėja, padidina statistinius ACF skaičiavimo svyravimus. Didesnis patikimumas šiomis sąlygomis užtikrinamas apskaičiuojant ACF signalo galios vienetais pagal formulę:

B s (n) = s k s k-n, s k-n = 0 ties k-n< 0, (6.1.11)

tie. su normalizavimu iki pastovaus koeficiento 1/K ir su signalo išplėtimu nulinėmis reikšmėmis (in kairė pusė pamainoms k-n arba in dešinioji pusė kai naudojami k+n poslinkiai). Šis įvertinimas yra šališkas ir turi šiek tiek mažesnę sklaidą nei pagal (6.1.10) formulę. Skirtumas tarp normalizacijų pagal (6.1.10) ir (6.1.11) formules aiškiai matomas pav. 6.1.4.

Formulė (6.1.11) gali būti laikoma produktų sumos vidurkiu, t.y. kaip matematinio lūkesčio įvertinimas:

B s (n) = M(s k s k - n ) 
. (6.1.12)

Praktiškai diskrečioji AKF turi tokias pačias savybes kaip ir nuolatinis ACF. Jis taip pat yra lygus, o jo reikšmė esant n = 0 yra lygi diskrečiojo signalo energijai arba galiai, priklausomai nuo normalizavimo.

Triukšmingų signalų ACF . Triukšmingas signalas rašomas kaip suma v(k) = s(k)+q(k). IN bendras atvejis, triukšmo vidutinė vertė neturi būti nulinė, o skaitmeninio signalo, kuriame yra N - pavyzdžių, galios normalizuotos autokoreliacijos funkcija parašyta tokia forma:

B v (n) = (1/N) s(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n) =

= (1/N) [s(k), s(k-n) + s(k), q(k-n) + q(k), s(k-n) + q(k), q (k-n)] =

B s (n) + M(s k q k-n ) + M(q k s k-n ) + M(q k q k-n ).

B v (n) = B s (n) +
+
+
. (6.1.13)

Esant statistinei naudingojo signalo s(k) ir triukšmo q(k) nepriklausomybei, atsižvelgiant į matematinio lūkesčio išplėtimą

M(s k q k-n ) = M(s k ) M(q k-n ) =

galima naudoti šią formulę:

B v (n) = B s (n) + 2 + . (6.1.13")

Iš formulių (6.1.13) matyti, kad triukšmingo signalo ACF sudaro naudingojo signalo signalo komponento ACF su uždėtu slopinimo komponentu iki 2 vertės. +triukšmo funkcija. At didelės vertės K kada → 0, galioja B v (n)  B s (n). Tai leidžia ne tik atpažinti periodinius signalus iš ACF, kurie beveik visiškai paslėpti triukšme (triukšmo galia yra daug didesnė už signalo galią), bet ir labai tiksliai nustatyti jų periodą ir formą per laikotarpį, vieno dažnio harmoniniams signalams – jų amplitudė naudojant išraiškas (6.1.6).

6.1 lentelė.