Mokytojai mano, kad kiekvienas mokinys turėtų mokėti atlikti skaičiavimus ir žinoti trigonometrines formules, tačiau ne kiekvienas mokytojas paaiškina, kas yra sinusas ir kosinusas. Kokia jų reikšmė, kur jie naudojami? Kodėl mes kalbame apie trikampius, o vadovėlyje rodomas apskritimas? Pabandykime sujungti visus faktus.
Mokyklinis dalykas
Trigonometrijos studijos dažniausiai pradedamos 7-8 klasėse vidurinę mokyklą. Šiuo metu mokiniams paaiškinama, kas yra sinusas ir kosinusas, ir jų prašoma išspręsti geometrinės problemos naudojant šias funkcijas. Daugiau pasirodys vėliau sudėtingos formulės ir posakius, kurių reikia algebriškai transformuoti (dvigubo ir pusės kampo formulės, galios funkcijos), darbas atliekamas su trigonometriniu apskritimu.
Tačiau mokytojai ne visada gali aiškiai paaiškinti vartojamų sąvokų reikšmę ir formulių pritaikomumą. Todėl studentas dažnai nemato prasmės šiame dalyke, o įsiminta informacija greitai pasimiršta. Tačiau verta vieną kartą gimnazistui paaiškinti, pavyzdžiui, ryšį tarp funkcijos ir svyruojantis judėjimas, o loginis ryšys bus prisimintas daugelį metų, o juokeliai apie temos nenaudingumą taps praeitimi.
Naudojimas
Įdomumo dėlei pažvelkime į įvairias fizikos šakas. Ar norite nustatyti sviedinio nuotolią? O gal skaičiuojate trinties jėgą tarp objekto ir tam tikro paviršiaus? Siūbuoti švytuoklę, stebėti pro stiklą sklindančius spindulius, skaičiuoti indukciją? Jie atsiranda beveik bet kurioje formulėje trigonometrinės sąvokos. Taigi, kas yra sinusas ir kosinusas?
Apibrėžimai
Kampo sinusas – tai priešingos kraštinės santykis su hipotenuze, kosinusas – gretimos kraštinės ir tos pačios hipotenuzės santykis. Čia visiškai nieko sudėtingo. Galbūt mokinius dažniausiai glumina prasmės, kuriose jie mato trigonometrinė lentelė, nes ten atsiranda kvadratinės šaknys. Taip, iš jų gauti po kablelio skaičių nėra labai patogu, bet kas sakė, kad visi skaičiai matematikoje turi būti lygūs?
Tiesą sakant, trigonometrijos uždavinių knygose galite rasti juokingą užuominą: dauguma atsakymų čia yra lygūs ir, blogiausiu atveju, turi dviejų ar trijų šaknį. Išvada paprasta: jei jūsų atsakymas yra „daugiaaukštė“ trupmena, dar kartą patikrinkite, ar sprendime nėra klaidų skaičiavimuose ar samprotavimuose. Ir greičiausiai juos rasite.
Ką prisiminti
Kaip ir bet kuris mokslas, trigonometrija turi duomenų, kuriuos reikia išmokti.
Pirmiausia turėtumėte įsiminti stačiojo trikampio sinusų, kosinusų 0 ir 90, taip pat 30, 45 ir 60 laipsnių skaitines reikšmes. Šie rodikliai pasitaiko devyniems iš dešimties mokyklos uždaviniai. Žiūrėdami į šias reikšmes vadovėlyje, prarasite daug laiko, o per testą ar egzaminą nebus kur į jas žiūrėti.
Reikia atsiminti, kad abiejų funkcijų reikšmė negali viršyti vienos. Jei kur nors savo skaičiavimuose gaunate vertę, esančią už 0–1 diapazono, sustokite ir bandykite dar kartą išspręsti problemą.
Sinuso ir kosinuso kvadratų suma lygi vienetui. Jei jau radote vieną iš reikšmių, naudokite šią formulę, kad rastumėte likusią.
Teoremos
Pagrindinėje trigonometrijoje yra dvi pagrindinės teoremos: sinusai ir kosinusai.
Pirmasis teigia, kad kiekvienos trikampio kraštinės ir priešingo kampo sinuso santykis yra vienodas. Antrasis yra tai, kad bet kurios kraštinės kvadratą galima gauti sudėjus dviejų likusių kraštinių kvadratus ir atėmus jų dvigubą sandaugą, padaugintą iš kampo, esančio tarp jų, kosinuso.
Taigi, jei kosinuso teoremą pakeisime 90 laipsnių kampo reikšmę, gausime... Pitagoro teoremą. Dabar, jei jums reikia apskaičiuoti figūros, kuri nėra stačiakampis, plotą, jums nebereikia jaudintis - dvi aptartos teoremos žymiai supaprastins problemos sprendimą.
Tikslai ir uždaviniai
Mokytis trigonometrijos taps daug lengviau, kai suvoksite vieną paprastą faktą: visi jūsų atliekami veiksmai yra skirti tik vienam tikslui pasiekti. Bet kokius trikampio parametrus galite rasti, jei žinote apie jį minimalią informaciją - tai gali būti vieno kampo reikšmė ir dviejų kraštinių ilgis arba, pavyzdžiui, trys kraštinės.
Norint nustatyti bet kurio kampo sinusą, kosinusą, tangentą, pakanka šių duomenų, o jų pagalba galite lengvai apskaičiuoti figūros plotą. Beveik visada atsakymui reikalinga viena iš minėtų reikšmių, ir jas galima rasti naudojant tas pačias formules.
Mokymosi trigonometrijos neatitikimai
Vienas iš mįslingų klausimų, kurių moksleiviai mieliau vengia, yra ryšio tarp jų atradimas skirtingos sąvokos trigonometrijoje. Atrodytų, kad trikampiai naudojami kampų sinusams ir kosinusams tirti, tačiau kažkodėl simboliai dažnai randami figūroje su apskritimu. Be to, yra visiškai nesuprantamas į bangas panašus grafikas, vadinamas sinusine banga, kuris išoriškai nepanašus nei į apskritimą, nei su trikampiais.
Be to, kampai matuojami arba laipsniais, arba radianais, o skaičius Pi, parašytas tiesiog kaip 3,14 (be vienetų), kažkodėl pasirodo formulėse, atitinkančiose 180 laipsnių. Kaip visa tai susiję?
Matavimo vienetai
Kodėl Pi yra būtent 3.14? Ar prisimeni, ką tai reiškia? Tai yra spindulių, telpančių pusės apskritimo lanke, skaičius. Jei apskritimo skersmuo yra 2 centimetrai, apskritimas bus 3,14 * 2 arba 6,28.
Antras punktas: galbūt pastebėjote žodžių „radianas“ ir „spindulys“ panašumą. Faktas yra tas, kad vienas radianas yra skaitinis lygi vertei kampas, nukreiptas nuo apskritimo centro į vieno spindulio lanką.
Dabar sujungsime įgytas žinias ir suprasime, kodėl trigonometrijoje koordinačių ašies viršuje parašyta „Pi per pusę“, o kairėje – „Pi“. Tai kampinis dydis, matuojamas radianais, nes puslankis yra 180 laipsnių arba 3,14 radiano. O kur laipsniai, ten sinusai ir kosinusai. Lengva nubrėžti trikampį iš norimo taško, atkarpas dedant link centro ir ant koordinačių ašies.
Pažvelkime į ateitį
Trigonometrija, mokoma mokykloje, nagrinėja tiesią koordinačių sistemą, kurioje, kad ir kaip keistai tai skambėtų, tiesi linija yra tiesi.
Bet yra ir daugiau sudėtingais būdais darbas su erdve: trikampio kampų suma čia bus didesnė nei 180 laipsnių, o tiesė mūsų požiūriu atrodys kaip tikras lankas.
Nuo žodžių pereikime prie veiksmų! Paimk obuolį. Padarykite tris pjūvius peiliu, kad žiūrint iš viršaus gautumėte trikampį. Išimkite gautą obuolio gabalėlį ir pažiūrėkite į "šonkaulius", kur baigiasi žievelė. Jie visai netiesi. Jūsų rankose esantys vaisiai gali būti vadinami apvaliais, bet dabar įsivaizduokite, kokios sudėtingos turi būti formulės, pagal kurias galite rasti nupjauto gabalo plotą. Tačiau kai kurie specialistai tokias problemas sprendžia kiekvieną dieną.
Trigonometrinės funkcijos gyvenime
Ar pastebėjote, kad trumpiausias lėktuvo maršrutas iš taško A į tašką B mūsų planetos paviršiuje turi ryškią lanko formą? Priežastis paprasta: Žemė yra sferinė, o tai reiškia, kad naudojant trikampius negalite daug apskaičiuoti - turite naudoti sudėtingesnes formules.
Jokiuose su erdve susijusiuose klausimuose neapsieisite be smailiojo kampo sinuso/kosinuso. Įdomu tai, kad čia susijungia labai daug faktorių: skaičiuojant planetų judėjimą apskritimais, elipsėmis ir įvairiomis trajektorijomis reikalingos trigonometrinės funkcijos. sudėtingos formos; raketų, palydovų, šaudyklių paleidimo, tyrimų transporto priemonių atjungimo procesas; stebėjimas tolimos žvaigždės ir galaktikų, kurių žmonės negalės pasiekti artimiausioje ateityje, tyrimas.
Apskritai trigonometriją išmanančio žmogaus veiklos laukas labai platus ir, matyt, laikui bėgant tik plėsis.
Išvada
Šiandien sužinojome ar bent pakartojome, kas yra sinusas ir kosinusas. Tai yra sąvokos, kurių nereikia bijoti – tiesiog norėkite jų ir suprasite jų reikšmę. Atminkite, kad trigonometrija nėra tikslas, o tik įrankis, kuriuo galima patenkinti realybę žmogaus poreikius: statyti namus, užtikrinti eismo saugumą, net tyrinėti visatos platybes.
Iš tiesų, pats mokslas gali atrodyti nuobodus, bet kai tik jame rasite būdą, kaip pasiekti savo tikslus ir save realizuoti, mokymosi procesas taps įdomus, padidės asmeninė motyvacija.
Kaip namų darbai Pabandykite rasti būdų, kaip pritaikyti trigonometrines funkcijas jums asmeniškai įdomioje veiklos srityje. Įsivaizduokite, pasitelkite fantaziją ir tuomet tikriausiai pastebėsite, kad naujos žinios jums pravers ateityje. Be to, matematika yra naudinga bendras vystymasis mąstymas.
Viena iš matematikos sričių, su kuria mokiniai kovoja labiausiai, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint sklandžiai įsisavinti šią žinių sritį, reikia turėti erdvinis mąstymas, gebėjimas pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas, mokėti naudoti pi skaičiavimuose. Be to, įrodinėdami teoremas turite mokėti naudoti trigonometriją, o tam reikia arba matematinė atmintis, arba gebėjimas išvesti sudėtingas logines grandines.
Trigonometrijos ištakos
Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia turite suprasti, ką apskritai daro trigonometrija.
Istoriškai pagrindinis šio skyriaus tyrimo objektas matematikos mokslas buvo statūs trikampiai. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti pastatų statyboje, navigacijoje, astronomijoje ir net mene.
Pradinis etapas
Iš pradžių žmonės apie kampų ir kraštinių santykį kalbėjo tik stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti naudojimo ribas kasdienybėši matematikos šaka.
Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių mokiniai panaudoja įgytas fizikos žinias ir spręsdami abstrakčias problemas. trigonometrines lygtis, darbas su kuriuo prasideda vidurinėje mokykloje.
Sferinė trigonometrija
Vėliau, kai mokslas pasiekė kitą išsivystymo lygį, formulės su sinusu, kosinusu, liestine ir kotangentu pradėtos naudoti sferinėje geometrijoje, kur galioja skirtingos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Šis skyrius mokykloje nesimokoma, bet apie jos egzistavimą būtina žinoti bent jau todėl žemės paviršiaus, o bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus trimatė erdvė"lanko formos".
Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Tokias formas nagrinėja sferinė geometrija, kuri naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.
Statusis trikampis
Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.
Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Jis yra ilgiausias. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jos skaitinė reikšmė lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.
Pavyzdžiui, jei abi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.
Dvi likusios pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma yra stačiakampė sistema koordinatės yra 180 laipsnių.
Apibrėžimas
Galiausiai, tvirtai suvokus geometrinį pagrindą, galima pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimo.
Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kraštinės ir hipotenuzės santykis.
Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia, nesvarbu, kokia yra koja, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, o tai reiškia, kad jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į užduotį gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas yra aiškiai neteisingas.
Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Padalijus sinusą iš kosinuso gausime tą patį rezultatą. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padaliname iš hipotenuzės, tada padalijame iš antrosios kraštinės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį ryšį kaip ir tangento apibrėžime.
Atitinkamai, kotangentas yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalydami iš liestinės.
Taigi, mes pažvelgėme į apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime pereiti prie formulių.
Paprasčiausios formulės
Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Bet kaip tik to ir reikia sprendžiant problemas.
Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau sutaupo laiko, jei reikia žinoti kampo dydį, o ne šoną.
Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienai, padalytai iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: tai tas pats teiginys kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, paprastas matematinis veiksmas atlieka trigonometrinė formulė visiškai neatpažįstamas. Atsiminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konversijos taisyklės ir kelios pagrindinės formulės Bet kuriuo metu galite patys išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.
Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas
Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie pateikti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.
Taip pat formoje yra formulių, susijusių su argumentais dvigubas kampas. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių – kaip treniruotę pabandykite juos gauti patys, imdami alfa kampą lygus kampui beta versija.
Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima pertvarkyti, kad būtų sumažinta sinuso, kosinuso, tangento alfa galia.
Teoremos
Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.
Sinuso teorema teigia, kad kiekvienos trikampio kraštinės ilgį padalijus iš priešingo kampo, gauname tas pats numeris. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžtojo apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.
Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš gretimo kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.
Neatsargios klaidos
Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, pažvelkime į populiariausias.
Pirma, neturėtumėte konvertuoti trupmenų į dešimtaines, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip bendroji trupmena, jei sąlygose nenurodyta kitaip. Tokios transformacijos negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atsiminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, autoriaus sumanymu, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite savo laiką be reikalo matematines operacijas. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų arba dviejų šaknis, nes jos randamos kiekviename žingsnyje problemose. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir pademonstruosite visišką dalyko nesupratimą. Tai blogiau nei neatsargus klaida.
Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Prisiminkite šias vertes, nes sinusas yra 30 laipsnių lygus kosinusui 60 metų ir atvirkščiai. Juos nesunku supainioti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.
Taikymas
Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos praktinės reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai yra sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimos žvaigždės, prognozuoti meteorito kritimą, išsiųsti tyrimų zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo muzikos iki medicinos.
Apibendrinant
Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.
Visa trigonometrijos esmė yra ta, kad naudojant žinomus trikampio parametrus reikia apskaičiuoti nežinomus. Iš viso yra šeši parametrai: ilgis tris puses ir trijų kampų dydžiai. Vienintelis skirtumas tarp užduočių yra tas, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.
Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, tangentą pagal žinomus kojų arba hipotenuzės ilgius. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis tikslas trigonometrinė problema yra paprastos lygties arba lygčių sistemos šaknų radimas. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.
Kai buvo svarstomos stačiojo trikampio sprendimo problemos, pažadėjau pateikti sinuso ir kosinuso apibrėžimų įsiminimo techniką. Naudodamiesi juo, visada greitai prisiminsite, kuri pusė priklauso hipotenuzei (greta ar priešinga). Nusprendžiau to per ilgai neatidėlioti, reikalingos medžiagosžemiau, perskaitykite 😉
Faktas yra tas, kad aš ne kartą pastebėjau, kaip 10–11 klasių mokiniai sunkiai prisimena šiuos apibrėžimus. Jie labai gerai prisimena, kad koja nurodo hipotenuzą, bet kurią- jie pamiršta ir sutrikęs. Klaidos kaina, kaip žinote per egzaminą, yra prarastas taškas.
Informacija, kurią pateiksiu tiesiogiai, neturi nieko bendra su matematika. Ji yra susijusi su vaizduotės mąstymas, ir verbalinės-loginės komunikacijos metodais. Kaip tik taip ir prisimenu, kartą ir visiems laikamsapibrėžimo duomenis. Jei pamiršite juos, visada galėsite lengvai juos prisiminti naudodami pateiktus metodus.
Leiskite man priminti sinuso ir kosinuso apibrėžimus stačiakampiame trikampyje:
Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:
Taigi, kokios asociacijos jums kyla su žodžiu kosinusas?
Turbūt kiekvienas turi savo 😉Prisiminkite nuorodą:
Taigi išraiška iškart atsiras jūsų atmintyje -
«… GRĮTINĖS kojos ir hipotenuzės santykis».
Kosinuso nustatymo problema buvo išspręsta.
Jei reikia atsiminti sinuso apibrėžimą stačiakampyje, tada prisimindami kosinuso apibrėžimą galite lengvai nustatyti, kad stačiakampio trikampio smailaus kampo sinusas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis. Juk yra tik dvi kojos, jei gretima koja „užima“ kosinusu, tai su sinusu lieka tik priešinga kojelė.
O tangentas ir kotangentas? Sumišimas tas pats. Mokiniai žino, kad tai yra kojų santykis, tačiau problema yra atsiminti, kuri iš jų nurodo – ar priešinga gretimai, ar atvirkščiai.
Apibrėžimai:
Tangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
Kotangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis:
Kaip atsiminti? Yra du būdai. Vienas taip pat naudoja žodinį-loginį ryšį, kitas – matematinį.
MATEMATINIS METODAS
Yra toks apibrėžimas - smailaus kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:
*Išmokę formulę atmintinai, visada galite nustatyti, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.
Taip pat.Smailiojo kampo kotangentas yra kampo kosinuso ir jo sinuso santykis:
Taigi! Prisimindami šias formules visada galite nustatyti, kad:
- stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kraštinės ir gretimos santykis
— stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentas yra gretimos kraštinės ir priešingos kraštinės santykis.
ŽODŽIO-LOGINIS METODAS
Apie tangentą. Prisiminkite nuorodą:
Tai yra, jei jums reikia prisiminti liestinės apibrėžimą, naudodami šį loginį ryšį, galite lengvai prisiminti, kas tai yra
„... priešingos pusės ir gretimos pusės santykis“
Jei mes kalbame apie kotangentą, tada prisimindami liestinės apibrėžimą galite lengvai išsakyti kotangento apibrėžimą -
„... gretimos pusės ir priešingos pusės santykis“
Svetainėje yra įdomus triukas, kaip prisiminti tangentą ir kotangentą " Matematinis tandemas " , žiūrėk.
UNIVERSALUS METODAS
Galite tiesiog įsiminti.Tačiau, kaip rodo praktika, žodinių-loginių ryšių dėka žmogus ilgą laiką atsimena informaciją, o ne tik matematinę.
Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Sinusas Stačiojo trikampio smailusis kampas α yra santykis priešinga koja iki hipotenuzės.
Jis žymimas taip: sin α.
Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas α yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Jis žymimas taip: cos α.
Tangentas smailusis kampas α yra priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.
Jis žymimas taip: tg α.
Kotangentas smailusis kampas α yra gretimos ir priešingos pusės santykis.
Jis žymimas taip: ctg α.
Kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas priklauso tik nuo kampo dydžio.
Taisyklės:
Pagrindinis trigonometrinės tapatybės stačiakampiame trikampyje:
(α – smailus kampas, priešingas kojai b ir greta kojos a . Šoninė Su – hipotenuzė. β – antrasis smailusis kampas).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
Didėjant smailiam kampuisin α irįdegio α padidėjimas, ircos α mažėja.
Bet kuriam smailiam kampui α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Pavyzdys-paaiškinimas:
Įtraukite stačiakampį trikampį ABC
AB = 6,
BC = 3,
kampas A = 30º.
Išsiaiškinkime kampo A sinusą ir kampo B kosinusą.
Sprendimas.
1) Pirmiausia randame kampo B reikšmę. Čia viskas paprasta: kadangi stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma yra 90º, tada kampas B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Apskaičiuokime nuodėmę A. Žinome tą sinusą lygus santykiui priešinga hipotenuzės pusė. Kampui A priešinga pusė yra kraštinė BC. Taigi:
BC 31
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Dabar apskaičiuokime cos B. Žinome, kad kosinusas yra lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Dėl kampo B gretima koja vis dar yra ta pati saulės pusė. Tai reiškia, kad vėl turime padalyti BC iš AB - tai yra, atlikti tuos pačius veiksmus, kaip ir skaičiuojant kampo A sinusą:
BC 31
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultatas yra:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iš to išplaukia, kad stačiakampiame trikampyje vieno smailiojo kampo sinusas yra lygus kito smailiojo kampo kosinusui ir atvirkščiai. Būtent tai reiškia dvi mūsų formulės:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Dar kartą tuo įsitikinkime:
1) Tegul α = 60º. Pakeitę α reikšmę į sinuso formulę, gauname:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Tegul α = 30º. Pakeitę α reikšmę kosinuso formulėje, gauname:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Daugiau informacijos apie trigonometriją rasite skyriuje Algebra)
Kosinusas yra gerai žinomas trigonometrinė funkcija, kuri taip pat yra viena iš pagrindinių trigonometrijos funkcijų. Kampo kosinusas trikampyje stačiakampio tipo yra gretimos trikampio kraštinės ir trikampio hipotenuzės santykis. Dažniausiai kosinuso apibrėžimas siejamas su stačiakampio tipo trikampiu. Tačiau taip pat atsitinka, kad kampas, kuriam reikia apskaičiuoti kosinusą stačiakampiame trikampyje, nėra šiame labai stačiakampiame trikampyje. Ką tada daryti? Kaip rasti trikampio kampo kosinusą?
Jei reikia apskaičiuoti stačiakampio trikampio kampo kosinusą, tada viskas yra labai paprasta. Jums tereikia prisiminti kosinuso apibrėžimą, kuriame yra šios problemos sprendimas. Jums tereikia rasti tą patį ryšį tarp gretimos kraštinės ir trikampio hipotenuzės. Išties čia nesunku išreikšti kampo kosinusą. Formulė yra tokia: - cosα = a/c, čia "a" yra kojos ilgis, o pusė "c" yra atitinkamai hipotenuzės ilgis. Pavyzdžiui, naudojant šią formulę galima rasti stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusą.
Jei jus domina, koks yra kampo kosinusas savavališkas trikampis, tada į pagalbą ateina kosinuso teorema, kurią verta panaudoti panašių atvejų. Kosinuso teorema teigia, kad trikampio kraštinės kvadratas yra a priori lygi sumai likusių to paties trikampio kraštinių kvadratai, bet be šių kraštinių dvigubos sandaugos iš kampo, esančio tarp jų, kosinuso.
- Jei reikia rasti trikampio smailiojo kampo kosinusą, tuomet reikia naudoti tokią formulę: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
- Jei reikia rasti kosinusą trikampyje bukas kampas, tuomet reikia naudoti tokią formulę: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Formulės žymėjimai - a ir b - yra kraštinių, esančių greta norimo kampo, ilgiai, c - kraštinės, esančios priešingos norimam kampui, ilgis.
Kampo kosinusą taip pat galima apskaičiuoti naudojant sinuso teoremą. Jame teigiama, kad visos trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams. Naudodami sinusų teoremą, galite apskaičiuoti likusius trikampio elementus, turėdami informaciją tik apie dvi kraštines ir kampą, kuris yra priešingas vienai kraštinei, arba iš dviejų kampų ir vienos kraštinės. Apsvarstykite tai su pavyzdžiu. Problemos sąlygos: a=1; b = 2; c=3. Kampas, kuris yra priešingas kraštinei „A“, žymimas α, tada pagal formules gauname: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Atsakymas: 1.
Jei kampo kosinusą reikia skaičiuoti ne trikampyje, o kokiame nors kitame savavališkame geometrinė figūra, tada viskas tampa šiek tiek sudėtingesnė. Pirmiausia reikia nustatyti kampo dydį radianais arba laipsniais, o tik tada iš šios reikšmės skaičiuoti kosinusą. Kosinusas pagal skaitinė reikšmė nustatoma naudojant Bradis lenteles, inžineriniai skaičiuotuvai arba specialiomis matematinėmis programomis.
Specialios matematinės programos gali turėti tokias funkcijas kaip automatinis kampų kosinusų apskaičiavimas tam tikroje figūroje. Tokių programų pranašumas yra tas, kad jos pateikia teisingą atsakymą, o vartotojas negaišta laiko spręsdamas tai, kas kartais yra gana sudėtingos užduotys. Kita vertus, kada nuolatinis naudojimas išimtinai taikomosios problemos sprendimo programos, prarandami visi įgūdžiai dirbti su sprendimu matematines problemas rasti trikampių kampų kosinusus, taip pat kitas savavališkas figūras.
