Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Vieno ir kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas

Naująjį skaičiavimą kaip sistemą visiškai sukūrė Niutonas, tačiau jis ilgam laikui savo atradimų nepaskelbė.

Oficialia diferencialinio skaičiavimo gimimo data galima laikyti gegužę, kai Leibnicas paskelbė savo pirmąjį straipsnį « Naujas metodas pakilimai ir nuosmukiai...". Šiame straipsnyje glausta ir neprieinama forma išdėstyti naujo metodo, vadinamo diferencialiniu skaičiavimu, principai.

Leibnicas ir jo mokiniai

Šie apibrėžimai paaiškinti geometriškai, o Fig. be galo maži prieaugiai vaizduojami kaip baigtiniai. Svarstymas grindžiamas dviem reikalavimais (aksiomomis). Pirmas:

Reikalaujama, kad du dydžiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik be galo mažu dydžiu, [supaprastinant išraiškas?] gali būti imami abejingai vienas vietoj kito.

Iš čia paaiškėja x + dx = x , Toliau

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

Kiekvienos tokios linijos tęsinys vadinamas kreivės liestine. Per tašką einančios liestinės nagrinėjimas M = (x,y) , L'Hopital didelę reikšmę skiria dydžiui

pasiekus kraštutines vertes kreivės vingio taškuose, santykis dyĮ dx neteikiama ypatingos reikšmės.

Pažymėtina, kad reikia rasti ekstremalių taškų. Jei, nuolat didėjant skersmeniui x ordinatės y iš pradžių didėja, o paskui mažėja, tada skirtumas dy pirmasis teigiamas, palyginti su dx, o tada neigiamas.

Bet bet kokia nuolat didėjanti ar mažėjanti reikšmė negali virsti iš teigiamos į neigiamą nepraeidama begalybės ar nulio... Iš to išplaukia, kad didžiausios ir mažiausios reikšmės skirtumas turi būti lygus nuliui arba begalybei.

Ši formuluotė tikriausiai nėra nepriekaištinga, jei prisiminsime pirmąjį reikalavimą: tarkime, y = x 2 , tada pagal pirmąjį reikalavimą

ties nuliu dešinioji dalis yra lygus nuliui, bet kairysis nėra. Matyt, taip ir reikėjo pasakyti dy gali būti transformuojamas pagal pirmąjį reikalavimą taip, kad didžiausiame taške dy= 0. . Pavyzdžiuose viskas savaime aišku, ir tik vingio taškų teorijoje L'Hopital rašo, kad dy lygus nuliui didžiausiame taške, dalijant iš dx .

Toliau, naudojant tik skirtumus, suformuluojamos ekstremalios sąlygos ir daug sudėtingos užduotys, daugiausia susijęs su diferencine geometrija plokštumoje. Knygos pabaigoje, skyriuje. 10, išdėstyta tai, kas dabar vadinama L'Hopital taisyklė, nors ir gana neįprasta forma. Tegul ordinatės dydis y kreivė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis išnyksta kada x = a. Tada kreivės taškas su x = a turi ordinatę y , lygus santykiui skaitiklio skirtumas į vardiklio skirtumą, paimtas at x = a .

Pagal L'Hôpital planą, tai, ką jis parašė, sudarė pirmąją analizės dalį, o antrojoje turėjo būti integralinis skaičiavimas, tai yra būdas rasti ryšį tarp kintamųjų, remiantis žinomu jų diferencialų ryšiu. Pirmąjį jo pristatymą skaitė Johanas Bernoulli Matematinės paskaitos apie integralinį metodą. Čia yra daugumos priėmimo metodas elementarieji integralai ir daugelio sprendimo būdų diferencialines lygtis Pirmas užsakymas.

Euleris

Per kitą pusę amžiaus įvykę pokyčiai atsispindi plačiame Eulerio traktate. Analizės pristatymas atidaro dviejų tomų „Įvadą“, kuriame pateikiami tyrimai apie įvairios reprezentacijos elementarios funkcijos. Sąvoka „funkcija“ pirmą kartą pasirodė tik Leibnize, tačiau Euleris jį pirmiausia įtraukė. Pradinis funkcijos sąvokos aiškinimas buvo toks, kad funkcija yra skaičiavimo išraiška (vok. Rechnungsausdrϋck) arba analitinė išraiška .

Funkcija kintamas kiekis yra analitinė išraiška, tam tikru būdu sudaryta iš šio kintamo dydžio ir skaičių arba pastovių dydžių.

Pabrėždamas, kad „pagrindinis skirtumas tarp funkcijų slypi tame, kaip jos sudaromos iš kintamųjų ir konstantų“, Euleris išvardija veiksmus, „kuriuos dydžius galima derinti ir maišyti vienas su kitu; šie veiksmai yra: sudėties ir atimties, daugybos ir padalijimo, eksponencijos didinimas ir šaknų ištraukimas; Tai taip pat turėtų apimti [algebrinių] lygčių sprendimą. Be šių operacijų, vadinamų algebrinėmis, yra daugybė kitų transcendentinių operacijų, tokių kaip eksponentinė, logaritminė ir daugybė kitų, pateiktų integraliniu skaičiavimu. Šis aiškinimas leido lengvai valdyti daugiareikšmes funkcijas ir nereikėjo paaiškinti, kurio lauko funkcija buvo svarstoma: skaičiavimo išraiška buvo apibrėžta sudėtingoms kintamųjų reikšmėms, net jei tai nebuvo būtina sprendžiant problemą. svarstymas.

Operacijos išraiškoje buvo leidžiamos tik baigtinis skaičius, o transcendentinis skverbėsi padedamas be galo didelis skaičius. Išraiškose šis skaičius naudojamas kartu su natūraliuosius skaičius. Pavyzdžiui, tokia eksponento išraiška laikoma priimtina

kuriame tik vėlesni autoriai pamatė galutinį perėjimą. Analitinėmis išraiškomis buvo atliekamos įvairios transformacijos, kurios leido Euleriui rasti elementariųjų funkcijų atvaizdus serijų, begalinių sandaugų ir pan. pavidalu. Euleris skaičiuojant išraiškas transformuoja taip pat, kaip ir algebroje, nekreipdamas dėmesio į galimybę apskaičiuoti elementų reikšmę. funkcija taške kiekvienam iš parašytų formulių.

Skirtingai nei L'Hopital, Euleris išsamiai nagrinėja transcendentines funkcijas ir ypač dvi jų labiausiai ištirtas klases – eksponentinę ir trigonometrinę. Jis atranda, kad visos elementarios funkcijos gali būti išreikštos naudojant aritmetines operacijas ir dvi operacijos – imant logaritmą ir eksponentą.

Pats įrodymas puikiai parodo be galo didelio panaudojimo techniką. Apibrėžus sinusą ir kosinusą naudojant trigonometrinis ratas, Euleris iš sudėjimo formulių išveda:

Tikėdamas ir z = nx , jis gauna

atmetus begalinius mažumus aukštesnė tvarka. Naudodamas šią ir panašią išraišką, Euleris gavo savo garsiąją formulę

Nurodant įvairios išraiškos funkcijoms, kurios dabar vadinamos elementariomis, Euleris nagrinėja nubrėžtas kreives plokštumoje laisvas judėjimas rankas. Jo nuomone, kiekvienai tokiai kreivei neįmanoma rasti vienos analitinės išraiškos (taip pat žr. Stygų ginčą). XIX amžiuje, Casorati iniciatyva, šis teiginys buvo laikomas klaidingu: pagal Weierstrasso teoremą, kiekvienas tęstinis šiuolaikinis jausmas kreivę galima apytiksliai apibūdinti daugianariais. Tiesą sakant, Euleris vargu ar buvo tuo įtikintas, nes perėjimą prie ribos vis tiek reikia perrašyti naudojant simbolį.

Diferencialinio skaičiavimo pristatymą Euleris pradeda baigtinių skirtumų teorija, o trečiajame skyriuje pateikiamas filosofinis paaiškinimas, kad „begalinis dydis yra tiksliai nulis“, o tai labiausiai netiko Eulerio amžininkams. Tada diferencialai sudaromi iš baigtinių skirtumų su be galo mažu prieaugiu, o iš Niutono interpoliacijos formulės susidaro Teiloro formulė. Šis metodas iš esmės grįžta į Taylor (1715) darbą. Šiuo atveju Euleris turi stabilų ryšį , kuris vis dėlto laikomas dviejų begalinių mažųjų santykiu. Paskutiniai skyriai skirti apytikriam skaičiavimui naudojant serijas.

Trijų tūrių integralo skaičiavime Euleris integralo sąvoką interpretuoja ir pristato taip:

Funkcija, kurios diferencialas = Xdx, vadinamas jo integralu ir žymimas ženklu S, dedamas priekyje.

Apskritai ši Eulerio traktato dalis skirta bendresniam dalykui modernus taškas diferencialinių lygčių integravimo problemos vaizdas. Tuo pat metu Euleris randa daugybę integralų ir diferencialinių lygčių, kurios lemia naujas funkcijas, pavyzdžiui, Γ -funkcijas, elipsines funkcijas ir tt. Tikslų jų neelementarumo įrodymą 1830-aisiais pateikė Jacobi elipsinei funkcijai. funkcijos ir Liouville (žr. elementarias funkcijas).

Lagranžas

Kitas svarbus darbas, suvaidinęs reikšmingą vaidmenį plėtojant analizės koncepciją, buvo teorija analitinės funkcijos Lagrange'o ir Lacroix platus Lagrange'o kūrybos atpasakojimas šiek tiek eklektiškai.

Norėdamas visiškai atsikratyti begalybės mažumo, Lagrange'as pakeitė ryšį tarp darinių ir Taylor serijos. Analitine funkcija Lagranžas suprato savavališką funkciją, tiriamą analitiniais metodais. Pačią funkciją jis įvardijo kaip f(x), suteikiant grafinis metodas priklausomybės įrašai – anksčiau Euleris apsieidavo tik su kintamaisiais. Norint taikyti analizės metodus, pasak Lagrange'o, funkcija turi būti išplėsta į seriją

kurių koeficientai bus naujos funkcijos x. Belieka įvardinti p išvestinė ( diferencialinis koeficientas) ir pažymėkite kaip f"(x). Taigi išvestinės sąvoka įvedama antrajame traktato puslapyje ir be begalinių mažylių pagalbos. Belieka tai pastebėti

todėl koeficientas q yra dvigubai didesnė išvestinės išvestinė f(x) , tai yra

Šis požiūris į išvestinės sąvokos aiškinimą yra naudojamas šiuolaikinėje algebroje ir buvo pagrindas Weierstrass analitinių funkcijų teorijai sukurti.

Lagrange'as operavo su tokiais serialais kaip formalios ir gavo serijas nuostabios teoremos. Visų pirma, pirmą kartą ir gana griežtai jis įrodė įprastų diferencialinių lygčių pradinės problemos išsprendžiamumą formaliose laipsnių eilutėse.

Klausimą, kaip įvertinti aproksimacijų, pateiktų dalinėmis Taylor serijos sumomis, tikslumą, pirmiausia iškėlė Lagrange'as: galų gale Analitinių funkcijų teorijos jis išvedė tai, kas dabar vadinama Teiloro formule su likusiu terminu Lagranžo forma. Tačiau priešingai šiuolaikiniai autoriai, Lagranžas nematė reikalo naudoti šį rezultatą Taylor serijos konvergencijai pateisinti.

Kyla klausimas, ar tikrai galima išskaidyti analizėje naudojamas funkcijas galios serija, vėliau tapo diskusijų objektu. Žinoma, Lagranžas žinojo, kad kai kuriais taškais elementarios funkcijos gali būti neišplėstos į laipsnio eilutę, tačiau šiais taškais jos jokia prasme nesiskiria. Cauchy savo Algebrinė analizė kaip priešinį pavyzdį pateikė funkciją

pratęstas nuliu prie nulio. Ši funkcija yra sklandi visur tikrojoje ašyje, o esant nuliui, ji turi nulinę Maclaurin seriją, kuri todėl nesutampa su verte f(x). Prieš šį pavyzdį Puasonas prieštaravo, kad Lagrange'as apibrėžė funkciją kaip vieną analitinę išraišką, o Cauchy pavyzdyje funkcija nuliui ir . Tik į pabaigos XIX amžiuje Pringsheimas įrodė, kad yra be galo diferencijuota funkcija, kurią suteikia viena išraiška, kuriai Maclaurin serija skiriasi. Tokios funkcijos pavyzdys yra išraiška

Tolimesnis vystymas

Bibliografija

Mokomoji literatūra

Standartiniai vadovėliai

Daugelį metų Rusijoje buvo populiarūs šie vadovėliai:

• Kudryavtsev, L.D. , Matematinės analizės kursas (trijų tomų).

T. 1. Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. T. 2. Eilutės. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. T. 3. Harmoninė analizė. Funkcinės analizės elementai. Ypatingas dėmesys Vadovėlyje pagrindinis dėmesys skiriamas kokybinių ir analizės metodai, tai taip pat atspindėjo kai kuriuos geometrinės aplikacijos analizė. Skirta fizikos, matematikos ir inžinerinės fizikos specialybių universitetų studentams, taip pat kitų specialybių studentams, gilinantis matematinius mokymus.

• Kurantas, R. (dviejų tomų). Pagrindinis kurso metodinis atradimas: iš pradžių paprasčiausiai išdėstomos pagrindinės mintys, o tada jos pateikiamos griežti įrodymai. Parašė Courantas, būdamas Getingeno universiteto profesoriumi 1920-aisiais, veikiamas Kleino idėjų, o 1930-aisiais jis buvo perkeltas į Amerikos žemę. 1934 m. vertimas į rusų kalbą ir jo pakartotiniai leidimai pateikia tekstą remiantis vokišku leidimu, septintojo dešimtmečio vertimas (vadinamasis 4-asis leidimas) yra rinkinys iš vadovėlio vokiškų ir amerikietiškų versijų, todėl yra labai daugiažodis.
• Fikhtengolts, Grigorijus Michailovičius. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas(V trys tomai) // Mat. EqWorld analizė yra labai gera, bet šiek tiek pasenusi pamoka.

ir probleminė knyga

• Demidovičius, B. P., Matematinės analizės uždavinių ir pratimų rinkinys// Mat. EqWorld analizė

Yra keletas leidinių, teigiančių, kad jie yra „AntiDemidovich“:

• Lyashko I. I. ir kt. Nuorodų vadovas, skirtas aukštoji matematika . t. 1-5

Daugelis universitetų turi savo analizės vadovus:

• Maskvos valstybinis universitetas, mechanika ir matematika:

• Arkhipovas G. I., Sadovnichy V. A., Chubarikovas V. N. Paskaitos apie matematiką. analizė.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. I dalis M.: Nauka, 1981. 544 p.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. II dalis. M.: Nauka, 1984. 640 p.

• Iljinas V. A., Sadovnichy V. A., Sendovas Bl. X. Matematinė analizė (dviejų dalių)

• Maskvos valstybinio universiteto Fizikos fakultetas:

• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Pagrindai matematinė analizė(dviejų dalių) // http://lib.homelinux.org.
• Butuzovas V.F. ir kt. Mat. klausimų ir užduočių analizė // http://lib.homelinux.org.

• MSTU Baumanas:

• Matematika į technikos universitetas Vadovėlių rinkinys 21 tomas.

• NSU, ​​mechanika ir matematika:

• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. I dalis. 1 knyga. Matematinės analizės įvadas. Diferencialinis skaičiavimas vieno kintamojo funkcijos. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 1999. 454 su ISBN 5-86134-066-8.
• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. I dalis. 2 knyga. Vieno kintamojo funkcijų integralinis skaičiavimas. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 1999. 512 su ISBN 5-86134-067-6.
• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. II dalis. 1 knyga. Sklandžios analizės daugiamatėse erdvėse pagrindai. Serialo teorija. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 2000. 440 su ISBN 5-86134-086-2.
• Reshetnyak Yu. Matematinės analizės kursas. II dalis. 2 knyga. Kelių kintamųjų funkcijų integralinis skaičiavimas. Integralinis skaičiavimas ant kolektorių. Išorinis diferencines formas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 2001. 444 su ISBN 5-86134-089-7.
• Švedovas I. A. Kompaktiškas matematinės analizės kursas: 1 dalis. Vieno kintamojo funkcijos, 2 dalis. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas.

• „Phystech“, Maskva

• Kudryavtsev L. D. Matematinės analizės kursas (trijų tomų)

Išplėstiniai vadovėliai

Vadovėliai:

• Rudinas U. Matematinės analizės pagrindai. M., 1976 – nedidelė knygelė, parašyta labai aiškiai ir glaustai.

Padidėjusio sunkumo problemos:

• G. Polia, G. Szege, Problemos ir teoremos iš analizės. 1 dalis, 2 dalis, 1978. ( Dauguma medžiaga nurodo TFKP)
• Paskalis, E.(Neapolis). Esercizii, 1895; 2 leid., 1909 // Interneto archyvas

Katalogai

Klasikiniai darbai

• L'Hopital. Begalinių mažumų analizė // Mat. EqWorld analizė
• Bernulis, Johanas. Die erste Integrelrechnunug. Leipcigas-Berlynas, 1914 m.
• Euleris. Analizės įvadas, Diferencialinis skaičiavimas, Integralinis skaičiavimas //Mat. analizė „EqWorld“ (antrasis „Analizės įvado“ tomas buvo išsaugotas su klaida)
• Koši. Santrauka diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pamokos //Mat. EqWorld analizė
• Audra. Analizės kursas. T.1,2 - Klasikinis kursas paryžietė politechnikos mokykla 1830-ieji.
• Gursa E. Matematikos kursas. analizė. T. 1.1, 1.2 // Mat. EqWorld analizė

Istorinės knygos

• Kestneris, Abraomas Gotgelfas. Geschichte der Mathematik. 4 tomai, Getingenas, 1796-1800 m
• Kantoras, Moricas. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipcigas: B. G. Teubneris, - . Bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
• A. P. Juškevičiaus redaguota matematikos istorija (trimis tomomis):

• Markushevich A.I. Esė apie analitinių funkcijų teorijos istoriją. 1951 m
• Vileitner G. Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio. 1960 m
• Pirmas Rusų kalbos vadovėlis pagal mat. analizė: M.E. Vaščenka-Zacharčenka, Algebrinė analizė arba Aukštoji algebra. 1887 m

Pastabos

1. Trečiadienis, pvz., Cornell Un kursas
2. Niutonas I. Matematiniai darbai . M, 1937 m.
3. Leibnicas //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., t. V, p. 220-226. Rus. Vertimas: Uspekhi Mat. Mokslai, t. 3, v. 1 (23), p. 166-173.
4. L'Hopital. Be galo maža analizė. M.-L.: GTTI, 1935. (Toliau: L'Hopital) // Mat. EqWorld analizė
5. L'Hopital, ch. 1, def. 2.
6. L'Hopital, ch. 4, def. 1.
7. L'Hopital, ch. 1, 1 reikalavimas.
8. L'Hopital, ch. 1, 2 reikalavimas.
9. L'Hopital, ch. 2, def.
10. L'Hopital, § 46.
11. „L'Hopital“ nerimauja dėl kažko kito: dy jam atkarpos ilgis ir būtina paaiškinti, ką reiškia būti neigiamu. 8-10 punktuose pateiktą pastabą netgi galima suprasti taip, kad mažėjant y su augimu x turėtų būti parašyta dxy = ydx − xdy , bet toliau tai nenaudojama.
12. L'Hopital, § 46.
13. Bernulis, Johanas. Die erste Integrelrechnunug. Leipcigas-Berlynas, 1914 m.

Studentas privalo:

žinoti:

· funkcijos ribos taške nustatymas;

funkcijos ribos taške savybės;

· formulės nuostabios ribos;

· funkcijos tęstinumo taške nustatymas,

ištisinių funkcijų savybės;

· išvestinės apibrėžimas, jos geometrinė ir fizinę reikšmę; lentelių dariniai, diferenciacijos taisyklės;

išvestinės apskaičiavimo taisyklė sudėtinga funkcija; funkcijos diferencialo apibrėžimas, jos savybės; aukštesnio laipsnio išvestinių finansinių priemonių ir diferencialų apibrėžimas; funkcijos ekstremumo, išgaubtos funkcijos, vingio taškų, asimptotų nustatymas;

· neapibrėžtinio integralo apibrėžimas, jo savybės, lentelių integralai;

· integravimo formulės, naudojant kintamojo kaitą ir dalimis neapibrėžtam integralui;

· apibrėžtojo integralo apibrėžimas, jo savybės, pagrindinė integralo skaičiavimo formulė - Niutono-Leibnizo formulė;

· integravimo formulės, naudojant kintamojo ir dalimis keitimą apibrėžtajam integralui;

· geometrine prasme apibrėžtasis integralas, apibrėžtojo integralo taikymas.

galėti:

· apskaičiuoti sekų ir funkcijų ribas; atskleisti neapibrėžtumus;

· skaičiuoti sudėtingų funkcijų išvestinius, aukštesnio laipsnio išvestinius ir diferencialus;

· rasti funkcijų kraštutinumus ir vingio taškus;

· atlikti funkcijų tyrimus naudojant išvestines ir sudaryti jų grafikus.

· skaičiuoti neapibrėžtuosius ir apibrėžtinius integralus kintamųjų kaitos metodu ir dalimis;

· integruoti racionaliąsias, iracionaliąsias ir kai kurias trigonometrines funkcijas, taikyti universalus pakeitimas; plokštumos figūrų plotams rasti taikykite apibrėžtąjį integralą.

Funkcijos riba. Funkcijos ribos savybės. Vienpusės ribos. Dviejų funkcijų sumos, sandaugos ir koeficiento riba. Nuolatinės funkcijos, jų savybės. Elementariųjų ir kompleksinių funkcijų tęstinumas. Įspūdingos ribos.

Funkcijos išvestinės nustatymas. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai. Funkcijos diferencijavimas. Funkcinis diferencialas. Sudėtingos funkcijos išvestinė. Diferencijavimo taisyklės: sumos, sandaugos ir dalinio išvestinė. Aukštesnių laipsnių išvestinės ir diferencialinės priemonės. Neaiškumų atskleidimas. Didėjančios ir mažėjančios funkcijos, sąlygos didėti ir mažėti. Ekstremalios funkcijos, būtina sąlyga ekstremumo buvimas. Ekstremalų radimas naudojant pirmąją išvestinę. Išgaubtos funkcijos. Posūkio taškai. Asimptotės. Visas tyrimas funkcijas.

Neapibrėžtas integralas, jo savybės. Pagrindinių integralų lentelė. Kintamasis pakeitimo būdas. Integravimas dalimis. Integracija racionalios funkcijos. Kai kuriuos integruojant neracionalios funkcijos. Universalus pakaitalas.

Apibrėžtinis integralas, jo savybės. Pagrindinė formulė integralinis skaičiavimas. Integravimas keičiant kintamąjį ir dalimis į apibrėžtąjį integralą. Apibrėžtinio integralo taikymai.

Diferencialinis skaičiavimas – tai matematinės analizės šaka, tirianti išvestines, diferencialus ir jų panaudojimą tiriant funkcijas.

Išvaizdos istorija

Diferencialinis skaičiavimas tapo savarankiška disciplina XVII amžiaus antroje pusėje, dėka Niutono ir Leibnizo darbų, kurie suformulavo pagrindinius diferencialų skaičiavimo principus ir pastebėjo integracijos ir diferenciacijos sąsajas. Nuo to momento disciplina vystėsi kartu su integralų skaičiavimu ir taip buvo matematinės analizės pagrindas. Šių skaičiavimų atsiradimas atvėrė naują modernus laikotarpis V matematinis pasaulis ir paskatino naujų mokslo disciplinų atsiradimą. Tai taip pat išplėtė galimybę panaudoti matematikos mokslą moksle ir technologijose.

Pagrindinės sąvokos

Diferencialinis skaičiavimas pagrįstas pamatines sąvokas matematika. Jie yra: tęstinumas, funkcija ir riba. Po kurio laiko jie sutiko moderni išvaizda, integralinio ir diferencialinio skaičiavimo dėka.

Kūrimo procesas

Diferencialinio skaičiavimo formavimas taikomosios formos, o tada mokslinis metodasįvyko iki Nikolajaus Kuzanskio sukurtos filosofinės teorijos atsiradimo. Svarstomi jo darbai evoliucinis vystymasis iš senovės mokslo sprendimų. Nepaisant to, kad pats filosofas nebuvo matematikas, jo indėlis į matematikos mokslo raidą yra neabejotinas. Kuzanskis vienas pirmųjų nutolo nuo aritmetikos tiksliausia mokslo sritimi ir suabejojo ​​to meto matematika.

Iš senovės matematikų universalus kriterijus buvo vienas, o filosofas vietoj tikslaus skaičiaus pasiūlė begalybę kaip naują matą. Šiuo atžvilgiu tikslumo vaizdavimas matematikos mokslas. Mokslo žinios, anot jo, skirstoma į racionalųjį ir intelektualųjį. Antrasis, pasak mokslininko, yra tikslesnis, nes pirmasis duoda tik apytikslį rezultatą.

Idėja

Pagrindinė diferencialinio skaičiavimo idėja ir samprata yra susijusi su funkcija mažose tam tikrų taškų apylinkėse. Norėdami tai padaryti, būtina sukurti matematinį aparatą, skirtą funkcijai, kurios elgesys mažoje kaimynystėje, tirti nustatytų taškų artimas daugianario elgesiui arba tiesinė funkcija. Tai pagrįsta išvestinės ir diferencialo apibrėžimu.

Išvaizda buvo sukelta didelis skaičius užduotys iš gamtos mokslai ir matematikai, kurie padėjo rasti vieno tipo ribų reikšmes.

Viena iš pagrindinių užduočių, kuri pateikiama kaip pavyzdys, pradedant vidurinėje mokykloje, yra nustatyti taško, judančio tiesia linija, greitį ir sukonstruoti šios kreivės liestinę. Skirtumas yra susijęs su tuo, nes galima aproksimuoti funkciją nedidelėje atitinkamo tiesinės funkcijos taško kaimynystėje.

Lyginant su realaus kintamojo funkcijos išvestinės samprata, diferencialų apibrėžimas tiesiog pereina į funkciją bendra prigimtis, ypač vienos euklido erdvės vaizdas į kitą.

Darinys

Tegu taškas juda Oy ašies kryptimi kaip laiką, kuris skaičiuojamas nuo tam tikro momento pradžios. Tokį judėjimą galima apibūdinti naudojant funkciją y=f(x), kuri priskiriama kiekvienam judinamo taško koordinačių laiko momentui x. Ši funkcija mechanikoje jis vadinamas judėjimo dėsniu. Pagrindinė judėjimo, ypač netolygaus, charakteristika yra Kai taškas pagal mechanikos dėsnį juda Oy ašimi, tai atsitiktiniu laiko momentu x įgyja koordinatę f(x). Laiko momentu x + Δx, kur Δx žymi laiko prieaugį, jo koordinatė bus f(x + Δx). Taip susidaro formulė Δy = f(x + Δx) - f(x), kuri vadinama funkcijos prieaugiu. Tai reiškia kelią, nuvažiuotą laiko tašku nuo x iki x + Δx.

Ryšium su šio greičio atsiradimu laiko momentu, įvedama išvestinė. Savavališkoje funkcijoje išvestinė fiksuotame taške vadinama riba (jei ji egzistuoja). Tai gali būti pažymėta tam tikrais simboliais:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Išvestinės apskaičiavimo procesas vadinamas diferenciacija.

Kelių kintamųjų funkcijos diferencialinis skaičiavimas

Šis skaičiavimo metodas naudojamas tiriant funkciją su keliais kintamaisiais. Duoti du kintamieji x ir y, dalinė išvestinė x atžvilgiu taške A vadinama šios funkcijos išvestine x atžvilgiu su fiksuotu y.

Gali būti pažymėtas šiais simboliais:

f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x arba ∂f(x,y)’/∂x.

Reikalingi įgūdžiai

Norint sėkmingai mokytis ir gebėti spręsti difuzijas, reikalingi integravimo ir diferencijavimo įgūdžiai. Kad būtų lengviau suprasti diferencialines lygtis, turėtumėte gerai suprasti išvestinių temą ir taip pat nepakenktų išmokti ieškoti netiesioginės išvestinės suteikta funkcija. Taip yra dėl to, kad mokymosi procese dažnai teks naudoti integralus ir diferencijavimą.

Diferencialinių lygčių tipai

Beveik visuose bandymai Yra 3 tipų lygtys, susijusios su: vienalytė, su atskiriamais kintamaisiais, tiesinė nehomogeniška.

Yra ir retesnių lygčių tipų: su pilni diferencialai, Bernulio lygtys ir kt.

Sprendimo pagrindai

Pirmiausia turėtume prisiminti algebrines lygtis iš mokyklos kursas. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Norėdami išspręsti įprastą lygtį, turite rasti skaičių, kurie tenkintų duota sąlyga. Paprastai tokios lygtys turėjo tik vieną šaknį, o norint patikrinti teisingumą, tereikėjo pakeisti šią reikšmę vietoje nežinomybės.

Diferencialinė lygtis yra panaši į tai. IN bendras atvejis tokia pirmosios eilės lygtis apima:

• Nepriklausomas kintamasis.
• Pirmosios funkcijos išvestinė.
• Funkcija arba priklausomas kintamasis.

IN Kai kuriais atvejais vieno iš nežinomųjų, x arba y, gali trūkti, bet tai nėra taip svarbu, nes pirmosios išvestinės buvimas be aukštesnės eilės išvestinių yra būtinas, kad sprendimas ir diferencialinis skaičiavimas būtų teisingi.

Diferencialinės lygties sprendimas reiškia visų funkcijų rinkinį, atitinkantį nurodytą išraišką. Panašus funkcijų rinkinys dažnai vadinamas bendras sprendimas DU.

Integralinis skaičiavimas

Integralinis skaičiavimas yra viena iš matematinės analizės šakų, tiria integralo sampratą, savybes ir jo skaičiavimo metodus.

Dažnai integralas apskaičiuojamas skaičiuojant plotą vingiuota figūra. Šis plotas reiškia ribą, iki kurios tam tikroje figūroje įrašyto daugiakampio plotas linkęs palaipsniui didėjant jo kraštinėms, o šios kraštinės gali būti mažesnės už bet kurią anksčiau nurodytą savavališką mažą reikšmę.

Pagrindinė idėja skaičiuojant savavališką plotą geometrinė figūra susideda iš stačiakampio ploto apskaičiavimo, ty įrodyti, kad jo plotas yra lygus jo ilgio ir pločio sandaugai. Kada mes kalbame apie apie geometriją, tada visos konstrukcijos daromos naudojant liniuotę ir kompasą, o tada ilgio ir pločio santykis yra racionali prasmė. Skaičiuojant plotą taisyklingas trikampis galime nustatyti, kad sudėjus tą patį trikampį greta, susidarys stačiakampis. Lygiagretainyje plotas apskaičiuojamas panašiu, bet šiek tiek sudėtingesniu metodu, naudojant stačiakampį ir trikampį. Daugiakampiuose plotas skaičiuojamas per į jį įtrauktus trikampius.

Nustatant savavališkos kreivės plotą šis metodas nepadarys. Jei suskirstysite į vienetiniai kvadratai, tada bus tuščių vietų. Tokiu atveju jie bando naudoti dvi aprėptis su stačiakampiais viršuje ir apačioje, todėl jose yra funkcijos grafikas, o ne. Čia svarbus yra padalijimo į šiuos stačiakampius metodas. Be to, jei imsime vis mažesnes padalijas, tada aukščiau ir žemiau esantis plotas turėtų suartėti ties tam tikra verte.

Turėtumėte grįžti prie padalijimo į stačiakampius metodo. Yra du populiarūs metodai.

Riemannas Leibnizo ir Niutono sukurtą integralo apibrėžimą įformino kaip pografo sritį. Šiuo atveju mes atsižvelgėme į figūras, sudarytas iš tam tikro skaičiaus vertikalių stačiakampių ir gautas padalijus segmentą. Kai, mažinant pertvarą, yra riba, iki kurios sumažinamas plotas panaši figūra, ši riba vadinama funkcijos Riemano integralu tam tikrame intervale.

Antrasis metodas yra Lebesgue integralo konstravimas, kurį sudaro apibrėžto domeno padalijimas į integrando dalis, o tada integralo sumos sudarymas iš gautų reikšmių šiose dalyse, padalijant jos reikšmių diapazoną į intervalus ir tada susumavus jį su atitinkamais atvirkštinių šių integralų vaizdų matais.

Šiuolaikiniai privalumai

Vieną iš pagrindinių diferencialinio ir integralinio skaičiavimo studijų vadovų parašė Fichtenholtzas – „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas“. Jo vadovėlis yra pagrindinis matematinės analizės, kuri išėjo daug leidimų ir išversta į kitas kalbas, studijų vadovas. Sukurtas universiteto studentams ir jau seniai naudojamas įvairiais būdais švietimo įstaigų kaip viena iš pagrindinių studijų pagalbinių priemonių. Teikia teorinius duomenis ir praktinių įgūdžių. Pirmą kartą paskelbta 1948 m.

Funkcijų tyrimo algoritmas

Norėdami ištirti funkciją naudodami diferencialinio skaičiavimo metodus, turite vadovautis jau apibrėžtu algoritmu:

1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį.
2. Raskite pateiktos lygties šaknis.
3. Apskaičiuokite ekstremalumą. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti išvestinę sumą ir taškus, kur jis lygus nuliui.
4. Gautą reikšmę pakeičiame į lygtį.

Diferencialinių lygčių tipai

Pirmos eilės DE (kitaip vieno kintamojo diferencialinis skaičiavimas) ir jų tipai:

• Atskiriama lygtis: f(y)dy=g(x)dx.
• Paprasčiausios lygtys arba diferencialinis vieno kintamojo funkcijos skaičiavimas, kurio formulė: y"=f(x).
• Pirmosios eilės tiesinis nehomogeninis DE: y"+P(x)y=Q(x).
• Bernulio diferencialinė lygtis: y"+P(x)y=Q(x)y a.
• Lygtis su suminiais skirtumais: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Antrosios eilės diferencialinės lygtys ir jų tipai:

• Antros eilės tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis su pastoviomis koeficiento reikšmėmis: y n +py"+qy=0 p, q priklauso R.
• Tiesinė nehomogeninė antros eilės diferencialinė lygtis su pastovią vertę koeficientai: y n +py"+qy=f(x).
• Tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis: y n +p(x)y"+q(x)y=0 ir nehomogeninė lygtis antra eilė: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Aukštesnių laipsnių diferencialinės lygtys ir jų tipai:

• Diferencialinė lygtis, leidžianti sumažinti eilę: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• Tiesinė lygtis aukštesnė tvarka vienalytis: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, ir nehomogeniškas: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Uždavinio su diferencialine lygtimi sprendimo etapai

Nuotolinio valdymo pulto pagalba ne tik matematinės ar fiziniai klausimai, bet ir įvairios problemos iš biologijos, ekonomikos, sociologijos ir kt. Nepaisant daugybės temų, sprendžiant tokias problemas reikia laikytis vienos loginės sekos:

1. DU sudarymas. Vienas is labiausiai sunkūs etapai, kuris reikalauja maksimalaus tikslumo, nes bet kokia klaida sukels visiškai neteisingus rezultatus. Reikėtų atsižvelgti į visus veiksnius, turinčius įtakos procesui pradines sąlygas. Taip pat turėtumėte remtis faktais ir logiškomis išvadomis.
2. Sudarytos lygties sprendimas. Šis procesas lengviau nei pirmasis punktas, nes tam reikia tik griežtai atlikti matematinius skaičiavimus.
3. Gautų rezultatų analizė ir įvertinimas. Gautas sprendimas turėtų būti įvertintas, siekiant nustatyti praktinę ir teorinę rezultato vertę.

Diferencialinių lygčių panaudojimo medicinoje pavyzdys

DE naudojimas medicinos srityje randamas kuriant epidemiologinius matematinis modelis. Kartu nereikėtų pamiršti, kad šios lygtys aptinkamos ir medicinai artimoje biologijoje bei chemijoje, nes tiriant skirtingus biologinės populiacijos Ir cheminiai procesaižmogaus organizme.

Aukščiau pateiktame epidemijos pavyzdyje galime laikyti infekcijos plitimą izoliuotoje visuomenėje. Gyventojai skirstomi į tris tipus:

• Užkrėstas, skaičius x(t), susidedantis iš individų, infekcijos nešiotojų, kurių kiekvienas yra infekcinis (inkubacinis laikotarpis trumpas).
• Antrajam tipui priskiriami imlūs asmenys y(t), galintys užsikrėsti kontaktuodami su užsikrėtusiais asmenimis.
• Trečiajam tipui priskiriami neatsparūs asmenys z(t), kurie yra atsparūs arba mirė dėl ligos.

Asmenų skaičius pastovus, gimimo registracija, natūralių mirčių o į migraciją neatsižvelgiama. Bus dvi pagrindinės hipotezės.

Sergamumo procentas tam tikru laiko momentu yra lygus x(t)y(t) (prielaida grindžiama teorija, kad atvejų skaičius yra proporcingas susikirtimų tarp sergančių ir imlių atstovų skaičiui, kuris iš pradžių aproksimacija bus proporcinga x(t)y(t)), in Todėl sergančių žmonių skaičius didėja, o imlių žmonių skaičius mažėja tokiu greičiu, kuris apskaičiuojamas pagal formulę ax(t)y(t) ( a > 0).

Imunitetinių asmenų, įgijusių imunitetą arba mirusių, skaičius didėja tokiu greičiu, kuris yra proporcingas atvejų skaičiui, bx(t) (b > 0).

Dėl to galite sukurti lygčių sistemą atsižvelgdami į visus tris rodiklius ir pagal ją padaryti išvadas.

Naudojimo ekonomikoje pavyzdys

Diferencialinis skaičiavimas dažnai naudojamas ekonominė analizė. Pagrindinė ekonominės analizės užduotis yra dydžių, užrašytų funkcijos forma, tyrimas iš ekonomikos. Tai naudojama sprendžiant tokias problemas kaip pajamų pokyčiai iš karto padidinus mokesčius, įvedus muitus, keičiantis įmonės pajamoms pasikeitus produkcijos savikainai, kokia dalimi galima pakeisti į pensiją išėjusius darbuotojus nauja įranga. Norint išspręsti tokius klausimus, iš įvesties kintamųjų reikia sukonstruoti ryšio funkciją, kuri vėliau tiriama diferencialiniu skaičiavimu.

IN ekonominė sfera Dažnai reikia rasti optimaliausius rodiklius: maksimalus darbo našumas, didžiausios pajamos, mažiausios išlaidos ir kt. Kiekvienas toks rodiklis yra vieno ar kelių argumentų funkcija. Pavyzdžiui, gamyba gali būti laikoma darbo ir kapitalo sąnaudų funkcija. Šiuo atžvilgiu tinkamos vertės radimas gali būti sumažintas iki vieno ar kelių kintamųjų funkcijos didžiausios arba minimalios vertės.

Tokio pobūdžio problemos sukuria ekstremalių problemų klasę ekonomikos srityje, kurio sprendimui reikia diferencialinio skaičiavimo. Kai ekonominį rodiklį reikia sumažinti arba padidinti kaip kito rodiklio funkciją, tada maksimaliame taške funkcijos prieaugio ir argumentų santykis bus linkęs į nulį, jei argumento prieaugis linkęs į nulį. Priešingu atveju, kai panašus požiūris siekia kažko teigiamo arba neigiama vertė, nurodytas taškas netinka, nes didinant arba mažinant argumentą galima keisti priklausomas kiekis reikiama kryptimi. Diferencialinio skaičiavimo terminologijoje tai reikš, kad būtina funkcijos maksimumo sąlyga yra nulinė jos išvestinės reikšmė.

Ekonomikoje dažnai kyla problemų ieškant funkcijos, turinčios kelis kintamuosius, ekstremumo, nes ekonominiai rodikliai yra sudaryti iš daugelio veiksnių. Panašūs klausimai yra gerai išnagrinėti kelių kintamųjų funkcijų teorijoje, naudojant diferencialinio skaičiavimo metodus. Panašios užduotys apima ne tik funkcijas, kurias reikia maksimaliai padidinti ir sumažinti, bet ir apribojimus. Panašūs klausimai tinka matematinis programavimas, ir jie sprendžiami specialiai sukurtais metodais, taip pat remiantis šia mokslo šaka.

Tarp ekonomikoje naudojamų diferencialinio skaičiavimo metodų svarbus skyrius yra ribinė analizė. Ekonominėje srityje šis terminas reiškia kintamų rodiklių ir rezultatų tyrimo metodų rinkinį, kai keičiamas kūrimo ir vartojimo apimtys, remiantis juos ribojančių rodiklių analize. Ribos indikatorius nagrinėjamos kelių kintamųjų išvestinės arba dalinės išvestinės.

Kelių kintamųjų diferencialinis skaičiavimas yra svarbi tema matematinės analizės srityje. Dėl išsamus tyrimas Galite naudoti įvairias mokymo priemones, skirtas aukštojo mokslo įstaigoms. Vieną žinomiausių sukūrė Fichtenholtzas – „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas“. Kaip rodo pavadinimas, darbo su integralais įgūdžiai turi didelę reikšmę sprendžiant diferencialines lygtis. Kai vyksta vieno kintamojo funkcijos diferencialinis skaičiavimas, sprendimas tampa paprastesnis. Nors reikia pažymėti, kad jam taikomos tos pačios pagrindinės taisyklės. Norint praktiškai ištirti funkciją diferencialiniame skaičiavime, pakanka vadovautis jau egzistuojančiu algoritmu, kuris yra duotas vidurinėje mokykloje ir tik šiek tiek komplikuojasi įvedus naujus kintamuosius.

KONTROLĖS UŽDAVINIŲ GALIMYBĖS

nuolatinių studijų studentams

Matematikos fakultetas

5 dalis

SANKT PETERBURGAS

Paskelbta Rusijos valstybinio pedagoginio universiteto Matematinės analizės ir RIS katedros sprendimu. A.I. Herzenas

Metodinis vadovas skirtas Rusijos valstybinio pedagoginio universiteto Matematikos fakulteto 1-3 metų dieninių studijų studentams. A.I. Herzenas.

Vadovaujantis matematinės analizės programa, vadove yra 28 skirtingi individualių namų testų variantai temomis „Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas“, „Keli integralai ir jų taikymas“. Prieš testavimo variantus pateikiama šiek tiek teorinės informacijos ir analizuojami pavyzdžiai, prie kurių sprendimo pridedami metodiniai nurodymai jiems.

Vadovo medžiaga gali būti naudojama praktiniams užsiėmimams, testams ir testams aukštųjų mokyklų gamtos mokslų katedrose.

Vyresnysis dėstytojas O.S. Korsakova,

fizinių ir matematikos mokslų kandidatas, asistentas K.G. Meževičius

Recenzentas: skyriaus vedėjas matematika. vardo Rusijos valstybinio pedagoginio universiteto analizė. A.I. Herzenas,

Bokhan K.A., Egorova I.A., Laschenov K.V. Matematinės analizės kursas. M.: Švietimas, 1972, t. 1,2.

Vilenkinas N.Ya. ir kt. užduočių knyga matematinės analizės kursui. - M.: Švietimas, 1971. 1,2 dalys.

Kuznecovas A.A. Aukštosios matematikos užduočių rinkinys. M.: baigti mokyklą, 1983.

Kudryavtsev L.D. Matematinės analizės kursas. M.: Aukštoji mokykla, 1988. T. 1,2.

Kudrjavcevas L.D., Kutasovas A.D., Čehlovas V.I., Šabuninas M.I. Matematinės analizės uždavinių rinkinys. Kelių kintamųjų funkcijos. Sankt Peterburgas, 1994 m.

Povolotskis A.I., Likhtarnikovas L.M. Metrinės erdvės. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Pamoka/ LGPI pavadintas. A.I. Herzen.-L., 1985 m.

Povolotskis A.I., Likhtarnikovas L.M. Kelių kintamųjų funkcijų integralinis skaičiavimas ir diferencialinės lygtys. Vadovėlis / Leningrado valstybinis pedagoginis institutas pavadintas. A.I. Herzen.-L., 1986 m.

Fikhtengolts G.M. Matematinės analizės pagrindai. - M.: Nauka, 1968. T.1, 2.

Kelių kintamųjų funkcijos

KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS APIBRĖŽIMO DOMENAS IR GRAFIKA

Tegul kiekvienas taškas
numeris atitiko
. Tada jie tai sako filmavimo aikštelėje D Atkaklus kelių kintamųjų skaitinė funkcija
.

Krūva D paskambino apibrėžimo sritis funkcijos, taškas
-argumentas funkcijas.

Toliau nagrinėsime dviejų kintamųjų funkciją
. Atminkite, kad viskas, kas pasakyta toliau, gali būti išplėsta į funkciją n kintamieji, kur n>2 .

Visų taškų rinkinys
, kuriai skirta funkcija
, apibrėžtas analitiškai, turi prasmę, vadinamas natūraliu apibrėžimo sritisšią funkciją.

Pavyzdžiui, funkcijos apimtis
yra atviras 2 spindulio apskritimas, kurio centras yra ištakoje, kurią suteikia nelygybė
.

Tvarkaraštis funkcijas
, Kur
, vadinamas rinkiniu. Jis apibrėžia tam tikrą paviršių erdvėje
.

Pavyzdžiui, funkcijos grafikas
,
, yra paraboloidas.

1 pavyzdys. Raskime funkcijos apibrėžimo sritį
.

Funkcija apibrėžtos tuose plokštumos taškuose
, Kur
.

Ši nelygybė prilygsta dviejų sistemų deriniui:

Ir
.

Pirmąją nelygybių sistemą tenkina visų parabolėje esančių taškų koordinatės
arba virš jo ir guli pusiau plokštumoje
. Ši aibė yra nuspalvinta 1 paveiksle. Antrąją sistemą tenkina taškų koordinatės, esančios aibėje, nuspalvintoje fig. 2. Vadinasi, šios funkcijos apibrėžimo sritis yra rastų aibių sąjunga, t.y. rinkinys, kuris paryškintas perrišimu Fig. 3.

Ryžiai. 1 pav. 2 pav. 3

Lygio linija funkcijas
, vadinamas taškų rinkiniu
, tenkinantis lygtį
.

Lygiai nustatomi panašiai (arba lygus paviršius) funkcijas n kintamieji, jei n>2.

2 pavyzdys. Raskime funkcijos lygio eilutes
.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija apibrėžta visoje plokštumoje
.

Norint sukurti lygių linijas, būtina bet kokia
rasti plokštumos taškų aibę, koordinates x, y kurios tenkina lygtį
. Todėl, jei
, Tai
, ir jeigu
, Tai
.

Tai akivaizdu Su negali būti neigiamas (šiuo atveju jie taip sako Su- funkcijų lygis c<0 yra tuščias rinkinys).

Raskime lygio liniją ties c=0:

.

Panašiai lygių linijos randamos skirtingoms с>0.

Fig. 4 parodytos lygio linijos c=0, c=1 Ir c=2.

FUNKCIJOS RIBA

Nustatyti (atviras spindulio ratas
centruojamas taške
) vadinamas -aplinka taškų
. Per
žymėsime pradurtą taško kaimynystę
.

Taškas
paskambino ribinis taškas rinkiniai
, jei sankryža yra bet kuri - taško kaimynystė
ir daug D yra bent vienas taškas, išskyrus
, t.y. Dėl

.

Atminkite, kad ribinis taškas gali nepriklausyti rinkiniui D.

Tegul funkcija
apibrėžta rinkinyje D ir laikotarpis
- ribinis taškas D.

Skaičius A paskambino funkcijos riba
taške
, jei bet kuriai kaimynystei
taškų A (
) egzistuoja-kaimynystė
taškų
toks, kad bet kokiam taškui

funkcijos reikšmė
patenka į apylinkes
.

Taigi,

:



)

:

).

3 pavyzdys.Įrodykime tai
.

Atkreipkite dėmesį, kad ši funkcija apibrėžta visoje plokštumoje, išskyrus tašką (0,0 ) .

Nes
, tada bet kokiam
egzistuoja
(būtent
) toks, kad visiems taškams
, tenkinantis sąlygą
, nelygybė yra tiesa
.

Funkcija
paskambino ištisinis taške
, Jei
.

Funkcija vadinama nenutrūkstamas filmavimo aikštelėjeD, jei jis yra tęstinis kiekviename aibės taške D.

4 pavyzdys. 1) Funkcija
yra tęstinis taške (0,0), nes
(žr. 3 pavyzdį).

2) Funkcija
taške (0,0) yra pertrauka, nes

.

DALINIAI IŠVEDINIAI. DIFERENCINĖ FUNKCIJA

Tegul funkcija
apibrėžta kokioje nors taško kaimynystėje
. Jei yra baigtinės ribos
Ir
, tada jie vadinami daliniai dariniai funkcijas
taške
pagal kintamuosius x Ir y yra atitinkamai paskirti
Ir
(arba:
Ir
).

Dalinei išvestinei apskaičiuoti (arba ) mėgautis žinomos formulės ir taisyklės, kaip atskirti vieno kintamojo funkciją, atsižvelgiant į kitą kintamąjį y (arba x) pastovią vertę.

5 pavyzdys. Raskime funkcijos dalines išvestines
.

Jei skaičiuosime y= konst, Tai - galios funkcija iš x, Štai kodėl
.

Jeigu x= konst, Tai - eksponentinė funkcija iš y, ir todėl
.

Funkcija
paskambino taške skiriasi
, jei yra skaičiai A Ir IN toks, kad prieaugis

funkcijas f taške
atstovaujama forma

Kur
adresu
.

Pagrindinė viso prieaugio dalis
, tiesinis atžvilgiu
Ir
, t.y.
, paskambino pilnas diferencialas funkcijas
taške
ir yra paskirtas
.

Taigi,

.

Pagal apibrėžimą nepriklausomo kintamojo diferencialas yra jo prieaugis, t.y.
,
.

Funkcija vadinama filmavimo aikštelėje skiriasiD, jei jis yra diferencijuojamas kiekviename aibės taške D.

1 teorema. Jei funkcija
taške skiriasi
Ir

yra jos diferencialas šiame taške, tada šiame taške yra funkcijos dalinės išvestinės f, Ir be to,

=A,
=IN.

1 teorema leidžia apskaičiuoti funkcijos skirtumą f pagal formulę

+
.

Pagal 1 teoremą, jei funkcija yra diferencijuojama taške, tai tame taške yra funkcijos dalinės išvestinės. Atvirkščiai netiesa. Kad funkcija būtų diferencijuota, jai reikia daugiau nei stiprios sąlygos nei dalinių išvestinių buvimas taške.

2 teorema. Jei dalinės išvestinės
Ir
funkcijas f egzistuoja tam tikroje taško kaimynystėje
ir yra nuolatiniai
, tada funkcija f taške skiriasi
.

6 pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos dalines išvestines ir diferencialą
taške (1, 1/5).

,

,

,
;

DALINIAI KOMPLEKSINĖS FUNKCIJOS IŠVEDINIAI

3 teorema. Tegul funkcijos
Ir
apibrėžta kokioje nors taško kaimynystėje
, ir funkcija
apibrėžta kokioje nors taško kaimynystėje.

Jei funkcija f taške skiriasi
, ir taške
yra dariniai
, tada taške
yra kompleksinės funkcijos išvestinė
, ir

,
.

7 pavyzdys. Raskime kompleksinės funkcijos dalines išvestines
, kur,.

8 pavyzdys. Raskime kompleksinės funkcijos išvestinę
, Kur
,
. Šiame pavyzdyje funkcijos x Ir y priklauso nuo vieno kintamojo t, taigi tai sudėtinga funkcija
- vieno kintamojo funkcija.

9 pavyzdys. Leisti f(u) - savavališkai diferencijuojama funkcija. Įrodykime, kad funkcija
tenkina lygtį
. Padėkime
.

Vadinasi,

DALINIAI IŠVEDINIAI IR DIFERENCIALAI

DIDESNĖS UŽSAKYMAI

Tegul funkcija
netoli taško
turi dalinę išvestinę .

Dalinė funkcijos išvestinė pagal kintamąjį x paskambino dalinė išvestinė Antras užsakymas pagal kintamąjį x ir yra paskirtas arba
.

Dalinė išvestinė pagal kintamąjį y paskambino dalinė išvestinė Antras užsakymas pagal kintamuosius x Ir y ir yra paskirtas arba
.

Antros eilės dalinės išvestinės apibrėžiamos panašiai Ir (
Ir
) kaip funkcijos dalinės išvestinės .

Dariniai Ir yra vadinami mišrūs daliniai dariniai.

4 teorema. Tegul funkcija
apibrėžiamas kartu su daliniais jo išvestiniais ,,
,
kokioje nors taško kaimynystėje

Ir
šiuo metu nuolatinis. Tada mišrių darinių reikšmės šiuo metu yra lygios, t.y.

=

.

Antros eilės darinių daliniai išvestiniai dariniai vadinami trečios eilės daliniais išvestiniais:
ir tt

Dalinės išvestinės eilės dalinė išvestinė (bet kurio nepriklausomo kintamojo atžvilgiu). m-1 vadinamas daline tvarkos išvestine m.

4 teorema galioja ir mišrioms trečios, ketvirtos ir aukštesnės eilės išvestinėms. Pavyzdžiui, jei funkcija
apibrėžiamas kartu su jo dalinėmis išvestinėmis iki 3 eilės imtinai tam tikroje taško kaimynystėje
, ir mišrūs dariniai
,
Ir
yra ištisinės šiame taške, tada mišrių išvestinių vertės šiame taške yra lygios:

=

=

.

Antros eilės diferencialas dviejų kintamųjų funkcija vadinama pirmos eilės diferencialo diferencialu.

Jei funkcija
du kartus nepertraukiamai diferencijuojamas tam tikroje taško kaimynystėje
(t. y. yra ištisinės dalinės funkcijos išvestinės f iki antros eilės imtinai punkto apylinkėse
), Tada

.

10 pavyzdys. Raskime dvigubai tolydžio diferencijuojamos kompleksinės funkcijos antros eilės išvestines
, Kur
,
.

,
.

=

=
,

=

=
,

panašiai skaičiuojame

.

KRYPINĖ IŠVEDINĖ VEIKLA. GRADIENTAS

Leisti l - vieneto vektorius in
su koordinatėmis
.

Funkcijos išvestinė
link vektorius l taške
skambino .

Pažymima kryptinė išvestinė

.

Gradientas funkcijas f taške
yra vektorius, kurio koordinatės yra funkcijos dalinės išvestinės taške:

grad f
= (
,
) =
i +
j.

Nesunku parodyti, kad kryptinė išvestinė l lygus skaliarinis produktas gradiento vektorius ir vektorius l:

=

+

=
,

čia  – kampas tarp vektorių grad f
Ir l.

Iš paskutinės formulės išplaukia, kad išvestinė vektoriaus krypties atžvilgiu grad f
Tai turi didžiausia vertė tarp išvestinių įvairiomis kryptimis ir yra lygus gradiento vektoriaus moduliui.

11 pavyzdys. Raskime funkcijos išvestinę
taške M(1, 0) vektoriaus kryptimi MN, Kur N (5, 3) .

Vektorius MN turi koordinates (4, 3),
. Tai reiškia vieneto vektorių l turi koordinates (4/5, 3/5). Apskaičiuokime dalines išvestines taške M:
,
. Tada
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

12 pavyzdys. Raskime funkcijos išvestinę
taške (2,3) gradiento vektoriaus kryptimi šiame taške.

Apskaičiuokime dalines išvestines:

,
.

Išvestinė gradiento vektoriaus kryptimi taške yra lygi absoliučiai vektoriaus vertei grad f. Vadinasi,

LIETIMO PLOKŠTUMA IR NORMALI PAVIRŠIAUS

Skirtingiems taške
funkcijas
teisingas toks ryšys:

Kur
,
(tai išplaukia iš pirmosios eilės diferencialo apibrėžimo). Šansai A Ir IN yra aiškiai apibrėžti:
=A,
=IN.

Lygtis

yra plokštumos, einančios per tašką, lygtis
. Šis lėktuvas vadinamas liestinės plokštumaį funkcijos grafiką
taške
.

Taigi funkcijos grafiko liestinės plokštuma
taške yra tokia plokštuma, kad skirtumas tarp jos taikymo ir funkcijos reikšmės
šiuo metu yra kiekis, kuris yra be galo mažas, palyginti su  adresu   0 .

Funkcijos grafiko normaliosios lygtis
taške
atrodo kaip

.

Jei lygaus paviršiaus lygtis pateikta netiesiogiai
, tada liestinės plokštumos taške lygtis
atrodo kaip

ir normali lygtis šiuo metu yra:

.

13 pavyzdys. Parašykime paviršiaus liestinės plokštumos ir normaliosios lygtį
taške (-2, 1, 4).

,
. Tangentinės plokštumos lygtis yra: arba
.

Normalioji lygtis: .

KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS EKSTREMA

Taškas
vadinamas tašku vietinis maksimumas (vietinis minimumas) funkcijas
,
, jei yra taško kaimynystė
, visų taškų, kurių nelygybė

(
).

Vietiniai didžiausi taškai ir vietinis minimumas funkcijos vadinamos vietiniai ekstremumo taškai.

Pavyzdžiui, taškas (0,0) yra mažiausias funkcijos taškas
.

5 teorema (būtina sąlyga ekstremumui). Jei funkcija
turi taške
vietinis ekstremumas ir šioje vietoje yra dalinės išvestinės f, Tai

=0 ir
=0.

Taškas
paskambino stacionarus taškas funkcijas f, Jei
=0 ir
=0.

6 teorema (pakankama sąlyga ekstremumui). Tegul funkcija
du kartus nepertraukiamai diferencijuojamas kurioje nors stacionaraus taško kaimynystėje
.

Pažymime  =



- (

) 2 . Tada

1) jei  > 0, tada taške
funkcija f turi vietinį ekstremumą: maksimalus at

> 0 ir mažiausia ties

< 0;

2) jei  < 0, tada taške
funkcija f neturi ekstremumo;

3) jei  = 0, tada taške
funkcija f gali turėti arba neturėti vietinį ekstremumą (tokiu atveju reikia atlikti papildomus tyrimus).

14 pavyzdys. Nagrinėjame ekstremumo funkciją

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija u apibrėžtas ir diferencijuojamas visoje plokštumoje.
,
. Dalines išvestines prilyginę nuliui ir išsprendę gautą sistemą, randame stacionariuosius funkcijos taškus: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, todėl taškuose (1, 2) funkcija turi minimumą, u(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, todėl taške (-1, -2) funkcija turi maksimumą, u(-1, -2) = 31.

DIDŽIAUSIOS IR MAŽIAUSIOS FUNKCIJOS VERTĖS

Tegul funkcija
tęstinis ribotoje uždaroje aibėje D.

Prisiminkite, kad daugelis
paskambino ribotas, jei tokia kaimynystė yra U (0,0), kuris
U (0,0); krūva
paskambino uždaryta, jei jame yra visi ribiniai taškai.

Pagal Weierstrasso teoremą tokių taškų yra
Ir
, Ką
yra didžiausia aibėje esančios funkcijos reikšmė D, A
- mažiausia jo vertė rinkinyje D.

Funkcija, kuri yra diferencijuojama ribotame domene ir tęsiasi jos ribose, pasiekia didžiausią ir mažiausią reikšmes arba stacionarūs taškai, arba ribiniuose taškuose D.

15 pavyzdys. Raskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes rinkinyje D, apribotas tiesiomis linijomis
,
,
.

y(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) – nejudantis

funkciniai taškai u (žr. 14 pavyzdį), bet (-2,-1),

(-1,-2) nepriklauso D.

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Ištirkime funkcijos elgesį uįjungta

x nustatyti ribą D.

Ryžiai. 5
. Tai yra vieno kintamojo funkcija,

kuri priima mažiausia vertė taške
, ir didžiausia taško reikšmė
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. Šiame segmente
. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią atkarpos funkcijos reikšmes, apskaičiuojame jos reikšmes stacionariuose taškuose ir atkarpos galuose:
;
, Bet
, todėl skaičiuojame u (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Didžiausia reikšmė yra taške (0,4), o mažiausia yra taške (0,
);

3)
,
. Čia

.

Apskaičiuojame funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose ir atkarpos galuose: ;; u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0) = -45. Šioje ribos atkarpoje didžiausia funkcijos reikšmė yra taške (0,4), o mažiausia – taške (4,0).

Iš mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių, gautų 1)–3) dalyse įvairiose ribos atkarpose ir iš funkcijos reikšmių stacionariuose taškuose, parenkame didžiausią ir mažiausią. Didžiausia vertė: u (0,4) = 7, mažiausia reikšmė: u (4,0)= -45.