Материйн долгионы шинж чанарын тухай де Бройлигийн санааг боловсруулахдаа Э.Шредингер түүнийх алдартай тэгшитгэл. Шредингер бичил хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг харьцуулсан нарийн төвөгтэй функцкоординат ба цагийг тэрээр долгионы функц гэж нэрлэж, тодорхойлсон Грек үсэг"psi" (). Бид үүнийг psi функц гэж нэрлэх болно.

psi функц нь бичил бөөмийн төлөв байдлыг тодорхойлдог. Функцийн хэлбэрийг Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдээс олж авсан бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

Энд бөөмийн масс, i - төсөөллийн нэгж, - Лаплас оператор, тодорхой функц дээр ажилладаг үр дүн нь координаттай холбоотой хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативуудын нийлбэр юм.

(21.1) тэгшитгэлийн U үсэг нь координат ба цаг хугацааны функцийг илэрхийлдэг бөгөөд эсрэг тэмдгээр авсан градиент нь бөөмс дээр үйлчлэх хүчийг тодорхойлдог. Хэрэв U функц нь цаг хугацааны хувьд тодорхой хамаарахгүй бол энэ нь бөөмийн боломжит энергийн утгыг агуулна.

(21.1) тэгшитгэлээс харахад psi функцийн хэлбэр нь U функцээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл бөөмс дээр үйлчилж буй хүчний шинж чанараар тодорхойлогддог.

Шредингерийн тэгшитгэл нь харьцангуй бус квант механикийн үндсэн тэгшитгэл юм. Үүнийг бусад харилцаанаас гаргаж авах боломжгүй. Үүнийг анхны үндсэн таамаглал гэж үзэх нь зүйтэй бөгөөд үүний үр дагавар нь туршилтын баримтуудтай хамгийн зөв тохирч байгаагаар нотлогддог.

Шредингер өөрийн тэгшитгэлийг оптик-механик аналоги дээр үндэслэн байгуулсан. Энэ зүйрлэл нь гэрлийн цацрагийн замыг тодорхойлсон тэгшитгэлүүд дэх бөөмсийн траекторийг тодорхойлдог тэгшитгэлүүдтэй ижил төстэй байдалд оршдог. аналитик механик. Оптикийн хувьд цацрагийн зам нь Фермагийн зарчмыг хангадаг (механик дахь § 115-ыг үзнэ үү, траекторийн төрөл нь хамгийн бага үйл ажиллагааны зарчмыг хангадаг).

Хэрэв бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар нь хөдөлгөөнгүй байвал V функц нь цаг хугацаанаас шууд хамаардаггүй бөгөөд аль хэдийн дурдсанчлан боломжит энергийн утгыг агуулна. Энэ тохиолдолд Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдэл нь хоёр хүчин зүйлд хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөвхөн координатаас хамаарна, нөгөө нь зөвхөн цаг хугацаанд нь хамаарна.

Энд E нь бөөмийн нийт энерги бөгөөд энэ тохиолдолд суурин талбартогтмол хэвээр байна. (21.3) илэрхийллийн үнэн зөвийг шалгахын тулд үүнийг (21.1) тэгшитгэлд орлъё. Үүний үр дүнд бид харьцааг олж авдаг

-ээр бууруулсан нийтлэг үржүүлэгчфункцийг тодорхойлсон дифференциал тэгшитгэлд хүрнэ

(21.4) тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Дараах зүйлд бид зөвхөн энэ тэгшитгэлийг авч үзэх бөгөөд товчхондоо үүнийг Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэх болно. (21.4) тэгшитгэлийг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг

Шредингерийн тэгшитгэлд хэрхэн хүрч болохыг тайлбарлая. Энгийн байхын тулд бид өөрсдийгөө нэг хэмжээст тохиолдлоор хязгаарладаг. Чөлөөт хөдөлгөөнт бөөмийг авч үзье.

Де Бройлийн санааны дагуу үүнийг хавтгай долгионтой холбох хэрэгтэй

(В квант механикЭкспонентийг хасах тэмдэгтэй авдаг заншилтай). (18.1) ба (18.2)-д заасны дагуу Е ба -аар сольсноор бид илэрхийлэлд хүрнэ.

Энэ илэрхийллийг t-ийн хувьд нэг удаа, х-ийн хувьд хоёр дахь удаагаа хоёр удаа ялгаж, бид олж авна

Харьцангуй бус сонгодог механикт чөлөөт бөөмийн энерги E ба импульс нь харилцан хамааралтай байдаг.

Энэ хамааралд (21.7) илэрхийлэлийг E-г орлуулан, дараа нь -ээр бууруулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ нь (21.1) тэгшитгэлтэй давхцаж байгаа бол хэрэв бид сүүлд нь тавьсан бол

-ээр тодорхойлогддог хүчний талбарт хөдөлгөөнт бөөмсийн хувьд боломжит эрчим хүч U, энерги E, импульс нь хамаарлаар холбогддог

Энэ тохиолдолд E-ийн илэрхийлэлийг (21.7) өргөтгөж, бид олж авна

Энэ харьцааг үржүүлж, нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлснээр бид тэгшитгэлд хүрнэ

(21.1) тэгшитгэлтэй давхцаж байна.

Энэхүү үндэслэл нь нотлох хүчгүй бөгөөд Шредингерийн тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй гэж үзэж болохгүй. Тэдний зорилго бол энэ тэгшитгэлд хэрхэн хүрч болохыг тайлбарлах явдал юм.

Квант механикийн хувьд ойлголт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг Оператор гэдэг нь нэг функцийг (үүнийг тэмдэглэе) өөр функцтэй (үүнийг тэмдэглэе) холбох дүрэм юм. Үүнийг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичнэ.

Операторын бэлгэдлийн тэмдэглэгээг энд оруулав (ижил амжилттайгаар "малгай" бүхий бусад үсгийг авч болно, жишээлбэл, гэх мэт). Томъёо (21.2)-д Q-ын үүргийг F функц гүйцэтгэж, f-ийн үүрэг нь томьёоны баруун гар тал юм.

Гейзенберг квант механик дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл нь янз бүрийн бичил хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн гэсэн дүгнэлтэд хүргэсэн. хүчний талбарууд, туршилтаар ажиглагдсан утгыг дагаж мөрдөх тэгшитгэл байх ёстой долгионы шинж чанартоосонцор. Удирдах тэгшитгэл нь Ψ долгионы функцийн тэгшитгэл байх ёстой (x, y, z, t),учир нь энэ нь яг энэ, эсвэл илүү нарийвчлалтай, тоо хэмжээ |Ψ| 2, тухайн цаг мөчид бөөмс байх магадлалыг тодорхойлно тΔ эзлэхүүнээр V,өөрөөр хэлбэл координаттай хэсэгт XТэгээд x + dx, yТэгээд y + dу, zТэгээд z+ dz.

Харьцангуй бус квант механикийн үндсэн тэгшитгэлийг 1926 онд Э.Шредингер боловсруулсан. Шредингерийн тэгшитгэл нь физикийн бүх үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэгэн адил (жишээлбэл, сонгодог механик дахь Ньютоны тэгшитгэл, Максвеллийн тэгшитгэлүүд) цахилгаан соронзон орон), гарал үүсэлтэй биш, харин дэвшүүлсэн. Энэ тэгшитгэлийн зөвийг түүнээс олж авсан туршлагаараа баталгаажуулдаг үр дүнг ашиглах, энэ нь эргээд түүнд байгалийн хуулийн шинж чанарыг өгдөг.

Шредингерийн ерөнхий тэгшитгэл нь:

Хаана ? =ц/(2π), м- бөөмийн масс, Δ - Лаплас оператор , би- төсөөллийн нэгж, У(x, y, z, t) нь түүний хөдөлж буй хүчний талбар дахь бөөмийн боломжит функц, Ψ( x, y, z, t) - шаардлагатай үхэр шинэ шинж тэмдэгтоосонцор.

Тэгшитгэл (1) нь бага (гэрлийн хурдтай харьцуулахад) хурдтай хөдөлж буй аливаа бөөмийн (0-тэй тэнцүү спиралтай) хувьд хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл. υ "Хамт.

Энэ нь нөхцлөөр нэмэгддэг, долгионы функц дээр давхардсан:

1) долгионы функц нь төгсгөлтэй, хоёрдмол утгатай, тасралтгүй байх ёстой;

2) дериватив тасралтгүй байх ёстой;

3) функц |Ψ| 2 нь интегралч байх ёстой (энэ нөхцөл нь хамгийн энгийн тохиолдолд магадлалыг хэвийн болгох нөхцөл хүртэл буурдаг).

Тэгшитгэл (1) гэж нэрлэгддэг цаг хугацаанаас хамааралтай Шредингерийн тэгшитгэл.

Олон хүний ​​хувьд физик үзэгдлүүд, бичил ертөнцөд тохиолдож байгаа тэгшитгэл (1) нь Ψ-ийн цаг хугацааны хамаарлыг арилгах замаар хялбаршуулж болно, өөрөөр хэлбэл. Шредингерийн тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй төлөв - тогтмол энергийн утгатай төлөвийг ол. Хэрэв бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар нь хөдөлгөөнгүй, өөрөөр хэлбэл функц байвал энэ нь боломжтой юм U = U(x, y,z) цаг хугацаанаас тодорхой хамааралгүй бөгөөд боломжит энергийн утгыг агуулна. IN энэ тохиолдолдШредингерийн тэгшитгэлийн шийдийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

. (2)

Тэгшитгэл (2) хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Энэ тэгшитгэл нь параметр болгон нийт энергийг агуулдаг Этоосонцор. Дифференциал тэгшитгэлийн онолд ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг нь нотлогдсон байдаг. хилийн нөхцөлбайгаа шийдлүүдийг сонгох физик утга. Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд ийм нөхцөлүүд байна долгионы функцүүдийн тогтмол байдлын нөхцөл: Шинэ функцууд нь эхний деривативын хамт төгсгөлтэй, тодорхойгүй, тасралтгүй байх ёстой.

Тиймээс Ψ тогтмол функцээр илэрхийлэгдсэн шийдлүүд л бодит физик утгатай байна. Гэхдээ ямар ч параметрийн утгын хувьд ердийн шийдлүүд гардаггүй Э,гэхдээ зөвхөн тэдгээрийн тодорхой багцын хувьд, өгөгдсөн даалгаврын шинж чанар. Эдгээр энергийн утгыг хувийн утга гэж нэрлэдэг . Эрчим хүчний хувийн утгатай тохирох шийдлүүдийг хувийн функц гэж нэрлэдэг . Хувийн үнэ цэнэ Этасралтгүй болон аль алиныг нь үүсгэж болно салангид цуврал. Эхний тохиолдолд тэд тасралтгүй эсвэл хатуу спектрийн тухай, хоёрдугаарт - салангид спектрийн тухай ярьдаг.

Нэг хэмжээст тэгш өнцөгт "боломжит худаг" дахь бөөмсхязгааргүй өндөр "ханатай"

Гүйцэе чанарын шинжилгээХязгааргүй өндөр "хана" бүхий нэг хэмжээст тэгш өнцөгт "потенциал худаг" дахь бөөмсөнд хэрэглэсэн Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлүүд. Ийм "нүх" нь хэлбэрийн боломжит энергиэр тодорхойлогддог (хялбар байхын тулд бөөмс тэнхлэгийн дагуу хөдөлдөг гэж үздэг. X)

Хаана лнь "нүхний" өргөн бөгөөд энерги нь түүний ёроолоос тоологддог (Зураг 2).

Нэг хэмжээст бодлогын хувьд суурин төлөвийн Шредингерийн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.

. (1)

Асуудлын нөхцлийн дагуу (хязгааргүй өндөр "хана") бөөмс нь "нүх" -ээс цааш нэвтэрдэггүй тул "нүх" -ээс гадна түүнийг илрүүлэх магадлал (мөн долгионы функц) тэг байна. "Нүхний" хил дээр (ат X= 0 ба x = 1)тасралтгүй долгионы функц мөн алга болох ёстой.

Тиймээс энэ тохиолдолд хилийн нөхцөл нь дараахь хэлбэртэй байна.

Ψ (0) = Ψ ( л) = 0. (2)

"Нүхэн" дотор (0 ≤ X≤ 0) Шредингерийн тэгшитгэл (1) нь тэгшитгэлд буурна:

эсвэл . (3)

Хаана k 2 = 2mE / ? 2.(4)

Нийтлэг шийдвэр дифференциал тэгшитгэл (3):

Ψ ( x) = Анүгэл kx + Б cos kx.

(2)-ын дагуу Ψ (0) = 0, тэгвэл B = 0. Дараа нь

Ψ ( x) = Анүгэл kx. (5)

Нөхцөл Ψ ( л) = Анүгэл kl= 0 (2) зөвхөн үед биелнэ kl = nπ, Хаана n- бүхэл тоо, өөрөөр хэлбэл. энэ нь зайлшгүй юм

к = nπ/л. (6)

(4) ба (6) илэрхийллээс дараах байдалтай байна.

(n = 1, 2, 3,…), (7)

өөрөөр хэлбэл суурин тэгшитгэлХязгааргүй өндөр "хана" бүхий "потенциал худаг" дахь бөөмийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн Шредингер зөвхөн хувийн утгуудын хувьд л хангагдсан. E p,бүхэл тооноос хамаарна П.Тиймээс эрчим хүч E pХязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" дахь бөөмсийг зөвхөн хүлээн зөвшөөрдөг тодорхой дискрет утгууд, өөрөөр хэлбэл энэ нь квантлагдсан байна.

Эрчим хүчний хэмжигдэхүүн E pгэж нэрлэдэг эрчим хүчний түвшинболон тоо П,тодорхойлох эрчим хүчний түвшинбөөмс гэж нэрлэдэг үндсэн квант тоо.Тиймээс хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" дахь бичил бөөмс нь зөвхөн тодорхой энергийн түвшинд байж болно. E p,эсвэл тэдний хэлснээр бөөмс квант төлөвт байна П.

(5) утгыг орлуулах к(6) -аас бид хувийн функцийг олно:

.

Интеграцийн тогтмол байдал АБид хэвийн болгох нөхцлөөс олж, энэ тохиолдолд дараах хэлбэрээр бичнэ.

.

Интеграцчлалын үр дүнд бид олж авах бөгөөд хувийн функцууд нь дараах хэлбэртэй болно.

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Эрчим хүчний түвшинд (7) харгалзах хувийн функцүүдийн график (8). n= 1,2,3, Зураг дээр үзүүлэв. 3, А.Зураг дээр. 3, бнүхний "хана" -аас янз бүрийн зайд бөөмсийг илрүүлэх магадлалын нягтыг харуулж байна, Ψ-тэй тэнцүү. n(x)‌ 2 = Ψ n(x)·Ψ n * (x) Учир нь n = 1, 2 ба 3. Зурагнаас үзэхэд жишээлбэл, квант төлөвт n= 2, бөөмс нь "нүхний" голд байж болохгүй, мөн адил ихэвчлэн зүүн болон зөв хэсгүүд. Бөөмийн ийм зан байдал нь квант механик дахь бөөмийн траекторийн тухай ойлголтыг батлах боломжгүй гэдгийг харуулж байна.

(7) илэрхийллээс харахад зэргэлдээ хоёр түвшний хоорондох энергийн интервал дараахтай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, худгийн хэмжээс бүхий электроны хувьд л= 10 -1 м ( чөлөөт электронуудметаллаар) , Δ E n ≈ 10 -35 · n J ≈ 10 -1 6 n eV, өөрөөр хэлбэл. Эрчим хүчний түвшин маш ойрхон байрладаг тул спектрийг тасралтгүй гэж үзэж болно. Хэрэв худгийн хэмжээ нь атомын хэмжээтэй харьцуулж байвал ( l ≈ 10 -10 м), дараа нь электроны хувьд Δ E n ≈ 10 -17 nЖ ≈ 10 2 n eV, өөрөөр хэлбэл. Дискрет энергийн утгыг (шугамын спектр) олж авах нь ойлгомжтой.

Тиймээс, хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "потенциал худаг" дахь бөөмсөнд Шредингерийн тэгшитгэлийг хэрэглэх нь эрчим хүчний хэмжигдэхүүнд хүргэдэг бол сонгодог механик нь энэ бөөмийн энергид ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй.

Нэмж дурдахад, энэ асуудлыг квант механикаар авч үзэх нь хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг дахь" бөөмс нь π 2-той тэнцүү хамгийн бага энергиэс бага энергитэй байж болохгүй гэсэн дүгнэлтэд хүргэдэг. ? 2 /(2t1 2). Тэгээс өөр хамгийн бага энерги байгаа нь санамсаргүй биш бөгөөд тодорхойгүй байдлын хамаарлаас үүсдэг. Координатын тодорхойгүй байдал Δ X"Нүхэнд" байгаа тоосонцор өргөн лΔ-тэй тэнцүү X= л.

Дараа нь тодорхойгүй байдлын хамаарлын дагуу импульс нь яг, энэ тохиолдолд тэг утгатай байж болохгүй. Моментийн тодорхойгүй байдал Δ Р ≈ ц/л. Эрчний үнэт зүйлсийн энэхүү тархалт нь үүнтэй тохирч байна кинетик энерги E мин ≈(Δ х) 2 / (2м) = ? 2 / (2мл 2). Бусад бүх түвшин ( p> 1) энэ хамгийн бага утгаас хэтэрсэн энергитэй байх.

Томъёо (9) ба (7)-аас харахад их квант тоонуудын хувьд ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/П"1, өөрөөр хэлбэл зэргэлдээх түвшин нь ойрхон байрладаг: ойртох тусам илүү их байдаг П.Хэрэв Пмаш том бол бид түвшний бараг тасралтгүй дарааллын талаар ярьж болно онцлог шинж квант процессууд- салангид байдал жигдэрсэн. Энэ үр дүн нь Борын захидал харилцааны зарчмын (1923) онцгой тохиолдол бөгөөд үүний дагуу квант механикийн хуулиуд заавал байх ёстой. том үнэ цэнэ квант тоосонгодог физикийн хуулиуд руу шилжинэ.

§ 217. Шредингерийн ерөнхий тэгшитгэл. Хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл

Да Бройль долгион (§ 216-г үзнэ үү) ба Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын хамаарлыг (§ 215-ыг үзнэ үү) статистик тайлбар нь янз бүрийн хүчний талбар дахь микро хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн квант механик дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл нь тэгшитгэл байх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүргэсэн. Үүнээс бөөмсийн туршилтын долгионы шинж чанарыг ажиглаж болно. Удирдах тэгшитгэл нь долгионы функцтэй холбоотой тэгшитгэл байх ёстой (x, у, z, т ), Учир нь яг энэ, эсвэл бүр тодорхой хэлбэл, тоо хэмжээ нь тухайн цаг мөчид бөөмс байх магадлалыг тодорхойлдог.т эзлэхүүнээрdV , өөрөөр хэлбэл координаттай хэсэгтx Тэгээд x + dx . y Тэгээд y + dy . зуз + dz . Шаардлагатай тэгшитгэл нь бөөмсийн долгионы шинж чанарыг харгалзан үзэх ёстой тул энэ нь тэгшитгэлийг тодорхойлсон тэгшитгэлтэй төстэй долгионы тэгшитгэл байх ёстой. цахилгаан соронзон долгион.

Үндсэн тэгшитгэлхарьцангуй бус квант механик 1926 онд Э.Шредингер томъёолсон. Шредингерийн тэгшитгэл нь физикийн бүх үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэгэн адил (жишээлбэл, сонгодог механик дахь Ньютоны тэгшитгэл, цахилгаан соронзон орны Максвеллийн тэгшитгэл) нь гарал үүсэлтэй биш, харин үндэслэлтэй байдаг. Энэхүү тэгшитгэлийн зөвийг түүний тусламжтайгаар олж авсан үр дүнгийн туршлагатай тохиролцсоноор баталж байгаа бөгөөд энэ нь эргээд түүнд байгалийн хуулийн шинж чанарыг өгдөг. Шредингерийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

(217.1)

Хаана,Т - бөөмийн масс, - Лаплас оператор ,

- төсөөллийн нэгж,В (х, у, z , т ) - түүний хөдөлж буй хүчний талбар дахь бөөмийн боломжит функц;(х, у, z, т ) - бөөмийн хүссэн долгионы функц.

Тэгшитгэл (217.1) нь бага хурдтай (гэрлийн хурдтай харьцуулахад) хөдөлж буй аливаа бөөмийн (0-тэй тэнцүү эргэлттэй; § 225-ыг үзнэ үү) хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл хурдтай Энэ нь долгионд тавигдах нөхцлөөр нэмэгддэг. функц: 1) долгионы функц нь төгсгөлтэй, хоёрдмол утгагүй, тасралтгүй байх ёстой (§ 216-г үзнэ үү); 2) дериватив тасралтгүй байх ёстой; 3) функц нь байх ёстой

нэгтгэх боломжтой; Энэ нөхцөл нь хамгийн энгийн тохиолдолд магадлалыг хэвийн болгох нөхцөл (216.3) хүртэл буурдаг.

Шрөдингерийн тэгшитгэлд хүрэхийн тулд де Бройлийн санааны дагуу чөлөөтэй хөдөлж буй бөөмсийг авч үзье. хавтгай долгион. Энгийн байхын тулд бид нэг хэмжээст тохиолдлыг авч үздэг. Тэнхлэгийн дагуу тархах хавтгай долгионы тэгшитгэл X, хэлбэртэй байна (§ 154-ийг үзнэ үү), эсвэл нийлмэл тэмдэглэгээ Тиймээс хавтгай

де Бройль долгион нь хэлбэртэй байдаг

(217.2)

(үүнийг харгалзан үзсэн болно Квант механикт экспонентыг хасах тэмдгээр авдаг.

гэхдээ энэ нь зөвхөн физик утгатай тул энэ нь (217.2-ыг үзнэ үү) чухал биш юм. Дараа нь

хаана

Эрчим хүчний хоорондын хамаарлыг ашиглахЭ ба импульс болон орлуулах илэрхийлэл

(217.3) бид дифференциал тэгшитгэлийг олж авна

тухайн тохиолдолд (217.1) тэгшитгэлтэй давхцаж байнаУ =0 (бид чөлөөт бөөмс гэж үзсэн).

Хэрэв бөөмс нь боломжит энергиээр тодорхойлогддог хүчний талбарт хөдөлж байвалУ , Тэр

нийт эрчим хүчЭ тогтоно ердийн бодит болон боломжит энерги. Үүнтэй төстэй үйл ажиллагаа явуулж байна

хоорондын хамаарлыг үндэслэл болгож ашиглахЭ ТэгээдР (энэ тохиолдолд бид ирнэ

° (217.1) -тэй давхцаж буй дифференциал тэгшитгэл рүү.

Дээрх үндэслэлийг Шредингерийн тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй гэж үзэж болохгүй. Тэд зөвхөн энэ тэгшитгэлд хэрхэн хүрч болохыг тайлбарладаг. Шредингерийн тэгшитгэлийн зөв байдлын нотолгоо нь түүний хүргэж буй дүгнэлтийн туршлагатай тохирч байгаа явдал юм.

Тэгшитгэл (217.1) нь Шредингерийн ерөнхий тэгшитгэл юм. Үүнийг мөн цаг хугацаанаас хамааралтай Шроеднагерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Бичил ертөнцөд тохиолддог олон физик үзэгдлийн хувьд (217.1) тэгшитгэлийг цаг хугацааны хамаарлыг арилгах замаар хялбарчилж, өөрөөр хэлбэл Шредингерийн тэгшитгэлийг олно. суурин төлөвүүд - тогтмол эрчим хүчний утгатай мужууд. Хэрэв бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар нь хөдөлгөөнгүй, өөрөөр хэлбэл функц байвал энэ нь боломжтой юм цаг хугацаанаас шууд хамаардаггүй бөгөөд боломжит энергийн утгыг агуулдаг. Энэ тохиолдолд Шрөдингерийн тэгшитгэлийн шийдлийг хоёр функцийн үржвэрээр илэрхийлж болох бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөвхөн координатын функц, нөгөө нь зөвхөн цаг хугацааны функц бөгөөд цаг хугацааны хамаарлыг үржүүлэгчээр илэрхийлнэ.

Тэгэхээр

ХаанаЭ нь хөдөлгөөнгүй талбайн хувьд тогтмол бөөмийн нийт энерги юм. (217.4)-ийг (217.1) орлуулснаар бид олж авна

эндээс нийтлэг хүчин зүйл болон харгалзах хувиргалтаар хуваасны дараа

Бид функцийг тодорхойлсон тэгшитгэлд хүрнэ

(217.5)

(217.5) тэгшитгэлийг хөдөлгөөнгүй төлөвт зориулсан Шредингерийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ тэгшитгэл нь параметр болгон нийт энергийг агуулдаг Э тоосонцор. Дифференциал тэгшитгэлийн онолд ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг бөгөөд тэдгээрээс физикийн утгатай шийдлүүдийг хилийн нөхцлөөр сонгож авдаг нь батлагдсан. Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд ийм нөхцөлүүд нь долгионы функцүүдийн тогтмол байдлын нөхцөл юм: долгионы функцүүд нь эхний деривативуудын хамт төгсгөлтэй, нэг утгатай, тасралтгүй байх ёстой. Тиймээс зөвхөн ердийн функцээр илэрхийлэгдсэн шийдлүүд нь бодит физик утгатай байдаг боловч параметрийн ямар ч утгын хувьд ердийн шийдлүүд гардаггүй Э, гэхдээ зөвхөн тэдгээрийн тодорхой багцын хувьд, өгөгдсөн даалгаврын шинж чанар. Эдгээр энергийн утгыг зохих утга гэж нэрлэдэг. Шийдлүүд, энергийн хувийн утгатай тохирохыг хувийн функц гэнэ. Хувийн үнэ цэнэ Э байнгын аль алиныг нь үүсгэж болно

тасархай ба салангид цувралууд. Эхний тохиолдолд тэд тасралтгүй эсвэл хатуу спектрийн тухай, хоёр дахь нь салангид спектрийн тухай ярьдаг.

§ 218. Учир шалтгааны зарчим ■ квант механик

Тодорхойгүй байдлын хамаарлаас ихэвчлэн учир шалтгааны зарчмыг бичил сансарт тохиолддог үзэгдлүүдэд хэрэглэх боломжгүй гэсэн дүгнэлтийг гаргадаг. Энэ нь дараах бодол дээр үндэслэсэн болно. Сонгодог механикт учир шалтгааны зарчмын дагуу - зарчимСонгодог детерминизм нь тодорхой цаг хугацааны системийн мэдэгдэж буй төлөв байдал (системийн бүх бөөмсийн координат ба моментийн утгуудаар бүрэн тодорхойлогддог) болон түүнд хэрэглэсэн хүчнүүдэд тулгуурлан түүнийг бүрэн үнэн зөв тодорхойлох боломжтой. дараагийн ямар ч мөчид мэдэгдэнэ. Тиймээс, сонгодог физикучир шалтгааны тухай дараах ойлголт дээр суурилдаг: төлөв механик системВ эхлэх мөчбөөмсийн харилцан үйлчлэлийн мэдэгдэж буй хуультай цаг хугацаа нь шалтгаан, түүний дараагийн агшин дахь төлөв байдал нь үр дагавар юм.

Нөгөөтэйгүүр, бичил биетүүд нэгэн зэрэг тодорхой координат ба тодорхой харгалзах импульсийн проекцтой байж чадахгүй (тодорхойгүй байдлын хамаарлаар (215.1) тогтоосон), тиймээс системийн төлөв байдал эхний мөчид байна гэж дүгнэв. нарийн тодорхойлоогүй байна. Хэрэв системийн төлөвийг цаг хугацааны эхний мөчид тогтоогоогүй бол дараагийн төлөвийг урьдчилан таамаглах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл учир шалтгааны зарчим зөрчигддөг.

Гэсэн хэдий ч квант механикт бичил биетийн төлөв байдлын тухай ойлголт нь сонгодог механикаас тэс өөр утгыг авдаг тул бичил биеттэй холбоотой учир шалтгааны зарчмыг зөрчих явдал ажиглагддаггүй. Квант механикийн хувьд микро объектын төлөвийг долгионы функцээр бүрэн тодорхойлдог (x, у,z, т), модулийн квадрат нь (x, у,z, т)\ 2 координаттай цэгээс бөөмсийг олох магадлалын нягтыг тодорхойлдог x, y,z.

Хариуд нь долгионы функц (x, у,z, т) нь функцийн цаг хугацааны анхны деривативыг агуулсан Шредингерийн тэгшитгэлийг (217.1) хангана. Энэ нь мөн функцийг (t 0 хугацааны хувьд) зааж өгөх нь дараагийн мөчүүдэд түүний утгыг тодорхойлно гэсэн үг юм. Тиймээс квант механикт анхны төлөв

Шалтгаан байдаг бөгөөд дараагийн мөчид байгаа байдал нь үр дагавар юм. Энэ бол квант механик дахь учир шалтгааны зарчмын хэлбэр юм, өөрөөр хэлбэл функцийг зааж өгөх нь түүний дараагийн мөчүүдийн утгыг урьдчилан тодорхойлдог. Ийнхүү квант механикт тодорхойлсон бичил бөөмсийн системийн төлөв байдал нь учир шалтгааны зарчмын дагуу өмнөх төлөвөөс хоёрдмол утгагүй дагадаг.

Физикчдийн дунд маш өргөн тархсан ардын аман зохиолын дагуу ийм зүйл болсон: 1926 онд Цюрихийн их сургуулийн эрдэм шинжилгээний семинарт онолын физикч үг хэлжээ. Тэрээр агаарт байгаа хачирхалтай шинэ санаа, бичил биетүүд бөөмс гэхээсээ илүү долгион шиг ажилладаг тухай ярьжээ. Дараа нь өндөр настай багш үг хэлэхийг хүсээд: "Шредингер, энэ бүхэн дэмий зүйл гэдгийг та харахгүй байна уу? Эсвэл бид бүгд долгион нь долгионы тэгшитгэлээр дүрслэгдэх долгион гэдгийг мэддэггүй юм уу?" Шрөдингер үүнийг хувийн доромжлол гэж хүлээн авч, квант механикийн хүрээнд бөөмсийг дүрслэх долгионы тэгшитгэл боловсруулахаар зорьж, энэ ажлыг гайхалтай даван туулсан.

Энд тайлбар хийх хэрэгтэй. Бидний өдөр тутмын ертөнцөд энерги нь хоёр янзаар дамждаг: нэг газраас нөгөө рүү шилжих үед бодисоор (жишээ нь, хөдөлж буй зүтгүүр эсвэл салхи) - бөөмс ийм энерги дамжуулахад оролцдог - эсвэл долгионоор (жишээлбэл, радио долгионоор дамжуулдаг. хүчирхэг дамжуулагчаар дамжуулж, манай телевизийн антеннуудад баригдсан). Өөрөөр хэлбэл, та бид хоёрын амьдардаг макро сансарт бүх эрчим хүчний тээвэрлэгч нь корпускуляр (материалын хэсгүүдээс бүрддэг) эсвэл долгион гэсэн хоёр төрөлд хуваагддаг. Энэ тохиолдолд аливаа долгионыг дүрсэлсэн болно тусгай төрөлтэгшитгэл - долгионы тэгшитгэл. Бүх давалгаа, үл хамаарах зүйл бол далайн давалгаа, газар хөдлөлтийн долгион чулуулаг, алс холын галактикийн радио долгионыг ижил төрлийн долгионы тэгшитгэлээр дүрсэлсэн. Хэрэв бид атомын доорх ертөнцийн үзэгдлүүдийг магадлалын тархалтын долгионоор дүрслэхийг хүсвэл (Квантын механикийг үзнэ үү) эдгээр долгионыг мөн харгалзах долгионы тэгшитгэлээр дүрслэх ёстой гэдгийг тодорхой болгохын тулд энэхүү тайлбар зайлшгүй шаардлагатай.

Шредингер долгионы функцийн сонгодог дифференциал тэгшитгэлийг магадлалын долгионы үзэл баримтлалд хэрэглэж, өөрийн нэрээр нэрлэгдсэн алдарт тэгшитгэлийг олж авсан. Ердийн долгионы функцийн тэгшитгэл нь жишээ нь усны гадаргуу дээрх долгионы тархалтыг тодорхойлдог шиг Шредингерийн тэгшитгэл нь орон зайн өгөгдсөн цэг дээр бөөмс олох магадлалын долгионы тархалтыг тодорхойлдог. Энэ долгионы оргилууд (хамгийн их магадлалын цэгүүд) нь бөөмс орон зайд хаана төгсөх магадлалтайг харуулдаг. Хэдийгээр Шрөдингерийн тэгшитгэл нь бүс нутагт хамаардаг дээд математик, үүнийг ойлгох нь маш чухал юм орчин үеийн физик, би үүнийг энд үзүүлсээр байх болно - хамгийн энгийн хэлбэрээр ("нэг хэмжээст хөдөлгөөнгүй Шредингерийн тэгшитгэл" гэж нэрлэгддэг). Грек үсгээр (psi) тэмдэглэсэн дээрх магадлалын тархалтын долгионы функц нь дараах дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм (хэрэв та үүнийг ойлгохгүй байгаа бол зүгээр; энэ тэгшитгэл нь магадлал нь долгион шиг ажилладагийг харуулж байна гэдэгт итгэ. ): :

Шредингерийн тэгшитгэлийн бидэнд өгдөг квант үйл явдлын зураг нь электрон ба бусад энгийн бөөмсдалайн гадарга дээрх долгион шиг аашилдаг. Цаг хугацаа өнгөрөхөд долгионы оргил нь (электрон байх магадлал өндөртэй) энэ долгионыг дүрсэлсэн тэгшитгэлийн дагуу орон зайд хөдөлдөг. Өөрөөр хэлбэл, бидний уламжлалт бөөмс гэж үздэг зүйл нь квант ертөнцийн долгионтой адил ажилладаг.

Шрөдингер үр дүнгээ анх нийтлэх үед дэлхий онолын физикнэг аяга усанд шуурга болов. Баримт нь бараг тэр үед Шредингерийн орчин үеийн Вернер Хайзенбергийн бүтээл гарч ирэв (Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчмыг үзнэ үү), үүнд зохиолч квант механикийн ижил асуудлуудыг шийдсэн "матриц механик" гэсэн ойлголтыг дэвшүүлсэн. өөр, илүү төвөгтэй системд. математикийн цэгматрицын хэлбэрийг харах. Эрдэмтэд энэ хоёр хүн орсон эсэхээс айж байснаас үймээн самуун гарсан байна тэнцүүбичил ертөнцийг дүрслэх итгэл үнэмшилтэй аргууд. Санаа зоволт нь дэмий хоосон байв. Тэр жил Шрөдингер өөрөө хоёр онолын бүрэн тэнцүү болохыг нотолсон - өөрөөр хэлбэл матрицын тэгшитгэл нь долгионы тэгшитгэлээс гардаг ба эсрэгээр; үр дүн нь ижил байна. Өнөөдөр энэ нь голчлон Шредингерийн хувилбар (заримдаа "долгионы механик" гэж нэрлэдэг) бөгөөд түүний тэгшитгэл нь илүү төвөгтэй, заахад хялбар байдаг тул ашигладаг.

Гэсэн хэдий ч электрон шиг зүйл долгион шиг ажилладаг гэдгийг төсөөлж, хүлээн зөвшөөрөх нь тийм ч хялбар биш юм. IN Өдөр тутмын амьдралбид бөөмс эсвэл долгионтой мөргөлддөг. Бөмбөг бол бөөмс, дуу бол долгион, тэгээд л болоо. Квант механикийн ертөнцөд бүх зүйл тийм ч энгийн зүйл биш юм. Үнэн хэрэгтээ, туршилтууд үүнийг удалгүй харуулсан - квант ертөнцөд биетүүд бидний мэддэг объектуудаас ялгаатай бөгөөд өөр өөр шинж чанартай байдаг. Бидний долгион гэж боддог гэрэл нь заримдаа бөөмс (фотон гэж нэрлэдэг), электрон, протон гэх мэт бөөмс нь долгион шиг ажилладаг (Нэмэлт зарчмыг үзнэ үү).

Энэ асуудлыг ихэвчлэн квант бөөмсийн хос буюу хос бөөмс долгионы шинж чанар гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь атомын доорх ертөнцийн бүх объектын шинж чанар юм (Бэллийн теоремыг үзнэ үү). Бичил ертөнцөд бодис ямар хэлбэртэй байж болох, хэрхэн биеэ авч явах тухай бидний ердийн зөн совингийн санаанууд огт хэрэгжихгүй гэдгийг бид ойлгох ёстой. Бид бөөмс гэж бодож дассан зүйлийнхээ хөдөлгөөнийг долгионы тэгшитгэлээр дүрсэлж байгаа нь үүний тод нотолгоо юм. Танилцуулгад дурдсанчлан үүнд онцгой зөрчил байхгүй. Эцсийн эцэст, бидний макро сансарт ажиглаж буй зүйл нь бичил ертөнцийн түвшинд үнэн зөв хуулбарлагдах ёстой гэдэгт итгэх үндэслэлтэй шалтгаан бидэнд байхгүй. Гэсэн хэдий ч энгийн бөөмсийн хоёрдмол шинж чанар нь олон хүмүүсийн хувьд квант механикийн хамгийн ойлгомжгүй, түгшүүртэй талуудын нэг хэвээр байгаа бөгөөд бүх бэрхшээл Эрвин Шрөдингерээс эхэлсэн гэж хэлэхэд хэтрүүлэг болохгүй.

Жеймс Трефилийн нэвтэрхий толь бичиг "Шинжлэх ухааны мөн чанар. Орчлон ертөнцийн 200 хууль."

Жеймс Трефил бол Жорж Мэйсон Их Сургуулийн (АНУ) физикийн профессор бөгөөд барууны алдартай шинжлэх ухааны ном зохиогчдын нэг юм.

Квант механикийг үндэслэгчдийн нэг Макс Планк энергийн квантчлалын санааг дэвшүүлж, саяхан нээгдсэн цахилгаан соронзон долгион ба атомуудын харилцан үйлчлэлийг онолын үүднээс тайлбарлаж, улмаар хар биетийн цацрагийн асуудлыг шийдэхийг оролдсон. Атомуудын ажиглагдсан цацрагийн спектрийг тайлбарлахын тулд атомууд хэсэг хэсгээрээ (эрдэмтэн үүнийг квант гэж нэрлэдэг) зөвхөн бие даасан долгионы давтамжаар энерги ялгаруулж, шингээдэг гэдгийг ойлгох хэрэгтэй гэдгийг тэрээр ойлгосон.

Мэдээжийн хэрэг хар бие, бүрэн шингээнэ цахилгаан соронзон цацрагямар ч давтамжтай, халах үед бүх давтамжийн спектрт жигд тархсан долгион хэлбэрээр энерги ялгаруулдаг.

“Квант” гэдэг үг нь латин квант (“хэр их, хэр их”) ба англи хэлний квант (“тоо хэмжээ, хэсэг, квант”) гэсэн үгнээс гаралтай. "Механик" гэдэг нь материйн хөдөлгөөний шинжлэх ухааныг эрт дээр үеэс нэрлэж ирсэн. Иймээс "квант механик" гэсэн нэр томъёо нь материйн хэсэг хэсгээр (эсвэл орчин үеийн хэллэгээр) хөдөлгөөний тухай шинжлэх ухаан гэсэн үг юм. шинжлэх ухааны хэлхэмжигдсэн бодисын хөдөлгөөний шинжлэх ухаан). "Квант" гэсэн нэр томъёог Германы физикч Макс Планк гэрлийн атомуудтай харилцан үйлчлэлцэхийг тайлбарлахын тулд гаргаж авсан.

Субатомын ертөнцийн нэг баримт бол электрон эсвэл фотон гэх мэт түүний объектууд нь макро ертөнцийн ердийн объектуудтай огт төстэй байдаггүй явдал юм. Тэд бөөмс шиг ч биш, долгион шиг ч биш, харин бүрэн мэт ажилладаг тусгай боловсрол, долгион болон хоёуланг нь үзүүлж байна корпускуляр шинж чанарнөхцөл байдлаас шалтгаална. Мэдэгдэл гаргах нь нэг хэрэг, харин квант бөөмсийн үйл ажиллагааны долгион ба бөөмсийн талуудыг хооронд нь холбож, тэдгээрийг яг тэгшитгэлээр дүрслэх нь огт өөр зүйл юм. Де Бройлийн харилцаанд яг ийм зүйл хийсэн.

Өдөр тутмын амьдралд энергийг бөөмс эсвэл долгионоор дамжуулах хоёр арга байдаг. IN өдөр тутмын амьдралЭрчим хүч дамжуулах хоёр механизмын хооронд харагдахуйц зөрчилдөөн байдаггүй. Тэгэхээр сагсан бөмбөг бол бөөмс, дуу чимээ бол долгион, бүх зүйл тодорхой. Гэсэн хэдий ч квант механикийн хувьд бүх зүйл тийм ч хялбар биш юм. Хамгийн энгийн туршилтуудаас ч гэсэн квант объектуудудалгүй бичил ертөнцөд бидний дассан макро ертөнцийн зарчим, хууль үйлчилдэггүй нь тодорхой болно. Бидний долгион гэж төсөөлж дассан гэрэл нь заримдаа бөөмсийн урсгалаас (фотон) тогтдог мэт аашилдаг ба электрон, бүр асар том протон зэрэг энгийн бөөмсүүд нь ихэвчлэн долгионы шинж чанарыг харуулдаг.

Хамгийн гол нь Эйнштейн бичил ертөнцийн үзэгдлийг координат, бөөмийн хурдны ердийн байрлалаас бус харин магадлал, долгионы функцээр тайлбарлах хэрэгцээг эсэргүүцэж байв. "Шоо өнхрүүлэх" гэдэг нь үүнийг л хэлэх гэсэн юм. Электронуудын хөдөлгөөнийг хурд, координатаар нь дүрслэх нь тодорхойгүй байдлын зарчимтай зөрчилддөг гэдгийг тэрээр хүлээн зөвшөөрсөн. Гэхдээ бичил ертөнцийн квант механик дүр төрх бүрэн бүтэн байдал, детерминизмын зам руу буцаж ирэхийг харгалзан үзэх өөр зарим хувьсагч эсвэл параметрүүд байх ёстой гэж Эйнштейн үзэж байна. Өөрөөр хэлбэл, бид бүгдийг ойлгодоггүй учраас Бурхан бидэнтэй шоо тоглож байгаа юм шиг л санагдаж байна гэж тэр хэлэв. Ийнхүү тэрээр квант механикийн тэгшитгэлд далд хувьсагчийн таамаглалыг анх гаргасан. Үнэн хэрэгтээ электронууд нь Ньютоны бильярдны бөмбөг шиг тогтмол координат, хурдтай байдаг бөгөөд тодорхойгүй байдлын зарчим, тэдгээрийг квант механикийн хүрээнд тодорхойлох магадлалын хандлага нь онолын бүрэн бус байдлын үр дүн юм. Энэ нь яагаад тэднийг тодорхой тодорхойлохыг зөвшөөрдөггүй юм бэ?

Юлия Зотова

Та сурах болно: Ямар технологиудыг квант гэж нэрлэдэг, яагаад. Квантын технологи нь сонгодог технологиос юугаараа давуу вэ? Юу хийж болох, чадахгүй квант компьютер. Физикчид хэрхэн квант компьютер хийдэг. Хэзээ бий болох вэ.

Францын физикч Пьер Симон Лаплас тавьсан чухал асуулт, дэлхийн бүх зүйл дэлхийн өмнөх төлөв байдлаас урьдчилан тодорхойлогддог эсэх, эсвэл шалтгаан нь хэд хэдэн үр дагаварт хүргэж болзошгүй эсэх талаар. Философийн уламжлалын дагуу Лаплас өөрөө "Дэлхийн тогтолцооны үзэсгэлэн" номондоо ямар ч асуулт асуугаагүй, харин "Тийм ээ, дэлхий дээрх бүх зүйл урьдчилан тодорхойлогддог" гэсэн бэлэн хариултыг хэлсэн боловч философид ихэвчлэн тохиолддог. Лапласын санал болгосон ертөнцийн дүр зураг хүн бүрт итгүүлээгүй тул түүний хариулт өнөөг хүртэл үргэлжилж буй асуудлын эргэн тойронд маргаан үүсгэв. Зарим философичдын үзэж байгаагаар квант механик шийдэгдсэн энэ асуултмагадлалын хандлагыг дэмжсэн боловч Лапласын бүрэн урьдчилан тодорхойлох онол буюу өөрөөр хэлбэл Лапласын детерминизмын онол өнөөг хүртэл яригдсаар байна.

Гордей Лесовик

Хэсэг хугацааны өмнө хэсэг зохиогчид бид хоёр термодинамикийн хоёр дахь хуулийг квант механикийн үүднээс гаргаж эхэлсэн. Жишээлбэл, түүний нэг томъёололд энтропи гэж заасан байдаг хаалттай систембуурахгүй, ихэвчлэн нэмэгддэг, заримдаа систем нь эрчим хүчээр тусгаарлагдсан тохиолдолд тогтмол хэвээр байна. Мэдэгдэж буй үр дүнг ашиглах квант онолМэдээллийн дагуу бид энэ мэдэгдэл үнэн болох зарим нөхцөлийг олж авсан. Гэнэтийн байдлаар эдгээр нөхцөл нь системийн эрчим хүчний тусгаарлах нөхцөлтэй давхцахгүй байна.

Физикийн профессор Жим Аль-Халили хамгийн нарийн бөгөөд хамгийн будлиантайг нь судалжээ шинжлэх ухааны онолууд- квант физик. 20-р зууны эхэн үед эрдэмтэд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн атомын доорх барилгын материал болох материйн далд гүнийг судалсан. Тэд урьд өмнө үзэгдэж байсан зүйлээс ялгаатай үзэгдлүүдийг олж илрүүлсэн. Бүх зүйл нэгэн зэрэг олон газар байж болох, бодит байдал нь зөвхөн бид үүнийг ажиглах үед л оршдог ертөнц. Альберт Эйнштейн санамсаргүй байдал нь байгалийн гол цөм нь байдаг гэсэн санааг эсэргүүцсэн. Квантын физиксубатомын тоосонцор харилцан үйлчилж болно гэсэн үг илүү хурдан хурдгэрэл бөгөөд энэ нь түүний харьцангуйн онолтой зөрчилдөж байна.

Де Бройль долгионы статистик тайлбараас (§ ба Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын хамаарлыг үзнэ үү (§ 215-ыг үзнэ үү)) янз бүрийн хүчний талбар дахь микро бөөмсийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн квант механик дахь хөдөлгөөний тэгшитгэл нь ажиглалт хийх тэгшитгэл байх ёстой гэж үзсэн. дагах болно - бөөмсийн долгионы шинж чанарыг туршилтаар тодорхойлсон.

Гол тэгшитгэл нь долгионы функцтэй холбоотой тэгшитгэл байх ёстой, учир нь энэ нь яг тодорхой, эсвэл тодорхой хэлбэл, цаг хугацааны агшинд бөөмс байх магадлалыг тодорхойлдог |Ф|2 утга юм. тэзлэхүүнээр dV,координат бүхий талбайд болон X+ dx, y+dy,

zболон Шаардлагатай тэгшитгэл нь бөөмсийн долгионы шинж чанарыг харгалзан үзэх ёстой тул ийм байх ёстой долгионы тэгшитгэл, цахилгаан соронзон долгионыг дүрсэлсэн тэгшитгэлтэй төстэй. Үндсэн тэгшитгэл харьцангуй бус квант механик 1926 онд Э.Шредингер томъёолсон. Шредингерийн тэгшитгэл нь физикийн бүх үндсэн тэгшитгэлүүдийн нэгэн адил (жишээлбэл, сонгодог механик дахь Ньютоны тэгшитгэл, цахилгаан соронзон орны Максвеллийн тэгшитгэл) нь гарал үүсэлтэй биш, харин үндэслэлтэй байдаг. Энэхүү тэгшитгэлийн зөвийг түүний тусламжтайгаар олж авсан үр дүнгийн туршлагатай тохиролцсоноор баталж байгаа бөгөөд энэ нь эргээд түүнд байгалийн хуулийн шинж чанарыг өгдөг. Тэгшитгэл

Шредингер маягтай

Төсөөллийн нэгж, у, з, т) -

Боломжит функцтүүний хөдөлж буй хүчний талбар дахь бөөмс; z, t) -хүссэн долгионы функц

Энэ тэгшитгэл нь бага (гэрлийн хурдтай харьцуулахад) хурдтай хөдөлж буй аливаа бөөмийн хувьд (0-тэй тэнцүү эргэлттэй; § 225-ыг үзнэ үү) хүчинтэй, өөрөөр хэлбэл. v-тай. Энэ нь долгионы функцэд тавигдах нөхцлөөр нэмэгддэг: 1) долгионы функц нь хязгаарлагдмал, хоёрдмол утгатай, тасралтгүй байх ёстой (§ 216-г үзнэ үү);

2) дериватив -, -, --, заавал-

dh doo

бид тасралтгүй байх ёстой; 3) |Ф|2 функц нь интегралч байх ёстой; Энэ нөхцөл байдал хамгийн энгийн тохиолдолд хүртэл буурдаг

Хэвийн нөхцөл (216.3).

Шрөдингерийн тэгшитгэлд хүрэхийн тулд де Бройлийн хэлснээр нэг хэмжээст тохиолдлыг авч үзье. Тэнхлэгийн дагуу тархах хавтгай долгионы тэгшитгэл X,маягттай (§ 154-ийг үзнэ үү) t) = А cos - эсвэл цогц тэмдэглэгээ т)-Тиймээс хавтгай де Бройль долгион нь хэлбэртэй байна

(217.2)

(үүнийг харгалзан үзсэн болно - = -). Квантаар

Экспонентийг "-" тэмдгээр авдаг, учир нь зөвхөн |Ф|2 нь физик утгатай тул энэ нь чухал биш юм. Дараа нь

Эрчим хүчний хоорондын хамаарлыг ашиглах Эба импульс = --) ба орлуулах

илэрхийлэл (217.3), бид дифференциал тэгшитгэлийг олж авна

тухайн тохиолдлын тэгшитгэлтэй давхцаж байна U- O (бид чөлөөт бөөмс гэж үзсэн).

Хэрэв бөөмс нь боломжит энергиээр тодорхойлогддог хүчний талбарт хөдөлж байвал У,дараа нь нийт энерги Экинетик ба боломжит энергиэс бүрддэг. Үүнтэй төстэй үндэслэлийг гаргаж, хоорондын хамаарлыг ашиглах ("for

Тохиолдол = E -U),(217.1) -тэй давхцаж буй дифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.

Дээрх үндэслэл Шредингерийн тэгшитгэлийн гарал үүсэлтэй гэж ойлгож болохгүй.Тэд зөвхөн энэ тэгшитгэлд хэрхэн хүрч болохыг тайлбарладаг. Шредингерийн тэгшитгэлийн зөв байдлын нотолгоо нь түүний хүргэж буй дүгнэлтийн туршлагатай тохирч байгаа явдал юм.

Тэгшитгэл (217.1) байна Шредингерийн ерөнхий тэгшитгэл. Үүнийг бас нэрлэдэг цаг хугацаанаас хамааралтай Шредингерийн тэгшитгэл. Бичил ертөнцөд тохиолддог олон физик үзэгдлийн хувьд (217.1) тэгшитгэлийг цаг хугацааны хамаарлыг арилгах замаар хялбарчилж, өөрөөр хэлбэл Шредингерийн тэгшитгэлийг олно. хөдөлгөөнгүй төлөвүүд - тогтмол эрчим хүчний утгатай мужууд.Хэрэв бөөмийн хөдөлж буй хүчний талбар нь хөдөлгөөнгүй, өөрөөр хэлбэл функц байвал энэ нь боломжтой юм U=z)цаг хугацаанаас шууд хамаардаггүй бөгөөд боломжит энергийн утгыг агуулдаг.

Энэ тохиолдолд Шрөдингерийн тэгшитгэлийн шийдлийг хоёр функцийн үржвэрээр илэрхийлж болох бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөвхөн координатын функц, нөгөө нь зөвхөн цаг хугацаа, цаг хугацааны хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Энэ нь e" = e-ээр үрждэг, тиймээс

(217.4)

Хаана Энь хөдөлгөөнгүй талбайн хувьд тогтмол бөөмийн нийт энерги юм. (217.4)-ийг (217.1) орлуулснаар бид олж авна

Энд, харгалзах хувиргалтыг нийтлэг хүчин зүйлд хуваасны дараа e

Үүсгэхийн тулд бид функцийг тодорхойлсон тэгшитгэлд хүрнэ

Тэгшитгэл тэгшитгэл

Шредингерийн хөдөлгөөнгүй төлөвийн онол. Энэ тэгшитгэл нь параметр болгон нийт энергийг агуулдаг Этоосонцор. Дифференциал тэгшитгэлийн онолд ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг нь батлагдсан. дамжууланХилийн нөхцөлийг ногдуулах нь физик шинж чанартай шийдлүүдийг сонгох

Шредингерийн тэгшитгэлийн хувьд ийм нөхцөлүүд байна долгионы функцүүдийн тогтмол байдлын нөхцөл:долгионы функцууд нь эхний деривативуудын хамт төгсгөлтэй, нэг утгатай, тасралтгүй байх ёстой.

Тиймээс зөвхөн ердийн функцээр илэрхийлэгдсэн шийдлүүд нь бодит физик утгатай байдаг боловч параметрийн ямар ч утгын хувьд ердийн шийдлүүд гардаггүй Э,гэхдээ зөвхөн тэдгээрийн тодорхой багцын хувьд, тухайн асуудлын шинж чанар. Эдгээр эрчим хүчний үнэ цэнэ гэж нэрлэдэг эзэмшдэг. Эрчим хүчний хувийн утгатай тохирох шийдлүүдийг нэрлэдэг өөрийн функцууд. Хувийн үнэ цэнэ Этасралтгүй ба салангид цуваа үүсгэж болно. Эхний тохиолдолд бид ярьж байна Үргэлжилсэн, эсвэл тасралтгүй спектр хоёрдугаарт - ойролцоогоор салангид спектр.

§ 218. Квант механикийн учир шалтгааны зарчим

Тодорхойгүй байдлын хамаарлаас ихэвчлэн ингэж дүгнэдэг

бичил огторгуйд тохиолдох үзэгдлийн учир шалтгааны зарчим. Энэ нь дараах бодол дээр үндэслэсэн болно. Сонгодог механикт, дагуу учир шалтгааны зарчим - сонгодог детерминизмын зарчим, Byтодорхой цаг хугацааны системийн мэдэгдэж буй төлөв (системийн бүх бөөмсийн координат ба моментийн утгуудаар бүрэн тодорхойлогддог) болон түүнд хэрэглэсэн хүчнүүд нь дараагийн аль ч мөчид түүний төлөвийг үнэн зөв тодорхойлох боломжтой. . Иймээс сонгодог физик нь учир шалтгааны тухай дараахь ойлголт дээр суурилдаг: бөөмсийн харилцан үйлчлэлийн мэдэгдэж буй хуультай цаг хугацааны эхний мөч дэх механик системийн төлөв байдал нь шалтгаан, дараагийн агшин дахь төлөв байдал нь үр дагавар юм.

Нөгөөтэйгүүр, бичил биетүүд нэгэн зэрэг тодорхой координат ба тодорхой харгалзах импульсийн төсөөлөлтэй байж чадахгүй [тодорхойгүй байдлын хамаарлаар өгөгдсөн тул системийн төлөв байдал яг тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв системийн төлөв байдал цаг хугацааны эхний мөчид тодорхойгүй бол дараагийн төлөвийг урьдчилан таамаглах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл учир шалтгааны зарчим зөрчигддөг.

Гэсэн хэдий ч квант механикт бичил объектын төлөв байдлын тухай ойлголт нь сонгодог механикаас огт өөр утгатай байдаг тул бичил биеттэй холбоотой учир шалтгааны зарчмыг зөрчих явдал ажиглагддаггүй. Квант механикийн хувьд микро объектын төлөвийг долгионы функцээр бүрэн тодорхойлдог бөгөөд түүний модулийг квадратаар тооцдог.

2 координаттай цэгээс бөөмсийг олох магадлалын нягтыг тодорхойлдог x, y, z.

Хариуд нь долгионы функц нь тэгшитгэлийг хангадаг

Цаг хугацааны хувьд Ф функцийн анхны деривативыг агуулсан Шредингер. Энэ нь мөн функцийг зааж өгөх нь (цаг хугацааны агшинд түүний дараагийн мөчүүд дэх утгыг тодорхойлдог. Иймээс квант механикт анхны төлөв нь шалтгаан, дараагийн агшин дахь Ф төлөв нь нөлөөллийн хэлбэр юм. Энэ нь Квантын механик дахь үндсэн шалтгааны хамаарал, өөрөөр хэлбэл функцийн тодорхойлолт нь түүний дараагийн моментуудын утгыг урьдчилан тодорхойлдог тул квант механикт тодорхойлсон микробөөмийн системийн төлөв байдал нь учир шалтгааны зарчмын дагуу өмнөх төлөвөөс хоёрдмол утгагүй дагалддаг. .

§219. Чөлөөт бөөмийн хөдөлгөөн

Чөлөөт бөөмс - гадаад талбар байхгүй үед хөдөлж буй бөөмс. Үнэгүй дээрээсээ хойш (тэнхлэгийн дагуу хөдөлнө X)хүч үйлчилдэггүй, дараа нь бөөмийн боломжит энерги U(x) = const бөгөөд үүнийг хүлээн зөвшөөрч болно тэгтэй тэнцүү. Дараа нь бөөмийн нийт энерги нь түүний кинетик энергитэй давхцдаг. Энэ тохиолдолд хөдөлгөөнгүй төлөвийн Шредингерийн тэгшитгэл (217.5) хэлбэрийг авна.

(219.1)

Шууд орлуулснаар бид (219.1) тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь функц мөн гэдгийг баталж чадна - Хаана A = const ба руу= const, s хувийн утгаэрчим хүч

= = функц нь долгионы функцийн зөвхөн координатын хэсгийг илэрхийлдэг тул (217.4)-ийн дагуу цаг хугацаанаас хамааралтай долгионы функцийг илэрхийлнэ.

(219.3) нь хавтгай монохромат де Бройль долгион юм [харна уу (217.2)].

-аасилэрхийлэл (219.2) нь энергийн импульсээс хамааралтай болохыг харуулж байна

харьцангуй бус бөөмсийн хувьд ердийн зүйл болж хувирдаг. Тиймээс чөлөөт бөөмийн энергийг авч болно аливаа үнэт зүйлс(долгионы дугаараас хойш рууямар ч эерэг утгыг авч болно), өөрөөр хэлбэл энерги хүрээ чөлөөт бөөмс юм Үргэлжилсэн.

Тийм чөлөөтэй квант бөөмсхавтгай монохромат де Бройль долгионоор дүрслэгддэг. Энэ нь сансар огторгуйн өгөгдсөн цэгт бөөмс илрүүлэх цаг хугацаанаас хамааралгүй магадлалын нягттай тохирч байна.

өөрөөр хэлбэл орон зай дахь чөлөөт бөөмийн бүх байрлал ижил магадлалтай байна.

§ 220. Хязгааргүй өндөртэй нэг хэмжээст тэгш өнцөгт “потенциал худаг” дахь бөөмс

"хана"

Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг ашиглан чанарын шинжилгээ хийцгээе

Цагаан будаа. 299

(220.4)

бөөмстэй харьцуулахад Вхязгааргүй өндөр "хана" бүхий нэг хэмжээст тэгш өнцөгт "боломжит худаг". Ийм "худаг" нь хэлбэрийн боломжит энергиэр тодорхойлогддог (хялбар болгохын тулд бөөмс тэнхлэгийн дагуу хөдөлдөг гэж бид үздэг. X)

"нүхний өргөн" хаана байна, Аэрчим хүчийг доод талаас нь тоолдог (Зураг 299).

Нэг хэмжээст бодлогын хувьд суурин төлөвийн Шредингерийн тэгшитгэл (217.5)-ийг хэлбэрээр бичнэ.

Асуудлын нөхцлийн дагуу (хязгааргүй өндөр "хана") бөөмс нь "нүх" -ээс цааш нэвтэрдэггүй тул "нүх" -ээс гадна түүнийг илрүүлэх магадлал (мөн долгионы функц) тэг байна. "Нүхний" хил дээр (ат X- 0 ба x =тасралтгүй долгионы функц мөн алга болох ёстой. Иймээс энэ тохиолдолд хилийн нөхцөл нь хэлбэртэй байна

"Нүхэн" дотор (0 XШредингерийн тэгшитгэлийг (220.1) тэгшитгэл болгон бууруулна

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (220.3):

Учир нь (220.2) = 0-ийн дагуу IN= 0.

(220.5)

Нөхцөл байдал (220.2) = 0 нь зөвхөн хаана зориулагдсан болно П- бүхэл тоо, өөрөөр хэлбэл энэ нь зайлшгүй шаардлагатай

(220.4) ба (220.6) илэрхийллээс дараах нь:

жишээлбэл, хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "потенциал худаг" дахь бөөмийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн Шредингерийн хөдөлгөөнгүй тэгшитгэл нь зөвхөн бүхэл тооноос хамаарах хувийн утгуудын хувьд хангагдана. П.Тиймээс бөөмийн энерги нь

хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" л авдаг тодорхой салангид утгууд,тэдгээр. квантчилсан.

Тоонжуулсан энергийн утгыг нэрлэдэг эрчим хүчний түвшин болон тоо П,бөөмийн энергийн түвшинг тодорхойлдог үндсэн квант тоо. Ийнхүү хязгааргүй өндөр "хана" бүхий "боломжит худаг" дахь бичил бөөмс нь зөвхөн тодорхой энергийн түвшинд байж болно, эсвэл тэдний хэлснээр бөөмс нь квант дотор байдаг.

(220.5) утгыг орлуулах руу(220.6) -аас бид хувийн функцуудыг олно:

Интеграцийн тогтмол байдал А Бид хэвийн болгох нөхцлөөс (216.3) олж, энэ тохиолдолд энэ хэлбэрээр бичнэ

INхагас интеграцийн үр дүн

А -Ахувийн функцууд нь иймэрхүү харагдах болно

Би Рафики хувийн функцууд(220.8) түвшинтэй тохирч байна

эрчим хүч (220.7) үед n=1.2, 3-ыг Зураг дээр үзүүлэв. 300, А.Зураг дээр. 300, бНүхний "хана" -аас янз бүрийн зайд байгаа бөөмсийг илрүүлэх магадлалын нягтыг харуулж байна, = -тэй тэнцүү.

Учир нь n= 1, 2 ба 3. Зурагнаас үзэхэд жишээлбэл, квант төлөвт байна П= 2 бол бөөмс нь "худаг"-ын голд байх боломжгүй, мөн адил ихэвчлэн зүүн, баруун хэсэгт байж болно. Бөөмийн ийм зан байдал нь квант механик дахь бөөмийн траекторийн талаархи санааг батлах боломжгүй гэдгийг харуулж байна. (220.7) илэрхийллээс харахад хоёрын хоорондох энергийн интервал

Хөрш зэргэлдээх түвшин нь тэнцүү байна

Жишээлбэл, худгийн хэмжээс бүхий электроны хувьд - 10"1 м (үнэгүй цахилгаан

Металл дахь сэнтий) 10 Ж

Өөрөөр хэлбэл, энергийн түвшин маш ойрхон байрладаг тул спектрийг тасралтгүй гэж үзэж болно. Хэрэв худгийн хэмжээсүүд нь атомын m-тэй тохирч байвал электрон J eV, өөрөөр хэлбэл. Дискрет энергийн утгыг олж авах нь тодорхой байна (шугамын спектр).

Ийнхүү Шредингерийн тэгшитгэлийг хязгааргүй өндөртэй “потенциал худаг” дахь бөөмсөнд хэрэглэх нь.

"Хана" нь эрчим хүчний хэмжигдэхүүнд хүргэдэг бол сонгодог механик нь энэ бөөмийн энергид ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй.

Түүнээс гадна,

Энэ асуудлыг авч үзэх нь бөөмс нь "боломжтой худагт" хязгааргүй өндөртэй байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүргэдэг. хана"Бага энерги байж болохгүй

Хамгийн бага, тэнцүү [харна уу. (220.7)].

Тэгээс өөр хамгийн бага энерги байгаа нь санамсаргүй биш бөгөөд тодорхойгүй байдлын хамаарлаас үүсдэг. Тодорхой бус байдлыг зохицуулах Өө"Нүхэнд" байгаа тоосонцор өргөн Аа=Дараа нь тодорхойгүй байдлын хамаарлын дагуу импульс нь яг, энэ тохиолдолд тэг утгатай байж болохгүй. Импульсийн тодорхойгүй байдал

Үнэт зүйлсийн ийм тархалт

импульс нь кинетик энергитэй тохирч байна

Бусад бүх түвшин (n > 1) энэ хамгийн бага утгаас хэтэрсэн энергитэй байх.

-аас(220.9) ба (220.7) томъёонууд нь том квант тоонуудын хувьд дараах байдалтай байна.

өөрөөр хэлбэл, зэргэлдээх түвшин нь ойрхон байрладаг: ойртох тусам илүү их байдаг П.Хэрэв Пмаш том бол бид түвшний бараг тасралтгүй дарааллын талаар ярьж болно, квант процессын онцлог шинж чанар болох салангид байдал - жигдрэв. Энэ үр дүн нь онцгой тохиолдол юм Борын захидал харилцааны зарчим (1923), үүний дагуу квант механикийн хуулиудыг квант тоонуудын их утгын хувьд сонгодог физикийн хуулиуд болгон хувиргах ёстой.

Илүү захидал харилцааны зарчмын ерөнхий тайлбар: ямар ч шинэ, илүү ерөнхий онолсонгодог онолыг бүрмөсөн үгүйсгээгүй, харин түүний хэрэглээний хил хязгаарыг харуулсан сонгодог онолыг багтаасан бөгөөд зарим тохиолдолд хязгаарлагдмал байдаг. шинэ онолхуучин руугаа ордог. Тиймээс кинематик ба динамикийн томъёонууд тусгай онолхарьцангуйн онол дээр төгсдөг vв Ньютоны механикийн томъёонд. Жишээлбэл, Да Бройль таамаглал нь долгионы шинж чанарыг бүх биед хамааруулдаг боловч макроскопийн биетүүдтэй харьцаж байгаа тохиолдолд тэдгээрийн долгионы шинж чанарыг үл тоомсорлож болно, жишээлбэл. өргөдөл гаргах сонгодог механикНьютон.

§ 221. Потенциал хаалтаар бөөм өнгөрөх.

Тунелийн эффект

тэгш өнцөгт хэлбэрийн хамгийн энгийн боломжит саад (Зураг. Нэг хэмжээстийн хувьд (бөөмийн хөдөлгөөний тэнхлэгийн дагуу. Өндөр ба өргөнтэй тэгш өнцөгт хэлбэрийн боломжит саадын хувьд)

Асуудлын өгөгдсөн нөхцөлд энергитэй сонгодог бөөмс Э,эсвэл саадыг саадгүй өнгөрөх (хэрэв E > U),эсвэл үүнээс тусгагдах болно (хэрэв Э< U) орох болно урвуу тал, өөрөөр хэлбэл тэр саадыг нэвтэлж чадахгүй. Микро бөөмийн хувьд, тэр ч байтугай хамт E > U,боломжтой маш сайнтэгээс бөөмс саадаас тусах ба эсрэг чиглэлд шилжих магадлал. At Э мөн бөөмс нь бүс нутагт төгсөх тэгээс өөр магадлал байдаг x>тэдгээр. саадыг нэвтлэх болно. Үүнтэй төстэй парадокс мэт дүгнэлтүүд нь Шредингерийн тэгшитгэлийн шийдлээс шууд гардаг.

412

Энэ асуудлын нөхцөлд бичил бөөмийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн.

Тодруулсан зураг тус бүрийн суурин төлөвийн тэгшитгэл (217.5). 301, Абүс нутаг байна

(бүс нутгийн хувьд

(бүс нутгийн хувьд

Ерөнхий шийдлүүдЭдгээр дифференциал тэгшитгэлүүд:

Шийдэл (221.3) нь хоёр чиглэлд тархдаг долгионыг (цаг хугацааны хүчин зүйлээр үржүүлсний дараа) агуулдаг. Гэсэн хэдий ч бүс нутагт 3 зөвхөн саадыг давж, зүүнээс баруун тийш тархдаг долгион байдаг. Иймд (221.3) томъёоны коэффициентийг тэгтэй тэнцүү авна.

Бүс нутагт 2 шийдвэр нь хамаарна харилцаа холбоо E>Uэсвэл Э Бөөмийн нийт энерги нь боломжит саадын өндрөөс бага байх үед физик сонирхол татдаг. Эсонгодог физикийн хуулиуд нь бөөмс саадыг нэвтлэхийг зөвшөөрдөггүй нь тодорхой. Энэ тохиолдолд дагуу q= - төсөөллийн тоо, хаана

(бүс нутгийн хувьд

(2-р талбайн хувьд);

Утга qба 0 бол бид Шредингерийн тэгшитгэлийн гурван бүсийн шийдлийг дараах хэлбэрээр олж авна.

(бүс нутгийн хувьд 3).

INялангуяа бүс нутгийн хувьд 1 (217.4)-ийн дагуу бүрэн долгионы функц нь хэлбэртэй байна

Энэ илэрхийлэлд эхний нэр томъёо нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлд тархдаг (219.3) төрлийн хавтгай долгионыг илэрхийлдэг. X(саад руу чиглэсэн бөөмстэй тохирч байна), хоёр дахь нь эсрэг чиглэлд тархаж буй долгион, өөрөөр хэлбэл саадаас туссан (саадаас зүүн тийш хөдөлж буй бөөмстэй тохирно).

(бүс нутгийн хувьд 3).

Бүс нутагт 2 Энэ функц нь хоёр чиглэлд тархах хавтгай долгионтой тохирохоо больсон, учир нь илтгэгчийн илтгэгч нь төсөөлөл биш, харин бодит юм. Өндөр ба өргөн хаалтын онцгой тохиолдлын хувьд 1,

Функцуудын чанарын мөн чанарыг Зураг дээр үзүүлэв. 301, үүнээс давалгаа-

Функц нь саад дотор ч тэгтэй тэнцүү биш, харин бүс нутагт байна 3, хэрвээ саад нь тийм ч өргөн биш бол дахин ижил импульстэй, өөрөөр хэлбэл ижил давтамжтай, гэхдээ бага далайцтай де Бройль долгион хэлбэртэй болно. Үүний үр дүнд бөөмс хязгаарлагдмал өргөнтэй боломжит саадыг туулах магадлал тэгээс өөр байдгийг бид олж мэдсэн.

Ийнхүү квант механик нь цоо шинэ тодорхой квант үзэгдэлд хүргэдэг туннелийн эффект, Үүний үр дүнд бичил биет боломжит саадыг даван туулж чаддаг. Тэгш өнцөгт боломжит саадын тэгшитгэлийн хамтарсан шийдэл нь (нэгдмэл байдалтай харьцуулахад тунгалаг байдлын коэффициент бага байна гэж үзвэл)

нэгтэй тэнцүү байж болох тогтмол хүчин зүйл хаана байна; U-боломжит саад тотгорын өндөр; E -бөөмийн энерги; - саадын өргөн.

(221.7) илэрхийллээс ийм байна Дмассаас ихээхэн хамаардаг Ттоосонцор, өргөн/саад болон эхлэн (U -Хаалт хэдий чинээ өргөн байна, төдий чинээ бөөмс дамжин өнгөрөх магадлал бага байна.

Дурын хэлбэрийн боломжит саад тотгорын хувьд (Зураг 302), нөхцөлийг хангасан гэж нэрлэгддэг. хагас сонгодог ойролцоо(муруйны нэлээд гөлгөр хэлбэр), бидэнд байна

Хаана U= U(x).

Сонгодог үүднээс авч үзвэл бөөмийн боломжит саадыг дамжин өнгөрөх Э боломжгүй, учир нь бөөмс нь саадын бүсэд байгаа тул сөрөг кинетик энергитэй байх ёстой. Тунелийн эффект нь тодорхой квант эффект юм.

Сонгодог механикийн хуулиудын дагуу нэвтэрч чадахгүй бүсээр бөөмс дамжин өнгөрөхийг тодорхойгүй байдлын хамаарлаар тайлбарлаж болно. Моментийн тодорхойгүй байдал Арсегмент дээр Аа =байна Ар > -.Кинетикийн импульсийн утгуудын энэ тархалттай холбоотой

302

Чехийн эрчим хүч байж болно

бүрэн гүйцэд хийхэд хангалттай

бөөмийн энерги нь боломжит хэмжээнээс их болсон.

Хонгилын шилжилтийн онолын үндэс нь Л.И.Манделштамын бүтээлүүдэд тавигдсан.

Боломжит саадыг нэвтлэх нь хатуу төлөвт физикийн олон үзэгдлийн үндэс суурь болдог (жишээлбэл, хоёр хагас дамжуулагчийн зааг дээрх контакт давхарга дахь үзэгдэл), атомын болон цөмийн физикийн (жишээлбэл, задрал, термоядролын урвал үүсэх).

§ 222. Шугаман гармоник осциллятор

Квант механикт

Шугаман гармоник осциллятор- Хагас уян хатан хүчний үйлчлэлээр нэг хэмжээст хөдөлгөөнд орж буй систем нь сонгодог болон квант онолын олон асуудалд хэрэглэгддэг загвар юм (§ 142-ыг үзнэ үү). Пүрш, физик, математикийн дүүжин нь сонгодог гармоник осцилляторуудын жишээ юм.

Гармоник осцилляторын боломжит энерги [харна уу. (141.5)] -тай тэнцүү байна

Осцилляторын байгалийн давтамж хаана байна; Т -бөөмийн масс.

Хамаарал (222.1) нь параболын хэлбэртэй (Зураг 303), i.e. Энэ тохиолдолд "боломжтой худаг" нь параболик юм.

Сонгодог осцилляторын жижиг хэлбэлзлийн далайц нь түүний нийт энергиэр тодорхойлогддог. Э(17-р зургийг үз).

Боломжит энергийн илэрхийлэл (222.1)-ийг харгалзан үзсэн Дингер. Дараа нь квант осцилляторын хөдөлгөөнгүй төлөвийг Шредингерийн тэгшитгэлээр тодорхойлно.

= 0, (222.2)

Хаана E -осцилляторын нийт энерги. Дифференциал тэгшитгэлийн онолд

(222.2) тэгшитгэлийг зөвхөн энергийн хувийн утгуудын хувьд шийдэж болох нь батлагдсан.

(222.3)

Формула (222.3) квант осцилляторын энергийг харуулж байна

зөвхөн байна салангид утгууд,өөрөөр хэлбэл квантчилсан.Хязгааргүй өндөр "хана" бүхий тэгш өнцөгт "худаг"-ын хувьд энерги нь доороос тэгээс бага энергийн утгаараа хязгаарлагддаг (§ 220-г үзнэ үү). = Су-

хамгийн бага эрчим хүчний оршихуй - үүнийг нэрлэдэг тэг цэгийн чичиргээний энерги - квант системийн хувьд ердийн зүйл бөгөөд тодорхойгүй байдлын шууд үр дагавар юм.

Тэг цэгийн хэлбэлзэл байгаа нь бөөмс нь "боломжтой худгийн" ёроолд (худагны хэлбэрээс үл хамааран) байх боломжгүй гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ "нүхний ёроолд унах" нь бөөмийн импульс алга болж, түүний тодорхойгүй байдалтай холбоотой юм. Дараа нь координатын тодорхойгүй байдал нь дур зоргоороо ихсэх бөгөөд энэ нь эргээд бөөмс байгаатай зөрчилддөг.

"боломжтой нүх".

Квантын осцилляторын тэг цэгийн хэлбэлзлийн энерги байгаа тухай дүгнэлт нь осцилляторын байж болох хамгийн бага энерги нь тэгтэй тэнцүү гэсэн сонгодог онолын дүгнэлттэй зөрчилдөж байна (тэнцвэрийн байрлалд тайван байгаа бөөмстэй тохирч байна). ). Жишээлбэл, сонгодог физикийн дүгнэлтийн дагуу at Т= 0 бол болорын атомуудын чичиргээний хөдөлгөөний энерги алга болно. Үүний үр дүнд атомын чичиргээнээс үүдэлтэй гэрлийн тархалт бас алга болох ёстой. Гэсэн хэдий ч туршилтаас харахад температур буурах үед гэрлийн тархалтын эрчим нь тэгтэй тэнцүү биш, харин тодорхой хязгаарлагдмал утга руу чиглэдэг бөгөөд энэ нь хэзээ болохыг харуулж байна. ТКристал дахь атомуудын 0 чичиргээ зогсдоггүй. Энэ нь тэг хэлбэлзэл байгааг баталж байна.

Томъёогоор (222.3) шугаман гармоник осцилляторын энергийн түвшин нь бие биенээсээ ижил зайд байрладаг (303-р зургийг үз), тухайлбал, зэргэлдээх энергийн түвшний хоорондох зай нь тэнцүү бөгөөд энергийн хамгийн бага утга нь дараах байдалтай байна. =

Квантын осцилляторын асуудлыг шийдэх нарийн шийдэл нь сонгодог хувилбараас өөр нэг чухал ялгааг бий болгодог.