Деривативгүй функцийн хамгийн том утгыг ол. В15 асуудлыг деривативгүйгээр хэрхэн шийдвэрлэх вэ

Функцийн экстремум гэж юу вэ, экстремум байх ёстой нөхцөл юу вэ?

Функцийн экстремум нь функцийн хамгийн их ба минимум юм.

Урьдчилсан нөхцөлФункцийн хамгийн их ба хамгийн бага (экстремум) нь дараах байдалтай байна: хэрэв f(x) функц нь x = a цэг дээр экстремумтай бол энэ үед дериватив нь тэг, эсвэл хязгааргүй, эсвэл байхгүй байна.

Энэ нөхцөл шаардлагатай боловч хангалттай биш юм. X = a цэг дээрх дериватив нь энэ цэгт экстремум байхгүйгээр тэг, хязгааргүй эсвэл байхгүй байж болно.

Функцийн экстремум (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) хангалттай нөхцөл юу вэ?

Эхний нөхцөл:

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд эерэг, а-ын баруун талд сөрөг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. дээд тал нь

Хэрэв x = a цэгт хангалттай ойрхон байвал f?(x) дериватив нь a-ийн зүүн талд сөрөг, а-ын баруун талд эерэг байвал x = a цэг дээр f(x) функц байна. хамгийн багаЭнд f(x) функц тасралтгүй байх нөхцөлд.

Үүний оронд та хоёр дахь хувилбарыг ашиглаж болно хангалттай нөхцөлфункцийн экстремум:

x = a цэг дээр эхний дериватив f?(x) алга болно; хэрэв хоёр дахь уламжлал f??(a) сөрөг байвал f(x) функц x = a цэгт максимумтай, эерэг бол минимумтай байна.

Функцийн чухал цэг гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь функц нь экстремум (жишээ нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага) байх функцын аргументийн утга юм. Үүнийг олохын тулд танд хэрэгтэй деривативыг ол f?(x) функц ба үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх, тэгшитгэлийг шийд f?(x) = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс, түүнчлэн энэ функцийн дериватив байхгүй цэгүүд нь эгзэгтэй цэгүүд, өөрөөр хэлбэл экстремум байж болох аргументийн утгууд юм. Тэдгээрийг харахад хялбархан тодорхойлж болно дериватив график: функцын график абсцисса тэнхлэгтэй (Ox тэнхлэг) огтлолцдог аргументуудын утгууд болон график тасалдсан утгуудыг бид сонирхож байна.

Жишээлбэл, олъё параболын экстремум.

y(x) = 3x2 + 2x - 50 функц.

Функцийн дериватив: y?(x) = 6x + 2

Тэгшитгэлийг шийд: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN энэ тохиолдолдэгзэгтэй цэг нь x0=-1/3 байна. Энэ аргументын утга нь функцэд байна экстремум. Түүнд олох, "x"-ийн оронд функцийн илэрхийлэлд олдсон тоог орлуулна уу:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээг хэрхэн тодорхойлох вэ, i.e. түүний хамгийн агуу ба хамгийн бага утга?

Хэрэв x0 эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөх үед деривативын тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгдвөл x0 болно. хамгийн дээд цэг; Хэрэв деривативын тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл x0 болно хамгийн бага цэг; хэрэв тэмдэг өөрчлөгдөөгүй бол x0 цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага нь байхгүй.

Үзсэн жишээний хувьд:

Бид чухал цэгийн зүүн талд байгаа аргументийн дурын утгыг авна: x = -1

x = -1 үед деривативын утга нь y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "хасах").

Одоо бид эгзэгтэй цэгийн баруун талд байгаа аргументын дурын утгыг авна: x = 1

x = 1 үед деривативын утга нь y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг нь "нэмэх").

Таны харж байгаагаар дериватив нь эгзэгтэй цэгийг дайран өнгөрөхдөө тэмдэгийг хасахаас нэмэх болгон өөрчилсөн. Энэ нь x0 чухал утгад бид хамгийн бага цэгтэй байна гэсэн үг юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга интервал дээр(сегмент дээр) ижил процедурыг ашиглан олддог бөгөөд зөвхөн бүгдийг нь биш байж магадгүй гэдгийг харгалзан үздэг чухал цэгүүдзаасан интервал дотор байх болно. Интервалаас гадуур байгаа чухал цэгүүдийг авч үзэхээс хасах ёстой. Хэрэв интервал дотор зөвхөн нэг чухал цэг байгаа бол энэ нь хамгийн их эсвэл минимумтай байх болно. Энэ тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлохын тулд интервалын төгсгөлд функцийн утгыг харгалзан үзнэ.

Жишээлбэл, функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

интервалаар:

Тэгэхээр функцийн дериватив нь байна

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Бид 3cos(x) - 0.5 = 0 тэгшитгэлийг шийднэ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Бид интервал дээр чухал цэгүүдийг олдог [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (интервалд ороогүй)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (интервалд ороогүй)

Бид функцийн утгыг олдог чухал үнэ цэнэаргумент:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Эндээс харахад [-9; 9] функц нь x = -4.88 үед хамгийн их утгатай байна:

x = -4.88, y = 5.398,

ба хамгийн бага нь - x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Интервал дээр [-6; -3] бидэнд ганцхан чухал цэг бий: x = -4.88. x = -4.88 дахь функцийн утга нь у = 5.398-тай тэнцүү байна.

Интервалын төгсгөлд функцийн утгыг ол:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Интервал дээр [-6; -3] функцийн хамгийн их утга нь бидэнд байна

x = -4.88 үед y = 5.398

хамгийн бага утга -

x = -3 үед y = 1.077

Функцийн графикийн гулзайлтын цэгүүдийг хэрхэн олж, гүдгэр ба хотгор талыг тодорхойлох вэ?

y = f(x) шугамын бүх гулзайлтын цэгийг олохын тулд та хоёр дахь деривативыг олж, үүнийг тэгтэй тэнцүүлэх (тэгшитгэлийг шийдэх), хоёр дахь дериватив нь тэг байх x-ийн бүх утгыг шалгах хэрэгтэй. хязгааргүй эсвэл байхгүй. Хэрэв эдгээр утгуудын аль нэгээр дамжин өнгөрөхөд хоёр дахь дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл функцийн график энэ цэг дээр гулзайлттай байна. Хэрэв энэ нь өөрчлөгдөөгүй бол гулзайлт байхгүй болно.

f тэгшитгэлийн язгуурууд? (x) = 0, түүнчлэн функцийн тасалдлын боломжит цэгүүд ба хоёр дахь дериватив нь функцийн тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн интервалд хуваана. Тэдний интервал тус бүрийн гүдгэр байдлыг хоёр дахь деривативын тэмдгээр тодорхойлно. Хэрэв судалж буй интервалын цэг дээрх хоёр дахь дериватив эерэг байвал y = f(x) шулуун дээшээ хонхойж, сөрөг байвал доошоо чиглэсэн байна.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хэрхэн олох вэ?

Тодорхойлолтын мужид ялгах боломжтой f(x,y) функцийн экстремумыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1) чухал цэгүүдийг олох, үүний тулд тэгшитгэлийн системийг шийднэ

фх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) P0(a;b) чухал цэг бүрийн хувьд ялгааны тэмдэг өөрчлөгдөхгүй эсэхийг судална.

бүх цэгийн хувьд (x;y) P0-д хангалттай ойр. Хэрэв ялгаа хэвээр байвал эерэг тэмдэг, тэгвэл P0 цэг дээр бид хамгийн багатай, сөрөг байвал хамгийн их нь байна. Хэрэв ялгаа нь тэмдэгээ хадгалахгүй бол P0 цэгт экстремум байхгүй болно.

Функцийн экстремумыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно илүүаргументууд.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ?

Үүний төлөө Бид сайн мэддэг алгоритмыг дагаж мөрддөг:

1 . Бид олдог ODZ функцууд.

2 . Функцийн деривативыг олох

3 . Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх

4 . Бид дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалуудыг олж, тэдгээрээс функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлно.

Хэрэв I интервал дээр функцийн дериватив нь 0" title="f^(prime)(x)>0 байвал">, то функция !} Энэ интервалд нэмэгддэг.

Хэрэв I интервал дээр функцийн дериватив байвал функц байна Энэ интервалд буурдаг.

5 . Бид олдог функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд.

IN функцийн хамгийн дээд цэгт дериватив тэмдэг нь "+"-ээс "-" болж өөрчлөгддөг..

IN функцийн хамгийн бага цэгдериватив тэмдэг нь "-"-ээс "+" болж өөрчлөгддөг.

6 . Бид сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олдог.

• дараа нь сегментийн төгсгөл ба хамгийн их цэгүүд дэх функцийн утгыг харьцуулж, ба Хэрэв та функцийн хамгийн том утгыг олох шаардлагатай бол тэдгээрийн хамгийн томыг нь сонгоно уу
• эсвэл сегментийн төгсгөл ба хамгийн бага цэгүүд дэх функцийн утгыг харьцуулах, мөн Хэрэв та функцийн хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай бол тэдгээрийн хамгийн багыг сонгоно уу

Гэсэн хэдий ч функц нь сегмент дээр хэрхэн ажиллахаас хамааран энэ алгоритмыг мэдэгдэхүйц бууруулж болно.

Функцийг авч үзье . Энэ функцийн график дараах байдалтай байна.

Асуудлыг шийдвэрлэх цөөн хэдэн жишээг авч үзье Нээлттэй банкзориулсан даалгавар

1. Даалгавар B15 (№ 26695)

Сегмент дээр.

1. Функц нь бүгдэд зориулагдсан бодит үнэ цэнэ X

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бөгөөд дериватив нь x-ийн бүх утгын хувьд эерэг байна. Үүний үр дүнд функц нэмэгдэж, интервалын баруун төгсгөлд, өөрөөр хэлбэл x=0 үед хамгийн их утгыг авна.

Хариулт: 5.

2 . Даалгавар B15 (No 26702)

Функцийн хамгийн том утгыг ол сегмент дээр.

1. ODZ функцууд title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Дериватив нь 0-тэй тэнцүү боловч эдгээр цэгүүдэд тэмдэг өөрчлөгддөггүй.

Тиймээс title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} нэмэгдэж, интервалын баруун төгсгөлд хамгийн их утгыг авна.

Дериватив яагаад тэмдэг өөрчлөгддөггүйг тодорхой болгохын тулд бид деривативын илэрхийлэлийг дараах байдлаар хувиргана.

Гарчиг="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2) (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Хариулт: 5.

3. Даалгавар B15 (No 26708)

Сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг ол.

1. ODZ функцууд: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Энэ тэгшитгэлийн үндсийг тригонометрийн тойрог дээр байрлуулъя.

Интервал нь хоёр тоог агуулна: ба

Тэмдгүүдийг байрлуулцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид x=0 цэг дээрх деривативын тэмдгийг тодорхойлно. . Цэгээр дамжин өнгөрөх үед ба дериватив тэмдэг өөрчлөгддөг.

Функцийн деривативын тэмдгүүдийн өөрчлөлтийг координатын шугам дээр дүрсэлж үзье.

Мэдээжийн хэрэг, цэг нь хамгийн бага цэг (үүсмэл шинж тэмдэг нь "-" -ээс "+" болж өөрчлөгддөг) бөгөөд сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд та функцийн утгуудыг харьцуулах хэрэгтэй. хамгийн бага цэг ба сегментийн зүүн төгсгөлд, .

Функцийг зөвшөөр у =е(X)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б]. Мэдэгдэж байгаагаар ийм функц нь энэ сегмент дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгуудад хүрдэг. Функц нь эдгээр утгыг хоёуланг нь авч болно дотоод цэгсегмент [ а, б], эсвэл сегментийн хил дээр.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд [ а, б] шаардлагатай:

1) интервал дахь функцийн критик цэгүүдийг ол. а, б);

2) олсон чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох;

3) сегментийн төгсгөлд байгаа функцын утгыг тооцоолох, өөрөөр хэлбэл хэзээ x=Аба x = б;

4) функцийн бүх тооцоолсон утгуудаас хамгийн том ба хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Жишээ.Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

сегмент дээр.

Чухал цэгүүдийг олох:

Эдгээр цэгүүд сегмент дотор байрладаг; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

цэг дээр x= 3 ба цэг дээр x= 0.

Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн функцийн судалгаа.

Чиг үүрэг y = е (x) дуудсан гүдгэрхооронд (а, б) , хэрэв түүний график нь энэ интервалын аль ч цэгт зурсан шүргэгчийн доор орвол түүнийг дуудна гүдгэр доош (гүдгэр), хэрэв түүний график шүргэгчээс дээш байвал.

Гүдгэрийг хотгороор эсвэл эсрэгээр солих цэгийг нэрлэдэг гулзайлтын цэг.

Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийг шалгах алгоритм:

1. Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг ол.

2. Тооны шулуун дээр эгзэгтэй цэгүүдийг интервалд хувааж зур. Интервал бүр дээр хоёр дахь деривативын тэмдгийг ол; хэрэв , функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв бол функц нь доошоо гүдгэр байна.

3. Хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг нь өөрчлөгдөж, энэ үед хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү бол энэ цэг нь гулзайлтын цэгийн абсцисса болно. Түүний ординатыг ол.

Функцийн графикийн асимптотууд. Асимптотуудын функцийг судлах.

Тодорхойлолт.Функцийн графикийн асимптотыг нэрлэнэ шулуун, энэ нь график дээрх цэг эх цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед графикийн аль ч цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг болох хандлагатай байдаг.

Гурван төрлийн асимптот байдаг: босоо, хэвтээ, налуу.

Тодорхойлолт.Шулуун шугам гэж нэрлэдэг босоо асимптотфункциональ график у = f(x), хэрэв энэ цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү бол, энэ нь

Энэ нь функцийн тасрах цэг, өөрөөр хэлбэл энэ нь тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй.

Жишээ.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - таслах цэг.

Тодорхойлолт.Шулуун у =Адуудсан хэвтээ асимптотфункциональ график у = f(x)үед, хэрэв

Жишээ.

Тодорхойлолт.Шулуун у =кx +б (к≠ 0) гэж нэрлэдэг ташуу асимптотфункциональ график у = f(x)-д, хаана

Функцийг судлах, график байгуулах ерөнхий схем.

Функцийн судалгааны алгоритму = f(x) :

1. Функцийн мужийг ол Д (y).

2. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг (боломжтой бол) ол x= 0 ба цагт y = 0).

3. Функцийн тэгш ба сондгой байдлыг шалгана уу ( y (‒ x) = y (x) ‒ тэгш байдал; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ сондгой).

4. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

5. Функцийн монотон байдлын интервалуудыг ол.

6. Функцийн экстремумыг ол.

7. Функцийн графикийн гүдгэр (гүдгэр) ба гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг ол.

8. Хийсэн судалгаанд үндэслэн функцийн графикийг байгуул.

Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь байгуул.

1) Д (y) =

x= 4 - таслах цэг.

2) Хэзээ x = 0,

(0; ‒ 5) – огтлолцох цэг өө.

At y = 0,

3) y(‒ x)= функц ерөнхий үзэл(тэгш биш, сондгой биш).

4) Бид асимптотуудыг шалгадаг.

а) босоо

б) хэвтээ

в) ташуу асимптотуудыг хаанаас ол

‒ташуу асимптот тэгшитгэл

5) Энэ тэгшитгэлд функцийн монотон байдлын интервалыг олох шаардлагагүй.

6)

Эдгээр чухал цэгүүд нь функцийг тодорхойлох бүх мужийг (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ба (10; +∞) интервалд хуваадаг. Хүлээн авсан үр дүнг дараах хүснэгт хэлбэрээр танилцуулах нь тохиромжтой.

Практикт функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тооцоолохын тулд деривативыг ашиглах нь нэлээд түгээмэл байдаг. Зардлаа хэрхэн бууруулах, ашгийг нэмэгдүүлэх, үйлдвэрлэлийн оновчтой ачааллыг тооцоолох гэх мэт, өөрөөр хэлбэл тодорхойлох шаардлагатай тохиолдолд бид энэ үйлдлийг гүйцэтгэдэг. оновчтой утгааливаа параметр. Ийм асуудлыг зөв шийдэхийн тулд функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгууд нь юу болохыг сайн ойлгох хэрэгтэй.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ихэвчлэн бид эдгээр утгуудыг тодорхой x интервалын дотор тодорхойлдог бөгөөд энэ нь эргээд функцийн бүхэл бүтэн домайн эсвэл түүний хэсэгтэй тохирч болно. Энэ нь сегмент шиг байж болно [a; b ] , мөн нээлттэй интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), хязгааргүй интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) эсвэл хязгааргүй интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Энэ нийтлэлд бид хамгийн том, хамгийн бага утгыг хэрхэн тооцоолохыг танд хэлэх болно өгөгдсөн функцнэг хувьсагчтай y=f(x) y = f (x) .

Үндсэн тодорхойлолтууд

Ердийнх шигээ үндсэн тодорхойлолтуудын томъёололоос эхэлцгээе.

Тодорхойлолт 1

Тодорхой х интервал дахь y = f (x) функцийн хамгийн том утга нь m a x y = f (x 0) x ∈ X утга бөгөөд ямар ч утгын x x ∈ X, x ≠ x 0 нь f (x) тэгш бус байдлыг үүсгэдэг. ≤ f (x) хүчинтэй 0) .

Тодорхойлолт 2

Тодорхой х интервал дахь y = f (x) функцийн хамгийн бага утга нь m i n x ∈ X y = f (x 0) утга бөгөөд ямар ч x ∈ X, x ≠ x 0 утгын хувьд f(X f) тэгш бус байдлыг үүсгэдэг. (x) ≥ f (x 0) .

Эдгээр тодорхойлолтууд нь маш тодорхой юм. Илүү энгийнээр бид үүнийг хэлж чадна: функцийн хамгийн их утга нь түүний хамгийн их утга юм их үнэ цэнэабсцисса х 0-д мэдэгдэж буй интервал дээр, хамгийн бага нь х 0-ийн ижил интервал дээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хамгийн бага утга юм.

Тодорхойлолт 3

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд нь түүний дериватив 0 болох функцын аргументуудын утгууд юм.

Бид яагаад суурин цэг гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд Фермагийн теоремыг санах хэрэгтэй. Үүнээс үзэхэд хөдөлгөөнгүй цэг нь дифференциалагдах функцийн экстремум (өөрөөр хэлбэл түүний) байрладаг цэг юм. орон нутгийн доод хэмжэээсвэл дээд тал нь). Үүний үр дүнд функц нь тодорхой интервал дээр хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд яг таг авна.

Функц нь өөрөө тодорхойлогдсон, анхны дериватив байхгүй үед функц нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг авч болно.

Энэ сэдвийг судлахад хамгийн түрүүнд гарч ирдэг асуулт бол: бүх тохиолдолд функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг тодорхойлж чадах уу? энэ сегмент? Үгүй ээ, өгөгдсөн интервалын хил нь тодорхойлолтын талбайн хилтэй давхцаж байгаа эсвэл хязгааргүй интервалтай харьцаж байгаа тохиолдолд бид үүнийг хийж чадахгүй. Өгөгдсөн сегмент дэх эсвэл хязгааргүй функц нь хязгааргүй бага эсвэл хязгааргүй байх болно. том үнэ цэнэ. Эдгээр тохиолдолд хамгийн том ба/эсвэл хамгийн бага утгыг тодорхойлох боломжгүй.

График дээр дүрслэгдсэний дараа эдгээр цэгүүд илүү тодорхой болно.

Эхний зураг нь сегмент дээр байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том ба хамгийн бага утгыг (m a x y ба m i n y) авдаг функцийг харуулж байна [ - 6 ; 6].

Хоёр дахь графикт заасан тохиолдлыг нарийвчлан авч үзье. Хэсгийн утгыг [ 1 ; 6 ] ба функцийн хамгийн том утга нь интервалын баруун зааг дээрх абсцисс, хамгийн бага нь цэг дээр хүрнэ гэдгийг бид олж мэдэв. суурин цэг.

Гурав дахь зураг дээр цэгүүдийн абсциссууд нь сегментийн хилийн цэгүүдийг илэрхийлнэ [ - 3 ; 2]. Эдгээр нь өгөгдсөн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай тохирч байна.

Одоо дөрөв дэх зургийг харцгаая. Үүнд функц нь нээлттэй интервал (- 6 ; 6) дээрх хөдөлгөөнгүй цэгүүдэд m a x y (хамгийн том утга) ба m i n y (хамгийн бага утга) авна.

Хэрэв бид интервалыг авбал [ 1 ; 6), тэгвэл үүн дээрх функцийн хамгийн бага утга нь суурин цэг дээр хүрнэ гэж хэлж болно. Хамгийн том үнэ цэнэ нь бидний хувьд үл мэдэгдэх болно. Хэрэв x = 6 интервалд хамаарах бол функц нь хамгийн их утгыг x үед 6-тай тэнцүү авч болно. Энэ нь 5-р графикт яг ийм тохиолдол юм.

График 6 дээр хамгийн бага утга энэ функцинтервалын баруун хил дээр (- 3; 2 ] олж авдаг бөгөөд бид хамгийн их утгын талаар тодорхой дүгнэлт хийж чадахгүй.

Зураг 7-д бид 1-тэй тэнцүү абсциссатай хөдөлгөөнгүй цэг дээр функц m a x y байх болно. Функц нь в интервалын хил дээр хамгийн бага утгадаа хүрнэ баруун тал. Хасах хязгааргүй үед функцын утгууд асимптотоор y = 3-т ойртоно.

Хэрэв бид x ∈ 2 интервалыг авбал; + ∞ , тэгвэл өгөгдсөн функц нь түүн дээр хамгийн бага, хамгийн том утгыг ч авахгүй гэдгийг харах болно. Хэрэв x нь 2 руу чиглэдэг бол функцийн утгууд нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байх болно, учир нь шулуун шугам нь x = 2 байна. босоо асимптот. Хэрэв абсцисса нэмэх нь хязгааргүй байх хандлагатай бол функцын утгууд асимптотоор y = 3-т ойртоно. Энэ нь яг 8-р зурагт үзүүлсэн тохиолдол юм.

Энэ догол мөрөнд бид тодорхой сегмент дээрх функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд гүйцэтгэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг танилцуулах болно.

1. Эхлээд функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё. Нөхцөлд заасан сегмент үүнд багтсан эсэхийг шалгацгаая.
2. Одоо энэ сегмент дэх анхны дериватив байхгүй цэгүүдийг тооцоолъё. Ихэнхдээ тэдгээрийг модулийн тэмдгийн дор аргументыг бичсэн функцүүдээс олж болно эрчим хүчний функцууд, илтгэгч нь бутархай рационал тоо.
3. Дараа нь бид өгөгдсөн сегментэд ямар суурин цэгүүд унахыг олж мэдэх болно. Үүнийг хийхийн тулд та функцийн деривативыг тооцоолж, дараа нь 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь тохирох язгуурыг сонгох хэрэгтэй. Хэрэв бид нэг суурин цэгийг олж аваагүй эсвэл өгөгдсөн сегментэд ороогүй бол бид дараагийн алхам руу шилжинэ.
4. Өгөгдсөн суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол) эсвэл эхний дериватив байхгүй (хэрэв байгаа бол) цэгүүдэд функц ямар утгыг авахыг бид тодорхойлох эсвэл x = a болон утгыг тооцдог. x = b.
5. 5. Бидэнд хэд хэдэн функцийн утгууд байгаа бөгөөд одоо бид эдгээрээс хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгох хэрэгтэй. Эдгээр нь бидний олох ёстой функцын хамгийн том, хамгийн бага утгууд байх болно.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ алгоритмыг хэрхэн зөв хэрэглэхийг харцгаая.

Жишээ 1

Нөхцөл: y = x 3 + 4 x 2 функц өгөгдсөн. Түүний сегмент дэх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох [1; 4 ] ба [ - 4 ; - 1 ] .

Шийдэл:

Өгөгдсөн функцийн тодорхойлолтын мужийг хайж эхэлье. Энэ тохиолдолд тэр хүн бүр маш их байх болно бодит тоо, 0-ээс бусад. Өөрөөр хэлбэл D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Нөхцөлд заасан хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын талбарт байх болно.

Одоо бид бутархай ялгах дүрмийн дагуу функцийн деривативыг тооцоолно.

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Функцийн дериватив нь сегментийн бүх цэгт байх болно гэдгийг бид мэдсэн [ 1 ; 4 ] ба [ - 4 ; - 1 ] .

Одоо бид функцийн суурин цэгүүдийг тодорхойлох хэрэгтэй. Үүнийг x 3 - 8 x 3 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан хийцгээе. Энэ нь зөвхөн нэг жинхэнэ үндэстэй бөгөөд энэ нь 2 юм. Энэ нь функцийн хөдөлгөөнгүй цэг байх бөгөөд эхний сегментэд орно [1; 4].

Эхний сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгуудыг тооцоолъё, энэ үед, өөрөөр хэлбэл. x = 1, x = 2 ба x = 4-ийн хувьд:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 у (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 у (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Функцийн хамгийн том утга нь m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 нь x = 1-д хүрэх бөгөөд хамгийн бага нь m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 үед.

Хоёрдахь сегмент нь нэг суурин цэгийг агуулдаггүй тул бид зөвхөн өгөгдсөн сегментийн төгсгөлд функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Энэ нь m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Хариулт:Сегментийн хувьд [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , сегментийн хувьд [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Зургийг үзнэ үү:

Сурахаасаа өмнө энэ арга, бид танд нэг талт хязгаар болон хязгааргүй байдлын хязгаарыг хэрхэн зөв тооцоолох, тэдгээрийг олох үндсэн аргуудыг сурахыг зөвлөж байна. Нээлттэй эсвэл хязгааргүй интервал дээрх функцийн хамгийн том ба/эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд дараах алхмуудыг дарааллаар гүйцэтгэнэ.

1. Эхлээд та өгөгдсөн интервал нь тухайн функцийн домэйны дэд олонлог байх эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
2. Шаардлагатай интервалд багтсан, эхний дериватив байхгүй бүх цэгүүдийг тодорхойлъё. Эдгээр нь ихэвчлэн модулийн тэмдэгт аргументыг хавсаргасан функцууд болон бутархай хүчин чадалтай функцүүдэд тохиолддог. оновчтой үзүүлэлт. Хэрэв эдгээр цэгүүд байхгүй бол та дараагийн алхам руу шилжиж болно.
3. Одоо өгөгдсөн интервалд ямар суурин цэгүүд орохыг тодорхойлъё. Эхлээд бид деривативыг 0-тэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв бидэнд ганц суурин цэг байхгүй эсвэл тэдгээр нь өгөгдсөн интервалд багтахгүй бол бид шууд очно цаашдын арга хэмжээ. Тэдгээр нь интервалын төрлөөр тодорхойлогддог.

• Хэрэв интервал нь [ a ; b) , тэгвэл бид x = a цэг дэх функцийн утгыг нэг талт тооцоолох хэрэгтэй хязгаар лим x → b - 0 f (x) .
• Хэрэв интервал нь (a; b ] хэлбэртэй байвал бид x = b цэг дэх функцийн утгыг болон lim x → a + 0 f (x) нэг талт хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь (a; b) хэлбэртэй байвал lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) нэг талын хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь [ a ; + ∞), тэгвэл бид x = a цэг дээрх утгыг, lim x → + ∞ f (x) дээр нэмэх хязгаарыг тооцох хэрэгтэй.
• Хэрэв интервал нь (- ∞ ; b ] шиг байвал бид x = b цэгийн утгыг, хязгаарыг хасах lim x → - ∞ f (x) .
• Хэрэв - ∞ ; b , тэгвэл бид нэг талт хязгаарыг авч үзье lim x → b - 0 f (x) ба хасах хязгааргүй дэх хязгаарыг lim x → - ∞ f (x) гэж үзнэ.
• Хэрэв - ∞; + ∞ , тэгвэл хасах ба нэмэх хязгаарын хязгаарыг авч үзнэ lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x).

1. Төгсгөлд нь та олж авсан функцын утга, хязгаарлалт дээр үндэслэн дүгнэлт гаргах хэрэгтэй. Энд олон сонголт хийх боломжтой. Тиймээс, хэрэв нэг талт хязгаар нь хасах хязгааргүй эсвэл нэмэх хязгаартай тэнцүү бол функцийн хамгийн бага, хамгийн том утгуудын талаар юу ч хэлж чадахгүй нь шууд тодорхой болно. Доор бид нэгийг нь авч үзэх болно ердийн жишээ. Нарийвчилсан тайлбаруудюу болохыг ойлгоход тань туслах болно. Шаардлагатай бол та материалын эхний хэсгийн 4-8-р зураг руу буцаж болно.

Нөхцөл: өгөгдсөн функц y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Түүний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг интервалаар тооцоол - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Шийдэл

Юуны өмнө бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олдог. Бутархайн хуваагч нь квадрат гурвалжийг агуулдаг бөгөөд энэ нь 0 болж хувирах ёсгүй.

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Нөхцөлд заасан бүх интервалууд хамаарах функцийн тодорхойлолтын мужийг бид олж авлаа.

Одоо функцийг ялгаж аваад:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Үүний үр дүнд функцийн дериватив нь түүний бүх тодорхойлолтын хүрээнд байдаг.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг хайж олъё. x = - 1 2 үед функцийн дериватив 0 болно. Энэ нь (- 3 ; 1 ] ба (- 3 ; 2) интервалд байрлах хөдөлгөөнгүй цэг юм.

(- ∞ ; - 4 ] интервалын хувьд x = - 4 дэх функцийн утгыг, мөн хасах хязгааргүйд хязгаарыг тооцоолъё:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 тул m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 гэсэн үг юм. Энэ нь бидэнд хамгийн бага утгыг нэг бүрчлэн тодорхойлох боломжийг олгодоггүй. Функц нь энэ утгад хязгааргүй үед асимптотоор ойртдог тул бид зөвхөн 1-ээс доош хязгаарлалт байгаа гэж дүгнэж болно.

Хоёрдахь интервалын онцлог нь тэнд нэг ч суурин цэг, нэг ч хатуу хил байдаггүй. Тиймээс бид функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг тооцоолох боломжгүй болно. Хязгаарыг хасах хязгааргүй байдлаар тодорхойлж, аргумент зүүн талд - 3 байх хандлагатай байгаа тул бид зөвхөн утгуудын интервалыг авна.

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0) + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Энэ нь функцийн утгууд нь 1 интервалд байрлана гэсэн үг юм; +∞

Гурав дахь интервал дахь функцийн хамгийн том утгыг олохын тулд x = 1 бол хөдөлгөөнгүй х = - 1 2 цэг дээрх утгыг тодорхойлно. Аргумент баруун талд - 3 байх хандлагатай байгаа тохиолдолд бид нэг талын хязгаарыг мэдэх шаардлагатай болно.

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Функц хамгийн их утгыг m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 хөдөлгөөнгүй цэг дээр авах нь тодорхой болсон. Хамгийн бага утгын хувьд бид үүнийг тодорхойлж чадахгүй. Бидний мэддэг бүх зүйл. , -4 хүртэлх доод хязгаар байгаа эсэх.

Интервалын хувьд (- 3 ; 2) өмнөх тооцооны үр дүнг авч, зүүн талд 2-ыг чиглүүлэх үед нэг талт хязгаар хэдтэй тэнцүү болохыг дахин тооцоол.

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Энэ нь m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 бөгөөд хамгийн бага утгыг тодорхойлох боломжгүй бөгөөд функцийн утгууд нь доороос - 4 тоогоор хязгаарлагдана гэсэн үг юм. .

Өмнөх хоёр тооцоонд үндэслэн бид интервал дээр гэж хэлж болно [ 1 ; 2) функц нь x = 1 үед хамгийн том утгыг авах боловч хамгийн багыг олох боломжгүй юм.

(2 ; + ∞) интервал дээр функц нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрэхгүй, өөрөөр хэлбэл. энэ нь интервалаас утгыг авна - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 үед функцийн утга хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоолсны дараа бид m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 байх ба өгөгдсөн функцийг нэмэх хязгааргүй үед y = - 1 шулуун руу асимптотоор ойртоно.

Тооцоолол бүрд юу олж авснаа өгөгдсөн функцийн графиктай харьцуулж үзье. Зураг дээр асимптотуудыг тасархай шугамаар харуулав.

Энэ бол функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох талаар танд хэлэхийг хүссэн зүйл юм. Бидний өгсөн үйлдлүүдийн дараалал нь шаардлагатай тооцооллыг аль болох хурдан бөгөөд энгийн байдлаар хийхэд тусална. Гэхдээ эхлээд функц аль интервалаар буурч, аль нь нэмэгдэхийг олж мэдэх нь ихэвчлэн ашигтай байдаг гэдгийг санаарай, дараа нь та цаашдын дүгнэлт хийж болно. Ингэснээр та функцийн хамгийн том, хамгийн бага утгыг илүү нарийвчлалтай тодорхойлж, олж авсан үр дүнг зөвтгөж чадна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Заримдаа В15 асуудалд дериватив олоход хэцүү "муу" функцүүд байдаг. Өмнө нь энэ нь зөвхөн дээжийн шалгалтын үеэр л тохиолддог байсан бол одоо эдгээр даалгаврууд маш түгээмэл болсон тул жинхэнэ Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэх үед тэдгээрийг үл тоомсорлох боломжгүй болсон.

Энэ тохиолдолд бусад техникүүд ажилладаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь юм монотон.

Хэрэв энэ сегментийн x 1 ба x 2 цэгүүдийн хувьд дараах байдалтай байвал f (x) функцийг сегмент дээр монотон нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Хэрэв энэ сегментийн x 1 ба x 2 цэгүүдийн хувьд дараах байдалтай байвал f (x) функцийг сегмент дээр монотон буурч байна гэж хэлнэ.

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Өөрөөр хэлбэл, өсөн нэмэгдэж буй функцийн хувьд x том байх тусам том f(x). Буурах функцийн хувьд эсрэгээрээ: x том байх тусам бага f(x).

Жишээлбэл, суурь нь a > 1 бол логарифм нь нэг хэвийн өсөх ба 0 бол монотон буурна.< a < 1. Не забывайте про область хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэлогарифм: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметик квадрат (зөвхөн дөрвөлжин биш) язгуур нь тодорхойлолтын бүх талбарт нэг хэвийн байдлаар нэмэгддэг:

Экспоненциал функц нь логарифмтай адилхан ажилладаг: a > 1 үед нэмэгдэж, 0 бол буурдаг.< a < 1. Но в отличие от логарифма, экспоненциал функцЗөвхөн x > 0 биш бүх тоонд тодорхойлогдсон:

f (x) = a x (a > 0)

Эцэст нь, зэрэгтэй сөрөг үзүүлэлт. Та тэдгээрийг бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Тэд нэгэн хэвийн байдал эвдэрсэн тасрах цэгтэй байдаг.

Эдгээр бүх функцууд хэзээ ч цэвэр хэлбэрээр олддоггүй. Тэд олон гишүүнт, бутархай болон бусад утгагүй зүйлсийг нэмдэг бөгөөд энэ нь деривативыг тооцоолоход хэцүү болгодог. Энэ тохиолдолд юу болохыг харцгаая.

Парабола оройн координатууд

Ихэнхдээ функцийн аргументыг орлуулдаг квадрат гурвалжин y = ax 2 + bx + c хэлбэрийн. Түүний график нь бидний сонирхож буй стандарт парабол юм:

1. Параболагийн мөчрүүд дээш (a > 0 бол) эсвэл доош (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Параболын орой нь квадрат функцийн экстремум цэг бөгөөд энэ функц нь хамгийн бага (a > 0-ийн хувьд) эсвэл хамгийн их (a) утгыг авдаг.< 0) значение.

Хамгийн их сонирхол татдаг параболын орой, абсциссыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Тиймээс бид квадрат функцийн экстремум цэгийг оллоо. Гэхдээ хэрэв анхны функц нь монотон байвал түүний хувьд x 0 цэг нь мөн экстремум цэг болно. Тиймээс гол дүрмийг томъёолъё:

Экстремум цэгүүд квадрат гурвалжинТэгээд нарийн төвөгтэй функц, үүнд багтсан нь давхцаж байна. Иймд та квадрат гурвалжны хувьд x 0-г хайж, функцийг мартаж болно.

Дээрх үндэслэлээс бид аль цэгийг авах нь тодорхойгүй хэвээр байна: хамгийн их эсвэл хамгийн бага. Гэсэн хэдий ч даалгаврууд нь энэ нь хамаагүй байхаар тусгайлан хийгдсэн байдаг. Өөрийгөө шүүх:

1. Асуудлын мэдэгдэлд сегмент байхгүй байна. Тиймээс f(a) ба f(b)-ийг тооцоолох шаардлагагүй. Зөвхөн туйлын цэгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй;
2. Гэхдээ ийм цорын ганц цэг байдаг - энэ нь х 0 параболын орой бөгөөд координатыг шууд утгаараа, ямар ч деривативгүйгээр тооцдог.

Тиймээс, асуудлыг шийдвэрлэх нь маш хялбаршуулсан бөгөөд ердөө хоёр үе шаттай:

1. y = ax 2 + bx + c параболын тэгшитгэлийг бичээд оройг нь дараах томъёогоор олно уу: x 0 = −b /2a ;
2. Энэ цэг дэх анхны функцийн утгыг ол: f (x 0). Үгүй бол нэмэлт нөхцөлүгүй, энэ нь хариулт байх болно.

Эхлээд харахад энэ алгоритм болон түүний үндэслэл нь төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Ийм дүрмийг бодлогогүй хэрэгжүүлэх нь алдаа гаргахад хүргэдэг тул би "нүцгэн" шийдлийн диаграммыг санаатайгаар нийтлэхгүй байна.

Бодит асуудлуудыг эндээс харцгаая туршилтын улсын нэгдсэн шалгалтМатематикийн хувьд энэ техникийг ихэвчлэн олдог. Үүний зэрэгцээ бид ийм байдлаар В15-ийн олон асуудал бараг аман болж хувирахыг баталгаажуулах болно.

Үндэс доор байрладаг квадрат функц y = x 2 + 6x + 13. Энэ функцийн график нь a = 1 > 0 коэффициент учир дээшээ салбарласан парабол юм.

Параболын орой:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн тул x 0 = −3 цэгт y = x 2 + 6x + 13 функц хамгийн бага утгыг авна.

Үндэс нь монотоноор нэмэгддэг бөгөөд энэ нь x 0 нь бүх функцийн хамгийн бага цэг юм. Бидэнд:

Даалгавар. Функцийн хамгийн бага утгыг ол:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Логарифмын доор дахин квадрат функц байна: y = x 2 + 2x + 9. График нь дээшээ салбарласан парабол, учир нь a = 1 > 0.

Параболын орой:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Тэгэхээр x 0 = −1 цэгт квадрат функц хамгийн бага утгыг авна. Харин y = log 2 x функц нь монотон тул:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Экспонент нь y = 1 − 4x − x 2 квадрат функцийг агуулна. Үүнийг дахин бичье хэвийн хэлбэр: y = −x 2 − 4x + 1.

Мэдээжийн хэрэг, энэ функцийн график нь парабол, доош салбарласан (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Анхны функц нь экспоненциал, энэ нь монотон тул хамгийн их утга нь олдсон цэг дээр байх болно x 0 = −2:

Анхааралтай уншигч бид язгуур болон логарифмын зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг бичээгүйг анзаарах байх. Гэхдээ энэ нь шаардлагагүй байсан: дотор нь утгууд нь үргэлж эерэг байдаг функцүүд байдаг.

Функцийн домайнаас гарсан үр дүн

Заримдаа зүгээр л параболын оройг олох нь В15 асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалтгүй байдаг. Таны хайж буй үнэ цэнэ худлаа байж магадгүй юм сегментийн төгсгөлд, мөн туйлын цэг дээр огт биш. Хэрэв асуудал нь сегментийг огт заагаагүй бол харна уу хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээанхны функц. Тухайлбал:

Дахин анхаарна уу: тэг нь язгуур дор байж болох ч бутархайн логарифм эсвэл хуваарьт хэзээ ч болохгүй. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг тодорхой жишээн дээр харцгаая:

Даалгавар. Функцийн хамгийн том утгыг ол:

Үндэс дор дахин квадрат функц байна: y = 3 − 2x − x 2 . График нь парабол боловч a = −1 учраас доош салбарладаг< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадрат язгуурсөрөг тоо байхгүй байна.

Бид зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг (APV) бичнэ:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Одоо параболын оройг олъё:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

x 0 = −1 цэг нь ODZ сегментэд хамаарах бөгөөд энэ нь сайн байна. Одоо бид функцийн утгыг x 0 цэг, мөн ODZ-ийн төгсгөлд тооцоолно.

y(−3) = y(1) = 0

Тиймээс бид 2 ба 0 тоонуудыг авсан. Бид хамгийн томыг нь олохыг хүссэн - энэ бол 2 тоо.

Даалгавар. Функцийн хамгийн бага утгыг ол:

y = log 0.5 (6x − x 2 − 5)

Логарифм дотор y = 6x − x 2 − 5 квадрат функц байдаг. Энэ нь доош салбарласан парабол, гэхдээ логарифмд байж болохгүй. сөрөг тоонууд, тиймээс бид ODZ-г бичнэ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Анхаарна уу: тэгш бус байдал нь хатуу тул төгсгөлүүд нь ODZ-д хамаарахгүй. Энэ нь логарифмыг үндэснээс нь ялгаатай бөгөөд сегментийн төгсгөлүүд нь бидэнд маш сайн тохирдог.

Бид параболын оройг хайж байна:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Параболын орой нь ODZ-ийн дагуу тохирно: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Гэхдээ бид сегментийн төгсгөлийг сонирхдоггүй тул функцийн утгыг зөвхөн x 0 цэг дээр тооцоолно.

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2