Дурын призмийн эзэлхүүн. Призмийн талаар мэдэх хэрэгтэй бүх зүйл (2019)

"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. 1-13 хүртэлх бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематикт. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Бүгд шаардлагатай онол. Түргэн арга замуудшийдэл, бэрхшээл ба Улсын нэгдсэн шалгалтын нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Сургалтанд 5 орно том сэдвүүд, тус бүр 2.5 цаг. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн асуудалба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Визуал тайлбар нарийн төвөгтэй ойлголтууд. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдвэрлэх үндэс нарийн төвөгтэй даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалтын 2 хэсэг.

Янз бүрийн призмүүд бие биенээсээ ялгаатай. Үүний зэрэгцээ тэд маш олон нийтлэг зүйлтэй байдаг. Призмийн суурийн талбайг олохын тулд та ямар төрлийн призм байгааг ойлгох хэрэгтэй.

Ерөнхий онол

Призм бол аливаа олон өнцөгт юм талуудпараллелограмм хэлбэртэй байдаг. Түүнээс гадна түүний суурь нь гурвалжингаас n-gon хүртэл ямар ч олон өнцөгт байж болно. Түүнээс гадна призмийн суурь нь үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг. Хажуугийн нүүрэнд хамаарахгүй зүйл нь хэмжээ нь ихээхэн ялгаатай байж болно.

Асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн призмийн суурийн талбайтай тулгардаггүй. Энэ нь хажуугийн гадаргуу, өөрөөр хэлбэл суурь биш бүх нүүрний талаархи мэдлэгийг шаардаж болно. Бүрэн гадаргуу нь призмийг бүрдүүлдэг бүх нүүрний нэгдэл байх болно.

Заримдаа асуудал өндөртэй холбоотой байдаг. Энэ нь суурьтай перпендикуляр байна. Олон өнцөгтийн диагональ нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй дурын хоёр оройг хосоор холбосон сегмент юм.

Шулуун эсвэл налуу призмийн суурийн талбай нь тэдгээрийн болон хажуугийн нүүрний хоорондох өнцөгөөс хамаардаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв тэдгээр нь дээд талд нь ижил тоонууд байгаа бол ба доод ирмэгүүд, тэгвэл тэдгээрийн талбай тэнцүү болно.

Гурвалжин призм

Түүний суурь дээр гурван оройтой дүрс, өөрөөр хэлбэл гурвалжин байдаг. Таны мэдэж байгаагаар энэ нь өөр байж болно. Хэрэв тийм бол түүний талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний хагасаар тодорхойлогддог гэдгийг санах нь хангалттай юм.

Математик тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна: S = ½ av.

Суурийн талбайг олохын тулд ерөнхий үзэл, томьёо нь ашигтай байх болно: Херон ба хажуугийн талыг нь түүн рүү татсан өндөрт аваачдаг.

Эхний томъёог дараах байдлаар бичнэ: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Энэ тэмдэглэгээ нь хагас периметр (p), өөрөөр хэлбэл гурван талын нийлбэрийг хоёроор хуваана.

Хоёрдугаарт: S = ½ n a * a.

Хэрэв та гурвалжин призмийн суурийн талбайг олж мэдэхийг хүсвэл гурвалжин тэгш талтай болно. Үүний томъёо байдаг: S = ¼ a 2 * √3.

Дөрвөн өнцөгт призм

Түүний суурь нь мэдэгдэж байгаа дөрвөлжингийн аль нэг юм. Энэ нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин, параллелепипед эсвэл ромбус байж болно. Аль ч тохиолдолд призмийн суурийн талбайг тооцоолохын тулд танд өөрийн томъёо хэрэгтэй болно.

Хэрэв суурь нь тэгш өнцөгт бол түүний талбайг дараах байдлаар тодорхойлно: S = ab, энд a, b нь тэгш өнцөгтийн талууд юм.

Хэзээ бид ярьж байнаО дөрвөлжин призм, дараа нь суурийн талбай зөв призмквадратын томъёог ашиглан тооцоолно. Учир нь тэр суурь дээр нь хэвтэж байдаг. S = a 2.

Суурь нь параллелепипед байх тохиолдолд дараахь тэгшитгэл хэрэгтэй болно: S = a * n a. Энэ нь параллелепипедийн тал ба өнцгийн аль нэгийг өгсөн байдаг. Дараа нь өндрийг тооцоолохын тулд нэмэлт томъёог ашиглах шаардлагатай болно: n a = b * sin A. Түүнээс гадна А өнцөг нь "b" талтай зэргэлдээ, n өндөр нь энэ өнцгийн эсрэг байна.

Хэрэв призмийн суурь дээр ромб байгаа бол түүний талбайг тодорхойлохын тулд параллелограммын адил томъёо хэрэгтэй болно (энэ нь онцгой тохиолдол юм). Гэхдээ та үүнийг бас ашиглаж болно: S = ½ d 1 d 2. Энд d 1 ба d 2 нь ромбын хоёр диагональ юм.

Тогтмол таван өнцөгт призм

Энэ тохиолдол нь олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хуваах явдал бөгөөд тэдгээрийн талбайг олоход хялбар байдаг. Хэдийгээр тоонууд өөр өөр тооны оройтой байж болно.

Призмийн суурь нь ердийн таван өнцөгт тул түүнийг таван тэгш талт гурвалжинд хувааж болно. Дараа нь призмийн суурийн талбай нь нэг гурвалжны талбайтай тэнцүү байна (томъёог дээрээс харж болно), таваар үржүүлнэ.

Ердийн зургаан өнцөгт призм

Таван өнцөгт призмийг тодорхойлсон зарчмыг ашиглан суурийн зургаан өнцөгтийг 6 тэгш талт гурвалжинд хуваах боломжтой. Ийм призмийн суурийн талбайн томъёо нь өмнөхтэй төстэй юм. Зөвхөн үүнийг зургаагаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Томъёо нь иймэрхүү харагдах болно: S = 3/2 a 2 * √3.

Даалгаврууд

№ 1. Тогтмол шулуун шугамыг өгвөл түүний диагональ нь 22 см, олон өнцөгтийн өндөр нь 14 см бөгөөд призмийн суурь ба бүх гадаргууг тооцоол.

Шийдэл.Призмийн суурь нь дөрвөлжин боловч тал нь тодорхойгүй байна. Та түүний утгыг призмийн диагональ (d) ба түүний өндөртэй (h) хамааралтай квадрат (x) диагональаас олж болно. x 2 = d 2 - n 2. Нөгөө талаас, энэ "x" сегмент нь хөл нь квадратын талтай тэнцүү гурвалжны гипотенуз юм. Энэ нь x 2 = a 2 + a 2 гэсэн үг юм. Ийнхүү a 2 = (d 2 - n 2)/2 болж байна.

d-ийн оронд 22-ыг орлуулж, "n"-ийг 14-ээр сольж, дөрвөлжингийн тал нь 12 см байна. Одоо зөвхөн суурийн талбайг олоорой: 12 * 12 = 144 см 2.

Бүх гадаргуугийн талбайг олохын тулд үндсэн талбайг хоёр дахин нэмж, хажуугийн талбайг дөрөв дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. Сүүлд нь тэгш өнцөгтийн томъёог ашиглан хялбархан олох боломжтой: полиэдрон ба суурийн хажуугийн өндрийг үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, 14 ба 12, энэ тоо нь 168 см 2-тэй тэнцүү байх болно. Нийт талбайПризмийн гадаргуу нь 960 см 2 болж хувирав.

Хариулт.Призмийн суурийн талбай 144 см 2 байна. Бүх гадаргуу нь 960 см 2 байна.

Үгүй 2. Өгөгдсөн суурь дээр 6 см-ийн талтай гурвалжин байна. Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрний диагональ нь 10 см байна: суурь ба хажуугийн гадаргуу.

Шийдэл.Призм нь тогтмол байдаг тул түүний суурь нь байна тэгш талт гурвалжин. Тиймээс түүний талбай нь 6 квадрат, ¼ болон 3-ын квадрат язгуураар үржүүлсэнтэй тэнцүү болж хувирна. Энгийн тооцоолол нь үр дүнд хүргэдэг: 9√3 см 2. Энэ бол призмийн нэг суурийн талбай юм.

Бүгд хажуугийн нүүрнүүдЭдгээр нь ижил бөгөөд 6 ба 10 см-ийн талтай тэгш өнцөгтүүд бөгөөд тэдгээрийн талбайг тооцоолохын тулд эдгээр тоог үржүүлэхэд хангалттай. Дараа нь тэдгээрийг гурваар үржүүл, учир нь призм нь яг тийм олон талтай. Дараа нь шархны хажуугийн гадаргуугийн талбай 180 см 2 болж хувирна.

Хариулт.Талбай: суурь - 9√3 см 2, призмийн хажуугийн гадаргуу - 180 см 2.

Шулуун призмийн тухай ерөнхий мэдээлэл

Призмийн хажуугийн гадаргууг (илүү нарийвчлалтай, хажуугийн гадаргуугийн талбай) гэж нэрлэдэг нийлбэрхажуугийн нүүрний хэсгүүд. Призмийн нийт гадаргуу нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Теорем 19.1. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуу нь суурийн периметр ба призмийн өндөр, өөрөөр хэлбэл уртын үржвэртэй тэнцүү байна. хажуугийн хавирга.

Баталгаа. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт юм. Эдгээр тэгш өнцөгтүүдийн суурь нь призмийн суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн талууд бөгөөд өндөр нь хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна. Үүнийг дагадаг хажуугийн гадаргуупризм тэнцүү байна

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

a 1 ба n нь суурийн ирмэгүүдийн урт, p нь призмийн суурийн периметр, I нь хажуугийн ирмэгүүдийн урт юм. Теорем нь батлагдсан.

Практик даалгавар

Асуудал (22) . IN налуу призмявуулсан хэсэг, хажуугийн хавиргатай перпендикуляр, бүх хажуугийн хавиргатай огтлолцдог. Хэсгийн периметр нь p, хажуугийн ирмэгүүд нь l-тэй тэнцүү бол призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

Шийдэл. Зурсан хэсгийн хавтгай нь призмийг хоёр хэсэгт хуваадаг (Зураг 411). Тэдний нэгийг нь дэлгэе зэрэгцээ шилжүүлэг, призмийн суурийг нэгтгэх. Энэ тохиолдолд бид шулуун призмийг олж авдаг бөгөөд түүний суурь нь анхны призмийн хөндлөн огтлол бөгөөд хажуугийн ирмэгүүд нь l-тэй тэнцүү байна. Энэ призм нь анхныхтай ижил хажуу гадаргуутай. Тиймээс анхны призмийн хажуугийн гадаргуу нь pl-тэй тэнцүү байна.

Хамрах сэдвийн хураангуй

Одоо призмийн тухай хөндсөн сэдвээ нэгтгэн дүгнэж, призм ямар шинж чанартай байдгийг санахыг хичээцгээе.

Призмийн шинж чанарууд

Нэгдүгээрт, призм нь бүх суурь нь тэнцүү олон өнцөгт хэлбэртэй байдаг;
Хоёрдугаарт, призмд түүний бүх хажуугийн нүүрнүүд нь параллелограммууд юм;
Гуравдугаарт, призм гэх мэт олон талт дүрст бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна;

Түүнчлэн, призм гэх мэт олон өнцөгтүүд шулуун эсвэл налуу байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Аль призмийг шулуун призм гэж нэрлэдэг вэ?

Призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байрладаг бол ийм призмийг шулуун гэж нэрлэдэг.

Шулуун призмийн хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гэдгийг санах нь илүүц байх болно.

Ямар төрлийн призмийг ташуу гэж нэрлэдэг вэ?

Гэхдээ призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байрладаггүй бол түүнийг налуу призм гэж баттай хэлж чадна.

Аль призмийг зөв гэж нэрлэдэг вэ?

Шулуун призмийн сууринд жирийн олон өнцөгт байрладаг бол ийм призм тогтмол байна.

Одоо ердийн призмийн шинж чанаруудыг санацгаая.

Ердийн призмийн шинж чанарууд

Нэгдүгээрт, зөв ​​призмийн суурь нь үргэлж байдаг ердийн олон өнцөгтүүд;
Хоёрдугаарт, хэрэв бид ердийн призмийн хажуугийн нүүрийг авч үзвэл тэдгээр нь үргэлж байх болно тэнцүү тэгш өнцөгтүүд;
Гуравдугаарт, хэрэв та хажуугийн хавирганы хэмжээг харьцуулж үзвэл ердийн призм дээр тэдгээр нь үргэлж тэнцүү байдаг.
Дөрөвдүгээрт, зөв ​​призм үргэлж шулуун байдаг;
Тавдугаарт, хэрэв ердийн призм дээр хажуугийн нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал ийм дүрсийг ихэвчлэн хагас тогтмол олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Призмийн хөндлөн огтлол

Одоо призмийн хөндлөн огтлолыг харцгаая.

Гэрийн даалгавар

Одоо сурсан сэдвээ бодлого шийдвэрлэж нэгтгэхийг хичээцгээе.

Ташуу зурцгаая гурвалжин призм, түүний ирмэг хоорондын зай нь 3 см, 4 см, 5 см байх ба энэ призмийн хажуугийн гадаргуу нь 60 см2-тэй тэнцүү байх болно. Эдгээр параметрүүдтэй бол энэ призмийн хажуугийн ирмэгийг ол.

Та үүнийг мэдэх үү геометрийн хэлбэрүүдЗөвхөн геометрийн хичээлээр төдийгүй биднийг байнга хүрээлж байдаг өдөр тутмын амьдралНэг буюу өөр геометрийн дүрстэй төстэй объектууд байдаг.

Гэртээ, сургууль дээрээ эсвэл ажил дээрээ хүн бүр системийн нэгж нь шулуун призм шиг хэлбэртэй компьютертэй байдаг.

Хэрэв та энгийн харандаа авбал харандааны гол хэсэг нь призм болохыг харах болно.

Хотын төв гудамжаар алхаж явахад бидний хөл дор зургаан өнцөгт призм хэлбэртэй хавтан хэвтэж байгааг бид харж байна.

А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг

Тодорхойлолт 1. Призматик гадаргуу
Теорем 1. Тухай зэрэгцээ хэсгүүдпризмийн гадаргуу
Тодорхойлолт 2. Призмийн гадаргуугийн перпендикуляр огтлол
Тодорхойлолт 3. Призм
Тодорхойлолт 4. Призмийн өндөр
Тодорхойлолт 5. Зөв призм
Теорем 2. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай

Параллелепипед:
Тодорхойлолт 6. Параллелепипед
Теорем 3. Параллелепипедийн диагональуудын огтлолцол дээр
Тодорхойлолт 7. Баруун параллелепипед
Тодорхойлолт 8. Тэгш өнцөгт параллелепипед
Тодорхойлолт 9. Параллелепипедийн хэмжилт
Тодорхойлолт 10. Шоо
Тодорхойлолт 11. Ромбоэдрон
Теорем 4. Диагональ дээр тэгш өнцөгт параллелепипед
Теорем 5. Призмийн эзэлхүүн
Теорем 6. Шулуун призмийн эзэлхүүн
Теорем 7. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн

Призмхоёр нүүр (суурь) нь зэрэгцээ хавтгайд байрлах олон өнцөгт бөгөөд эдгээр нүүрэнд ороогүй ирмэгүүд нь хоорондоо параллель байдаг.
Суурьаас бусад нүүр царайг нэрлэдэг хажуу.
Хажуугийн нүүр ба суурийн хажуу талууд гэж нэрлэдэг призм хавирга, ирмэгүүдийн төгсгөлүүд гэж нэрлэгддэг призмийн оройнууд. Хажуугийн хавиргасууринд хамаарахгүй ирмэгүүд гэж нэрлэдэг. Хажуугийн нүүрний нэгдлийг гэж нэрлэдэг призмийн хажуугийн гадаргуу, мөн бүх нүүрний нэгдэл гэж нэрлэгддэг призмийн бүтэн гадаргуу. Призмийн өндөрДээд суурийн цэгээс доод суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр буюу энэ перпендикулярын урт гэж нэрлэдэг. Шууд призмХажуу хавирга нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг призм гэж нэрлэгддэг. Зөвшулуун призм гэж нэрлэдэг (Зураг 3), түүний сууринд ердийн олон өнцөгт байрладаг.

Тэмдэглэл:
l - хажуугийн хавирга;
P - суурь периметр;
S o - үндсэн талбай;
H - өндөр;
P^ - перпендикуляр огтлолын периметр;
S b - хажуугийн гадаргуугийн талбай;
V - эзлэхүүн;
S p - талбай бүрэн гадаргуупризмүүд.

параллелограмм ба эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү бөгөөд ижил чиглэлтэй байна. Тодорхойлолт 2

. Призматик гадаргуугийн перпендикуляр хэсэг нь энэ гадаргуугийн ирмэгүүдтэй перпендикуляр хавтгайгаар хийсэн хэсэг юм. Өмнөх теорем дээр үндэслэн ижил призмийн гадаргуугийн бүх перпендикуляр хэсгүүд нь тэнцүү олон өнцөгт байх болно. . Призм нь бие биентэйгээ параллель (гэхдээ призмийн гадаргуугийн ирмэгтэй параллель биш) хоёр хавтгайгаар хүрээлэгдсэн олон өнцөгт юм.
Эдгээр сүүлчийн хавтгайд хэвтэж буй нүүр царайг нэрлэдэг призмийн суурь; призмийн гадаргууд хамаарах нүүрнүүд - хажуугийн нүүрнүүд; призмийн гадаргуугийн ирмэгүүд - призмийн хажуугийн хавирга. Өмнөх теоремын дагуу призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгтүүд. Призмийн бүх хажуугийн нүүрнүүд - параллелограммууд; бүх хажуугийн хавирга нь хоорондоо тэнцүү байна.
Мэдээжийн хэрэг, ABCDE призмийн суурь ба АА ирмэгүүдийн аль нэг нь" хэмжээ, чиглэлийг өгвөл BB", CC", ... АА ирмэгтэй тэнцүү ба параллель ирмэгийг зурж призм байгуулах боломжтой. .

Тодорхойлолт 4 . Призмийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай (HH") юм.

Тодорхойлолт 5 . Призмийн суурь нь призмийн гадаргуугийн перпендикуляр хэсгүүд бол түүнийг шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд призмийн өндөр нь мэдээжийн хэрэг түүнийх юм хажуугийн хавирга; хажуугийн ирмэгүүд байх болно тэгш өнцөгтүүд.
Призмийг хажуугийн нүүрний тоогоор ангилж болно. тэнцүү тоотүүний суурь болох олон өнцөгтийн талууд. Тиймээс призмууд нь гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт байж болно.

Теорем 2 . Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн ирмэг ба перпендикуляр хэсгийн периметрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
ABCDEA"B"C"D"E" нь өгөгдсөн призм ба түүний перпендикуляр огтлолыг abcde гэж үзье, ингэснээр ab, bc, .. хэрчмүүд түүний хажуугийн ирмэгүүдтэй перпендикуляр байна. ABA"B" нүүр нь параллелограмм; түүний талбай АА суурьтай "ab"-тай давхцах өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна; Нүүрний талбай нь ВСВ "С" нь суурийн ВВ "-ийн үржвэртэй тэнцүү байна bc өндөр гэх мэт. Иймээс хажуугийн гадаргуу (жишээ нь, хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр) бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. хажуугийн ирмэг, өөрөөр хэлбэл, нийт уртсегментүүд AA", BB", .., хэмжээгээр ab+bc+cd+de+ea.