Зааварчилгаа
Юуны өмнө үүнийг ойлгох нь зүйтэй хажуугийн гадаргуупирамид нь хэд хэдэн гурвалжингаар дүрслэгдсэн бөгөөд тэдгээрийн талбайг хамгийн их ашиглаж болно янз бүрийн томъёомэдэгдэж байгаа өгөгдлөөс хамааран:
S = (a*h)/2, энд h нь а тал руу буулгасан өндөр;
S = a*b*sinβ, энд a, b нь гурвалжны талууд, β нь эдгээр талуудын хоорондох өнцөг;
S = (r*(a + b + c))/2, энд a, b, c нь гурвалжны талууд, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус;
S = (a*b*c)/4*R, энд R нь тойргийг тойрон хүрээлэгдсэн гурвалжны радиус;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (хэрэв гурвалжин тэгш өнцөгт байвал);
S = S = (a²*√3)/4 (хэрэв гурвалжин тэгш талт бол).
Үнэн хэрэгтээ эдгээр нь гурвалжны талбайг олох хамгийн үндсэн мэдэгдэж буй томъёо юм.
Дээрх томъёог ашиглан пирамидын нүүр царай болох бүх гурвалжны талбайг тооцоолсны дараа та энэ пирамидын талбайг тооцоолж эхлэх боломжтой. Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: та пирамидын хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг бүх гурвалжны талбайг нэмэх хэрэгтэй. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.
Sp = ΣSi, энд Sp нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, Si нь хажуугийн гадаргуугийн хэсэг болох i-р гурвалжны талбай юм.
Илүү тодорхой болгохын тулд бид жижиг жишээг авч үзэж болно: ердийн пирамид, түүний хажуугийн нүүр нь тэгш талт гурвалжнуудаас бүрдэх ба түүний суурь дээр дөрвөлжин байрладаг. Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь 17 см бөгөөд энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг олох шаардлагатай.
Шийдэл: Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд түүний нүүр нь тэгш талт гурвалжин гэдгийг мэддэг. Тиймээс, хажуугийн гадаргуу дээрх бүх гурвалжны бүх талууд 17 см-тэй тэнцүү байна гэж хэлж болно, тиймээс эдгээр гурвалжны аль нэгний талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй болно.
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²
Пирамидын ёроолд дөрвөлжин байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс дөрвөн тэгш талт гурвалжин байгаа нь тодорхой байна. Дараа нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно.
125.137 см² * 4 = 500.548 см²
Хариулт: Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 500.548 см²
Эхлээд пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё. Хажуугийн гадаргуу нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл суурь нь энгийн олон өнцөгттэй, орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуугийн гадаргууг бүхэлд нь тооцоолохын тулд периметрийг үржүүлэхэд хангалттай. суурь (өөрөөр хэлбэл суурийн пирамид дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр апотем гэж нэрлэдэг) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb = 1/2P* h, энд Sb нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, P нь суурийн периметр, h нь хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).
Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тусад нь тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Пирамидын хажуу талууд нь гурвалжин байдаг тул гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолсны дараа пирамидын хажуугийн гадаргууг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг.
Дараа нь та пирамидын суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Тооцооллын томъёоны сонголт нь пирамидын суурь дээр аль олон өнцөгт байхаас хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл бүх тал нь ижил урттай) эсвэл жигд бус. Ердийн олон өнцөгтийн талбайг периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, үүссэн утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, Sn нь олон өнцөгтийн талбай юм. олон өнцөгт, P нь периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.
Таслагдсан пирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолоос үүссэн олон өнцөгт юм. суурьтай зэрэгцээ. Пирамидын хажуугийн гадаргууг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Энэ нь маш энгийн: талбай нь суурийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Бидэнд ердийн пирамид өгөгдсөн гэж бодъё. Суурийн урт нь b = 5 см, c = 3 см Apothem a = 4 см пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй. Том сууринд p1=4b=4*5=20 см-тэй тэнцүү байх болно. жижиг суурьтомьёо нь дараах байдалтай байна: p2=4c=4*3=12 см Тиймээс талбай нь: s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 см байна.
Хэрэв пирамидын суурь дээр жигд бус олон өнцөгт байгаа бол бүхэл бүтэн зургийн талбайг тооцоолохын тулд эхлээд олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй. Бусад тохиолдолд пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд та түүний хажуугийн гадаргуу бүрийн талбайг олж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй. Зарим тохиолдолд пирамидын хажуугийн гадаргууг олох ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой. Хэрэв нэг талын нүүр нь сууринд перпендикуляр эсвэл хоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүр нь сууринд перпендикуляр байвал пирамидын суурь гэж үзнэ. ортогональ проекцтүүний хажуугийн гадаргуугийн хэсгүүд ба тэдгээр нь томъёогоор холбогддог.
Пирамидын гадаргуугийн тооцоог дуусгахын тулд пирамидын хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайг нэмнэ.
Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (суурь) нь дурын олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь (хажуугийн) гурвалжин хэлбэртэй байдаг. Өнцгийн тоогоор пирамидын суурь нь гурвалжин (тетраэдр), дөрвөлжин гэх мэт.
Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй суурьтай олон өнцөгт бөгөөд үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин юм. Апотем гэдэг нь ердийн пирамидын оройгоос нь татсан хажуугийн нүүрний өндөр юм.
Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй, суурь нь олон өнцөгт, хажуугийн нүүр нь нэг нийтлэг оройтой гурвалжин юм. Дөрвөлжин гадаргуу пирамидуудхажуугийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна гадаргууболон үндэслэл пирамидууд.
Танд хэрэгтэй болно
- Цаас, үзэг, тооны машин
Зааварчилгаа
Эхлээд бид хажуугийн талбайг тооцоолно гадаргуу . Хажуугийн гадаргуу гэж бид бүх хажуугийн нүүрний нийлбэрийг хэлнэ. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл ердийн олон өнцөгт байрладаг ба орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуу талыг бүхэлд нь тооцоолох хэрэгтэй. гадаргуусуурийн периметрийг үржүүлэхэд хангалттай (өөрөөр хэлбэл суурь дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр). пирамидууд) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр нэрлэнэ) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb=1/2P*h, Sb нь хажуугийн талбай юм. гадаргуу, P - суурийн периметр, h - хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).
Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Хажуу тал нь тулгардаг тул пирамидуудГурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолоход хажуугийн талбайг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг. гадаргуу пирамидууд.
Дараа нь та суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй пирамидууд. Тооцооллын сонголт нь олон өнцөгт нь пирамидын суурь дээр байгаа эсэхээс хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл талууд нь бүгд ижил урттай) эсвэл. ДөрвөлжинЕрдийн олон өнцөгтийн периметрийг олон өнцөгт доторх бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлж, гарсан утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn = 1/2P*r, энд Sn нь олон өнцөгтийн талбай, P нь периметр, r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.
Хэрэв суурь дээр байвал пирамидууджигд бус олон өнцөгт байрладаг бол бүхэл бүтэн зургийн талбайг тооцоолохын тулд та олон өнцөгтийг дахин гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно.
Талбайн тооцоог дуусгахын тулд гадаргуу пирамидууд, дөрвөлжин талыг нугалав гадаргууболон үндэслэл пирамидууд.
Сэдвийн талаархи видео
Олон өнцөгт нь олон шугамыг хаах замаар бүтээгдсэн геометрийн дүрс юм. Хэд хэдэн төрлийн олон өнцөгт байдаг бөгөөд тэдгээр нь оройнуудын тооноос хамаарч өөр өөр байдаг. Талбайг олон өнцөгтийн төрөл тус бүрээр тодорхой аргаар тооцдог.
Зааварчилгаа
Хэрэв та дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох шаардлагатай бол талуудын уртыг үржүүлнэ. Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг олох шаардлагатай бол түүнийг тэгш өнцөгт болгон өргөжүүлж, талбайг нь тооцоод хоёр хуваа.
Хэрэв зураг 180 градусаас ихгүй бол талбайг тооцоолохдоо дараах аргыг ашиглана уу ( гүдгэр олон өнцөгт), түүний бүх орой нь координатын сүлжээнд байрладаг бөгөөд огтлолцдоггүй.
Ийм олон өнцөгтийг тойруулан тэгш өнцөгт зурж, талууд нь торны шугамуудтай (координатын тэнхлэгүүд) параллель байна. Энэ тохиолдолд олон өнцөгтийн оройн дор хаяж нэг нь тэгш өнцөгтийн орой байх ёстой.
Зөвхөн тайрсан нэг нь хоёр суурьтай байж болно пирамидууд. Энэ тохиолдолд хоёр дахь суурь нь том суурьтай параллель зүсэлтээр үүсгэгддэг пирамидууд. Аль нэгийг нь олоорой шалтгаануудмэдэгдэж байгаа бол боломжтой эсвэл шугаман элементүүдхоёрдугаарт.
Танд хэрэгтэй болно
- - пирамидын шинж чанар;
- - тригонометрийн функцууд;
- - тоонуудын ижил төстэй байдал;
- - олон өнцөгтийн талбайг олох.
Зааварчилгаа
Хэрэв суурь нь бол тогтмол гурвалжин, хайж ол дөрвөлжинталын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж 4-т хуваасан. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол түүний талыг хоёр дахь зэрэгт өргө. IN ерөнхий тохиолдол, аливаа энгийн олон өнцөгтийн хувьд S=(n/4) a² ctg(180º/n) томъёог хэрэглэнэ, энд n нь ердийн олон өнцөгтийн талуудын тоо, a нь хажуугийн урт юм.
b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n) томъёогоор жижиг суурийн талыг ол. Энд - илүү том суурь, h – тайрсан өндөр пирамидууд, α – хоёр талт өнцөгтүүний суурь дээр, n – талуудын тоо шалтгаанууд(Энэ нь ижил юм). Хоёрдахь суурийн талбайг эхнийхтэй адилаар, түүний талын уртыг S=(n/4) b² ctg(180º/n) томъёогоор ол.
Хэрэв суурь нь өөр төрлийн олон өнцөгт байвал тэдгээрийн аль нэгнийх нь бүх талууд нь мэдэгдэж байна шалтгаанууд, ба нөгөө талынх нь аль нэгийг, дараа нь үлдсэн талуудыг ижил төстэй байдлаар тооцоол. Жишээлбэл, том суурийн талууд нь 4, 6, 8 см байна. Том талжижиг суурь шарх 4 см-ийн пропорциональ коэффициентийг тооцоолно, 4/8 = 2 (тал тус бүрийг авна шалтгаанууд), бусад талуудыг 6/2=3 см, 4/2=2 см-ээр тооцож, хажуугийн жижиг суурь дээр 2, 3, 4 см талуудыг авна. Одоо тэдгээрийг гурвалжны талбайгаар тооцоол.
Хэрэв тайрсан элементийн харгалзах элементүүдийн харьцаа мэдэгдэж байгаа бол талбайн харьцааг тодорхойлно шалтгаануудЭдгээр элементүүдийн квадратуудын харьцаатай тэнцүү байх болно. Жишээлбэл, холбогдох талууд нь мэдэгдэж байгаа бол шалтгаанууд a ба a1, дараа нь a²/a1²=S/S1.
Доод талбай пирамидуудихэвчлэн түүний хажуугийн талбайг хэлнэ эсвэл бүрэн гадаргуу. Үүний үндсэн дээр геометрийн биеолон өнцөгт байрладаг. Хажуугийн нүүр царайбайна гурвалжин хэлбэртэй. Тэд нийтлэг оройтой байдаг бөгөөд энэ нь мөн орой юм пирамидууд.
Танд хэрэгтэй болно
- - цаас;
- - үзэг;
- - тооцоолуур;
- - өгөгдсөн параметр бүхий пирамид.
Зааварчилгаа
Даалгаварт өгөгдсөн пирамидыг авч үзье. Олон өнцөгт нь суурь дээрээ тогтмол эсвэл жигд бус эсэхийг тодорхойл. Зөв нь бүх тал нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд талбай нь периметр ба радиусын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна. l талын уртыг n талуудын тоогоор үржүүлж периметрийг ол, өөрөөр хэлбэл P=l*n. Суурийн талбайг So=1/2P*r томъёогоор илэрхийлж болох ба P нь периметр, r нь бичээстэй тойргийн радиус юм.
Периметр ба талбай жигд бус олон өнцөгтөөрөөр тооцдог. Хажуугийн урт нь өөр өөр байдаг. руу
Энэхүү геометрийн дүрс ба түүний шинж чанарын талаархи асуултуудыг судлахаасаа өмнө зарим нэр томъёог ойлгох хэрэгтэй. Пирамидын тухай сонссон хүн Египетийн асар том барилгуудыг төсөөлдөг. Хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Гэхдээ тэд тохиолддог янз бүрийн төрөлба дүрс, энэ нь геометрийн дүрсийг тооцоолох томъёо өөр байх болно гэсэн үг юм.
Пирамид - геометрийн дүрс , хэд хэдэн нүүр царайг илэрхийлж, төлөөлдөг. Үндсэндээ энэ бол ижил олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд түүний суурь дээр олон өнцөгт байрладаг бөгөөд талууд дээр нэг цэг дээр холбодог гурвалжин байдаг - орой. Зураг нь хоёр үндсэн төрлөөр ирдэг:
- зөв;
- тайрсан.
Эхний тохиолдолд суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. Энд бүх хажуугийн гадаргуу тэнцүү байнаӨөрсдийнхөө хооронд болон дүр төрх нь төгс төгөлдөр хүний нүдэнд таалагдах болно.
Хоёрдахь тохиолдолд хоёр суурь байдаг - хамгийн доод талд нь том, дээд талынх нь хооронд жижиг, голын хэлбэрийг давтана. Өөрөөр хэлбэл, таслагдсан пирамид нь суурьтай параллель үүссэн хөндлөн огтлолтой олон өнцөгт юм.
Нэр томъёо, тэмдэг
Гол нэр томъёо:
- Тогтмол (тэнцүү талт) гурвалжин- гурван ижил өнцөг бүхий дүрс ба тэнцүү талууд. Энэ тохиолдолд бүх өнцөг нь 60 градус байна. Энэ зураг нь энгийн олон талтуудын хамгийн энгийн зураг юм. Хэрэв энэ зураг суурь дээр байгаа бол ийм олон өнцөгтийг ердийн гурвалжин гэж нэрлэнэ. Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамидыг ердийн дөрвөлжин пирамид гэж нэрлэнэ.
- Орой– ирмэгүүдийн нийлдэг хамгийн өндөр цэг. Оройн өндөр нь оройгоос пирамидын суурь хүртэл үргэлжилсэн шулуун шугамаар үүсгэгддэг.
- Ирмэг– олон өнцөгтийн хавтгайн нэг. Энэ нь гурвалжин пирамид эсвэл трапец хэлбэрийн хувьд гурвалжин хэлбэртэй байж болно. таслагдсан пирамид.
- Хэсэг – хавтгай дүрс, задралын үр дүнд үүссэн. Хэсэг нь тухайн хэсгийн ард юу байгааг харуулдаг тул үүнийг хэсэгтэй андуурч болохгүй.
- Апотем- пирамидын оройноос суурь хүртэл зурсан сегмент. Энэ нь бас хоёр дахь өндрийн цэг байрладаг нүүрний өндөр юм. Энэ тодорхойлолтзөвхөн шударга ердийн олон өнцөгт. Жишээлбэл, хэрэв энэ нь таслагдсан пирамид биш бол нүүр нь гурвалжин болно. IN энэ тохиолдолдЭнэ гурвалжны өндөр нь бэлгэ тэмдэг болно.
Талбайн томъёо
Пирамидын хажуугийн гадаргууг олямар ч төрлийг хэд хэдэн аргаар хийж болно. Хэрэв зураг нь тэгш хэмтэй биш, олон өнцөгт хэлбэртэй байвал өөр өөр талууд, дараа нь энэ тохиолдолд тооцоолоход хялбар болно нийт талбайбүх гадаргуугийн нийтээр дамжуулан гадаргуу. Өөрөөр хэлбэл, та нүүр бүрийн талбайг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй.
Ямар параметрүүд мэдэгдэж байгаагаас хамааран квадрат, трапец, дурын дөрвөлжин гэх мэтийг тооцоолох томъёо шаардлагатай байж болно. Томъёо нь өөрсдөө өөр өөр тохиолдол бас ялгаа байх болно.
Тохиолдолд зөв зурагТалбайг олох нь илүү хялбар байдаг. Хэд хэдэн үндсэн параметрүүдийг мэдэхэд л хангалттай. Ихэнх тохиолдолд ийм тоонуудын хувьд тусгайлан тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг. Тиймээс бид доор өгөх болно харгалзах томъёонууд. Үгүй бол та бүх зүйлийг хэд хэдэн хуудсан дээр бичих хэрэгтэй бөгөөд энэ нь таныг төөрөлдүүлж, төөрөлдүүлэх болно.
Тооцооллын үндсэн томъёоЕрдийн пирамидын хажуугийн гадаргуу нь дараах хэлбэртэй байна.
S=½ Па (P нь суурийн периметр, ба апотем)
Нэг жишээг харцгаая. Полиэдр нь A1, A2, A3, A4, A5 сегментүүдтэй суурьтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд 10 см-тэй тэнцүү байна. Эхлээд та периметрийг олох хэрэгтэй. Суурийн бүх таван нүүр нь адилхан тул та үүнийг дараах байдлаар олж болно: P = 5 * 10 = 50 см Дараа нь бид хэрэглэнэ үндсэн томъёо: S =½*50*5=125 см квадрат.
Хажуугийн гадаргуугийн талбай зөв байна гурвалжин пирамид тооцоолоход хамгийн хялбар. Томъёо дараах байдалтай байна.
S =½* ab *3, энд a нь үгийн тэмдэг, b нь суурийн нүүр юм. Гуравын хүчин зүйл нь суурийн нүүрний тоог илэрхийлдэг бөгөөд эхний хэсэг нь хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. Нэг жишээ авч үзье. Өгөгдсөн дүрс нь 5 см, суурь ирмэг нь 8 см байна: S = 1/2*5*8*3=60 см квадрат.
Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайТооцоолоход арай хэцүү. Томъёо нь дараах байдалтай харагдана: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, энд p_01 ба p_02 нь суурийн периметр бөгөөд апотем юм. Нэг жишээ авч үзье. Дөрвөн өнцөгт хэлбэрийн хувьд суурийн хажуугийн хэмжээ 3 ба 6 см, апотем нь 4 см байна гэж бодъё.
Энд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см-ийн утгыг үндсэн томъёонд орлуулахад бид дараахыг авна: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 см квадрат.
Тиймээс та ямар ч нарийн төвөгтэй энгийн пирамидын хажуугийн гадаргууг олох боломжтой. Та болгоомжтой байж, төөрөгдүүлэхгүй байх хэрэгтэйЭдгээр тооцоог бүхэл бүтэн олон өнцөгтийн нийт талбайтай хамт хийнэ. Хэрэв та үүнийг хийх шаардлагатай хэвээр байгаа бол олон өнцөгтийн хамгийн том суурийн талбайг тооцоолж, олон өнцөгтийн хажуугийн гадаргуугийн талбайд нэмнэ үү.
Видео
Энэ видео нь янз бүрийн пирамидын хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох талаархи мэдээллийг нэгтгэхэд тусална.
Асуултынхаа хариуг аваагүй юу? Зохиогчид сэдвийг санал болгох.
Пирамидын гадаргуугийн талбай. Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидуудтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Энгийн пирамид бол суурь нь ердийн олон өнцөгт пирамид бөгөөд пирамидын орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг гэдгийг сануулъя.
Ийм пирамидын хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.Ердийн пирамидын оройноос зурсан энэ гурвалжны өндрийг apothem, SF - apothem гэж нэрлэдэг:
Доор үзүүлсэн асуудлын төрлөөс та бүх пирамидын гадаргуугийн талбай эсвэл түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй. Блогт ердийн пирамидуудтай холбоотой хэд хэдэн асуудлыг аль хэдийн хэлэлцсэн бөгөөд асуулт нь элементүүдийг (өндөр, суурийн ирмэг, хажуугийн ирмэг) олох тухай байв.
IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварДүрмээр бол ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт пирамидуудыг авч үздэг. Би ердийн таван өнцөгт болон долоон өнцөгт пирамидуудтай холбоотой ямар ч асуудал олж хараагүй.
Бүх гадаргуугийн талбайн томъёо нь энгийн байдаг - та пирамидын суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.
Даалгавруудыг авч үзье:
Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд нь 72, хажуугийн хавирга 164-тэй тэнцүү. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.
Пирамидын гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
*Хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү талбайтай дөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Пирамидын суурь нь дөрвөлжин юм.
Бид пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолж болно:
Тиймээс пирамидын гадаргуугийн талбай нь:
Хариулт: 28224
Суурийн талууд зөв байна зургаан өнцөгт пирамид 22, хажуугийн ирмэг нь 61. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь нь ердийн зургаан өнцөгт юм.
Энэхүү пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 61,61 ба 22 талтай тэнцүү гурвалжны зургаан хэсгээс бүрдэнэ.
Хэроны томъёог ашиглан гурвалжны талбайг олъё.
Тиймээс хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
Хариулт: 3240
*Дээр дурдсан асуудлуудад хажуугийн нүүрний талбайг өөр гурвалжны томъёог ашиглан олж болох боловч үүний тулд та апотемийг тооцоолох хэрэгтэй.
27155. Суурийн талууд нь 6, өндөр нь 4 байх энгийн дөрвөлжин пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.
Пирамидын гадаргуугийн талбайг олохын тулд бид суурийн талбай ба хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.
Суурийн талбай нь 6 талтай дөрвөлжин тул 36 байна.
Хажуугийн гадаргуу нь дөрвөн нүүрнээс бүрдэнэ тэнцүү гурвалжин. Ийм гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй (apothem):
*Гурвалжны талбай нь суурийн болон энэ суурийн өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
Суурь нь мэдэгдэж байгаа, энэ нь зургаатай тэнцүү байна. Өндөрийг олъё. Ингээд авч үзье зөв гурвалжин(шар өнгөөр тодруулсан):
Нэг хөл нь 4-тэй тэнцүү, учир нь энэ нь пирамидын өндөр, нөгөө нь 3-тай тэнцүү байна. хагастай тэнцүүсуурь хавирга. Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг олж болно.
Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:
Тиймээс бүх пирамидын гадаргуугийн талбай нь:
Хариулт: 96
27069. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 10, хажуугийн ирмэг нь 13. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.
27070. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 10, хажуугийн ирмэг нь 13-тай тэнцүү. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо бас байдаг. IN зөв пирамидсуурь нь хажуугийн гадаргуугийн ортогональ проекц тул:
П- суурь периметр, л- пирамидын үг
*Энэ томьёо нь гурвалжны талбайн томъёонд үндэслэсэн болно.
Хэрэв та эдгээр томъёог хэрхэн гаргаж авсан талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл үүнийг бүү алдаарай, нийтлэлийн нийтлэлийг дагаарай.Тэгээд л болоо. Чамд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Цилиндр нь хоёр зэрэгцээ хавтгай ба цилиндр гадаргуугаар хүрээлэгдсэн геометрийн бие юм. Энэ нийтлэлд бид цилиндрийн талбайг хэрхэн олох талаар ярилцаж, томъёог ашиглан жишээ болгон хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно.
Цилиндр нь дээд, суурь, хажуугийн гадаргуу гэсэн гурван гадаргуутай.
Цилиндрийн дээд ба суурь нь дугуй хэлбэртэй бөгөөд тодорхойлоход хялбар байдаг.
Тойргийн талбай нь πr 2-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Тиймээс хоёр тойргийн талбайн томъёо (цилиндрийн дээд ба суурь) нь πr 2 + πr 2 = 2πr 2 байх болно.
Цилиндрийн гурав дахь, хажуугийн гадаргуу нь цилиндрийн муруй хана юм. Энэ гадаргууг илүү сайн төсөөлөхийн тулд түүнийг танигдахуйц хэлбэрт оруулахыг хичээцгээе. Цилиндр нь дээд таг эсвэл ёроолгүй энгийн цагаан тугалгатай лааз гэж төсөөлөөд үз дээ. Хажуугийн хананд дээд талаас лаазны суурь хүртэл босоо зүсэлт хийж (зураг дээрх 1-р алхам) үүссэн дүрсийг аль болох нээхийг (шулуун болгох) оролдоорой (2-р алхам).
Үүссэн савыг бүрэн нээсний дараа бид танил дүрсийг харах болно (3-р алхам), энэ бол тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолоход хялбар байдаг. Гэхдээ үүнээс өмнө анхны цилиндр рүүгээ хэсэг хугацаанд буцаж орцгооё. Анхны цилиндрийн орой нь тойрог бөгөөд тойргийг L = 2πr томъёогоор тооцоолдог гэдгийг бид мэднэ. Энэ нь зураг дээр улаанаар тэмдэглэгдсэн байна.
Цилиндрийн хажуугийн ханыг бүрэн нээх үед тойрог нь үүссэн тэгш өнцөгтийн урт болж байгааг бид харж байна. Энэ тэгш өнцөгтийн талууд нь тойрог (L = 2πr) ба цилиндрийн өндөр (h) болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний талуудын үржвэртэй тэнцүү байна - S = урт x өргөн = L x h = 2πr x h = 2πrh. Үүний үр дүнд бид цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог олж авав.
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн томъёо
S тал = 2πrh
Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбай
Эцэст нь, хэрэв бид бүх талбайг нэмбэл гурван гадаргуу, бид цилиндрийн нийт гадаргуугийн томъёог авдаг. Цилиндрийн гадаргуугийн талбай нь цилиндрийн дээд хэсгийн талбай + цилиндрийн суурийн талбай + цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбай эсвэл S = πr 2 + -тэй тэнцүү байна. πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Заримдаа энэ илэрхийлэл нь 2πr (r + h) томьёотой ижил бичигдсэн байдаг.
Цилиндрийн нийт гадаргуугийн томъёо
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – цилиндрийн радиус, h – цилиндрийн өндөр
Цилиндрийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээ
Дээрх томьёог ойлгохын тулд жишээн дээр цилиндрийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохыг хичээцгээе.
1. Цилиндрийн суурийн радиус 2, өндөр нь 3. Цилиндрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойл.
Нийт гадаргуугийн талбайг томъёогоор тооцоолно: S тал. = 2πrh
S тал = 2 * 3.14 * 2 * 3
S тал = 6.28 * 6
S тал = 37.68
Цилиндрийн хажуугийн гадаргуу нь 37.68 байна.
2. Цилиндрийн өндөр нь 4, радиус нь 6 бол гадаргуугийн талбайг хэрхэн олох вэ?
Гадаргуугийн нийт талбайг томъёогоор тооцоолно: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4
S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24
Цилиндр нь дараахаас бүрдсэн дүрс юм цилиндр гадаргуузэрэгцээ байрладаг хоёр тойрог. Цилиндрийн талбайг тооцоолох нь даалгавар юм геометрийн хэсэгмаш энгийнээр шийдэгддэг математик. Үүнийг шийдэх хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд эцэст нь үргэлж нэг томъёонд ордог.
Цилиндрийн талбайг хэрхэн олох вэ - тооцоолох дүрэм
- Цилиндрийн талбайг олохын тулд та хажуугийн гадаргуугийн талбайтай суурийн хоёр хэсгийг нэмэх хэрэгтэй: S = Sside + 2Sbase. Илүү нарийвчилсан хувилбарт энэ томьёо дараах байдалтай байна: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Өгөгдсөн геометрийн биеийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг түүний өндөр ба түүний сууринд байрлах тойргийн радиусыг мэдэж байвал тооцоолж болно. Энэ тохиолдолд хэрэв өгөгдсөн бол та тойргийн радиусыг илэрхийлж болно. Генераторын утгыг нөхцөлд заасан бол өндрийг олж болно. Энэ тохиолдолд generatrix нь өндөртэй тэнцүү байх болно. Энэ биеийн хажуугийн гадаргуугийн томъёо нь дараах байдалтай байна: S= 2 π rh.
- Суурийн талбайг тойргийн талбайг олох томъёогоор тооцоолно: S osn = π r 2 . Зарим асуудалд радиусыг өгөхгүй байж болох ч тойргийг зааж өгч болно. Энэ томъёогоор радиусыг маш амархан илэрхийлдэг. С=2π r, r= С/2π. Та мөн радиус нь хагас диаметртэй гэдгийг санах хэрэгтэй.
- Энэ бүх тооцоог хийхэд π тоо ихэвчлэн 3.14159 болж хувирдаггүй... Зүгээр л хажууд нь нэмэх хэрэгтэй. тоон утгатооцооны үр дүнд олж авсан .
- Дараа нь та суурийн олдсон талбайг 2-оор үржүүлж, үүссэн тоонд зургийн хажуугийн гадаргуугийн тооцоолсон талбайг нэмэх хэрэгтэй.
- Хэрэв асуудал нь цилиндрт байгааг харуулж байгаа бол тэнхлэгийн хэсэгмөн энэ бол тэгш өнцөгт бол шийдэл нь арай өөр байх болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн өргөн нь биеийн ёроолд байрлах тойргийн диаметр болно. Зургийн урт нь цилиндрийн генератор эсвэл өндөртэй тэнцүү байх болно. Тооцоолох хэрэгтэй шаардлагатай утгуудмөн аль хэдийн орлуулах сайн мэддэг томъёо. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгтийн өргөнийг хоёр хувааж суурийн талбайг олох шаардлагатай. Хажуугийн гадаргууг олохын тулд уртыг хоёр радиус ба π тоогоор үржүүлнэ.
- Өгөгдсөн геометрийн биеийн талбайг эзлэхүүнээр нь тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд V=π r 2 h томъёоноос дутуу утгыг гаргаж авах хэрэгтэй.
- Цилиндрийн талбайг тооцоолоход төвөгтэй зүйл байхгүй. Та зүгээр л томъёог мэдэж, тооцоолол хийхэд шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүдийг гаргаж авах хэрэгтэй.
