БҮЛЭГ 3. ЗАРИМ ГЕОМЕТРИЙН БАРИЛГА

§ 14. Ерөнхий мэдээлэл

Гүйцэтгэх үед график ажилбарилгын олон асуудлыг шийдэх ёстой. Энэ тохиолдолд хамгийн нийтлэг ажил бол шугамын сегмент, өнцөг, тойргийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваах, тойрог нуман, тойргийн нум бүхий шугамын янз бүрийн холболтыг бий болгох явдал юм. Коньюгаци гэдэг нь дугуй нумыг шулуун шугам руу эсвэл өөр тойргийн нуман руу жигд шилжүүлэх явдал юм.

Хамгийн нийтлэг ажил нь дараахь холболтыг бий болгох явдал юм: дугуй нуман хэлбэртэй хоёр шулуун шугам (булангийн дугуйрсан); шулуун шугамын хоёр тойрог нуман; гурав дахь нуман бүхий хоёр дугуй нуман; нум ба шулуун хоёр дахь нум.

Хамтрагчийг барих нь түншийн төв ба цэгүүдийг графикаар тодорхойлохтой холбоотой юм. Коньюгац байгуулахдаа цэгүүдийн геометрийн байршлыг өргөн ашигладаг (тойрогтой шүргэгч шулуун шугамууд; бие биентэйгээ шүргэгч тойрог). Учир нь тэдгээр нь геометрийн зарчим, теорем дээр суурилдаг.

10. Өөрийгөө шалгах асуултууд

ӨӨРИЙГӨӨ ТЕСТИЙН АСУУЛТ

15. Аль хавтгай муруйг эволют гэж нэрлэдэг вэ?

15. Шугамын сегментийн хуваагдал

§ 15. Шугаман хэсгийг хуваах

Өгөгдсөн сегментийг хуваах ABХоёр тэнцүү хэсэгт хуваах ба түүний эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийг сегментийн хагасаас илүү радиустай нум татах төвүүд гэж авна. AB.Нуманууд нь цэгүүдийг олж авах харилцан огтлолцол руу татагддаг ХАМТТэгээд Д.Эдгээр цэгүүдийг холбосон шугам нь сегментийг цэг дээр хуваана TOхоёр тэнцүү хэсэгт хуваана (Зураг 30, A).

Мөрийг хуваахын тулд ABдээр заасан тоо хэмжээтэнцүү талбайнууд p,ямар ч хурц өнцөгт ABТуслах шулуун шугамыг зурж, түүн дээр нийтлэг өгөгдсөн шулуун цэгээс тасална nдурын урттай тэнцүү хэсгүүд (Зураг 30, б).Сүүлчийн цэгээс (зургийн зургаа дахь) цэг рүү шулуун шугам зурна INмөн 5, 4, 3, 2, 1 цэгүүдээр хэрчмтэй параллель шулуун шугамуудыг татна 6Б.Эдгээр шулуун шугамууд сегмент дээр таслагдах болно ABөгсөн дугаар тэнцүү сегментүүд(В энэ тохиолдолд 6).

Цагаан будаа. 30 Өгөгдсөн AB хэрчмийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах

Зураг:

16. Тойрог хуваах

§ 16. Тойрог хуваах

Тойргийг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хуваахын тулд харилцан перпендикуляр хоёр диаметрийг зурдаг: тойрогтой огтлолцох үед бид тойргийг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хуваах цэгүүдийг олж авдаг (Зураг 31, а).

Тойргийг найман тэнцүү хэсэгт хуваахын тулд тойргийн дөрөвний нэгтэй тэнцэх нумуудыг хагасаар хуваана. Үүнийг хийхийн тулд нумын дөрөвний нэгийг заагласан хоёр цэгээс тойргийн радиусын төвүүдээс гадна түүний хил хязгаараас давсан ховилуудыг хийдэг. Үүссэн цэгүүдийг тойргийн төвтэй холбож, тойргийн шугамтай огтлолцох үед дөрөвний нэг хэсгийг хагасаар хуваах цэгүүдийг олж авна, өөрөөр хэлбэл тойргийн найман тэнцүү хэсгийг авна (Зураг 31, б).

Тойрог дараах байдлаар арван хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Тойргийг харилцан перпендикуляр диаметртэй дөрвөн хэсэгт хуваа. Диаметрүүдийн тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг авах A, B, C, Dтөвүүдийн цаана ижил радиустай дөрвөн нумыг тойрогтой огтлолцох хүртэл зурна. Үр дүнгийн оноо 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ба оноо A, B, C, Dтойргийг арван хоёр тэнцүү хэсэгт хуваа (Зураг 31, в).

Радиусыг ашиглан тойргийг 3, 5, 6, 7 тэнцүү хэсгүүдэд хуваахад хэцүү биш юм.

Цагаан будаа. 31 Радиусыг ашиглан тойргийг хэд хэдэн тэнцүү хэсгүүдэд хуваахад хялбар байдаг.

Зураг:

17. Булангийн булангуудыг дугуйлах

§ 17. Булангийн булангуудыг дугуйлах

Нумантай огтлолцсон хоёр шулуун шугамыг нэгтгэх өгөгдсөн радиусдугуйрсан булан гэж нэрлэдэг. Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ (Зураг 32). Өгөгдлөөр үүссэн өнцгийн талуудтай зэрэгцээ

шулуун шугам, туслах шулуун шугамыг хол зайд зурах, радиустай тэнцүү байна. Туслах шугамын огтлолцлын цэг нь булангийн нумын төв юм.

Хүлээн авсан төвөөс ТУХАЙхажуугийн доод перпендикуляр өгөгдсөн өнцөгмөн тэдгээрийн уулзвар дээр бид холбох цэгүүдийг авдаг А а Б.Эдгээр цэгүүдийн хооронд радиустай коньюгат нумыг зур Ртөвөөс ТУХАЙ.

Цагаан будаа. 32 Өгөгдсөн радиустай нумтай огтлолцсон хоёр шулуун шугамын холболтыг дугуйрсан булан гэнэ.

Зураг:

18. Тойрог нумыг шулуун шугамаар холбох

§ 18. Тойрог нумыг шулуун шугамаар холбох

Шулуун шугамтай дугуй нумуудын холболтыг байгуулахдаа хоёр асуудлыг авч үзэж болно: коньюгат шулуун шугам нь гадаад эсвэл дотоод шүргэгчтэй байдаг. Эхний асуудалд (Зураг 33, A)нумын төвөөс

жижиг радиус R1радиусаар татсан туслах тойрогт шүргэгч зурна Р- Р.И.Түүний холбоо барих цэг Co.уулзвар цэгийг барихад ашигладаг Арадиустай нуман дээр Р.

Хоёр дахь түншийн цэгийг авахын тулд А 1радиустай нуман дээр R 1туслах шугам зурах O 1 A 1зэрэгцээ О А.А цэгүүд ба А 1гадаад шүргэгч шугамын хэсэг нь хязгаарлагдмал байх болно.

Дотоод шүргэгч шугамыг барих ажил (Зураг 33, б)-тэй тэнцүү радиустай туслах тойрог байгуулвал шийдэж болно R + R 1,

Цагаан будаа. 33 Тойрог нумыг шулуун шугамаар холбох

Зураг:

19. Гурав дахь нумтай хоёр дугуй нумыг нэгтгэх

§ 19. Тойргийн хоёр нумыг гурав дахь нумтай холбох

Өгөгдсөн радиусын гурав дахь нум бүхий хоёр дугуй нумын холболтыг байгуулахдаа гурван тохиолдлыг авч үзэж болно: радиусын нэгдэх нум үед. Рөгөгдсөн радиустай нумуудад хүрнэ R 1Тэгээд R 2-тай гадна(Зураг 34, а); дотоод мэдрэгчийг үүсгэх үед (Зураг 34, б);дотоод болон гадаад мэдрэгчтэй хавсарсан үед (Зураг 34, в).

Төв барих ТУХАЙконьюгат нумын радиус Ргаднаас нь хүрэх үед дараах дарааллаар явагдана: төвөөс О 1радиустай тэнцүү байна R + R 1,туслах нумыг зурж, төвөөс O2радиустай нисгэгч нумыг зурах R + R 2.Нумануудын уулзвар дээр төвийг олж авна ТУХАЙконьюгат нумын радиус R,ба радиустай огтлолцох хэсэгт R + R 1Тэгээд R + R 2 секТойргийн нумуудыг холбох цэгүүдийг олж авахад ашигладаг АТэгээд А 1.

Төв барих ТУХАЙдотоод мэдрэгчтэй, энэ нь төвөөс ялгаатай О 1 Р- Төвөөс R 1 a О 2радиус Р- R2.Төвөөс дотоод болон гадаад мэдрэгчтэй хослуулах үед О 1-тэй тэнцүү радиустай туслах тойрог зур Р- R1,мөн төвөөс О 2- радиустай тэнцүү R + R 2.

20. Дугуй нум ба шулуун шугамыг хоёр дахь нумтай холбох

§ 20. Дугуй нум ба шулуун шугамыг хоёр дахь нумтай холбох

Энд хоёр тохиолдлыг авч үзэж болно: гадаад холболт (Зураг 35, а) ба дотоод (Зураг 35, б).Аль ч тохиолдолд радиусын коньюгат нумыг барих үед Рнөхөр төв ТУХАЙуулзвар дээр байрладаг геометрийн газруудшулуун шугам ба радиустай нумаас ижил зайд орших цэгүүд Рхэмжээгээр R1.

Алсын зайд өгөгдсөн шулуун шугамтай зэрэгцээ гадна талын филе барих үед R 1тойрог руу, мөн төвөөс туслах шугамыг зур ТУХАЙрадиустай тэнцүү байна R + R 1,- туслах тойрог, тэдгээрийн огтлолцол дээр цэгийг олж авна О 1- коньюгат тойргийн төв. Энэ төвөөс радиустай Рцэгүүдийн хооронд коньюгат нум зурна АТэгээд A 1,бүтээцийг зургаас харж болно.

Дотоод коньюгацийн барилга нь төвөөс ялгаатай ТУХАЙ-тэй тэнцүү радиустай туслах нумыг зурна Р- R1.

34-р зураг Дугуй нуман ба шулуун шугамын гаднах коньюгаци нь хоёр дахь нумтай

Зураг:

Зураг 35 Дугуй нум ба шулуун шугамын дотоод коньюгаци нь хоёр дахь нумтай

Зураг:

21. Зууван

§21. Зууван

Янз бүрийн радиустай дугуй нумаар дүрслэгдсэн гөлгөр гүдгэр муруйг зууван гэж нэрлэдэг. Зууван нь хоёр тулгуур дугуйнаас тогтдог бөгөөд тэдгээрийн хооронд дотоод хань байдаг.

Гурван төвтэй, олон төвтэй зууван байдаг. Камер, фланц, бүрээс гэх мэт олон хэсгүүдийг зурахдаа тэдгээрийн контурыг зууван хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Өгөгдсөн тэнхлэгүүдийн дагуу зууван бүтээх жишээг авч үзье. Дөрвөн төвтэй зууван хэлбэрийг хоёр тулгуур радиусын нумаар дүрсэл Рба r радиустай хоёр коньюгат нум , гол тэнхлэгийг тодорхойлсон ABболон бага тэнхлэг CD.Радиусын хэмжээ Р у рбарилга байгууламжаар тодорхойлогдох ёстой (Зураг 36). Том ба бага тэнхлэгийн төгсгөлийг А сегменттэй холбоно ХАМТ,үүн дээр бид ялгааг гаргах болно SEзууван хэлбэрийн гол ба бага хагас тэнхлэг. Сегментийн дунд хэсэгт перпендикуляр зур AF,зууван хэлбэрийн том ба бага тэнхлэгүүдийг цэгүүдээр огтолно О 1Тэгээд О 2.Эдгээр цэгүүд нь зууван хэлбэрийн хавсарсан нумуудын төвүүд байх ба хавсарсан цэг нь өөрөө перпендикуляр дээр байрладаг.

Цагаан будаа. 36 Янз бүрийн радиустай тойргийн нумуудаар дүрслэгдсэн гөлгөр гүдгэр муруйг зууван гэж нэрлэдэг.

22. Загварын муруй

§ 22. Загварын муруй

ХээтэйӨмнө нь барьсан цэгүүдийн хэв маягийг ашиглан зурсан хавтгай муруй гэж нэрлэдэг. Загварын муруйнууд нь: эллипс, парабол, гипербол, циклоид, синусоид, эволют гэх мэт.

Зууваннь хоёр дахь эрэмбийн битүү хавтгай муруй юм. Энэ нь түүний аль нэг хүртэлх зайны нийлбэрээр тодорхойлогддог

Цагаан будаа. 37

хоёр фокусын цэгүүд нь тогтмол утгатай тэнцүү байна гол тэнхлэгэллипс. Зууван бүтээх хэд хэдэн арга байдаг. Жишээлбэл, та хамгийн томоос нь эллипс барьж болно ABмөн жижиг CDтэнхлэгүүд (Зураг 37, а). Зуувангийн тэнхлэгүүд дээр диаметртэй адил хоёр тойрог барьсан бөгөөд тэдгээрийг радиусаар хэд хэдэн хэсэгт хувааж болно. Хуваах цэгүүдээр дамжуулан агуу тойрогзуувангийн жижиг тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зурж, жижиг тойргийн хуваагдлын цэгүүдээр - эллипсийн гол тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зурна. Эдгээр шугамын огтлолцох цэгүүд нь эллипсийн цэгүүд юм.

Хоёр коньюгат диаметрийг ашиглан эллипс байгуулах жишээг та өгч болно (Зураг 37, b). ) MN ба KL.Хоёр диаметр нь нөгөө диаметртэй параллель хөвчийг хоёр хуваасан бол хоёр диаметрийг коньюгат гэж нэрлэдэг. Коньюгат диаметр дээр параллелограммыг байгуулав. Диаметрүүдийн нэг М.Нтэнцүү хэсгүүдэд хуваасан; Параллелограммын бусад диаметртэй параллель талуудыг мөн ижил хэсгүүдэд хувааж, зурагт үзүүлсэн шиг дугаарлана. Хоёр дахь коньюгат диаметрийн төгсгөлөөс KLЦацрага нь хуваах цэгүүдээр дамждаг. Ижил нэртэй цацрагийн огтлолцол дээр эллипсийн цэгүүдийг олж авдаг.

ПараболаБүх цэгүүд нь нэг цэгээс - фокус ба өгөгдсөн шулуун шугамаас - чиглүүлэлтээс ижил зайд байрладаг хоёр дахь эрэмбийн нээлттэй муруй гэж нэрлэдэг.

Оройноос нь парабол байгуулах жишээг авч үзье ТУХАЙболон ямар ч цэг IN(Зураг 38, A). ХАМТЭнэ зорилгоор тэгш өнцөгтийг барьсан OABCмөн түүний талыг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, хуваах цэгүүдээс туяа татна. Ижил нэртэй цацрагуудын огтлолцол дээр параболын цэгүүдийг олж авдаг.

Та шулуун шугамд өгөгдсөн цэгүүдтэй шүргэгч муруй хэлбэртэй параболыг барих жишээг өгч болно. АТэгээд IN(Зураг 38, б).Эдгээр шулуун шугамаар үүссэн өнцгийн талууд нь тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдана ба

хуваах цэгүүдийг хэмждэг. Ижил нэртэй цэгүүдийг шулуун шугамаар холбодог. Параболыг эдгээр шугамын дугтуй болгон зурсан.

Гипербола нь хоёр мөчирөөс бүрдэх хавтгай, хаалттай муруй бөгөөд төгсгөлүүд нь асимптотууд руугаа чиглүүлдэг. Гипербола нь цэг бүрт өөр өөр байдаг тусгай өмч: өгөгдсөн хоёр цэгээс түүний зайны зөрүү нь тогтмол утга, зайтай тэнцүүмуруйн оройн хооронд. Хэрэв гиперболын асимптотууд харилцан перпендикуляр байвал түүнийг изостал гэнэ. Нэг цэгийг координатаар нь өгсөн тохиолдолд ижил талт гиперболыг янз бүрийн диаграммыг бүтээхэд өргөн ашигладаг. М(Зураг 38, V).Энэ тохиолдолд өгөгдсөн цэгээр шугамууд татагдана ABТэгээд KLзэрэгцээ координатын тэнхлэгүүд. Олж авсан огтлолцлын цэгүүдээс координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шугамуудыг зурна. Тэдний уулзвар дээр гиперболын цэгүүдийг олж авдаг.

Сахилга батыг судлахдаа " Дүрслэх геометрба инженерийн график" оюутнууд геометрийн байгууламж, холболтыг гүйцэтгэх дүрэм, дарааллыг сурах ёстой. Үүнтэй холбогдуулан барилгын ур чадварыг эзэмших хамгийн сайн арга бол нарийн төвөгтэй хэсгүүдийн контурыг зурах даалгавар юм.

Туршилтын ажлыг эхлүүлэхийн өмнө та арга зүйн гарын авлагын дагуу геометрийн байгууламж, холболтыг гүйцэтгэх техникийг судлах хэрэгтэй.

Шугамын нөхдүүд

Коньюгаци гэдэг нь нэг шугамаас нөгөөд жигд шилжих явдал юм. Өгөгдсөн радиусын нум бүхий ямар ч нийлмэл холбоо барихын тулд та дараахь зүйлийг олох хэрэгтэй.

Коньюгацийн төв – нумыг татах төв;
Холболтын цэгүүд (хүрэлтийн цэгүүд) нь нэг шугам нөгөө рүү шилжих цэгүүд юм.

Хамтрагчийн төв нь түншийн цэгүүдээс R радиустай тэнцүү зайд байрладаг. Шулуун шугамаас тойрог руу шилжих шилжилт нь шулуун шугам нь тойрогт хүрвэл жигд болно. К коньюгацийн цэг нь тойргийн О төвөөс шулуун шугам руу унасан перпендикуляр дээр байрладаг (Зураг 1).

Тойрог хүрвэл нэг тойргоос нөгөөд шилжих нь жигд болно.

Тойргийн нумуудын хооронд холбоо барих хоёр тохиолдол байдаг: гадаад (зураг 2) ба дотоод (зураг 3).

Гаднах хүрэх үед тойргийн төвүүд нь хажуу тийшээ байрладаг өөр өөр талуудтэдгээрийн нийтлэг шүргэгч L (зураг 2). Тэдний OO 1 төвүүдийн хоорондох зай нь R+R 1 тойргийн радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн төвүүдийг холбосон OO 1 шулуун шугам дээр хүрэх цэг нь байрладаг.

Дотоод шүргэгчээр тойргийн төвүүд нь нийтлэг шүргэгч L-ийн нэг талд байрладаг. Тэдний OO 1 төвүүдийн хоорондох зай нь R-R 1 радиусын зөрүүтэй тэнцүү ба тойргийн K контактын цэг үргэлжлэл дээр байрладаг. шулуун шугамын OO 1 (Зураг 3).

Тойргийн шүргэгч нумууд:

будаа. 2- хоёр тойргийн нэгдэл (гадаад шүргэгч)

будаа. 3- хоёр тойргийн нэгдэл (дотоод шүргэгч)

Хоёр огтлолцсон шугамын холболт

Зөв, хурц ба мохоо өнцгөөр огтлолцсон шулуун шугамуудыг өгөв.

Өгөгдсөн R радиустай нум бүхий эдгээр шулуун шугамын холбоог барих шаардлагатай.

Коньюгацийн төвийг олохын тулд радиус R-тэй тэнцүү зайд өгөгдөлтэй параллель туслах шулуун шугамыг зурна. Эдгээр шулуун шугамын огтлолцлын цэг нь коньюгацийн нумын төв байх болно (Зураг 4).
Эдгээр шулуун шугамууд дээр t.O холболтын нумын төвөөс унасан перпендикулярууд нь K ба N шүргэлтийн цэгүүдийг тодорхойлно.
О цэгээс төв нь өгөгдсөн R радиустай нумыг дүрсэлдэг.

Анхаарна уу.Зөв өнцгүүдийн хувьд луужин ашиглан түншийн төвийг олох нь илүү тохиромжтой (Зураг 5).

Өгөгдсөн радиустай дугуй нум ба шулуун шугамын холболт.

Гадаад мэдрэгчтэй

R радиустай тойрог ба AB шулуун шугам өгөгдсөн. Тэдгээрийг R1 радиустай нумаар холбох шаардлагатай.

Хамтрагчийн төвийг олохын тулд өгөгдсөн тойргийн О төвөөс нум зурна мрадиус R + R 1 ба R 1 зайд - шулуун n// AB. Шугамын огтлолцлын O 1 цэг nба нумууд мконьюгацийн төв байх болно.
Холбох цэгүүдийг олж авахын тулд: K ба K 1 нь OO 1 төвүүдийн шугамыг зурж, OK 1 перпендикулярыг AB шулуун руу сэргээнэ.
O 1-ийн төвөөс K ба K 1 цэгүүдийн хооронд R 1 радиустай түншийн нумыг зур.

Дотоод мэдрэгч

Дотоод контактын хувьд ижил бүтээн байгуулалтууд хийгдсэн боловч туслах тойргийн m нумыг R - R 1 радиусаар зурна.

Өгөгдсөн радиустай нум бүхий хоёр тойргийг нэгтгэх

R 1 ба R 2 радиустай хоёр тойргийг өгөв. Өгөгдсөн R радиустай нум бүхий түншийг барих шаардлагатай.

Гадаад мэдрэгчтэй

О коньюгацийн төвийг тодорхойлохын тулд туслах нумуудыг зурдаг: R + R 1 радиустай тойргийн төвөөс O 1, R + R 2 радиустай тойргийн O 2 төвөөс. Эдгээр нумуудын огтлолцлын О цэг нь коньюгацийн төв юм.
O ба O 1, түүнчлэн O ба O 2 төвүүдийг холбосноор K 1 ба K 2 холболтын (хүрэх) цэгүүдийг тодорхойлно.
R радиустай О төвөөс K 1 ба K 2 цэгүүдийн хооронд коньюгацийн нум зурна

Дотоод мэдрэгч

Дотоод мэдрэгчтэй бол ижил бүтээн байгуулалтууд хийгддэг боловч нумуудыг радиусаар зурдаг

R - R 1 ба R - R 2.

Холимог мэдрэгчтэй

Хамтрагчийн төв нь R - R 1 радиустай O 1 төвөөс, R + R 2 радиустай O 2 төвөөс дүрслэгдсэн хоёр нумын огтлолцол дээр байрладаг.

Анхаарна уу. Холимог коньюгацид нэг нийлсэн нумын төв O 1 нь R радиустай коньюгат нумын дотор, нөгөө нумын төв O 2 нь түүний гадна байрладаг.

Онцгой тохиолдлууд

Өгөгдсөн радиустай нумын төвийг олох.

Хоёр зэрэгцээ шугамыг холбосон R радиустай нум өгөгдсөн мТэгээд nмөн А цэгээр дамжин өнгөрөх ∈ м(Зураг 11). Өгөгдсөн нумын О төвийг олох шаардлагатай.

Барилга нь өгөгдсөн шугамуудаас ижил зайд байрлах О цэгийг олоход үндэслэсэн (Зураг 11).

А цэгээс ∈ м, төвөөс байгаа мэт өгөгдсөн R радиустай туслах тойргийн нумыг зур.
Туслах шугам зур л, шугамтай зэрэгцээ n, өгөгдсөн R радиустай тэнцүү зайд.
O цэг - эдгээр туслах шугамуудын огтлолцлын цэг нь өгөгдсөн нумын төв юм. (Зураг 12)

Уран зохиол

Боголюбов С.К. Инженерийн график: Дунд мэргэжлийн боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг. – 3-р хэвлэл, Илч. Мөн нэмэлт - М.: Механик инженер, 2006. – 392-р тал: өвчтэй.
Куприков М.Ю. Инженерийн график: дунд боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг - М.: Bustard, 2010 - 495 х.: өвчтэй.
Федоренко В.А., Шошин А.И. Механик инженерийн зургийн гарын авлага Л.: Механик инженерчлэл. 1976. 336 х.

Танилцуулга. Өгөгдсөн R радиустай хоёр шулуун, шулуун ба нум, хоёр нумын холболтыг дараалан авч үзье.

Өгөгдсөн R радиустай хоёр шулуун, шулуун ба нум, хоёр нумын холболтыг дараалан авч үзье.

Хоёр огтлолцсон шугамын холболтыг байгуулах л 1 эсвэл л 2 өгөгдсөн R радиусын зайд өгөгдсөнтэй параллель хоёр туслах шулуун шугам зур. л 1 Тэгээд л 2 (Зураг 32). Эдгээр шугамуудын огтлолцлын цэг нь коньюгацийн төв юм O. Үүссэн төвөөс бид өгөгдсөн шугамууд руу перпендикуляруудыг доошлуулна - бид M ба N коньюгацийн цэгүүдийг олж авна. . Өгөгдсөн радиусын хэмжээтэй О төвөөс Ролдсон M ба N цэгүүдийн хоорондох хязгаарт нум зурна.

l шулуун шугамын радиустай нумтай холболтыг байгуулахR 1 , төвөөс гүйцэтгэнэ О 1 (Зураг 33), шугамтай зэрэгцээ туслах шугамыг зур л , өгөгдсөн коньюгацийн радиусын зайд Р, мөн төвөөс О 1 радиустай туслах нумыг зурах R 1 + R. Эдгээр туслах шугамуудын огтлолцлын цэг дээр бид түншийн төвийг олж авдаг ТУХАЙ. Энэ төвөөс бид шулуун шугам руу перпендикулярыг доошлуулдаг - бид шулуун шугам дээр коньюгацийн цэгийг авдаг М, дараа нь төвийг холбоно ТУХАЙнуман төвтэй О 1 - шугамын огтлолцол дээр ОО 1 Өгөгдсөн нумын тусламжтайгаар бид нуман дээрх коньюгацийн цэгийг олж авдаг - цэг Н. Олдсон цэгүүдийн хооронд МТэгээд Нрадиус Рхосолсон нум зурах.

Зураг 32 Зураг 33

Хоёр нумын холболтыг бий болгохын тулд:нумууд R 1 төвөөс О 1 ба нумууд R 2төвөөс O2(Зураг 34) тэнцүү радиустай хоёр туслах нумыг зур R 1 + R Тэгээд R2+R . Туслах нумын огтлолцлын цэг нь түншийн төв - цэгийг тодорхойлно ТУХАЙ. Хамтарсан цэгүүдийг тодорхойлох МТэгээд Нхосолсон төвийг холбоно ТУХАЙөгөгдсөн нумын төвүүдтэй О 1 Тэгээд O2.Радиус Рдотор нь залгах нум зур М.Н.

Зураг 34

Өгөгдсөн радиус дээрх хоёр нумыг нэгтгэх Р-тэй хамт боломжтой дараах нөхцөл: О 1 O 2 ≤ R 1 + 2R + R 2

Өгөгдсөн радиусын хосуудын хамгийн ердийн тохиолдлыг авч үзсэний дараа бид хосуудыг бий болгох ерөнхий дүрмийг тодорхойлж чадна. ижил төстэй тохиолдлууд. Хамтрагчийн төвийг өгөгдсөн нумануудтай параллель хоёр туслах шугамын огтлолцол дээр тодорхойлно. өгөгдсөн мөрүүдхосолсон радиусын зайд.

Холбох цэгүүдийг тодорхойлно: шулуун шугамууд дээр- перпендикуляр, хосуудын төвөөс шулуун шугам хүртэл буулгасан; нуман дээр- хосуудын төвийг өгөгдсөн нумын төвтэй холбосон шулуун шугам (Зураг 32 – 34).

7.2.2 Заасан холболтын цэг

Нэг залгах цэг өгсөн үед шулуун ба нум, хоёр нум гэсэн хоёр шулуун шугамын холболтын хэд хэдэн ердийн тохиолдлыг авч үзье. М.

Хоёр огтлолцсон шугамын холболтыг байгуулахl 1 ба л 2 (Зураг 35) түншийн төв ТУХАЙшугамын перпендикуляр огтлолцох цэг дээр тодорхойлогдоно л 1 , өгөгдсөн цэгээс сэргээсэн М, ба шулуун шугамаар үүсгэсэн өнцгийн биссектрис л 1 Тэгээд л 2 . Хоёр дахь түншийн цэг Ншулуун шугам дээр л 2 төвөөс унасан перпендикуляр ашиглан тодорхойлно О шууд л 2 . Хамтрагчийн радиусыг графикаар тодорхойлно: R X =| ОМ|= |ON| .

Зураг 35

Шулуун шугам барих нь l в R 1 радиусын нум, төвөөс гүйцэтгэнэ О 1 . Энэ асуудлыг хоёр аргаар шийдэж болно, хугацаа Мнуман болон шулуун шугам дээр зааж өгч болно. Хоёр хувилбарыг дараалан авч үзье.

Эхний сонголт.Цэг Мнуман дээр заасан. Яг цэг дээр Мнуман руу шүргэгч зурна. Шүргэх ба өгөгдсөн шулуунаас үүссэн өнцгийн биссектрисын огтлолцлын цэг л , радиусын өргөтгөлтэй О 1 М хосолсон нумын төвийг тодорхойлно ТУХАЙ(Зураг 36).

Хоёр дахь түншийн цэг Ншулуун дээр цэгээс унасан перпендикуляраар тодорхойлогддог ТУХАЙшууд л . Хамтрагчийн радиусыг графикаар тодорхойлсон: R X =| ОМ|= |ON| .

Зураг 36 Зураг 37

Хоёр дахь сонголт.Цэг Мшулуун шугам дээр өгөгдсөн. Өгөгдсөн цэгээс Мшугамын перпендикулярыг сэргээх л ба үүн дээр тэнцүү зайд тавих R 1(Зураг 37). Үүссэн цэг TOтөв рүү холбоно О 1 ба сегментийг хуваа О 1 TO Осегментийн дундаас сэргээгдсэн перпендикулярын огтлолцлын цэг дээр тодорхойлогдоно О 1 TOмөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам МТэгээд TO.

Хоёр дахь түншийн цэг Ннуман дээр бид шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлно О О 1өгөгдсөн нумтай. Холих радиус R X =| ОМ| = |ON| .

Төвөөс R 1 хоёр нумны коньюгацийг байгуул O 1 ба R 2 төвөөс O 2. Холбох цэг М төвөөс татсан нуман дээр тодорхойлогддог О 1 . Өгөгдсөн цэгийг холбож байна Мтөвтэй О 1 мөн радиусын үргэлжлэл дээр хойш тавь О 1 М зайтай тэнцүү байна R 2(Зураг 38). Цаашдын бүтээн байгуулалт нь өмнөх тохиолдолтой төстэй; хүлээн авсан оноо TOтөв рүү холбоно O2ба сегментийг хуваа КО 2хагаст. Холбох нумын төв ТУХАЙсегментийн дундаас сэргээгдсэн перпендикулярын огтлолцлын цэг дээр тодорхойлогдоно КО 2, мөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам М Тэгээд О 1 . Хоёр дахь нуман дээрх хоёр дахь холболтын цэгийг нумын шулуун шугамтай огтлолцох цэг дээр тодорхойлно. ОО 2. Холих радиус R X =| ОМ|= |ON| .

Зураг 38

Холболтын шугамыг зурахдаа эхлээд нумуудыг коньюгацийн цэгүүд рүү, дараа нь шулуун хэсгүүдэд чиглүүлнэ.

7.3 Загварын муруй

Загварын муруйг технологид өргөн ашигладаг. Хавтгай муруйг бүтээх хамгийн түгээмэл аргуудыг авч үзье: эллипс, парабол, циклоид, синусоид, эволют. Эдгээр муруйг ихэвчлэн хэв маягаар дүрсэлсэн байдаг тул тэдгээрийг хэв маягийн муруй гэж нэрлэдэг.

Зууван(Зураг 39). Эллипс нь битүү хавтгай муруй бөгөөд түүний аль нэг цэгээс нэг хавтгайн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь эллипсийн гол тэнхлэгтэй тэнцүү тогтмол утга юм. MN сегментийг эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба DE сегментийг түүний жижиг тэнхлэг гэж нэрлэдэг. D эсвэл E цэгээс R=MN радиустай нум зурвал: 2 , дараа нь эллипсийн гол тэнхлэг дээр түүний голомтууд (цэг F 1Тэгээд F 2).

Зураг 39

Зууван барихын тулд диаметр нь эллипсийн тэнхлэгтэй тэнцүү хоёр төвлөрсөн тойрог зурдаг. Эдгээр тойрог нь хэд хэдэн хэсэгт хуваагдана (12...16). Их тойрог дээр хуваах цэгүүдийг зур босоо шугамууд, жижиг тойрог дээрх харгалзах хуваагдлын цэгүүдээр дамжуулан - хэвтээ шугамууд. Эдгээр шугамын огтлолцол нь эллипсийн цэгүүдийг өгнө I, II, III... (зууван зурах бусад аргуудыг санал болгож буй ном зохиолоос үзнэ үү).

Парабола(Зураг 40). Парабол гэдэг нь өгөгдсөн шулуун шугамаас ижил зайд байрлах директрикс ба параболын фокус гэж нэрлэгддэг цэгээс нэг хавтгайд байрладаг хавтгай муруй юм.

Парабол байгуулах аргуудын нэгийг авч үзье. Өгөгдсөн: параболын орой ТУХАЙ, D параболын цэгүүдийн нэг ба OS тэнхлэгийн чиглэл. OS ба CD сегментүүд дээр тэгш өнцөгтийг барьсан бөгөөд OB ба BD тэгш өнцөгтийн талууд нь дурын хэсэгт хуваагдана. ижил тоотэнцүү хэсгүүд болон хуваах цэгүүдийг дугаарлана. О оройг BD хуваах цэгүүдтэй холбож, OB сегментийн хуваах цэгүүдээс тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудыг татна. Ижил тоо бүхий цэгүүдийг дайран өнгөрч буй шугамуудын огтлолцол нь параболын хэд хэдэн цэгийг тодорхойлдог (парабол барих бусад аргуудын талаар санал болгож буй уран зохиолыг үзнэ үү).

Зураг 40

Циклоид(Зураг 41). Цэгийн траектор Ашулуун шугамын дагуу гулсахгүй эргэлдэж буй тойрогт хамаарахыг циклоид гэнэ. Үүнийг цэгийн анхны байрлалаас барьж байгуулах Асегментийг шулуун чиглүүлэгч дээр тавьдаг АА 1 , урттай тэнцүүөгөгдсөн тойрог 2πR . Тойрог ба сегмент АА 1ижил тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваагдана. Шугаманыг хуваах цэгүүдээс перпендикуляруудыг сэргээх АА 1өгөгдсөн тойргийн төвтэй параллель өнгөрөх шугамтай огтлолцох хүртэл АА 1, гулсмал тойргийн төвийн цуврал дараалсан байрлалуудыг тэмдэглэнэ O 1, O 2, O 3, ..., O 8. Эдгээр төвүүдээс R радиустай тойргийг дүрслэн параллель гүйх шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ. АА 1, тойргийн хуваах цэгүүдээр дамжин 1 ,2, 3 гэх мэт.

О 1 төвөөс дүрсэлсэн тойрогтой 1-р цэгийг дайран өнгөрч буй хэвтээ шугамын огтлолцол дээр циклоидын цэгүүдийн нэг нь байрладаг; О 2 төвөөс татсан тойрогтой 2-р цэгийг дайран өнгөрч буй шулуун шугамын огтлолцол дээр циклоидын өөр нэг цэг байна гэх мэт. Үүссэн цэгүүдийг гөлгөр муруйгаар холбосноор бид циклоидыг олж авна.

Зураг 41

Синус долгион(Зураг 42). Синусоид байгуулахын тулд өгөгдсөн радиустай тойргийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваана ( 6 , 8 , 12 гэх мэт) ба нөхцөлт эхлэлээс төвийн шугамын үргэлжлэл дээр - цэг А- шулуун сегмент зурах AB, тэнцүү 2πR . Дараа нь шулуун шугамыг тойрогтой ижил тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваана ( 6 , 8 , 12 гэх мэт). Тойрог дээрх цэгүүдээс 1, 2, 3, ..., 12 нь сонгосон шугамтай параллель шулуун шугамыг шугамын хуваагдлын цэгүүдээс сэргээсэн эсвэл орхигдуулсан харгалзах перпендикуляртай огтлолцох хүртэл зурна. Үүссэн огтлолцлын цэгүүд ( 1" , 2" , 3" , ... , 12" ) -тэй тэнцүү хэлбэлзлийн хугацаатай синусоидын цэгүүд болно 2πR . Муруйн 3" ба 9" цэгүүд нь А цэгийн оройнууд, 6 ба В нь гулзайлтын цэгүүд юм.

Зураг 42

Involute(тойрог скан, Зураг 43). Тойрог тойрон гулсахгүйгээр эргэлдэж буй шулуун шугамын цэг бүрээр дүрслэгдсэн траекторийг эволют гэнэ. Механик инженерийн хувьд араа дугуйны шүдний профилийг эволюц ашиглан дүрсэлсэн байдаг. Эволютыг барихын тулд эхлээд тойргийг хуваана дурын тоотэнцүү хэсгүүд; Хуваах цэгүүдэд тойрог руу шүргэгчийг зурж, нэг чиглэлд чиглүүлнэ. Дамжуулсан шүргэгч дээр сүүлчийн цэгхуваах, тойрогтой тэнцүү сегментийг таслах 2πR, мөн ижил тоогоор хуваана nтэнцүү хэсгүүд. Эхний шүргэгч дээр тавих нь нэг хуваагдалтай тэнцүү πD/n, хоёр дахь нь - хоёр, гурав дахь нь - гурав гэх мэт, цуврал оноо авах I, II, IIIзагварын дагуу холбогдсон гэх мэт.

Зураг 43

Гипербола, эпициклоид, гипоциклоид, Архимедийн спираль, строфоид гэх мэтийг бүтээх талаар санал болгож буй уран зохиолыг үзнэ үү.

Загварын дагуу муруйг зурахын тулд үүссэн цэгүүдийг нүдээр нимгэн шугамаар холбохыг зөвлөж байна, харин муруй шугамыг аль болох гөлгөр тоймоор өгөхийг хичээж, үүний дараа л муруйлттай тохирох хэв маягийг сонгохыг зөвлөж байна. түүний нэг буюу өөр хэсэг (Зураг 44), дор хаяж гурван цэгийг нэгэн зэрэг холбодог.

Зураг 44

7.4 Загварын муруйтай шулуун шугамын коньюгатууд (загварын муруй руу шүргэгч)

Өмнө нь шулуун шугам, нумтай шулуун шугам, хоёр нумыг нэгтгэх янз бүрийн тохиолдлыг авч үзсэн. Практикт шулуун шугамыг хэв маягийн муруйтай хослуулах нь ердийн зүйл биш бөгөөд үүнд хосолсон шулуун шугам нь өгөгдсөн коньюгацийн цэгээр татсан муруй руу шүргэгч чиглэгдэх ёстой.

Барилгын жишээг авч үзье зууван хэлбэртэй шулуун шугамын хосууд(Зураг 45). Холбох цэгийг зааж өгсөн Д. Өгөгдсөн цэг дээрх эллипстэй шүргэгч нь шулуун шугамын үүсгэсэн өнцгийн биссектрист перпендикуляр байна. F 1 DТэгээд F 2 D, Хаана F 1Тэгээд F 2- эллипсийн фокусууд.

Зураг 45

Зураг 46-д барилгын ажлыг харуулав параболын шүргэгчөгөгдсөн цэг дээр М. Тангенс нь өгөгдсөн цэгийг холбодог Мцэгтэй TO, байрлал нь хамаарлаар тодорхойлогддог АК=АН. Өгөгдсөн бусад хэв маягийн муруйн шүргэгчийг бий болгох аргуудыг санал болгож буй ном зохиолоос судалж болно.

Зураг 46

7.5 Өөрийгөө шалгах асуултууд

1-р сэдвийн хувьд өөрийгөө шалгах асуултууд:

1. А1 хуудсанд хэдэн А4 хуудас агуулагдах вэ?

2. Нэмэлт зургийн формат хэрхэн үүсдэг вэ?

3. Үсгийн хэмжээг юу тодорхойлдог вэ?

4. Өндөр нь хэд вэ? жижиг үсэгхарьцуулахад
том үсгээр?

5. Зурган дээр роман фонт хэрэглэх боломжтой юу?

6. Үзэгдэх контурын харвалтын шугамын зузааныг сонгох нь юунаас хамаардаг вэ?

7. Тэнхлэг, төв, сунгалт, хэмжээст болон үл үзэгдэх контурын шугамыг ямар төрөл, зузаантай зурдаг вэ?

8. Жижиг диаметртэй (12 мм-ээс бага) тойргийн гол шугамыг хэрхэн зурах вэ?

9. Зураг дээр хэмжээсийг ямар нэгжээр байрлуулсан бэ?

11. Хэмжээний шугамын сумыг ямар тохиолдолд цэг эсвэл зураасаар солих вэ?

12. Өнцгийн хэмжээний тоонууд хэрхэн байрласан бэ?

13. Диаметрийн Æ тэмдгийг ямар тохиолдолд тавих вэ?

14. 1:1-ээс өөр масштабаар зураг зурахад ямар хэмжээтэй байх вэ?

15. Хамтрагчийг бүтээх нь геометрийн ямар хоёр байрлал дээр суурилдаг вэ?

16. Хамтрагчийн элементүүдийг жагсаа.

Танилцуулга

Эрчимтэй хөгжиж буй, мэдлэг шаардсан судалгаа сэдвийн хэсэгмикроэлектроник, микропроцессорын технологи зэрэг нь байнга сайжруулж, олж авсан мэдлэгээ нөхөж, холбогдох шинжлэх ухаан, техникийн салбаруудтай танилцах шаардлагатай сонирхолтой бөгөөд төвөгтэй ажил юм. Өргөн хэрэглээний улмаас электрон системүүдудирдлага болон зорилгоор үр дүнтэй шийдэлямар ч хэрэглээний асуудлуудКомпьютерийн технологитой мэргэжлийн холбоотой, холбоогүй орчин үеийн мэргэжилтэн нь зөвхөн байх ёстой үндсэн төлөөлөлорчин үеийн цахим системийг бий болгох үндсэн ойлголтуудын талаар, гэхдээ элементийн баазын төлөв байдал, хөгжлийн хэтийн төлөвийн талаар хангалттай ойлголттой байх.

Компьютерийн технологийн хөгжил - хамгийн өндөр амжилтэлектроник - сүүлийн арван жилИйм алхам хийсэн тул өнөөдөр микропроцессор (МП) ашиглагдахгүй амьдралын аль ч салбарыг төсөөлөхийн аргагүй юм: хувийн компьютерээс эхлээд хамгийн нарийн төвөгтэй менежмент хүртэл. технологийн процессууд, гэр ахуйн угаалгын машиныг хянахаас болон гар утаснууд- ажлын станц, олон процессор суперкомпьютер зохион бүтээх.

Дөрөвний нэг гаруйхан хугацаанд олон зуун жилийн түүхмикропроцессорууд үнэхээр асар том замыг туулсан.

1971 онд INTEL-ээс гаргасан анхны MP микро схем нь 108 кГц цагийн давтамжтайгаар ажилладаг, 2300 транзистор агуулсан, 10 микрон технологиор хийгдсэн бөгөөд ойролцоогоор 200 долларын үнэтэй байв. INTEL PENTIUM-4 чипийн сүүлийн үеийн өөрчлөлтүүдийн нэг нь 0.09 микрон технологиор хийгдсэн бөгөөд 87 кв мм хэмжээтэй хагас дамжуулагч болор дотор 140 сая транзистортой.

Дээрх өгөгдлүүдийн харьцуулалтыг INTEL-ийн үүсгэн байгуулагч, ТУЗ-ийн дарга Гордон Мурын өгсөн микропроцессорын үйлдвэрлэлийн амжилтыг дүрсэлсэн үнэлгээгээр баталж байна: “Хэрэв автомашины үйлдвэрлэл хагас дамжуулагчийн хурдаар хөгжсөн бол. Хэрэв энэ салбарт өнөөдөр Rolls-Royce 3 долларын үнэтэй, нэг галлон бензинээр хагас сая миль явах боломжтой, зогсоол төлөхөөс илүү түүнийг хаях нь хямд байх болно.

Өнөөдөр компьютержуулалт нь үндсэн чиглэлүүдийн нэг гэдгийг ойлгоход хэцүү биш юм шинжлэх ухаан, технологийн дэвшилба түүний төвлөрсөн илэрхийлэл. УИХ-ын гишүүн хамгийн их биелж байна дэвшилтэт амжилтууд инженерчлэл, тэдгээрийн ханасан байдлын зэрэг дээр компьютерийн технологихамгийн их төрөл бүрийн үйлдвэрүүдүйлдвэрлэл нь зөвхөн эдийн засгийн төдийгүй улс орны цэргийн чадавхиас хамаардаг.

Энэхүү богино өгүүлэлд коньюгацийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэх бөгөөд та өнцөг, шулуун шугам, тойрог ба нум, шулуун шугамтай тойрог зэргийг хэрхэн холбохыг сурах болно.

Хослуулах гэж нэрлэдэгнэг шугамаас нөгөө шугам руу жигд шилжих. Ханиа бүтээхийн тулд та ханийнхаа төв, хань ижил цэгүүдийг олох хэрэгтэй.

Холбох цэг- Энэ нийтлэг цэгхосолсон шугамын хувьд. Хамтарсан цэгийг мөн шилжилтийн цэг гэж нэрлэдэг.

Доор бид гол зүйлийг хэлэлцэх болно хамтрагчийн төрлүүд.

Булангийн холболт (Осоллолцох шугамыг нэгтгэх)

Зөв өнцгийн нэгдэл (Зөв өнцгөөр огтлолцсон шугамыг нэгтгэх)

IN энэ жишээндбүтээн байгуулалтыг авч үзэх болно хослох зөв өнцөг өгөгдсөн коньюгацийн радиустай R. Юуны өмнө залгах цэгүүдийг олъё. Холбох цэгүүдийг олохын тулд зөв өнцгийн орой дээр луужин байрлуулж, өнцгийн талуудтай огтлолцох хүртэл R радиустай нум зурах хэрэгтэй. Үүссэн цэгүүд нь холбох цэгүүд болно. Дараа нь та хамтрагчийнхаа төвийг олох хэрэгтэй. Хамтрагчийн төв нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрлах цэг байх болно. a ба b цэгүүдээс хоорондоо огтлолцох хүртэл R коньюгацийн радиустай хоёр нум зуръя. Уулзвар дээр олж авсан О цэг нь коньюгацийн төв болно. Одоо О цэгийн холболтын төвөөс бид а цэгээс b цэг хүртэл R коньюгацийн радиустай нумыг дүрсэлж байна. Зөв өнцгийн холболтыг байгуулав.

Хурц өнцгийн залгалт (хурц өнцгөөр огтлолцсон шугамыг нэгтгэх)

Өнцгийг холбох өөр нэг жишээ. Энэ жишээг бүтээх болно хослох
хурц өнцөг . R коньюгацийн радиустай тэнцүү луужингийн нээлхийтэй хурц өнцгийн холболтыг байгуулахын тулд бид хоёроос зурна. дурын цэгүүдӨнцгийн тал бүр дээр хоёр нум байдаг. Дараа нь бид коньюгацийн төв болох О цэг дээр огтлолцох хүртэл нумануудад шүргэгч зурна. Үүссэн түншийн төвөөс бид өнцгийн тал бүрт перпендикуляр буулгана. Ингэснээр бид a ба b холболтын цэгүүдийг авдаг. Дараа нь түншийн төв болох О цэгээс бид R радиустай нумыг зурж, өгөгч цэгүүдийг a холбоно.
ба б. Хурц өнцгийн холболтыг байгуулав.

Мохоо өнцгийн залгалт (Мохоо өнцгөөр огтлолцсон шугамыг нэгтгэх)

Энэ нь хурц өнцгийн холболттой аналогиар бүтээгдсэн. Мөн бид эхлээд хоёр талдаа дур зоргоороо сонгосон хоёр цэгээс R коньюгацийн радиустай хоёр нумыг зурж, дараа нь эдгээр нумуудыг коньюгацийн төв болох О цэг дээр огтлолцох хүртэл шүргэгч зурна. Дараа нь бид түншийн төвөөс тал тус бүр рүү перпендикуляруудыг буулгаж, түншийн радиустай тэнцүү нумаар холбоно. мохоо өнцөг R, авсан a ба b цэгүүд.

Зэрэгцээ шулуун шугамуудыг хослуулах

Барьцгаая хоёр зэрэгцээ шугамын нэгдэл. Бидэнд нэг шулуун дээр байрлах нэгдэх цэгийг өгсөн. А цэгээс бид перпендикулярыг b цэг дээр өөр шулуунтай огтлолцох хүртэл зурна. a ба b цэгүүд нь шулуун шугамын холболтын цэгүүд юм. ab сегментээс их радиустай цэг бүрээс нум зурж, бид коньюгацийн төвийг олно - O цэгийг нэгтгэх төвөөс бид өгөгдсөн коньюгацийн R радиустай нумыг зурна.

Тойрог (нум) шулуун шугамтай хослуулах

Нуман ба шулуун шугамын гадаад коньюгаци

Энэ жишээнд AB сегментээр тодорхойлогдсон шулуун шугамын коньюгац ба R радиустай дугуй нумыг өгөгдсөн r радиустай байгуулах болно.

Эхлээд коньюгацийн төвийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд шулуун шугам зурцгаая. сегменттэй зэрэгцээ AB ба түүнээс холбогч радиус r зайтай, OR тойргийн төвөөс R+r радиустай нум байна. Нуман ба шугамын огтлолцлын цэг нь коньюгацийн төв болно - Ор цэг.

Коньюгацийн төвөөс Ор цэгээс бид AB шугам руу перпендикулярыг буулгана. Перпендикуляр ба AB сегментийн огтлолцол дээр олж авсан D цэг нь коньюгацийн цэг болно. Тойргийн нуман дээрх хоёр дахь холболтын цэгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тойргийн төв OR болон коньюгацийн төв Or-ийг шугамаар холбоно. Бид хоёр дахь холбох цэг - C цэгийг олж авдаг. Хамтрагчийн төвөөс r радиустай түншийн нумыг зурж, холбох цэгүүдийг холбоно.

Нумантай шулуун шугамын дотоод коньюгаци

Аналогийн дагуу нумтай шулуун шугамын дотоод холболтыг байгуулав. АВ хэрчимээр тодорхойлогдсон r радиустай шулуун шугамын коньюгац, R радиустай дугуй нум байгуулах жишээг авч үзье. Холболтын төвийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид AB хэрчимтэй параллель шулуун шугамыг r радиусын зайтай, OR тойргийн төвөөс нум байгуулна. радиус R-r. Шулуун шугам ба нумын огтлолцол дээр олж авсан Ор цэг нь коньюгацийн төв болно.

Коньюгацийн төвөөс (Ор цэг) бид AB шулуун шугам руу перпендикуляр буулгана. Перпендикуляр дээр үндэслэн олж авсан D цэг нь хосолсон цэг болно.

Тойргийн нуман дээрх хоёр дахь залгах цэгийг олохын тулд коньюгацийн төв Or ба OR тойргийн төвийг шулуун шугамаар холбоно. Тойргийн нумтай шугамын огтлолцол дээр бид хоёр дахь коньюгацийн цэгийг олж авдаг - цэг C. Ор цэгээс, коньюгацийн төвөөс бид r радиустай нумыг зурж, холболтын цэгүүдийг холбоно.

Хавсарсан тойрог (нуман)

Гадаад хослолхолбогч тойргийн төвүүд (нумууд) O1 (радиус R1) ба O2 (радиус R2) нь R радиустай холбох нумын ард байрлах коньюгацийг авч үзнэ. Жишээ нь нумын гадаад холболтыг авч үздэг. Эхлээд бид коньюгацийн төвийг олдог. Холболтын төв нь R+R1 ба R+R2 радиустай тойргийн нумуудын огтлолцох цэгийг O1(R1) ба O2(R2) тойргийн төвүүдээс тус тус байгуулдаг. Дараа нь бид O1 ба O2 тойргийн төвүүдийг шулуун шугамаар уулзварын төв болох О цэгтэй холбож, О1 ба О2 тойрогтой шугамуудын огтлолцол дээр бид A ба B уулзвар цэгүүдийг олж авна. Үүний дараа уулзварын төвийг бид өгөгдсөн R уулзварын радиустай нумыг барьж, түүнтэй A ба B цэгүүдийг холбоно.

Дотоод хослолөгөгдсөн R радиусын коньюгат нумын дотор O1, R1 радиус ба O2 радиус R2 нийлмэл нумануудын төвүүд байрлах коньюгаци гэж нэрлэдэг. Доорх зурагт тойрог (нум) -ын дотоод коньюгацийг байгуулах жишээг үзүүлэв. . Эхлээд бид коньюгацийн төвийг олдог бөгөөд энэ нь O цэг, O1 ба O2 тойргийн төвүүдээс R-R1 ба R-R2 радиустай дугуй нумын огтлолцлын цэг юм. Дараа нь бид O1 ба O2 тойргийн төвүүдийг шулуун шугамаар холбож, О1 ба О2 тойрогтой шугамуудын огтлолцол дээр бид A ба B нийлбэр цэгүүдийг олж авдаг. Дараа нь түншийн төвөөс радиустай түншийн нумыг байгуулна. R ба ханиа байгуул.

Холимог нуман андхолбогч нумын аль нэгнийх нь төв (O1) нь R радиустай коньюгат нумын гадна талд, нөгөө тойргийн төв нь (O2) дотор байрлах коньюгаци юм. Доорх зурагт тойргийн холимог холболтын жишээг харуулав. Эхлээд бид түншийн төв болох О цэгийг олно. Хамтрагчийн төвийг олохын тулд O1 цэгийн R1 радиустай тойргийн төвөөс R+R1 радиустай тойргийн нумуудыг барьж, R-R2, O2 цэгийн R2 радиустай тойргийн төвөөс. Дараа нь бид коньюгацийн O цэгийн төвийг O1 ба O2 тойргийн төвүүдтэй шулуун шугамаар холбож, харгалзах тойргийн шугамуудтай огтлолцохдоо A ба B холболтын цэгүүдийг олж авна. Дараа нь бид коньюгацийг байгуулна.

Хоёр зэрэгцээ шугамын холболт

Хоёр зэрэгцээ шугам өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн нэг нь коньюгат цэгтэй байна М(Зураг 2.19, А). Та хосыг бий болгох хэрэгтэй.

1) түншийн төв ба нумын радиусыг ол (Зураг 2.19, b). Үүнийг цэгээс нь хийхийн тулд Мцэг дээрх шугамтай огтлолцох перпендикулярыг сэргээнэ Н.Сегмент М.Нхагаст хуваагдсан (2.7-р зургийг үз);
2) нэг цэгээс ТУХАЙ– радиустай түншийн төв ОМ = АСААЛТТАЙхолбох цэгүүдээс нумыг дүрсэл МТэгээд Н(Зураг 2.19, В).

Цагаан будаа. 2.19.

Төвтэй тойрог өгөгдсөн ТУХАЙба цэг А. Цэгээс зурах шаардлагатай Атойрогтой шүргэгч.

1. Цэг АТойргийн өгөгдсөн төвтэй шулуун шугамыг холбоно.

-тэй тэнцүү голчтой туслах тойрог байгуул О.А(Зураг 2.20, А). Төвийг олохын тулд ТУХАЙ 1, сегментийг хуваа О.Ахагасаар (2.7-р зургийг үз).

2. Оноо МТэгээд НТуслах тойргийн өгөгдсөн тойрогтой огтлолцох - шаардлагатай шүргэлтийн цэгүүд. Бүтэн зогсоол Ашулуун шугамыг цэгүүдтэй холбоно Мэсвэл Н(Зураг 2.20, б). Шулуун А.М.шугаманд перпендикуляр байх болно Өө,өнцөгөөс хойш AMOдиаметр дээр үндэслэнэ.

Цагаан будаа. 2.20.

Хоёр тойрогтой шүргэгч шугам зурах

Хоёр тойрог радиус өгөгдсөн РТэгээд Р 1. Тэдгээрт шүргэгч шулуун шугам барих шаардлагатай.

Хүрэлцэх хоёр тохиолдол байдаг: гадаад (Зураг 2.21, б) ба дотоод (Зураг 2.21, В).

At гадаад мэдрэгчтэйбарилгын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1) төвөөс ТУХАЙрадиустай туслах тойрог зурах, зөрүүтэй тэнцүү байнаөгөгдсөн тойргийн радиус, өөрөөр хэлбэл. R–R 1 (Зураг 2.21, А). O1 төвөөс энэ тойрог руу шүргэгч шугам татагдана Ο 1Ν. Шүргэгчийн бүтцийг Зураг дээр үзүүлэв. 2.20;
2) О цэгээс цэг хүртэл зурсан радиус Ν, цэг дээр огтлолцох хүртэл үргэлжилнэ Мөгөгдсөн тойргийн радиустай Р.Радиустай зэрэгцээ ОМрадиус зурах Ο 1Ρ жижиг тойрог. Холболтын цэгүүдийг холбосон шулуун шугам МТэгээд R,- шүргэгч өгөгдсөн тойрог(Зураг 2.21, б).

Цагаан будаа. 2.21.

At дотоод мэдрэгчтэйбарилгын ажил ижил төстэй байдлаар хийгдсэн боловч туслах тойрог нь радиустай зурагдана хэмжээтэй тэнцүү байнарадиус R+R 1 (Зураг 2.21, В). Дараа нь төвөөс ТУХАЙ 1 туслах тойрог руу шүргэгч зур (2.20-р зургийг үз). Бүтэн зогсоол Нтөв рүү радиустай холбоно ТУХАЙ.Радиустай зэрэгцээ АСААЛТТАЙ O1 радиусыг зурах Ржижиг тойрог. Шаардлагатай шүргэгч нь холбох цэгүүдээр дамждаг МТэгээд Р.

Өгөгдсөн радиусын нум ба шулуун нумын коньюгаци

Радиустай тойргийн нумыг өгөв Рба шулуун. Тэдгээрийг радиусын нумаар холбох шаардлагатай Р 1.

1. Хослох төвийг ол (Зураг 2.22, А), зайд байх ёстой Р 1 нуман ба шулуун шугамаас. Иймд өгөгдсөн шугамтай параллель туслах шугамыг R1 холбогч нумын радиустай тэнцүү зайд татна (Зураг 2.22, А). Луужингийн нээлхий нь өгөгдсөн радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү R+R 1 О төвөөс туслах шугамтай огтлолцох хүртэл нумыг дүрсэл. Үүссэн O1 цэг нь түншийн төв юм.
2. By ерөнхий дүрэмхолбох цэгүүдийг олох (Зураг 2.22, б): O1 ба O хосолсон нумануудын шулуун төвүүдийг холбож, тэдгээрийн голоос доошлуулна Ο Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр 1.
3. Хамтын төвөөс Οχ уулзвар цэгүүдийн хооронд Μ Тэгээд Ν радиустай нум зурах Р 1 (Зураг 2.22, б).

Цагаан будаа. 2.22.

Өгөгдсөн радиустай нум бүхий хоёр нумыг нэгтгэх

Радиус нь хоёр нум өгөгдсөн Р 1 ба Р 2. Радиусыг нь зааж өгсөн нумтай хамтрагчийг барих шаардлагатай.

Хүрэлцэх гурван тохиолдол байдаг: гадаад (Зураг 2.23, а, б), дотоод (Зураг 2.23, В) ба холимог (2.25-р зургийг үз). Бүх тохиолдолд түншүүдийн төвүүд нь өгөгдсөн нумуудаас холбогч нумын радиусаас хол зайд байрлах ёстой.

Цагаан будаа. 2.23.

Барилга угсралтын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

Гаднах мэдрэгчтэй бол:

1) төвөөс Ο Өгөгдсөн ба хосолсон нумын радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү луужингийн уусмалыг ашиглан 1 ба O2-ийг ашиглан туслах нумуудыг зур (Зураг 2.23, А); төвөөс татсан нумын радиус Ο 1, тэнцүү Р 1 + Р 3; мөн төвөөс татсан нумын радиус O2 тэнцүү байна Р 2 + Р 3. Туслах нумуудын огтлолцол дээр тулгуурын төв байрлана – O3 цэг;
2) Ο1 цэгийг 03 цэгтэй, О2 цэгийг О3 цэгтэй шулуун шугамаар холбосон цэгүүдийг ол. МТэгээд Н(Зураг 2.23, б);
3) луужингийн уусмалаар 03-р цэгээс тэнцүү байна Р 3, цэгүүдийн хооронд Μ Тэгээд Ν коньюгат нумыг тайлбарла.

Учир нь дотоод мэдрэгчтэйижил барилга байгууламжийг гүйцэтгэх боловч нумын радиусыг өгөгдсөн ба хосолсон нумын радиусуудын зөрүүтэй тэнцүү авна, өөрөөр хэлбэл. Р 4 -Р 1 ба Р 4 – Р 2. Холболтын цэгүүд РТэгээд TO O4 цэгийг O1 ба O2 цэгүүдтэй холбосон шугамын үргэлжлэл дээр хэвтэж байна (Зураг 2.23, В).

Учир нь холимог (гадаад ба дотоод) хүрэх(1-р тохиолдол):

1) радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү луужингийн шийдэл Р 1 ба Р 3, төвөөс (Зураг 2.24, а) O2 цэгээс нум зурсан;
2) радиусын зөрүүтэй тэнцүү луужингийн шийдэл Р 2 ба Р 3, O2 цэгээс хоёр дахь нумыг зурж, эхнийхтэй O3 цэг дээр огтлолцоно (Зураг 2.24, б);
3) O1 цэгээс O3 цэг хүртэл шулуун шугамыг, хоёр дахь төвөөс (O2 цэг) цэг дээр нумантай огтлолцох хүртэл шулуун шугамыг O3 цэгээр дамжуулна. М(Зураг 2.24, в).

O3 цэг нь түншийн төв, цэг юм МТэгээд N -интерфейсийн цэгүүд;

4) луужингийн хөлийг радиустай O3 цэг дээр байрлуулна Р 3 холбогч цэгүүдийн хооронд нум зурна Μ Тэгээд Ν (Зураг 2.24, Г).

Цагаан будаа. 2.24.

Учир нь холимог мэдрэгчтэй(2 дахь тохиолдол):

1) радиустай тойргийн хоёр коньюгат нум Р 1 ба Р 2 (Зураг 2.25);
2) төвүүдийн хоорондох зай тухай iба эдгээр хоёр нумын O2;
3) радиус Р 3 хосолсон нуман;

шаардлагатай:

1) хосолсон нумын төвийн O3 байрлалыг тодорхойлох;
2) хосолсон нуман дээрх холболтын цэгүүдийг олох;
3) хосолсон нум зурах

Барилгын дараалал

хойшлуул заасан зайтөвүүдийн хооронд Ο 1 ба O2. Төвөөс ТУХАЙ 1 радиусын хосолсон нумын радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү радиустай туслах нумыг зурна. Р 1 ба коньюгат нуман радиус Р 3, мөн төвөөс O2 радиусын зөрүүтэй тэнцүү радиустай хоёр дахь туслах нумыг зурсан. Р 3 ба Р 2, оролтын нумын хүссэн төв болох O3 цэгийн эхний туслах нумтай огтлолцох хүртэл (Зураг 2.25).

Цагаан будаа. 2.25.

O3 ба O1 нумын төвүүдийг шулуун шугамаар холбосон ерөнхий дүрмийн дагуу коньюгацийн цэгүүдийг олно. , О 3 ба O2. Эдгээр шугамын харгалзах тойргийн нумуудтай огтлолцох цэгүүд олддог МТэгээд Н.

Загварын муруй

Технологийн хувьд гадаргуу нь хавтгай муруйгаар хязгаарлагддаг хэсгүүд байдаг: эллипс, эволют тойрог, Архимед спираль гэх мэт. Ийм муруй шугамыг луужингаар зурах боломжгүй.

Тэдгээр нь хэв маягийг ашиглан гөлгөр шугамаар холбогдсон цэгүүдийн дагуу баригдсан. Тиймээс нэр хэв маягийн муруй.

Зурагт үзүүлэв. 2.26. Шулуун шугамын цэг бүрийг тойрог дагуу гулсуулахгүйгээр өнхрүүлбэл эволюцийг дүрсэлдэг.

Цагаан будаа. 2.26.

Ихэнх арааны шүдний ажлын гадаргуу нь эволют араатай байдаг (Зураг 2.27).

Цагаан будаа. 2.27.

Архимед спиральЗурагт үзүүлэв. 2.28. Энэ нь төвөөс жигд хөдөлж буй цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй юм ТУХАЙэргэдэг радиусын дагуу.

Цагаан будаа. 2.28.

Архимедийн спираль дагуу ховилыг хайчилж, түүнд өөрөө төвлөрсөн гурван эрүүтэй тэнхлэгийн камеруудын цухуйсан хэсгүүд багтана. токарь(Зураг 2.29). Налуу араа эргэх үед, арын талЭнэ нь спираль ховилыг огтолж, камер нь шахагдсан байна.

Зурган дээрх эдгээр (болон бусад) хэв маягийн муруйг хийхдээ ажлаа хөнгөвчлөхийн тулд лавлах номыг ашиглаж болно.

Эллипсийн хэмжээсийг голынх нь хэмжээгээр тодорхойлно ABмөн жижиг CDтэнхлэгүүд (Зураг 2.30). Хоёр төвтэй тойргийг дүрсэл. Илүү том диаметртэй урттай тэнцүүэллипс (гол тэнхлэг AB), жижиг диаметр нь эллипсийн өргөн (бага тэнхлэг CD). Том тойргийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваа, жишээлбэл 12. Хуваах цэгүүд нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх шулуун шугамаар холбогддог. Шулуун шугамын тойрогтой огтлолцох цэгүүдээс зурагт үзүүлсэн шиг эллипсийн тэнхлэгтэй параллель шугамууд татагдана. Эдгээр шугамууд хоорондоо огтлолцох үед эллипсэд хамаарах цэгүүдийг олж авдаг бөгөөд үүнийг өмнө нь гараар нимгэн гөлгөр муруйгаар холбож, хэв маягаар дүрсэлсэн болно.

Цагаан будаа. 2.29.

Цагаан будаа. 2.30.

Геометрийн байгууламжийн практик хэрэглээ

Даалгаврыг өгөв: Зураг дээр үзүүлсэн түлхүүрийн зургийг хий. 2.31. Үүнийг яаж хийх вэ?

Зурж эхлэхээс өмнө геометрийн байгууламжийн ямар тохиолдлыг ашиглах шаардлагатайг тодорхойлохын тулд зургийн график найрлагад дүн шинжилгээ хийдэг. Зураг дээр. Зураг 2.31-д эдгээр бүтээцийг харуулав.

Цагаан будаа. 2.31.

Түлхүүрийг зурахын тулд харилцан перпендикуляр шулуун шугам татах, тойргийг дүрслэх, тэдгээрийн дээд ба доод оройг шулуун шугамаар холбох замаар зургаан өнцөгт байгуулах, нум ба шулуун шугамыг өгөгдсөн радиустай нумуудтай холбох хэрэгтэй.

Энэ ажлын дараалал юу вэ?

Нэгдүгээрт, байрлал нь өгөгдсөн хэмжээсээр тодорхойлогддог, шаардлагагүй шугамуудыг зур нэмэлт барилга байгууламж(Зураг 2.32, А), i.e. тэнхлэгийн болон төвийн шугамыг зурж, өгөгдсөн хэмжээсийн дагуу дөрвөн тойргийг дүрсэлж, жижиг тойргийн босоо диаметрийн төгсгөлийг шулуун шугамаар холбоно.