Тангенс ба арктангенс нь харилцан урвуу функцууд юм. Урвуу тригонометрийн функцууд

нүгэл үйлдлүүд, cos, tg, ctg нь үргэлж арксин, арккосин, арктангенс, арккотангенс дагалддаг. Нэг нь нөгөөгийнхөө үр дагавар бөгөөд хос функцууд нь тригонометрийн илэрхийлэлтэй ажиллахад адилхан чухал юм.

Зургийг харцгаая нэгж тойрог, утгуудыг графикаар харуулдаг тригонометрийн функцууд.

Хэрэв бид OA, arcos OC, arctg DE, arcctg MK нумуудыг тооцоод үзвэл тэдгээр нь бүгд α өнцгийн утгатай тэнцүү байх болно. Доорх томьёо нь тригонометрийн үндсэн функцууд болон тэдгээрийн харгалзах нумуудын хоорондын хамаарлыг тусгасан болно.

Арксины шинж чанаруудын талаар илүү ихийг мэдэхийн тулд түүний функцийг авч үзэх шаардлагатай. Хуваарь координатын төвөөр дамжин өнгөрөх тэгш бус муруй хэлбэртэй байна.

Арксины шинж чанарууд:

Хэрэв бид графикуудыг харьцуулж үзвэл нүгэлТэгээд арксин, хоёр тригонометрийн функц нь нийтлэг зарчимтай байж болно.

нумын косинус

Тооны Arccos нь косинус нь a-тай тэнцүү α өнцгийн утга юм.

Муруй y = arcos xтоль арксин график x, цорын ганц ялгаа нь OY тэнхлэгийн π/2 цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Нумын косинусын функцийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Функц нь [-1; 1].
ODZ for arccos - .
График нь бүхэлдээ эхний болон хоёрдугаар улиралд байрладаг бөгөөд функц нь өөрөө тэгш, сондгой биш юм.
x = 1 үед Y = 0.
Муруй нь бүхэл бүтэн уртын дагуу буурдаг. Нумын косинусын зарим шинж чанарууд нь косинусын функцтэй давхцдаг.

Нумын косинусын зарим шинж чанарууд нь косинусын функцтэй давхцдаг.

Сургуулийн хүүхдүүдэд "нуман хаалга" -ын ийм "нарийвчилсан" судалгаа шаардлагагүй гэж үзэж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч, өөрөөр хэлбэл, зарим үндсэн ердийн Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавароюутнуудыг төөрөгдөлд оруулж болзошгүй.

Даалгавар 1.Зурагт үзүүлсэн функцуудыг заана уу.

Хариулт:будаа. 1 – 4, Зураг 2 – 1.

IN энэ жишээнджижиг зүйлд онцгой анхаарал хандуулдаг. Ихэвчлэн оюутнууд график байгуулах, функцүүдийн харагдах байдалд ихээхэн анхаарал хандуулдаггүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та үүнийг тооцоолсон цэгүүдийг ашиглан зурах боломжтой бол муруйны төрлийг яагаад санаж байх хэрэгтэй вэ? Туршилтын нөхцөлд зураг зурахад зарцуулсан цаг хугацаа гэдгийг бүү мартаарай энгийн даалгавар, илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай болно.

Арктангенс

Arctg a тоонууд нь α өнцгийн утга бөгөөд түүний шүргэгч нь a-тай тэнцүү байна.

Хэрэв бид артангенсийн графикийг авч үзвэл дараах шинж чанаруудыг тодруулж болно.

График нь хязгааргүй бөгөөд интервал дээр тодорхойлогддог (- ∞; + ∞).
Арктангенс сондгой функц, тиймээс арктан (- х) = - арктан х.
x = 0 үед Y = 0.
Муруй нь бүх тодорхойлолтын хүрээнд нэмэгддэг.

Энд товч байна харьцуулсан шинжилгээ tg x ба arctg x хүснэгт хэлбэрээр.

Арккотангенс

Тооны Arcctg - (0; π) интервалаас котангенс нь a-тай тэнцүү байхаар α утгыг авна.

Нумын котангенсийн функцийн шинж чанарууд:

Функцийн тодорхойлолтын интервал нь хязгааргүй юм.
Бүс нутаг хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ– интервал (0; π).
F(x) нь тэгш, сондгой ч биш.
Бүхэл бүтэн уртын туршид функцийн график буурч байна.

ctg x ба arctg x-ийг харьцуулах нь маш энгийн бөгөөд та хоёр зураг зурж, муруйнуудын үйлдлийг дүрслэх хэрэгтэй.

Даалгавар 2.График болон функцийн тэмдэглэгээний хэлбэрийг тааруулна уу.

Хэрэв бид логикоор бодож үзвэл хоёр функц нэмэгдэж байгаа нь графикаас тодорхой харагдаж байна. Тиймээс энэ хоёр тоо тодорхой зүйлийг тусгаж байна арктан функц. Арктангентын шинж чанараас x = 0 үед y=0 гэдгийг мэддэг.

Хариулт:будаа. 1 – 1, зураг. 2 – 4.

Arcsin, arcos, arctg болон arcctg гэсэн тригонометрийн ижилсэлтүүд

Өмнө нь бид нуман хаалга болон тригонометрийн үндсэн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг аль хэдийн тодорхойлсон. Энэ хамаарлыг аргументийн синусыг арксинус, арккосиноор эсвэл эсрэгээр илэрхийлэх боломжийг олгодог хэд хэдэн томъёогоор илэрхийлж болно. Тодорхой жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд ийм таних тэмдгүүдийн талаархи мэдлэг хэрэгтэй болно.

Мөн arctg болон arcctg-ийн хамаарал байдаг:

Өөр нэг ашигтай хос томъёо нь arcsin болон arcos-ийн нийлбэрийн утгыг, түүнчлэн ижил өнцгийн arcctg болон arcctg-ийн утгыг тогтоодог.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Тригонометрийн даалгавруудыг дөрвөн бүлэгт хувааж болно: тодорхой илэрхийллийн тоон утгыг тооцоолох, өгөгдсөн функцийн графикийг байгуулах, түүний тодорхойлолтын муж буюу ODZ-ийг олох, жишээг шийдвэрлэхийн тулд аналитик хувиргалт хийх.

Эхний төрлийн асуудлыг шийдэхдээ та дагаж мөрдөх ёстой дараагийн төлөвлөгөөүйлдлүүд:

Функцийн графиктай ажиллахдаа гол зүйл бол тэдгээрийн шинж чанарын талаархи мэдлэг юм гадаад төрхмуруй. Шийдэхийн тулд тригонометрийн тэгшитгэлтэгш бус байдал, таних хүснэгт хэрэгтэй. Яаж илүү томьёоСурагчийг санаж байвал даалгаврын хариултыг олоход хялбар болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтанд та тэгшитгэлийн хариултыг олох хэрэгтэй гэж бодъё.

Хэрэв бид зөв илэрхийлэл хувиргаж, хүргэж байгаа бол зөв төрөл, дараа нь үүнийг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд хурдан юм. Эхлээд arcsin x-г шилжүүлье баруун талтэгш байдал.

Хэрэв та томъёог санаж байвал arcsin (sin α) = α, тэгвэл бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хариултын хайлтыг багасгаж болно.

X загварын хязгаарлалт нь дахин arcsin-ийн шинж чанараас үүдэлтэй: x for ODZ [-1; 1]. ≠0 үед системийн нэг хэсэг байна квадрат тэгшитгэлүндэстэй x1 = 1 ба x2 = - 1/a. a = 0 үед x нь 1-тэй тэнцүү байх болно.

Урвуу тригонометрийн функцууд нь математик функцууд, эдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай.

y=arcsin(x) функц

α тооны нумын синус нь [-π/2;π/2] интервалаас α тоо бөгөөд синус нь α-тай тэнцүү байна.
Функцийн график
[-π/2;π/2] интервал дээрх у= sin⁡(x) функц нь хатуу нэмэгдэж, тасралтгүй байна; тиймээс энэ нь урвуу функцтэй, хатуу нэмэгдэж, үргэлжилдэг.
y= sin⁡(x) функцийн урвуу функцийг x ∈[-π/2;π/2] бол нумын синус гэж нэрлэх ба y=arcsin(x), энд x∈[-1;1 ].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу арксинусын тодорхойлолтын муж нь [-1;1] сегмент, утгын багц нь [-π/2;π/2] сегмент юм.
y=arcsin(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= sin(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу, энд x∈[-π/2;π /2], биссектрисын хувьд координат өнцөгэхний болон гуравдугаар улирал.

Функцийн муж y=arcsin(x).

Жишээ №1.

arcsin(1/2)-г олох уу?

arcsin(x) функцийн утгын муж нь [-π/2;π/2] интервалд хамаарах тул зөвхөн π/6 утга тохиромжтой. Тиймээс arcsin(1/2) =π/. 6.
Хариулт:π/6

Жишээ №2.
arcsin(-(√3)/2) олох уу?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] утгын мужид зөвхөн -π/3 утга тохирох тул arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

y=arccos(x) функц

α тооны нумын косинус нь косинус нь α-тай тэнцүү интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

Сегмент дээрх y= cos(⁡x) функц нь хатуу бууралттай ба тасралтгүй; тиймээс энэ нь урвуу функцтэй, хатуу буурч, үргэлжилдэг.
x ∈ y= cos⁡x функцийн урвуу функцийг дуудна нумын косинусба y=arccos(x)-ээр тэмдэглэнэ, энд x ∈[-1;1].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу нумын косинусын тодорхойлолтын муж нь [-1;1] сегмент, утгын багц нь сегмент юм.
y=arccos(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= cos(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна, энд x ∈, биссектрисатай харьцаж байгааг анхаарна уу. эхний ба гуравдугаар улирлын координат өнцөг.

Функцийн муж y=arccos(x).

Жишээ №3.

Arccos(1/2) олох уу?

Утгын муж нь arccos(x) x∈ тул зөвхөн π/3 утга тохиромжтой. Тиймээс arccos(1/2) =π/3.
Жишээ № 4.
arccos(-(√2)/2) олох уу?

arccos(x) функцийн утгын муж нь интервалд хамаарах тул зөвхөн 3π/4 утга тохиромжтой. Тиймээс arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Хариулт: 3π/4

y=arctg(x) функц

α тооны артангенс нь [-π/2;π/2] интервалаас α тоо бөгөөд тангенс нь α-тай тэнцүү байна.

Функцийн график

Шүргэх функц нь тасралтгүй бөгөөд интервал дээр хатуу нэмэгддэг (-π/2;π/2); тиймээс энэ нь тасралтгүй бөгөөд хатуу өсөх урвуу функцтэй.
y= tan⁡(x) функцийн урвуу функц, энд x∈(-π/2;π/2); арктангенс гэж нэрлэгдэх ба y=arctg(x) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд x∈R.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу артангенсийн тодорхойлолтын муж нь интервал (-∞;+∞), утгын багц нь интервал юм.
(-π/2;π/2).
y=arctg(x) функцийн график нь x∈R нь y= tan⁡x функцийн графиктай тэгш хэмтэй, энд x ∈ (-π/2;π/2) -тай харьцуулахад тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу. эхний болон гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектрис.

y=arctg(x) функцийн муж.

Жишээ №5?

arctan((√3)/3)-ийг олоорой.

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) утгын мужид зөвхөн π/6 утга тохиромжтой. Тиймээс arctg((√3)/3) =π/6.
Жишээ № 6.
arctg(-1)-г олох уу?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) утгын мужид зөвхөн -π/4 утга тохирох тул arctg(-1) = - π/4 байна.

y=arcctg(x) функц

α тооны нумын котангенс нь котангенс нь α-тай тэнцүү (0;π) интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

(0;π) интервал дээр котангентын функц хатуу буурдаг; үүнээс гадна энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй үргэлжилдэг; тиймээс (0;π) интервал дээр энэ функц нь урвуу функцтэй бөгөөд энэ нь хатуу буурч, үргэлжилдэг.
y=ctg(x) функцийн урвуу функцийг x ∈(0;π) гэж нэрлэх ба y=arcctg(x), энд x∈R гэж тэмдэглэнэ.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу нумын котангенсийн тодорхойлолтын муж нь байх болно R, мөн багцаарутгууд – интервал (0;π). y=arcctg(x) функцийн график, энд x∈R нь y=ctg(x) x∈(0;π) функцийн графиктай тэгш хэмтэй, харьцангуй эхний ба гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектриса руу.

Функцийн муж y=arcctg(x).

Жишээ № 7.
arcctg((√3)/3)-г олох уу?

arcctg(x) x ∈(0;π) утгын мужид зөвхөн π/3 утга тохирох тул arccos((√3)/3) =π/3.

Жишээ № 8.
arcctg(-(√3)/3)-г олох уу?

Утгын муж нь arcctg(x) x∈(0;π) тул зөвхөн 2π/3 утга тохиромжтой. Тиймээс arccos(-(√3)/3) = 2π/3 байна.

Редактор: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, тэдгээрийн графикийг өгөв. Урвуу тригонометрийн функцийг холбосон томьёо, нийлбэр ба ялгааны томъёо.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг тул урвуу функцууд нь өвөрмөц биш юм. Тэгэхээр y = тэгшитгэл гэм х, өгөгдсөн , хязгааргүй олон үндэстэй. Үнэн хэрэгтээ, синусын үечилсэн байдлаас шалтгаалан x нь ийм язгуур юм бол тийм байх болно x + 2πn(n нь бүхэл тоо) нь мөн тэгшитгэлийн үндэс болно. Тиймээс, урвуу тригонометрийн функцууд нь олон утгатай. Тэдэнтэй ажиллахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийн үндсэн утгын тухай ойлголтыг танилцуулсан. Жишээлбэл, синусыг авч үзье: y = гэм х. гэм хХэрэв бид х аргументыг интервалаар хязгаарлавал үүн дээр y = функц байна монотоноор нэмэгддэг. Иймээс энэ нь өвөрмөц урвуу функцтэй бөгөөд үүнийг нумын синус гэж нэрлэдэг: x =.

арксин у

Өөрөөр заагаагүй бол урвуу тригонометрийн функц гэж бид дараахь тодорхойлолтоор тодорхойлогддог тэдгээрийн үндсэн утгыг хэлнэ. Арксин ( у=) arcsin x нь синусын урвуу функц ( x =

гэмтэй Арксин ( Нуман косинус () arccos x нь синусын урвуу функц ( косинусын урвуу функц ( cos y

), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх. Арксин ( Арктангенс () арктан х нь синусын урвуу функц ( шүргэгчийн урвуу функц ( cos y

tg y Арксин ( арккотангенс () arcctg x нь синусын урвуу функц ( котангентын урвуу функц ( cos y

ctg y

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикууд Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикийг тригонометрийн функцүүдийн графикаас гаргаж авдагтолин тусгал дүрс

Арксин ( у=

Арксин ( Нуман косинус (

Арксин ( Арктангенс (

Арксин ( арккотангенс (

y = x шулуун шугамтай харьцуулахад.

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн хэсгүүдийг харна уу.

Үндсэн томъёоЭнд та томъёонууд хүчинтэй байх интервалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.
arcsin(sin x) = x
цагтЭнд та томъёонууд хүчинтэй байх интервалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.
sin(arcsin x) = x

arccos(cos x) = xЭнд та томъёонууд хүчинтэй байх интервалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.
cos(arccos x) = x
arktan(tg x) = xЭнд та томъёонууд хүчинтэй байх интервалд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Урвуу тригонометрийн функцтэй холбоотой томъёо

Нийлбэр ба ялгааны томъёо

эсвэл

болон

болон

цагт

Урвуу косинусын функц 2

y=cos x функцийн утгын муж (2-р зургийг үз) нь сегмент юм. Сегмент дээр функц тасралтгүй бөгөөд монотон буурч байна.

Цагаан будаа.

Энэ нь сегмент дээр y=cos x функцтэй урвуу функц тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Энэ урвуу функцийг нуман косинус гэж нэрлэх ба y=arccos x гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт

a тооны арккосинус, хэрэв |a|1 бол косинус нь сегментэд хамаарах өнцөг; үүнийг arccos a -ээр тэмдэглэнэ.

y = arccos x функц (Зураг 3) нь сегмент дээр тодорхойлогддог бөгөөд түүний утгын хүрээ нь сегмент юм. Сегмент дээр y=arccos x функц тасралтгүй бөгөөд p-ээс 0 хүртэл монотон буурдаг (у=cos x нь сегмент дээрх тасралтгүй ба монотон буурах функц учраас); сегментийн төгсгөлд туйлын утгууддаа хүрнэ: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. arccos 0 = гэдгийг анхаарна уу. y = arccos x функцийн график (3-р зургийг үз) y = cos x функцийн графикт y=x шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Урвуу косинусын функц 3

arccos(-x) = p-arccos x тэгш байдал хангагдсаныг харуулъя.

Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор 0? arccos x? r. Сүүлийн давхар тэгш бус байдлын бүх хэсгийг (-1) үржүүлбэл - p? arccos x? 0. Сүүлийн тэгш бус байдлын бүх хэсэгт p-г нэмбэл 0-ийг олох уу? p-arccos x? r.

Тиймээс arccos(-x) ба p - arccos x өнцгүүдийн утгууд нэг сегментэд хамаарна. Косинус нь сегмент дээр монотон буурч байгаа тул үүн дээр хоёр өөр өнцөг байж болохгүй тэнцүү косинусууд. arccos(-x) ба p-arccos x өнцгүүдийн косинусуудыг олъё. Тодорхойлолтоор cos (arccos x) = - x, багасгах томъёоны дагуу ба тодорхойлолтоор бид: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Тиймээс өнцгүүдийн косинусууд тэнцүү байна, энэ нь өнцөг нь өөрөө тэнцүү гэсэн үг юм.

Урвуу синусын функц

[-р/2;р/2] хэрчим дээр нэмэгдэж, тасралтгүй, [-1] сегментээс утгыг авдаг y=sin x функцийг авч үзье (Зураг 6); 1]. Энэ нь сегмент дээр [- p/2; p/2] y=sin x функцийн урвуу функц тодорхойлогдоно.

Урвуу косинусын функц 6

Энэ урвуу функцийг арксинус гэж нэрлэх ба y=arcsin x гэж тэмдэглэнэ. Тооны арксинусын тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тооны нум нь синус нь байх өнцөг (эсвэл нум) юм тоотой тэнцүү байна a ба сегментэд хамаарах [-р/2; p/2]; үүнийг arcsin a гэж тэмдэглэнэ.

Тиймээс arcsin a нь хангасан өнцөг юм дараах нөхцөлүүд: нүгэл (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2? Арксин тийм үү? r/2. Жишээлбэл, нүгэл ба [- p/2; p/2]; arcsin, учир нь sin = u [- p/2; p/2].

y=arcsin x (Зураг 7) функц нь [- 1 сегмент дээр тодорхойлогддог; 1], түүний утгын хүрээ нь [-р/2;р/2] сегмент юм. Сегмент дээр [- 1; 1] y=arcsin x функц тасралтгүй бөгөөд -p/2-с p/2 хүртэл монотоноор нэмэгддэг (энэ нь [-p/2; p/2] сегмент дээрх y=sin x функц тасралтгүй байдгаас үүдэлтэй. ба монотоноор нэмэгддэг). Энэ нь x = 1 үед хамгийн их утгыг авна: arcsin 1 = p/2, хамгийн бага нь x = -1: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 үед функц тэг болно: arcsin 0 = 0.

y = arcsin x функц нь сондгой, өөрөөр хэлбэл. arcsin(-x) = - arcsin x дурын x [ - 1; 1].

Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор хэрэв |x| ?1, бидэнд байна: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Иймээс arcsin(-x) ба өнцгүүд - arcsin x нь нэг сегментэд хамаарах [ - p/2; p/2].

Эдгээрийн синусыг олцгооёөнцөг: нүгэл (arcsin(-x)) = - x (тодорхойлолтоор); y=sin x функц нь сондгой тул sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Тэгэхээр ижил интервалд хамаарах өнцгийн синусууд [-р/2; p/2], тэнцүү байна, энэ нь өнцөг нь өөрөө тэнцүү гэсэн үг, i.e. arcsin (-x)= - arcsin x. Энэ нь y=arcsin x функц сондгой гэсэн үг. y=arcsin x функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Дурын х [-р/2-д arcsin (sin x) = x гэдгийг харуулъя; p/2].

Үнэхээр, тодорхойлолтоор -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, мөн нөхцөлөөр -p/2? х? r/2. Энэ нь x ба arcsin (sin x) өнцгүүд нь y=sin x функцийн монотон байдлын ижил интервалд хамаарна гэсэн үг юм. Хэрэв ийм өнцгийн синусууд тэнцүү бол өнцөг нь өөрөө тэнцүү байна. Эдгээр өнцгүүдийн синусуудыг олцгооё: x өнцгийн хувьд син x, нумын өнцөгт (sin x) нүгэл (arcsin(sin x)) = sin x байна. Бид өнцгийн синусууд тэнцүү болохыг олж мэдсэн, тиймээс өнцөг нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. arcsin(sin x) = x. .

Урвуу косинусын функц 7

Урвуу косинусын функц 8

arcsin (sin|x|) функцийн графикийг гаргав ердийн өөрчлөлтүүд, модультай холбоотой y=arcsin (sin x) графикаас (Зураг 8-д тасархай шугамаар үзүүлсэн). Хүссэн y=arcsin (sin |x-/4|) графикийг х тэнхлэгийн дагуу /4-ээр баруун тийш шилжүүлснээр (8-р зурагт хатуу шугамаар харуулав) олж авна.

Тангенсийн урвуу функц

Интервал дээрх y=tg x функц нь бүгдийг хүлээн авдаг тоон утгууд: E (tg x)=. Энэ интервалд энэ нь тасралтгүй бөгөөд монотоноор нэмэгддэг. Энэ нь интервал дээр y = tan x функцтэй урвуу функц тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Энэ урвуу функцийг арктангенс гэж нэрлэдэг ба у = арктан х гэж тэмдэглэнэ.

a-ийн артангенс нь тангенс нь а-тай тэнцүү интервалаас авсан өнцөг юм. Иймд arctg a нь дараах нөхцлийг хангасан өнцөг юм: tg (arctg a) = a ба 0? arctg a? r.

Тэгэхээр дурын х тоо нь y = arctan x функцийн нэг утгатай ямагт тохирдог (Зураг 9).

D (arctg x) =, E (arctg x) = байх нь ойлгомжтой.

y = tan x функц интервал дээр нэмэгдэж байгаа тул y = arctan x функц нэмэгдэж байна. arctg(-x) = - arctgx, i.e. гэдгийг батлахад хэцүү биш юм. тэр арктангенс нь сондгой функц юм.

Урвуу косинусын функц 9

y = arctan x функцийн график нь y = tan x функцийн графикт y = x шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, y = arctan x график нь эхийг дайран өнгөрдөг (arctan 0 = 0 тул) тэгш хэмтэй байна. гарал үүсэлтэй харьцангуй (сондгой функцийн график гэх мэт).

Хэрэв x бол арктан (tan x) = x гэдгийг баталж болно.

Котангентын урвуу функц

Интервал дээрх y = ctg x функц нь интервалаас бүх тоон утгыг авдаг. Түүний утгын хүрээ нь бүхний багцтай давхцдаг бодит тоо. Интервалд y = cot x функц тасралтгүй байх ба монотоноор нэмэгддэг. Энэ нь энэ интервал дээр y = cot x функцтэй урвуу функц тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Котангентын урвуу функцийг арккотангенс гэж нэрлэдэг ба y = arcctg x гэж тэмдэглэнэ.

a тооны арккотангенс нь өнцөг юм хөндлөнгөөс оролцож байна, котангенс нь a-тай тэнцүү байна.

Иймд arcctg a нь дараах нөхцлүүдийг хангасан өнцөг юм: ctg (arcctg a)=a ба 0? arcctg a? r.

Урвуу функцийн тодорхойлолт ба арктангенсийн тодорхойлолтоос D (arcctg x) = , E (arcctg x) = байна. y = ctg x функц нь интервалд буурдаг тул нумын котангенс нь буурах функц юм.

y = arcctg x функцийн график нь y > 0 R тул Ox тэнхлэгтэй огтлолцохгүй. x = 0 y = arcctg 0 =.

y = arcctg x функцийн графикийг 11-р зурагт үзүүлэв.

Урвуу косинусын функц 11

Үүнийг хүн бүрт анхаараарай бодит үнэ цэнэ x таних тэмдэг нь үнэн: arcctg(-x) = р-arcctg x.

Хичээл 32-33. Урвуу тригонометрийн функцууд

09.07.2015 5917 0

Зорилтот: урвуу тригонометрийн функцууд ба тэдгээрийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдийг бичихэд ашиглах талаар авч үзэх.

I. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг мэдээлэх

II. Шинэ материал сурах

1. Урвуу тригонометрийн функцууд

Дараах жишээгээр энэ сэдвийн тухай яриагаа эхэлцгээе.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийдье: a) нүгэл x = 1/2; б) нүгэл x = a.

a) Ординатын тэнхлэг дээр бид 1/2 утгыг зурж, өнцгийг байгуулна x 1 болон x2, үүний тулдгэм х = 1/2. Энэ тохиолдолд x1 + x2 = π, үүнээс x2 = π – x 1 . Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг ашиглан бид x1 = π/6 утгыг олоод дараа ньСинусын функцийн үечлэлийг харгалзан үзээд шийдлүүдийг бичье өгөгдсөн тэгшитгэл: Энд k ∈ Z.

б) Мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмнүгэл x = a өмнөх догол мөртэй ижил байна. Мэдээжийн хэрэг, одоо a утгыг ординатын тэнхлэгийн дагуу зурсан. Ямар нэгэн байдлаар x1 өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай байна. Бид энэ өнцгийг тэмдгээр тэмдэглэхээр тохиролцсонарксин А. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэлбэрээр бичиж болноЭдгээр хоёр томъёог нэг дор нэгтгэж болно:нэгэн зэрэг

Үлдсэн урвуу тригонометрийн функцуудыг ижил төстэй байдлаар танилцуулсан.

Ихэнхдээ өнцгийн хэмжээг тодорхойлох шаардлагатай байдаг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэтүүний тригонометрийн функц. Ийм асуудал нь олон утгатай - тригонометрийн функцүүд нь ижил утгатай тэнцүү тоо томшгүй олон өнцөг байдаг. Тиймээс тригонометрийн функцүүдийн монотон байдалд үндэслэн, төлөө хоёрдмол утгагүй тодорхойлолтөнцгийн хувьд дараах урвуу тригонометрийн функцуудыг танилцуулав.

a тооны арксинус (arcsin , түүний синус нь a-тай тэнцүү, i.e.

Тооны нуман косинус a(arccos a) косинус нь a-тай тэнцүү интервалаас a өнцөг, өөрөөр хэлбэл.

Тооны арктангенс a(arctg a) - интервалаас ийм өнцөг aшүргэгч нь a-тай тэнцүү, i.e.tg a = a.

Тооны арккотангенс a(arcctg a) нь (0; π) интервалаас a өнцөг, котангенс нь a-тай тэнцүү, i.e. ctg a = a.

Жишээ 2

Олъё:

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 3

Тооцоод үзье

Өнцөг a = нуман өнцөг гэж үзье 3/5, дараа нь тодорхойлолтоор sin a = 3/5 ба . Тиймээс бид олох хэрэгтэй cos А. Үндсэн ашиглах тригонометрийн ижилсэл, бид авах:cos a ≥ 0 гэдгийг харгалзан үзнэ. Тэгэхээр,

Функцийн шинж чанарууд	Чиг үүрэг
Функцийн шинж чанарууд	y = arcsin x	y = arccos x	у = арктан х	y = arcctg x
Тодорхойлолтын домэйн	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Утгын хүрээ	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	у ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
Паритет	Хачирхалтай	Бүр сондгой ч биш	Хачирхалтай	Бүр сондгой ч биш
Функцийн тэг (y = 0)	x = 0 үед	x = 1 үед	x = 0 үед	y ≠ 0
Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд	x ∈ (0; 1]-ийн хувьд y > 0, цагт< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1-ийн хувьд y > 0; 1)	x ∈ (0; +∞)-ийн хувьд y > 0, цагт< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ хувьд y > 0 (-∞; +∞)
Монотон	Өсөж байна	Бууж байна	Өсөж байна	Бууж байна
Тригонометрийн функцтэй хамаарал	нүгэл у = х	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Хуваарь

Дахиад хэдэн өгье ердийн жишээнүүдурвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, үндсэн шинж чанаруудтай холбоотой.

Жишээ 4

Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё

y функцийг тодорхойлохын тулд тэгш бус байдлыг хангах шаардлагатайЭнэ нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү юмЭхний тэгш бус байдлын шийдэл нь x интервал юм∈ (-∞; +∞), хоёр дахь -Энэ интервал тэгш бус байдлын системийн шийдэл, тиймээс функцийн тодорхойлолтын муж юм

Жишээ 5

Функцийн өөрчлөлтийн талбайг олцгооё

Функцийн зан төлөвийг авч үзье z = 2x - x2 (зураг харна уу).

z ∈ гэдэг нь тодорхой байна (-∞; 1]. Аргумент гэж үзээд z арккотангенсийн функц өөрчлөгддөг заасан хязгаар дотор, хүснэгтийн өгөгдлөөс бид үүнийг олж авдагТиймээс өөрчлөлтийн талбар

Жишээ 6

y = функц болохыг баталцгаая arctg x сондгой. БолъёДараа нь tg a = -x эсвэл x = - tg a = tg (- a), ба Иймд - a = arctg x эсвэл a = - arctg X. Тиймээс бид үүнийг харж байнаөөрөөр хэлбэл y(x) нь сондгой функц юм.

Жишээ 7

Бүх урвуу тригонометрийн функцээр илэрхийлье

Болъё Энэ нь ойлгомжтой Тэрнээс хойш

Өнцгийг танилцуулъя Учир нь Тэр

Тиймээс ч мөн адил Тэгээд

Тэгэхээр,

Жишээ 8

y = функцийн графикийг байгуулъя cos(arcsin x).

Тэгвэл a = arcsin x гэж тэмдэглэе x = sin a ба y = cos a, өөрөөр хэлбэл x 2 гэдгийг анхаарч үзье + y2 = 1 ба x дээрх хязгаарлалтууд (x∈ [-1; 1]) ба y (y ≥ 0). Тэгвэл у = функцийн график cos(arcsin x) нь хагас тойрог юм.

Жишээ 9

y = функцийн графикийг байгуулъя arccos (cos x).

cos функцээс хойш x интервал дээр өөрчлөгддөг [-1; 1], дараа нь y функц бүхэлдээ тодорхойлогдоно тооны тэнхлэгболон сегмент дэх өөрчлөлтүүд . y = гэдгийг санаарай arccos (cosx) = х сегмент дээр; y функц нь тэгш ба 2π үетэй үечилсэн байна. Функц нь эдгээр шинж чанартай байдаг гэдгийг харгалзан үзвэл cos x Одоо график бүтээхэд хялбар боллоо.

Зарим ашигтай тэгш байдлыг тэмдэглэе:

Жишээ 10

Хамгийн багыг олцгооё хамгийн өндөр үнэ цэнэфункцуудгэж тэмдэглэе Дараа нь Функцийг авч үзье Энэ функц нь цэг дээр хамгийн бага байна z = π/4 бөгөөд энэ нь тэнцүү байна Функцийн хамгийн их утга нь цэг дээр хүрдэг z = -π/2 ба энэ нь тэнцүү байна Тиймээс, ба

Жишээ 11

Тэгшитгэлээ шийдье

Үүнийг анхаарч үзье Дараа нь тэгшитгэл дараах байдалтай байна.эсвэл хаана Артангенсийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

2. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

1-р жишээтэй адил та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжтой.

Тэгшитгэл	Шийдэл


tgx = a
ctg x = a

Жишээ 12

Тэгшитгэлээ шийдье

Синусын функц нь сондгой тул тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэЭнэ тэгшитгэлийн шийдлүүд:бид хаанаас олох вэ?

Жишээ 13

Тэгшитгэлээ шийдье

Өгөгдсөн томъёог ашиглан бид тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичнэ.тэгээд бид олох болно

Онцгой тохиолдолд (a = 0; ±1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед анхаарна уу sin x = a ба cos x = гэхдээ үүнийг ашиглахгүй байх нь илүү хялбар бөгөөд илүү тохиромжтой ерөнхий томъёо, мөн нэгж тойрог дээр үндэслэн шийдлүүдийг бичнэ үү:

sin x = 1 шийдэлтэй тэгшитгэлийн хувьд

тэгшитгэлийн хувьд sin x = 0 шийдэл x = π k;

тэгшитгэлийн хувьд sin x = -1 шийдэл