Энэ нь дундаж үнэ цэнийн шинж тэмдэг биш юм. Дундаж утгууд

Холбооны агентлагболовсролын

"Уралын улсын эдийн засгийн их сургууль" дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага

Зайны боловсролын төв

ТУРШИЛТ

сахилга батаар: " Статистик"

Гүйцэтгэгч:

бүлгийн оюутан: ETR-09 SR

Трошева Наталья Юрьевна

Екатеринбург хот

2009 он

Оршил

1.1 Дундаж утгын төрөл ба тооцоолох аргууд

1.2 Бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүд

2. Практик даалгавар

Дүгнэлт

Ном зүй

Оршил

Энэ тестонолын болон практик гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ.

Онолын хэсэгт дундаж утга гэх мэт статистикийн чухал ангиллыг түүний мөн чанар, хэрэглэх нөхцөлийг тодорхойлохын тулд нарийвчлан авч үзэхээс гадна дундаж үзүүлэлтүүдийн төрөл, тэдгээрийг тооцоолох аргыг тодруулах болно.

Практик хэсэг нь аливаа аж ахуйн нэгжийн гүйцэтгэлийн хамгийн чухал үзүүлэлт болох эдгээр үзүүлэлтүүдийн өөрчлөлтөд нөлөөлж буй гол хүчин зүйлийг тодорхойлохын тулд үзэгдлийн төлөвлөсөн түвшин, үнийн ерөнхий индексийг тооцоолох, дүн шинжилгээ хийхэд зориулагдсан болно.

1. Дундаж утга: төрөл, шинж чанар, хамрах хүрээ

Дундаж утга нь тухайн нутаг дэвсгэр, цаг хугацааны тодорхой нөхцөлд хүн амын нэгжид ногдох ердийн түвшинг илэрхийлдэг, судалж буй популяцид судалж буй шинж чанарын ерөнхий утга юм.

Дундаж утгууд нь массын хураангуй шинж чанарыг өгдөг ерөнхий статистик үзүүлэлтүүдийг хэлнэ нийгмийн үзэгдэл, учир нь тэдгээр нь янз бүрийн шинж чанартай олон тооны бие даасан утгууд дээр суурилдаг.

Дундаж утга нь судалж буй хүн амын бүх нэгжид нийтлэг байдаг зүйлийг илэрхийлдэг. Үүний зэрэгцээ энэ нь хүн амын бие даасан нэгжийн шинж чанарын үнэ цэнэд нөлөөлж буй бүх хүчин зүйлийн нөлөөллийг тэнцвэржүүлж, тэдгээрийг харилцан унтрааж байгаа мэт болгодог. Аливаа нийгмийн үзэгдлийн түвшин нь хоёр бүлэг хүчин зүйлийн үйлчлэлээр тодорхойлогддог. Тэдгээрийн зарим нь ерөнхий ба үндсэн, байнгын ажиллагаатай, судалж буй үзэгдэл, үйл явцын шинж чанартай нягт холбоотой бөгөөд судалж буй хүн амын бүх нэгжийн хувьд ердийн зүйлийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь дундаж утгад тусгагдсан байдаг. Бусад нь хувь хүн байдаг, тэдний үйлдэл нь тод биш бөгөөд эпизод, санамсаргүй шинж чанартай байдаг. Тиймээс дундаж утга нь "хувийн бус" утгын үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь шинж чанаруудын бие даасан утгуудаас тэдгээрийн аль нэгтэй нь тоон хувьд давхцахгүй байж болно. Дундаж утга нь түүний бие даасан нэгжийн шинж чанаруудын санамсаргүй, хэвийн бус ялгааг харилцан хүчингүй болгосны улмаас нийт популяцийн ерөнхий, шинж чанар, ердийн байдлыг илэрхийлдэг, учир нь түүний үнэ цэнэ нь бүх шалтгааны нийтлэг үр дүнд тодорхойлогддог.

Дундаж утгыг шинж чанарын хамгийн ердийн утгыг тусгахын тулд үүнийг зөвхөн чанарын хувьд нэгэн төрлийн нэгжээс бүрдсэн популяцид тодорхойлох хэрэгтэй. Энэхүү шаардлага нь дундаж хэмжигдэхүүнийг шинжлэх ухааны үндэслэлтэй ашиглах үндсэн нөхцөл бөгөөд нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийн шинжилгээнд дунджийн арга ба бүлэглэх аргын хооронд нягт уялдаа холбоог илэрхийлдэг.

Аливаа дундаж утгыг зөв тооцоолох нь дараахь шаардлагыг хангасан байх ёстой гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

дундаж утгыг тооцох хүн амын чанарын нэгэн төрлийн байдал.

дундаж утгыг тооцоолоход санамсаргүй, цэвэр хувь хүний ​​шалтгаан, хүчин зүйлийн нөлөөллийг арилгах

Дундаж утгыг тооцоолохдоо түүний тооцооллын зорилго, түүнийг чиглүүлэх ёстой тодорхойлох үзүүлэлтийг тогтоох нь чухал юм.

Хүн амын нийтээр тооцсон дундаж утгыг нийт дундаж гэж нэрлэдэг - энэ нь судалж буй үзэгдлийн ерөнхий шинж чанарыг тусгасан; Бүлэг тус бүрээр бүлгийн дундажаар тооцсон дундаж утгууд нь тухайн бүлгийн тодорхой нөхцөлд үүсэх үзэгдлийн шинж чанарыг өгдөг.

1.1 Тооцооллын аргууд нь өөр байж болох тул статистикт дундаж утгын хэд хэдэн төрлүүд байдаг

Дундаж утгыг 2 том төрөлд хуваадаг.

хүч чадал (гармоник дундаж, геометрийн дундаж, арифметик дундаж гэх мэт). Эрчим хүчний дундаж утгыг тооцоолохын тулд боломжит бүх шинж чанарыг ашиглах шаардлагатай. Хэрэв та ижил өгөгдлийн бүх төрлийн эрчим хүчний дундаж утгыг тооцоолвол тэдгээрийн утга ижил байх болно. Дараа нь дундаж үзүүлэлтүүдийн дийлэнх нь дүрэм үйлчилнэ: дундаж үзүүлэлт нэмэгдэх тусам дундаж утга өөрөө нэмэгддэг ().

бүтцийн хэрэгсэл (горим, медиан). Мод ба медианыг зөвхөн тархалтын бүтцээр тодорхойлно. Тиймээс тэдгээрийг "бүтцийн байрлалын дундаж" гэж нэрлэдэг. Дундаж хүчин чадлын дундаж утгыг тооцоолох боломжгүй эсвэл боломжгүй байгаа популяциудад дундаж үзүүлэлт болон горимыг ихэвчлэн ашигладаг.

Тодорхой болгохын тулд практик судалгаанд янз бүрийн төрлийн чадлын дундаж утгыг тооцоолоход хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг томьёог 1-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Хүснэгт 1 Эрчим хүчний хэрэгслийн төрлүүд

Арифметик дундаж нь шинж чанарын дундаж утга бөгөөд үүнийг тооцоолох явцад нийлбэр дэх шинж чанарын нийт хэмжээ өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Арифметик дундажийг тооцоолохын тулд бүх шинж чанарын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваах шаардлагатай. Энэ нь нийт хүн амын хувьд өөр өөр шинж чанарын эзлэхүүн нь түүний бие даасан нэгжийн шинж чанарын утгын нийлбэр байх тохиолдолд хэрэглэгддэг. Арифметик дундажийн жишээ бол нийт цалингийн сан юм.

Арифметик энгийн дундаж нь дунджаар тооцогдож буй шинж чанарын бие даасан утгуудын энгийн нийлбэртэй тэнцүү байна. нийт тооэдгээр үнэт зүйлс. Энэ нь бүлэггүй хувь хүний ​​шинж чанарын утгууд байгаа тохиолдолд ашиглагддаг.

Арифметик жигнэсэн дундаж нь тэдгээрийн давтагдах хувилбаруудын дундаж юм өөр тооудаа эсвэл өөр жинтэй.

Арифметик дундажийн үндсэн шинж чанарууд:

Хэрэв шинж чанарын хувь хүний ​​утгууд, өөрөөр хэлбэл. сонголтуудыг i дахин бууруулж эсвэл нэмэгдүүлбэл шинэ атрибутын дундаж утга i дахин буурч эсвэл өсөх болно.

Дунджаар тооцогдож буй шинж чанарын бүх хувилбаруудыг А тоогоор бууруулж эсвэл өсгөсөн тохиолдолд арифметик дундаж нь зохих ёсоор буурч эсвэл ижил тоогоор нэмэгдэх болно.

Дунджаар авсан бүх хувилбарын жинг k дахин бууруулж эсвэл өсгөвөл арифметик дундаж өөрчлөгдөхгүй.

Арифметик дунджаас шинж чанарын (хувилбар) бие даасан утгуудын хазайлтын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дундаж утгыг тооцоолохын өмнө интервалын цувааг дискрет болгон хувиргах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бүлэг тус бүрийн интервалын дундыг ол. Энэ нь дээд ба доод хязгаарын нийлбэрийг хагасаар хуваах замаар тодорхойлогддог.

Мэдээлэлд давтамж агуулаагүй тохиолдолд гармоник жигнэсэн дундаж томъёог ашиглана нийт дүнгийн хувь хүний ​​x сонголтын хувьд, бүтээгдэхүүн хэлбэрээр үзүүлэв
. Дундажийг тооцоолохын тулд үүнийг тодорхойлох шаардлагатай
, хаана
. Одоо бид арифметик дундажийн томъёог хувиргаж, боломжтой x ба m өгөгдлүүдээс дундаж утгыг тооцоолох боломжтой болно. Арифметик жигнэсэн дундаж томъёонд бид m-ийн оронд, f-ийн оронд харьцааг орлуулж, гармоник жигнэсэн дундажийн томъёог олж авна.

Гармоник дундаж энгийн утгыг сонголт бүрийн жин нэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд ашигладаг, өөрөөр хэлбэл. ,

Геометрийн дундаж утгыг шинж чанарын бие даасан утгууд нь динамик цувралын түвшин бүрийн өмнөх түвшинтэй харьцуулсан гинжин утгын хэлбэрээр бүтээгдсэн харьцангуй динамик утгууд байх тохиолдолд ашиглагддаг. дундаж өсөлтийн хурдыг тодорхойлдог.

Дундаж утга нь эмнэлгийн статистикт өргөн хэрэглэгддэг хоёр дахь төрлийн гарал үүсэлтэй утгууд юм. Дундаж утга гэдэг нь тодорхой өөрчлөгдөж буй тоон шинж чанарын дагуу (дундаж өндөр, дундаж жин, дундаж наснас барсан). Дундаж утга нь нийт статистикийн нийт популяцийн ерөнхий тодорхойлох шинж чанарыг тусгаж, түүнийг ердийн утгатай ганц тоогоор солино. энэ шинж чанараас. Дундаж үнэ цэнэ буурч, суларч байна санамсаргүй хазайлтнэг чиглэлд бие даасан ажиглалт, шинж чанар байнгын өмчүзэгдэл.

Анагаах ухаанд дундаж утгыг тодорхойлоход ашиглаж болно бие бялдрын хөгжил, үндсэн антропометрийн шинж чанарууд (морфологи ба функциональ: өндөр, жин, динамометр гэх мэт) ба тэдгээрийн динамик (шинжлэлийн өсөлт, бууралтын дундаж утга). Эдгээр үзүүлэлтүүд болон тэдгээрийн хослолыг стандарт хэлбэрээр боловсруулах нь маш чухал юм практик ач холбогдолхүн амын эрүүл мэндийн байдалд дүн шинжилгээ хийх (ялангуяа хүүхэд, тамирчид). Тархвар судлаачид голомтод байгаа өвчний дундаж тоо, дэгдэлтийн тархалт, халдваргүйжүүлэлтийн дундаж хугацааг тооцдог.

Хүн ам зүй, анагаах ухаан-нийгмийн судалгаанд дараахь зүйлийг тооцдог. дундаж хугацааирээдүйн амьдрал, нас барсан хүний ​​дундаж нас, дундаж хүн ам гэх мэт.

Туршилтын лабораторийн судалгаанд дундаж утгыг бас ашигладаг: температур, минутанд импульсийн цохилтын тоо, түвшин цусны даралт, дундаж хурдэсвэл тодорхой өдөөлтөд үзүүлэх хариу урвалын дундаж хугацаа, цусан дахь биохимийн элементүүдийн дундаж түвшин гэх мэт.

Статистикийн коэффициент ба дундаж нь магадлалын утга боловч тэдгээрийн хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа бий.

• 1) Статистикийн коэффициентуудзөвхөн хүн амын тодорхой хэсэгт тохиолддог шинж чанарыг (өөр нэг шинж чанар гэж нэрлэдэг), тохиолдож болох эсвэл байхгүй (төрөлт, үхэл, өвчин) шинж чанарыг тодорхойлох. Дундаж утгууд нь нийт популяцид хамаарах шинж чанарыг тодорхойлдог боловч дотор нь байдаг янз бүрийн зэрэг(жин, өндөр, эмчилгээний өдрүүд).
• 2) Статистикийн коэффициентийг чанарын (атрибутив эсвэл дүрслэх) шинж чанарыг хэмжихэд ашигладаг бөгөөд дундаж коэффициентийг янз бүрийн тоон үзүүлэлтүүдэд ашигладаг. бид ярьж байнаОнцлогын тоон хэмжээсийн ялгааны тухай, харин түүний байгаа эсвэл байхгүй байгаагийн тухай биш.

Дундаж утгын гол давуу тал нь тэдний ердийн байдал юм - дундаж нь шууд өгдөг ерөнхий шинж чанарүзэгдэл. Үүнтэй холбогдуулан дундаж утгыг тооцоолох хоёр үндсэн шаардлагыг ялгаж салгаж болно.

• - хүн амын нэг төрлийн байдал;
• - хангалттай тооны ажиглалт.

Аливаа хуваарилалт санамсаргүй хувьсагч, тодорхой магадлалын тархалтын хуульд хамаарах албагүй бөгөөд тархалтын параметрүүдээр тодорхойлогддог: дундаж утга (M), стандарт хазайлт (), хэлбэлзлийн коэффициент (Cv) гэх мэт.

Жишээлбэл, эмчилгээний хугацааны дагуу 10 өвчтөний хуваарилалтыг судлахдаа бид хэд хэдэн тоон утгыг авдаг: 38, 13, 17, 20, 14, 18, 25, 32, 23, 25 - эрэмблэгдээгүй цуврал.

Энэ цувралыг ашиглан түгээлтийн параметрүүдийг тооцоолж болно. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн параметр бүхий цувралыг тодорхойлох нь хангалтгүй юм статистик цувралаливаа тогтвортой загвар. Гэхдээ эрэмблэгдээгүй цувралыг ашиглах нь боломжит хэв маягийг илрүүлэхэд хэцүү байдаг тул эрэмблэгдсэн цувралуудыг бүтээдэг.

Судалгаанд хамрагдсан популяцийн нэгжийн хуваарилалтыг янз бүрийн шинж чанарын утгын дагуу өгсөн цувралыг вариаци гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл - вариацын цуврал- өсөх эсвэл буурах дарааллаар байрлуулсан нэгэн төрлийн хэмжигдэхүүний цуваа, сонголтууд (опционуудын бүлэг) нь интервал (i) гэж нэрлэгддэг тодорхой хэмжээгээр бие биенээсээ ялгаатай байдаг.

Тиймээс эмчилгээний хугацаанд өвчтөнүүдийн хуваарилалтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Судалж буй үзэгдлийн өөрчлөгдөж, өөрчлөгддөг шинж тэмдэг (өндөр, жин гэх мэт), түүний тоон утгасонголт (V) гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн хувилбар хэдэн удаа тохиолдож байгааг харуулсан өгөгдсөн шинж чанарыг ажиглах тохиолдлын тоог давтамж (p) гэж нэрлэдэг.

Хувилбарын цувралууд нь:

• 1) судалж буй үзэгдлээс хамааран:
  • - салангид (тасралтгүй) - тасралтгүй өөрчлөгдөж буй шинж чанаруудын үндсэн дээр үүссэн бөгөөд тэдгээрийн утгыг зөвхөн бүхэл тоогоор илэрхийлдэг (импульсийн хурд, бүлгийн оюутнуудын тоо гэх мэт);
  • - интервал (тасралтгүй) - ихэвчлэн ямар ч утгыг авч болох шинж чанаруудын үндсэн дээр үүсдэг бөгөөд ямар ч тоогоор (өндөр, жин гэх мэт) илэрхийлэгддэг.
• 2) ажиглалтын тооноос хамааран:
  • - энгийн - сонголтыг нэг тоон утгаар илэрхийлнэ;
  • - бүлэглэсэн - сонголтуудыг тодорхой шалгуурын дагуу бүлэглэдэг. Жишээлбэл, бие бялдрын хөгжлийг судлахдаа жингээр нь бүлэглэж болно: 40-44 кг; 45-49 кг. гэх мэт.
• 3) зохион байгуулалтын дарааллаас хамааран сонголт:
  • - өсөх - сонголтуудыг өсөх дарааллаар байрлуулсан;
  • - буурах - сонголтуудыг буурах дарааллаар байрлуулна.

Тусдаа хувилбарын цуврал нь хэд хэдэн шинж чанарыг нэгэн зэрэг агуулж болно. Жишээ нь, энгийн, буурах, тасалдал; эсвэл - бүлэглэсэн, нэмэгдэж буй, тасралтгүй.

Эмнэлгийн статистикт түгээмэл хэрэглэгддэг дундаж үзүүлэлтүүд нь медиан, горим, арифметик дундаж юм. Бусад төрлийн дундаж үзүүлэлтүүд: гармоник дундаж, квадрат дундаж, куб дундаж, геометрийн дундаж болон бусад - зөвхөн тусгай судалгаанд ашиглагддаг.

Медиан (Me) нь вариацын цувааг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг дунд, төв сонголт юм.

Жишээлбэл, хэрэв ажиглалтын тоо 33 бол түүний хоёр талд 16 ажиглалт байгаа тул медиан нь 17-р байранд орсон хувилбар болно.

Тэгш тооны ажиглалттай дараалан төвд хоёр утга байна. Хэрэв тэдгээр нь ижил утгатай бол дундаж утгыг тодорхойлоход бэрхшээл гарахгүй, гэхдээ хоёр хэмжигдэхүүний тоон утга өөр байвал тэдгээрийн хагас нийлбэрийг медиан гэж авна.

Горим (Mo) нь шинж чанарын хамгийн их тохиолддог буюу хамгийн их давтагдах утга юм. Хэрэв горим нь энгийн (бүлэглээгүй) цувралд ойролцоогоор олдвол үүнийг -тэй хувилбар гэж тодорхойлдог хамгийн том тоодавтамж

Медиан ба горимын арифметик дунджаас ялгаа нь хялбаршуулсан, ойролцоо тодорхойлолтоор эдгээр хэмжигдэхүүнийг вариацын цуврал (байрлалын дундаж) дахь байрлалаар нь хялбар бөгөөд хурдан олох боломжтой бөгөөд үүнээс гадна тэдгээр нь утгуудаас хамаардаггүй. туйлын хувилбаруудын эсвэл цувралын тархалтын зэрэг дээр.

Арифметик дундаж (M - Латин хэвлэл мэдээллийн хэрэгслээр) нь эмнэлгийн статистикт ихэвчлэн ашиглагддаг. Арифметик дундаж нь энгийн эсвэл жигнэсэн байж болно.

Энгийн арифметик дундажийн жишээ бол жишээлбэл 6 хүний ​​жинг хэмжсэний үр дүн юм.

Тиймээс арифметик энгийн дундаж утгыг тэдгээрийн тоонд хуваасан хэмжигдэхүүнүүдийн (сонголтуудын) нийлбэрээр олж авна. Энгийн арифметик дундажийг зөвхөн утга (хувилбар) бүрийг нэг ажиглалтаар илэрхийлсэн тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл давтамж нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байх үед л тооцоолж болно.

Хэрэв хувилбарын давтамж нэгээс их байвал энгийн дундажийг ашиглах боломжгүй - энд арифметик жигнэсэн дундажийг тооцоолох шаардлагатай бөгөөд энэ нь хувилбарын үр дүнгийн нийлбэрийг харгалзах давтамжаар гаргаж, нийт үр дүнд хуваана. ажиглалтын тоо.

Жишээлбэл: 18 сурагчийн атропины шинжилгээ хийсний дараа импульсийн цохилт (минутанд цохилт) 86, 92, 100, 96, 90, 102, 88, 92, 80, 92, 96, 100, 86, 84, 102, 90, 86, 92.

Энгийн арифметик дундаж нь онцгой тохиолдоларифметик дундаж жигнэсэн тул энгийн арифметик дундажийг тооцоолоход арифметик дундаж жигнэсэн томъёог ашиглаж болно. IN сүүлчийн тохиолдолдавтамж нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд үржүүлэх шаардлагагүй.

Бүх гурван дундаж утгууд (Mo, Me, M) тэгш хэмтэй вариацын цувралд давхцдаг (эсвэл бараг маш ойрхон): арифметик дундаж нь цувралын дунд (тэгш хэмтэй цуваа, өсөлтийн тал руу хазайсан) тохирч байна. бууралт нь тэнцвэртэй байна); медиан (төв утгын хувьд) мөн цувралын дунд таарч байна; горим (хамгийн их ханасан утга) дээр унадаг хамгийн өндөр цэгэгнээ, мөн түүний төвд байрладаг. Тиймээс бүх тэгш хэмтэй цувааны хувьд арифметик дунджаас өөр дундажийг тооцох шаардлагагүй.

Арифметик дундажийн шинж чанарууд:

• 1. Дундаж утга нь тодорхой хувьсан өөрчлөгдөж буй тоон шинж чанарын ерөнхий үзүүлэлт бөгөөд энэ нь нийт статистикийн ерөнхий шинж чанарыг тусгаж, өгөгдсөн шинж чанарын ердийн утгаараа нэг тоогоор сольж өгдөг. Дундаж утга нь нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд бие даасан ажиглалтын санамсаргүй хазайлтыг сулруулж, үзэгдлийн байнгын шинж чанарыг тодорхойлдог.
• 2. Арифметик дунджаас хазайлтын нийлбэр 0-тэй тэнцүү байна.
• 3. Хатуу тэгш хэмтэй вариацын цувралд арифметик дундаж нь дунд байрлалыг эзэлдэг бөгөөд Mo, Me-тэй тэнцүү байна.

Арифметик дундажийг өөрсдөө авдаггүй нэмэлт техникүнэлгээнүүд ихэвчлэн байдаг хязгаарлагдмал үнэ цэнэ, учир нь тэдгээр нь цувралын тархалтын (олон янз байдал) зэргийг тусгадаггүй. Ижил хэмжээтэй дундаж утгыг янз бүрийн тархалтын зэрэгтэй цувралаас авч болно. Дундаж гэдэг нь янз бүрийн сонголтуудын эргэн тойронд тархсан утгууд бөгөөд бие даасан сонголтууд бие биендээ ойртох тусам цувралын тархалт бага байх тусам дундаж утга илүү ердийн байдаг.

Цувралын олон янз байдлыг үнэлэх ойролцоо арга нь далайцыг тодорхойлох явдал байж болно. далайц - хамгийн том ба хоорондын ялгаа хамгийн бага утгасонголт:

A = Vmax - Vmin

Гэхдээ далайц нь цуврал доторх завсрын утгыг тооцохгүй бөгөөд түүний хэмжээсүүд нь ажиглалтын тооноос хамаарч болно.

Цувралын олон янз байдлыг үнэлэх гол хэмжүүр нь стандарт хазайлт ().

Сигмаг тооцоолохын тулд танд хэрэгтэй:

дунджаас (V - M) хазайлтыг (d) тодорхойлох;

хазайлтын квадрат (d 2);

• 3) хазайлтын квадратыг давтамжаар үржүүлэх (d 2р);
• 4) квадрат хазайлт ба давтамжийн үржвэрийн нийлбэр;
• 5) энэ дүнг ажиглалтын тоонд хуваах;
• 6) хэсгийн квадрат язгуурыг гарга.

Сигма ашиглан та дундаж үзүүлэлтийн ердийн байдлын зэрэг, цувралын тархалтын хязгаар, бие даасан хувилбаруудын дунджийн хэлбэлзлийн хязгаарыг тогтоож болно. Сигма нь бага байх тусам цувралын тархалт бага байх тусам энэ цувралын тооцоолсон дундаж утга нь илүү нарийвчлалтай, ердийн байдаг.

Сигма ашиглах нь хэд хэдэн олон янз байдлыг үнэлэх, харьцуулах боломжийг олгодог нэгэн төрлийн цувралхуваарилалт, учир нь энэ нь нэрлэсэн хэмжигдэхүүн бөгөөд илэрхийлэгддэг үнэмлэхүй тоосудалж буй популяцийн нэгжээр (см, кг, мг/л гэх мэт). Энэ тохиолдолд сигмагийн үнэмлэхүй хэмжээг харгалзан үзнэ. Жишээлбэл, жингийн дагуу хоёр эгнээний тархалтыг харьцуулахдаа дундаж үзүүлэлтүүд ойролцоо түвшинд байгаа боловч нэг эгнээний сигма нь ± 5.6 кг, нөгөө талд нь ± 2.1 кг байх болно. - хоёр дахь эгнээ нь бага тархсан, дунд нь илүү ердийн байдаг.

Нэг төрлийн бус цувралын олон янз байдлыг үнэлэхдээ (жишээлбэл, жин, өндөр гэх мэт шинж чанарууд) сигма хэмжээг шууд харьцуулах боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд цувралын харьцангуй олон янз байдлын түвшинг тогтоохын тулд тэд үүсмэл утгыг ашигладаг - хувьсах чадварын коэффициент (хувилбар) нь харьцангуй утга бөгөөд% -аар илэрхийлэгдэж, Cv (V) үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Жишээлбэл, 1-р курсын эрэгтэй оюутнуудын бие бялдрын хөгжлийг судлахдаа дараах үзүүлэлтүүдийг авсан: M (жин) = 67.5 кг; M (өндөр) = 178.1 см Үүний дагуу = ± 2.8 кг. ба ± 6.2 см өндөртэй стандарт хазайлт нь жингийн сигмагаас 2 дахин их байна.

Өндөрийн өөрчлөлтийн коэффициент нь жингийнхээс бага, өөрөөр хэлбэл өндөр нь жингээс илүү тогтвортой шинж чанар болж хувирсан.

Өөрчлөлтийн коэффициентүүд нь гурван төрлийн ялгаатай байдаг.

10% хүртэл - сул олон янз байдал;

10 - 20% - дундаж олон янз байдал;

20% -иас дээш - хүчтэй олон янз байдал.

Олон янз байдлын коэффициентийг тооцоолох ижил арга нь дундаж утгууд нь хэмжээнээсээ ихээхэн ялгаатай байдаг нэгэн төрлийн цувралд дүн шинжилгээ хийх, мөн тусгаарлагдсан, нэг цувралыг тооцоолоход тохиромжтой.

Арифметик дундажийг (M) тооцоолох жишээ; стандарт хэлбэлзэл(); хэлбэлзлийн коэффициент (Cv).

45 өвчтөнд angina-ийн эмчилгээний үргэлжлэх хугацаа: 20, 20, 19, 16, 19, 16, 14, 13, 15, 13, 12, 13, 13, 3, 12, 11, 12, 11, 10, 12 , 11, 10, 11, 8, 7, 11, 11, 10, 10, 10, 9, 8, 8, 9, 5, 5, 6, 9, 5, 5, 9, 6, 7, 7, 14 , мөн 15 хоног.

Эхний үе шат: Бид хувилбар бүрийн давтамжийг харгалзан вариацын цувралыг бүтээдэг; цувралын тайлбарыг өгөх; Бид хувилбарын үржвэрийг харгалзах давтамжаар олж, үр дүнг нэгтгэж, арифметик дундажийг тооцоолно.

Хоёр дахь шат: d (V-M) тооцоолох; d 2; d 2х.

Дүгнэлт: Эмнэлэгт angina-ийн эмчилгээний дундаж хугацаа 11 хоног байна. Дундаж нь энэ цувралын хувьд тийм ч ердийн биш бөгөөд 36.5% -тай тэнцэх хэлбэлзлийн коэффициентээр нотлогддог. өндөр зэрэгтэйшинж чанарын олон талт байдал).

Статистикийн хувьд дундаж утга нь нийгмийн нэг төрлийн эсвэл олонлогийн ерөнхий үзүүлэлт юм байгалийн үзэгдлүүд, энэ нь тодорхой цаг хугацааны хүн амын нэгжид ногдох хувьсах шинж чанарын ердийн түвшинг харуулдаг.

Дундажийг олох нь нийтлэг ерөнхий аргуудын нэг юм. Дундаж утга нь судалж буй хүн амын бүх нэгжийн хувьд нийтлэг (ердийн) зүйлийг тусгасан боловч үүнтэй зэрэгцэн бие даасан нэгжүүдийн хоорондын ялгааг үл тоомсорлодог. Ажиглалтын тоо хязгааргүй өсөхөд (n -» oo) их тооны хуулийн дагуу дундаж утга нь математикийн хүлээлтэд хязгааргүй ойртох болно гэж бид аль хэдийн хэлсэн. > oo бичиж болно X ~ M[X],Энд X- дундаж утга. Өөрөөр хэлбэл дундаж утга нь тооцоолол юм математикийн хүлээлт.

Жаахан ухралт хийгээд өгье товч мэдээлэл n туршилтын үр дүнд олж авсан параметрүүдийн тооцоолол дээр. n туршилтын үр дүнд үндэслэн тодорхой d параметрийг тодорхойлох шаардлагатай гэж үзье. Бид энэ параметрийн ойролцоо утгыг түүний тооцоолол гэж нэрлэж, тэмдэглэнэ г.Ямар ч утгаараа "сайн" тооцоолол байхын тулд d-ийн үнэлгээ нь хэд хэдэн шаардлагыг хангасан байх ёстой.

Зэрэг гТуршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр энэ нь хүссэн параметрт магадлалаар ойртох ёстой, өөрөөр хэлбэл.

Энэ өмчтэй тооцооллыг нийцтэй гэж нэрлэдэг.

Үүнээс гадна тооцоог ашиглан г d параметрийн оронд өөрөө хийхгүй байхыг зөвлөж байна системчилсэн алдаа, өөрөөр хэлбэл тооцооллын математик хүлээлт нь параметртэй тэнцүү байх ёстой:

Ийм шинж чанартай тооцооллыг шударга бус гэж нэрлэдэг.

Шударга бус тооцоог сонговол сайхан байх болно галь болох санамсаргүй байдлаар, өөрөөр хэлбэл бусадтай харьцуулахад хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байсан:

Ийм шинж чанартай тооцоог үр дүнтэй гэж нэрлэдэг.

IN бодит нөхцөлДээрх бүх шаардлагыг хангах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Гэсэн хэдий ч аливаа параметрийн тооцоог сонгохдоо энэ тооцоог жагсаасан бүх талаас нь авч үзэх нь зүйтэй.

Дундаж үзүүлэлт рүү буцъя. Тэдгээрийг тооцоолохдоо их хэмжээгээрАжиглалтаар санамсаргүй байдал арилдаг (энэ нь олон тооны хуулиас үүдэлтэй), тиймээс судалж буй үзэгдлийн чухал бус шинж чанаруудаас хийсвэрлэх боломжтой. тоон утгуудтодорхой туршилт бүрт гарын үсэг зурах.

Дундаж хэмжигдэхүүний онолыг батлах, хөгжүүлэхэд А.Кветлет томоохон хувь нэмэр оруулсан. Түүний сургаалын дагуу массын үйл явц нь хоёр бүлгийн шалтгааны нөлөөн дор үүсдэг. Массын агрегатын бүх нэгжид нийтлэг байдаг эхний бүлгийн шалтгаан нь төлөв байдлыг тодорхойлдог шалтгаануудыг агуулдаг масс үйл явц. Эдгээр нь өгөгдсөн нэгэн төрлийн популяцийн нэгжийн ердийн түвшинг бүрдүүлдэг.

Хоёр дахь бүлгийн шалтгаанууд үүсдэг өвөрмөц онцлогмассын хүн амын бие даасан нэгж, тиймээс тэдний тархалт ердийн түвшнээс.

Эдгээр шалтгаанууд нь судалж буй үзэгдлийн шинж чанартай холбоогүй тул тэдгээрийг санамсаргүй шалтгаан гэж нэрлэдэг.

Нийт хүн амын дундаж утгыг нийт, бүлэг тус бүрээр тооцсон дундаж утгыг бүлгийн дундаж гэж нэрлэдэг. Дундаж хоёр төрөл байдаг: чадлын дундаж (арифметик дундаж гэх мэт), бүтцийн дундаж (горим, медиан).

Ингээд авч үзье эрчим хүчний дундаж үзүүлэлтүүд.Эрчим хүчний дундаж утгыг томъёонд үндэслэн тодорхойлно

Хаана X- дундаж утга;

X ( - өнөөгийн үнэ цэнэсудалж буй шинж чанар;

Т- дундаж зэргийн үзүүлэлт;

n - функцүүдийн тоо (сонголт).

Шалгуур үзүүлэлтээс хамаарна Тдундаж зэрэг нь бид дараах төрлийн эрчим хүчний дундажийг олж авдаг.

• - гармоник дундаж x gar,Хэрэв Т = -1;
• - геометрийн дундаж геом,Хэрэв Т = 0;
• - Арифметик дундаж x ar,Хэрэв Т = 1;
• - дундаж дөрвөлжин x дөрвөлжин,Хэрэв t = 2;
• - куб дундаж х куб,Хэрэв t = 3,
• - IT. г.

Ижил өгөгдлийг ашиглах үед илүү их Т(6.4) томъёонд, ​​тэгэхээр илүү үнэ цэнэдундаж, өөрөөр хэлбэл.

Бид зарим төрлийн чадлын дундаж утгыг тооцоолох тусгай томъёог танилцуулж байна.

At Т= -1 бид гармоник дундажийг авна:

Хэрэв эх сурвалжийг бүлэглэсэн бол жигнэсэн дундажийг ашиглана. Давтамж p (бидний сонирхсон үйл явдал тохиолдсон туршилтын тоо) эсвэл харьцангуй давтамжийг жин болгон ашиглаж болно.

Жинсэн гармоник дундажийн томъёог бичье.

At Т= 0 бид геометрийн дундаж утгыг авна:

өөрөөр хэлбэл тэд тодорхойгүй байдлыг хүлээн авсан.

Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд (6.4) томъёоны хоёр талын логарифмуудыг авч үзье.

дараа нь бид орлуулах болно Т= 0 ба бид авна

өөрөөр хэлбэл, бидэнд хэлбэрийн тодорхой бус байдал байна. Энэ тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд бид L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэглэнэ. Хүлээн авсан үр дүн нь хүчирхэгжиж, бид эцэст нь хүрдэг

Динамикийн цуваа болон тархалтын цуваа дахь өөрчлөлтийн дундаж хурдыг олоход геометрийн дундажийг өргөн ашигладаг.

Жинлэсэн геометрийн дундажийн томъёог бичье.

өгье тодорхой жишээ(6.11) томъёог ашиглан жигнэсэн геометрийн дундажийг олох.

Жишээ 6.1

Анхны ажиглалтын өгөгдлийг хүснэгтэд үзүүлэв. 6.1.

Хүснэгт 6.1

Хүснэгтэнд 6.1 X.- зарим X санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн үр дүн gm-ийн туршлага; Р. - үйл явдлын давтамж - бүх туршилтын үр дүнд бидний сонирхсон үйл явдал хэдэн удаа гарч ирснийг харуулдаг. Жишээлбэл, X= 2 24 туршилтанд 5 удаа гарч ирсэн.

Үйл явдлын харьцангуй давтамж (давтамж).

(6.11) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

(6.12) томъёоны дагуу бид байна

At t = 1-ээс бид арифметик дундажийг олж авна:

Арифметик дундаж нь бүх төрлийн чадлын хэрэгслийн дунд хамгийн их тархсан төрөл юм. Энэ нь нийт хүн амын хувьд ялгаатай шинж чанарын эзэлхүүн нь бие даасан нэгжийн шинж чанарын утгын нийлбэр байх тохиолдолд хэрэглэгддэг.

Жигнэсэн арифметик дундажийг олох томьёо энд байна.

Олон тооны ажиглалтаар, олон тооны хуулийн дагуу томьёо (6.15) нь математикийн хүлээлтийн тооцоог тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл.

At t = 2Бид дундаж квадратыг авна:

Энэ нь квадрат нэгжээр илэрхийлэгдсэн функцын дундаж хэмжээг тооцоолоход хэрэглэгддэг.

Жигнэсэн дундаж квадратыг олох томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

ga = 3 байвал бид куб дундажийг авна.

Үүнийг куб нэгжээр илэрхийлсэн шинж чанарын дундаж хэмжээг олоход ашигладаг.

Жигнэсэн куб дундажийг тооцоолох томъёо нь:

Одоо авч үзье Бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүд:горим ба медиан. Статистикийн хувьд магадлалын онолоос ялгаатай нь бид эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тооцооллыг авч үздэг. Бид тэдгээрийг 2-р бүлэгт бичсэнтэй ижил үсгээр тэмдэглэнэ, гэхдээ налуу зураасаар тэмдэглэнэ.

Статистикийн горим (Mo) нь статистикийн тархалтын цувралд ихэвчлэн тохиолддог санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга юм. хамгийн өндөр давтамжэсвэл харьцангуй давтамж (давтамж).

Жишээлбэл, хүснэгтэд. 6.1 хамгийн өндөр харьцангуй давтамж нь / = 0.33 тул горим нь Mo = 5-тай тэнцүү байна.

Хэрэв бид ижил интервалтай бүлэглэсэн тархалтын цуваатай бол горимыг томъёог ашиглан олж болно

хаана М o доод- модаль интервалын доод хязгаар;

g Mo - модаль интервалын урт;

Pmo - модаль интервалын давтамж;

M-mo_, - модаль нэгээс өмнөх интервалын давтамж;

M-mo +1 -- модалын дараах интервалын давтамж.

Харьцангуй давтамжийг тооцоололд ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Статистикийн медиан нь тархалтын эрэмбэлэгдсэн цувралын дунд байдаг сонголт, өөрөөр хэлбэл медианы утгыг түүний дарааллын дугаараар байрлуулдаг.

Хэрэв түгээлтийн цуврал байгаа бол сондгой тооэлементүүдийн дундаж тоог томъёоны дагуу олно

Жишээлбэл, хүснэгтэд. Хүснэгт 6.2-т дээд математикийн тэнхимийн багш нарын цалинг харуулав.

Хүснэгт 6.2

Цувралын элементийн тоо 5 тул (6.23) томъёог ашиглан бид медианы тоог олдог тул зэсийг олно.

ана ин энэ тохиолдолдтэнцүү

Хэрэв мөрөнд тэгш тооны элемент байгаа бол мөрийн дунд байрлах хоёр сонголтын дундажаар сонголтыг олно.

Бүлэглэсэн тархалтын цувралд медиан (энэ нь нийт хүн амыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг тул) интервалуудын аль нэгэнд байрлана.

Хуримтлагдсан (хуримтлагдсан) давтамж (эсвэл харьцангуй давтамж) нь цувралын бүх давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү буюу хагасаас их байна. харьцангуй давтамжуудэнэ нь 1/2-тэй тэнцүү эсвэл 1/2-ээс их).

Энэ тохиолдолд дундаж утгыг томъёогоор тооцоолно

дундаж интервалын доод хязгаар хаана байна;

Дундаж интервалын урт;

Давтамжийн хагас нийлбэр;

Дундаж интервал эхлэхээс өмнө хуримтлагдсан давтамжийн нийлбэр;

Дундаж интервалын давтамж.

Статистикийн мэдээллийг боловсруулах, нэгтгэх явцад дундаж утгыг тодорхойлох хэрэгцээ гарч ирдэг. Дүрмээр бол, ижил шинж чанарын хувь хүний ​​утгууд нь хүн амын өөр өөр нэгжид ижил байдаггүй.

дундаж утга – судалж буй популяцид судалж буй шинж чанарын ерөнхий шинж чанар. Энэ нь тухайн газар, цаг хугацааны тодорхой нөхцөлд хүн амд ногдох ердийн түвшинг тусгадаг.

Жишээлбэл, аж ахуйн нэгжийн ажилчдын орлогыг судлахдаа ерөнхий шинж чанар нь нэг ажилтны дундаж орлого юм. Үүнийг тодорхойлохын тулд цалин, нийгмийн болон хөдөлмөрийн тэтгэмж хэлбэрээр хэрэглээнд хуваарилсан хөрөнгийн нийт хэмжээ, санхүүгийн тусламж, хувьцааны ногдол ашиг, тухайн аж ахуйн нэгжийн эд хөрөнгийн хадгаламжийн хүүг хянан үзэж буй хугацаанд (жил, улирал, сар) аж ахуйн нэгжийн ажилчдын тоонд хуваана. Дундаж орлого нь тухайн аж ахуйн нэгжийн ажилчдын нийт хүн амд нийтлэг байдаг зүйлийг тодорхойлдог, жишээлбэл. Тухайн аж ахуйн нэгжийн үйл ажиллагааны тодорхой нөхцөл дэх ажилчдын массын орлогын түвшин.

Нийт хүн амд тооцсон дундажийг нэрлэнэ ерөнхий дундаж.

Бүлэг тус бүрээр тооцсон дундаж утгыг нэрлэнэ бүлгийн дундаж.

Дундаж тооцоолсон хүн амын олон нэгж байх тусам тогтвортой байна, i.e. илүү нарийн. Дундаж утгыг тооцоолохдоо хоёр үйлдлийг багтаана.

I - бүх нэгжийн өгөгдлийн нийлбэр (өгөгдлийн ерөнхий байдал);

II - нэгтгэсэн өгөгдлийг хүн амын тоонд хуваах.

– шинж чанарын дундаж үнэ цэнэ ; n- хүн амын тоо;

Xби – хүн амын нэгж бүрийн шинж чанарын хувь хүний ​​үнэ цэнэ.

Дундаж үнийн мөн чанар нь зах зээлийн эдийн засагт түүний онцгой ач холбогдлыг тодорхойлдог. Хувь хүний ​​​​болон санамсаргүй байдлаар дундаж утга нь ерөнхий ба шаардлагатай зүйлийг тодорхойлох, эдийн засгийн хөгжлийн хэв маягийн чиг хандлагыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Эрчим хүчний дундаж үзүүлэлтүүд:

ü Арифметик дундаж;

ü геометрийн дундаж;

ü гармоник дундаж;

ü дундаж квадрат;

ü дундаж он дараалал.

Бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүд: горим ба медиан.

Нэг буюу өөр төрлийн дундажийг сонгох нь судалгааны зорилгоос хамааран хийгддэг. эдийн засгийн мөн чанардундаж үзүүлэлт болон байгаа эх сурвалжийн шинж чанар. Дунджийг зөв хэрэглэсэн тохиолдолд л эдийн засгийн бодит утгыг олж авна.

Арифметик дундаж -дундажийн хамгийн түгээмэл төрөл.

Арифметик утгаараа бид үүнийг хэлж байна Тухайн шинж чанарын бүх утгын нийт нийлбэрийг хүн амын бүх нэгжид жигд хуваарилсан тохиолдолд хүн амын нэгж бүрт байх шинж чанарын үнэ цэнэ.

Дундаж үзүүлэлтийн эзэлхүүнийг судалж буй статистикийн популяцийн бие даасан нэгжийн утгын нийлбэрээр тооцдог. Эх өгөгдлийн шинж чанараас хамааран арифметик дундажийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Энгийн арифметик дундаж утгуудын нийлбэрийг тэдгээрийн тоонд хуваах замаар тооцоолно.

Жишээ: Нэг цехийн 3 ажилчдын 1-р сарын цалин: 6500, 4955, 5323 рубль байв. Сарын дундаж цалин:
үрэх.

Жишээ:Худалдааны аж ахуйн нэгжийн арван ажилтны дундаж ажилласан хугацааг тооцоол. Нэг шинж чанарын утга (жил): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4.3 жил.

Бидний харж байгаагаар арифметик дундаж нь болж магадгүй юм бутархай тоо, атрибутын бие даасан утгуудыг зөвхөн бүхэл тоогоор зааж өгсөн ч гэсэн. Энэ нь хийсвэр (онолын) хэмжигдэхүүн болох арифметик дундажийн мөн чанараас үүдэлтэй, i.e. Энэ нь шинж чанарын бие даасан утгуудын багцад байдаггүй тоон утгыг авч болно.

Арифметик дундаж жигнэсэн

Нэг шинж чанарын утга хэд хэдэн удаа тохиолдох үед тархалтын цуваа дээрх шинж чанарын дундаж утгыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Өгөгдлийг шинж чанарын утгаараа (өөрөөр хэлбэл бүлэглэх) нэгтгэж, тэдгээрийн давтагдах тохиолдлын тоог тоолсноор бид дараах вариацын цувралыг олж авна.

Үүний үр дүнд жигнэсэн дундажийг тооцоолохын тулд дараах дараалсан үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ: сонголт бүрийг давтамжаар нь үржүүлэх, үр дүнгийн үр дүнг нэгтгэх, үр дүнгийн нийлбэрийг давтамжийн нийлбэрт хуваах.

Жигнэсэн арифметик дундажийг харгалзан үздэг өөр утгатайнийт доторх хувь хүний ​​сонголтууд. Тиймээс сонголтууд нь өөр өөр тоотой бүх тохиолдолд ашиглах ёстой. Эдгээр тохиолдолд энгийн дундаж утгыг ашиглах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй, учир нь энэ нь статистик үзүүлэлтүүдийг гажуудуулахад хүргэдэг.

Арифметик дундаж нь тэгш хуваарилагдах шиг байна тусдаа объектууд нийт үнэ цэнэтус бүрийн хувьд өөр өөр байдаг шинж чанар.

Заримдаа дундаж утгын тооцоог интервалын тархалтын цуврал хэлбэрээр бүлэглэсэн өгөгдлийг ашиглан хийх шаардлагатай бөгөөд дундаж утгыг тооцоолох шинж чанарын хувилбаруудыг интервал хэлбэрээр (-ээс - хүртэл) үзүүлэв. Дундаж утгыг тооцоолохын тулд сонголт тус бүрийн дундаж утгыг x тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд дараа нь ердийн x y дарааллаар жинлэнэ.

Хаалттай интервалд дунд утгыг доод ба дээд хилийн утгуудын нийлбэрийн хагасаар тодорхойлно.

Дундаж утгыг тооцоолох асуудал интервалын цувралэхний болон эцсийн интервалуудын туйлын хил хязгаар тодорхойгүй байгаа нь төвөгтэй. Энэ тохиолдолд энэ интервалын хил хоорондын зай нь зэргэлдээх интервалтай ижил байна гэж үздэг.

Хэдийгээр бид интервалын цувралаас дундажийг тооцоолохдоо арифметик жигнэсэн дундаж томъёог ашигладаг боловч тооцоолсон дундаж нь яг тодорхой утга биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь бүлгүүдийн дундаж утгыг тэдгээрийн тоогоор үржүүлсний үр дүнд бид авахгүй бодит үнэ цэнэ. Зөрчлийн зэрэг нь хэд хэдэн шалтгаанаас хамаарна: 1 - тооны сонголт. Хэрхэн илүү их тоосонголт бол интервалын дунд хэсэг нь бүлгийн дунджаас бага зэрэг ялгаатай байх магадлалтай. Хэрэв бүлэг бүр цөөн тооны нэгжтэй бол бүлгийн дундаж нь зөвхөн дунд төдийгүй интервалын дээд эсвэл доод хязгаарт ойр байж болно.

Жишээ нь,Зар сурталчилгааны агентлагийн 12 ажилтны дундаж ажилласан хугацааг тооцох шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ шинж чанарын (туршлага) хувь хүний ​​​​үнэ цэнэ нь жилийн туршид мэдэгдэж байна: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Шинж чанаруудын утгын талаархи өгөгдлийг нэгтгэж, тэдгээрийн давталтын тоог тоолсны дараа бид жигнэсэн арифметик дундаж томъёог ашиглан бүлэглэсэн өгөгдөл дээр үндэслэн үйлчилгээний дундаж хугацааг тооцоолно.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 жилийн.

Материалыг статистик боловсруулах практикт асуудал үүсдэг янз бүрийн даалгавар, юмс үзэгдлийг судлах онцлог шинж чанартай бөгөөд тэдгээрийн шийдэлд янз бүрийн дундаж утгыг ашиглахыг шаарддаг. Статистикийн дундаж нь үргэлж илэрхийлэгддэг гэдгийг харгалзан үзэхэд чанарын шинж чанаруудсуралцсан нийгмийн үйл явцболон үзэгдлийн хувьд үзэгдлийн хамаарал, тэдгээрийн шинж чанарт тулгуурлан дундаж хэлбэрийг зөв сонгох нь чухал юм.

Арифметик дундажийн шинж чанарууд:

Арифметик дундаж нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг бөгөөд тэдгээрийн мэдлэг нь дундаж үзүүлэлтүүдийн мөн чанарыг ойлгох, түүнчлэн тооцооллыг хялбарчлахад шаардлагатай байдаг.

1. Дунд зэрэг арифметик нийлбэрянз бүрийн хэмжигдэхүүн нь дундаж үзүүлэлтүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна арифметик хэмжигдэхүүнүүд:

Хэрэв x i = y i + z i бол

Энэ дүрэм нь ямар тохиолдолд дундаж утгыг нэгтгэж болохыг харуулдаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүн нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ yТэгээд zтус бүрийг үйлдвэрлэхэд дунджаар зардал гардаг цагт= 3 цаг z = 5 h, дараа нь нэг бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд зарцуулсан дундаж хугацаа ( X), тэнцүү байх болно: 3+5 = 8 цаг, i.e. X= y + z..

2. Дунджаас ялгаатай шинж чанарын бие даасан утгуудын хазайлтын алгебрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна, учир нь нэг чиглэл дэх хазайлтын нийлбэр нь нөгөө чиглэлийн хазайлтын нийлбэрээр хүчингүй болно, өөрөөр хэлбэл.

Учир нь

Энэ дүрэм нь дундаж нь үр дүн гэдгийг харуулж байна.

3. Цувралын бүх сонголтууд ижил тоогоор багассан эсвэл нэмэгдсэн бол А,тэгвэл дундаж нь ижил тоогоор буурах эсвэл нэмэгдэх болно Х:

4. Цувралын бүх сонголтууд багассан эсвэл нэмэгдсэн бол Аудаа, дараа нь дундаж мөн зохих ёсоор буурч эсвэл өсөх болно Анэг удаа:

5. Цувралын бүх давтамжийг ижил тоогоор хувааж эсвэл үржүүлбэл г,тэгвэл дундаж нь өөрчлөгдөхгүй:

Энэ шинж чанар нь дундаж нь жингийн хэмжээнээс хамаардаггүй, харин тэдгээрийн хоорондын харьцаанаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Тиймээс зөвхөн үнэмлэхүй төдийгүй харьцангуй утгууд нь масштабын үүрэг гүйцэтгэдэг.

Дундаж он дараалал

Заримдаа нийгэм, эдийн засгийн үзүүлэлтүүдэд дүн шинжилгээ хийхдээ динамикийн ижил моментийн цувралын өгөгдөл байгаа бол дундаж утгыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Тухайлбал, барааны сарын дундаж тооллого; сарын эхэнд худалдагчдын тоо мэдэгдэж байгаа бол улирлын хагас жилийн худалдагчдын дундаж тоо; эсвэл тухайн нутаг дэвсгэрийн жилийн дундаж хүн амыг тодорхойлж, дараа нь он цагийн дундажийг ашиглана.

X=(x 1 + x 2 +x 3 +…+x n -1 + x n) : (n-1)

X - хүн амын нэгж бүрийн шинж чанарын бие даасан утга;

n нь хүн ам дахь нэгжийн тоо юм.

Гармоник дундаж

Гармоник дундаж нь арифметик дундажийн эсрэг утга юм. Хэзээ статистик мэдээлэлхүн амын бие даасан хувилбаруудын давтамжийг агуулаагүй боловч тэдгээрийн жигнэсэн гармоник дундаж томъёог ашигласан болно.

Энэ хэлбэрийн дундажийг нэрлэдэг жинлэсэн гармоник дундажТэгээдгэж тэмдэглэсэн x garм. vzvz . Тиймээс гармоник дундаж нь арифметик дундажтай ижил байна. Жинхэнэ жин нь тодорхойгүй боловч бүтээгдэхүүн нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд үүнийг ашигладаг f x = z

Ажиллаж байгаа тохиолдолд f xижил буюу нэгтэй тэнцүү (m=1), хамаарна дундаж гармоник энгийн, томъёогоор тооцоолно

Хаана X- тусдаа сонголтууд; П- тэдний тоо.

Геометрийн дундаж

Үнэмлэхүй ялгаа биш харин хоёр тооны харьцаанд анхаарлаа хандуулах үед энэ дундажийг ашиглахад тохиромжтой. Тиймээс жилийн дундаж өсөлтийн хурдыг тооцоолохдоо геометрийн дундажийг ашигладаг

эсвэл

Энэ бол геометрийн дундаж томъёо бөгөөд үүнийг дараах байдлаар томъёолж болно.

Геометрийн дундаж нь чадлын язгууртай тэнцүү байна Пдараагийн үе бүрийн үнэ цэнийг өмнөх үеийнхтэй харьцуулсан харьцааг тодорхойлдог өсөлтийн коэффициентүүдийн бүтээгдэхүүнээс.

Геометрийн дундаж утга нь агуулгын хувьд хамгийн зөв хариултыг өгдөг бөгөөд хэрэв даалгавар бол хамгийн их ба аль алинаас нь чанарын хувьд ижил зайд байх шинж чанарын утгыг олох юм бол дундажлах үр дүн юм. хамгийн бага утгатэмдэг.

Жишээ нь: Инфляцийн үр дүнд эхний жилд бүтээгдэхүүний үнэ өмнөх оныхоос хоёр дахин өссөн; хоёр дахь жилдээ - өмнөх оныхоос гурав дахин их. Хоёр жилийн дотор үнэ 6 дахин өссөн нь тодорхой. Жилийн үнийн өсөлтийн дундаж хурдыг тооцоолно уу?

Дундаж өсөлтийн хурдыг тооцоолохдоо арифметик дундаж нь тохиромжгүй байдаг. Геометрийн дундаж нь зөв хариултыг өгдөг.

X = x 1 * x 2 = 2 * 3 = 6 = 2.45 удаа.

Дундаж дөрвөлжин

Холбогдох мэдээлэл.

Бүтцийн харьцангуй хэмжээ нь эд анги болон бүхэл бүтэн хэсгүүдийн хэмжээ хоорондын харьцаа юм. Эдгээр нь дүүргэгчийн бүтэц, бүтцийг тодорхойлдог. Илтгэлийн хэлбэр - тодорхой татах хүчэсвэл сонирхол. Бүтцийн харьцангуй утгын нийлбэр нь 1 эсвэл 100% -тай тэнцүү байна. Хоёр популяцийн харгалзах эзлэх хувийн жингийн зөрүүг хувийн нэгж гэж нэрлэдэг.

Статистикийн үнэмлэхүй утгууд нь өгөгдлийг нэгтгэх, бүлэглэх шууд үр дүн болох нэгж ба нийлбэрийн тоо юм.

Үнэмлэхүй хэмжигдэхүүнийг тоонууд гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь өөрийн хэмжих нэгжтэй байдаг (жишээлбэл, ширхэг, тонн, гривен). Оруулсан үнэмлэхүй үзүүлэлтүүдХүн амын тоо (аж ахуйн нэгжийн тоо) ба шинж чанар (бүтээгдэхүүн, ашиг) -ын үзүүлэлтүүдийг ялгаж үздэг. Онцлог хэмжигч гурван бүлэг байдаг - байгалийн, хөдөлмөр, зардал.

Байгалийн тоолуур төрөлхийн үзэгдлийг тусгана физик шинж чанар(жин, урт, цаг хугацааны хэмжүүр). Заримдаа хэмжигдэхүүний үржвэр болох хосолсон хэмжих нэгжийг ашигладаг өөр өөр хэмжээтэй(цахилгаан эрчим хүчний үйлдвэрлэл кВт.ц).

Бие даасан нэгжийн шинж чанарын утгыг шууд нэгтгэх замаар үнэмлэхүй утгыг олж авах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Энэ тохиолдолд үнэмлэхүй утгад багтсан бие даасан нэр томъёо нь харьцангуй илэрхийлэлд хүргэдэг. Үүний тулд тэд ихэвчлэн ашигладаг нөхцөлт байгалийн тоолуур. Тиймээс, жишээлбэл, зарцуулсан түлшний хэмжээг тооцоолохдоо түүний янз бүрийн төрлийг илчлэгийн үнэ цэнээр нь стандарт түлшний нэгжээр илэрхийлдэг бөгөөд илчлэг нь 7000 кал / кг байна.

Хөдөлмөрийн тоолуур (хүн-цаг, хүн-ээлж) нь үйлдвэрлэлийн болон гүйцэтгэлийн хөдөлмөрийн зардлыг хэмжихэд ашиглагддаг бие даасан бүтээлүүд, хөдөлмөрийн бүтээмжийг тодорхойлох, түүнчлэн хөдөлмөрийн нөөцийг хэмжих.

Зардлын тоолуур янз бүрийн үзэгдлийг нэгтгэн дүгнэх, харьцуулах боломжтой болгоно. Эдгээрийг эргэлт, ашиг, хөрөнгийн хөрөнгө оруулалт зэрэг чухал үзүүлэлтүүдийг тодорхойлоход ашигладаг.

Ихэнхдээ индикаторын үнэмлэхүй утгыг тооцоолно тодорхой дүрэмбусад үзүүлэлтүүд дээр үндэслэнэ. Жишээлбэл, нийт ашгийг нийт орлого ба нийт зардлын зөрүүгээр тооцдог.

Олон үнэмлэхүй утгыг балансын хэлбэрээр танилцуулсан бөгөөд энэ нь үзүүлэлтийг бүрдүүлэх эх үүсвэр (балансын хүлээн авах хэсэг) ба ашиглалтын чиглэлээр (зарлагын хэсэг) гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Мөн үнэмлэхүй үзүүлэлтүүдийг балансын динамик хэлбэрээр харуулах боломжтой. Жишээлбэл, нэг аж ахуйн нэгжийн тоног төхөөрөмжийн тоо жил гаруйн хугацаанд өссөнийг жилийн эцэс ба эхэн үеийн тоног төхөөрөмжийн тооны зөрүү, эсвэл нэгжийн тооны зөрүүгээр илэрхийлж болно. шинээр нэвтрүүлсэн болон ашиглалтад орсон тоног төхөөрөмж.

Бүлэг 4.3. Харьцангуй үнэ цэнэ.

Харьцангуй үнэ цэнэ нь нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлүүдийн тоон харьцааг тусгадаг. Алгебрийн хэлбэртэдгээр нь ижил буюу өөр нэртэй хоёр хэмжигдэхүүнийг хуваах коэффициент юм. Харьцааны хуваагчийг харьцуулах суурь буюу харьцангуй хэмжээний суурь гэж үздэг.

Харьцуулах үндэс нь 100, 1000, 10,000, 100,000 нэгж байж болно. Дараа нь харьцангуй утгыг хувиар (%), ppm (%o), prodecimille (%oo), prosantimill (%ooo) хэлбэрээр тус тус илэрхийлнэ.

Төрөл бүрийн агуулга, шинж чанарын харьцангуй утгыг ашигладаг.

хоорондын харилцаа өөр өөр нэрс үнэмлэхүй утгуудөгдөг харьцангуй хэмжэээрчим . Энэ нь тоологч ба хуваагчийн нэгжийг нэгтгэсэн нэртэй хэмжигдэхүүн юм. Тухайлбал, нэг хүнд ногдох үйлдвэрлэл. Харьцангуй эрчмийн утгууд нь тодорхой орчин дахь үзэгдлийн тархалт, хөгжлийн түвшинг тодорхойлдог. Эдгээрт мөн хүн ам зүйн коэффициент (төрөлт, нас баралт, шилжилт хөдөлгөөний эрч хүч) багтдаг бөгөөд үүнийг тодорхой хугацааны туршид тохиолдсон үйл явдлын тоо (нас барах, төрөлт) -ийн харьцаагаар тооцдог. дундаж тооижил хугацаанд хүн ам.

Харьцуулалт нэршил хэмжигдэхүүнүүд нь дараахь төрлийн харьцангуй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжийг олгодог: бүтэц, зохицуулалт, динамик, төлөвлөгөөний даалгавар, төлөвлөгөөний хэрэгжилт, объектын шинж чанарыг харьцуулах.

Харьцангуй зохицуулалтын утгууд - эдгээр нь бүхэл бүтэн хэсэг эсвэл харилцааны бие даасан хэсгүүдийн хоорондын харилцаа юм бие даасан хэсгүүдхарьцуулалтын үндэс болгон тэдгээрийн аль нэгэнд нь нэгтгэнэ. Жишээлбэл, хөдөөгийн 100 хүн амд ногдох хотын оршин суугчдын тоо; 100 эрэгтэйд ногдох эмэгтэйчүүдийн тоо. Эдгээр утгыг хувь, ppm эсвэл олон тооны харьцаагаар илэрхийлдэг (жишээлбэл, 100 эрэгтэй тутамд 114 эмэгтэй байдаг).

Хөгжлийн эрчмийг үнэлэхийн тулд ашиглах динамикийн харьцангуй хэмжээ, Энэ нь хоёр хугацааны турш судалж буй үзэгдлийн түвшний харьцаагаар тооцогдоно.

Харьцангуй харьцуулсан утгууд тодорхойлох ижил нэртэй үзүүлэлтүүдийн харьцаагаар тооцогдоно өөр өөр объектуудэсвэл нутаг дэвсгэр болон ижил цаг хугацааны баталгаатай байх.

Зарим үйл явцыг төлөвлөж, тэдгээрийг тусгасан үзүүлэлтүүдийн төлөвлөгөөний зорилтуудыг тавьдаг. Төлөвлөсөн болон бодит үнэ цэнэүзүүлэлтүүдийг харьцангуй утгуудаар тооцдог. төлөвлөгөөний даалгавар, төлөвлөгөөний хэрэгжилт.

Хэрэв бид тухайн үеийн бодит түвшинг тэмдэглэвэл y1, үндсэн y0болон төлөвлөсөн түвшин ypl, дараа нь харьцангуй утга:

Kd= y1 / y0,

2) төлөвлөсөн ажил

Kpz =ypl / y0,

3) төлөвлөгөөний хэрэгжилт

Kvp =y1 / ypl .

Бүлэг 4.4. Дундаж хэмжээтэй төрөл ба хэлбэрүүд.

Дундаж хэмжээдуудсан статистик үзүүлэлт, энэ нь тухайн газар нутаг, цаг хугацааны тодорхой нөхцөлд популяцийн нэгэн төрлийн нэгжийн янз бүрийн шинж чанарын ерөнхий шинж чанарыг өгдөг. Дундаж утга нь нийт хүн амыг тодорхойлж, өгөгдсөн нэг шинж чанарт хамааруулан тодорхойлдог.

дундаж утгаСудалгаанд хамрагдаж буй хүн амын бүх нэгжид нийтлэг зүйлийг тусгасан болно.

Тиймээс, жишээлбэл, дундаж цалинхэлэлцэж буй ажилчдын хүн амын цалингийн төлөв байдлын ерөнхий тоон тодорхойлолтыг өгдөг.

Дундаж байдлын мөн чанарЭнэ нь шинж чанарын утгын санамсаргүй хазайлтыг арилгаж, үндсэн хүчин зүйлээс үүдэлтэй өөрчлөлтийг харгалзан үздэгт оршино.

Дундаж утгын аргаар статистик боловсруулалт хийх нь хувьсах шинж чанарын бие даасан утгыг тодорхой тэнцвэртэй дундаж утга X-ээр солихоос бүрдэнэ.

Тухайлбал, нэг арилжааны банкны 5 теллерийн өдрийн үйл ажиллагаа 136, 140, 154, 162 үйл ажиллагаа явуулж байна. Нэг операторын өдөрт хийсэн гүйлгээний дундаж тоог авахын тулд та эдгээр бие даасан үзүүлэлтүүдийг нэгтгэж, гарсан дүнг операторын тоонд хуваах хэрэгтэй.

Дээрх жишээнээс харахад нэг ч оператор 150 үйлдэл хийгээгүй тул дундаж үйлдлүүдийн тоо нь бие даасан үйлдлүүдтэй давхцдаггүй. Гэхдээ оператор бүр 150 үйлдэл хийсэн гэж төсөөлвөл нийт дүнөөрчлөгдөхгүй, гэхдээ бас 750-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс бид дундаж утгуудын үндсэн шинж чанарт хүрлээ: шинж чанарын бие даасан утгуудын нийлбэр нь дундаж утгуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Энэ шинж чанар нь дундаж утга нь нийт статистикийн популяцийн ерөнхий шинж чанар гэдгийг дахин онцолж байна.

Дундаж утгыг хоёр том ангилалд хуваадаг.

Дундаж чадал:

Арифметик

Гармоник

Геометр

Квадрат

Бүтцийн дундаж үзүүлэлтүүд:

Загвар

Медиан

Дундажийн хамгийн түгээмэл төрөл бол арифметик дундаж юм.

Энгийн арифметик дундаж

Арифметик дундаж жигнэсэн

Интервалын цувааны арифметик дундаж.

Энгийн арифметик дундажөгөгдлийн багц дахь өгөгдсөн шинж чанарын нийт эзлэхүүн нь өгөгдсөн нэгд багтсан бүх нэгжийн хооронд тэнцүү хуваарилагдсаныг тодорхойлох дундаж утгыг илэрхийлнэ.

Тиймээс, нэг ажилчинд ногдох жилийн дундаж гарц нь нийт үйлдвэрлэлийн хэмжээ нь тухайн ажилтанд ногдох үйлдвэрлэлийн хэмжээ юм. ижил түвшиндбайгууллагын нийт ажилчдын дунд хуваарилагдсан. Арифметик дундаж энгийн утгыг томъёогоор тооцоолно.