3. Шаргал үстүүд тэгшитгэлийг ингэж шийддэг!

Хэдэн жилийн өмнө миний хийсэн энэ бичээс бол хамгийн богино нотолгоо байх... 2 = 3. Дээр нь толь тавь (эсвэл гэрлээр нь хар) тэгвэл “хоёр” хэрхэн эргэхийг харах болно. "гурав" руу "

Өөр нэг ер бусын томъёо:

арван нэг + хоёр = арван хоёр + нэг.

Англи хэл дээр 11 + 2 = 12 + 1 тэгш байдал нь үгээр бичсэн ч гэсэн үнэн юм - зүүн ба баруун талд байгаа үсгүүдийн "нийлбэр" ижил байна! Энэ нь гэсэн үг баруун талЭнэ тэгш байдал нь зүүн талын анаграмм бөгөөд өөрөөр хэлбэл үсгүүдийг дахин цэгцлэх замаар үүнийг олж авдаг.

Үүнтэй төстэй, сонирхол багатай ч гэсэн үгийн тэгш байдлыг орос хэл дээр авах боломжтой.

арван тав + зургаа = арван зургаа + тав.

1960-1970 онд "Москвагийн тусгай архи" гэж нэрлэгддэг үндэсний гол ундаа нь хагас литр нь 2.87, дөрөвний нэг литр нь 1.49 үнэтэй байв. Эдгээр тоо баримтыг ЗХУ-ын бараг бүх насанд хүрсэн хүн ам мэддэг байсан байх. Зөвлөлтийн математикчид хэрэв хагас литрийн үнийг дөрөвний нэгтэй тэнцэх чадалтай болтол "Пи" тоо гарна гэдгийг анзаарчээ.

1,49 2,87 ??

(Б. С. Горобец мэдээлэв).

Номын анхны хэвлэлийг хэвлүүлсний дараа Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Химийн факультетийн дэд профессор Леензон И.А. надад энэ томьёоны талаар дараах сонирхолтой тайлбарыг илгээсэн: “... олон жилийн өмнө, тооцоолуур байхгүй байсан үед. физикийн тэнхимд бид слайд дүрмийн (!) (хөдөлгөөнт захирагчийг зүүн, баруун тийш хэдэн удаа хөдөлгөх шаардлагатай вэ?) хэцүү шалгалт өгсөн, би аавынхаа хамгийн үнэн зөв хүснэгтүүдийн тусламжтайгаар (тэр маркшейдер байсан, Тэрээр амьдралынхаа туршид дээд геодезийн шалгалт өгөхийг мөрөөддөг байсан) дөчин есөн рупи нь хоёр наян долоон хүртэлх 3, 1408-тай тэнцдэг болохыг олж мэдэв. Энэ нь миний сэтгэлд хүрсэнгүй. Манай ЗХУ-ын Улсын төлөвлөгөөний хороо ийм бүдүүлэг үйлдэл хийж чадахгүй байсан. Кировскаягийн талаар Худалдааны яамтай зөвлөлдсөнөөр бүх үнийн тооцоолол хийгдсэн болохыг харуулсан үндэсний хэмжээнийзуутын нэг пенни хүртэл нарийвчлалтай хийсэн. Гэхдээ залга нарийн тооБи нууц гэж үзээд татгалзсан (тэр үед намайг гайхшруулж байсан - арав, зуутын нэг пеннид ямар нууц байж болох вэ). 1990-ээд оны эхээр би архиваас тухайн үед тусгай тогтоолоор нууцын зэрэглэлээс гарсан архины үнийн талаархи нарийн тоо баримтыг олж авч чадсан. Энэ нь ийм болсон: улирал: 1 рубль 49.09 копейк. Борлуулалтаар - 1.49 рубль. Хагас литр: 2 рубль 86.63 копейк. Борлуулалтаар - 2.87 рубль. Тооны машин ашиглан энэ тохиолдолд хагас литрийн дөрөвний нэг нь (5 хүртэл дугуйрсны дараа) өгдөг болохыг би амархан олж мэдсэн. чухал үзүүлэлтүүд) ердөө 3.1416! ЗХУ-ын Төрийн төлөвлөлтийн хорооны ажилчдын математикийн чадварыг гайхшруулж, тэд (би үүнд эргэлзэхгүй байна) хамгийн алдартай ундааны тооцоолсон өртгийг тусгайлан тохируулсан. мэдэгдэж байгаа үр дүн».

Сургуулиасаа алдартай ямар математикч энэ ребусанд шифрлэгдсэн бэ?

Математикч, физикч, инженерт дараахь бодлого өгөв: "Хүү, охин хоёр танхимын эсрэг талын ханан дээр зогсож байна. Хэзээ нэгэн цагт тэд бие бие рүүгээ алхаж эхэлдэг бөгөөд арван секунд тутамд тэдний хоорондох зайны хагасыг туулдаг. Асуулт бол тэд бие биедээ хүрэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?"

Математикч эргэлзэлгүйгээр хариулав:

Хэзээ ч үгүй.

Физикч бага зэрэг бодсоны эцэст:

Хязгааргүй цаг хугацаагаар.

Инженер удаан хугацааны тооцоо хийсний дараа:

Хоёр минутын дараа тэд бүх практик зорилгоор хангалттай ойрхон байх болно.

Үзэсгэлэнт хүйстний агуу амраг Ландаудтай холбосон дараах гайхалтай томъёог алдарт Ландавед профессор Горобец миний анхаарлыг татсан юм.

МУИС-ийн дэд профессор А.И.Зюлков бидэнд хэлснээр Ландау авчирсан дараах томъёоүзүүлэлт эмэгтэйлэг сэтгэл татам байдал:

Хаана К- цээжний тойрог; М- хонго дээр; Н- бэлхүүс орчим, Т- өндөр, бүгд см-ээр; П- кг жин.

Тиймээс, хэрэв бид загварын параметрүүдийг (1960-аад он) ойролцоогоор авбал: 80-80-60-170-60 (дээрх утгуудын дарааллаар) томъёоны дагуу бид 5-ыг авна. Хэрэв бид "-ийн параметрүүдийг авбал " эсрэг загвар”, жишээлбэл: 120 -120-120-170-60, дараа нь бид 2. Энэ интервалд авна. сургуулийн дүнба "Ландау томьёо" нь барагцаагаар хэлбэл ажилладаг.

(Номоос иш татсан: Горобец Б. Ландау тойрог. Суут хүний ​​амьдрал. М.: LKI/URSS хэвлэлийн газар, 2008.)

Даутай холбоотой эмэгтэйчүүдийн сэтгэл татам байдлын талаархи өөр нэг шинжлэх ухааны үндэслэл.

Эмэгтэй хүний ​​сэтгэл татам байдлыг түүнд хүрэх зайнаас хамааруулан тодорхойлъё. Аргумент хязгааргүй үед энэ функц тэг болно. Нөгөө талаас, тэг цэг дээр энэ нь мөн тэг байна ( бид ярьж байнамэдрэгчтэй биш, гаднах сэтгэл татам байдлын тухай). Лагранжийн теоремын дагуу сөрөг бус тасралтгүй функц, сегментийн төгсгөлд тэг утгыг авбал энэ сегмент дээр хамгийн их байна. Тиймээс:

1. Эмэгтэй хүнд хамгийн дур булаам байх зай гэж байдаг.

2. Энэ зай нь эмэгтэй хүн бүрийн хувьд өөр өөр байдаг.

3. Эмэгтэйчүүдээс зайгаа барих хэрэгтэй.

Теорем: Бүх морьд ижил өнгөтэй.

Баталгаа. Теоремын мэдэгдлийг индукцийн аргаар баталъя.

At n= 1, өөрөөр хэлбэл нэг мориноос бүрдсэн багцын хувьд энэ мэдэгдэл үнэн байх нь ойлгомжтой.

Теорем нь үнэн байг n = к. Энэ нь бас үнэн гэдгийг баталцгаая n = к+ 1. Үүнийг хийхийн тулд дурын олонлогийг авч үзье к+ 1 морь. Хэрэв та үүнээс нэг морийг хасвал зөвхөн үлдэх болно к. Индукцийн таамаглалаар тэд бүгд ижил өнгөтэй байна. Одоо хасагдсан морио буцаагаад өөр морь авъя. Дахин хэлэхэд индуктив таамаглалаар эдгээр кҮлдсэн морьд нь ижил өнгөтэй байна. Гэхдээ тэгээд л болоо к+ 1 морь ижил өнгөтэй байна.

Тиймээс зарчмын дагуу математикийн индукц, бүх морьд ижил өнгөтэй байна. Теорем нь батлагдсан.

Хэрэглээний өөр нэг гайхалтай дүрслэл математик аргуудамьтан судлал руу.

Теорем: Матар өргөнөөсөө урт байдаг.

Баталгаа. Дурын матрыг аваад хоёр туслах леммийг баталъя.

Лемма 1: Матар ногооноос урт байдаг.

Баталгаа. Матарыг дээрээс нь харцгаая - урт, ногоон өнгөтэй. Матарыг доороос нь харцгаая - урт, гэхдээ тийм ч ногоон биш (үнэндээ хар саарал өнгөтэй).

Тиймээс Лемма 1 нь батлагдсан.

Лемма 2: Матар өргөнөөс илүү ногоон өнгөтэй.

Баталгаа.Дахин дээрээс матрыг харцгаая. Энэ нь ногоон, өргөн юм. Матарыг хажуу талаас нь харцгаая: ногоон өнгөтэй, гэхдээ өргөн биш. Энэ нь Лемма 2-ыг баталж байна.

Теоремын мэдэгдэл нь батлагдсан леммуудаас тодорхой гарч ирдэг.

Үүний эсрэг теорем (“Матар уртаас өргөн”) ижил төстэй байдлаар нотлогдож болно.

Өнгөц харахад матар нь дөрвөлжин хэлбэртэй гэсэн хоёр теоремоос харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн томъёолол дахь тэгш бус байдал нь хатуу байдаг тул жинхэнэ математикч цорын ганц зөв дүгнэлтийг хийх болно: МАТАР БАЙДАГГҮЙ!

Теорем: Бүх натурал тоонууд хоорондоо тэнцүү байна.

Баталгаа. Дурын хоёр натурал тооны хувьд үүнийг батлах шаардлагатай АТэгээд Бтэгш байдал хангагдсан А = Б. Үүнийг дараах байдлаар дахин томъёолъё: ямар ч гэсэн Н> 0 ба дурын АТэгээд Б, тэгш байдлыг хангах max( А, Б) = Н, тэгш байдлыг бас хангасан байх ёстой А = Б.

Үүнийг индукцийн аргаар баталъя. Хэрэв Н= 1, тэгвэл АТэгээд Б, байгалийн байх нь хоёулаа тэнцүү 1. Иймд А = Б.

Одоо энэ мэдэгдлийг ямар нэгэн үнэ цэнээр нотолсон гэж үзье к. Авцгаая АТэгээд Бхамгийн их ( А, Б) = к+ 1. Дараа нь max( А–1, Б–1) = к. Индукцийн таамаглалаас үзэхэд ( А–1) = (Б–1). гэсэн үг, А = Б.

Хэл шинжлэл, математикийн оньсого сонирхогчид рефлекс, эсвэл өөрийгөө дүрслэх (муу зүйл битгий бодоорой), өөртөө хамааралтай үг хэллэг, тоонуудын талаар мэддэг байх. Сүүлийнх нь жишээлбэл, 2100010006 дугаарыг багтаасан бөгөөд эхний орон нь энэ тооны бичлэг дэх нэгүүдийн тоотой тэнцүү байна, хоёр дахь нь - хоёрын тоо, гурав дахь нь - гурвын тоо, ..., арав дахь - тэгийн тоо.

Өөрийгөө дүрсэлсэн үгсэд, жишээ нь, үг орно хорин нэгэн үсэг, хэдэн жилийн өмнө миний зохион бүтээсэн. Энэ нь үнэндээ 21 үсэгтэй!

Өөрийгөө тайлбарлах олон хэллэг байдаг. Орос хэл дээрх анхны жишээнүүдийн нэгийг олон жилийн өмнө алдартай шог зураач, хэл ярианы мэргэн Вагрич Бахчанян зохион бүтээжээ. Энэ өгүүлбэрт гучин хоёр үсэг байна. Хожим зохион бүтээгдсэн өөр хэд хэдэн зүйл энд байна: 1. Арван долоон үсэг. 2. Энэ өгүүлбэрийн төгсгөлд алдаа байна. 3. Энэ өгүүлбэр долоон үгээр богино байсан бол долоон үг байх байсан. 4. Та уншиж дуустал намайг унших тул та миний хяналтанд байна. 5. ...Энэ өгүүлбэр гурван цэгээр эхэлж төгсдөг..

Мөн илүү төвөгтэй загварууд байдаг. Жишээлбэл, энэ мангасыг биширдэг ("Квант" сэтгүүлийн 1989 оны 6-р дугаарт С. Табачниковын "Тахилч нохойтой байсан" тэмдэглэлийг үзнэ үү): Энэ хэллэгт “д” гэдэг үг хоёр удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэлбэр” хоёр удаа, “байдаг” гэдэг нь арван дөрвөн удаа, “үг” арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэдэг үг хоёр удаа, “үүнд” гэсэн үг хоёр удаа, “хэлцэг” хоёр удаа, “үг” гэдэг нь арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэсэн үг арван дөрвөн удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэллэг” хоёр удаа, арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэсэн үг арван дөрвөн удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэллэг” хоёр удаа, арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэдэг үг арван дөрвөн удаа, “энэ” гэдэг үг хоёр удаа, “хэллэг” хоёр удаа, арван дөрвөн удаа, “д” гэдэг үг арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэдэг үг хоёр удаа, “хэлцэг” хоёр удаа, “үүнд” гэдэг нь арван дөрвөн удаа, “үүнд” гэсэн үг 2 удаа, 14 удаа, 14 удаа тус тус орсон байна. раз” зургаан удаа, “раза” гэдэг нь есөн удаа, “хоёр” гэдэг нь долоон удаа, “арван дөрөв” гурван удаа, “есөн” гэдэг нь гурван удаа, хоёр удаа гардаг. , “долоо” гэдэг үг хоёр удаа, хоёр “зургаа” гэдэг үг хэд хэдэн удаа гардаг.

Квант сэтгүүлд хэвлэгдсэнээс хойш нэг жилийн дараа И.Акулич түүнд багтсан үгс төдийгүй цэг таслалыг тодорхойлсон өөрийгөө тодорхойлсон хэллэгийг гаргаж ирэв. Таны уншиж буй өгүүлбэрт: "Өгүүлбэр" гэсэн хоёр үг, "аль нь" гэсэн хоёр үг, "Та" хоёр үг, "уншсан" хоёр үг, "агуулагдсан" хоёр үг, хорин таван үг, "үг" гэсэн хоёр үг багтсан болно. , "хос цэг" хоёр үг, "таслал" хоёр үг, "би" хоёр үг, "зүүн" хоёр үг, "ба" хоёр үг, "баруун" хоёр үг, "хашилт" хоёр үг, "а" хоёр үг, хоёр "мөн" гэсэн хоёр үг, "цэг" хоёр үг, "нэг" хоёр үг, "нэг" хоёр үг, хорин хоёр үг, "хоёр", "гурван" гурван үг, "дөрөв" хоёр, "таван" гурван үг, “хорин” дөрвөн үг, “гуч” хоёр үг, хоёр хоёр цэг, гучин таслал, зүүн, баруун хорин таван хашилт, нэг цэг.

Эцэст нь хэдэн жилийн дараа нөгөө л "Квант"-д А.Ханяны бичсэн тэмдэглэл гарч, бүх үсгийг нь нямбай дүрсэлсэн өгүүлбэр орсон байна. Энэ өгүүлбэрт арван хоёр V, хоёр E, арван долоон Т, гурван О, хоёр Y, хоёр F, долоон R, арван дөрвөн А, хоёр 3, арван хоёр E, арван зургаан D, долоон H, долоон C, арван гурван В, найман С, зургаан М , тав I, хоёр H, хоёр S, гурав I, гурван Ш, хоёр П.

Өмнө дурьдсан мангасуудын нэгийг төрүүлсэн И.Акулич надад бичсэн хувийн захидалдаа “Дахин нэг хэллэг дутуу байгаа нь илт мэдрэгдэж байна, тэр нь түүний бүх үсэг, цэг таслалтын талаар өгүүлдэг. Магадгүй манай уншигчдын нэг нь энэ маш хэцүү асуудлыг шийдэх байх.

Өмнөх сэдвийн үргэлжлэлд рефлексийн парадоксуудыг дурдах нь зүйтэй.

Ж.Литтлвудын өмнө дурьдсан “Математикийн холимог” номонд “Бүх рефлексийн парадокс нь мэдээжийн хэрэг маш сайн хошигнол юм” гэж зөв хэлсэн байдаг. Тэдний хоёр нь бас байгаа бөгөөд би эдгээрээс иш татахыг зөвшөөрнө.

1. Арван зургаагаас бага үгтэй хэллэгээр илэрхийлэх боломжгүй (эерэг) бүхэл тоо байх ёстой. Аливаа эерэг бүхэл тооны багцыг агуулна хамгийн бага тоо, тиймээс тоо байдаг Н, "Арван зургаагаас цөөн үгтэй хэллэгээр тодорхойлох боломжгүй хамгийн жижиг бүхэл тоо." Гэхдээ энэ хэллэг нь 15 үг агуулсан бөгөөд тодорхойлдог Н.

2. Сэтгүүл дээр Үзэгч“Өглөөний сониноо нээхэд та юу хамгийн их таалагдах вэ?” сэдвээр уралдаан зарласан. Эхний шагнал нь дараах хариултыг авсан.

Энэ жилийн хоёр дахь тэмцээний тэргүүн шагналыг ноён Артур Робинсон хүртсэн бөгөөд түүний ухаалаг хариулт нь хамгийн шилдэг нь гэж тооцогддог. "Өглөөний сониноо нээхдээ та юу уншихад хамгийн их таалагдах вэ?" гэсэн асуултад өгсөн хариулт нь. "Бидний хоёр дахь тэмцээн" нэртэй байсан ч цаасны хязгаарлалтаас болоод бүрэн эхээр нь хэвлэх боломжгүй.

Зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш адилхан уншдаг ийм гайхалтай хэллэгүүд байдаг. Хүн бүр нэг зүйлийг баттай мэддэг: Мөн сарнай Азорын савар дээр унав. Мунхаг Пиноккиогийн диктантаар бичүүлэхийг хүслэнт Малвина гуйсан нь тэр юм. Ийм харилцан хамааралтай хэллэгүүдийг палиндром гэж нэрлэдэг бөгөөд Грек хэлнээс орчуулбал "буцаж гүйх, буцах" гэсэн утгатай. Өөр хэдэн жишээ энд байна: 1. Гүүрэн дээр хөрөөдөж буй Лилипутын муур загас. 2. Би угаалгын өрөө рүү авирч байна. 3. Тэр ариун сүм дээр хэвтэж, тэргүүн тэнгэр элч нь гайхамшигтай, үл үзэгдэх юм. 4. Гахай хаш дээр дарагдсан. 5. Муза, туршлагаас болж шархадсан тул та шалтгаанаар залбирах болно. (Д. Авалиани). 6. Би гараараа тамхины ишийг бараг барьдаггүй... (Б.Голдштейн) 7. Сүүний үнэр үнэртэх үед би эргэн тойрноо мяавдаг. (Г. Лукомников). 8. Тэр бургас, гэхдээ тэр нь дүнз юм. (S.F.)

Математикт палиндром байдаг болов уу? Энэ асуултад хариулахын тулд харилцан, тэгш хэмтэй унших санааг тоо, томъёонд шилжүүлэхийг хичээцгээе. Энэ нь тийм ч хэцүү биш нь харагдаж байна. Цөөхөн хэдтэй нь уулзацгаая ердийн жишээнүүдэнэ палиндром математикаас палиндроматик. Палиндромик тоонуудыг орхиж, жишээ нь, 1991 , 666 гэх мэт. - нэн даруй тэгш хэмтэй томьёо руу шилжье.

Эхлээд дараах асуудлыг шийдэж үзье: ийм хоёр оронтой тооны бүх хосыг олоорой

(x 1 - эхний цифр, y 1 - хоёр дахь цифр) ба

Ингэснээр нийлбэрийг баруунаас зүүн тийш уншсаны үр дүнд тэдгээрийн нэмэгдлийн үр дүн өөрчлөгдөхгүй, i.e.

Жишээлбэл, 42 + 35 = 53 + 24.

Асуудлыг өчүүхэн байдлаар шийдэж болно: бүх ийм хос тоонуудын эхний цифрүүдийн нийлбэр нь хоёр дахь цифрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Одоо та амархан барьж болно ижил төстэй жишээнүүд: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 гэх мэт.

Үүнтэй адил үндэслэлээр та бусадтай ижил асуудлыг хялбархан шийдэж чадна арифметик үйлдлүүд.

Ялгаатай тохиолдолд, i.e.

гарч ирнэ дараах жишээнүүд: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - ийм тооны цифрүүдийн нийлбэр тэнцүү ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Үржүүлэх тохиолдолд бид: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - энэ тохиолдолд тоонуудын эхний цифрүүдийн үржвэр болно. Н 1 Тэгээд Н 2 хоёр дахь цифрүүдийн үржвэртэй тэнцүү ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Эцэст нь хуваахын тулд бид дараах жишээнүүдийг авна.

Энэ тохиолдолд тооны эхний цифрийн үржвэр Н 1 тооны хоёр дахь орон руу Н 2 тэдгээрийн бусад хоёр цифрийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

"Хөгжөөгүй социализм"-ийн эрин үед гарч ирсэн дараах "теорем"-ын нотолгоо нь Коммунист намын үүргийн тухай тухайн үеийн алдартай тезисүүдэд үндэслэсэн болно.

Теорем. Намын үүрэг сөрөг байна.

Баталгаа. Энэ нь сайн мэдэгдэж байна:

1. Намын үүрэг оролцоо тасралтгүй нэмэгдэж байна.

2. Коммунизмын үед, in ангигүй нийгэм, намын үүрэг 0 байх болно.

Тиймээс бид 0-д чиглэсэн тасралтгүй нэмэгдэж буй функцтэй байна. Тиймээс энэ нь сөрөг байна. Теорем нь батлагдсан.

Дараахь асуудал нь утгагүй мэт санагдаж байсан ч энэ нь бүрэн хатуу шийдэлтэй байдаг.

Даалгавар.Ээж ээ миний хүүгээс том 21 жилийн турш. Зургаан жилийн дараа тэр түүнээс тав дахин наслах болно. Асуулт нь: ААВ ХААНА БАЙНА?!

Шийдэл. Болъё X- хүүгийн нас, ба Ю- эхийн нас. Дараа нь асуудлын нөхцөлийг хоёр энгийн тэгшитгэлийн систем болгон бичнэ.

Орлуулах Ю = XХоёр дахь тэгшитгэлд + 21 байвал бид 5-ыг авна X + 30 = X+ 21 + 6, хаанаас X= -3/4. Тиймээс одоо хүү нь хасах 3/4 настай, өөрөөр хэлбэл. хасах 9 сар. Энэ нь аав мөн гэсэн үг одоогоорээж дээр байна!

"Хэрэв та ийм ухаантай юм бол яагаад ийм ядуу юм бэ?" гэсэн элэгтэй хэллэг нь олон хүмүүст мэдэгдэж байгаа бөгөөд харамсалтай нь. Энэхүү гунигтай үзэгдэл нь маргаангүй үнэнд суурилсан хатуу математик үндэслэлтэй болох нь харагдаж байна.

Тухайлбал, алдартай хоёр постулатаас эхэлье:

Postulat 1: Мэдлэг = Хүч.

Postulat 2: Цаг = Мөнгө.

Үүнээс гадна ямар ч сургуулийн хүүхэд үүнийг мэддэг

Зам s = Хурд x Цаг = Ажил: Хүч,

Ажил: Цаг = Хүч x Хурд (*)

Хоёр постулатын "цаг хугацаа" ба "хүч" гэсэн утгыг (*) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Ажил: (Мэдлэг x Хурд) = Мөнгө (**)

Үүний үр дүнд үүссэн тэгшитгэлээс (**) "мэдлэг" эсвэл "хурд" -ыг тэг рүү чиглүүлснээр бид ямар ч "ажил" -аас хүссэн хэмжээгээрээ мөнгө авах боломжтой болох нь тодорхой байна.

Эндээс дүгнэлт: илүү тэнэг ба илүү залхуу хүн, тэдгээр илүү мөнгөтэр мөнгө хийж чадна.

Хэдэн жилийн өмнө “Шинжлэх ухаан ба амьдрал” сэтгүүлд (2000 оны №1) Академич Ландау аялж явахдаа уйдахгүйн тулд зохиосон гайхамшигт оньсого тоглоомд зориулсан профессор Б.Горобецын бичсэн тэмдэглэл нийтлэгдсэн нь уншигчдын сонирхлыг ихэд татсан билээ. машинд. Мэдрэгчтэй энэ тоглоомыг тогло санамсаргүй тооХажуугаар нь давхиж буй машинуудын улсын дугаар болдог байсан (тухайн үед эдгээр тоо нь хоёр үсэг, хоёр хос тооноос бүрддэг байсан) түүнийг хамт олондоо санал болгодог байв. Тоглоомын мөн чанар нь арифметик үйлдлүүдийн тэмдэг, энгийн функцүүдийн тэмдэгтүүдийг (жишээ нь +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg гэх мэт) нэг утгад хүргэх явдал байв. энэ хоёр хоёр оронтой тоохажуугаар өнгөрөх машины дугаараас. Энэ тохиолдолд хүчин зүйлийг ашиглахыг зөвшөөрнө ( n! = 1 x 2 x ... x n), гэхдээ секант, косекант, ялгах аргыг ашиглахыг зөвшөөрдөггүй.

Жишээлбэл, 75-33 хосын хувьд хүссэн тэгш байдлыг дараах байдлаар хангана.

00–38 хосын хувьд дараах байдалтай байна:

Гэсэн хэдий ч бүх асуудлыг ийм энгийн байдлаар шийдэж чаддаггүй. Тэдний зарим нь (жишээлбэл, 75-65) тоглоомын зохиолч Ландаугийн чадвараас давсан байв. Тиймээс ямар ч хос тоог "шийдвэрлэх" боломжийг олгодог бүх нийтийн арга барил, зарим нэг томъёоны тухай асуулт гарч ирнэ. Үүнтэй ижил асуултыг Ландау болон түүний шавь Проф. Каганов. Түүний бичсэн зүйл, тухайлбал: "Тэгш байдлыг үргэлж бий болгох боломжтой юу улсын дугаар? - Би Ландаугаас асуув. "Үгүй" гэж тэр маш тодорхой хариулав. - "Шийдлийн байхгүй гэсэн теоремыг та нотолсон уу?" - Би гайхсан. "Үгүй" гэж Лев Давидович итгэлтэйгээр хэлэв, "гэхдээ би бүх тоондоо амжилтанд хүрч чадаагүй."

Гэсэн хэдий ч ийм шийдлүүдийг олсон бөгөөд тэдгээрийн нэг нь Ландаугийн амьдралын туршид байсан юм.

Харьковын математикч Ю Палант хос тоог тэнцүүлэх томъёог санал болгов

давтан ашигласны үр дүнд аль ч тоог жижиг тоогоор илэрхийлэх боломжийг олгодог. "Би Ландаугийн нотлох баримтыг авчирсан" гэж Каганов энэ шийдвэрийн талаар бичжээ. "Түүнд үнэхээр таалагдсан ..., бид үүнийг шинжлэх ухааны сэтгүүлд нийтлэх эсэхээ хагас хошигнол, хагас нухацтай ярилцсан."

Гэсэн хэдий ч Палантын томъёо нь одоо "хориотой" секантыг ашигладаг (20 гаруй жилийн турш үүнийг оруулаагүй болно. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр), тиймээс хангалттай гэж үзэх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч би үүнийг өөрчилсөн томъёог ашиглан хялбархан засаж чадсан

Үүссэн томьёо (хэрэв шаардлагатай бол дахин хэд хэдэн удаа хэрэглэх шаардлагатай) нь бусад тоо ашиглахгүйгээр дурын тоог ямар ч том тоогоор илэрхийлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь Ландаугийн асуудлыг шавхах нь дамжиггүй.

1. Тоонуудын дунд тэг байх ёсгүй. Тэднээс хоёр тоо гаргая abТэгээд CD, (эдгээр нь мэдээжийн хэрэг ажил биш). Хэзээ гэдгийг харуулъя n ? 6:

нүгэл[( ab)!]° = нүгэл[( CD)!]° = 0.

Нээрээ нүгэл( n!)° = 0 бол n? 6, учир нь sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Тэгвэл 6-г үржүүлснээр дурын факториал гарна! дараагийн бүхэл тоонууд руу: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 гэх мэтээр синусын аргумент дээр 360°-ын үржвэрийг өгч, түүнийг (мөн шүргэгчийг) тэгтэй тэнцүү болгоно.

2. Зарим хос тоонд тэг байя. Бид үүнийг зэргэлдээх цифрээр үржүүлж, тооны өөр хэсэгт байгаа тооноос авсан градусаар факториалын синустай тэнцүүлнэ.

3. Тооны хоёр талд тэг байг. Зэргэлдээх цифрүүдээр үржүүлбэл 0 = 0 өчүүхэн тэгш байдлыг өгнө.

Ерөнхий шийдлийг 2, 3-р цэгт тэгээр үржүүлж гурван цэгт хуваасан нь нүгэл( n!)° ? 0 бол n < 6».

Мэдээжийн хэрэг, ижил төстэй ерөнхий шийдлүүдЛандаугийн жүжгийг зөвхөн хийсвэр сонирхлыг харуулсан анхны сэтгэл татам байдлаас нь салгах. Тиймээс ашиглахгүйгээр хувь хүнд хэцүү тоогоор тоглож үзээрэй бүх нийтийн томъёо. Тэдгээрийн зарим нь энд байна: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00-26.

Тодорхойлогчдын талаар дэлгэрэнгүй.

Механик-математикийн факультетийн 1-р курсын оюутнуудын дунд мөнгөний төлөөх “тодорхойлогч” тоглоом дэлгэрч байсан гэж надад хэлсэн. Хоёр тоглогч хоосон нүдтэй цаасан дээр 3х3 хэмжээтэй танигч зурна. Дараа нь 1-ээс 9 хүртэлх тоог нэг нэгээр нь хоосон нүднүүдэд оруулна. Бүх нүдийг бөглөхөд тодорхойлогчийг тооцоолно - тэмдгийг харгалзан хариулт нь эхний тоглогчийн ялалт (эсвэл алдагдал) юм. , рубльээр илэрхийлсэн. Жишээлбэл, хэрэв энэ тоо -23 болсон бол эхний тоглогч хоёр дахь 23 рубль төлнө, хэрэв 34 бол эсрэгээр хоёр дахь тоглогч эхний 34 рубль төлнө.

Тоглоомын дүрэм нь манжин шиг энгийн боловч зөв ялалтын стратегийг олох нь маш хэцүү байдаг.

Энэхүү тэмдэглэлийг математикч, зохиолч А.Жуков “Хаа сайгүй байдаг Пи” хэмээх гайхалтай номын зохиолч надад илгээсэн юм.

Москвагийн хоёр их сургуульд математикийн хичээл заадаг профессор Борис Соломонович Горобец агуу физикч Лев Давидович Ландау (1908-1968) - "Ландаугийн тойрог" хэмээх ном бичсэн. Энд юу байна сонирхолтой түүх, нэг Физик, технологийн танилцуулах даалгавартай холбоотой гэж тэр бидэнд хэлэв.

Ландаугийн хамтран зүтгэгч, онолын физикийн арван боть курсын хамтран зохиогч, академич Евгений Михайлович Лифшиц (1915-1985) 1959 онд сургуулийн төгсөгч Бора Горобецийг Москвагийн физикийн тэргүүлэх их сургуульд элсэхэд бэлтгэхэд нь тусалсан юм.

Москвагийн Физик-математикийн дээд сургуулийн математикийн бичгийн шалгалтын үеэр дараахь асуудлыг санал болгов: "SABC пирамидын ёроолд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. тэгш өнцөгт гурвалжин ABC, өнцөг C = 90 °, тал нь AB = l. Хажуугийн нүүрнүүдсуурийн хавтгайтай үүсгэнэ хоёр талт өнцөг?, ?, ?. Пирамид бичээстэй бөмбөгний радиусыг ол."

Ирээдүйн профессор тэр үед даалгавраа биелүүлээгүй боловч түүний нөхцөл байдлыг санаж, дараа нь Евгений Михайловичид мэдэгдэв. Оюутны дэргэд асуудлаа шийдчихээд тэр дор нь шийдэж чадалгүй гэртээ аваад явчихлаа, орой нь утасдаад нэг цагийн дотор шийдээгүй тул энэ асуудлыг санал болголоо гэж хэлсэн. Лев Давидович руу.

Ландау бусдад хүндрэл учруулсан асуудлыг шийдвэрлэх дуртай байв. Удалгүй тэр Лифшицийг буцааж дуудаж, сэтгэл хангалуун: "Би асуудлыг шийдсэн. Шийдвэр гаргахад яг нэг цаг зарцуулсан. Би Зельдович руу залгасан, одоо тэр шийднэ." Тайлбарлая: Яков Борисович Зельдович (1914-1987) - өөрийгөө Ландаугийн шавь гэж үздэг алдартай эрдэмтэн, тэр жилүүдэд Зөвлөлтийн маш нууцад онолын ерөнхий физикч байсан. Атомын төсөл(мэдээж тэр үед цөөхөн хүн мэддэг байсан). Цаг орчмын дараа Е.М.Лифшиц дахин залгаад: Зельдович саяхан түүн рүү залгасан бөгөөд бахархалгүйгээр: "Би таны асуудлыг шийдсэн. Би дөчин минутын дараа шийдсэн!"

Энэ ажлыг дуусгахад хэр хугацаа шаардагдах вэ?

Физик, технологийн хошин шогийн "Заны шинжлэх ухааны хошигнол" (Москва, 2000) -д хэд хэдэн математикийн онигоо байдаг. Тэдний зөвхөн нэгийг нь энд оруулав.

Нэг бүтээгдэхүүнийг турших явцад нэг алдаа гарсан. Бүтээгдэхүүнийг доголдолгүй ажиллуулах магадлал хэд вэ?

Теорем. Бүх натурал тоонууд сонирхолтой байдаг.

Баталгаа. Эсрэгээр нь гэж бодъё. Дараа нь хамгийн бага сонирхолгүй зүйл байх ёстой натурал тоо. Ха, энэ үнэхээр сонирхолтой юм!

1-ийн утга хангалттай том бол 1 + 1 = 3.

E = m c 2 = m (a 2 + b 2).

Энэ хөгжилтэй түүхОюутан ахуй наснаасаа үүнийг магадлалын онолын семинарт асуудал болгон танилцуулах бүрэн боломжтой.

Зун би найзуудтайгаа ууланд явган аялал хийдэг байсан. Бид дөрөв байсан: Володя, хоёр Олег, би. Бид хоёр майхан, гурван унтлагын ууттай байсан бөгөөд нэг нь Володя бид хоёрт давхар байсан. Эдгээр маш унтлагын ууттай холбоотой асуудал, эсвэл майханд байгаа байрлалтай холбоотой асуудал байсан. Бодит байдал нь бороо орж, майхан нь давчуу, хажуу талаас нь гоожиж, ирмэг дээр хэвтэж байгаа хүмүүст тийм ч таатай биш байсан. Тиймээс би энэ асуудлыг "шударга"-аар шийдэх санал гаргасан.

Хараач, би Олегс, Володя бид хоёрын захад эсвэл төвд давхар ор тавьж болно гэж хэлсэн. Тиймээс, бид зоос шиднэ: хэрэв "толгой" гарч ирвэл бидний давхар ор ирмэг дээр, "сүүл" бол төвд байх болно.

Олег нар зөвшөөрсөн боловч хэд хэдэн шөнө ирмэгц (Володя бид хоёрын майхны захад унтахгүй байх магадлал 0.75 гэсэн нийт магадлалын томъёогоор тооцоолоход хялбар байдаг) Олег нар ямар нэг зүйл буруу байна гэж сэжиглэж, гэрээг дахин авч үзэхийг санал болгов.

Үнэхээр боломж тэгш бус байсан гэж би хэлсэн. Үнэндээ манай хоёр орны хувьд зүүн захад, баруун талд, төвд гэсэн гурван боломж бий. Тиймээс, орой бүр бид гурван саваанаас нэгийг нь зурах болно - хэрэв бид богинохоныг зурвал бидний давхар нь төвд байх болно.

Хэдийгээр энэ удаад бидний хонох магадлал (одоогийн магадлал 0.66, илүү нарийвчлалтай, гуравны хоёр) нь тэднийхээс илүү байсан ч Олегууд дахин санал нэгдэв. Хоёр шөнийг эрэг дээр өнгөрөөсний дараа (бид хамгийн сайн боломж, мөн бидний талд аз байсан) Олегууд өөрсдийгөө хуурсан гэдгээ дахин ойлгов. Гэвч азаар бороо тасарч, асуудал аяндаа алга болсон.

Гэвч үнэн хэрэгтээ манай хоёр ор үргэлж ирмэг дээр байх ёстой бөгөөд Володя бид хоёр хэн азтай болохыг нь зоосоор тодорхойлно. Олегууд ч мөн адил хийх байсан. Энэ тохиолдолд ирмэг дээр унтах боломж нь хүн бүрт адилхан бөгөөд 0.5-тай тэнцүү байх болно.

Тэмдэглэл:

Заримдаа үүнтэй төстэй түүхийг Жан Чарльз Франсуа Штурмын тухай өгүүлдэг.

Томъёоны үндсэн төрлүүд (тоон)

Дүрмээр бол томъёонд хувьсагч (нэг ба түүнээс дээш) багтдаг бөгөөд томъёо нь өөрөө илэрхийлэл биш, харин нэг төрлийн дүгнэлт юм. Ийм дүгнэлт нь хувьсагчдын талаар ямар нэг зүйл эсвэл холбогдох үйлдлүүдийн талаар ямар нэг зүйлийг баталж магадгүй юм. Томьёоны яг утгыг ихэвчлэн контекстээс нь ойлгодог бөгөөд гадаад төрхөөс нь шууд ойлгох боломжгүй байдаг. Гурван нийтлэг тохиолдол байдаг:

Тэгшитгэл

Тэгшитгэл гэдэг нь гаднах (дээд) холбогч нь хоёртын тэгш байдлын хамаарал бүхий томъёо юм. Гэсэн хэдий ч, чухал онцлогтэгшитгэл нь мөн үүнд орсон тэмдэгтүүд нь хувьсагчид болон хуваагддаг параметрүүд(Гэхдээ сүүлийнх нь байх шаардлагагүй). Жишээлбэл, x нь хувьсагч байх тэгшитгэл юм. Тэгшитгэл үнэн байх хувьсагчийн утгыг тэгшитгэлийн үндэс гэж нэрлэдэг: in энэ тохиолдолдЭдгээр нь хоёр ба −1 тоо юм. Дүрмээр бол, хэрэв нэг хувьсагчийн тэгшитгэл нь таних тэмдэг биш бол (доороос харна уу) тэгшитгэлийн үндэс нь салангид, ихэвчлэн төгсгөлтэй (хоосон байж магадгүй) олонлогийг илэрхийлдэг.

Хэрэв тэгшитгэлд параметрүүд багтсан бол түүний утга нь өгөгдсөн параметрүүдийн үндсийг олох явдал юм (өөрөөр хэлбэл тэгш байдал үнэн болох хувьсагчийн утга). Заримдаа үүнийг параметр(үүд)-ээс хувьсагчийн далд хамаарлыг олох гэж томъёолж болно. Жишээлбэл, x-ийн тэгшитгэл гэж ойлгогддог (энэ нь y, z, t-ийн хамт хувьсагчийг тэмдэглэх нийтлэг үсэг юм). Тэгшитгэлийн үндэс нь a-ийн квадрат язгуур юм (тэдгээрийн хоёр нь өөр өөр тэмдэгтэй гэж үздэг). Ийм томъёо нь өөрөө зөвхөн тодорхойлогддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хоёртын хамаарал x ба а хоёрын хооронд байгаа бөгөөд үүнийг ойлгож болно урвуу тал, x-тэй холбоотой a-ийн тэгшитгэл болгон. Энэ энгийн тохиолдолд бид a-аас х-г тодорхойлох талаар илүү их ярьж болно: .

Баримтлал

Identity бол хэзээ үнэн болох санал юм ямар чхувьсагчийн утгууд. Ихэнхдээ ижил төстэй байдал гэж бид ижил үнэн тэгш байдлыг илэрхийлдэг, гэхдээ ижил төстэй байдлын гадна тэгш бус байдал эсвэл өөр харилцаа байж болно. Ихэнх тохиолдолд таних тэмдэг нь түүнд ашигласан үйлдлүүдийн тодорхой шинж чанар гэж ойлгож болно, жишээлбэл, identity нь нэмэлт өөрчлөлтийг илэрхийлдэг.

Математикийн томъёог ашиглан энэ нь нэлээд юм нарийн төвөгтэй өгүүлбэрүүдавсаархан, тохиромжтой хэлбэрээр бичиж болно. Хувьсагчийг тодорхой домэйны тодорхой объектоор солих бүрт үнэн болдог томьёог тухайн домэйнд ижил үнэн гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: "а ба b хувьд тэгш байдал хадгалагдана." Энэ адилтгал нь хувирах цагираг дахь нэмэх ба үржүүлэх аксиомуудаас гаргаж авч болох бөгөөд тэдгээр нь өөрөө мөн адил таних хэлбэртэй байдаг.

Идентификатор нь хувьсагчийг агуулаагүй бөгөөд арифметик (эсвэл бусад) тэгш байдал, жишээ нь .

Ойролцоогоор тэгш байдал

7-8-р ангидаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар судалдаг графикаар. Энэ үед график ашиглан хялбар олох боломжтой энгийн тэгшитгэлүүдийг ("сайн үндэстэй") шийддэг. алаг цаас. Гэхдээ уг үндэс нь арай өөр байдаг жишээ бий. √x=2-x ба √x=4-x гэсэн хоёр тэгшитгэлийг авч үзье. y =√x ба y =2-х функцуудын графикууд нэг A(1,1) цэгт огтлолцдог тул эхний тэгшитгэл нь нэг язгууртай x=1 байна. Хоёрдахь тохиолдолд y =√x-fc y =4-x функцуудын графикууд мөн нэг A(1,1) цэгт огтлолцдог боловч “муу” координаттай. Зургийг ашиглан B цэгийн абсцисса нь ойролцоогоор 2.5-тай тэнцүү байна гэж дүгнэж байна. Ийм тохиолдолд тэд яг тодорхой биш, харин тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийн тухай ярьж, дараах байдлаар бичнэ: x≈2.5.

Тэгш бус байдал

Тэгш бус байдлын томьёог хэсгийн эхэнд тайлбарласан хоёр утгаар нь ойлгож болно: ижил төстэй байдал (жишээлбэл, Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал) эсвэл тэгшитгэлийн нэгэн адил олонлогийг (эсвэл тодорхой бол дэд олонлог) олох асуудал гэж ойлгож болно. тодорхойлолтын домэйн) хувьсагч эсвэл хувьсагч хамаарах болно.

Ашигласан үйлдлүүд

IN энэ хэсэгалгебрт хэрэглэгддэг үйлдлүүд, мөн тооцооллын зарим түгээмэл хэрэглэгддэг функцуудыг жагсаах болно.

Нэмэх ба хасах

Экспоненциал

Үндсэн функцууд

Үнэмлэхүй үнэ цэнэ, тэмдэг гэх мэт.

Үйлдлийн давуу эрх ба хаалт

Үйл ажиллагаа эсвэл операторын тэргүүлэх чиглэл, зэрэглэл, ахлах зэрэг нь оператор/үйл ажиллагааны албан ёсны шинж чанар бөгөөд түүнийг гүйцэтгэх дарааллыг хэд хэдэн өөр оператортой илэрхийлэлд нөлөөлдөг дарааллыг тодорхой (хашилт ашиглан) заагаагүй. тэдгээрийг үнэлдэг. Жишээлбэл, үржүүлэх үйлдлийг ихэвчлэн нэмэх үйлдлээс илүү давуу эрх олгодог тул илэрхийлэл нь эхлээд y ба z-ийн үржвэрийг, дараа нь нийлбэрийг авна.

Жишээ

Жишээ нь:

Нэг бодит аргумент эсвэл нэг утгатай функцийн функц;

Хэд хэдэн аргументын функц эсвэл олон утгатай функц (хамгийн гайхалтай муруйнуудын нэгний график - Agnesi versière);

Нэг цэгт ялгах боломжгүй функц (тасралтгүй эвдэрсэн шугамшүргэгч байхгүй);

- бүхэл тоон функц;

- жигд функц;

- сондгой функц;

Цэгийн функц, цэгээс (декарт) координатын гарал үүсэл хүртэлх зай;

Цэг дэх тасалдсан функц;

Параметрийн хувьд өгөгдсөн функц(циклоид график);

Шууд ба урвуу функцууд;

Интеграл тэгшитгэл;

Холбоосууд

• Н.К.Верещагин, А.Шэн. Математик логик, алгоритмын онолын лекцүүд. 1-р хэсэг. Олонлогийн онолын эхлэл.

Мөн үзнэ үү

• Алгебрийн илэрхийлэл - математик тэмдэглэгээ, энэ нь бүрэн санааг илэрхийлдэггүй.

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Математикийн томъёо" гэж юу болохыг харна уу. - (Латин томъёо хэлбэр, дүрэм, жороос): Математик томъёо Формула in Microsoft Excel Химийн томъёо Эпик томъёоФизик томъёо Шүдний томъёо Цэцгийн томъёо Шидэт томъёо Формулатехникийн төрлүүд

... ... Википедиа

Грассманы томъёо нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн дэд орон зайн хэмжээг тодорхойлдог математикийн томьёо юм. Германы эрдэмтэн Г.Грассманн боловсруулсан. Үг хэллэг: Хэрэв шугаман орон зай V нь хязгаарлагдмал хэмжээст, дараа нь хязгаарлагдмал хэмжээст... ... Википедиа

Остроградскийн томъёо нь урсгалыг илэрхийлдэг математикийн томъёо юм вектор талбархаалттай гадаргуугаар дамжуулан энэ талбайн энэ гадаргуугаар хязгаарлагдсан эзэлхүүний дивергенцийн интегралаар: өөрөөр хэлбэл векторын дифференцийн интеграл... ... Wikipedia

Хоёрдугаарт орж ирсэн орчин үеийн логикийн нэг нэр. шал. 19 эхлэл 20-р зуун уламжлалт логикийг солих. Өөр нэрээр орчин үеийн үе шатЛогикийн шинжлэх ухааны хөгжилд бэлгэдлийн логик гэсэн нэр томъёог бас ашигладаг. Тодорхойлолт…… Философийн нэвтэрхий толь бичиг

Илүү их зүйл нуршилгүйгээр энд байна:

Үүнийг ихэвчлэн Швейцарийн агуу математикч Леонхард Эйлер (1707 - 1783) хүндэтгэн Эйлерийн шинж чанар гэж нэрлэдэг. Үүнийг подволк, кофены аяганаас харж болох бөгөөд математикч, физикчдийн хийсэн хэд хэдэн судалгаагаар "хамгийн агуу тэгшитгэл" гэж нэрлэсэн байдаг (Crease, Robert P., "The greatest equations").

Баримтлалын гоо үзэсгэлэн, дэгжин байдлын мэдрэмж нь математикийн хамгийн чухал таван тооны тогтмолыг энгийн хэлбэрээр нэгтгэж чадсанаас үүдэлтэй: - суурь. байгалийн логарифм, нь ба -ын квадрат язгуур юм. Үүнийг анхааралтай ажиглавал ихэнх хүмүүс экспонентийн талаар боддог: тоог төсөөллийн хүч болгон өсгөх нь юу гэсэн үг вэ? Тэвчээр, тэвчээр, бид тэнд хүрнэ.

Энэ томьёо хаанаас гарсныг тайлбарлахын тулд эхлээд Эйлерийн олсон ерөнхий томьёог олж аваад дараа нь бидний тэгш байдал энэ томьёоны онцгой тохиолдол гэдгийг харуулах ёстой. Ерөнхий томъёоЭнэ нь өөрөө гайхалтай бөгөөд математик, физик, технологийн олон гайхалтай хэрэглээтэй.

Бидний аяллын эхний алхам бол математикийн ихэнх функцийг аргументуудын хязгааргүй нийлбэрээр илэрхийлж болохыг ойлгох явдал юм. Энэ бол жишээ юм:

Энд градусаар биш радианаар хэмждэг. Бид цувралын эхний хэдэн нэр томъёог ашиглан тодорхой утгын сайн ойролцоо дүгнэлтийг гаргаж чадна. Энэ бол Тейлорын цувралын жишээ бөгөөд математик анализын тусламжтайгаар энэ томъёог гаргахад маш хялбар байдаг. Энд би мэдлэг гэж бодохгүй байна математик шинжилгээ, тиймээс би уншигчдаас үүнийг итгэлээр хүлээж авахыг хүсч байна.

Косинусын тохирох томъёо нь:

Энэ тоо нь -тэй тэнцүү тогтмол бөгөөд математикт түүний үндсэн ач холбогдлыг Эйлер анхлан ойлгож, сүүлчийн томъёог гаргаж авсан (өмнөх хоёрыг Исаак Ньютон олсон). Тооны талаар ном бичсэн (жишээ нь: Maor, E. (1994). e, түүхтооны. Принстоны их сургуульХэвлэл), та мөн энэ тухай уншиж болно.

Ойролцоогоор 1740 онд Эйлер эдгээр гурван томьёог эндээс харж байгаагаар нь ойролцоогоор авч үзсэн. Гурав дахь томьёоны нэр томьёо бүр өмнөх аль ч томъёонд гарч ирдэг нь шууд тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч эхний тэгшитгэлийн нөхцлийн тал хувь нь сөрөг, харин сүүлийнх нь эерэг байна. Ихэнх хүмүүс үүнийг орхих байсан ч Эйлер энэ бүхнээс нэгэн хэв маягийг олж харсан. Тэрээр эхний хоёр томъёог нэгтгэсэн анхны хүн юм.

Энэ цувралын тэмдгүүдийн дараалалд анхаарлаа хандуулаарай: , энэ нь 4-ийн бүлэгт давтагдана. Төсөөллийн нэгжийг бүхэл тоонд өсгөхөд ижил дараалсан тэмдгүүд гарч ирдгийг Эйлер анзаарсан:

Энэ нь бид сүүлчийн томьёог дараахаар сольж, авах боломжтой гэсэн үг юм.

Одоо тэмдгүүд нь өмнөх томьёо дахь тэмдгүүдтэй тохирч байгаа бөгөөд өргөтгөлийн нөхцлүүдийг үржүүлснээс бусад тохиолдолд шинэ цуврал нь өмнөхтэй давхцаж байна. Энэ нь бид яг авдаг

Энэ бол гайхалтай, нууцлаг үр дүн бөгөөд энэ нь оршин байгааг илтгэнэ ойр холболтТригонометрийн тоо, синус, косинусын хооронд, гэхдээ энэ нь зөвхөн геометр эсвэл гурвалжин хамааралгүй асуудлуудаас л мэдэгдэж байсан. Гэсэн хэдий ч түүний дэгжин, хачирхалтай байдлаас гадна энэ томъёог нээсэн цагаасаа хойш нэмэгдэж буй математикийн ач холбогдлыг хэт үнэлэхэд хэцүү байх болно. Энэ нь хаа сайгүй гарч ирдэг бөгөөд 400 орчим хуудастай ном (Nahin P. Dr. Euler's Fabulous Formula, 2006) саяхан хэвлэгдсэн бөгөөд энэ томъёоны зарим хэрэглээг тайлбарласан болно.

Төсөөллийн илтгэгчийн тухай хуучин асуулт одоо шийдэгдсэн болохыг анхаарна уу: төсөөллийн хүч хүртэл өсгөх, зүгээр л тавих. төсөөллийн тооЭйлерийн томъёонд оруулав. Хэрэв суурь нь -аас өөр тоо байвал бага зэрэг өөрчлөлт хийх шаардлагатай.

Сургуульд заасан бүх зүйл мартагдсаны дараа үлдсэн зүйл бол боловсрол юм.

Бичвэр, томьёо шууд цээжлэхгүйгээр хөгжихийг одоо Португалд ажиллаж байгаа Новосибирскийн эрдэмтэн Игорь Хмелинский нотолж байна. хийсвэр санах ойхүүхдүүдэд хэцүү. Би түүний нийтлэлээс ишлэл өгөх болно "Хичээлүүд боловсролын шинэчлэлЕвроп болон хуучин ЗХУ-ын орнуудад"

Цэсээс суралцах, урт хугацааны ой санамж

Үржүүлэх хүснэгтийг үл тоомсорлох нь тооцоолуур дээрх тооцооллын алдааг илрүүлэх чадваргүйгээс илүү ноцтой үр дагаварт хүргэдэг. Манай урт хугацааны санах ойассоциатив мэдээллийн сангийн зарчмаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл мэдээллийн зарим элементүүдийг цээжлэх үед тэдэнтэй танилцах үед байгуулагдсан холбоодын үндсэн дээр бусадтай холбоотой байдаг. Тиймээс таны толгойд мэдлэгийн баазыг бий болгохын тулд ямар ч сэдвийн хэсэгжишээлбэл, арифметикийн хувьд та эхлээд ядаж ямар нэг зүйлийг цээжээр сурах хэрэгтэй. Цаашлаад шинээр ирж буй мэдээлэл ирэх болно богино хугацааны санах ойХэрэв бид үүнийг богино хугацаанд (хэдэн өдөр) олон удаа, өөр өөр нөхцөл байдалд тааралдвал (энэ нь ашигтай холбоог бий болгоход хувь нэмэр оруулдаг) урт хугацааны хувьд. Гэсэн хэдий ч байхгүй тохиолдолд байнгын санах ойАрифметикийн мэдлэг, шинээр орж ирж буй мэдээллийн элементүүд нь арифметиктэй ямар ч холбоогүй элементүүдтэй холбоотой байдаг - жишээлбэл, багшийн зан чанар, гадаа цаг агаар гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, ийм цээжлэх нь оюутанд ямар ч бодит ашиг тус авчрахгүй - холбоод нь тухайн сэдвээс холддог тул оюутан арифметиктэй холбоотой ямар ч мэдлэгийг санахгүй байх болно, зөвхөн энэ талаар урьд өмнө нь мэддэг байсан гэсэн тодорхой бус санааг эс тооцвол. сонссон. Ийм оюутнуудын хувьд алга болсон холбоодын үүргийг ихэвчлэн янз бүрийн зөвлөмжүүд гүйцэтгэдэг - хамт ажиллагсдаасаа хуулбарлах, тестийн тэргүүлэх асуултуудыг ашиглах, ашиглахыг зөвшөөрсөн томъёоны жагсаалтаас томьёо гэх мэт. IN бодит амьдрал, өдөөлтгүйгээр ийм хүн бүрэн арчаагүй, толгойдоо байгаа мэдлэгээ хэрэгжүүлэх чадваргүй болж хувирдаг.

Томьёо цээжлээгүй математикийн аппарат үүсэх нь бусадтай харьцуулахад илүү удаан явагддаг. Яагаад? Нэгдүгээрт, шинэ шинж чанарууд, теоремууд, математикийн объектуудын хоорондын хамаарал нь урьд өмнө судлагдсан томъёо, ойлголтын зарим шинж чанарыг бараг үргэлж ашигладаг. Хэрэв эдгээр шинж чанаруудыг санах ойноос богино хугацаанд сэргээж чадахгүй бол оюутны анхаарлыг шинэ материалд төвлөрүүлэх нь илүү хэцүү байх болно. Хоёрдугаарт, томъёог цээжээр мэдэхгүй байх нь утга учиртай асуудлын шийдлийг хайхад саад болдог их тоозөвхөн тодорхой хувиргалтыг хийхээс гадна хоёр, гурван алхамын өмнө хэд хэдэн томъёоны хэрэглээнд дүн шинжилгээ хийж, эдгээр хөдөлгөөний дарааллыг тодорхойлох шаардлагатай жижиг үйлдлүүд.

Практикаас харахад хүүхдийн оюун ухаан, математикийн хөгжил, түүний мэдлэгийн сан, ур чадвар бүрэлдэх нь илүү хурдан явагддаг. ихэнх ньашигласан мэдээлэл (шинж ба томьёо) толгойд байна. Тэнд илүү хүчтэй, удаан байх тусмаа сайн.

Математикч Анри Пуанкаре “Шинжлэх ухаан ба арга зүй” номондоо: “Хэрвээ байгаль үзэсгэлэнтэй байгаагүй бол үүнийг мэдэх, амьдралыг мэдрэх ч үнэ цэнэгүй байх байсан. Би энд ярьж байна, мэдээжийн хэрэг, таны анхаарлыг татдаг гоо сайхны тухай биш ... Би үүнийг илүү их хэлж байна гүн гоо үзэсгэлэн, зөвхөн оюун ухаанаар ойлгогдох хэсгүүдийн зохицолд илчлэгдсэн. Тэр л хөрсийг бүтээж, бидний мэдрэхүйг илэн далангүй харагдахуйц өнгөний тоглоомын хүрээг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ дэмжлэггүйгээр түр зуурын сэтгэгдлийн гоо үзэсгэлэн нь тодорхой бус, түр зуурын бүх зүйл шиг төгс бус байх болно. Харин ч оюуны гоо үзэсгэлэн өөрөө сэтгэл ханамжийг өгдөг.”

P.A.M. Дирак бичжээ: "У онолын физикХөгжлийн өөр нэг зөв зам бий. Байгальд ийм байдаг үндсэн шинж чанархамгийн үндсэн нь юу вэ физикийн хуулиудМатематикийн онолоор дүрсэлсэн бөгөөд түүний аппарат нь байдаг ер бусын хүч чадалболон гоо үзэсгэлэн. Энэ онолыг ойлгохын тулд та математикийн ер бусын өндөр чадвартай байх хэрэгтэй. Та асууж магадгүй: байгаль яагаад ийм байдлаар ажилладаг вэ? Үүнд ганцхан хариулт бий: бидний хэлснээр орчин үеийн мэдлэг, байгаль ийм байдлаар бүтээгдсэн болохоос өөрөөр биш."

Долоон жилийн өмнө Украины физикч (болон зураач) Наталья Кондратьева дэлхийн тэргүүлэх математикчдад хандан “Ямар гурав вэ? математикийн томьёо, таны бодлоор хамгийн үзэсгэлэнтэй нь?"
Математикийн томьёоны гоо үзэсгэлэнгийн тухай ярианд Британийн иргэн Майкл Атия, Дэвид Эльварси, АНУ-аас Яков Синай, Александр Кириллов, Германаас Фридрих Герцебруч, Юрий Манин, Францаас Давид Руэл, Оросоос Анатолий Вершик, Роберт Минлос нар оролцов. бусад математикчид өөр өөр улс орнууд. Хэлэлцүүлэгт украинчуудын дунд НАСУ-ийн академич Владимир Королюк, Анатолий Скороход нар оролцов. Ийм аргаар олж авсан зарим материал нь Наталья Кондратьевагийн хэвлүүлсэн номын үндэс болсон юм. шинжлэх ухааны ажил"Хамгийн сайхан гурван математикийн томьёо."
— Та математикчдаас гоё томьёоны талаар асуухад ямар зорилго тавьсан бэ?
-Шинэ зуун бүр шинэчлэлийг авчирдаг шинжлэх ухааны парадигм. Бид босгон дээр зогсож байна гэсэн мэдрэмжээр зууны эхэн үед шинэ шинжлэх ухаан, тэр шинэ үүрэгамьдралд хүний ​​нийгэм, Математик тэмдгүүдийн цаад санаануудын гоо үзэсгэлэнгийн тухай асуултаар би математикчдад хандсан, i.e. Математикийн томъёоны гоо сайхны тухай.
Одоо бид шинэ шинжлэх ухааны зарим шинж чанарыг тэмдэглэж болно. Хэрэв ХХ зууны шинжлэх ухаанд маш их байдаг чухал үүрэгМатематикийн физикийн "нөхөрлөл"-өөр тоглодог байсан бол одоо математик нь биологи, генетик, социологи, эдийн засагтай үр дүнтэй хамтран ажиллаж байна ... Үүний үр дүнд шинжлэх ухаан захидал харилцааг судлах болно. Математикийн бүтэц нь элементүүдийн харилцан үйлчлэлийн хоорондын захидал харилцааг судлах болно янз бүрийн бүс нутагболон төлөвлөгөө. Мөн бидний өмнө нь гүн ухааны үзэл баримтлал болгон итгэл үнэмшлээр хүлээн авч байсан ихэнх зүйлийг шинжлэх ухаан тодорхой мэдлэг болгон батлах болно.
Энэ үйл явц 20-р зуунд аль хэдийн эхэлсэн. Тиймээс Колмогоров ямар ч боломж байхгүй, гэхдээ маш их төвөгтэй байдаг гэдгийг математикийн хувьд харуулсан. Фрактал геометр нь олон янз байдал гэх мэт нэгдмэл байдлын зарчмыг баталсан.
- Аль томъёог хамгийн үзэсгэлэнтэй гэж нэрлэдэг байсан бэ?
- Томъёоны уралдаан зохион байгуулах зорилго байгаагүй гэдгийг би шууд хэлье. Математикчдад хандан бичсэн захидалдаа би “Дэлхийд ямар хууль захирагддагийг ойлгохыг хүсдэг хүмүүс ертөнцийн зохицлыг олох замыг сонгодог. Энэ зам нь хязгааргүйд очдог (хөдөлгөөн нь мөнх учраас) гэхдээ хүмүүс түүнийг дагасаар л байдаг, учир нь... өөр санаа эсвэл санаатай уулзах онцгой баяр баясгалан байдаг. Үзэсгэлэнт томъёоны талаархи асуултын хариултаас дэлхийн гоо үзэсгэлэнгийн шинэ талыг нэгтгэх боломжтой байж магадгүй юм. Нэмж дурдахад энэхүү бүтээл нь дэлхийн агуу зохицлын тухай санаа, энэ гоо сайхныг олох арга зам болох математикийн хувьд ирээдүйн эрдэмтдэд хэрэгтэй байж магадгүй юм."
Гэсэн хэдий ч томъёонуудын дунд Пифагорын томъёо ба Эйлерийн томъёо зэрэг тодорхой дуртай байсан.
Тэдний араас 20-р зуунд Максвелл, Шредингер, Эйнштейн гэсэн бидний ертөнцийн талаарх ойлголтыг өөрчилсөн математикийн гэхээсээ илүү физикийн томьёо гарч ирэв.
Мөн хамгийн үзэсгэлэнтэй нь хэлэлцүүлгийн шатанд байгаа томъёонууд, жишээлбэл, тэгшитгэлүүд байв. физик вакуум. Бусад сайхан математикийн томьёог бас дурдлаа.
- Яагаад хоёр, гуравдугаар мянганы зааг дээр Пифагорын томъёог хамгийн үзэсгэлэнтэй гэж нэрлэсэн гэж та бодож байна вэ?
- Пифагорын үед энэ томъёог зарчмын илэрхийлэл гэж үздэг байсан сансрын хувьсал: хоёр эсрэг зарчим (ортогональ байдлаар хүрч байгаа хоёр квадрат) тэдгээрийн нийлбэртэй тэнцүү гуравны нэгийг үүсгэдэг. Геометрийн хувьд маш сайхан тайлбар өгч болно.
Магадгүй ямар нэгэн далд ухамсар байдаг генетикийн санах ой"Математик" гэсэн ойлголт нь "шинжлэх ухаан" гэсэн утгатай байсан бөгөөд арифметик, уран зураг, хөгжим, гүн ухааныг нэгтгэн судалж байсан цаг үеийн тухай.
Рафаил Хасминский захидалдаа сургуульд байхдаа Пифагорын томъёоны гоо үзэсгэлэнг гайхшруулж байсан бөгөөд энэ нь түүний математикчийн хувь заяаг ихээхэн тодорхойлсон гэж бичжээ.
- Эйлерийн томъёоны талаар та юу хэлэх вэ?
- Зарим математикчид "бүгд цугларсан" гэдэгт анхаарлаа хандуулсан, өөрөөр хэлбэл. хүн бүр хамгийн гайхамшигтай математик тоо, мөн нэг нь хязгааргүй дүүрэн байдаг! - Энэ нь гүн ухааны гүн утгатай.
Эйлер энэ томъёог олж мэдсэнд гайхах зүйл алга. Агуу математикчгоо сайхныг шинжлэх ухаанд нэвтрүүлэхийн тулд маш их зүйлийг хийсэн, тэр ч байтугай математикт "гоо сайхны зэрэг" гэсэн ойлголтыг оруулсан. Бүр нарийн яривал тэрээр математикийн нэг хэсэг гэж үздэг хөгжмийн онолд энэ ойлголтыг оруулсан.
Эйлер гоо зүйн мэдрэмжийг хөгжүүлэх боломжтой бөгөөд энэ мэдрэмж нь эрдэмтэнд зайлшгүй шаардлагатай гэж үздэг.
Би эрх баригчдад хандана... Гротендиек: "Математикийн тодорхой зүйлийг ойлгох нь түүний гоо сайхныг мэдрэхийн хэрээр төгс төгөлдөр юм."
Пуанкаре: "Математикт мэдрэмж гэж байдаг." Тэрээр математикийн гоо зүйн мэдрэмжийг шүүлтүүртэй харьцуулж, олон боломжит шийдлүүдээс хамгийн зохицолтойг нь сонгодог бөгөөд энэ нь дүрмээр бол зөв юм. Гоо сайхан ба эв нэгдэл нь ижил утгатай бөгөөд эв найрамдлын хамгийн дээд илрэл нь дэлхийн тэнцвэрт байдлын хууль юм. Математик энэ хуулийг судалдаг өөр өөр төлөвлөгөөбайх ба дотор өөр өөр талууд. Математикийн томьёо бүр тэнцүү тэмдэгтэй байдаг нь хоосон биш юм.
Хүний дээд зохицол бол бодол, мэдрэмжийн зохицол гэж би боддог. Тийм ч учраас Эйнштейн зохиолч Достоевский түүнд математикч Гауссаас илүү ихийг өгсөн гэж хэлсэн байх.
Достоевскийн "Гоо сайхан дэлхийг аварна" гэсэн томьёог би математикийн гоо сайхны талаархи ажлынхаа эпиграф болгон авсан. Мөн үүнийг математикчид ч хэлэлцсэн.
-Тэд энэ мэдэгдэлтэй санал нийлсэн үү?
- Математикчид энэ мэдэгдлийг баталж, үгүйсгээгүй. Тэд "Гоо сайхныг ухамсарлах нь дэлхийг аварна" гэж тодруулсан. Энд би Евгений Вигнерийн бараг тавин жилийн өмнө бичсэн квант хэмжилт дэх ухамсрын үүргийн тухай бүтээлийг шууд санав. Энэ ажилдаа Вигнер үүнийг харуулсан хүний ​​ухамсархүрээлэн буй орчинд нөлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл бид зөвхөн гаднаас мэдээлэл хүлээн аваад зогсохгүй өөрийн бодол санаа, мэдрэмжээ хариуд нь илгээдэг. Энэ ажил одоо ч хамааралтай хэвээр байгаа бөгөөд дэмжигчид болон эсэргүүцэгчидтэй байдаг. 21-р зуунд шинжлэх ухаан гоо сайхныг ухамсарлах нь бидний ертөнцийг зохицоход хувь нэмэр оруулдаг гэдгийг нотлох болно гэдэгт би үнэхээр найдаж байна.

1. Эйлерийн томъёо. Олон хүн энэ томьёог бүх математикийн нэгдмэл байдлын бэлгэдэл гэж үзсэн, учир нь "-1 нь арифметик, i - алгебр, π - геометр ба e - анализыг илэрхийлдэг."

2. Энэхүү энгийн тэгшитгэл нь 0.999 (болон хязгааргүй гэх мэт) нь нэгтэй тэнцэж байгааг харуулж байна. Хязгаарын онол дээр үндэслэсэн зарим нотолгоо байгаа хэдий ч олон хүн үүнийг үнэн гэдэгт итгэдэггүй. Гэсэн хэдий ч тэгш байдал нь хязгааргүй байдлын зарчмыг харуулдаг.


3. Энэ тэгшитгэлийг Эйнштейн шинэлэг зүйлийн нэг хэсэг болгон томъёолсон ерөнхий онол 1915 онд харьцангуйн онол. Энэ тэгшитгэлийн баруун тал нь манай Орчлон ертөнцөд агуулагдах энергийг ("хар энерги" гэх мэт) дүрсэлдэг. Зүүн талорон зай-цаг хугацааны геометрийг дүрсэлдэг. Эйнштейний харьцангуйн ерөнхий онолд масс ба энерги нь геометрийг тодорхойлдог бөгөөд үүний зэрэгцээ таталцлын нэг илрэл болох муруйлтыг тэгш байдал илэрхийлдэг. Эйнштейн ингэж хэлсэн зүүн талХарьцангуйн ерөнхий онолын таталцлын талбайг агуулсан таталцлын тэгшитгэлүүд нь гантиг чулуугаар сийлсэн мэт үзэсгэлэнтэй, харин материйг дүрсэлсэн тэгшитгэлийн баруун тал нь энгийн модоор хийсэн мэт муухай хэвээр байна.


4. Физикийн өөр нэг зонхилох онол болох Стандарт загвар нь цахилгаан соронзон, сул ба хүчтэй харилцан үйлчлэлхүн бүр энгийн бөөмс. Зарим физикчид үүнийг орчлон ертөнцөд болж буй бүх үйл явцыг тусгадаг гэж үздэг харанхуй бодис, хар энергимөн таталцлыг оруулаагүй болно. IN Стандарт загварӨнгөрсөн жил хүртэл баригдашгүй байсан Хиггс бозон ч мөн адил таарч байгаа ч бүх шинжээчид түүний оршин тогтнох эсэхэд итгэлтэй байдаггүй.


5. Пифагорын теорем нь талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг юм. зөв гурвалжин. Бид үүнийг сургуулиас санаж, теоремын зохиогч нь Пифагор гэдэгт итгэдэг. Үнэн хэрэгтээ энэ томъёог буцааж хэрэглэж байсан Эртний Египетпирамидуудыг барих явцад.


6. Эйлерийн теорем. Энэхүү теорем нь математикийн шинэ салбар болох топологийн үндэс суурийг тавьсан юм. Уг тэгшитгэл нь топологийн хувьд бөмбөрцөгтэй дүйцэхүйц олон өнцөгтийн орой, ирмэг, нүүрний тоо хоорондын хамаарлыг тогтоодог.


7. Тусгай онолХарьцангуйн онол нь вакуум дахь гэрлийн хурдаас бага, түүний дотор гэрлийн хурдтай ойролцоо хурдтай хөдөлгөөн, механикийн хууль, орон зай-цаг хугацааны харилцааг тодорхойлдог. Эйнштейн цаг хугацаа, орон зай нь тийм биш гэдгийг тодорхойлсон томьёог зохиосон үнэмлэхүй ойлголтууд, харин ажиглагчийн хурдаас хамааран харьцангуй байдаг. Уг тэгшитгэл нь хүн хэрхэн, хаана хөдөлж байгаагаас хамааран цаг хугацаа хэрхэн тэлж, удааширч байгааг харуулдаг.


8. Уг тэгшитгэлийг 1750-иад онд Эйлер, Лагранж нар изохроны асуудлыг шийдэж байхдаа гаргаж авсан. Энэ нь хүнд бөөмийг тодорхой хугацаанд тогтмол цэг рүү хүргэх муруйг тодорхойлох асуудал юм. эхлэх цэг. IN ерөнхий утгаараа, хэрэв таны систем тэгш хэмтэй бол тэгш хэмийг хадгалах холбогдох хууль байдаг.


9. Каллан-Симанзикийн тэгшитгэл. Энэ нь төлөөлдөг дифференциал тэгшитгэл, хувьслыг дүрсэлсэн n-корреляцийн функцонолын бета функцууд болон хэвийн бус хэмжигдэхүүнүүдийг агуулсан онолыг тодорхойлсон энергийн хуваарийг өөрчлөх үед. Энэхүү тэгшитгэл нь квант физикийг илүү сайн ойлгоход тусалсан.


10. Гадаргуугийн хамгийн бага тэгшитгэл. Энэ тэгш байдал нь савангийн хөөс үүсэхийг тайлбарладаг.


11. Эйлерийн шулуун шугам. Эйлерийн теорем 1765 онд батлагдсан. Тэрээр гурвалжны талуудын дунд цэгүүд ба өндрийн суурь нь нэг тойрог дээр байдгийг олж мэдэв.


12. 1928 онд П.А.М. Дирак Шредингерийн тэгшитгэлийн өөрийн гэсэн хувилбарыг санал болгосон нь А.Эйнштейний онолд нийцсэн. Шинжлэх ухааны ертөнцийг цочирдуулсан - Дирак спинор гэж нэрлэгддэг дээд математикийн объектуудын цэвэр математикийн аргаар электроны тэгшитгэлийг нээсэн. Мөн энэ нь сенсаац байсан - өнөөг хүртэл физикийн бүх агуу нээлтүүд туршилтын өгөгдлийн бат бөх суурь дээр байх ёстой. Гэхдээ Дирак цэвэр математик нь хангалттай үзэсгэлэнтэй бол дүгнэлтийн зөв байдлын найдвартай шалгуур гэж үздэг. "Тэгшитгэлийн гоо үзэсгэлэн нь туршилтын өгөгдөлтэй тохирохоос илүү чухал юм. ... Гоо сайхныг тэгшитгэлд хүрэхийн тулд хичээж, эрүүл зөн совинтой бол тэгэх юм шиг санагддаг зөв зам дээр" Түүний тооцооллын ачаар позитрон буюу эсрэг электроныг нээсэн бөгөөд тэрээр электрон доторх "эргэлт" буюу энгийн бөөмийн эргэлтийг урьдчилан таамагласан юм.


13. Ж.Максвелл цахилгаан, соронзон, оптикийн бүх үзэгдлийг нэгтгэсэн гайхалтай тэгшитгэлүүдийг олж авсан. Германы гайхалтай физикч, бүтээгчдийн нэг статистик физик, Людвиг Больцманн Максвеллийн тэгшитгэлийн талаар: "Бурхан эдгээр үсгийг бичээгүй гэж үү?"


14. Шредингерийн тэгшитгэл Өгөгдсөн цэвэр төлөвийн орон зай, цаг хугацааны өөрчлөлтийг тодорхойлсон тэгшитгэл долгионы функц, Гамильтон хэлээр квант систем. Тоглодог квант механиксонгодог механикт Ньютоны хоёр дахь хуулийн тэгшитгэлтэй адил чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.