x-ийн косинус хэд вэ? Тригонометрийн үндсэн томъёо

Энэ нийтлэлд бид цогцоор нь авч үзэх болно. Тригонометрийн үндсэн адилтгалууд нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хооронд холбоо тогтоож, эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр олох боломжийг олгодог тэгшитгэлүүд юм.

Энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаацгаая. Тэдгээрийг хүснэгтэд бичээд доор нь эдгээр томъёоны гаралтыг өгч, шаардлагатай тайлбаруудыг өгнө.

Хуудасны навигаци.

Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал

Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн талаар ярьдаггүй, харин нэг ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгтөрлийн . Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн шинж чанараас түүний аль алиныг нь тус тусад нь хуваасны дараа тэгш байдлыг олж авдаг. Тэгээд синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.

Энэ нь, онцгой сонирхолЭнэ нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй нэрийг өгсөн тэгш байдлыг яг таг илэрхийлдэг.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг батлахын өмнө бид түүний томъёоллыг өгдөг: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил байна. Одоо үүнийг баталъя.

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь ихэвчлэн хэрэглэгддэг үед хувиргалт тригонометрийн илэрхийллүүд . Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг урвуу дараалал: нэгжийг дурын өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.

Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс

Нэг харах өнцгийн синус ба котангенстай тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг ба синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг шууд дагаж мөрдөөрэй. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса, тангенс нь ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. , ба котангенс нь абсцисс ба ординатын харьцаа, өөрөөр хэлбэл, .

Ийм тодорхой байдлын ачаар таних тэмдэг болон Тангенс ба котангенсыг ихэвчлэн абсцисса ба ординатын харьцаагаар биш, харин синус ба косинусын харьцаагаар тодорхойлдог. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.

Энэ зүйлийг дүгнэж хэлэхэд таних тэмдэг болон Эдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд утга учиртай бүх өнцөгт явагдана. Тэгэхээр томъёо нь (эсвэл хуваагч нь тэг байх болно, тэгээр хуваахыг бид тодорхойлоогүй) болон томъёоноос өөр ямар ч тохиолдолд хүчинтэй байна. - for all , өөр , энд z нь дурын .

Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал

Бүр илүү ойлгомжтой тригонометрийн ижилсэлөмнөх хоёроос илүү нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг юм . Энэ нь -ээс өөр өнцөгт тохирох нь тодорхой бөгөөд өөрөөр хэлбэл тангенс эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.

Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас . Нотлох баримтыг арай өөрөөр хийж болох байсан. Түүнээс хойш , Тэр .

Тэгэхээр тэдгээрийн утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь .

Тригонометр - хэсэг математикийн шинжлэх ухаан, тригонометрийн функцууд болон тэдгээрийн геометрийн хэрэглээг судалдаг. Тригонометрийн хөгжил эрт дээр үеэс эхэлсэн эртний Грек. Дундад зууны үед Ойрхи Дорнод, Энэтхэгийн эрдэмтэд энэ шинжлэх ухааныг хөгжүүлэхэд чухал хувь нэмэр оруулсан.

Энэ нийтлэлийг зориулав үндсэн ойлголтуудба тригонометрийн тодорхойлолт. Энэ нь синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг авч үздэг. Тэдний утгыг геометрийн хүрээнд тайлбарлаж, дүрсэлсэн болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Эхлээд аргумент нь өнцөг болох тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг талуудын харьцаагаар илэрхийлсэн. зөв гурвалжин.

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт

Өнцгийн синус (sin α) нь энэ өнцгийн эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус (cos α) - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа.

Өнцгийн тангенс (t g α) - харьцаа эсрэг хөлзэргэлдээх рүү.

Өнцгийн котангенс (c t g α) - зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа.

Эдгээр тодорхойлолтыг тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөгт өгсөн болно!

Нэг жишээ хэлье.

IN ABC гурвалжинтэгш өнцөгт C синус A өнцгөөр харьцаатай тэнцүү байнахөл BC гипотенуз AB хүртэл.

Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтууд нь гурвалжны талуудын мэдэгдэж буй уртаас эдгээр функцүүдийн утгыг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Санах нь чухал!

Синус ба котангенсийн утгын муж нь -1-ээс 1 хүртэл байна. Өөрөөр хэлбэл, синус ба косинусын утгууд нь -1-ээс 1 хүртэл байна. Шүргэгч ба котангенсийн утгын муж нь бүхэл тооны шугам, өөрөөр хэлбэл эдгээр функцууд ямар ч утгыг авч болно.

Дээр өгөгдсөн тодорхойлолтууд нь хурц өнцөгт хамаарна. Тригонометрийн хувьд эргэлтийн өнцгийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд түүний утга нь хурц өнцгөөс ялгаатай нь 0-ээс 90 градусаар хязгаарлагдахгүй, градус буюу радианаар эргэх өнцгийг - ∞-аас + ∞ хүртэлх бодит тоогоор илэрхийлдэг. .

IN энэ хүрээндТа дурын хэмжээтэй өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлж болно. Төсөөлөөд үзье нэгж тойрогдекартын координатын системийн гарал үүслээр төвлөрсөн.

Координаттай (1, 0) анхны А цэг нь тодорхой α өнцгөөр нэгж тойргийн төвийг тойрон эргэлдэж, А 1 цэг рүү очдог. Тодорхойлолтыг А 1 (x, y) цэгийн координатаар өгсөн болно.

Эргэлтийн өнцгийн синус (нүгэл).

Эргэлтийн өнцгийн синус α нь A 1 (x, y) цэгийн ординат юм. нүгэл α = у

Эргэлтийн өнцгийн косинус (cos).

Эргэлтийн өнцгийн косинус α нь А 1 (x, y) цэгийн абсцисса юм. cos α = x

Эргэлтийн өнцгийн тангенс (tg).

Эргэлтийн өнцгийн шүргэгч α нь А 1 (x, y) цэгийн ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. t g α = y x

Эргэлтийн өнцгийн котангенс (ctg).

Эргэлтийн өнцгийн котангенс α нь А 1 (x, y) цэгийн абсциссыг түүний ординаттай харьцуулсан харьцаа юм. c t g α = x y

Аливаа эргэлтийн өнцгийн хувьд синус ба косинусыг тодорхойлно. Эргүүлсний дараах цэгийн абсцисса ба ординатыг дурын өнцгөөр тодорхойлж болох тул энэ нь логик юм. Тангенс ба котангенсийн хувьд байдал өөр байна. Эргүүлсний дараа цэг нь тэг абсцисса (0, 1) ба (0, - 1) цэг рүү очих үед шүргэгч тодорхойгүй байна. Ийм тохиолдолд t g α = y x шүргэгчийн илэрхийлэл нь тэгээр хуваагдахыг агуулж байгаа тул утгагүй болно. Нөхцөл байдал котангентын хувьд ижил төстэй байна. Ялгаа нь цэгийн ординат тэг болж байгаа тохиолдолд котангенс тодорхойлогдоогүйд оршино.

Санах нь чухал!

Ямар ч α өнцгийн хувьд синус ба косинусыг тодорхойлно.

Тангенс нь α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) -аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлогддог.

Котангенс нь α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) -аас бусад бүх өнцөгт тодорхойлогддог.

Шийдвэр гаргахдаа практик жишээнүүд"эргэлтийн өнцгийн синус α" гэж бүү хэл. "Эргэлтийн өнцөг" гэсэн үгсийг зүгээр л орхигдуулсан бөгөөд энэ нь юу яригдаж байгаа нь контекстээс аль хэдийн тодорхой болсон гэсэн үг юм.

Тоонууд

Тооны эргэлтийн өнцгийг бус синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох талаар юу хэлэх вэ?

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенс тнь синус, косинус, тангенс, котангенстай тэнцүү тоо юм традиан.

Жишээлбэл, 10 π тооны синус синустай тэнцүүэргэлтийн өнцөг 10 π рад.

Тооны синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Хэн ч бодит тоо тНэгж тойрог дээрх цэг нь тэгш өнцөгт декартын координатын системийн гарал үүслийн төвтэй холбоотой. Энэ цэгийн координатаар синус, косинус, тангенс, котангенсыг тодорхойлно.

Тойрог дээрх эхлэх цэг нь координаттай (1, 0) А цэг юм.

Эерэг тоо т

Сөрөг тоо тнь цагийн зүүний эсрэг тойргийн эргэн тойронд хөдөлж байвал эхлэх цэг хүрэх цэгтэй тохирч байна замаар явах болнот.

Тойрог дээрх тоо ба цэгийн хоорондын холбоо тогтоогдсон тул синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт руу шилжлээ.

t-ийн синус (нүгэл).

Тооны синус т- тоонд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат т. sin t = y

Косинус (cos) t

Тооны косинус т- тоонд тохирох нэгж тойргийн цэгийн абсцисса т. cos t = x

Тангенс (тг) t

Тооны тангенс т- тоонд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординатыг абсцисстай харьцуулсан харьцаа т. t g t = y x = sin t cos t

Хамгийн сүүлийн үеийн тодорхойлолтууд нь энэ зүйлийн эхэнд өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байгаа бөгөөд зөрчилдөхгүй. Тоотой тохирох тойрог дээр заа т, өнцгөөр эргүүлсний дараа эхлэх цэг хүрэх цэгтэй давхцдаг традиан.

Өнцгийн болон тоон аргументуудын тригонометрийн функцууд

α өнцгийн утга бүр нь энэ өнцгийн синус ба косинусын тодорхой утгатай тохирч байна. α = 90 ° + 180 ° k-ээс бусад бүх α өнцөгтэй адил k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) нь тодорхой шүргэгч утгатай тохирч байна. Дээр дурдсанчлан котангенс нь α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) -ээс бусад бүх α-д тодорхойлогддог.

sin α, cos α, t g α, c t g α нь альфа өнцгийн функцууд буюу өнцгийн аргументын функцууд гэж бид хэлж чадна.

Үүний нэгэн адил бид синус, косинус, тангенс, котангенсийн талаар тоон аргументын функц болгон ярьж болно. Бодит тоо бүр ттооны синус эсвэл косинусын тодорхой утгатай тохирч байна т. π 2 + π · k, k ∈ Z-ээс бусад бүх тоонууд шүргэгч утгатай тохирч байна. Котангенс нь π · k, k ∈ Z-ээс бусад бүх тоонуудын нэгэн адил тодорхойлогддог.

Тригонометрийн үндсэн функцууд

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн функцууд юм.

Тригонометрийн функцийн аль аргумент нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг ( өнцгийн аргументэсвэл тоон аргумент) бид харьцаж байна.

Хамгийн эхэнд өгөгдсөн тодорхойлолтууд болон 0-ээс 90 градусын хооронд орших альфа өнцөгт эргэн оръё. Тригонометрийн тодорхойлолтуудсинус, косинус, тангенс, котангенс нь бүрэн нийцдэг геометрийн тодорхойлолтууд, тэгш өнцөгт гурвалжны харьцааг ашиглан өгөгдсөн. Үүнийг үзүүлье.

Тэгш өнцөгт төвтэй нэгж тойрог ав Декарт системкоординатууд А (1, 0) цэгийг 90 хүртэл өнцгөөр эргүүлж, үүссэн A 1 (x, y) цэгээс абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр зуръя. Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинд A 1 O H өнцөг байна өнцөгтэй тэнцүүэргэх α, хөл O H урт нь A 1 (x, y) цэгийн абсциссатай тэнцүү байна. Өнцгийн эсрэг талын хөлийн урт нь A 1 (x, y) цэгийн ординаттай тэнцүү бөгөөд энэ нь нэгж тойргийн радиус тул гипотенузын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Геометрийн тодорхойлолтын дагуу α өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синусыг талуудын харьцаагаар тодорхойлох нь альфа нь 0-ээс 90 градусын хооронд байрлах эргэлтийн өнцгийн α-ийн синусыг тодорхойлохтой тэнцүү гэсэн үг юм.

Үүнтэй адилаар косинус, тангенс, котангенсийн хувьд тодорхойлолтуудын нийцлийг харуулж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хамгийн энгийн шийдэл тригонометрийн тэгшитгэл.

Аливаа түвшний нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцэстээ хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг. Мөн үүнд хамгийн сайн туслагчдахин тригонометрийн тойрог болж хувирав.

Косинус ба синусын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Өнцгийн косинус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Өнцөгний синус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Хөдөлгөөний эерэг чиглэл тригонометрийн тойрогЦагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөнийг авч үзнэ. 0 градусын эргэлт (эсвэл 0 радиан) нь координаттай (1;0) цэгтэй тохирч байна.

Бид эдгээр тодорхойлолтыг энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

1. Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл нь тойрог дээрх ординат нь -тэй тэнцүү цэгүүдэд тохирох эргэлтийн өнцгийн бүх утгуудаар хангагдана.

Ординат тэнхлэг дээр ординаттай цэгийг тэмдэглэе.

Гүйцэе хэвтээ шугамтойрогтой огтлолцох хүртэл х тэнхлэгтэй параллель байна. Бид тойрог дээр хэвтэж, ординаттай хоёр оноо авдаг. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна:

Хэрэв бид эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгийг радианаар үлдээвэл тойрч гарна бүтэн тойрог, дараа нь бид радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгт хүрнэ, ординат нь ижил байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ эргэлтийн өнцөг нь бидний тэгшитгэлийг хангадаг. Бид хүссэн хэмжээгээрээ "сул" эргэлт хийж, ижил цэг рүү буцаж очих боломжтой бөгөөд эдгээр бүх өнцгийн утгууд нь бидний тэгшитгэлийг хангана. "Хөдөлгөөнгүй" эргэлтүүдийн тоог үсгээр (эсвэл) тэмдэглэнэ. Учир нь бид эдгээр хувьсгалыг эерэг, сөрөг аль алинаар нь хийж чадна сөрөг чиглэл, (эсвэл ) ямар ч бүхэл тоо авч болно.

Энэ нь эхний цуврал шийдлүүд юм анхны тэгшитгэлхэлбэртэй байна:

, , - бүхэл тооны багц (1)

Үүний нэгэн адил хоёр дахь цуврал шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, Хаана, . (2)

Таны таамаглаж байсанчлан энэхүү цуврал шийдлүүд нь тойрог дээрх эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэг дээр суурилдаг.

Эдгээр хоёр цуврал шийдлийг нэг оруулгад нэгтгэж болно:

Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, бүр) авбал эхний цуврал шийдлүүдийг авах болно.

Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, сондгой) авбал хоёр дахь цуврал шийдлүүдийг авна.

2. Одоо тэгшитгэлээ шийдье

Энэ нь өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса тул бид тэнхлэг дээрх абсцисс бүхий цэгийг тэмдэглэнэ.

Гүйцэе босоо шугамтойрогтой огтлолцох хүртэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ байна. Бид тойрог дээр хэвтэж, абсциссатай хоёр оноо авна. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна. Цагийн зүүний дагуу хөдөлж байх үед бид сөрөг эргэлтийн өнцгийг олж авдаг гэдгийг санаарай.

Хоёр цуврал шийдлийг бичье:

,

,

(Бид үндсэн бүтэн тойргоос гарах замаар хүссэн цэг рүүгээ хүрдэг, өөрөөр хэлбэл.

Эдгээр хоёр цувралыг нэг оруулгад нэгтгэцгээе:

3. Тэгшитгэлийг шийд

Шүргэх шугам нь OY тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координат (1,0) цэгийг дайран өнгөрдөг.

Үүн дээр 1-тэй тэнцүү ординат бүхий цэгийг тэмдэглэе (бид аль өнцөг нь 1-тэй тэнцүү байх тангенсыг хайж байна):

Энэ цэгийг координатын эхтэй шулуун шугамаар холбож, шугамын огтлолцох цэгүүдийг нэгж тойрогтой тэмдэглэе. Шулуун шугам ба тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь эргэх өнцөгтэй тохирч байна.

Бидний тэгшитгэлийг хангах эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүд бие биенээсээ радиан зайд оршдог тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

4. Тэгшитгэлийг шийд

Котангентын шугам нь тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координаттай цэгээр дамжин өнгөрдөг.

Котангентын шулуун дээрх абсцисса -1 цэгийг тэмдэглэе.

Энэ цэгийг шулуун шугамын эхтэй холбож, тойрогтой огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье. Энэ шулуун шугам нь тойрог болон радиануудын эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүдээр тойргийг огтолно.

Эдгээр цэгүүд бие биенээсээ -тэй тэнцүү зайгаар тусгаарлагдсан тул ерөнхий шийдэлБид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг харуулсан жишээнүүдэд бид ашигласан хүснэгтийн утгуудтригонометрийн функцууд.

Гэсэн хэдий ч, тэгшитгэлийн баруун талд хүснэгт бус утгыг агуулж байвал бид утгыг тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд орлуулна.

ТУСГАЙ ШИЙДЭЛ:

Ординат нь 0 байх тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэе.

Ординат нь 1-тэй тэнцүү тойрог дээр нэг цэгийг тэмдэглэе.

Ординат нь -1-тэй тэнцүү тойрог дээр нэг цэгийг тэмдэглэе.

Тэгтэй ойролцоо утгыг зааж өгдөг заншилтай тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

Тойрог дээрх абсцисса нь 0-тэй тэнцүү цэгүүдийг тэмдэглэе.

5.
Тойрог дээрх абсцисс нь 1-тэй тэнцүү нэг цэгийг тэмдэглэе.

Тойрог дээрх абсцисс нь -1-тэй тэнцүү нэг цэгийг тэмдэглэе.

Мөн арай илүү төвөгтэй жишээнүүд:

1.

Синус нэгтэй тэнцүү, хэрэв аргумент тэнцүү бол

Бидний синусын аргумент тэнцүү тул бид дараахь зүйлийг авна.

Тэгш байдлын хоёр талыг 3-т хуваая:

Хариулт:

2.

Косинус тэгтэй тэнцүү, хэрэв косинусын аргумент нь тэнцүү бол

Манай косинусын аргумент нь -тэй тэнцүү тул бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд эсрэг тэмдгээр баруун тийш шилжинэ.

Баруун талыг хялбарчилъя:

Хоёр талыг -2-т хуваана:

k нь бүхэл тоон утгыг авч болох тул нэр томьёоны өмнөх тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Эцэст нь "Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийг ашиглан сонгох" видео хичээлийг үзээрэй тригонометрийн тойрог"

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай бидний яриа үүгээр өндөрлөв. Дараагийн удаа бид хэрхэн шийдэх талаар ярилцах болно.

Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг сайн ойлгохын тулд эхлээд харахад, нарийн төвөгтэй ойлголтууд(энэ нь олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг), "Чөтгөр зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхнээс нь эхэлж, өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгоцгооё.

Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус

Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.

Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!

Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус, радианаар хэмжиж болно.

(нэг градус) өнцгийг гэж нэрлэдэг төв өнцөгтойргийн хэсэгтэй тэнцэх дугуй нуман дээр тулгуурлан тойрог дотор. Тиймээс бүх тойрог нь дугуй нумын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь ижил өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр тулгуурладаг.

Радиан дахь өнцөг гэдэг нь тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нумаар оршдог тойргийн төв өнцөг юм. За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Хэрэв үгүй ​​​​бол зурган дээрээс үүнийг олж мэдье.

Тиймээс зураг нь өнцгийг харуулж байна радиантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, энэ өнцөг нь дугуй нуман дээр тулгуурладаг бөгөөд түүний урт нь тойргийн радиустай тэнцүү (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү) урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.

За, үүнийг мэдэж байгаа тул тойргийн дүрсэлсэн өнцөгт хэдэн радиан агуулагдаж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Энд байна:

За, одоо энэ хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь ихэвчлэн контекстээс тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэсэн үгийг орхигдуулдаг.

Хэдэн радиан байдаг вэ? Энэ нь зөв!

Ойлгосон уу? Дараа нь үргэлжлүүлээд засаарай:

Хэцүү байна уу? Дараа нь хар хариултууд:

Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс

Тиймээс бид өнцгийн тухай ойлголтыг олж мэдсэн. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зэргэлдээх зөв өнцөг), мөн хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, харин хөл нь эсрэгээрээ байна. Тэгэхээр одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.

Өнцгийн синус- энэ нь эсрэг талын (алсын) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алслагдсан) хажуугийн (ойр) харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг эсрэг (хол) руу харьцуулсан харьцаа юм.

Манай гурвалжинд.

Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юунд хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчТэгээд котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусТэгээд косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:

Косинус→хүрэх→хүрэх→зэргэлдээ;

Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.

Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа нь эдгээр талуудын уртаас (ижил өнцгөөр) хамаардаггүй тул синус, косинус, тангенс, котангенс гэдгийг санах хэрэгтэй. Надад итгэхгүй байна уу? Дараа нь зургийг хараад итгэлтэй байна:

Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.

Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд нэгтгэж үзээрэй!

Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.

За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: өнцгийн хувьд адилхан тооцоол.

Нэгж (тригонометрийн) тойрог

Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийг судлахад маш их хэрэг болно. Тиймээс үүнийг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье.

Таны харж байгаагаар өгөгдсөн тойрогДекартын координатын системээр бүтээгдсэн. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд тойргийн төв нь эхлэл дээр байрладаг. эхлэх байрлалРадиусын вектор нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байна (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).

Тойрог дээрх цэг бүр нь тэнхлэгийн координат ба тэнхлэгийн координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоонууд юу вэ? Тэгээд ер нь тэд ярьж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид зөв гурвалжны талаар санаж байх хэрэгтэй. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? Энэ нь зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, энэ нь . Энэ утгыг косинусын томъёонд орлуулъя. Энд юу болох вэ:

Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? За мэдээж! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.

Тэгэхээр тойрогт хамаарах цэг ямар координаттай болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо байвал яах вэ? Энэ нь аль координаттай тохирч байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, координатууд! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Энэ нь зөв, координат! Тиймээс, хугацаа.

Тэгвэл юутай тэнцүү вэ? Зөв шүү, шүргэгч ба котангенсийн харгалзах тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.

Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:

Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээнд? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэцгээе. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар утгатай вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.

Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсийн утгууд нь харгалзах харьцаатай байна. Тиймээс эдгээр хамаарал нь радиус векторын аль ч эргэлтэнд хамаарна.

Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та тодорхой утгын өнцгийг авах болно, гэхдээ зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг , мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.

Тэгэхээр, тойрог тойрсон радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг болно бүрэн эргэлтэсвэл байрлалд зогсдог.

Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.

Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид (ямар нэг бүхэл тоо) эсвэл өөр өөр өнцөг нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.

Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд таарч байна гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор бичиж болно, эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна)

Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юу вэ гэдэгт хариулахыг хичээ.

Энд танд туслах нэгж тойрог байна:

Хэцүү байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:

Эндээс бид тодорхой өнцгийн хэмжигдэхүүнд тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:

Байхгүй байна;

Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө туршиж үзээд дараа нь хариултуудыг шалгана уу.

Хариултууд:

Байхгүй

Байхгүй

Байхгүй

Байхгүй

Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.

Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.

Гэхдээ доорхи хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:

Битгий ай, одоо бид танд нэг жишээ үзүүлэх болно харгалзах утгыг санах нь маш энгийн:

Энэ аргыг ашиглахын тулд өнцгийн гурван хэмжүүрийн синусын утгыг (), мөн өнцгийн тангенсийн утгыг санах нь чухал юм. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд маш энгийн байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:

Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт заасан сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай диаграммыг санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.

Тойрог дээрх цэгийн координатууд

Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?

За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Үүнийг гаргацгаая ерөнхий томъёоцэгийн координатыг олох.

Жишээлбэл, бидний өмнө тойрог байна:

Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлэх замаар олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.

Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.

Үүнтэй ижил логикийг ашиглан бид цэгийн y координатын утгыг олно. Тиймээс,

Тэгэхээр, in ерөнхий үзэлЦэгүүдийн координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Тойргийн төвийн координатууд,

Тойргийн радиус,

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.

Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.

За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж эдгээр томъёог туршиж үзье?

1. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

2. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

3. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

4. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

5. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?

Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл сайн шийдэж байгаарай) та тэдгээрийг олж сурах болно!

1.

Та үүнийг анзаарч болно. Гэхдээ бүрэн хувьсгалд юу тохирохыг бид мэднэ эхлэх цэг. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.

2. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Та үүнийг анзаарч болно. Эхлэлийн цэгийн хоёр бүтэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.

Синус ба косинус нь хүснэгтийн утга юм. Бид тэдгээрийн утгыг санаж, дараахь зүйлийг олж авдаг.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

3. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:

Та үүнийг анзаарч болно. Зураг дээрх асуултын жишээг дүрсэлцгээе:

Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү ба өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус авдаг болохыг тогтоов сөрөг утга, мөн синус эерэг байвал бидэнд:

Илүү дэлгэрэнгүй ижил төстэй жишээнүүдЭнэ сэдвээр тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ойлгодог.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

4.

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)

Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.

Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдсэнээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олъё.

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана

Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,

Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)

Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).

Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авъя:

ба - хүснэгтийн утгууд. Тэднийг санаж, томъёонд орлъё:

Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хажуугийн (ойр) талтай харьцуулсан харьцаа юм.

Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ (ойр) талын эсрэг (алс) талтай харьцуулсан харьцаа юм.

Жишээ нь:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Аргумент ба утга

Хурц өнцгийн косинус

Хурц өнцгийн косинустэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглан тодорхойлж болно - энэ нь зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаатай тэнцүү байна.

Жишээ :

1) Өнцөг өгье, бид энэ өнцгийн косинусыг тодорхойлох хэрэгтэй.

2) Энэ өнцгөөр дурын тэгш өнцөгт гурвалжинг дуусгацгаая.

3) хэмжилт хийсний дараа, шаардлагатай талууд, бид косинусыг тооцоолж болно.

Тооны косинус

Тооны тойрог нь дурын тооны косинусыг тодорхойлох боломжийг олгодог боловч ихэвчлэн та тоонуудын косинусыг дараахтай холбоотой олдог: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\).

Жишээлбэл, \(\frac(π)(6)\) тооны хувьд косинус нь \(\frac(\sqrt(3))(2)\)-тай тэнцүү байх болно. Мөн \(-\)\(\frac(3π)(4)\) тооны хувьд \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ойролцоогоор \\ (-0 ,71\)).

Практикт ихэвчлэн тохиолддог бусад тоонуудын косинусыг үзнэ үү.

Косинусын утга нь үргэлж \(-1\)-ээс \(1\) хооронд байдаг. Энэ тохиолдолд косинусыг ямар ч өнцөг, тоогоор тооцоолж болно.

Аливаа өнцгийн косинус

Тооны тойргийн ачаар та зөвхөн хурц өнцөг төдийгүй мохоо, сөрөг, бүр \(360°\) (бүрэн эргэлт)-ээс их косинусыг тодорхойлж чадна. Үүнийг хэрхэн хийх нь \(100\) удаа сонсохоос нэг удаа харахад хялбар байдаг тул зургийг хараарай.

Одоо тайлбар: бид өнцгийн косинусыг тодорхойлох хэрэгтэй гэж бодъё КОА-тай градусын хэмжүүр\(150°\) дотор. Гол санааг нэгтгэж байна ТУХАЙтойргийн төв ба хажуу талтай OK– \(x\) тэнхлэгтэй. Үүний дараа цагийн зүүний эсрэг \(150°\) хойш тавь. Дараа нь цэгийн ординат АЭнэ өнцгийн косинусыг бидэнд харуулах болно.

Хэрэв бид градусын хэмжигдэхүүнтэй өнцгийг сонирхож байгаа бол, жишээлбэл, \(-60°\) (өнцөг КОВ), мөн адил хийх боловч \(60°\) цагийн зүүний дагуу тохируулна уу.

Эцэст нь, өнцөг нь \(360°\) (өнцөг CBS) - бүх зүйл тэнэг зүйлтэй төстэй, зөвхөн цагийн зүүний дагуу бүтэн эргэлт хийсний дараа бид хоёр дахь тойрог руу явж, "зэрэглэлийн дутагдал" авдаг. Тодруулбал, манай тохиолдолд \(405°\) өнцгийг \(360° + 45°\) гэж зурсан.

Өнцөг зурахын тулд жишээлбэл \(960°\) хоёр эргэлт хийх (\(360°+360°+240°\)), өнцгийг \(2640°) болгох шаардлагатай гэдгийг таахад амархан. °\) - бүхэл бүтэн долоо.

Тооны косинус, косинус хоёрыг яаж солих вэ дурын өнцөгбараг адилхан тодорхойлогддог. Зөвхөн тойрог дээрх цэгийг олох арга л өөрчлөгддөг.

Косинусын тэмдгүүдийг улиралаар нь

Косинусын тэнхлэгийг (өөрөөр хэлбэл зураг дээр улаанаар тодруулсан абсцисса тэнхлэг) ашиглан тоон (тригонометрийн) тойргийн дагуух косинусын тэмдгүүдийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Тэнхлэг дээрх утгууд \(0\)-ээс \(1\) хүртэл байвал косинус нэмэх тэмдэгтэй байна (I ба IV дөрөвний нэг - ногоон талбай),
- тэнхлэг дээрх утгууд \(0\) -ээс \(-1\ хүртэл) байвал косинус нь хасах тэмдэгтэй байна (II ба III улирал - нил ягаан талбай).

Бусад тригонометрийн функцуудтай харилцах:

\(\cos⁡x=a\) тэгшитгэлийн шийдэл

\(\cos⁡x=a\) тэгшитгэлийн шийдэл, энд \(a\) нь \(1\)-ээс ихгүй, \(-1\)-ээс багагүй тоо, i.e. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Хэрэв \(a>1\) эсвэл \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Тооны тойргийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдье. Үүнийг хийхийн тулд:
1) Тэнхлэгүүдийг барьцгаая.
2) Тойрог байгуулцгаая.
3) Косинусын тэнхлэгт (тэнхлэг \(y\)) цэгийг тэмдэглэнэ \(\frac(1)(2)\) .
4) Энэ цэгээр дамжуулан косинусын тэнхлэгт перпендикуляр зур.
5) Перпендикуляр ба тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэ.
6) Эдгээр цэгүүдийн утгыг тэмдэглэе: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) томъёог ашиглан эдгээр цэгүүдэд харгалзах бүх утгыг бичье:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Хариулт: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

\(y=\cos(x)\) функц

Хэрэв бид \(x\) тэнхлэгийн дагуу өнцгүүдийг радианаар, \(y\) тэнхлэгийн дагуу эдгээр өнцөгт харгалзах косинусын утгуудыг зурвал дараах графикийг авна.

Энэ графикийг нэрлэх ба дараах шинж чанаруудтай.

Тодорхойлолтын домэйн нь x-ийн дурын утга юм: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- утгын хүрээ – \(-1\)-ээс \(1\) хүртэл: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- тэгш: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- үе үе \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд:
абсцисса тэнхлэг: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), энд \(n ϵ Z\)
Y тэнхлэг: \((0;1)\)
- тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд:
функц нь интервал дээр эерэг байна: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), энд \(n ϵ Z\)
функц нь дараах интервалууд дээр сөрөг байна: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), энд \(n ϵ Z\)
- өсөлт ба бууралтын интервал:
функц нь интервал дээр нэмэгддэг: \((π+2πn;2π+2πn)\), энд \(n ϵ Z\)
функц нь интервал дээр буурдаг: \((2πn;π+2πn)\), энд \(n ϵ Z\)
- функцийн хамгийн их ба доод хэмжээ:
функц нь \(x=2πn\) цэгүүдэд \(y=1\) хамгийн их утгатай байна, \(n ϵ Z\)
функц нь \(x=π+2πn\) цэгүүдэд \(y=-1\) хамгийн бага утгатай байна, \(n ϵ Z\).