Marrëdhënia e gjinisë dhe specieve midis koncepteve. Përkufizimi i konceptit

Çdo objekt matematikor ka disa vetitë. Kështu, për shembull, një trekëndësh ka këto veti: ka tre brinjë; 2) tre qoshet e brendshme; 3) gjashtë çifte janë të barabarta qoshet e jashtme etj.Deklarata të tilla për praninë ose mungesën e ndonjë pasurie në një objekt të caktuar quhen gjykimet. Këtu janë më shumë shembuj të gjykimeve: 1) një katërkëndësh ka dy diagonale; 2) çdo numër natyror pasohet menjëherë në serinë natyrore nga një numër tjetër natyror; 3) një numër çift plotpjesëtohet me dy, etj.

Gjykimet janë gjithashtu oferta, duke treguar marrëdhëniet ose lidhjet midis objekteve, për shembull: "5 është më e madhe se 3", " ABështë brinja e trekëndëshit ABC", "Këndi A nuk është ngjitur me këndin NË", etj. Por pyetjet apo kërkesat nuk janë gjykime.?

Ndër vetitë e çdo objekti ka thelbësore dhe jo thelbësore për përcaktimin e tij. Një pronë është thelbësore nëse është e natyrshme në këtë objekt dhe pa të nuk mund të ekzistojë. Vetitë e parëndësishme janë zakonisht të rastësishme, si rregull, mungesa e tyre nuk ndikon në ekzistencën e objektit. Vini re se gjatë zgjidhjes detyra specifike vetitë e objekteve që janë përgjithësisht të parëndësishme mund të jenë gjithashtu thelbësore për zgjidhjen e një problemi të caktuar.

Konsideroni, për shembull, trekëndëshi dykëndësh, treguar në Fig. 3. Vetitë e tij: 1) brinjët e trekëndëshit AB Dhe dielli të barabartë; 2) mesatare BD pingul me bazën AC dhe ndan këndin NË gjysmat janë vetitë thelbësore të këtij trekëndëshi. Këtu janë vetitë: 3) bazë AC trekëndëshi dykëndësh ABC horizontalisht ose 4) kulmi i një trekëndëshi dykëndësh tregohet me shkronjë NË- janë të parëndësishme. Nëse e rrotullojmë disi këtë trekëndësh dhe baza e tij rezulton të jetë jo horizontale ose caktojmë kulmin me ndonjë shkronjë tjetër, atëherë trekëndëshi nuk do të pushojë së qeni dykëndësh.

Prandaj, për të kuptuar se çfarë lloj objekti është, mjafton të njihen vetitë thelbësore të tij. Në këtë rast thonë se ka koncept në lidhje me këtë objekt. Prandaj, koncept- ky është një grup holistik gjykimesh për vetitë thelbësore të objektit përkatës. Ky grup i vetive të ndërlidhura të një objekti (kjo është arsyeja pse ai quhet holistik) quhet përmbajtjen e konceptit në lidhje me këtë objekt.

Vini re se kur ata flasin për një objekt matematikor, ata zakonisht nënkuptojnë të gjithë grupin e objekteve të shënuar me një term (emër). Pra, kur ata flasin për një objekt matematikor - një trekëndësh, ata nënkuptojnë gjithçka forma gjeometrike, që janë trekëndësha. Bashkësia e të gjithë trekëndëshave është fushëveprimi i konceptit rreth trekëndëshit. Në të njëjtën mënyrë, bashkësia e të gjithë numrave natyrorë përbën shtrirjen e koncepteve për një numër natyror. Prandaj, fushëveprimi i konceptitështë bashkësia e të gjitha objekteve të shënuara me të njëjtin term.

Pra, çdo koncept ka një shtrirje të caktuar dhe përmbajtjen. Ato janë të ndërlidhura: sa më i madh të jetë vëllimi i një koncepti, aq më i vogël përmbajtja e tij dhe anasjelltas: sa më i vogël të jetë vëllimi, aq më shumë përmbajtjen e konceptit. Kështu, për shembull, shtrirja e konceptit "trekëndëshi izosceles" është më i vogël se shtrirja e konceptit "trekëndësh", sepse shtrirja e konceptit të parë nuk përfshin të gjithë trekëndëshat, por vetëm ato dykëndëshe. Por përmbajtja e konceptit të parë është padyshim më e madhe se përmbajtja e të dytit, sepse një trekëndësh izoscelular ka jo vetëm të gjitha vetitë e një trekëndëshi, por edhe veti të veçanta, e natyrshme vetëm për trekëndëshat izoscelorë.

Përmbajtja e konceptit të çdo objekti matematik përfshin shumë veti të ndryshme thelbësore të këtij objekti. Megjithatë, për të njohur një objekt dhe për të përcaktuar nëse ai i përket një koncepti të caktuar apo jo, mjafton të kontrollohet nëse ai ka vetëm disa veti thelbësore. Tregimi i këtyre vetive thelbësore të një objekti koncept, të cilat janë të mjaftueshme për të njohur këtë objekt, quhet përkufizimi i një koncepti.

Çdo përkufizim i një koncepti matematik zakonisht ndërtohet kështu: së pari tregohet emri objekt të këtij koncepti, atëherë renditen veti të tilla thelbësore që bëjnë të mundur të vërtetohet nëse ky apo ai objekt është objekt këtë koncept apo jo.

Për shembull, përkufizimi i një paralelogrami: "Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele." Siç mund ta shohim, ky përkufizim është ndërtuar si më poshtë: së pari tregohet emri i objektit të konceptit të përcaktuar - paralelogrami, pastaj tregohen vetitë e tij: 1) paralelogrami është katërkëndësh; 2) anët e tij të kundërta janë paralele. Vetia e parë është një tregues i konceptit më të përgjithshëm të cilit i përket koncepti që përkufizohet. Ky koncept më i përgjithshëm quhet stërgjyshore në lidhje me konceptin e përcaktuar. NË në këtë rast Koncepti i përgjithshëm për një paralelogram është një katërkëndësh. Vetia e dytë është një tregues specie veti që dallon një paralelogram nga llojet e tjera të katërkëndëshit. Këtu është një shembull tjetër i një përkufizimi: “Numrat çift janë ata numrat natyrorë, të cilat janë shumëfisha të numrit 2". Ky përkufizim, ashtu si ai i mëparshmi, është ndërtuar sipas skemës së mëposhtme:

Në këtë rast kemi: emrin e konceptit të përcaktuar - numra çift, koncepti gjenerik - numra natyrorë, dallime specifike - shumëfisha të numrit 2.

Përkufizimi i koncepteve sipas kësaj skeme quhet përkufizimi përmes dallimeve në gjini dhe specie.

Ndonjëherë në matematikë ka mënyra të tjera për të përcaktuar konceptet. Merrni, për shembull, përkufizimin e një trekëndëshi: "Një trekëndësh është një figurë që përbëhet nga tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë dhe nga tre segmente në çift që i lidhin ato." Ky përkufizim tregon një koncept të përgjithshëm për një trekëndësh - një figurë, dhe si një ndryshim specifik, tregohet një metodë për ndërtimin e një figure të tillë, e cila është një trekëndësh: duhet të merrni tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. dhe lidhni secilën palë me një segment. Ky përkufizim quhet gjenetike(nga fjala gjenezë- origjina). Këtu është një shembull tjetër i një përkufizimi gjenetik: "Simetria rreth një pike është një transformim i tillë i një figure F në formë F" në të cilën çdo pikë X shifrat F shkon tek pika X" shifrat F", i ndërtuar si më poshtë: në vazhdim të segmentit Oh për pikë RRETH segmenti shtyhet oh", të barabartë Oh Këtu, si një lloj ndryshimi midis transformimit të simetrisë në lidhje me një pikë dhe llojeve të tjera të transformimeve, tregohet metoda e ndërtimit të pikave të figurës. F", figura simetrike F në lidhje me pikën RRETH.

Në matematikë ka edhe përkufizime që tregojnë se si objektet e konceptit të përcaktuar mund të merren njëri pas tjetrit sipas renditjes. Për shembull, përkufizimi i një progresion aritmetik jepet si më poshtë: "Një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me anëtarin e mëparshëm të shtuar në të njëjtin numër, quhet progresion aritmetik." Koncepti i përcaktuar këtu është progresion aritmetik, koncept i përgjithshëm - sekuenca e numrave, si dallim specifik, tregohet një metodë për marrjen e të gjithë anëtarëve të progresionit, duke filluar nga e dyta, e cila konsiston në faktin se për të marrë ndonjë anëtar, duhet të shtohet i njëjti numër anëtarit të mëparshëm. Ky përkufizim mund të shkruhet si formulën e mëposhtme:

Ky përkufizim quhet induktive(nga fjala induksioni- duke treguar në konkluzioni nga e veçanta në të përgjithshme) ose të përsëritura(nga fjala rekursion- kthimi).

Megjithatë, jo të gjitha konceptet matematikore mund të përkufizohen logjikisht në mënyrat e mësipërme. Në të vërtetë, çdo përkufizim i një koncepti matematikor e redukton konceptin e përcaktuar në një koncept të përgjithshëm (më të përgjithshëm, d.m.th., me një vëllim më të madh) përkufizimi i një koncepti të përgjithshëm e redukton atë në një koncept edhe më të madh koncept i gjerë etj. Është e qartë se ky proces i reduktimit të disa koncepteve në më të gjerë, më shumë konceptet e përgjithshme duhet të ketë një fund, nuk mund të jetë i pafund. Me fjalë të tjera, në fund, gjatë përcaktimit të koncepteve, duhet të arrijmë në koncepte që nuk janë më të reduktueshme për të tjerët, domethënë nuk janë të përcaktueshme logjikisht. Koncepte të tilla në matematikë quhen fillore ose kryesore.

Për shembull, kur përcaktojmë një paralelogram, e reduktojmë në konceptin e katërkëndëshit kur përcaktojmë një katërkëndësh, e reduktojmë në konceptin e një shumëkëndëshi, pastaj në konceptin e një figure gjeometrike, e cila, kur përcaktohet, reduktohet në; koncepti i një pike. Koncepti i një pike nuk është më i përcaktueshëm, d.m.th., primar. Konceptet parësore në matematikë, përveç pikës, janë konceptet e drejtë, plani, përkatësia, numri, bashkësia (bashkësia) dhe disa të tjera.

Pra, gjëja e dytë që duhet të mësoni në matematikë është aftësia për të ndërtuar përkufizime të koncepteve matematikore në një farë mënyre. Kjo aftësi është mjaft komplekse, dhe ne do të flasim për të në bisedën e ardhshme. Ndërkohë, plotësoni detyrën e mëposhtme për të konsoliduar informacionin që keni marrë në këtë bisedë.

Detyra 3

3.1. Cilat nga vetitë e mëposhtme të një trapezi janë thelbësore dhe cilat janë të parëndësishme:

a) Dy anët e trapezit janë paralele.

b) Të dy këndet në në një bazë më të madhe pikante.

c) Shuma e këndeve të një trapezi që i përket njërës anë është 180°.

d) Bazat e trapezit janë horizontale.

e) Të dy këndet në bazë më e vogël trapezoidët janë të topitur.

3.2. Si lidhen objektet matematikore dhe konceptet matematikore?

3.3. Tregoni cilat nga fjalitë e mëposhtme janë gjykime dhe cilat jo:

a) Janë tre mediana në një trekëndësh.

b) Medianat e një trekëndëshi priten në një pikë.

c) Cili është produkti i fuqive me baza të njëjta?

d) Logaritmi i produktit numra pozitiv e barabartë me shumën logaritmet e faktorëve.

3.4. Në përkufizimet e mëposhtme, theksoni emrin e objekteve të koncepteve të përcaktuara, konceptin e përgjithshëm dhe dallimet specifike:

a) Numrat që mund të shkruhen në formë thyesat e zakonshme, quhen racionale.

b) Aritmetike rrënjë katrore nga mesi A thirrur numër jo negativ, katrori i të cilit është i barabartë me A.

c) Dy drejtëza në një rrafsh quhen paralele nëse nuk priten.

d) Nëse pika RRETHështë mesi i segmentit AB, pastaj pikat A Dhe NË quhen pika simetrike në lidhje me pikën RRETH.

3.5. Formuloni përkufizimin gjenetik të një rrethi, duke ditur se ai është formuar si rezultat i rrotullimit të një segmenti në një rrafsh rreth njërit prej skajeve të tij, skaji i dytë i këtij segmenti në këtë rast përshkruan një rreth.

3.6. Termat e sekuencës Fibonacci (rreth 1170-1250) jepen duke përdorur formulën e mëposhtme: a n+2 =a n+1 +a n. Formuloni një përkufizim të kësaj sekuence. Cili është ky përkufizim?

3.7. Bëjmë përshkrimin e mëposhtëm të ndërtimit të drejtëzave pingule: “Let A Dhe b- dy vija të kryqëzuara. Kur ato kryqëzohen, formohen katër qoshe. Le të jetë α një nga këto kënde. Atëherë cilido nga tre këndet e tjerë do të jetë ose ngjitur me këndin α ose vertikal me këndin α. Nga kjo rrjedh se nëse njëri nga këndet është i drejtë, atëherë edhe këndet e tjera janë të drejta. Në këtë rast themi se drejtëzat priten në kënde të drejta dhe i quajmë pingul".

Bazuar në këtë përshkrim, formuloni një përkufizim të drejtëzave pingule.

3.8. Moduli i një numri përcaktohet me formulën e mëposhtme:

Formuloni një përkufizim verbal të modulit të një numri.

3.9. Një sekuencë quhet në rritje nëse secili anëtar është më i madh se anëtari i mëparshëm. Shkruani këtë përkufizim duke përdorur një formulë.

3.10. Siç e dini, një trekëndësh izosceles është një trekëndësh në të cilin dy brinjë janë të barabarta dhe trekëndëshi i rregullt- kjo është ajo në të cilën të gjitha anët janë të barabarta. A është një trekëndësh i rregullt dykëndësh?

3.11. Tregoni konceptet gjenerike më të afërta për konceptet e mëposhtme: a) katror; b) shkalla c tregues natyror; V) kënde vertikale; d) numri i thjeshtë; d) akord.

3.12. Specifikoni disa koncepte gjenerike për konceptin e rombit.

3.13. A është e nevojshme (dhe a është e mundur) të vërtetohen përkufizimet?

Fusha dhe përmbajtja e konceptit. Marrëdhëniet ndërmjet koncepteve

Kapitulli 6. Konceptet matematikore

Pyetje sigurie

1. Cili pohim quhet teoremë?

2. Për një teoremë të formës A(X) Þ NË(X) shkruani kundrinorin, kundrinorin, kundrinorin e kundrinorit t fjalis. Në cilin rast propozimet rezultuese do të jenë teorema?

Çdo objekt matematikor ka veti të caktuara. Për shembull, një romb ka 4 qoshe, 4 anët, anët e kundërta janë paralele. Ju mund të specifikoni vetitë e tjera, për shembull, diagonale AC të vendosura horizontalisht.

Vetitë dallohen midis thelbësore dhe jo thelbësore. Një pronë konsiderohet thelbësore për një objekt nëse është e natyrshme në këtë objekt dhe pa të nuk mund të ekzistojë. Vetitë jo thelbësore janë ato veti, mungesa e të cilave nuk ndikon në ekzistencën e objektit.

Vetitë thelbësore: kanë 4 brinjë të barabarta, 4 kënde.

Vetitë jo thelbësore: kulmi NË shtrihet përballë majës D, diagonale AC të vendosura horizontalisht.

Për të kuptuar se çfarë është një objekt i caktuar, duhet të dini vetitë e tij thelbësore. Në këtë rast, themi se ekziston një koncept për këtë objekt.

Kur njerëzit flasin për një koncept matematikor, ata zakonisht nënkuptojnë shumë objekte të shënuara me një term. Pra, duke folur për një trekëndësh, nënkuptojmë të gjitha figurat gjeometrike që janë trekëndësha.

Çdo koncept ka vëllim dhe përmbajtje.

Përkufizimi. Shtrirja e një koncepti është grupi i të gjitha objekteve të shënuara me një term.

Përkufizimi. Përmbajtja e një koncepti është tërësia e të gjitha vetive thelbësore të një objekti të pasqyruara në këtë koncept.

Shembull. Le të shqyrtojmë konceptin e "paralelogramit". Vëllimi i konceptit është një grup paralelogramësh të ndryshëm (përfshirë rombët, drejtkëndëshat, katrorët). Përmbajtja e konceptit përfshin veti të tilla të paralelogrameve si "kanë 4 anë", "kanë anët paralele të kundërta", "kanë të barabarta kënde të kundërta"etj.

Ekziston një lidhje e tillë midis vëllimit dhe përmbajtjes së një koncepti: sa "më i madh" vëllimi i një koncepti, aq "më i vogël" përmbajtja e tij dhe anasjelltas. Për shembull, qëllimi i konceptit "romb" është pjesë e konceptit "paralelogram", dhe përmbajtja e konceptit "romb" përmban më shumë prona sesa në përmbajtjen e konceptit “paralelogram”. Për shembull, në përmbajtjen e konceptit "romb" ekziston vetia "të gjitha anët janë të barabarta", e cila nuk është në përmbajtjen e konceptit "paralelogram".

Marrëdhëniet midis koncepteve janë të lidhura ngushtë me marrëdhëniet midis vëllimeve të tyre.

Le të biem dakord për të përcaktuar konceptet shkronjat e vogla A, b, Me, d,..., dhe vëllimet e tyre në përputhje me rrethanat A, NË, ME, D,… .

Nëse shtrirja e koncepteve A Dhe b mos kryqëzohen, d.m.th. A Ç NË= Æ, atëherë thonë se konceptet A Dhe b të papajtueshme. Shembuj të koncepteve të papajtueshme janë konceptet e trapezit dhe trekëndëshit.

Nëse shtrirja e koncepteve A Dhe b kryqëzohen, d.m.th. A Ç NË¹ Æ, atëherë ata thonë se konceptet A Dhe b të pajtueshme. Një shembull është një drejtkëndësh dhe një romb.

Nëse shtrirja e koncepteve A Dhe b përkojnë, d.m.th. A = NË, atëherë ata thonë se konceptet A Dhe b janë identike. Një shembull është një katror dhe një romb me një kënd të drejtë.

Nëse shtrirja e konceptit Aështë një nëngrup i duhur i fushëveprimit të konceptit b, d.m.th. AÌ NË, A ¹ NË, pastaj ata thonë se:

a) koncept Aështë specifike në lidhje me konceptin b, koncept b– gjenerike në lidhje me konceptin A;

b) koncepti A më i ngushtë se një koncept b, koncept b më i gjerë se koncepti A;

c) koncepti A ka rast i veçantë konceptet b, dhe koncepti b– përgjithësimi i konceptit A.

Shembull: koncepti "katror" është specifik në lidhje me konceptin "drejtkëndësh", dhe koncepti "drejtkëndësh" është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "katror".

Le të hedhim një vështrim më të afërt në lidhjen e fundit.

1) Konceptet e gjinisë dhe specieve janë relative. I njëjti koncept mund të jetë specifik në lidhje me një koncept dhe gjenerik në lidhje me një tjetër. Për shembull, koncepti "drejtkëndësh" është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "katror" dhe specifik në lidhje me konceptin "paralelogram".

2) Për një koncept të caktuar, shpesh mund të tregoni disa koncepte gjenerike, ndër të cilat mund të tregoni më të afërtin. Për shembull, konceptet gjenerike për konceptin "katror" do të jenë konceptet "drejtkëndësh", "paralelogram", "katërkëndësh". Më i afërti prej tyre do të jetë koncepti i "drejtkëndëshit".

3) Koncepti i specieve ka të gjitha vetitë e konceptit gjenerik. Për shembull, koncepti i "rombit" është specifik në lidhje me konceptin "paralelogram"; Rombët kanë të gjitha vetitë e paralelogrameve.

Le të shqyrtojmë marrëdhënien midis koncepteve të "segmentit" dhe "vijës së drejtë". Fushëveprimi i këtyre koncepteve nuk mbivendoset, sepse Asnjë segment i vetëm nuk mund të quhet i drejtë dhe anasjelltas. Për këto koncepte mund të themi se ato janë në lidhje me të tërën dhe me pjesën: një segment është pjesë e një rreshti dhe jo lloji i saj. Vini re se një pjesë nuk ka gjithmonë vetitë e së tërës. Një vijë e drejtë është e pafundme, por një segment jo.

Shfaqja në matematikë e koncepteve të reja, pra terma të rinj që tregojnë këto koncepte, presupozon përkufizimin e tyre.

Një përkufizim është zakonisht një fjali që shpjegon thelbin e një termi të ri. Si rregull, kjo bëhet në bazë të koncepteve të prezantuara më parë. Të përkufizosh një koncept do të thotë të tregosh vetitë thelbësore të një objekti, të cilat janë të mjaftueshme për të njohur objektin.

Ka përkufizime të qarta dhe të nënkuptuara.

E qartë përkufizimet kanë formën e barazisë, koincidencës së dy koncepteve, mund të përfaqësohet në këtë formë: A po (sipas përkufizimit) b. Fjalët "është (sipas përkufizimit)" zakonisht zëvendësohen nga simboli, dhe më pas përkufizimi duket si ky: Ab.

Merrni parasysh përkufizimin e një katrori: "Një katror është një drejtkëndësh me brinjë të barabarta". Në këtë përkufizim, mund të dallojmë konceptin e përcaktuar "katror" dhe konceptin përcaktues "drejtkëndësh me brinjë të barabarta".

Shembuj të përkufizimeve të qarta.

Përkufizimi përmes ndryshimit të gjinisë dhe specieve. Duket si:

koncept përcaktues

Një shembull i një përkufizimi të tillë është përkufizimi i një katrori të dhënë më sipër.

Kërkesat për përcaktimin përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik:

ü Përkufizimi duhet të jetë proporcional - fushëveprimi i koncepteve të përcaktuara dhe përcaktuese duhet të përkojë. Për shembull, përkufizimi "Një katror është një katërkëndësh me brinjë të barabarta" nuk është proporcional, sepse bashkësia e katërkëndëshave me brinjë të barabarta është bashkësia e rombeve.

ü Përkufizimi nuk duhet të përmbajë rrethi vicioz– nuk mund të përkufizosh një koncept përmes vetvetes. Kështu, është e pamundur të jepet përkufizimi i mëposhtëm: "shtimi është veprimi në të cilin numrat mblidhen së bashku".

ü Përkufizimi duhet të jetë i qartë - kuptimet e termave të përfshirë në konceptin përcaktues duhet të jenë të njohura deri në momentin e përcaktimit të konceptit të ri. Për shembull, nuk mund të përkufizoni një katror si një romb me kënde të drejta nëse koncepti i një paralelogrami nuk është mësuar ende.

ü Përkufizimi duhet të jetë i mjaftueshëm - përkufizimi duhet të tregojë të gjitha vetitë që bëjnë të mundur identifikimin e paqartë të objekteve që i përkasin fushëveprimit të konceptit që përcaktohet. Për shembull, në përkufizimin "Një përgjysmues këndi është një rreze që ndan një kënd në gjysmë" nuk e ka këtë veti, sepse nuk tregohet se rrezja del nga kulmi i këndit.

ü Përkufizimi nuk duhet të jetë i tepërt - nuk duhet të specifikohen veçori të panevojshme. Kështu, në përkufizimin "Një romb është një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe diagonalet janë reciproke pingule", vetia që diagonalet janë reciproke pingule është e tepërt.

2) Gjenetike - tregohet mënyra e formimit të objektit të përcaktuar. Për shembull: "Një shumëvijë është një vijë e përbërë nga pika dhe segmente që i lidhin ato

3) Induktiv - tregohen disa objekte themelore të teorisë dhe rregullave që ju lejojnë të merrni të reja nga ato ekzistuese. Për shembull: " Progresioni gjeometrikështë një sekuencë numerike, çdo anëtar i së cilës, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër."

Implicite përkufizimet nuk kanë formën e rastësisë së dy koncepteve. Në to është e pamundur të dallohen konceptet e përcaktuara dhe përcaktuese.

Shembuj të përkufizimeve të nënkuptuara.

1) Kontekstual - përmbajtja e një koncepti të ri zbulohet përmes një pasazhi të tekstit, përmes kontekstit. Shembull: pas regjistrimit 3 + X= 9 dhe një listë me numrat 2, 3, 6 dhe 7 është teksti: " X – numër i panjohur, i cili duhet gjetur. Cili numër duhet të zëvendësohet në vend X kështu që barazia është e vërtetë? Ky është numri 6." Nga ky tekst del se një ekuacion është një barazi me një numër të panjohur që duhet gjetur, dhe zgjidhja e një ekuacioni do të thotë të gjesh një vlerë të tillë. X, kur zëvendësohet në ekuacion, fitohet barazia e saktë.

2) Ostensive - futja e termave duke treguar, demonstruar objektet që tregojnë këto terma. Shembull: 2< 7, 2 · 4 >5 janë pabarazitë.

Përkufizimet e nënkuptuara përdoren shpesh në shkollën fillore.

Pyetje sigurie

1. Cilat veti konsiderohen thelbësore dhe jo thelbësore për një objekt?

2. Çfarë nënkuptohet me shtrirjen e një koncepti?

3. Çfarë nënkuptohet me përmbajtjen e një koncepti?

4. Në çfarë raporti janë vëllimet e koncepteve nëse konceptet janë të papajtueshme, të pajtueshme, identike, nëse një koncept është specifik në raport me një koncept tjetër?

5. Çfarë do të thotë të përkufizosh një koncept?

6. Cilat përkufizime i referohen eksplicite dhe implicite?

7. Cilat rregulla duhet të ndiqen kur formulohen përkufizimet e koncepteve sipas gjinisë dhe dallimeve specifike?

Vetitë thelbësore: kanë 4 brinjë të barabarta, 4 kënde.

Vetitë jo thelbësore: kulmi NË shtrihet përballë majës D, diagonale AC të vendosura horizontalisht.

Për të kuptuar se çfarë është një objekt i caktuar, duhet të dini vetitë e tij thelbësore. Në këtë rast, themi se ekziston një koncept për këtë objekt.

Çdo koncept ka vëllim dhe përmbajtje.

Përkufizimi. Shtrirja e një koncepti është grupi i të gjitha objekteve të shënuara me një term.

Përkufizimi. Përmbajtja e një koncepti është tërësia e të gjitha vetive thelbësore të një objekti të pasqyruara në këtë koncept.

Ekziston një lidhje e tillë midis vëllimit dhe përmbajtjes së një koncepti: sa "më i madh" vëllimi i një koncepti, aq "më i vogël" përmbajtja e tij dhe anasjelltas. Për shembull, qëllimi i konceptit "romb" është pjesë e konceptit "paralelogram", dhe përmbajtja e konceptit "romb" përmban më shumë veti sesa përmbajtja e konceptit "paralelogram". Për shembull, në përmbajtjen e konceptit "romb" ekziston vetia "të gjitha anët janë të barabarta", e cila nuk është në përmbajtjen e konceptit "paralelogram".

Marrëdhëniet midis koncepteve janë të lidhura ngushtë me marrëdhëniet midis vëllimeve të tyre.

Le të biem dakord për të treguar konceptet me shkronja të vogla A, b, Me, d,..., dhe vëllimet e tyre në përputhje me rrethanat A, NË, ME, D,… .

Nëse shtrirja e koncepteve A Dhe b kryqëzohen, d.m.th. A Ç NË¹ Æ, atëherë ata thonë se konceptet A Dhe b të pajtueshme. Një shembull është një drejtkëndësh dhe një romb.

Nëse shtrirja e koncepteve A Dhe b përkojnë, d.m.th. A = NË, atëherë ata thonë se konceptet A Dhe b janë identike. Një shembull është një katror dhe një romb me një kënd të drejtë.

Nëse shtrirja e konceptit Aështë një nëngrup i duhur i fushëveprimit të konceptit b, d.m.th. AÌ NË, A ¹ NË, pastaj ata thonë se:

a) koncept Aështë specifike në lidhje me konceptin b, koncept b– gjenerike në lidhje me konceptin A;

b) koncepti A më i ngushtë se një koncept b, koncept b më i gjerë se koncepti A;

c) koncepti A ekziston një rast i veçantë i konceptit b, dhe koncepti b– përgjithësimi i konceptit A.

Shembull: koncepti "katror" është specifik në lidhje me konceptin "drejtkëndësh", dhe koncepti "drejtkëndësh" është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "katror".

Le të hedhim një vështrim më të afërt në lidhjen e fundit.

Së pari , konceptet gjini dhe specie janë relative : i njëjti koncept mund të jetë i përgjithshëm në lidhje me një koncept dhe specifik në lidhje me një tjetër. Për shembull, koncepti "drejtkëndësh" është i përgjithshëm në lidhje me konceptin "katror" dhe specifik në lidhje me konceptin "katërkëndësh".

Së dyti, Për një koncept të caktuar, shpesh është e mundur të specifikohen disa koncepte të përgjithshme. Kështu, për konceptin e "drejtkëndëshit" konceptet e përgjithshme janë "katërkëndësh", "paralelogram", "poligoni". Midis tyre, ju mund të tregoni më të afërtin. Për konceptin "drejtkëndësh" koncepti më i afërt është "paralelogram".

Së treti, koncepti i specieve ka të gjitha vetitë e një koncepti gjenerik. Për shembull, një katror, duke qenë një koncept specifik në lidhje me konceptin "drejtkëndësh", ka të gjitha vetitë e natyrshme në një drejtkëndësh.

Meqenëse vëllimi i një koncepti është një grup, është e përshtatshme, kur vendosni marrëdhënie midis vëllimeve të koncepteve, t'i përshkruani ato duke përdorur rrathët Euler.

NË

3) a - "drejt", b - "segment".

Vëllimet e koncepteve nuk kryqëzohen, pasi asnjë segment i vetëm nuk mund të thuhet se është një vijë e drejtë dhe asnjë vijë e vetme e drejtë nuk mund të quhet segment. Për rrjedhojë, këto koncepte nuk janë në lidhje me gjininë dhe speciet.

Për konceptet "vijë e drejtë" dhe "segment" mund të themi se ato janë në lidhje me të tërën dhe pjesën: një segment është një pjesë e një vije dhe jo lloji i saj.

Shënim: Nëse një koncept specie ka të gjitha vetitë e një koncepti gjenerik, atëherë një pjesë nuk i ka domosdoshmërisht të gjitha vetitë e tërësisë.

Për shembull, segmenti nuk ka të njëjtat veti të drejtëzës si pafundësia e tij.

3. Përkufizimi i koncepteve

Shfaqja në matematikë e koncepteve të reja, pra terma të rinj që tregojnë këto koncepte, presupozon përkufizimin e tyre.

Një përkufizim është zakonisht një fjali që shpjegon thelbin e një termi (ose emërtimi) të ri. Si rregull, kjo bëhet në bazë të koncepteve të prezantuara më parë. Për shembull, Një drejtkëndësh mund të përkufizohet si më poshtë: "Një drejtkëndësh është një katërkëndësh, këndet e të cilit janë të gjitha të drejta." Ky përkufizim ka dy pjesë - koncept i përcaktueshëm(drejtkëndësh) dhe koncept përcaktues(katërkëndësh me të gjitha këndet e drejta). Nëse konceptin e parë e shënojmë me a dhe të dytin me b, atëherë ky përkufizim mund të paraqitet në formën e mëposhtme:

a është (sipas përkufizimit) b

Fjalët "është (sipas përkufizimit)" zakonisht zëvendësohen nga simboli, dhe më pas përkufizimi duket si ky: A b

Ata lexojnë: "a është ekuivalente me b sipas përkufizimit". Ju gjithashtu mund ta lexoni këtë hyrje në këtë mënyrë: "dhe nëse dhe vetëm nëse b."

Përkufizimet me këtë strukturë quhen e dukshme. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt në to.

Le t'i kthehemi përsëri përkufizimit të një drejtkëndëshi, ose më mirë, në pjesën e dytë të tij - konceptin përcaktues. Ai përfshin:

1) koncepti i "katërkëndëshit", i cili është stërgjyshore në lidhje me konceptin "drejtkëndësh",

2) vetia “të kemi të gjitha këndet e drejta”, e cila na lejon të zgjedhim një lloj nga të gjithë katërkëndëshat e mundshëm - drejtkëndëshat; prandaj e thërrasin dallimi i specieve.

Përkufizimi. Dallimet specifike janë vetitë (një ose më shumë) që lejojnë dikë të dallojë objektet e përcaktuara nga qëllimi i konceptit të përgjithshëm.

Rezultatet e analizës sonë mund të paraqiten në formën e një diagrami

Përcaktimi i konceptit

Vini re se në paraqitjen vizuale të strukturës së përkufizimit përmes dallimit të gjinisë dhe specieve, kemi bërë disa pasaktësi. Së pari, fjalët "koncept gjenerik" nënkuptojnë këtë ne po flasim për rreth konceptit gjenerik në raport me atë të përcaktuar. Së dyti, nuk është plotësisht e qartë se çfarë do të thotë shenja "+", e cila dihet se përdoret për të treguar mbledhjen e numrave. Kuptimi i kësaj shenje do të bëhet i qartë pak më vonë, kur të shohim kuptimin matematikor të lidhëzës "dhe". Ndërkohë, le të njihemi me një mundësi tjetër të përfaqësimit vizual të përkufizimit përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik. Nëse koncepti i përcaktuar shënohet me shkronjë A, i përcaktuar me shkronjën b, një koncept i përgjithshëm (në lidhje me atë që përkufizohet) - me shkronjën Me, dhe ndryshimi i specieve tregohet me shkronjë R, atëherë përkufizimi përmes ndryshimit të gjinisë dhe specieve mund të përfaqësohet si më poshtë:

Pse tregohet ndryshimi i specieve? shkronja kapitale, do ta zbulojmë më vonë.

Ne e dimë se çdo koncept ka një vëllim. Nëse koncepti a përcaktohet përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik, atëherë për vëllimin e tij - bashkësinë A - mund të themi se ai përmban objekte që i përkasin grupit C (vëllimi i konceptit gjenerik c) dhe kanë vetinë P: A. = ( x | xО C dhe P(x)).

Për shembull, nëse jepet përkufizimi: "Një kënd akut është një kënd që është më i vogël se një kënd i drejtë", atëherë qëllimi i konceptit " kënd akut"është një nëngrup i grupit të të gjithë këndeve të rrafshët që kanë vetinë të jenë më pak se një kënd i drejtë."

Meqenëse përkufizimi i një koncepti përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik është në thelb një marrëveshje e kushtëzuar për futjen e një termi të ri për të zëvendësuar çdo grup termash të njohur, është e pamundur të thuhet për përkufizimin nëse ai është i saktë apo i pasaktë; as nuk vërtetohet dhe as nuk kundërshtohet. Por kur formulojnë përkufizime, ata i përmbahen një sërë rregullash. Le të përmendim ato kryesore.

Kërkesat për përcaktimin e koncepteve

Përcaktimi duhet të jetë proporcional.

Kjo do të thotë se qëllimi i koncepteve të përcaktuara dhe përcaktuese duhet të përkojë. Ky rregull rrjedh nga fakti se konceptet e përcaktuara dhe përcaktuese janë të këmbyeshme.

Për shembull, konceptet "drejtkëndësh" dhe "katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta" janë proporcionale. Nëse qëllimi i konceptit përcaktues përfshin shtrirjen e konceptit të përcaktuar, atëherë ata flasin për gabimin e një përkufizimi tepër të gjerë. Kështu, përkufizimi i “Direct a Dhe b quhen paralele nëse nuk kanë pikat e përbashkëta ose përputhet” është shumë i gjerë, pasi mjaftohet edhe me kalimin e vijave të drejta. Nëse qëllimi i konceptit përcaktues është më i ngushtë se qëllimi i konceptit të përcaktuar, atëherë ndodh gabimi i një përkufizimi shumë të ngushtë. Për shembull, përkufizimi i "Direct a Dhe b quhen paralele nëse nuk kanë pika të përbashkëta” është shumë e ngushtë, pasi nuk plotësohet me vija që përputhen.

Nuk duhet të ketë rreth vicioz në përkufizim (ose sistemin e tyre).

Kjo do të thotë se është e pamundur të përcaktohet një koncept përmes vetvetes (përkufizimi nuk duhet të përmbajë termin që përkufizohet) ose ta përkufizosh atë përmes një koncepti tjetër që përcaktohet përmes tij.

Le të marrim konceptet e mëposhtme matematika elementare, si "shumëzimi" dhe "produkt" dhe jepini përkufizimet e mëposhtme:

Shumëzimi i numrave është veprimi me të cilin gjendet prodhimi i këtyre numrave.

Prodhimi i numrave është rezultat i shumëzimit të tyre.

Ne shohim se shumëzimi përcaktohet përmes konceptit të produktit, dhe produkti - përmes konceptit të shumëzimit. Përkufizimet formuan, siç thonë ata në matematikë, një rreth vicioz. Si rezultat, zinxhiri i përkufizimeve vijuese të ndërtuara brenda kursit ndërpritet.

Rrethi vicioz gjendet gjithashtu në përkufizimin e mëposhtëm: "Zgjidhja e një ekuacioni është numri që është zgjidhja e tij." Këtu koncepti i "zgjidhjes së një ekuacioni" përcaktohet, në thelb, përmes zgjidhjes së një ekuacioni.

Përkufizimi duhet të jetë i qartë.

Ky është një rregull i qartë në shikim të parë, por do të thotë shumë. Para së gjithash, kërkohet që kuptimet e termave të përfshira në konceptin përcaktues të dihen deri në momentin e prezantimit të përkufizimit të konceptit të ri.

Për shembull, nuk mund të përkufizohet një drejtkëndësh si një paralelogram me një kënd të drejtë nëse koncepti i "paralelogramit" nuk është marrë ende në konsideratë.

Kushtet për qartësinë e përkufizimit përfshijnë gjithashtu rekomandimin për të përfshirë në dallimin specifik vetëm aq veti sa janë të nevojshme dhe të mjaftueshme për të izoluar objektet e përcaktuara nga qëllimi i konceptit të përgjithshëm.

Le të shqyrtojmë Për shembull, Ky është përkufizimi i një drejtkëndëshi: "Një drejtkëndësh është një katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta dhe anët e kundërta janë të barabarta."

Është e lehtë të shihet se ky përkufizim është proporcional dhe nuk ka asnjë rreth vicioz në të. Por mund të tregohet se vetia "në një drejtkëndësh, anët e kundërta janë të barabarta" e përfshirë në përkufizim rrjedh nga vetia "në një drejtkëndësh, të gjitha këndet janë kënde të drejta". Në këtë rast konsiderohet se këtë përkufizim Vetia e dytë e një drejtkëndëshi është e tepërt. Prandaj, është më e saktë të përcaktohet një drejtkëndësh në këtë mënyrë: "Një drejtkëndësh është një katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta".

Koment. Që një përkufizim të jetë i qartë, është e dëshirueshme që ai të mos përmbajë veti të tepërta në pjesën përcaktuese, d.m.th. veti të tilla që mund të dallohen nga të tjerat e përfshira në këtë përkufizim. Megjithatë, ndonjëherë për paraqitjet e prostatës ky rregull shkelet.

Për të siguruar qartësinë e përkufizimit, është gjithashtu e rëndësishme të kemi një koncept që është i përgjithshëm në lidhje me atë që përkufizohet. Mospërfshirja e një koncepti gjenerik e bën përkufizimin joproporcional. Për shembull, përkufizimi i mëposhtëm i një katrori është i papranueshëm: "Një katror është kur të gjitha anët janë të barabarta".

Kësaj që u tha duhet shtuar se, Kur formulojmë një përkufizim, ne duhet të përpiqemi të tregojmë në konceptin përcaktues jo vetëm një koncept të përgjithshëm në lidhje me atë që përkufizohet, por atë më të afërt. Kjo shpesh lejon që dikush të zvogëlojë numrin e pronave të përfshira në një ndryshim të specieve.

Për shembull, nëse për të përcaktuar një katror zgjedhim konceptin e "katërkëndëshit" si një koncept të përgjithshëm, atëherë do të jetë e nevojshme të përfshihen dy veti në ndryshimin specifik: "të kesh të gjitha këndet e drejta" dhe "të kesh të gjitha anët e barabarta" Si rezultat, marrim përkufizimin: "Një katror është një katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta dhe të gjitha anët janë të barabarta".

Nëse zgjedhim konceptin gjenerik më të afërt për një katror, një drejtkëndësh, si një koncept gjenerik, atëherë marrim më shumë përkufizim i shkurtër katror: "Një katror është një drejtkëndësh, brinjët e të cilit janë të gjitha të barabarta."

Një dhe i njëjti koncept mund të përkufizohet përmes dallimeve në gjini dhe specie, duke respektuar rregullat e formuluara më sipër, në mënyra të ndryshme.

Pra, një katror mund të përkufizohet si:

a) një drejtkëndësh, brinjët ngjitur të të cilit janë të barabarta;

b) një drejtkëndësh që ka kënd të drejtë;

c) një romb që ka kënd të drejtë;

d) një paralelogram në të cilin të gjitha brinjët janë të barabarta dhe këndet janë të drejta.

Përkufizime të ndryshme të të njëjtit koncept janë të mundshme sepse më shumë vetitë e përfshira në përmbajtjen e konceptit, vetëm disa përfshihen në përkufizim. Dhe kur zgjidhet një nga përkufizimet e mundshme, ato rrjedhin nga i cili është më i thjeshtë dhe më i përshtatshëm për ndërtimin e mëtejshëm të teorisë.

Nëse jepet i njëjti koncept, Për shembull, dy përkufizime të ndryshme, atëherë është e nevojshme të vërtetohet ekuivalenca e tyre, d.m.th. për t'u siguruar që vetitë e përfshira në një përkufizim përfshijnë vetitë e përfshira në një tjetër, dhe anasjelltas.

Duke përfunduar shqyrtimin tonë të përkufizimeve të koncepteve përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik, le të emërtojmë sekuencën e veprimeve që duhet të ndjekim nëse duam të riprodhojmë përkufizimin e një koncepti të njohur ose të ndërtojmë një përkufizim të një të ri:

1. Emërtoni konceptin (termin) që përkufizohet.

2. Tregoni konceptin gjenerik më të afërt (në lidhje me atë të përcaktuar).

3. Listoni vetitë që dallojnë objektet e përcaktuara nga vëllimi gjenerik, d.m.th. formuloni dallimet e specieve.

4. Kontrolloni nëse respektohen rregullat për përcaktimin e konceptit (a është proporcionale, a ka rreth vicioz etj.).

Shembuj të eksplicit marrëdhëniet gjini-specie mes shumë koncepteve matematikore që përfshihen në shkollën fillore, jo më shumë. Por duke marrë parasysh rëndësinë e përkufizimit përmes karakteristikave të gjinisë dhe specieve në arsimim të mëtejshëmËshtë e këshillueshme që nxënësit të kuptojnë thelbin e përkufizimit të këtij lloji tashmë në klasat fillore.

5. Përkufizime të nënkuptuara

Gjatë studimit të matematikës në shkollën fillore, përkufizimet përmes dallimit të gjinisë dhe specieve përdoren rrallë. Kjo është për shkak të karakteristikave të kursit dhe aftësive të fëmijëve. Por konceptet në kursi fillestar ka shumë matematikë - folëm për këtë në fillim të leksionit. Si përcaktohen?

Gjatë studimit të matematikës në shkollën fillore, të ashtuquajturat të nënkuptuar përkufizimet. Në strukturën e tyre është e pamundur të dallohen të përcaktuarit dhe përcaktuesi.

Në stërvitje nxënës të shkollave të vogla interes të veçantë Ndër përkufizimet e nënkuptuara janë kontekstuale Dhe simpatik përkufizimet.

Në përkufizimet kontekstuale, përmbajtja e një koncepti të ri zbulohet përmes një pasazhi të tekstit, përmes kontekstit, përmes analizës së një situate specifike që përshkruan kuptimin e konceptit të përcaktuar me ato të tjera të njohura, dhe në këtë mënyrë përmbajtja e tij zbulohet në mënyrë indirekte. Për shembull, duke përdorur në punën me fëmijët shprehje të tilla si "gjeni kuptimin e shprehjes", "krahasoni kuptimin e shprehjeve 5 + a dhe (a - 3) × 2, nëse a = 7", "lexoni shprehjet që janë shuma" , "lexoni shprehjet , dhe më pas lexoni ekuacionet," zgjerojmë konceptin e " shprehje matematikore"si një rekord që përbëhet nga numra ose variabla dhe shenja veprimi.

Ose, një shembull i një përkufizimi kontekstual mund të jetë përkufizimi i një ekuacioni dhe zgjidhja e tij e dhënë në një libër matematike të klasës së tretë. Këtu, pas hyrjes ð + 6 = 15 dhe listës së numrave 0,5,9,10, është teksti: “Cilin numër duhet të shtoni 6 për të bërë 15? Le të shënojmë numrin e panjohur shkronja latine x(x):

X + 6 = 15 është një ekuacion.

Zgjidhja e një ekuacioni nënkupton gjetjen e një numri të panjohur. NË ekuacioni i dhënë numri i panjohur është 9, pasi 9+6=15.

Shpjegoni pse numrat janë 0; 5 dhe 10 nuk janë të përshtatshme.”

Nga teksti i mësipërm rezulton se një ekuacion është një barazi në të cilën ka një numër të panjohur. Mund të caktohet me shkronjën x dhe ky numër duhet të gjendet. Përveç kësaj, nga ky tekst rezulton se zgjidhja e një ekuacioni është një numër që, kur zëvendësohet me x, e kthen ekuacionin në një barazi të vërtetë.

Pothuajse të gjitha përkufizimet që hasim në jetën e përditshme Këto janë përkufizime kontekstuale. Duke dëgjuar fjalë e panjohur, ne përpiqemi ta vendosim vetë kuptimin e tij bazuar në gjithçka që është thënë.

Një gjë e ngjashme ndodh në mësimdhënien e studentëve të rinj. Shumë koncepte matematikore në shkollën fillore përcaktohen përmes kontekstit. Kjo, Për shembull, koncepte të tilla si "i madh - i vogël", "çdo", "çdo", "një", "shumë", "numër", "operacion aritmetik", "ekuacion", "detyrë", etj.

Përkufizimet kontekstuale mbeten kryesisht të paplota dhe të papërfunduara. Ato përdoren për shkak të papërgatitjes së nxënësve të rinj për të zotëruar përkufizimin e plotë dhe veçanërisht shkencor.

Përkufizimet e mprehta janë përkufizime me demonstrim.. Ato ngjajnë me përkufizime të zakonshme kontekstuale, por konteksti këtu nuk është një pasazh i ndonjë teksti, por situata në të cilën gjendet objekti i përcaktuar nga koncepti.

Për shembull, mësuesi tregon një katror (vizatim ose model letre) dhe thotë "Shiko - është një katror". Ky është një përkufizim tipik i mprehtë.

Ato përdoren gjithashtu për të prezantuar termat duke treguar objektet që u referohen këtyre termave. Për shembull, në këtë mënyrë konceptet e barazisë dhe pabarazisë mund të përkufizohen në shkollën fillore:

2 × 7 > 2 × 6 9 × 3 = 27

78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4

Në shkollën fillore, përkufizimet e mprehta përdoren kur merren parasysh koncepte të tilla si "ngjyra e kuqe (e bardhë, e zezë, etj.), "Majtas - djathtas", "nga e majta në të djathtë", "numri", "numri paraardhës dhe pasues", " shenja” veprimet aritmetike", "shenjat krahasuese", "trekëndëshi", "katërkëndëshi", "kubi" etj.

Bazuar në asimilimin e dukshëm të kuptimeve të fjalëve, është e mundur të futet kuptimi verbal i fjalëve dhe frazave të reja në fjalorin e fëmijës. Përkufizimet e mprehta - dhe vetëm ato - lidhin fjalët me gjërat. Pa to, gjuha është thjesht një dantellë verbale që nuk ka përmbajtje objektive, përmbajtësore.

Përkufizimet e mprehta, si ato kontekstuale, karakterizohen nga njëfarë paplotësie. Në të vërtetë, përkufizimi me anë të demonstrimit nuk e dallon një koncept nga fjalitë e tjera, ai nuk tregon veçoritë karakteristike të këtyre koncepteve. Prandaj, pas një përkufizimi kontekstual ose të dukshëm të një koncepti, është i nevojshëm studimi i mëtejshëm i vetive të objekteve të tilla të përcaktuara.

Vini re se në klasat fillore përkufizime të vlefshme si "Fjala "pentagon" do të nënkuptojë një shumëkëndësh me pesë anë." Kjo është e ashtuquajtura "përkufizimi nominal» .

Përkufizime specifike mund të shqyrtojë një koncept me metodën e formimit ose shfaqjes së tij. Ky lloj përkufizimi quhet gjenetike.

Shembuj të përkufizimeve gjenetike: "Një kënd janë rrezet që dalin nga një pikë," "Diagonalja e një drejtkëndëshi është një segment që lidh kulme të kundërta drejtkëndësh." Në shkollën fillore përkufizimet gjenetike përdoret për koncepte të tilla si "segment", "vijë e thyer", "kënd i drejtë", "rreth".

Konceptet gjenetike përfshijnë përkufizimi përmes një liste .

Për shembull, "Seri natyrore e numrave janë numrat 1, 2, 3, 4, etj."

Disa koncepte në klasat fillore futen vetëm përmes afati.

Për shembull, njësitë e kohës vit, muaj, orë, minutë.

Në shkollën fillore ka koncepte që mësohen gjuhë simbolike në formën e një barazie, për shembull, a ×1 = a, a × 0 = 0

Në klasat fillore, shumë koncepte matematikore mësohen fillimisht në mënyrë sipërfaqësore dhe të paqartë. Në njohjen e parë, nxënësit e shkollës mësojnë vetëm për disa veti të koncepteve dhe kanë një ide shumë të ngushtë të fushës së tyre. Dhe kjo është e natyrshme. Jo të gjitha konceptet janë të lehta për t'u kuptuar. Por nuk ka dyshim se të kuptuarit dhe përdorimi në kohë nga mësuesi i llojeve të caktuara të përkufizimeve të koncepteve matematikore është një nga kushtet për formimin e njohuri solide në lidhje me këto koncepte.

Konceptet matematikore mund të jenë në marrëdhënie të ndryshme.

Konceptet janë në lidhje me gjininë dhe specien nëse qëllimi i një koncepti përfshin shtrirjen e një koncepti tjetër, por nuk përkon me të.

1) Një katror dhe një drejtkëndësh janë në lidhje me gjininë dhe speciet, ku një drejtkëndësh është një koncept i përgjithshëm, dhe një katror është një koncept specifik, pasi të gjithë katrorët janë drejtkëndësha, por jo të gjithë drejtkëndëshat janë katrorë.

2) Një segment dhe një vijë e drejtë nuk janë në lidhje me gjininë dhe specien, pasi një segment është pjesë e një vije të drejtë dhe jo shumëllojshmëria e saj. Ata janë në raport me pjesën dhe tërësinë.

Tashmë në mosha parashkollore Fëmijët që herët fillojnë të kuptojnë marrëdhëniet gjini-specie pa i emërtuar në mënyrë eksplicite. Për shembull, kur plotësoni detyrën: "Emërtojeni me një fjalë" (Fig. 4), nënkuptojnë se konceptet "katror", "drejtkëndësh", "trapezoid", "romb",

"paralelogrami" janë specifikë në lidhje me konceptin "katërkëndësh".

Nëse qëllimet e koncepteve përkojnë, atëherë këto koncepte janë identike.

Për shembull, konceptet " trekëndësh barabrinjës" dhe "trekëndësh barabrinjës" janë identikë. Në shkollë, gjatë mësimeve të gjuhës ruse, fëmijët mësojnë konceptin e "sinonimeve" - fjalë që ndryshojnë në tingull, por janë identike në kuptim.

Disa veçori të marrëdhënieve gjenerike ndërmjet koncepteve

1) Konceptet e gjinisë dhe specieve janë relative. I njëjti koncept mund të jetë i përgjithshëm në lidhje me një koncept dhe specifik në lidhje me një tjetër. Për shembull: koncepti "drejtkëndësh" është i përgjithshëm për konceptin "katror", por specifik për konceptin "katërkëndësh".

2) Për një koncept të caktuar, shpesh mund të specifikohen disa koncepte gjenerike. Për shembull, për konceptin "katror" konceptet e përgjithshme janë "drejtkëndësh", "romb", "katërkëndësh", "poligoni", "figura gjeometrike".

3) Koncepti i specieve ka të gjitha vetitë e konceptit gjenerik. Për shembull: një katror ka të gjitha vetitë e një drejtkëndëshi.

4) Nëse dy koncepte janë në lidhje me gjininë dhe speciet, atëherë ekziston një marrëdhënie midis vëllimeve dhe përmbajtjes së tyre: nëse vëllimi është më i madh, atëherë përmbajtja është më e vogël, dhe anasjelltas. Për shembull, shtrirja e konceptit "drejtkëndësh" është më e madhe se shtrirja e konceptit "katror", pasi të gjitha objektet e konceptit të dytë janë gjithashtu objekte të konceptit të parë. Përmbajtja e konceptit "drejtkëndësh" është më pak se përmbajtja e konceptit "katror", pasi një katror ka të gjitha vetitë e një drejtkëndëshi dhe madje edhe vetitë e tjera të natyrshme vetëm për të.

Detyra 2

Emërtoni cilat nga konceptet e mëposhtme lidhen me gjininë dhe llojin: rreth, vijë e thyer, trekëndësh, segment, shumëkëndësh, rreze, rreth.

Përkufizimi i koncepteve

Për të njohur një objekt, nuk është e nevojshme të kontrollohen vetitë e tij thelbësore. Kjo është ajo që ata thonë kur përkufizohet një koncept.

Përkufizimi i konceptit- Kjo operacion logjik, i cili mbulon përmbajtjen e konceptit ose përcakton kuptimin e termit

Përkufizimi i konceptit ju lejon të dalloni projektet e përcaktuara nga objektet e tjera. Kështu, për shembull, përkufizimi i koncepteve " trekëndësh kënddrejtë" ju lejon ta dalloni atë nga trekëndëshat e tjerë.

Ka lloje të ndryshme përkufizimet. Ka përkufizime eksplicite dhe implicite (Fig. 5).

Përkufizimet e qarta marrin formën e barazisë së dy koncepteve. C prej tyre quhen përcaktuar, te tjera - duke përcaktuar.

Për shembull: "Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh, trekëndëshi i të cilit ka një kënd të drejtë." Këtu koncepti i përcaktuar është "trekëndëshi kryesor", dhe koncepti përcaktues është "një trekëndësh që ka një kënd të drejtë".

Lloji më i zakonshëm i përkufizimit të qartë është ndarja përmes dallimit në gjini dhe specie. Përkufizimi i mësipërm i një trekëndëshi kënddrejtë i referohet përkufizimeve të tilla. Koncepti i "trekëndëshit", i përfshirë në përkufizimin e zogjve, është koncepti më i afërt gjenerik në lidhje me konceptin e "trekëndëshit kënddrejtë", dhe vetia "të kesh një prugol" lejon që dikush të veçojë një lloj trekëndëshi kënddrejtë nga të gjithë trekëndëshat.

Dallimi i specieve- një veti thelbësore që dallon konceptin e specieve nga e gjithë gjinia.

Struktura e përkufizimit përmes gjinisë dhe ndryshimit specifik të imazhit; në mënyrë skematike në figurën 6. Duke përdorur këtë skemë, mund të ndërtoni koncepte jo vetëm në matematikë, por edhe në shkenca të tjera.

Rregullat themelore për përcaktimin përmes dallimeve në gjini dhe specie

1) Përkufizimi duhet të jetë proporcional.

Kjo do të thotë se qëllimi i koncepteve të përcaktuara dhe përcaktuese duhet të përkojë. Për shembull, në përkufizimin "Një katror është një katërkëndësh me brinjë të barabarta", u bë një gabim. Këtu, vëllimi i konceptit të përcaktuar është më i vogël se vëllimi i konceptit përcaktues (vëllimi i konceptit përcaktues përmban rombe, të cilët nuk janë domosdoshmërisht katrorë).

2) Nuk duhet të ketë rreth vicioz në përkufizim (ose sistemin e tyre).

Një rreth lind kur koncepti që përcaktohet përcaktohet përmes vetvetes. Një rreth në sistemin e përkufizimeve do të thotë që koncepti që përkufizohet përcaktohet përmes atij përcaktues, dhe koncepti përcaktues përmes atij të përcaktuar. Për shembull: “Vijat pingule janë drejtëza që kur ndërpriten formojnë kënde të drejta. Këndet e drejta janë këndet që formohen kur ndërpriten vijat pingule.”

3) Përkufizimi duhet të jetë i qartë.

Kuptimi i të gjithë termave të përfshirë në pjesën përcaktuese duhet të jetë i qartë dhe i përcaktuar qartë. Për shembull, nëse fëmijët nuk janë të njohur me këndet e drejta, atyre nuk duhet t'u jepet përkufizimi i mëposhtëm: "Një drejtkëndësh është një katërkëndësh me të gjitha këndet e drejta".

4) Objekti që përcaktohet duhet të ekzistojë.

Ndonjëherë, kur jepen përkufizime me analogji, bëhen gabime. Për shembull: "Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh me të gjitha këndet e drejta." Për të korrigjuar gabimin, mund t'i ftoni ata të vizatojnë këtë objekt.

5) Është zakon të quhet koncepti gjenerik më i afërt.

Për të njohur një objekt, nuk është e nevojshme të kontrollohen të gjitha vetitë thelbësore të tij. Kjo përdoret për të përcaktuar një koncept.

Përkufizimi i një koncepti është një veprim logjik që zbulon përmbajtjen e konceptit ose përcakton kuptimin e termit.

Përkufizimi i një koncepti ju lejon të dalloni objektet e përcaktuara nga objektet e tjera. Për shembull, përkufizimi i konceptit "trekëndësh kënddrejtë" na lejon ta dallojmë atë nga trekëndëshat e tjerë.

Ekzistojnë lloje të ndryshme përkufizimesh. Ka përkufizime eksplicite dhe implicite (Fig. 5). Përkufizimet e qarta marrin formën e barazisë së dy koncepteve. Njëra prej tyre quhet e përcaktueshme, tjetra - përcaktuese.

Për shembull: "Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh që ka një kënd të drejtë." Këtu koncepti i përcaktuar është "një trekëndësh kënddrejtë", dhe koncepti përcaktues është "një trekëndësh që ka një kënd të drejtë".

Lloji më i zakonshëm i përkufizimit të qartë është përkufizimi përmes gjinisë dhe dallimit specifik. Përkufizimi i mësipërm i një trekëndëshi kënddrejtë është një nga këto përkufizime. Koncepti i "trekëndëshit", i përfshirë në konceptin përcaktues, është koncepti më i afërt gjenerik në lidhje me konceptin "trekëndësh kënddrejtë", dhe vetia "të kesh një kënd të drejtë" na lejon të zgjedhim një nga llojet nga të gjithë trekëndëshat. - një trekëndësh kënddrejtë.

Dallimi i specieve- një veti thelbësore që dallon konceptin e specieve nga e gjithë gjinia.

Struktura e përkufizimit përmes dallimit të gjinisë dhe specieve është paraqitur në mënyrë skematike në figurën 6. Duke përdorur këtë skemë, është e mundur të ndërtohen përkufizime të koncepteve jo vetëm në matematikë, por edhe në shkenca të tjera.

Për një koncept shpesh ekzistojnë disa koncepte të përgjithshme, për shembull, për konceptin "katror" ne mund të formulojmë përkufizime të ndryshme:

Një katror është një drejtkëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta;

Ky është një romb me të gjitha këndet e drejta;

Ky është një katërkëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe të gjitha këndet janë të drejta;

Ky është një shumëkëndësh që ka 4 brinjë të barabarta dhe 4 kënde të drejta.

Përkufizimi i parë konsiderohet i përshtatshëm, pasi "drejtkëndëshi" është koncepti më i afërt gjenerik në lidhje me konceptin "katror".

6) Është e dëshirueshme që përcaktori të mos përmbajë veti të tepërta.

Është e përshtatshme për të renditur shumë veti thelbësore, por përkufizimi bëhet i rëndë. Kur punoni me fëmijë, ky rregull ndonjëherë shkelet. Për shembull, një fëmijë nxiton të komunikojë të gjitha vetitë thelbësore të një katrori dhe jep përkufizimin e mëposhtëm: "Një katror është një katërkëndësh që ka 4 kënde të drejta dhe 4 brinjë të barabarta."

Detyra 4

Pi në dispozicion gabime logjike V përkufizimet e mëposhtme:

drejtëza paralele - drejtëza që nuk kanë pika të përbashkëta ose që përkojnë;

kënde ngjitur- këto janë kënde që mblidhen deri në 180 gradë;

një drejtkëndësh është një katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta dhe anët e kundërta janë të barabarta;

trekëndësh i mpirë- ky është një trekëndësh me të gjitha këndet e mpirë;

vijat pingule janë drejtëza që janë pingule.

Kur zhvillojnë konceptet fillestare matematikore të fëmijëve, ata më së shpeshti përdorin përkufizime të nënkuptuara, të cilat nuk kanë formën e barazisë së dy koncepteve, për shembull përkufizimet e dukshme dhe kontekstuale.

Përkufizim i mprehtë- ky është një përkufizim i nënkuptuar në të cilin emërtohet dhe tregohet objekti për të cilin është futur termi.

Për shembull:

Ky është një rreth (Fig. 7).

Përkufizimet përmes shfaqjes janë të paplota dhe jo përfundimtare, por janë ato që lidhin fjalët me gjërat.

Kur prezantoni parashkollorët dhe nxënësit e shkollave të vogla në konceptet matematikore, veçanërisht Fig. 7 në fillim të trajnimit, kryesisht përdoren përkufizime ostensive. Sidoqoftë, në të ardhmen kjo kërkon studimin e vetive thelbësore të objekteve, domethënë formimin tek fëmijët e ideve për vëllimin dhe përmbajtjen e koncepteve të përcaktuara fillimisht në mënyrë të dukshme.

Përkufizimi kontekstual është një përkufizim i nënkuptuar në të cilin përmbajtja e një koncepti të ri zbulohet në kontekst - një pasazh teksti.

Për shembull, kur zhvillojnë aktivitetin e numërimit te parashkollorët, fëmijët mësohen të përdorin saktë numrat kardinal dhe rendor: "Për t'iu përgjigjur pyetjes "sa?", duhet të numëroni kështu: një, dy, tre - ky është numërimi sasior, dhe për t'iu përgjigjur pyetjes "cila?"

Përkufizimet kontekstuale mbeten kryesisht të paplota dhe të paqarta, kështu që është e nevojshme të identifikohen vetitë thelbësore të një koncepti të tillë të përcaktuar.

Fjalitë matematikore

Marrëdhëniet ndërmjet sendeve dhe vetive shprehen duke përdorur fjali. Fjalitë mund të formulohen duke përdorur fjalë dhe të shkruhen duke përdorur simbolet matematikore:

Fjalitë e përbëra formohen nga ato elementare me ndihmën e lidhëzave “dhe”, “ose”, pjesëzës “jo” etj. Këto fjalë quhen lidhëza logjike.

Shembuj fjalitë e përbëra të ndryshme në strukturë janë paraqitur në Figurën 8:

Detyra 5

Përcaktoni strukturën e fjalive dhe identifikoni fjalitë elementare në to:

- “Vijat paralele nuk kryqëzohen”;

- « Anët e kundërta drejtkëndëshat janë paralelë dhe të barabartë";

- "Numri përfundon me zero ose pesëfish."