Përmbajtja e artikullit

DERIVATIV– derivat i funksionit y = f(x), dhënë në një interval të caktuar ( a, b) në pikë x i këtij intervali quhet kufiri në të cilin priret raporti i rritjes së funksionit f në këtë pikë tek rritja përkatëse e argumentit kur rritja e argumentit tenton në zero.

Derivati ​​zakonisht shënohet si më poshtë:

Emërtime të tjera përdoren gjithashtu gjerësisht:

Shpejtësia e menjëhershme.

Lëreni pikën M lëviz në vijë të drejtë. Largësia s pikë lëvizëse, e numëruar nga një pozicion fillestar M 0 , varet nga koha t, d.m.th. s ka një funksion të kohës t: s= f(t). Lëreni në një moment në kohë t pikë lëvizëse M ishte në distancë s nga pozicioni fillestar M 0, dhe në një moment tjetër t+D t e gjeti veten në një pozicion M 1 - në distancë s+D s nga pozicioni fillestar ( shih foton.).

Kështu, gjatë një periudhe kohore D t distancë s ndryshuar me shumën D s. Në këtë rast ata thonë se gjatë intervalit kohor D t magnitudë s mori rritje D s.

Shpejtësia mesatare në të gjitha rastet nuk mund të karakterizojë me saktësi shpejtësinë e lëvizjes së një pike M në një moment në kohë t. Nëse, për shembull, trupi në fillim të intervalit D t lëvizi shumë shpejt, dhe në fund shumë ngadalë, atëherë Shpejtësia mesatare nuk do të jetë në gjendje të pasqyrojë tiparet e specifikuara të lëvizjes së pikës dhe të japë një ide për shpejtësinë e vërtetë të lëvizjes së saj në këtë moment t. Për të shprehur më saktë shpejtësinë e vërtetë duke përdorur shpejtësinë mesatare, duhet të merrni një periudhë më të shkurtër kohore D t. Karakterizon më plotësisht shpejtësinë e lëvizjes së një pike në këtë moment t kufiri në të cilin shpejtësia mesatare priret në D t® 0. Ky kufi quhet shpejtësia e lëvizjes në ky moment:

Kështu, shpejtësia e lëvizjes në një moment të caktuar quhet kufiri i raportit të rritjes së rrugës D s në rritjen e kohës D t, kur rritja e kohës tenton në zero. Sepse

Kuptimi gjeometrik i derivatit. Tangjente me grafikun e një funksioni.

Ndërtimi i tangjentave është një nga ato probleme që çuan në lindjen e llogaritjes diferenciale. Puna e parë e botuar në lidhje me llogaritjen diferenciale dhe peruane Leibniz, kishte emrin Metoda e re maksimumi dhe minimumi, si dhe tangjentet, për të cilat nuk shërbejnë si pengesë as madhësi fraksionale e as irracionale dhe një lloj llogaritje e veçantë për këtë..

Le të jetë kurba grafiku i funksionit y =f(x) V sistem drejtkëndor koordinatat ( cm. oriz.).

Në disa vlera x funksioni ka rëndësi y =f(x). Këto vlera x Dhe y pika në kurbë korrespondon M 0(x, y). Nëse argumenti x jap rritje D x, pastaj vlera e re e argumentit x+D x korrespondon me vlerën e funksionit të ri y+ D y = f(x + D x). Pika përkatëse e kurbës do të jetë pika M 1(x+D x,y+D y). Nëse vizatoni një sekant M 0M 1 dhe shënohet me j këndi i formuar nga një transversal me drejtimin pozitiv të boshtit kau, nga figura duket menjëherë se .

Nëse tani D x priret në zero, pastaj pika M 1 lëviz përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës M 0, dhe këndi j ndryshon me D x. Në Dx® 0 këndi j priret në një kufi të caktuar a dhe drejtëza që kalon nëpër pikë M 0 dhe komponenti me drejtim pozitiv të boshtit x, këndi a, do të jetë tangjenta e dëshiruar. Pjerrësia e saj është:

Prandaj, f´( x) = tga

ato. vlerë derivative f´( x) për një vlerë të caktuar argumenti x barazohet me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja me grafikun e funksionit f(x) në pikën përkatëse M 0(x,y) me drejtim të boshtit pozitiv kau.

Diferencimi i funksioneve.

Përkufizimi. Nëse funksioni y = f(x) ka një derivat në pikë x = x 0, atëherë funksioni është i diferencueshëm në këtë pikë.

Vazhdimësia e një funksioni që ka një derivat. Teorema.

Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në një moment x = x 0, atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.

Kështu, funksioni nuk mund të ketë një derivat në pikat e ndërprerjes. Përfundimi i kundërt është i pasaktë, d.m.th. nga fakti se në një moment x = x 0 funksion y = f(x) është i vazhdueshëm nuk do të thotë se është i diferencueshëm në këtë pikë. Për shembull, funksioni y = |x| të vazhdueshme për të gjithë x(–Ґ x x = 0 nuk ka derivat. Në këtë pikë nuk ka tangjente me grafikun. Ka një tangjente të djathtë dhe një të majtë, por ato nuk përkojnë.

Disa teorema mbi funksionet e diferencueshme. Teorema mbi rrënjët e derivatit (teorema e Rolles). Nëse funksioni f(x) është e vazhdueshme në segment [a,b], i dallueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti dhe në skajet x = a Dhe x = b shkon ne zero ( f(a) = f(b) = 0), pastaj brenda segmentit [ a,b] ka të paktën një pikë x= Me, a c b, në të cilën derivati fў( x) shkon në zero, d.m.th. fў( c) = 0.

Teorema e rritjes së fundme (teorema e Lagranzhit). Nëse funksioni f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b] dhe është i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti, pastaj brenda segmentit [ a, b] ka të paktën një pikë Me, a c b atë

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorema mbi raportin e rritjeve të dy funksioneve (teorema e Cauchy-t). Nëse f(x) Dhe g(x) – dy funksione të vazhdueshme në segment [a, b] dhe i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti, dhe gў( x) nuk zhduket askund brenda këtij segmenti, pastaj brenda segmentit [ a, b] ekziston një pikë e tillë x = Me, a c b atë

Derivatet e porosive të ndryshme.

Lëreni funksionin y =f(x) është i diferencueshëm në një interval [ a, b]. Vlerat derivative f ў( x), në përgjithësi, varen nga x, d.m.th. derivatore f ў( x) është gjithashtu një funksion i x. Kur diferencojmë këtë funksion, marrim të ashtuquajturin derivat të dytë të funksionit f(x), që shënohet f ўў ( x).

Derivat n- rendi i funksionit f(x) quhet derivati ​​(i rendit të parë) i derivatit n- 1- th dhe shënohet me simbolin y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferenciale të porosive të ndryshme.

Diferenciali i funksionit y = f(x), Ku x– ndryshore e pavarur, po dy = f ў( x)dx, disa funksione nga x, por nga x vetëm faktori i parë mund të varet f ў( x), faktori i dyte ( dx) është rritja e ndryshores së pavarur x dhe nuk varet nga vlera e kësaj variabli. Sepse dy ka një funksion nga x, atëherë mund të përcaktojmë diferencialin e këtij funksioni. Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë i këtij funksioni dhe shënohet d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferenciale n- i rendit të parë quhet diferencial i parë i diferencialit n- 1- rendi i th:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Derivat i pjesshëm.

Nëse një funksion nuk varet nga një, por nga disa argumente x i(i varion nga 1 në n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), pastaj në llogaritja diferenciale prezantohet koncepti i derivatit të pjesshëm, i cili karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni të disa variablave kur ndryshon vetëm një argument, për shembull, x i. Derivat i pjesshëm i rendit të parë në lidhje me x i përkufizohet si një derivat i zakonshëm, dhe supozohet se të gjitha argumentet përveç x i, ruaj vlera konstante. Për derivatet e pjesshme, futet shënimi

Derivatet e pjesshme të rendit të parë të përcaktuar në këtë mënyrë (si funksione të të njëjtave argumente) mund të kenë, nga ana tjetër, edhe derivate të pjesshëm, këto janë derivate të pjesshme të rendit të dytë, etj. Derivatet e tilla të marra nga argumente të ndryshme quhen të përziera. Derivatet e përziera të vazhdueshme të të njëjtit rend nuk varen nga rendi i diferencimit dhe janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Anna Chugainova

Krijoni një raport dhe llogarisni kufirin.

Nga erdhi? tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit? Falë limitit të vetëm. Duket si magji, por në realitet është dinakëri dhe jo mashtrim. Në mësim Çfarë është një derivat? Fillova të shikoj shembuj specifikë, ku, duke përdorur përkufizimin, gjeta derivatet e lineare dhe funksion kuadratik. Për qëllim të ngrohjes njohëse, ne do të vazhdojmë të shqetësojmë tabela e derivateve, duke përmirësuar algoritmin dhe zgjidhjet teknike:

Shembulli 1

Në thelb, ju duhet të provoni rast i veçantë derivatore funksioni i fuqisë, e cila zakonisht shfaqet në tabelë: .

Zgjidhje zyrtarisht teknikisht në dy mënyra. Le të fillojmë me qasjen e parë, tashmë të njohur: shkalla fillon me një dërrasë, dhe funksioni i derivatit fillon me derivatin në një pikë.

Le të shqyrtojmë disa pikë (specifike) që i përket fusha e përkufizimit funksion në të cilin ka një derivat. Le të vendosim rritjen në këtë pikë (natyrisht, brenda fushëso/o -Unë) dhe kompozoni shtimin përkatës të funksionit:

Le të llogarisim kufirin:

Pasiguria 0:0 eliminohet nga një teknikë standarde, e konsideruar në shekullin e parë para Krishtit. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me shprehjen e konjuguar :

Teknika për zgjidhjen e një kufiri të tillë diskutohet në detaje në mësimi hyrës në lidhje me kufijtë e funksioneve.

Meqenëse mund të zgjidhni ÇDO pikë të intervalit si cilësi, atëherë, pasi kemi bërë zëvendësimin, marrim:

Përgjigju

Edhe një herë le të gëzohemi për logaritmet:

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni duke përdorur përkufizimin e derivatit

Zgjidhje: Le të shqyrtojmë një qasje të ndryshme për të promovuar të njëjtën detyrë. Është saktësisht e njëjta gjë, por më racionale për sa i përket dizajnit. Ideja është të hiqni qafe nënshkrimin në fillim të zgjidhjes dhe të përdorni shkronjën në vend të shkronjës.

Le të shqyrtojmë arbitrare pikë që i përket fusha e përkufizimit funksionin (intervalin) dhe vendosni rritjen në të. Por këtu, nga rruga, si në shumicën e rasteve, ju mund të bëni pa asnjë rezervë, pasi funksioni logaritmik i diferencueshëm në çdo pikë të fushës së përkufizimit.

Atëherë rritja përkatëse e funksionit është:

Le të gjejmë derivatin:

Thjeshtësia e dizajnit balancohet nga konfuzioni që mund të lindë për fillestarët (dhe jo vetëm). Në fund të fundit, ne jemi mësuar me faktin që shkronja "X" ndryshon në kufi! Por këtu gjithçka është ndryshe: - një statujë antike dhe - një vizitor i gjallë, duke ecur me shpejtësi përgjatë korridorit të muzeut. Kjo do të thotë, "x" është "si një konstante".

Unë do të komentoj për eliminimin e pasigurisë hap pas hapi:

(1) Ne përdorim vetinë e logaritmit .

(2) Në kllapa, pjesëtojeni numëruesin me emëruesin term me term.

(3) Në emërues, ne shumëzojmë dhe pjesëtojmë artificialisht me "x" për të përfituar nga kufi i shquar , ndërsa si pafundësisht i vogël bie në sy.

Përgjigju: sipas përkufizimit të derivatit:

Ose shkurt:

Unë propozoj të ndërtoni vetë dy formula të tjera të tabelës:

Shembulli 3

NË në këtë rastështë e përshtatshme që menjëherë të drejtohet rritja e përbërë në emërues i përbashkët. Mostra e përafërt plotësimi i detyrës në fund të orës së mësimit (metoda e parë).

Shembulli 3:Zgjidhje : merrni parasysh një pikë , që i përket fushës së përcaktimit të funksionit . Le të vendosim rritjen në këtë pikë dhe kompozoni shtimin përkatës të funksionit:

Le të gjejmë derivatin në pikën :


Meqenëse si një ju mund të zgjidhni çdo pikë domeni i funksionit , Kjo Dhe
Përgjigju : sipas përkufizimit të derivatit

Shembulli 4

Gjeni derivatin sipas përkufizimit

Dhe këtu gjithçka duhet të reduktohet në kufi i mrekullueshëm . Zgjidhja zyrtarizohet në mënyrën e dytë.

Një sërë të tjerash derivatet tabelare. Lista e plotë mund të gjendet në tekst shkollor, ose, për shembull, vëllimi i parë i Fichtenholtz. Unë nuk shoh shumë kuptim në kopjimin e provave të rregullave të diferencimit nga librat - ato gjithashtu krijohen nga formula.

Shembulli 4:Zgjidhje , i perket , dhe vendosni rritjen në të

Le të gjejmë derivatin:

Përdorimi i një kufiri të mrekullueshëm

Përgjigju : a-paror

Shembulli 5

Gjeni derivatin e një funksioni , duke përdorur përkufizimin e derivatit

Zgjidhje: ne përdorim stilin e parë të dizajnit. Le të shqyrtojmë një pikë që i përket , dhe të specifikojmë rritjen e argumentit në të. Atëherë rritja përkatëse e funksionit është:

Ndoshta disa lexues nuk e kanë kuptuar ende plotësisht parimin me të cilin duhen bërë rritje. Merrni një pikë (numër) dhe gjeni vlerën e funksionit në të: , domethënë në funksion në vend të"X" duhet të zëvendësohet. Tani marrim gjithashtu një numër shumë specifik dhe gjithashtu e zëvendësojmë atë në funksion në vend të"iksa": . Ne shkruajmë ndryshimin, dhe është e nevojshme futur plotësisht në kllapa.

Rritja e funksionit të përpiluar Mund të jetë e dobishme për të thjeshtuar menjëherë. Per cfare? Lehtësoni dhe shkurtoni zgjidhjen në një kufi të mëtejshëm.

Ne përdorim formula, hapim kllapat dhe shkurtojmë gjithçka që mund të shkurtohet:

Gjeli i detit është nxjerrë jashtë, nuk ka problem me pjekjen:

Përfundimisht:

Meqenëse mund të zgjidhni çdo cilësi numër real, pastaj bëjmë zëvendësimin dhe marrim .

Përgjigju: a-paror.

Për qëllime verifikimi, le të gjejmë derivatin duke përdorur rregullat dhe tabelat e diferencimit:

Është gjithmonë e dobishme dhe e këndshme të njohësh përgjigjen e saktë paraprakisht, kështu që është më mirë të diferencosh funksionin e propozuar në një mënyrë "të shpejtë", qoftë mendërisht ose në një draft, që në fillim të zgjidhjes.

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni sipas përkufizimit të derivatit

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Rezultati është i dukshëm:

Shembulli 6:Zgjidhje : merrni parasysh një pikë , i perket , dhe vendosni rritjen e argumentit në të . Atëherë rritja përkatëse e funksionit është:


Le të llogarisim derivatin:


Kështu:
Sepse si atëherë mund të zgjidhni çdo numër real Dhe
Përgjigju : a-paror.

Le të kthehemi te stili #2:

Shembulli 7

Le të zbulojmë menjëherë se çfarë duhet të ndodhë. Nga rregulli i diferencimit funksion kompleks :

Zgjidhje: konsideroni pikë arbitrare, që i përket , vendosni rritjen e argumentit në të dhe kompozoni rritjen e funksionit:

Le të gjejmë derivatin:


(1) Përdorimi formula trigonometrike .

(2) Nën sinus hapim kllapat, nën kosinus paraqesim terma të ngjashëm.

(3) Nën sinus zvogëlojmë termat, nën kosinus e ndajmë numëruesin me emëruesin term për term.

(4) Për shkak të çuditshmërisë së sinusit, ne nxjerrim "minus". Nën kosinus tregojmë se termi .

(5) Ne kryejmë shumëzim artificial në emërues në mënyrë që të përdorim kufiri i parë i mrekullueshëm. Kështu, pasiguria eliminohet, le të rregullojmë rezultatin.

Përgjigju: a-parësore

Siç mund ta shihni, vështirësia kryesore e problemit në shqyrtim qëndron në kompleksitetin e vetë kufirit + një unike të lehtë të paketimit. Në praktikë, të dyja metodat e projektimit ndodhin, kështu që unë i përshkruaj të dyja qasjet në sa më shumë detaje që të jetë e mundur. Ato janë ekuivalente, por gjithsesi, sipas përshtypjes sime subjektive, është më e këshillueshme që dummies t'i përmbahen opsionit 1 me "X-zero".

Shembulli 8

Duke përdorur përkufizimin, gjeni derivatin e funksionit

Shembulli 8:Zgjidhje : merrni parasysh një pikë arbitrare , i perket , le të vendosim rritjen në të dhe kompozoni rritjen e funksionit:

Le të gjejmë derivatin:

Ne përdorim formulën trigonometrike dhe kufiri i parë i shquar:

Përgjigju : a-paror

Le të shohim një version më të rrallë të problemit:

Shembulli 9

Gjeni derivatin e funksionit në pikën duke përdorur përkufizimin e derivatit.

Së pari, cila duhet të jetë përfundimi? Numri

Le të llogarisim përgjigjen në mënyrë standarde:

Zgjidhje: nga pikëpamja e qartësisë, kjo detyrë është shumë më e thjeshtë, pasi formula merr në vend një vlerë specifike.

Le të vendosim inkrementin në pikë dhe të hartojmë shtimin përkatës të funksionit:

Le të llogarisim derivatin në pikën:

Ne përdorim një formulë shumë të rrallë të ndryshimit tangjent dhe edhe një herë e reduktojmë zgjidhjen në kufiri i parë i mrekullueshëm:

Përgjigju: sipas përkufizimit të derivatit në një pikë.

Problemi nuk është aq i vështirë për t'u zgjidhur dhe “në pamje e përgjithshme" - mjafton të zëvendësohet me ose thjesht në varësi të metodës së projektimit. Në këtë rast, është e qartë se rezultati nuk do të jetë një numër, por një funksion i prejardhur.

Shembulli 10

Duke përdorur përkufizimin, gjeni derivatin e funksionit në një pikë (njëra prej të cilave mund të dalë e pafundme), për të cilën po flas skicë e përgjithshme tashmë është thënë më mësim teorik për derivatin.

Disa funksionet e përcaktuara pjesë-pjesë janë gjithashtu të diferencueshëm në pikat "të përbashkëta" të grafikut, për shembull, catdog ka një derivat të përbashkët dhe një tangjente të përbashkët (bosht x) në pikë. Kurbë, por e diferencueshme nga ! Të interesuarit mund ta verifikojnë këtë vetë duke përdorur shembullin e sapozgjidhur.

©2015-2019 sajti
Të gjitha të drejtat u përkasin autorëve të tyre. Kjo faqe nuk pretendon autorësinë, por ofron përdorim falas.
Data e krijimit të faqes: 2017-06-11

Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Është relative shprehje të thjeshta, derivatet e të cilave prej kohësh janë llogaritur dhe renditur në tabelë. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet funksionet elementare:

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati ​​i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Kështu do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencuara sipas rregullave të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati ​​i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati ​​i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati ​​i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati ​​i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati ​​i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-mëkat x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x)

Funksioni g(x) faktori i parë është pak më i komplikuar, por skema e përgjithshme kjo nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati ​​i tij është derivati ​​i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati ​​faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati ​​do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të kemi një shprehje të faktorizuar.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, a? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe si kjo! Kjo është një nga më formula komplekse- Nuk mund ta kuptosh pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studioni atë shembuj specifikë.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Cfare duhet te bej? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet me shembuj specifikë, me pershkrim i detajuarçdo hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë marrim një funksion elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo eshte e gjitha! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, një kryetar nga shuma e barabartë me shumën goditjet. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembulli i fundit Le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të veprojë mirë një numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen t'u japin ndërtime të tilla testet dhe provimet.

Detyrë. Gjeni derivatin e funksionit:

Së pari, le të rishkruajmë rrënjën si një fuqi me një eksponent racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tani bëjmë një zëvendësim: le x 2 + 8x − 7 = t. Derivatin e gjejmë duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt: t = x 2 + 8x− 7. Kemi:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Më në fund, kthehemi te rrënjët:

Çfarë është një derivat?

Tabela e derivateve.

Derivati ​​është një nga konceptet kryesore matematikë e lartë. Në këtë mësim do të prezantojmë këtë koncept. Vetëm le të njihemi, pa rigorozitet formulimet matematikore dhe prova.

Ky njohje do t'ju lejojë të:

Të kuptojë thelbin e detyrave të thjeshta me derivate;

Zgjidhja me sukses pikërisht këto probleme detyra të vështira;

Përgatituni për mësime më serioze mbi derivatet.

Së pari - një surprizë e këndshme.)

Përkufizimi i rreptë i derivatit bazohet në teorinë e kufijve dhe gjëja është mjaft e ndërlikuar. Kjo është shqetësuese. Por zbatimi praktik i derivateve, si rregull, nuk kërkon njohuri kaq të gjera dhe të thella!

Për të përfunduar me sukses shumicën e detyrave në shkollë dhe universitet, mjafton të dihet vetëm disa terma- për të kuptuar detyrën, dhe vetëm disa rregulla- për ta zgjidhur atë. Kjo eshte e gjitha. Kjo më bën të lumtur.

Le të fillojmë të njihemi?)

Termat dhe emërtimet.

Ka shumë operacione të ndryshme matematikore në matematikën elementare. Mbledhja, zbritja, shumëzimi, fuqizimi, logaritmi etj. Nëse këtyre veprimeve u shtoni edhe një operacion, matematika elementare bëhet më e lartë. Ky operacion i ri quhet diferencimi. Përkufizimi dhe kuptimi i këtij operacioni do të diskutohet në mësime të veçanta.

Është e rëndësishme të kuptohet këtu se diferencimi është thjesht operacion matematik mbi funksionin. Ne marrim çdo funksion dhe, sipas rregulla të caktuara, transformojeni atë. Rezultati do të jetë veçori e re. Ky funksion i ri quhet: derivatore.

Diferencimi- veprim në një funksion.

Derivat- rezultati i këtij veprimi.

Ashtu si për shembull, shuma- rezultati i shtimit. Ose private- rezultati i ndarjes.

Duke ditur termat, të paktën mund t'i kuptoni detyrat.) Formulimet janë si më poshtë: gjeni derivatin e një funksioni; merr derivatin; të dallojë funksionin; llogarit derivatin e kështu me radhë. Kjo është e gjitha njëjtë. Sigurisht, ka edhe detyra më komplekse, ku gjetja e derivatit (diferencimit) do të jetë vetëm një nga hapat në zgjidhjen e problemit.

Derivati ​​tregohet me një vizë në krye të djathtë të funksionit. Si kjo: y" ose f"(x) ose S"(t) e kështu me radhë.

Leximi igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te, Epo, ju e kuptoni ...)

Një i thjeshtë mund të tregojë gjithashtu derivatin e një funksioni të caktuar, për shembull: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etj. Shpesh derivatet shënohen duke përdorur diferenciale, por ne nuk do ta konsiderojmë një shënim të tillë në këtë mësim.

Le të supozojmë se kemi mësuar të kuptojmë detyrat. Gjithçka që mbetet është të mësoni se si t'i zgjidhni ato.) Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë: gjetja e derivatit është transformimi i një funksioni sipas rregullave të caktuara.Çuditërisht, ka shumë pak nga këto rregulla.

Për të gjetur derivatin e një funksioni, duhet të dini vetëm tre gjëra. Tre shtylla mbi të cilat qëndron i gjithë diferencimi. Këto janë tre shtyllat:

1. Tabela e derivateve (formula e diferencimit).

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Le të fillojmë me radhë. Në këtë mësim do të shikojmë tabelën e derivateve.

Tabela e derivateve.

Në botë - grup i pafund funksione. Midis këtij grupi, ka funksione që janë më të rëndësishmet për aplikim praktik. Këto funksione gjenden në të gjitha ligjet e natyrës. Nga këto funksione, si nga tullat, mund të ndërtoni të gjitha të tjerat. Kjo klasë funksionesh quhet funksionet elementare. Janë këto funksione që studiohen në shkollë - lineare, kuadratike, hiperbola, etj.

Diferencimi i funksioneve "nga e para", d.m.th. Bazuar në përkufizimin e derivatit dhe teorinë e kufijve, kjo është një gjë mjaft punë intensive. Dhe matematikanët janë gjithashtu njerëz, po, po!) Kështu ata thjeshtuan jetën e tyre (dhe neve). Ata llogaritën derivatet e funksioneve elementare para nesh. Rezultati është një tabelë e derivateve, ku gjithçka është gati.)

Këtu është, kjo pjatë për funksionet më të njohura. Në të majtë është një funksion elementar, në të djathtë është derivati ​​i tij.

	Funksioni y	Derivati ​​i funksionit y y"
1	C ( konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - çdo numër)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	mëkat x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - mëkat x
	tg x
	ctg x
5	harku x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	n x ( a = e)

Unë rekomandoj t'i kushtoni vëmendje grupit të tretë të funksioneve në këtë tabelë të derivateve. Derivati ​​i një funksioni fuqie është një nga formulat më të zakonshme, nëse jo më e zakonshme! A e kuptoni aludimin?) Po, këshillohet të njihni përmendësh tabelën e derivateve. Nga rruga, kjo nuk është aq e vështirë sa mund të duket. Mundohuni të vendosni më shumë shembuj, vetë tabela do të mbahet mend!)

Gjetja e vlerës së tabelës së derivatit, siç e kuptoni, nuk është detyra më e vështirë. Prandaj, shumë shpesh në detyra të tilla ka çipa shtesë. Ose në formulimin e detyrës, ose në funksionin origjinal, i cili nuk duket të jetë në tabelë...

Le të shohim disa shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit y = x 3

Nuk ka një funksion të tillë në tabelë. Por ekziston një derivat i një funksioni fuqie në formë të përgjithshme (grupi i tretë). Në rastin tonë n=3. Pra, ne zëvendësojmë tre në vend të n dhe shkruajmë me kujdes rezultatin:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Kjo eshte.

Përgjigje: y" = 3x 2

2. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = sinx në pikën x = 0.

Kjo detyrë do të thotë që së pari duhet të gjeni derivatin e sinusit dhe më pas të zëvendësoni vlerën x = 0 në të njëjtin derivat. Pikërisht në atë rend! Përndryshe, ndodh që ata të zëvendësojnë menjëherë zeron në funksionin origjinal... Na kërkohet të gjejmë jo vlerën e funksionit origjinal, por vlerën. derivati ​​i tij. Më lejoni t'ju kujtoj se derivati ​​është një funksion i ri.

Duke përdorur tabletën gjejmë sinusin dhe derivatin përkatës:

y" = (mëkat x)" = cosx

Ne e zëvendësojmë zeron në derivatin:

y"(0) = cos 0 = 1

Kjo do të jetë përgjigja.

3. Diferenconi funksionin:

Çfarë, a frymëzon?) Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve.

Më lejoni t'ju kujtoj se të diferencosh një funksion do të thotë thjesht të gjesh derivatin e këtij funksioni. Nëse harroni trigonometrinë elementare, kërkimi i derivatit të funksionit tonë është mjaft i mundimshëm. Tabela nuk ndihmon...

Por nëse shohim se funksioni ynë është kosinusi kënd i dyfishtë , atëherë gjithçka bëhet më mirë menjëherë!

Po Po! Mos harroni se transformimi i funksionit origjinal para diferencimit mjaft e pranueshme! Dhe ndodh që ta bëjë jetën shumë më të lehtë. Duke përdorur formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

Ato. funksioni ynë i ndërlikuar nuk është gjë tjetër veçse y = cosx. Dhe kjo është - funksioni i tabelës. Ne marrim menjëherë:

Përgjigje: y" = - mëkat x.

Shembull për të diplomuarit dhe studentët e avancuar:

4. Gjeni derivatin e funksionit:

Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve, natyrisht. Por nëse ju kujtohet matematikë bazë, veprimet me gradë... Atëherë është mjaft e mundur të thjeshtohet ky funksion. Si kjo:

Dhe x në fuqinë e një të dhjetës është tashmë një funksion tabelor! Grupi i tretë, n=1/10. Ne shkruajmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Kjo eshte e gjitha. Kjo do të jetë përgjigja.

Shpresoj që gjithçka të jetë e qartë me shtyllën e parë të diferencimit - tabelën e derivateve. Mbetet të merremi me dy balenat e mbetura. Në mësimin e ardhshëm do të mësojmë rregullat e diferencimit.

(\large\bf Derivat i një funksioni)

Merrni parasysh funksionin y=f(x), e specifikuar në interval (a, b). Le x- çdo pikë fikse të intervalit (a, b), A Δx - numër arbitrar, të tillë që vlera x+Δx i takon edhe intervalit (a, b). Ky numër Δx quhet rritje argumenti.

Përkufizimi. Rritja e funksionit y=f(x) në pikën x, që korrespondon me rritjen e argumentit Δx, le të telefonojmë numrin

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Ne besojmë se Δx ≠ 0. Konsideroni në një pikë të caktuar fikse x raporti i rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen përkatëse të argumentit Δx

Ne do ta quajmë këtë relacion marrëdhënie ndryshimi. Që nga vlera x ne e konsiderojmë fikse, raporti i diferencës është funksion i argumentit Δx. Ky funksion është përcaktuar për të gjitha vlerat e argumentit Δx, që i përket një lagjeje mjaft të vogël të pikës Δx=0, me përjashtim të vetë pikës Δx=0. Kështu, ne kemi të drejtë të shqyrtojmë çështjen e ekzistencës së një kufiri funksionin e specifikuar në Δx → 0.

Përkufizimi. Derivat i një funksioni y=f(x) në një pikë të caktuar fikse x quhet kufiri në Δx → 0 raporti i diferencës, domethënë

Me kusht që të ekzistojë ky kufi.

Emërtimi. y'(x) ose f′(x).

Kuptimi gjeometrik i derivatit: Derivat i një funksioni f(x) në këtë pikë x e barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit kau dhe një tangjente me grafikun e këtij funksioni në pikën përkatëse:

f′(x 0) = \tgα.

Kuptimi mekanik i derivatit: Derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë lëvizje drejtvizore pika:

Ekuacioni i një tangjente në një drejtëz y=f(x) në pikën M 0 (x 0 ,y 0) merr formën

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normalja në një kurbë në një pikë është pingul me tangjenten në të njëjtën pikë. Nëse f′(x 0)≠ 0, pastaj ekuacioni i normales me drejtëzën y=f(x) në pikën M 0 (x 0 ,y 0)është shkruar kështu:

Koncepti i diferencibilitetit të një funksioni

Lëreni funksionin y=f(x) të përcaktuara në një interval të caktuar (a, b), x- disa vlera fikse të argumentit nga ky interval, Δx- çdo rritje e argumentit të tillë që vlera e argumentit x+Δx ∈ (a, b).

Përkufizimi. Funksioni y=f(x) quhet i diferencueshëm në një pikë të caktuar x, nëse rritet Δy këtë funksion në pikë x, që korrespondon me rritjen e argumentit Δx, mund të paraqitet në formë

Δy = A Δx +αΔx,

Ku A- disa numra të pavarur nga Δx, A α - funksioni i argumentit Δx, e cila është pafundësisht e vogël në Δx→ 0.

Meqenëse prodhimi i dy funksioneve infiniteminale αΔxështë pafundësisht më shumë rendit të lartë, si Δx(vetia e 3 funksioneve infiniteminale), atëherë mund të shkruajmë:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Në mënyrë për funksionin y=f(x) ishte i diferencueshëm në një pikë të caktuar x, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ai të ketë një derivat të fundëm në këtë pikë. Ku A=f′(x), kjo eshte

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operacioni i gjetjes së derivatit zakonisht quhet diferencim.

Teorema. Nëse funksioni y=f(x) x, atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.

Komentoni. Nga vazhdimësia e funksionit y=f(x) në këtë pikë x, në përgjithësi, diferencimi i funksionit nuk pason f(x) në këtë pikë. Për shembull, funksioni y=|x|- e vazhdueshme në një pikë x=0, por nuk ka derivat.

Koncepti i funksionit diferencial

Përkufizimi. Diferenciali i funksionit y=f(x) quhet prodhimi i derivatit të këtij funksioni dhe rritja e ndryshores së pavarur x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Për funksionin y=x marrim dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, kjo eshte dx=Δx- diferenciali i një ndryshoreje të pavarur është i barabartë me rritjen e kësaj ndryshoreje.

Kështu, ne mund të shkruajmë

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferenciale dy dhe rritje Δy funksione y=f(x) në këtë pikë x, të dyja korrespondojnë me të njëjtin rritje argumenti Δx, në përgjithësi, nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Kuptimi gjeometrik i diferencialit: Diferenciali i një funksioni është i barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes me grafikun e këtij funksioni kur argumenti shtohet. Δx.

Rregullat e diferencimit

Teorema. Nëse secili prej funksioneve u(x) Dhe v(x) të diferencueshëm në një pikë të caktuar x, pastaj shuma, diferenca, prodhimi dhe herësi i këtyre funksioneve (herësi me kusht që v(x)≠ 0) janë gjithashtu të diferencueshme në këtë pikë, dhe formulat qëndrojnë:

Merrni parasysh funksionin kompleks y=f(φ(x))≡ F(x), Ku y=f(u), u=φ(x). Në këtë rast u thirrur argument i ndërmjetëm, x - ndryshore e pavarur.

Teorema. Nëse y=f(u) Dhe u=φ(x) janë funksione të diferencueshme të argumenteve të tyre, pastaj derivat i një funksioni kompleks y=f(φ(x)) ekziston dhe është e barabartë me produktin e këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur, d.m.th.

Komentoni. Për një funksion kompleks që është një mbivendosje e tre funksioneve y=F(f(φ(x))), rregulli i diferencimit ka formën

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

ku janë funksionet v=φ(x), u=f(v) Dhe y=F(u)- funksionet e diferencueshme të argumenteve të tyre.

Teorema. Lëreni funksionin y=f(x) rritet (ose zvogëlohet) dhe është i vazhdueshëm në ndonjë lagje të pikës x 0. Le të jetë, përveç kësaj, ky funksion i diferencueshëm në pikën e treguar x 0 dhe derivati ​​i tij në këtë pikë f′(x 0) ≠ 0. Pastaj në ndonjë lagje të pikës përkatëse y 0 =f(x 0) e kundërta është përcaktuar për y=f(x) funksionin x=f -1 (y), dhe të specifikuara funksioni i anasjelltë të diferencueshëm në pikën përkatëse y 0 =f(x 0) dhe për derivatin e tij në këtë pikë y formula është e vlefshme

Tabela e derivateve

Pandryshueshmëria e formës së diferencialit të parë

Le të shqyrtojmë diferencialin e një funksioni kompleks. Nëse y=f(x), x=φ(t)- funksionet e argumenteve të tyre janë të diferencueshme, pastaj derivati ​​i funksionit y=f(φ(t)) shprehur me formulë

y′ t = y′ x x′ t.

A-parësore dy=y′ t dt, atëherë marrim

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Pra, ne e kemi vërtetuar

Vetia e pandryshueshmërisë së formës së diferencialit të parë të një funksioni: si në rastin kur argumenti xështë variabël i pavarur, dhe në rastin kur argumenti x në vetvete është një funksion i diferencueshëm i ndryshores së re, diferencialit dy funksione y=f(x)është e barabartë me derivatin e këtij funksioni të shumëzuar me diferencialin e argumentit dx.

Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta

Ne kemi treguar se diferenciali dy funksione y=f(x), në përgjithësi, nuk është e barabartë me rritjen Δy këtë funksion. Megjithatë, me një saktësi deri në pafundësi funksion i vogël rendit më i lartë i vogëlsisë se Δx, barazia e përafërt është e vlefshme

Δy ≈ dy.

Raporti quhet gabimi relativ i barazisë së kësaj barazie. Sepse Δy-dy=o(Δx), Kjo gabim relativ e kësaj barazie bëhet arbitrarisht e vogël ndërsa ne zvogëlojmë |Dh|.

Duke marrë parasysh atë Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, marrim f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx ose

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Kjo barazi e përafërt lejon me gabim o (Δx) funksioni i zëvendësimit f(x) në një lagje të vogël të pikës x(dmth për vlera të vogla Δx) funksion linear argument Δx, duke qëndruar në anën e djathtë.

Derivatet e rendit më të lartë

Përkufizimi. Derivati ​​i dytë (ose derivati ​​i rendit të dytë) i një funksioni y=f(x) quhet derivat i derivatit të parë të tij.

Shënimi për derivatin e dytë të një funksioni y=f(x):

Kuptimi mekanik i derivatit të dytë. Nëse funksioni y=f(x) përshkruan ligjin e lëvizjes pika materiale në vijë të drejtë, pastaj derivati ​​i dytë f″(x) e barabartë me nxitimin e një pike lëvizëse në momentin e kohës x.

Derivatet e tretë dhe të katërt përcaktohen në mënyrë të ngjashme.

Përkufizimi. n derivati ​​i th (ose derivati n-të rendit) funksionet y=f(x) quhet derivat i tij n-1 derivati ​​i th:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

Emërtimet: y", y IV, y V etj.