Hartimi i një plani mësimi në matematikë me temën “Figura të sheshta dhe trupa tredimensionale” (klasa 3). Mësimi i matematikës me temën "Trupat gjeometrikë të sheshtë dhe vëllimor"

Ashtu si me problemin e gjetjes së zonës, keni nevojë për aftësi të sigurta vizatimi - kjo është pothuajse gjëja më e rëndësishme (pasi vetë integralet shpesh do të jenë të lehta). Mjeshtër i shkolluar dhe teknologji e shpejtë vizatimi mund të bëhet duke përdorur materialet mësimore dhe Transformimet gjeometrike të grafikëve. Por, në fakt, unë kam folur tashmë për rëndësinë e vizatimeve disa herë në klasë.

Në përgjithësi në llogaritja integrale ka shumë aplikacione interesante duke përdorur integral i caktuar ju mund të llogaritni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e harkut, sipërfaqen e rrotullimit dhe shumë më tepër. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi qëndroni optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë rrafshi koordinativ. prezantuar? ... Pyes veten se kush ka paraqitur çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por përveç kësaj këtë shifër Ju gjithashtu mund të rrotulloheni dhe të rrotulloheni në dy mënyra:

– rreth boshtit të abshisave;
– rreth boshtit të ordinatave.

Ky artikull do të shqyrtojë të dyja rastet. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton më shumë vështirësi, por në fakt zgjidhja është pothuajse e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit x. Si bonus do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure, dhe unë do t'ju tregoj se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. Nuk është aq shumë një bonus, pasi materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

figurë e sheshtë rreth një boshti

Shembulli 1

Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të kufizuar me vija rreth një boshti.

Zgjidhje: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me një vizatim të një figure të sheshtë. Kjo do të thotë, në aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vijat, dhe mos harroni se ekuacioni specifikon boshtin. Si të përfundoni një vizatim në mënyrë më efikase dhe më të shpejtë mund të gjendet në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare Dhe Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Ky është një kujtesë kineze dhe me radhë ne kete moment Nuk ndalem më.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e rrafshët e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu ajo që rrotullohet rreth boshtit Si rezultat i rrotullimit, rezultati është një disk fluturues paksa vezak që është simetrik. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por unë jam shumë dembel për të sqaruar ndonjë gjë në librin e referencës, kështu që ne vazhdojmë.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Në formulë, numri duhet të jetë i pranishëm para integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Unë mendoj se është e lehtë të merret me mend se si të vendosen kufijtë e integrimit "a" dhe "të jenë" nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni... çfarë është ky funksion? Le të shohim vizatimin. Figura e rrafshët është e kufizuar nga grafiku i parabolës në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

NË detyra praktike një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - integrani në formulë është në katror: , pra integrali është gjithmonë jonegativ, që është shumë logjike.

Le të llogarisim vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali pothuajse gjithmonë rezulton i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigju:

Në përgjigjen tuaj duhet të tregoni dimensionin - njësi kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të rrotullimit ka afërsisht 3.35 "kube". Pse kub njësi? Sepse shumica formulim universal. Mund te jete centimetra kub, mund te jete Metra kub, ndoshta kilometra kub etj., ja sa burra të vegjël jeshilë mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e trupit, formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës, të kufizuar nga vijat, ,

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Le të shqyrtojmë edhe dy të tjera detyra komplekse, të cilat gjithashtu hasen shpesh në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të përftuar duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisave të figurës së kufizuar nga vijat , dhe

Zgjidhje: Le të përshkruajmë në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar nga vijat , , , , pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në blu. Kur rrotullohet rreth boshtit të tij, rezulton të jetë një donut surreal me katër cepa.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të revolucionit si dallimi në vëllimet e trupave.

Së pari, le të shohim figurën e rrethuar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth një boshti, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar me .

Merrni parasysh figurën që është rrethuar jeshile. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le ta shënojmë vëllimin e tij me .

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e rrethuar me të kuqe kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Figura e rrethuar në të gjelbër kufizohet sipër me një vijë të drejtë, prandaj:

3) Vëllimi i trupit të dëshiruar të revolucionit:

Përgjigju:

Është kurioze që në në këtë rast zgjidhja mund të verifikohet duke përdorur formula e shkollës për të llogaritur vëllimin e një koni të cunguar.

Vetë vendimi shpesh shkruhet më shkurt, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe t'ju tregojmë për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione që lidhen me vëllimet, gjë që u vu re nga Perelman (një tjetër) në libër Gjeometri argëtuese . Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket se është i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar pi ekuivalentin e një dhome me një sipërfaqe prej 18 në tërë jetën e tij. metra katrorë, e cila, përkundrazi, duket të jetë një vëllim shumë i vogël.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte vërtet më i miri. I njëjti libër i Perelman, i botuar në vitin 1950, zhvillon shumë mirë, siç tha humoristi, të menduarit dhe të mëson të kërkosh origjinalin zgjidhje jo standarde problemet. Kohët e fundit i rilexova disa nga kapitujt me shumë interes, e rekomandoj, është i aksesueshëm edhe për humanistët. Jo, nuk keni nevojë të buzëqeshni se ju ofrova një kohë të lirë, erudicioni dhe horizonte të gjera në komunikim janë një gjë e shkëlqyer.

Pas digresion lirikështë e përshtatshme për të vendosur detyrë krijuese:

Shembulli 4

Llogaritni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar nga vijat , , ku .

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha rastet ndodhin në brez, me fjalë të tjera, në fakt janë dhënë kufij të gatshëm të integrimit. Vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, më lejoni t'ju kujtoj materialin e mësimit rreth shndërrimet gjeometrike të grafikëve: nëse argumenti ndahet me dy: , atëherë grafikët shtrihen dy herë përgjatë boshtit. Këshillohet të gjeni të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike për të përfunduar më saktë vizatimin. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave është gjithashtu një mysafir mjaft i shpeshtë në testet. Gjatë rrugës do të konsiderohet problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure metoda e dytë është integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por gjithashtu do t'ju mësojë të gjeni rrugën më fitimprurëse të zgjidhjes. Ekziston edhe një pikë praktike në këtë. kuptimi i jetës! Ndërsa mësuesja ime për metodat e mësimdhënies së matematikës kujtoi me një buzëqeshje, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani ne menaxherë efektivë dhe menaxhojmë në mënyrë optimale stafin tonë.” Duke përfituar nga rasti, i shpreh edhe mirënjohjen time të madhe, veçanërisht që shfrytëzoj njohuritë e marra qëllimi i drejtpërdrejtë =).

Unë ua rekomandoj të gjithëve, madje edhe bedeleve të plota. Për më tepër, materiali i mësuar në paragrafin e dytë do të ofrojë ndihmë të paçmuar në llogaritjen e integraleve të dyfishta.

Shembulli 5

Duke pasur parasysh një figurë të sheshtë të kufizuara me vija , , .

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Kujdes! Edhe nëse doni të lexoni vetëm pikën e dytë, së pari Domosdoshmërisht lexo të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të bëjmë një vizatim:

Është e lehtë të shihet se funksioni specifikon degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni specifikon degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme që "shtrihet në anën e saj".

Shifra e dëshiruar, zona e së cilës gjendet është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", e cila u diskutua në klasë Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure. Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Çfarë është e keqe në këtë rast? mënyra e zakonshme Zgjidhjet? Së pari, ne morëm dy integrale. Së dyti, integralet janë rrënjë, dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, dhe përveç kësaj, mund të ngatërrohesh në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vrasës, por në praktikë gjithçka mund të jetë shumë më e trishtuar, thjesht zgjodha funksione "më të mira" për problemin.

Ka më shumë mënyrë racionale zgjidhjet: konsiston në lëvizjen në funksionet e anasjellta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si të arrijmë te funksionet e anasjellta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "x" përmes "y". Së pari, le të shohim parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të rrjedhë nga dega e poshtme:

Është më e lehtë me një vijë të drejtë:

Tani shikoni boshtin: ju lutemi anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Figura që na nevojitet qëndron në segmentin, i cili tregohet me vijën e kuqe me pika. Në këtë rast, në segment vija e drejtë ndodhet mbi parabolën, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën tashmë të njohur për ju: . Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! shënim: Duhet të vendosen kufijtë e integrimit përgjatë boshtit rreptësisht nga poshtë lart!

Gjetja e zonës:

Prandaj, në segment:

Ju lutem vini re se si e realizova integrimin, kjo është më së shumti mënyrë racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që dyshojnë në korrektësinë e integrimit, do të gjej derivate:

Funksioni origjinal i integrandit është marrë, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, figura e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari duhet të kalojmë te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe përshkruar në detaje në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi rrotullues duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

E rrotullojmë figurën e rrethuar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta shënojmë këtë vëllim me .

Ne e rrotullojmë figurën e rrethuar në të gjelbër rreth boshtit dhe e shënojmë me vëllimin e trupit të rrotullimit që rezulton.

Vëllimi i fluturës sonë e barabartë me diferencën vëllime

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Por avantazhi i integrimit, për të cilin fola kohët e fundit, është shumë më i lehtë për t'u gjetur , në vend që së pari të ngrihet integranti në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Sidoqoftë, jo një flutur e sëmurë.

Vini re se nëse e njëjta figurë e sheshtë rrotullohet rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 6

Jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi ndryshoren.
2) Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth boshtit.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Të interesuarit mund të gjejnë gjithashtu sipërfaqen e figurës në mënyrën "e zakonshme", duke kontrolluar kështu pikën 1). Por nëse, e përsëris, rrotulloni një figurë të sheshtë rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm me një vëllim të ndryshëm, nga rruga, përgjigjen e saktë (gjithashtu për ata që duan të zgjidhin probleme).

Zgjidhja e plotë e dy pikave të propozuara të detyrës është në fund të orës së mësimit.

Po, dhe mos harroni të anoni kokën djathtas për të kuptuar trupat e rrotullimit dhe kufijtë e integrimit!

Trupat volumetrikë. Shikoni përreth jush dhe do të gjeni trupa tredimensionale kudo. Këto janë forma gjeometrike që kanë tre dimensione: gjatësi, gjerësi dhe lartësi. Për shembull, për të imagjinuar një ndërtesë shumëkatëshe, mjafton të thuhet: "Kjo shtëpi është e gjatë tre hyrje, dy dritare të gjera dhe gjashtë kate e lartë". E njohur për ju nga Shkolla fillore kuboid dhe kubi përshkruhen plotësisht nga tre dimensione. Të gjitha objektet rreth nesh kanë tre dimensione, por jo të gjitha mund të emërtohen gjatësi, gjerësi dhe lartësi. Për shembull, për një pemë mund të specifikojmë vetëm lartësinë, për një litar - gjatësinë, për një vrimë - thellësinë. Dhe për topin? A ka edhe tre dimensione? Themi se një trup ka tre dimensione (është vëllimor) nëse në të mund të vendoset një kub ose top.

Gjeometria e klasës së 11-të

"Trupat gjeometrikë të rrotullimit" - Vizualizimi. Pjesa praktike. Punë grup krijues. Përsëritja e teorisë. Njerëzit profesionet krijuese. Shkëmbim përvojash. frymëzim. Koha e organizimit. Mënyra e vetme për të mësuar është të argëtoheni. Muzeu i lëndëve të ngurta gjeometrike. Njerëz që iu përkushtuan shkencës. Trupat. Njerëzit e shkencës po punojnë. Një i urtë po ecte. Duke përmbledhur. Sipërfaqja cilindrike. Njerëz të profesioneve të punës. njohuritë e nxënësve. Trupat e rrotullimit. Njohuri baze.

"Teorema e tre perpendikularëve" - ​​Pika. Perpendikulariteti i vijave. duke menduar. Teorema e tre pingulave. pingul me rrafshin e një paralelogrami. Drejt. Këmbët. pingul. Teorema. Kryqëzimet e diagonaleve. Segmenti i linjës. pingul me rrafshin e trekëndëshit. Ana e rombit. Anët e një trekëndëshi. Largësia. Perpendikularët me vijat. Mendoni për këtë. Segmenti MA. Detyrat e ndërtimit. Dëshmi. Teorema e bashkëbisedimit. Detyrat për përdorimin e TTP.

“Zona e sferës” - Diametri i topit (d=2R). Rrezja rreth i madhështë rrezja e topit. Shtresa=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Lartësia e segmentit (h). Sipërfaqja e një sfere me rreze. Baza e segmentit. Vsh. sektorë = 2/3PR2h. Qendra e sferës (C). Vëllimi i topit segmenti i topit dhe shtresa sferike. Zona e së parës shprehet përmes rrezes. herë më shumë zonë sipërfaqja e një rrethi të madh. , dhe sipërfaqja e sferës është 4РR2. përshkruhet topi. Vëllimi i sferës është 288.

"Në botën e poliedrave" - ​​Polyhedra. Maja e kubit. Bota e poliedrave. Trupat Kepler-Poinsot. Matematika. Varri mbretëror. Karakteristikë e Euler-it. Tetrahedron. Gjeometria. far Faros. Polyedra konvekse. Trupat e Arkimedit. Polyedra në art. zjarr. Dodekahedron yjor. Magnus Wenninger. Teorema e Euler-it. far Aleksandrian. Polyedra të rregullta. Pesë konveks poliedra të rregullta. Zhvillimet e disa poliedrave.

"Filozofi Pitagora" - Njohuri mbi bazat e muzikës. Fjala "filozof". Jeta dhe zbulimet shkencore Pitagora. Pitagora u takua me magjistarët persianë. Matematika. Drejtimi i fluturimit. Motoja. Tempujt egjiptianë. Mendimi. Themelues matematikë moderne. E vërtetë. Ide e pavdekshme. Mnesarchus. Pitagora.

“Probleme në koordinata” - Gjeni gjatësinë e vektorit a nëse ka koordinata: (-5; -1; 7). Problemet më të thjeshta në koordinata. Prodhimi pikash i vektorëve. Vektori AB. Zgjidhja e problemave: (duke përdorur kartat). Si të llogarisim gjatësinë e një vektori nga koordinatat e tij. Objektivat e mësimit. Si quhet produkt skalar vektorët. Largësia ndërmjet pikave A dhe B. Vektori A ka koordinata (-3; 3; 1). M - mesi i segmentit AB. Plani i mësimit. Si të gjeni koordinatat e mesit të një segmenti.

Shifrat vëllimore gjeometrike janë të ngurta, të cilat zënë një vëllim jo zero në hapësirën Euklidiane (tre-dimensionale). Këto figura studiohen nga një degë e matematikës e quajtur "gjeometria hapësinore". Njohuritë për vetitë e figurave tredimensionale përdoren në inxhinieri dhe shkenca natyrore. Në artikull do të shqyrtojmë çështjen e figurave gjeometrike tre-dimensionale dhe emrat e tyre.

Trupat gjeometrike

Meqenëse këta trupa kanë një dimension të fundëm në tre drejtime hapësinore, një sistem prej tresh përdoret për t'i përshkruar ato në gjeometri. boshtet koordinative. Këto akse kanë vetitë e mëposhtme:

1. Ato janë ortogonale me njëra-tjetrën, domethënë pingul.
2. Këto akse janë të normalizuara, që do të thotë se vektorët bazë të secilit bosht janë të njëjtën gjatësi.
3. Çdo nga boshtet e koordinatave është rezultat produkt vektorial dy të tjerë.

Duke folur për gjeometrinë figura vëllimore dhe emrat e tyre, duhet theksuar se të gjithë i përkasin njërës prej 2 klasave të mëdha:

1. Klasa e poliedrave. Këto figura, bazuar në emrin e klasës, kanë skaje të drejta dhe faqe të sheshta. Një fytyrë është një plan që kufizon një formë. Pika ku bashkohen dy faqe quhet skaj, dhe pika ku bashkohen tre faqe quhet kulm. Polyedrat përfshijnë figurën gjeometrike të një kubi, tetraedronet, prizmat dhe piramidat. Për këto figura është e vlefshme teorema e Euler-it, e cila vendos një lidhje midis numrit të brinjëve (C), skajeve (P) dhe kulmeve (B) për çdo shumëfaqësh. Matematikisht, kjo teoremë shkruhet si më poshtë: C + B = P + 2.
2. Klasa e trupave të rrumbullakët ose trupave të rrotullimit. Këto figura kanë të paktën një sipërfaqe që i formon ato që është e lakuar. Për shembull, një top, një kon, një cilindër, një torus.

Sa i përket vetive të figurave vëllimore, duhet të theksohen dy më të rëndësishmet prej tyre:

1. Prania e një vëllimi të caktuar që një figurë zë në hapësirë.
2. Prania e secilës figurë tredimensionale

Të dyja vetitë për secilën figurë përshkruhen me formula specifike matematikore.

Le të shqyrtojmë më poshtë figurat vëllimore gjeometrike më të thjeshta dhe emrat e tyre: kubi, piramida, prizmi, tetraedri dhe topi.

Figura e kubit: përshkrim

Kubi i figurës gjeometrike është një trup tredimensional i formuar nga 6 rrafshe ose sipërfaqe katrore. Kjo figurë quhet edhe një gjashtëkëndor i rregullt, pasi ka 6 anë, ose një paralelipiped drejtkëndor, pasi përbëhet nga 3 çifte. anët paralele, të cilat janë reciproke pingul me njëra-tjetrën. E quajnë kub, baza e të cilit është katror dhe lartësia është e barabartë me anën e bazës.

Meqenëse një kub është një shumëfaqësh ose shumëfaqësh, teorema e Euler-it mund të zbatohet për të për të përcaktuar numrin e skajeve të tij. Duke ditur se numri i anëve është 6, dhe kubi ka 8 kulme, numri i skajeve është: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Nëse shënojmë gjatësinë e një ane të një kubi me shkronjën "a", atëherë formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e tij do të duken si: V = a 3 dhe S = 6*a 2, respektivisht.

Figura piramidale

Një piramidë është një shumëfaqësh që përbëhet nga një shumëfaqësh i thjeshtë (baza e piramidës) dhe trekëndësha që lidhen me bazën dhe kanë një maja e zakonshme(maja e piramidës). Trekëndëshat quhen faqet anësore të piramidës.

Karakteristikat gjeometrike të një piramide varen nga shumëkëndëshi në bazën e saj, si dhe nga fakti nëse piramida është e drejtë apo e zhdrejtë. Një piramidë e drejtë kuptohet si një piramidë për të cilën një vijë e drejtë pingul me bazën, e tërhequr përmes majës së piramidës, e pret bazën në të. qendra gjeometrike.

Nje nga piramida të thjeshtaështë një piramidë e drejtë katërkëndëshe, në bazën e së cilës shtrihet një katror me brinjën “a”, lartësia e kësaj piramide është “h”. Për këtë figurë piramidale, vëllimi dhe sipërfaqja do të jenë të barabarta: V = a 2 *h/3 dhe S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2, përkatësisht. Duke aplikuar për të, duke marrë parasysh faktin se numri i fytyrave është 5, dhe numri i kulmeve është 5, marrim numrin e skajeve: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Figura e katërkëndëshit: përshkrim

Tetraedri i figurës gjeometrike kuptohet si një trup tredimensional i formuar nga 4 faqe. Bazuar në vetitë e hapësirës, ​​fytyra të tilla mund të përfaqësojnë vetëm trekëndësha. Kështu, një tetrahedron është një rast i veçantë i një piramide, e cila ka një trekëndësh në bazën e saj.

Nëse të 4 trekëndëshat që formojnë faqet e një katërkëndëshi janë barabrinjës dhe të barabartë me njëri-tjetrin, atëherë një katërkëndësh i tillë quhet i rregullt. Ky katërkëndor ka 4 faqe dhe 4 kulme, numri i skajeve është 4 + 4 - 2 = 6. Duke përdorur formulat standarde nga gjeometria e sheshtë për figurën në fjalë fitojmë: V = a 3 * √2/12 dhe S = √3*a 2, ku a është gjatësia e brinjës së trekëndëshit barabrinjës.

Është interesante të theksohet se në natyrë disa molekula kanë formën tetraedron i rregullt. Për shembull, një molekulë metani CH 4, në të cilën atomet e hidrogjenit janë të vendosura në kulmet e tetraedrit dhe janë të lidhur me atomin e karbonit me anë kovalente lidhjet kimike. Atomi i karbonit ndodhet në qendrën gjeometrike të tetraedrit.

Forma e katërkëndëshit, e cila është e lehtë për t'u prodhuar, përdoret gjithashtu në inxhinieri. Për shembull, forma tetrahedrale përdoret në prodhimin e spirancave për anijet. Vini re se sondë hapësinore Mars Pathfinder i NASA-s, i cili u ul në sipërfaqen e Marsit më 4 korrik 1997, kishte gjithashtu formën e një katërkëndëshi.

Figura e prizmit

Kjo figura gjeometrike mund të përftohen duke marrë dy poliedra, duke i vendosur ato paralel me njëri-tjetrin në plane të ndryshme hapësire dhe duke i lidhur kulmet e tyre në përputhje me njëri-tjetrin. Rezultati do të jetë një prizëm, dy poliedra quhen bazat e tij dhe sipërfaqet që lidhin këto poliedra do të kenë formën e paralelogrameve. Një prizëm quhet i drejtë nëse ai anët(paralelogramet) janë drejtkëndësha.

Një prizëm është një shumëfaqësh, kështu që teorema e Euler-it është e vërtetë për të. Për shembull, nëse një gjashtëkëndësh shtrihet në bazën e një prizmi, atëherë numri i anëve të prizmit është 8, dhe numri i kulmeve është 12. Numri i skajeve do të jetë i barabartë me: P = 8 + 12 - 2 = 18. Për një prizëm të drejtë me lartësi h, në bazën e të cilit shtrihet një gjashtëkëndësh i rregullt me ​​anë a, vëllimi është i barabartë: V = a 2 *h*√3/4, sipërfaqja është e barabartë: S = 3*a*(a *√3 + 2*h).

Duke folur për figura të thjeshta gjeometrike vëllimore dhe emrat e tyre, duhet të përmendim topin. Një trup vëllimor i quajtur top kuptohet si një trup që është i kufizuar në një sferë. Nga ana tjetër, një sferë është një koleksion pikash në hapësirë ​​të barabarta nga një pikë, e cila quhet qendra e sferës.

Meqenëse topi i përket klasës së trupave të rrumbullakët, nuk ekziston koncepti i anëve, skajeve dhe kulmeve për të. Sipërfaqja e sferës që mbyll topin gjendet me formulën: S = 4*pi*r 2, dhe vëllimi i topit mund të llogaritet me formulën: V = 4*pi*r 3/3, ku pi është numri pi (3.14), r është rrezja e sferës (topit).

Trupat volumetrikë mund të merren në një kompjuter menyra te ndryshme. Metoda më e përdorur është lidhja e trupave bazë.  

Trupi vëllimor i paketës së përshkruar më sipër është, natyrisht, një skemë e idealizuar.  

Ky trup vëllimor përbëhet nga pjesë të quajtura seksione. Çdo seksion është i mbyllur midis dy rrafsheve të nivelit ngjitur që kalojnë nëpër iso-llaqe ngjitur dhe ka formën e një koni eliptik të cunguar. Shërben një trup vëllimor i përbërë nga seksione të tilla modeli gjeometrik shtresa e rezervuarit. Këtë trup vëllimor do ta quajmë model kon-elips të një mbushjeje gazi (modeli CG), i cili duhet të jetë i ndërtuar në atë mënyrë që të rezultojë izomorfisht vëllimor me objektin, d.m.th. në mënyrë që vëllimet e seksionit të modelit dhe pjesës përkatëse të rezervuarit të jenë të njëjta.  

Nëse një trup vëllimor formohet nga rrotullimi i një zone të sheshtë A rreth një boshti që shtrihet në rrafshin e tij, por nuk e kryqëzon atë, atëherë ai do të ketë formën e një unaze. Lëreni një unazë të tillë të mbështillet me një tel, kthesat e së cilës janë të vendosura në një aeroplan që kalon nëpër boshtin e unazës; atëherë funksioni aktual i shtresës së telit do të jetë i barabartë me φ (1 / 2π) π &, ku π është numri i plotë kthesat, ferri është këndi azimutal i matur rreth boshtit të unazës.  

Në Fig. 1.5.4. Edhe pse algoritmi nuk merr parasysh hijet që bien, ekspresiviteti i përgjithshëm i imazhit mbetet mjaft i lartë për shkak të sigurisë për të treguar se një fytyrë i përket një ose një sistemi tjetër të planeve të orientuara në mënyrë ortogonale. Nëse tre zonat e përmendura më sipër janë paraqitur në figurë ngjyra të ndryshme, atëherë efekti do të jetë edhe më i madh. Modeli fizik të tilla zgjidhje grafike treguar në Fig. 1.5.5. Ai bazohet në parimin e ndriçimit të një objekti me tre burime ngjyra të ndryshme, i vendosur në përputhje me sistemin e miratuar të planeve ortogonale.  

Për një trup të ngurtë ekzistues, vendosni atribute, duke specifikuar llojin dhe materialin e elementit të fundëm.  

Në rastin e trupave vëllimorë, kjo procedurë duhet të bëhet tre herë. Qendra e gravitetit mund të shtrihet si brenda dhe jashtë trupit, për shembull, një gjysmë unazë e bërë nga tela e trashë homogjene ka një qendër graviteti jashtë trupit;  

Kur përshkruajnë trupa tredimensionale, studentët më së shpeshti përdorin metodën e shfaqjes së thellësisë duke krijuar një siluetë të lehtë në një sfond të errët. Ndonjëherë kjo metodë çon në një keqkuptim për natyrën e formës vëllimore-hapësinore. Imazhi në këtë rast korrespondon me natyrën e perceptimit të formës reale.  

Përcaktimi i qendrës së gravitetit të trupave vëllimorë shoqërohet me konceptet e planit dhe boshtit të simetrisë. Një plan simetrie është një plan që ndan një trup të caktuar në dy gjysma që janë plotësisht identike në madhësi dhe formë. Për këtë arsye, qendra e gravitetit të një trupi simetrik shtrihet në rrafshin e simetrisë.