Arsimi është ajo që mbetet pasi harrohet gjithçka që mësohet në shkollë.
Igor Khmelinsky, një shkencëtar i Novosibirskut që tani punon në Portugali, dëshmon se pa memorizimin e drejtpërdrejtë të teksteve dhe formulave, zhvillimi memorie abstrakte vështirë për fëmijët. Unë do të jap pjesë nga artikulli i tij "Mësimet reformat arsimore në Evropë dhe në vendet e ish-BRSS"
Mësimi përmendësh dhe kujtesa afatgjatë
Injoranca e tabelave të shumëzimit ka pasoja më serioze sesa pamundësia për të zbuluar gabimet në llogaritjet në një kalkulator. Kujtesa jonë afatgjatë funksionon në parimin e një baze të dhënash asociative, domethënë, disa elementë informacioni, kur memorizohen, shoqërohen me të tjerët bazuar në shoqatat e krijuara në kohën e njohjes me ta. Prandaj, në mënyrë që të formoni një bazë njohurish në kokën tuaj në çdo fusha lëndore, për shembull, në aritmetikë, së pari duhet të mësoni të paktën diçka përmendësh. Më tej, informacionet e sapombërritura do të vijnë nga memorie afatshkurtër në një periudhë afatgjatë, nëse brenda një periudhe të shkurtër kohore (disa ditë) e hasim shumë herë, dhe mundësisht në rrethana të ndryshme (gjë që kontribuon në krijimin e asociacioneve të dobishme). Megjithatë, në mungesë të memorie e përhershme njohuritë nga aritmetika, elementet e informacionit të sapoardhur shoqërohen me elementë që nuk kanë të bëjnë fare me aritmetikën - për shembull, personaliteti i mësuesit, moti jashtë, etj. Natyrisht, nuk ka një memorizim të tillë përfitim real nuk do ta sjellë studentin - meqenëse asociacionet largohen nga një fushë e caktuar lëndore, studenti nuk do të jetë në gjendje të mbajë mend ndonjë njohuri në lidhje me aritmetikën, përveç ideve të paqarta që ai duhet të ketë dëgjuar diçka për të në një moment. Për studentë të tillë, roli i shoqatave që mungojnë zakonisht luhet nga lloje te ndryshme sugjerime - kopjoni nga një koleg, përdorni pyetje kryesore në vetë testin, formula nga lista e formulave që lejohen të përdoren, etj. NË jeta reale, pa bakshish, një person i tillë rezulton krejtësisht i pafuqishëm dhe i paaftë për të zbatuar njohuritë që ka në kokë.
Formimi i një aparati matematikor, në të cilin formulat nuk memorizohen, ndodh më ngadalë se ndryshe. Pse? Së pari, vetitë e reja, teoremat, marrëdhëniet midis objekteve matematikore pothuajse gjithmonë përdorin disa veçori të formulave dhe koncepteve të studiuara më parë. Përqendrimi i vëmendjes së studentit në materialin e ri do të jetë më i vështirë nëse këto veçori nuk mund të nxirren nga kujtesa në një periudhë të shkurtër kohore. Së dyti, mosnjohja e formulave përmendësh pengon kërkimin e zgjidhjeve për problemet domethënëse me sasi e madhe operacione të vogla në të cilat është e nevojshme jo vetëm të kryhen transformime të caktuara, por edhe të identifikohet sekuenca e këtyre lëvizjeve, duke analizuar zbatimin e disa formulave dy ose tre hapa përpara.
Praktika tregon se intelektuali dhe zhvillimi matematik fëmijës, formimi i bazës së njohurive dhe aftësive të tij ndodh shumë më shpejt nëse shumica informacioni i përdorur (vetitë dhe formulat) është në kokë. Dhe sa më e fortë dhe më e gjatë të qëndrojë atje, aq më mirë.
Kjo faqe përmban të gjitha formulat e nevojshme për kalimin e testeve dhe testeve. punë e pavarur, provimet në algjebër, gjeometri, trigonometri, stereometri dhe fusha të tjera të matematikës.
Këtu mund të shkarkoni ose shikoni në internet të gjitha kryesoret formulat trigonometrike, formula për sipërfaqen e një rrethi, formula të shkurtuara të shumëzimit, formula për perimetrin, formulat e reduktimit dhe shumë të tjera.
Ju gjithashtu mund të printoni koleksionet e nevojshme të formulave matematikore.
Suksese në studimet tuaja!
Formulat aritmetike:
Formulat e algjebrës:
Formulat gjeometrike:
Formulat aritmetike:
Ligjet e veprimeve mbi numratLigji komutativ i shtimit: a + b = b + a.
Ligji i kombinuar i shtimit: (a + b) + c = a + (b + c).
Ligji i shumëzimit komutativ: ab = ba.
Ligji i kombinimit të shumëzimit: (ab)c = a(bc).
Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen: (a + b)c = ac + bc.
Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen: (a - b)c = ac - bc.
Disa shënime dhe shkurtesa matematikore:
Shenjat e pjesëtueshmërisë
Shenjat e pjesëtueshmërisë me "2"
Quhet një numër i pjesëtueshëm me "2" pa mbetje madje, jo i zbërthyeshëm - i çuditshëm. Një numër pjesëtohet me "2" pa mbetje nëse shifra e fundit e tij është çift (2, 4, 6, 8) ose zero.Shenjat e pjesëtueshmërisë me "4"
Një numër pjesëtohet me "4" pa mbetje nëse dy shifrat e tij të fundit janë zero ose nëse shuma mblidhet me një numër të pjesëtueshëm me "4" pa mbetje.Shenjat e pjesëtueshmërisë me "8"
Një numër pjesëtohet me "8" pa mbetje nëse tre shifrat e tij të fundit janë zero ose nëse shumat totale formojnë një numër të pjesëtueshëm me "8" pa mbetje. (shembull: 1000 - tre shifrat e fundit“00”, dhe pjesëtimi i 1000 me 8 jep 125; 104 - dy shifrat e fundit të "12" ndahen me 4, dhe pjesëtimi i 112 me 4 rezulton në 28; etj.)Shenjat e pjesëtueshmërisë me "3" dhe "9"
Vetëm ata numra, shuma e shifrave të të cilëve pjesëtohet me “3” pa mbetje, pjesëtohen me “3”; me "9" - vetëm ata, shuma e shifrave të të cilëve pjesëtohet me "9" pa mbetjeShenjat e pjesëtueshmërisë me "5"
Numrat, shifra e fundit e të cilëve është "0" ose "5" pjesëtohen pa mbetje me "5".Shenjat e pjesëtueshmërisë me "25"
Numrat pjesëtohen pa mbetje me "25", dy shifrat e fundit të të cilëve janë zero ose shuma e të cilëve formon një numër të plotpjesëtueshëm pa mbetje me "25" (d.m.th. numrat që mbarojnë me "00", "25", "50 ”, “75” »Shenjat e pjesëtueshmërisë me "10", "100" dhe "1000"
Vetëm ata numra, shifra e fundit e të cilëve është zero, pjesëtohen me "10", vetëm ata numra, dy shifrat e fundit të të cilëve janë zero, pjesëtohen me "100", dhe vetëm ata numra tre shifrat e fundit të të cilëve janë zero pjesëtohen me "1000".Shenjat e pjesëtueshmërisë me "11"
Vetëm ata numra, shuma e shifrave të të cilëve që zënë vende tek është ose e barabartë me shumën e shifrave që zënë vende çift ose ndryshon prej saj me një numër të pjesëtueshëm me "11", pjesëtohen me "11" pa mbetje.Vlera absolute - formula (moduli)
|a| ? 0, dhe |a| = 0 vetëm nëse a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, po b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|
Formulat Veprimet me thyesa
Formula për shndërrimin e një thyese dhjetore përfundimtare në një thyesë racionale është:
proporcionet
Dy marrëdhënie të barabarta formë proporcioni:
Vetia themelore e proporcionitGjetja e termave të një proporcioni
proporcionet, ekuivalente përmasat :Derivat proporcioni- pasojë e kësaj përmasat si
Vlerat mesatare
Mesatare
Dy madhësi: n sasitë:Mesatarja gjeometrike (mesatarja proporcionale)
Dy madhësi: n sasitë:Sheshi mesatar
Dy madhësi:n sasitë:
Mesatarja harmonike
Dy madhësi: n sasitë:Disa seri me numra të fundëm
Vetitë e mosbarazimeve numerike
1) Nëse a< b , pastaj për ndonjë c: a + c< b + с .
2) Nëse a< b Dhe c > 0, Kjo ac< bс .
3) Nëse a< b Dhe c< 0 , Kjo ac > bс.
4) Nëse a< b , a Dhe b atëherë një shenjë 1/a > 1/b.
5) Nëse a< b Dhe c< d , Kjo a + c< b + d , a - d< b — c .
6) Nëse a< b , c< d , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, Kjo ac< bd .
7) Nëse a< b , a > 0, b > 0, Kjo
8) Nëse , atëherë
Formulat e progresit:
Derivat
- Logaritmet:
- Koordinatat dhe vektorët
1. Distanca ndërmjet pikave A1(x1;y1) dhe A2(x2;y2) gjendet me formulën:
2. Koordinatat (x;y) të mesit të segmentit me skajet A1(x1;y1) dhe A2(x2;y2) gjenden duke përdorur formulat:
3. Ekuacioni i drejtëzës c shpat dhe ordinata fillestare ka formën:
Koeficienti këndor k është vlera e tangjentes së këndit të formuar nga drejtëza me drejtimin pozitiv të boshtit Ox, dhe ordinata fillestare q është vlera e ordinatës së pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oy.
4. Ekuacioni i përgjithshëm drejtëza ka formën: sëpatë + nga + c = 0.
5. Ekuacionet e drejtëzave përkatësisht paralele me boshtet Oy dhe Ox kanë formën:
Ax + nga + c = 0.
6. Kushtet për paralelizëm dhe pingulitet të drejtëzave përkatësisht y1=kx1+q1 dhe y2=kx2+q2 kanë formën:
7. Ekuacionet e rrathëve me rreze R dhe qendër përkatësisht në pikat O(0;0) dhe C(xo;yo) kanë formën:
8. Ekuacioni:
është ekuacioni i një parabole me kulmin e saj në pikën e së cilës është abshisa
- Drejtkëndëshe Sistemi kartezian koordinatat në hapësirë
1. Distanca ndërmjet pikave A1(x1;y1;z1) dhe A2(x2;y2;z2) gjendet me formulën:
2. Koordinatat (x;y;z) të mesit të segmentit me skajet A1(x1;y1;z1) dhe A2(x2;y2;z2) gjenden duke përdorur formulat:
3. Moduli i vektorit i dhënë nga koordinatat e tij gjendet me formulën:
4. Me rastin e mbledhjes së vektorëve, shtohen koordinatat e tyre përkatëse dhe kur një vektor shumëzohet me një numër, të gjitha koordinatat e tij shumëzohen me këtë numër, d.m.th. formulat e mëposhtme janë të vlefshme:
5. vektor njësi bashkëdrejtimi me vektorin gjendet me formulën:
6. Prodhimi skalar i vektorëve është numri:
ku është këndi ndërmjet vektorëve.
7. Produkt skalar vektorët
8. Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve dhe gjendet me formulën:
9. E nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme pinguliteti i vektorëve dhe ka formën: 10. Ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit, pingul me vektorin ka formën:
Ax + nga + cz + d = 0.
11. Ekuacioni i një rrafshi pingul me vektorin dhe që kalon në pikën (xo;yo;zo) ka formën:
A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.
12. Ekuacioni i sferës me qendër O(0;0;0) shkruhet në formë.
Matematicieni Henri Poincaré shkroi në librin e tij Science and Method: “Nëse natyra nuk do të ishte e bukur, nuk do të ia vlente të njihej, jeta nuk do të ia vlente të përjetohej. Këtu e kam fjalën sigurisht jo për bukurinë që të bie në sy... e kam fjalën më shumë bukuri e thellë, e cila zbulohet në harmoninë e pjesëve, e cila kuptohet vetëm nga mendja. Është ajo që krijon tokën, krijon kuadrin e lojës së ngjyrave të dukshme që përkëdhelin shqisat tona dhe pa këtë mbështetje bukuria e përshtypjeve kalimtare do të ishte e papërsosur, si çdo gjë e paqartë dhe kalimtare. Përkundrazi, bukuria intelektuale të jep kënaqësi në vetvete.”
P.A.M. Dirac shkroi: "U fizikës teorike Ekziston një rrugë tjetër e saktë e zhvillimit. Natyra e ka këtë tipar themelor cilat janë më themeloret ligjet fizike janë përshkruar teoria matematikore, aparati i të cilit ka forcë e jashtëzakonshme dhe bukuria. Për të kuptuar këtë teori, ju duhet të keni një nivel jashtëzakonisht të lartë të aftësive matematikore. Ju mund të pyesni: pse natyra funksionon në këtë mënyrë? Ka vetëm një përgjigje për këtë: sipas tonë njohuri moderne, natyra është projektuar në këtë mënyrë dhe jo ndryshe.”
Shtatë vjet më parë, fizikanja (dhe artistja) ukrainase Natalia Kondratyeva iu drejtua një numri të matematikanëve kryesorë në botë me pyetjen: "Cilat tre formulat matematikore, sipas jush, më e bukura?”
Në bisedën për bukurinë e formulave matematikore morën pjesë Sir Michael Atiyah dhe David Elvarsi nga Britania, Yakov Sinai dhe Alexander Kirillov nga SHBA, Friedrich Herzebruch dhe Yuri Manin nga Gjermania, David Ruel nga Franca, Anatoly Vershik dhe Robert Minlos nga Rusia dhe matematikanë të tjerë nga vende të ndryshme. Midis ukrainasve, akademikët e NASU Vladimir Korolyuk dhe Anatoli Skorokhod morën pjesë në diskutim. Disa nga materialet e marra në këtë mënyrë formuan bazën për librin e botuar nga Natalya Kondratyeva. punë shkencore"Tri formulat matematikore më të bukura."
— Cili ishte qëllimi juaj kur pyetët matematikanët për formula të bukura?
— Çdo shekull i ri sjell ripërtëritje paradigmë shkencore. Në fillim të shekullit me ndjenjën se jemi në prag shkencë e re, ajo rol të ri në jetë shoqëria njerëzore, iu drejtova matematikanëve me një pyetje për bukurinë e ideve pas simbolet matematikore, d.m.th. për bukurinë e formulave matematikore.
Tashmë mund të vëmë re disa veçori të shkencës së re. Nëse në shkencën e shekullit XX ka shumë rol i rendesishem luajtur nga “miqësia” e matematikës me fizikën, tashmë matematika bashkëpunon efektivisht me biologjinë, gjenetikën, sociologjinë, ekonominë... Për rrjedhojë shkenca do të eksplorojë korrespondencat. Strukturat matematikore do të eksplorojnë korrespondencën midis ndërveprimeve të elementeve fusha të ndryshme dhe planet. Dhe shumë nga ato që kemi marrë më parë besimin si thënie filozofike do të konfirmohen nga shkenca si njohuri konkrete.
Ky proces filloi tashmë në shekullin e njëzetë. Kështu, Kolmogorov tregoi matematikisht se nuk ka asnjë shans, por ka një kompleksitet shumë të madh. Gjeometria fraktale konfirmoi parimin e unitetit në diversitet, etj.
— Cilat formula u quajtën më të bukurat?
- Unë do të them menjëherë se nuk kishte asnjë qëllim për të organizuar një konkurs për formula. Në letrën time drejtuar matematikanëve, kam shkruar: “Njerëzit që duan të kuptojnë se cilat ligje qeverisin botën, marrin rrugën për të gjetur harmoninë e botës. Kjo rrugë shkon deri në pafundësi (sepse lëvizja është e përjetshme), por njerëzit ende e ndjekin atë, sepse... ka një gëzim të veçantë në takimin me një ide apo ide tjetër. Nga përgjigjet e pyetjes rreth formulave të bukura, mund të jetë e mundur të sintetizohet një aspekt i ri i bukurisë së botës. Përveç kësaj, kjo punë mund të jetë e dobishme për shkencëtarët e ardhshëm si një ide për harmoninë e madhe të botës dhe matematikën si një mënyrë për të gjetur këtë bukuri.”
Sidoqoftë, midis formulave kishte të preferuara të qarta: formula e Pitagorës dhe formula Euler.
Pas tyre ishin formulat fizike dhe jo ato matematikore që në shekullin e njëzetë ndryshuan kuptimin tonë për botën - Maxwell, Schrödinger, Ajnshtajni.
Gjithashtu ndër më të bukurat ishin formula që janë ende në fazën e diskutimit, si p.sh., ekuacionet vakum fizik. U përmendën edhe formula të tjera të bukura matematikore.
— Pse mendoni, në kapërcyellin e mijëvjeçarit të dytë dhe të tretë, formula e Pitagorës u emërua si një nga më të bukurat?
— Në kohën e Pitagorës, kjo formulë perceptohej si shprehje e parimit evolucioni kozmik: dy parime të kundërta (dy katrorë që prekin në mënyrë ortogonale) gjenerojnë një të tretën e barabartë me shumën e tyre. Gjeometrikisht mund të jepen interpretime shumë të bukura.
Ndoshta ka një lloj nënndërgjegjeje memorie gjenetike për ato kohë kur koncepti i "matematikës" nënkuptonte "shkencë", dhe aritmetika, piktura, muzika dhe filozofia studioheshin në sintezë.
Rafail Khasminsky shkroi në letrën e tij se në shkollë ai ishte i mahnitur nga bukuria e formulës së Pitagorës dhe se kjo përcaktoi kryesisht fatin e tij si matematikan.
- Çfarë mund të thoni për formulën e Euler-it?
— Disa matematikanë tërhoqën vëmendjen për faktin se "të gjithë u mblodhën" në të, d.m.th. të gjitha më të mrekullueshmet numrat matematikë, dhe njëri është i mbushur me pafundësi! - kjo ka një kuptim të thellë filozofik.
Nuk është çudi që Euler zbuloi këtë formulë. Matematikan i madh bëri shumë për të futur bukurinë në shkencë, ai madje futi konceptin e "shkallës së bukurisë" në matematikë. Më saktësisht, ai e futi këtë koncept në teorinë e muzikës, të cilën e konsideroi si pjesë të matematikës.
Euler besonte se ndjenja estetike mund të zhvillohet dhe se kjo ndjenjë është e nevojshme për një shkencëtar.
Do t'u referohem autoriteteve... Grothendieck: "Të kuptosh një gjë të veçantë në matematikë është aq e përsosur sa është e mundur të ndjesh bukurinë e saj."
Poincaré: "Në matematikë ka ndjenjë." Ai e krahasoi ndjenjën estetike në matematikë me një filtër, i cili nga shumë zgjidhje të mundshme, zgjedh atë më harmonike, e cila, si rregull, është e sakta. Bukuria dhe harmonia janë sinonime, dhe manifestimi më i lartë harmonia është ligji botëror i ekuilibrit. Matematika e studion këtë ligj mbi plane të ndryshme duke qenë dhe në aspekte të ndryshme. Jo më kot çdo formulë matematikore përmban një shenjë të barabartë.
Unë mendoj se harmonia më e lartë njerëzore është harmonia e mendimit dhe ndjenjës. Ndoshta kjo është arsyeja pse Ajnshtajni tha se shkrimtari Dostojevski i dha atij më shumë se matematikani Gauss.
Unë e mora formulën e Dostojevskit "Bukuria do të shpëtojë botën" si një epigraf të punës sime për bukurinë në matematikë. Dhe u diskutua edhe nga matematikanët.
- Dhe ata ranë dakord me këtë deklaratë?
- Matematikanët as e konfirmuan dhe as e kundërshtuan këtë deklaratë. Ata e sqaruan: "Ndërgjegjësimi për bukurinë do të shpëtojë botën". Këtu m'u kujtua menjëherë puna e Eugene Wigner mbi rolin e ndërgjegjes në matjet kuantike, shkruar prej tij gati pesëdhjetë vjet më parë. Në këtë vepër, Wigner tregoi se ndërgjegjen njerëzore ndikon mjedisi, d.m.th., që ne jo vetëm të marrim informacion nga jashtë, por edhe të dërgojmë mendimet dhe ndjenjat tona si përgjigje. Kjo punë është ende aktuale dhe ka si mbështetësit ashtu edhe kundërshtarët e saj. Unë me të vërtetë shpresoj që në shekullin e 21-të shkenca do të provojë se vetëdija për bukurinë kontribuon në harmonizimin e botës sonë.
1. Formula e Euler-it. Shumë panë në këtë formulë një simbol të unitetit të të gjithë matematikës, sepse në të "-1 përfaqëson aritmetikën, i - algjebër, π - gjeometri dhe e - analizë".
2. Kjo barazi e thjeshtë tregon se vlera 0,999 (dhe kështu me radhë ad infinitum) është ekuivalente me një. Shumë njerëz nuk besojnë se kjo mund të jetë e vërtetë, megjithëse ka disa prova të bazuara në teorinë e kufirit. Megjithatë, barazia tregon parimin e pafundësisë. 
3. Ky ekuacion u formulua nga Ajnshtajni si pjesë e një inovative teori e përgjithshme relativiteti në 1915. Ana e djathtë e këtij ekuacioni përshkruan energjinë që përmbahet në Universin tonë (duke përfshirë "energjinë e errët"). Pjesa e dorës së majtë përshkruan gjeometrinë e hapësirë-kohës. Barazia pasqyron faktin se në teorinë e përgjithshme të relativitetit të Ajnshtajnit, masa dhe energjia përcaktojnë gjeometrinë, dhe në të njëjtën kohë lakimin, që është një manifestim i gravitetit. Ajnshtajni tha se ana e majte ekuacionet e gravitetit në teorinë e përgjithshme të relativitetit, që përmbajnë fushën gravitacionale, janë të bukura dhe si të gdhendura nga mermeri, ndërsa pjesa e djathtë ekuacionet që përshkruajnë lëndën janë ende të shëmtuara, sikur të bëheshin nga druri i zakonshëm. 
4. Një tjetër teori mbizotëruese e fizikës, Modeli Standard, përshkruan elektromagnetike, të dobëta dhe ndërveprim i fortë të gjithë grimcat elementare. Disa fizikanë besojnë se ajo pasqyron të gjitha proceset që ndodhin në Univers, përveç materie e errët, energji e errët dhe nuk përfshin gravitetin. NË Modeli standard Bosoni Higgs, i pakapshëm deri vitin e kaluar, gjithashtu përshtatet, megjithëse jo të gjithë ekspertët janë të sigurt për ekzistencën e tij. 
5. Teorema e Pitagorës është një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, duke vendosur marrëdhëniet midis palëve trekëndësh kënddrejtë. Ne e kujtojmë atë nga shkolla dhe besojmë se autori i teoremës është Pitagora. Në fakt, kjo formulë u përdor përsëri në Egjipti i lashte gjatë ndërtimit të piramidave. 
6. Teorema e Euler-it. Kjo teoremë hodhi themelet për një degë të re të matematikës - topologjinë. Ekuacioni vendos marrëdhënien midis numrit të kulmeve, skajeve dhe faqeve për shumëkëndëshat që topologjikisht janë ekuivalente me një sferë. 
7. Teori speciale relativiteti përshkruan lëvizjen, ligjet e mekanikës dhe marrëdhëniet hapësirë-kohë me shpejtësi arbitrare të lëvizjes më të vogla se shpejtësia e dritës në vakum, duke përfshirë ato afër shpejtësisë së dritës. Ajnshtajni krijoi një formulë që përshkruan se koha dhe hapësira nuk janë konceptet absolute, por më tepër janë relative në varësi të shpejtësisë së vëzhguesit. Ekuacioni tregon se si zgjerohet ose ngadalësohet koha në varësi të mënyrës dhe vendit ku lëviz një person. 
8. Ekuacioni u nxor në vitet 1750 nga Euler dhe Lagrange gjatë zgjidhjes së problemit të izokronit. Ky është problemi i përcaktimit të kurbës që çon një grimcë të rëndë në një pikë fikse në një kohë të caktuar, pavarësisht pikënisje. NË në terma të përgjithshëm, nëse sistemi juaj ka simetri, ekziston një ligj përkatës i ruajtjes së simetrisë. 
9. Ekuacioni Callan-Symanzik. Ajo përfaqëson ekuacioni diferencial, duke përshkruar evolucionin n-funksioni i korrelacionit kur ndryshon shkallën e energjisë në të cilën është përcaktuar teoria dhe përfshin funksionet beta të teorisë dhe dimensionet anormale. Ky ekuacion ndihmoi për të kuptuar më mirë fizikën kuantike. 
10. Ekuacioni i sipërfaqes minimale. Kjo barazi shpjegon formimin e flluskave të sapunit. 
11. Drejtëza e Euler-it. Teorema e Euler u vërtetua në 1765. Ai zbuloi se mesi i brinjëve të një trekëndëshi dhe bazat e lartësive të tij shtrihen në të njëjtin rreth. 
12. Në vitin 1928 P.A.M. Diraku propozoi versionin e tij të ekuacionit të Shrodingerit - i cili korrespondonte me teorinë e A. Ajnshtajnit. Bota shkencore u trondit - Diraku zbuloi ekuacionin e tij për elektronin përmes manipulimeve thjesht matematikore të objekteve më të larta matematikore të njohura si spinorë. Dhe ishte një ndjesi - deri më tani, të gjitha zbulimet e mëdha në fizikë duhet të qëndrojnë në një bazë solide të të dhënave eksperimentale. Por Diraku besonte se matematika e pastër, nëse është mjaft e bukur, është një kriter i besueshëm për korrektësinë e përfundimeve. “Bukuria e ekuacioneve është më e rëndësishme se pajtueshmëria e tyre me të dhënat eksperimentale. ... Duket se nëse përpiqeni të arrini bukurinë në ekuacione dhe keni një intuitë të shëndetshme, atëherë do ta bëni në rrugën e duhur" Ishte falë llogaritjeve të tij që u zbulua pozitroni, një antielektron, dhe ai parashikoi praninë e një "spin" në një elektron - rrotullimin e një grimce elementare. 
13. J. Maxwell mori ekuacione të mahnitshme që bashkonin të gjitha dukuritë e elektricitetit, magnetizmit dhe optikës. Fizikan i shquar gjerman, një nga krijuesit fizika statistikore, Ludwig Boltzmann, tha për ekuacionet e Maxwell: "A nuk i ka shkruar Zoti këto letra?" 
14. Ekuacioni i Schrödinger-it Një ekuacion që përshkruan ndryshimin në hapësirë dhe kohë të një gjendjeje të pastër funksioni i valës, në Hamiltonian sistemet kuantike. Luaj në Mekanika kuantike një rol po aq të rëndësishëm sa ekuacioni i ligjit të dytë të Njutonit në mekanikën klasike. 
