Puanlar X Ve X" denir simetrik nispeten doğrudan A, ve eğer a, XX" segmentine dik seridin ise, bunların her biri diğerine simetriktir. A çizgisinin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir (a doğrusuna göre). Bir a doğrusu verilirse, o zaman her biri X noktası, a'ya göre X'e simetrik olan tek bir X" noktasına karşılık gelir.

Simetri uçak nispeten doğrudan A isminde çok görüntülemek, en Hangi her biri nokta Bu uçak konur V yazışma nokta, simetrik ona nispeten doğrudan A.

Hadi bunu kanıtlayalım eksenel simetri koordinat yöntemini kullanan bir harekettir: a düz çizgisini x ekseni olarak alın Kartezyen koordinatlar. Daha sonra koordinatları (x;y) olan bir nokta, simetrisi ile (x, -y) koordinatları olan bir noktaya dönüşecektir.

Herhangi iki A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktasını alalım ve bunlara x-'ye göre simetrik olan A"(x1,- y1) ve B"(x2, -y2) noktalarını ele alalım. eksen. A"B" ve AB mesafelerini hesaplayarak şunu elde ederiz:

Böylece eksenel simetri mesafeyi korur, dolayısıyla harekettir.

Dönüş

Dönüş uçak nispeten merkez O Açık verildi köşe () V verildi yönşu şekilde tanımlanır: düzlemin her bir X noktasına karşılık gelen bir X" noktası vardır, öyle ki, ilk olarak OX"=OX olur, ikinci ve üçüncü olarak OX" ışını OX ışınından geciktirilir. bu yönde. O noktasına denir merkez dönüm ve açı açı dönüm.

Dönmenin bir hareket olduğunu kanıtlayalım:

O noktası etrafında dönerken X ve Y noktalarının X" ve Y" noktalarıyla ilişkilendirilmesine izin verin. X"Y"=XY olduğunu gösterelim.

düşünelim genel durum O, X, Y noktaları aynı doğru üzerinde olmadığında. Daha sonra X"OY" açısı açıya eşit XOY. Aslında, OX'tan OY'ye XOY açısının dönme yönünde ölçülmesine izin verin. (Durum böyle değilse YOX açısını düşünün). Sonra OX ve OY arasındaki açı" toplamına eşit XOY açısı ve dönüş açısı (OY'den OY'ye"):

diğer tarafta,

O zamandan beri (dönme açıları gibi), bu nedenle. Ayrıca OX"=OX ve OY"=OY. Bu nedenle - iki tarafta ve aralarındaki açı. Bu nedenle X"Y"=XY.

O, X, Y noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, XY ve X"Y" parçaları ya toplam ya da fark olacaktır. eşit parçalarÖKÜZ, OY ve ÖKÜZ", OY". Dolayısıyla bu durumda X"Y"=XY. Yani dönmek harekettir.

Konsept simetri tüm insanlık tarihi boyunca uzanır. Zaten kökenlerde bulunur insan bilgisi. Canlı bir organizmanın, yani insanın incelenmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. MÖ 5. yüzyılda heykeltıraşlar tarafından kullanılmıştır. Kelime " simetri "Yunanca, şu anlama geliyor" parçaların düzenlenmesinde orantılılık, orantılılık, tekdüzelik”.

1.1. Eksenel simetri

A ve A1 noktalarına, eğer bu doğru AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve ona dikse, a doğrusuna göre simetrik denir (Şekil 2.1). Bir a çizgisinin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir.

Bir şeklin her noktası için, a düz çizgisine göre simetrik bir nokta da bu şekle aitse, şeklin a düz çizgisine göre simetrik olduğu söylenir (Şekil 2.2).

Düz çizgi a'ya şeklin simetri ekseni denir.


Şeklin eksenel simetriye sahip olduğu da söyleniyor.

Aşağıdakiler eksenel simetriye sahiptir geometrik şekiller bir köşe gibi ikizkenar üçgen, dikdörtgen, eşkenar dörtgen (Şekil 2.3).

Bir şeklin birden fazla simetri ekseni olabilir. Bir dikdörtgenin iki, bir karenin dört, bir eşkenar üçgenin üç, bir dairenin merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi vardır.

Alfabenin harflerine yakından bakarsanız (Şekil 2.4), aralarında yatay veya dikey ve bazen her iki simetri eksenine sahip olanları bulabilirsiniz. Simetri eksenlerine sahip nesneler, canlı ve cansız doğada oldukça sık bulunur.

Tek bir simetri ekseni olmayan şekiller vardır. Bu tür şekiller, dikdörtgenden farklı bir paralelkenar ve bir çeşitkenar üçgen içerir.

Bir kişi, faaliyetinde, çeşitli simetri eksenlerine sahip birçok nesne (süs eşyaları dahil) yaratır.

1.2 Merkezi simetri

Bir şeklin her noktası için, O noktasına göre simetrik bir nokta da bu şekle aitse, şeklin O noktasına göre simetrik olduğu söylenir.

Merkezi simetriye sahip en basit şekiller daire ve paralelkenardır (Şekil 2.6).

O noktasına şeklin simetri merkezi denir. İÇİNDE benzer vakalarşeklin merkezi simetrisi vardır. Bir dairenin simetri merkezi dairenin merkezidir ve paralelkenarın simetri merkezi köşegenlerinin kesişme noktasıdır.

Düz bir çizginin de merkezi simetrisi vardır, ancak yalnızca bir simetri merkezine sahip olan daire ve paralelkenardan farklı olarak, düz bir çizgide bunlardan sonsuz sayıda bulunur; düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir nokta, simetri merkezidir. Simetri merkezi olmayan bir şekle örnek olarak üçgen verilebilir.

1.3. Dönme simetrisi

Bir nesnenin belirli bir eksen etrafında 360°/n'ye (veya bu değerin katlarına) eşit bir açıyla döndürüldüğünde kendisiyle hizalandığını varsayalım; burada n = 2, 3, 4, ... Bu durumda, yaklaşık dönme hızı simetridir ve belirtilen eksene n'inci dereceden döner eksen adı verilir.

Bilinen tüm harflerin yer aldığı örneklere bakalım " VE" Ve " F" Mektupla ilgili" VE", o zaman sözde dönme simetrisine sahiptir. Mektubu çevirirsen " VE» Harf düzlemine dik olan ve merkezinden geçen bir eksen etrafında 180° olduğunda harf kendisiyle aynı hizaya gelecektir.

Başka bir deyişle, mektup " VE» 180° dönüşe göre simetrik. Dikkat dönme simetrisi mektubu da var" F».

Şekil 2.7'de. 2'den 5'e kadar farklı sıralarda dönme eksenlerine sahip basit nesnelerin örnekleri verilmiştir.

Bilimsel ve pratik konferans

Belediye eğitim kurumu "Ortaöğretim" ortaokul 23 numara"

Vologda şehri

bölüm: doğa bilimi

tasarım ve araştırma çalışmaları

SİMETRİ TÜRLERİ

Çalışma 8. sınıf öğrencisi tarafından tamamlandı

Kreneva Margarita

Başkan: yüksek matematik öğretmeni

2014

Proje yapısı:

1. Giriş.

2. Projenin amaç ve hedefleri.

3. Simetri türleri:

3.1. Merkezi simetri;

3.2. Eksenel simetri;

3.3. Ayna simetrisi(düzleme göre simetri);

3.4. Dönme simetrisi;

3.5. Taşınabilir simetri.

4. Sonuçlar.

Simetri, insanın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir.

G.Weil

Giriiş.

Çalışmamın konusu 8. sınıf Geometri dersinin “Eksenel ve merkezi simetri” bölümünü inceledikten sonra seçildi. Bu konuyla çok ilgilendim. Bilmek istedim: Ne tür simetriler var, birbirlerinden nasıl farklılar, her tipte simetrik figürler oluşturmanın ilkeleri neler?

İşin amacı : Farklı simetri türlerine giriş.

Görevler:

Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin.

Çalışılan materyali özetleyin ve sistematik hale getirin.

Bir sunum hazırlayın.

Antik çağlarda “SİMETRİ” kelimesi “uyum”, “güzellik” anlamında kullanılıyordu. Yunancadan çevrilen bu kelime, "orantılılık, orantılılık, bir şeyin parçalarının belirli bir düzene göre düzenlenmesindeki tekdüzelik" anlamına gelir. zıt taraflar bir noktadan, çizgiden veya düzlemden.

İki grup simetri vardır.

İlk grup konumların, şekillerin ve yapıların simetrisini içerir. Bu doğrudan görülebilen simetridir. Buna geometrik simetri denilebilir.

İkinci grup simetriyi karakterize eder fiziksel olaylar ve doğanın kanunları. Bu simetri tam da özünde yatıyor doğa bilimi resmi dünya: buna fiziksel simetri denilebilir.

Çalışmayı bırakacağımgeometrik simetri .

Buna karşılık, çeşitli geometrik simetri türleri de vardır: merkezi, eksenel, ayna (düzlece göre simetri), radyal (veya döner), taşınabilir ve diğerleri. Bugün 5 çeşit simetriye bakacağım.

Merkezi simetri

A ve A olmak üzere iki nokta 1 O noktasından geçen düz bir çizgi üzerinde yer alıyorlarsa ve O noktasına göre simetrik olarak adlandırılırlar. farklı taraflar onunla aynı mesafede. O noktasına simetri merkezi denir.

Şeklin noktaya göre simetrik olduğu söylenirHAKKINDA şeklin her noktası için o noktaya göre simetrik bir nokta varsaHAKKINDA da bu figüre aittir. NoktaHAKKINDA Bir şeklin simetri merkezi adı verilen şeklin merkezi simetriye sahip olduğu söylenir.

Merkezi simetriye sahip şekillere örnek olarak daire ve paralelkenar verilebilir.

Slaytta gösterilen şekiller belirli bir noktaya göre simetriktir

2. Eksenel simetri

İki puanX Ve e bir doğruya göre simetrik denirT , eğer bu çizgi XY doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve ona dikse. Ayrıca her noktanın düz bir çizgi olduğu da söylenmelidir.T kendine simetrik kabul edilir.

DümdüzT – simetri ekseni.

Şeklin düz bir çizgiye göre simetrik olduğu söylenirT, şeklin her noktası için düz çizgiye göre simetrik bir nokta varsaT da bu figüre aittir.

DümdüzTBir şeklin simetri ekseni adı verilen şeklin eksenel simetriye sahip olduğu söylenir.

Gelişmemiş bir açı, bir ikizkenar açı ve bir açı eksenel simetriye sahiptir. eşkenar üçgenler, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen,mektuplar (sunuma bakınız).

Ayna simetrisi (bir düzleme göre simetri)

İki nokta P 1 Ve P, a düzlemine dik bir düz çizgi üzerinde yer alıyorsa ve ondan aynı uzaklıktaysa, a düzlemine göre simetrik olarak adlandırılır.

Ayna simetrisi herkes tarafından iyi bilinir. Herhangi bir nesneyi ve onun yansımasını birbirine bağlar. düz ayna. Bir figürün diğerine simetrik ayna olduğunu söylüyorlar.

Düzlemde sayısız simetri eksenine sahip bir şekil bir daireydi. Uzayda bir topun sayısız simetri düzlemi vardır.

Ancak eğer bir daire türünün tek örneğiyse, o zaman üç boyutlu dünyada sonsuz sayıda simetri düzlemine sahip bir dizi cisim vardır: tabanında bir daire bulunan düz bir silindir, tabanı dairesel olan bir koni, bir top.

Her birinin simetrik olduğunu tespit etmek kolaydır düz şekil bir ayna kullanılarak kendisiyle hizalanabilir. Beş köşeli yıldız veya eşkenar beşgen gibi karmaşık şekillerin de simetrik olması şaşırtıcıdır. Eksen sayısından da anlaşılacağı gibi, yüksek simetri ile ayırt edilirler. Ve tam tersi: neden böyle görünüşte olduğunu anlamak o kadar kolay değil doğru şekil eğik bir paralelkenar gibi asimetriktir.

4.P dönme simetrisi (veya radyal simetri)

Dönme simetrisi - bu simetridir, bir nesnenin şeklinin korunmasıdır360°'ye eşit bir açıyla belirli bir eksen etrafında dönerken/N(veya bu değerin katları), buradaN= 2, 3, 4, … Belirtilen eksene döner eksen denirN-inci sipariş.

Şu tarihte:n=2 şeklin tüm noktaları 180 derecelik açıyla döndürülür 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) eksen etrafında, şeklin şekli korunurken, yani. şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına gider (şekil kendine dönüşür). Eksen ikinci dereceden eksen olarak adlandırılır.

Şekil 2 üçüncü dereceden bir ekseni göstermektedir, Şekil 3 - 4. dereceden, Şekil 4 - 5. dereceden.

Bir nesnenin birden fazla dönme ekseni olabilir: Şek. 1 - 3 dönme ekseni, Şek. 2 - 4 eksen, Şek. 3 - 5 eksen, Şek. 4 – yalnızca 1 eksen

Herkes ünlü mektuplar“I” ve “F” dönme simetrisine sahiptir. “I” harfini harfin düzlemine dik ve merkezinden geçen bir eksen etrafında 180° döndürürseniz harf kendisiyle aynı hizaya gelecektir. Yani “I” harfi 180°, 180°= 360° dönmeye göre simetriktir: 2,N=2, ikinci dereceden simetriye sahip olduğu anlamına gelir.

“F” harfinin de ikinci dereceden dönme simetrisine sahip olduğuna dikkat edin.

Ayrıca harfin bir simetri merkezi, F harfinin ise bir simetri ekseni vardır.

Hayattan örneklere dönelim: bir bardak, külah şeklinde bir kilo dondurma, bir parça tel, bir boru.

Bu cisimlere daha yakından baktığımızda hepsinin öyle ya da böyle bir daireden oluştuğunu fark edeceğiz. sonsuz küme simetri eksenleri sayısız simetri düzleminden geçen. Bu cisimlerin çoğu (bunlara dönme cisimleri denir) elbette içinden en az bir dönme simetri ekseninin geçtiği bir simetri merkezine (bir dairenin merkezi) sahiptir.

Örneğin dondurma külahının ekseni açıkça görülebilmektedir. Çemberin ortasından (dondurmanın dışına çıkarak!) huni konisinin keskin ucuna kadar uzanır. Bir cismin simetri unsurlarının bütününü bir nevi simetri ölçüsü olarak algılıyoruz. Top, şüphesiz simetri açısından mükemmelliğin eşsiz bir örneğidir, bir idealdir. Eski Yunanlılar onu en mükemmel vücut ve daireyi de doğal olarak en mükemmel düz figür olarak algıladılar.

Belirli bir nesnenin simetrisini tanımlamak için, tüm dönme eksenlerini ve bunların sırasını ve ayrıca tüm simetri düzlemlerini belirtmeniz gerekir.

Örneğin şunu düşünün: geometrik gövde iki özdeş düzenli dörtgen piramitten oluşur.

4. dereceden bir döner eksene (AB ekseni), 2. dereceden dört döner eksene (CE eksenleri,DF, Milletvekili, NQ), beş simetri düzlemi (düzlemlerCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Taşınabilir simetri

Diğer bir simetri türü isetaşınabilir İle simetri.

Böyle bir simetrinin, bir şekli düz bir çizgi boyunca belirli bir "a" mesafesine veya bu değerin katları olan bir mesafeye hareket ettirirken, kendisiyle aynı hizaya gelmesi durumunda ortaya çıktığı söylenir. Aktarımın gerçekleştiği düz çizgiye aktarım ekseni adı verilir ve "a" mesafesine temel aktarım, periyot veya simetri adımı denir.

A

Uzun bir şerit üzerinde periyodik olarak tekrarlanan desene kenarlık denir. Uygulamada bordürlere çeşitli formlarda (duvar resmi, dökme demir, alçı kabartma veya seramik) rastlanmaktadır. Bordürler ressamlar ve sanatçılar tarafından bir odayı dekore ederken kullanılır. Bu süsleri yapmak için bir şablon yapılır. Şablonu hareket ettiriyoruz, ters çevirip çevirmiyoruz, taslağı çiziyoruz, deseni tekrarlıyoruz ve bir süs elde ediyoruz (görsel gösteri).

Bir şablon (başlangıç ​​öğesi) kullanarak, onu hareket ettirerek veya ters çevirerek ve deseni tekrarlayarak kenarlık oluşturmak kolaydır. Şekilde beş tür şablon gösterilmektedir:A ) asimetrik;b, c ) bir simetri eksenine sahip: yatay veya dikey;G ) merkezi olarak simetrik;D ) iki simetri eksenine sahiptir: dikey ve yatay.

Sınırları oluşturmak için aşağıdaki dönüşümler kullanılır:

A ) paralel transfer;B ) dikey eksene göre simetri;V ) merkezi simetri;G ) yatay eksene göre simetri.

Aynı şekilde soketler de oluşturabilirsiniz. Bunu yapmak için daire ikiye bölünürN eşit sektörler, bunlardan birinde örnek bir desen yapılır ve ardından ikincisi dairenin geri kalan kısımlarında sırayla tekrarlanır, desen her seferinde 360° / açıyla döndürülür.N .

Açık bir örnek Fotoğrafta gösterilen çit, eksenel ve taşınabilir simetrinin bir uygulaması olarak hizmet edebilir.

Sonuç: Dolayısıyla, çeşitli türler Simetriler, bu simetri türlerinin her birinde simetrik noktalar belirli yasalara göre inşa edilir. Hayatta her yerde aynı tür simetriyle karşılaşırız ve çoğu zaman etrafımızı saran nesnelerde birden fazla simetri türünü aynı anda fark edebiliriz. Bu, çevremizdeki dünyada düzen, güzellik ve mükemmellik yaratır.

EDEBİYAT:

Kılavuzu ilköğretim matematik. M.Ya. Vygodsky. – “Nauka” yayınevi. – Moskova 1971 – 416 sayfa.

Modern sözlük yabancı kelimeler. - M.: Rus dili, 1993.

Okulda matematiğin tarihiIX - Xsınıflar. G.I. Glaser. – “Prosveşçeniye” yayınevi. – Moskova 1983 – 351 sayfa.

Görsel geometri 5. – 6. sınıflar. EĞER. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – “Drofa” yayınevi, Moskova 2005. – 189 sayfa

Çocuklar için ansiklopedi. Biyoloji. S. İsmailova. – Avanta+ Yayınevi. – Moskova 1997 – 704 sayfa.

Urmantsev Yu.A. Doğanın simetrisi ve simetrinin doğası - M.: Mysl Arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

9. sınıfta ders saati, strateji "İleri düzey ders»

Eksenel ve merkezi simetri, paralel öteleme,
dönme - düzlem hareketleri gibi

Buyakova Elena Valerievna

Hedef: Bir doğrunun denklemini tanımlamanın farklı yollarını gösterin ve genel denklem doğrudan.

Görevler:

1) yön vektörü ve çizgi normal vektörü gibi kavramlara aşina olmak;

2) bir doğrunun denklemini belirlemenin dört farklı yolunu gösterir;

3) değiştirilebilirliği göstermek çeşitli şekillerde doğrudan görevler.

Ders ilerlemesi.

1. Ders konusu. Sınıfın çiftlere bölünmesi.

2. Metni okumaya ve çalışmayı yapmaya ilişkin talimatlar (Ek 1)

Okuma ve doldurma ayrı ayrı yapılır. Metin iki bölüme ayrılmıştır.

Çiftin ilk sayısı, yazılı kelimelerin okunabilir metne uygunluğunu kontrol eder.

Çiftin ikinci sayısı, ilk sayıya açıklamak için temel gerçekleri hatırlar.

Çiftler metnin ikinci bölümünü okuyup rol değiştirirler.

3. İlk bölüm için soru: Eksenel ve merkezi simetri hakkında ne hatırlıyorsunuz? ?

4. Metnin ikinci kısmı için soru: “Paralel aktarım, rotasyon” konusuyla ne gibi çağrışımlarınız var? »?

Kelimeler tahtaya yazılır - her çift tarafından bulunan çağrışımlar (tekrarlama olmadan, öğrenciler bu kelimeleri kendi listelerine eklerler). Daha sonra ilgili metin okunur.

5. Çiftler halinde tartışma.

6. Yansıma - “Düzlem hareketleri: türleri ve farklılıkları” konulu 10 dakikalık makale

Ek 1

Merkezi ve eksenel simetri

Tanım. Simetri (“orantılılık” anlamına gelir), geometrik nesnelerin belirli dönüşümler altında kendileriyle birleşebilme özelliğidir. Altında simetri içindeki her doğruluğu anlayın iç yapı bedenler veya figürler.

Bir noktaya göre simetri merkezi simetridir (aşağıdaki Şekil 23) ve bir doğruya göre simetri- Bu eksenel simetridir (aşağıdaki Şekil 24).

Bir noktaya göre simetri Bir noktanın her iki yanında eşit uzaklıkta bir şeyin (başka noktalar veya başka noktalar) olduğunu varsayar. yer noktalar (düz çizgiler, eğri çizgiler, geometrik şekiller).

Simetrik noktaları (geometrik bir şeklin noktaları) bir simetri noktasından düz bir çizgiyle bağlarsanız, simetrik noktalar düz çizginin uçlarında yer alacak ve simetri noktası onun ortası olacaktır. Simetri noktasını sabitlerseniz ve düz çizgiyi döndürürseniz, simetrik noktalar eğrileri tanımlayacak ve bunların her bir noktası diğer eğri çizginin noktasına da simetrik olacaktır.

Düz bir çizgiye göre simetri(simetri ekseni), simetri ekseninin her noktasından geçen bir dik boyunca, iki simetrik noktanın ondan aynı uzaklıkta bulunduğunu varsayar. Aynı geometrik şekiller, simetri noktasına göre simetri eksenine (düz çizgi) göre yerleştirilebilir.

Bir örnek, katlama çizgisi (simetri ekseni) boyunca düz bir çizgi çizilirse ikiye katlanan bir defter sayfası olabilir. Sayfanın bir yarısındaki her nokta, katlama çizgisinden aynı uzaklıkta ve eksene dik konumdaysa, sayfanın ikinci yarısında simetrik bir noktaya sahip olacaktır.

Şekil 24'teki gibi eksenel simetri çizgisi dikeydir ve tabakanın yatay kenarları ona diktir. Yani simetri ekseni, levhayı sınırlayan yatay düz çizgilerin orta noktalarına dik olarak hizmet eder. Simetrik noktalar(R ve F, C ve D) eksenel çizgiden aynı mesafede - bu noktaları birleştiren düz çizgilere dik olarak bulunur. Sonuç olarak, parçanın ortasından geçen dikey çizginin (simetri ekseni) tüm noktaları uçlarından eşit uzaklıktadır; veya bir parçanın ortasına dik olan herhangi bir nokta (simetri ekseni), bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Paralel aktarım

Paralel öteleme, düzlemin tüm noktalarının aynı yönde, aynı mesafeye doğru hareket ettiği bir harekettir.

Devamını oku: paralel aktarım keyfi noktalar X ve Y düzlemleri, X" ve Y" noktalarını XX"=YY" olacak şekilde denkleştirir veya şunu da söyleyebilirsiniz: paralel öteleme, düzlemin tüm noktalarının aynı vektöre taşındığı bir eşlemedir - çeviri vektörü. Paralel öteleme, öteleme vektörü tarafından belirtilir: Bu vektörü bilerek, düzlemdeki herhangi bir noktanın hangi noktaya gideceğini her zaman söyleyebilirsiniz.

Paralel çeviri, yönleri koruyan bir harekettir. Aslında, X ve Y noktalarının paralel transferinin sırasıyla X" ve Y" noktalarına hareket etmesine izin verin. O halde XX"=YY" eşitliği sağlanır. Fakat nitelik itibariyle bu eşitlikten eşit vektörler Bundan, XY=X"Y" sonucu çıkar, bundan ilk olarak XY=X"Y", yani paralel transferin bir hareket olduğunu ve ikinci olarak da XY X"Y"nin, yani paralel transferle olduğunu elde ederiz. , yönler korunur.

Bu özellik paralel aktarım- onun karakteristik özellik yani ifade doğrudur: yönleri koruyan hareket paralel ötelemedir.

Dönüş

Düzlemi O merkezine göre döndürün verilen açı () bu yöndeşu şekilde tanımlanır: düzlemin her bir X noktası bir X" noktası ile ilişkilidir, öyle ki, ilk olarak OX"=OX olur, ikinci ve üçüncü olarak OX" ışını OX ışınından belirli bir yönde ayrılır. O Noktası denir dönme merkezi ve açı dönme açısı.

Dönmenin bir hareket olduğunu kanıtlayalım:

O noktası etrafında dönerken X ve Y noktalarının X" ve Y" noktalarıyla ilişkilendirilmesine izin verin. X"Y"=XY olduğunu gösterelim.

O, X, Y noktalarının aynı doğru üzerinde olmadığı genel durumu ele alalım. O zaman X"OY" açısı XOY açısına eşittir. Aslında, OX'tan OY'ye XOY açısının dönme yönünde ölçülmesine izin verin. (Durum böyle değilse YOX açısını düşünün). O zaman OX ile OY" arasındaki açı, XOY açısı ile dönme açısının (OY'den OY'ye") toplamına eşittir:

diğer tarafta,

Çünkü (dönme açıları olarak), dolayısıyla . Ayrıca OX"=OX ve OY"=OY. Bu nedenle - iki tarafta ve aralarındaki açı. Bu nedenle X"Y"=XY.

O, X, Y noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, XY ve X"Y" parçaları eşit OX, OY ve OX", OY" parçalarının toplamı veya farkı olacaktır. Dolayısıyla bu durumda X"Y"=XY. Yani dönmek harekettir.

("orantılılık" anlamına gelir) - geometrik nesnelerin belirli dönüşümler altında kendileriyle birleştirilebilme özelliği. “Simetri” ile vücudun veya figürün iç yapısındaki herhangi bir düzenliliği kastediyoruz.

Merkezi simetri— bir noktaya göre simetri.

noktaya göre O, eğer bir şeklin her noktası için O noktasına göre simetrik bir nokta da bu şekle aitse. O noktasına şeklin simetri merkezi denir.

İÇİNDE tek boyutlu uzay (düz bir çizgi üzerinde) merkezi simetri ayna simetrisidir.

Uçakta (içinde 2 boyutlu A merkezli uzay) simetrisi, A merkezi ile 180 derecelik bir dönüştür. Bir düzlem üzerindeki merkezi simetri, dönme gibi, yönelimi korur.

Merkezi simetri üç boyutlu uzay da denir küresel simetri. Simetri merkezinden geçen bir düzleme göre, simetri merkezinden geçen ve yukarıda belirtilen yansıma düzlemine dik bir düz çizgiye göre 180° dönüşlü bir yansıma bileşimi olarak temsil edilebilir.

İÇİNDE 4 boyutlu uzayda, merkezi simetri karşılıklı iki etrafında 180°'lik iki dönüşün bileşimi olarak temsil edilebilir dik düzlemler, simetri merkezinden geçiyor.

Eksenel simetri- düz bir çizgiye göre simetri.

Şekil simetrik olarak adlandırılır nispeten düz a, eğer bir şeklin her noktası için a çizgisine göre ona simetrik bir nokta da bu şekle aitse. Düz çizgi a'ya şeklin simetri ekseni denir.

Eksenel simetri iki tanımı vardır:

- Yansıtıcı simetri.

Matematikte eksenel simetri bir hareket türüdür ( ayna yansıması), burada küme sabit noktalar simetri ekseni adı verilen düz bir çizgidir. Örneğin düz bir dikdörtgen uzayda asimetriktir ve kare değilse 3 eksen simetriye sahiptir.

- Dönme simetrisi.

İÇİNDE doğa bilimleri Eksenel simetri ile, düz bir çizgi etrafındaki dönüşlere göre dönme simetrisini kastediyoruz. Bu durumda cisimler bu düz çizgi etrafında herhangi bir dönüşte kendilerine dönüşüyorsa eksenel simetrik olarak adlandırılır. Bu durumda dikdörtgen eksenel simetrik bir gövde olmayacak, ancak koni olacaktır.

Çevremizdeki dünyadaki birçok nesnenin düzlemindeki görüntülerin bir simetri ekseni veya bir simetri merkezi vardır. Birçok ağaç yaprağı ve çiçek yaprakları ortalama gövdeye göre simetriktir.

Sanatta, mimaride, teknolojide ve günlük yaşamda simetriyle sıklıkla karşılaşırız. Birçok binanın cephesi eksenel simetriye sahiptir. Çoğu durumda halılardaki, kumaşlardaki ve iç mekan duvar kağıtlarındaki desenler eksen veya merkeze göre simetriktir. Dişliler gibi mekanizmaların birçok parçası simetriktir.