Tanım 1. Silindirik yüzey birbirine paralel doğruların oluşturduğu yüzeylere denir şekillendirme .
Tüm oluşturan silindirik yüzeyleri kesen herhangi bir düzlem, onu çizgi boyunca keserse R, o zaman bu satır çağrılır rehber bu silindirik yüzey.
Teorem . Uzayda bir Kartezyen koordinat sistemi ve düzlemdeki bir denklem tanıtılırsa xOy bir doğrunun denklemidir R o zaman uzaydaki bu denklem silindirik bir yüzeyin denklemidir L kılavuz çizgisi ile R ve jeneratörler eksene paraleldir Oz(Şekil 3.19, a).
Kanıt. Nokta 
silindirik bir yüzey üzerinde yatıyor L ancak ve ancak projeksiyon 
puan M uçağa xOy eksene paralel Oz hatta yatıyor R, yani ancak ve ancak denklem geçerliyse 
.
Benzer sonuçlar formdaki denklemler için de geçerlidir 
(Şekil 3.19, b) ve 
(Şekil 3.19, c).
Tanım 2 . Kılavuzları ikinci dereceden çizgiler olan silindirik yüzeylere denir ikinci dereceden silindirik yüzeyler .
Üç tip ikinci derece silindir vardır: eliptik (Şekil 3.20)
, (5.42)
hiperbolik (Şekil 3.21)
, (5.43)
parabolik (Şekil 3.22)
. (5.44)
Pirinç. 3.20 Şekil. 3.21 Şekil. 3.22
Silindirler için, denklemlerle verilir(5.42), (5.43) ve (5.44), kılavuz çizgileri sırasıyla elipstir
,
hiperbol
,
parabol
,
ve jeneratörler eksene paraleldir Oz.
Yorum. Görüldüğü gibi ikinci dereceden konik ve silindirik yüzeyler doğrusal üreteçlere sahiptir ve bu yüzeylerin her biri uzayda düz bir çizginin hareketi ile oluşturulabilmektedir.
Tüm ikinci dereceden yüzeyler arasında, silindir ve koniye ek olarak, tek katmanlı bir hiperboloit ve bir hiperbolik paraboloidin de doğrusal jeneratörlere sahip olduğu ve tıpkı bir silindir ve koni durumunda olduğu gibi, bunların her ikisinin de olduğu ortaya çıktı. yüzeyler uzayda düz bir çizginin hareketiyle oluşturulabilir (bkz. özel literatür).
§4. Genel ikinci dereceden yüzey denkleminin kanonik forma indirgenmesi
İÇİNDE genel denklem ikinci dereceden yüzeyler
a) ikinci dereceden form
Nerede 
;
b) doğrusal form
Nerede 
;
c) ücretsiz üye 
.
Denklemi (5.45) kanonik forma getirmek için öncelikle böyle bir koordinat dönüşümünün gerçekleştirilmesi gerekir. 
ve sonuç olarak ilişkili ortonormal temel 
ikinci dereceden formu (5.46) şuna dönüştürür: kanonik form(bkz. kitap 2, bölüm 8, §3, madde 3.1).
Bu ikinci dereceden formun matrisi
,
nerede, yani matris A– simetrik. ile belirtelim 
özdeğerler ve aracılığıyla 
matrisin özvektörlerinden oluşan ortonormal taban A.İzin vermek
–
temelden geçiş matrisi 
üsse 
, A 
– bu temelle ilişkili yeni bir koordinat sistemi.
Daha sonra koordinatları dönüştürürken
(5.48)
ikinci dereceden form (5.46) kanonik formu alır
Nerede 
.
Şimdi koordinat dönüşümünü (5.48) doğrusal forma (5.47) uygulayarak şunu elde ederiz:
Nerede 
,
– yeni form katsayıları (5.47).
Böylece denklem (5.45) şu şekli alır:
+.
Bu denklem şuna indirgenebilir: kanonik form formüllere göre koordinat sisteminin paralel aktarımını kullanma
veya 
(5.49)
Koordinat sistemi dönüşümünü gerçekleştirdikten sonra paralel aktarım(5.49), Kartezyen koordinat sistemine göre genel ikinci dereceden yüzey denklemi (5.45) 
aşağıdaki on yedi yüzeyden birini ifade edecektir:
1) elipsoid 
2) hayali elipsoid 
3) tek sayfalık hiperboloit 
4) iki yapraklı hiperboloit 
5) koni 
6) hayali koni 
7) eliptik paraboloit
8) hiperbolik paraboloit
9) eliptik silindir
10) hayali eliptik silindir
11) iki hayali kesişen düzlem
12) hiperbolik silindir
13) kesişen iki düzlem
14) parabolik silindir
15) iki paralel düzlem
16) iki hayali paralel düzlem
17) iki çakışan düzlem
Örnek. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemine göre tanımlanan bir yüzeyin tipini ve konumunu belirleyin 
ve ilgili ortonormal temel 
denklem
İkinci dereceden formu verelim
(5.51)
kanonik forma. Bu formun matrisi şu şekle sahiptir:
.
Bu matrisin özdeğerlerini karakteristik denklemden belirleyelim.
Buradan 1 = 2, 2 = 0, 3 = 3.
Şimdi bulduk özvektörler matrisler A: 1) izin ver 
, o zaman denklemden 
veya koordinat formunda
nerede olduğunu bul 
– herhangi bir sayı ve dolayısıyla 
, A 
. Doğrusal vektörlerin tüm kümesinden 
bir vektör seç 
, kimin modülü 
, yani vektörü normalleştir 
.
2) için 
sahibiz
.
Buradan 
, Nerede 
- herhangi bir numara. Daha sonra 
, A 
. Vektörün normalleştirilmesi 
, birim vektörü bulun 
:
,
Nerede 
.
3)
, ardından bileşenler için 
vektör 
bir sistemimiz var
Nereden, nereden 
– herhangi bir sayı ve dolayısıyla 
, A 
. Vektörün normalleştirilmesi 
, birim vektörü bulun 
vektörün verdiği yön için 
:
Nerede 
.
Şimdi ortonormal tabandan hareket edelim 
ortonormal bir temele 
, matrisin özvektörlerinden oluşur A ve son temele yeni bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi bağlayın 
. Böyle bir dönüşümün geçiş matrisi şu şekildedir:
,
ve koordinatlar formüllere göre dönüştürülür
(5.52)
Bu koordinat dönüşümünü ikinci dereceden forma (5.51) uygulayarak onu kanonik forma indirgeyebiliriz.
, Nerede 
.
Şimdi doğrusal formülün hangi forma sahip olduğunu belirleyelim
, Nerede 
,
koordinatlar formüllere (5.52) göre dönüştürülürse. Sahibiz
Böylece, eğer koordinat sistemi 
formülleri (5.52) kullanarak dönüştürün, ardından yeni koordinat sistemine göre dönüştürün 
söz konusu ikinci dereceden yüzey denklemle verilir
Denklem (5.53), formüllere göre koordinat sisteminin paralel aktarımı kullanılarak kanonik forma indirgenir.
bundan sonra yüzeyin koordinat sistemine göre denklemi 
formu alır
veya 
Bu denklem, kılavuz elipsinin bulunduğu eliptik bir silindiri ifade eder. koordinat uçağı
ve üreten çizgiler eksene paraleldir 
Yorum. Bu bölümde özetlenen, ikinci dereceden bir yüzeyin genel denklemini kanonik forma indirgeme şeması, ikinci dereceden bir eğrinin genel denklemini kanonik forma indirgemeye uygulanabilir.
Eliptik denklem:
Özel bir durum eliptik silindir dır-dir dairesel silindir denklemi x 2 + y 2 = R 2'dir. x 2 =2pz denklemi uzayda tanımlar parabolik silindir.
Denklem: uzayda tanımlar hiperbolik silindir .
Bu yüzeylerin tümüne denir ikinci dereceden silindirlerçünkü denklemleri mevcut x, y, z koordinatlarına göre ikinci dereceden denklemlerdir.
18. Gerçel sayılar, karmaşık sayılar Karmaşık sayılarla ilgili işlemler. Karışık sayılar. Moivre'nin formülleri.
Karmaşık sayı isim z=x+iy formunun ifadesi, burada x ve y gerçek sayılar ve ben sözde hayali birim, . Eğer x=0 ise 0+iy=iy sayısı çağrılır. hayali bir sayı; y=0 ise, x+i0=x sayısı x gerçel sayısıyla tanımlanır, bu da Rall kümesinin gerçel olduğu anlamına gelir. fenomen sayıları tüm karmaşık sayılar kümesi C'nin bir alt kümesi, yani .Sayı x ad. gerçel kısmı z, .İki karmaşık sayıya eşit (z1=z2) denir, ancak ve ancak bunların gerçel kısımları eşit ve imajiner kısımları eşitse: x1=x2, y1=y2. Özellikle, Z=x+iy karmaşık sayısı ancak ve ancak x=y=0 ise sıfıra eşittir. Karmaşık sayılar için “daha fazla” ve “daha az” kavramları getirilmemiştir. Yalnızca sanal kısmın işareti farklı olan z = x + iy и iki karmaşık sayıya eşlenik denir.
Geometrik resim Karışık sayılar.
Herhangi bir z=x+iy karmaşık sayısı, Oksi düzleminin bir M(x,y) noktası ile x=Rez, y=Imz olacak şekilde temsil edilebilir. Ve tersine, koordinat düzleminin her M(x;y) noktası bir görüntü olarak düşünülebilir. karmaşık sayı z=x+iy. Karmaşık sayıların gösterildiği düzleme denir karmaşık düzlem, Çünkü z=x+0i=x gerçek sayılarını içerir. Ordinat ekseni sanal eksen olarak adlandırılır çünkü tamamen sanal karmaşık sayılar z=0+iy onun üzerinde yer alır. Z=x+iy karmaşık sayısı r=OM=(x,y) yarıçap vektörü kullanılarak belirtilebilir. Z karmaşık sayısını temsil eden r vektörünün uzunluğuna bu sayının modülü denir ve |z| veya r. arasındaki açının büyüklüğü Yön gerçek eksen ve karmaşık bir sayıyı temsil eden r vektörüne bu karmaşık sayının argümanı denir ve Argz veya ile gösterilir. Z=0 karmaşık sayısının argümanı tanımlı değildir. Karmaşık bir sayının argümanı çok değerli bir miktardır ve argz'nin () aralığında yer alan argümanın ana değeri olduğu bir terime kadar belirlenir, yani. - 
(bazen argümanın ana değeri, değer olarak alınır. aralığa ait (0; )).
z sayısını z=x+iy şeklinde yazmaya denir. cebirsel form karmaşık sayı.
Öğrenciler en sık ilk yılda 2. dereceden yüzeylerle karşılaşırlar. İlk başta bu konudaki problemler basit görünebilir, ancak yüksek matematik okudukça ve bilimsel yönün derinliklerine indikçe, sonunda olup bitenlerin izini kaybedebilirsiniz. Bunun olmasını önlemek için, sadece ezberlemekle kalmayıp, şu veya bu yüzeyin nasıl elde edildiğini, değişen katsayıların onu ve orijinal koordinat sistemine göre konumunu nasıl etkilediğini ve nasıl bulunacağını anlamalısınız. yeni sistem(merkezinin koordinatların orijini ile çakıştığı ve aşağıdakilerden birine paralel olduğu yer koordinat eksenleri). En baştan başlayalım.
Tanım
Koordinatları aşağıdaki formun genel denklemini karşılayan 2. dereceden bir yüzeye GMT adı verilir:
Yüzeye ait her noktanın belirlenen bazda üç koordinata sahip olması gerektiği açıktır. Her ne kadar bazı durumlarda yer noktalar örneğin bir düzleme dönüşebilir. Bu sadece koordinatlardan birinin sabit olduğu ve izin verilen tüm değerler aralığı boyunca sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.
Yukarıdaki eşitliğin tam yazılı şekli şöyle görünür:
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.
A nm - bazı sabitler, x, y, z - karşılık gelen değişkenler afin koordinatlar Herhangi bir nokta. Bu durumda sabit faktörlerden en az birinin olmaması gerekir. sıfıra eşit yani hiçbir nokta denkleme karşılık gelmeyecektir.
Örneklerin büyük çoğunluğunda, birçok sayısal faktör hala aynı şekilde sıfıra eşittir ve denklem önemli ölçüde basitleştirilmiştir. Pratikte bir noktanın bir yüzeye ait olup olmadığını belirlemek zor değildir (koordinatlarını denklemde yerine koymak ve özdeşliğin geçerli olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir). Anahtar nokta böyle bir çalışmada ikincisini kanonik forma getirmektir.
Yukarıda yazılan denklem herhangi bir (hepsi aşağıda listelenmiştir) 2. dereceden yüzeyleri tanımlar. Aşağıdaki örneklere bakalım.
2. dereceden yüzey çeşitleri
2. derece yüzeylerin denklemleri yalnızca A nm katsayılarının değerlerinde farklılık gösterir. İtibaren Genel görünüm sabitlerin belirli değerlerinde, aşağıdaki gibi sınıflandırılan çeşitli yüzeyler elde edilebilir:
- Silindirler.
- Eliptik tip.
- Hiperbolik tip.
- Konik tip.
- Parabolik tip.
- Yüzeyleri.
Listelenen türlerin her birinin doğal ve hayali bir biçimi vardır: sanal biçimde, gerçek noktaların konumu ya daha fazla yozlaşır. basit bir şekil veya tamamen yoktur.
Silindirler
Bu en basit türdür, çünkü nispeten karmaşık eğri yalnızca tabanda yer alır ve bir kılavuz görevi görür. Jeneratörler düz çizgilerdir, dik düzlemler, tabanın bulunduğu yer.
Grafik dairesel bir silindiri göstermektedir - özel durum eliptik silindir. XY düzleminde, jeneratörler Z eksenine paralel olduğundan, projeksiyonu bir elips (bizim durumumuzda bir daire) - bir kılavuz ve XZ'de - bir dikdörtgen olacaktır. katsayılara aşağıdaki değerleri vermek gerekir:
Her zamanki gibi x, y, z, x sembolleri yerine seri numarası- önemli değil.
Aslında 1/a 2 ve burada belirtilen diğer sabitler genel denklemde belirtilen katsayılarla aynıdır, ancak bunları tam olarak bu biçimde yazmak gelenekseldir - bu kanonik gösterim. Bundan sonra bu giriş yalnızca kullanılacaktır.
Bu hiperbolik bir silindiri tanımlar. Şema aynı - abartı kılavuz olacak.
Parabolik silindir biraz farklı tanımlanır: Kanonik formu, parametre adı verilen bir p katsayısı içerir. Aslında katsayı q=2p'dir, ancak bunu sunulan iki faktöre bölmek gelenekseldir.
Başka bir silindir türü daha var: hayali. Böyle bir silindire ait hiçbir gerçek nokta yoktur. Eliptik bir silindirin denklemiyle tanımlanır, ancak bir yerine -1 vardır.
Eliptik tip
Elipsoid eksenlerden biri boyunca uzatılabilir (bunun boyunca yukarıda belirtilen a, b, c sabitlerinin değerlerine bağlıdır; açıkçası, daha büyük eksen daha büyük bir katsayıya karşılık gelecektir).
Ayrıca hayali bir elipsoid de vardır - katsayılarla çarpılan koordinatların toplamının -1'e eşit olması koşuluyla:
Hiperboloidler
Sabitlerden birinde bir eksi göründüğünde, elipsoidin denklemi tek sayfalık bir hiperboloidin denklemine dönüşür. Bu eksinin x3 koordinatının önünde yer alması gerekmediğini anlamalısınız! Yalnızca hangi eksenlerin hiperboloidin dönme ekseni olacağını (veya ona paralel olacağını) belirler, çünkü karede ek terimler göründüğünde (örneğin, (x-2) 2), şeklin merkezi şu şekilde kayar: Sonuç olarak yüzey koordinat eksenlerine paralel hareket eder). Bu, tüm 2. derece yüzeyler için geçerlidir.
Ek olarak, denklemlerin kanonik biçimde sunulduğunu ve sabitleri değiştirerek (işareti korurken!) değiştirilebileceğini anlamalısınız; aynı zamanda görünümleri (hiperboloit, koni vb.) aynı kalacaktır.
Böyle bir denklem iki yapraklı bir hiperboloit tarafından verilir.
Konik yüzey
Koni denkleminde birlik yoktur; sıfıra eşittir.
Bir koni yalnızca sınırlıdır konik yüzey. Aşağıdaki resim aslında grafikte iki adet koni olacağını göstermektedir.
Önemli not: dikkate alınan tüm kanonik denklemlerde, sabitlerin varsayılan olarak pozitif olduğu varsayılır. Aksi halde işaret son grafiği etkileyebilir.
Koordinat düzlemleri koninin simetri düzlemleri haline gelir, simetri merkezi orijinde bulunur.
Hayali bir koninin denkleminde yalnızca artılar vardır; tek bir gerçek noktaya sahiptir.
Paraboloidler
Uzayda 2. dereceden yüzeyler alabilir çeşitli şekiller benzer denklemlerle bile. Örneğin paraboloitler iki tiptedir.
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z
Eliptik bir paraboloit, Z ekseni çizime dik olduğunda bir elips şeklinde yansıtılacaktır.
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z
Hiperbolik paraboloid: ZY'ye paralel düzlemli kesitlerde paraboller, XY'ye paralel düzlemli kesitlerde ise hiperboller elde edilecektir.
Kesişen düzlemler
Düzlemde 2. derece yüzeylerin dejenere olduğu durumlar vardır. Bu düzlemler çeşitli şekillerde düzenlenebilir.
Öncelikle kesişen düzlemlere bakalım:
x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0
Kanonik denklemin bu modifikasyonuyla, basitçe kesişen iki düzlem (hayali!) elde ederiz; tüm gerçek noktalar denklemde bulunmayan koordinat eksenindedir (kanonik olanda - Z ekseni).
Paralel düzlemler
Yalnızca bir koordinat varsa, 2. dereceden yüzeyler bir çifte dönüşür paralel düzlemler. Unutmayın, oyuncunun yerini başka herhangi bir değişken alabilir; daha sonra diğer eksenlere paralel düzlemler elde edilecektir.
Bu durumda hayali hale gelirler.
Tesadüf uçaklar
Bununla basit denklem bir çift düzlem tek bir düzleme dönüşür - çakışırlar.
Üç boyutlu bir temel durumunda yukarıdaki denklemin y=0 düz çizgisini belirtmediğini unutmayın! Diğer iki değişken eksik ama bu sadece değerlerinin sabit ve sıfıra eşit olduğu anlamına geliyor.
Yapı
Bir öğrenci için en zor görevlerden biri tam olarak 2. derece yüzeylerin yapımıdır. Eğrinin eksenlere göre eğim açıları ve merkezin kayması dikkate alındığında bir koordinat sisteminden diğerine geçmek daha da zordur. Tutarlı bir şekilde nasıl belirleneceğini gözden geçirelim gelecek görünümü Analitik bir şekilde çizim yapmak.
2. dereceden bir yüzey oluşturmak için yapmanız gerekenler:
- denklemi kanonik forma getirin;
- incelenen yüzeyin tipini belirlemek;
- katsayıların değerlerine göre inşa edin.
Aşağıda dikkate alınan tüm türler verilmiştir:
Bunu güçlendirmek için, bu tür bir görevin bir örneğini ayrıntılı olarak açıklayacağız.
Örnekler
Diyelim ki denklemimiz var:
3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0
Bunu kanonik forma getirelim. Tam kareleri seçelim, yani mevcut terimleri toplamın veya farkın karesinin ayrıştırması olacak şekilde düzenleyeceğiz. Örneğin: (a+1) 2 =a 2 +2a+1 ise, a 2 +2a+1=(a+1) 2 olur. İkinci bir operasyon gerçekleştireceğiz. Parantez içinde bu durumda Açıklamaya gerek yok çünkü bu sadece hesaplamaları karmaşıklaştıracaktır, ancak ortaya çıkarmak için ortak çarpan 6 (parantez içinde mükemmel kare oyun) ihtiyacınız olan:
3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
Zet değişkeni bu durumda yalnızca bir kez görünür; şimdilik onu kendi haline bırakabilirsiniz.
Bu aşamada denklemi analiz edelim: Bütün bilinmeyenlerin önünde artı işareti bulunur; Altıya bölündüğünde bir kalıyor. Sonuç olarak önümüzde bir elipsoidi tanımlayan bir denklem var.
144'ün 150-6'ya dahil edildiğine ve ardından -6'nın sağa kaydırıldığına dikkat edin. Neden bu şekilde yapılması gerekiyordu? Açıkçası en büyük bölen V bu örnekte-6, bu nedenle, birine bölündükten sonra sağda kalması için, 144'ten tam olarak 6'yı “bir kenara koymak” gerekir (birinin sağda olması gerektiği, varlığıyla gösterilir) Ücretsiz Üye- bilinmeyenle çarpılmayan bir sabit).
Her şeyi altıya bölelim ve elipsoidin kanonik denklemini elde edelim:
(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1
Daha önce kullanılan 2. derece yüzeylerin sınıflandırmasında, şeklin merkezinin koordinatların orijininde olması durumunda özel bir durum dikkate alınır. Bu örnekte ofsetlenmiştir.
Bilinmeyenleri olan her parantez yeni bir değişken olduğunu varsayıyoruz. Yani: a=x-1, b=y+5, c=z. Yeni koordinatlarda elipsoidin merkezi (0,0,0) noktasıyla çakışır, dolayısıyla a=b=c=0 olur, dolayısıyla: x=1, y=-5, z=0. Başlangıç koordinatlarında şeklin merkezi (1,-5,0) noktasındadır.
Elipsoid iki elipsten elde edilecektir: birincisi XY düzleminde ve ikincisi XZ düzleminde (veya YZ - önemli değil). Değişkenlerin bölündüğü katsayılar kanonik denklem karesi. Dolayısıyla yukarıdaki örnekte ikinin köküne, bire ve üçün köküne bölmek daha doğru olacaktır.
Birinci elipsin Y eksenine paralel olan yan ekseni ikiye eşittir. Ana eksen X eksenine paraleldir - ikinin iki kökü. İkinci elipsin Y eksenine paralel olan küçük ekseni aynı kalır - ikiye eşittir. A ana eksen Z eksenine paralel olan , üçün iki köküne eşittir.
Orijinal denklemden elde edilen verileri kanonik forma dönüştürerek kullanarak bir elipsoid çizebiliriz.
Özetliyor
Bu yazıda ele alınan konu oldukça kapsamlıdır ancak aslında şimdi görebileceğiniz gibi çok karmaşık değildir. Aslında gelişimi, yüzeylerin adlarını ve denklemlerini (ve tabii ki neye benzediklerini) ezberlediğiniz anda sona erer. Yukarıdaki örnekte her adımı ayrıntılı olarak inceledik ancak denklemi kanonik forma getirmek minimum düzeyde bilgi gerektirir. yüksek Matematiköğrenciye zorluk çıkarmamalıdır.
Mevcut eşitliğe dayalı olarak gelecekteki programın analizi halihazırda fazlasıyla zor görev. Ancak bunu başarılı bir şekilde çözmek için, karşılık gelen ikinci dereceden eğrilerin (elipsler, paraboller ve diğerleri) nasıl oluşturulduğunu anlamak yeterlidir.
Dejenerasyon vakaları daha da basit bir bölümdür. Bazı değişkenlerin bulunmaması nedeniyle, daha önce de belirtildiği gibi sadece hesaplamalar değil, aynı zamanda inşaatın kendisi de basitleştirilmiştir.
Tüm yüzey türlerini güvenle adlandırabildiğiniz, sabitleri değiştirebildiğiniz, bir grafiği şu veya bu şekle dönüştürebildiğiniz anda konu hakim olacaktır.
çalışmalarınızda İyi şanslar!
