Trigonometrik seriler ve özellikleri. Artan karmaşıklığın sayı serileri

Trigonometrik serilerin tanımı. /(x) üzerinde tanımlanan fonksiyon sınırsız sayı Her x D için koşulun karşılandığı bir T Ф 0 sayısı varsa D'ye periyodik denir. Bu sayıların en küçüğü T'ye f(x) fonksiyonunun periyodu denir. Örnek 1. Bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon periyodiktir, çünkü koşulun tüm x'ler için karşılandığı bir T = 2* φ O sayısı vardır. Böylece, günah fonksiyonu x'in T = 2zh periyodu vardır. Aynı durum Örnek 2 fonksiyonu için de geçerlidir. Bir D sayı kümesinde tanımlanan bir fonksiyon periyodiktir, çünkü bir T 0 sayısı vardır, yani T = öyle ki x 6 D için Tanımımız vardır. Fonksiyonel aralık type ao FOURIER SERİSİ Trigonometrik seri Diklik trigonometrik sistem Trigonometrik Fourier serileri Bir fonksiyonun Fourier serisinde ayrıştırılabilirliği için yeterli koşullara denir. trigonometrik seri ve a0, a™, bn (n = 1, 2,...) sabitlerine trigonometrik serinin (1) katsayıları denir. Trigonometrik serinin (1) kısmi toplamları 5n(g), trigonometrik sistem adı verilen bir fonksiyonlar sisteminden fonksiyonların doğrusal kombinasyonlarıdır. Bu serinin üyeleri periyodu 2π olan periyodik fonksiyonlar olduğundan, (I) serisinin yakınsak olması durumunda, S(x) toplamı T = 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon olacaktır: Tanım. Periyodu T = 2n olan periyodik bir f(x) fonksiyonunu bir trigonometrik seriye (1) genişletmek, toplamı /(x) fonksiyonuna eşit olan yakınsak bir trigonometrik seri bulmak anlamına gelir. . Trigonometrik sistemin dikliği Tanımı. [a, 6] aralığında sürekli olan f(x) ve d(x) fonksiyonları, eğer koşul sağlanırsa bu aralıkta ortogonal olarak adlandırılır. Örneğin, fonksiyonlar [-1,1] aralığında diktir, Tanımdan bu yana. [a, b] aralığında integrali alınabilen sonlu veya sonsuz fonksiyonlar sistemine ne ad verilir? ortogonal sistem[a, 6) aralığında m Φ n olacak şekilde herhangi bir sayı türü için eşitlik Teorem 1. Trigonometrik sistem aralıkta diktir Herhangi bir n Φ 0 tam sayısı için Kullandığımız bilinen formüller Herhangi bir doğal m ve n, m Ф n için trigonometriyi buluruz: Son olarak, herhangi bir tamsayı türü için formül sayesinde Trigonometrik Fourier serileri elde ederiz. Trigonometrik serilerin (1) katsayılarını hesaplama görevini kendimize bilerek, bilerek Fonksiyon Teoremi 2. Eşitliğin tüm x değerleri için geçerli olduğunu ve eşitliğin sağ tarafındaki serinin [-3z, x] aralığında düzgün yakınsak olduğunu varsayalım. O halde aşağıdaki formüller geçerlidir: düzgün yakınsama(1) serisi sürekliliği ve dolayısıyla f(x) fonksiyonunun integrallenebilirliğini ima eder. Bu nedenle eşitlikler (2) anlamlıdır. Ayrıca seri (1) terim terim entegre edilebilir. n = 0 için formüllerden (2) ilkini elde ettik. Şimdi eşitliğin (1) her iki tarafını da şu şekilde çarpalım: çünkü fonksiyon mi, burada m keyfi bir doğal sayıdır: Seri (3), seri (1) gibi, düzgün bir şekilde yakınsar. Bu nedenle terim terim entegre edilebilir. n = m için elde edilen biri hariç sağ taraftaki tüm integraller trigonometrik sistemin dikliğinden dolayı sıfıra eşittir. Dolayısıyla nereden Benzer şekilde eşitliğin (1) her iki tarafını da sinmx ile çarparak -m'den m'ye integral alırsak, buradan şunu elde ederiz: Keyfi bir periyodik fonksiyon 2* periyodundaki f(x), *] aralığına entegre edilebilir. Bazı yakınsak trigonometrik serilerin toplamı olarak temsil edilip edilemeyeceği önceden bilinmemektedir. Ancak formül (2)'yi kullanarak a ve bn sabitlerini hesaplamak mümkündür. Tanım. Katsayıları oq, an, b', aşağıdaki formüllere göre f(x) fonksiyonu aracılığıyla belirlenen bir trigonometrik seri FOURIER SERİSİ Trigonometrik seri Trigonometrik sistemin ortogonalliği Trigonometrik Fourier serisi Bir fonksiyonun Fourier'e ayrıştırılabilirliği için yeterli koşullar serisine f(x) fonksiyonunun trigonometrik Fourier serisi adı verilir ve bu formüllerle belirlenen a‐ , bnt katsayılarına /(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları denir. [-тр, -к] aralığında integrallenebilir her f(x) fonksiyonu Fourier serisiyle ilişkilendirilebilir, yani katsayıları formül (2) ile belirlenen trigonometrik seriler. Bununla birlikte, f(x) fonksiyonundan [--i*, m] aralığında integrallenebilirlik dışında herhangi bir şeye ihtiyaç duymazsak, genel olarak konuşursak, son ilişkideki uygunluk işaretinin yerini eşit işareti alamaz. Yorum. Yalnızca (-*, n\) aralığında tanımlanan ve dolayısıyla periyodik olmayan /(x) fonksiyonunu trigonometrik bir seri halinde genişletmek genellikle gereklidir. Fourier katsayıları için formül (2)'de integraller üzerinden hesaplanır. *] aralığındaysa, bu tür fonksiyonlar için trigonometrik bir Fourier serisi de yazabiliriz. Aynı zamanda f(x) fonksiyonunu tüm Ox ekseni boyunca periyodik olarak sürdürürsek, periyodik bir F(x) fonksiyonu elde ederiz. periyodu 2n olan, (-ir, l) aralığında /(x) ile çakışan: Bu F(x) fonksiyonuna /(x) fonksiyonunun periyodik uzantısı denir. Üstelik F(x) fonksiyonu yoktur. kesin tanım x = ±n, ±3r, ±5r,... noktalarında. F(x) fonksiyonu için Fourier serisi, /(x) fonksiyonu için Fourier serisi ile aynıdır. Ek olarak, /(x) fonksiyonu için Fourier serisi ona yakınsarsa, periyodik bir fonksiyon olan toplamı, /(x) fonksiyonunun |-jt, n\ segmentinden tüm parçaya kadar periyodik bir devamını verir. Öküz ekseni. Bu anlamda (-i-, jt|) aralığında tanımlanan f(x) fonksiyonu için Fourier serilerinden bahsetmek, periyodik bir devam olan F(x) fonksiyonu için Fourier serilerinden bahsetmeye eşdeğerdir. f(x) fonksiyonunun tüm eksen boyunca Ox. Periyodik fonksiyonlar için Fourier serilerinin yakınsaklığı için kriterleri formüle etmenin yeterli olduğu sonucu çıkar. §4 Bir fonksiyonun Fourier serisinde ayrıştırılabilirliği için yeterli koşullar. yeterli kanıt Fourier serilerinin yakınsaması, yani koşulları formüle ediyoruz Verilen fonksiyon, bundan oluşturulan Fourier serisinin yakınsak olduğu ve bu serinin toplamının nasıl davrandığını bulacağız. Aşağıda verilen parçalı monoton fonksiyonlar sınıfı oldukça geniş olmasına rağmen Fourier serisinin yakınsak olduğu fonksiyonların bunlar tarafından tüketilmediğini vurgulamak önemlidir. Tanım. Bir f(x) fonksiyonu, [a, 6] parçası üzerinde, eğer bu parça, her biri üzerinde f(x)'in monoton olduğu, sonlu sayıda nokta ile aralıklara bölünebiliyorsa, parçalı monoton olarak adlandırılır; ya azalmaz ya da artmaz (bkz. Şekil 1). Örnek 1. Fonksiyon (-oo,oo) aralığında parçalı monotondur, çünkü bu aralık iki aralığa (-co, 0) ve (0, +oo) bölünebilir; bunlardan ilkinde azalır (ve bu nedenle artmaz), ancak ikincisinde artar (ve dolayısıyla azalmaz). Örnek 2. Fonksiyon [-зг, jt| parçası üzerinde parçalı monotondur, çünkü bu parça iki aralığa bölünebilir; birincisinde cos i -I'den +1'e artar ve ikincisinde azalır. Teorem 3. Parçalı monoton ve (a, b] aralığına bağlı bir f(x) fonksiyonu, üzerinde yalnızca birinci türden süreksizlik noktalarına sahip olabilir. Örneğin, f(x) fonksiyonunun bir süreksizlik noktası olsun. O halde, f(x) sınırlılık fonksiyonu ve monotonluk nedeniyle, c noktasının her iki yanında sonlu tek taraflı limitler vardır. Bu, c noktasının birinci türden bir süreksizlik noktası olduğu anlamına gelir (Şekil 2). Teorem 4. Periyodu 2m olan bir periyodik fonksiyon f(x) parçalı monotonsa ve [-m, m aralığında sınırlıysa, bu durumda Fourier serisi bu aralığın her x noktasında ve toplamı için yakınsar. Bu seride eşitlikler sağlanır: Prmmer3. Eşitlik (Şekil 3) ile (-*,*) aralığında tanımlanan 2jt periyodunun /(z) fonksiyonu, teoremin koşullarını karşılar. Bu nedenle Fourier serisine genişletilebilir. Bunun için Fourier katsayılarını buluyoruz: Bu fonksiyon için Fourier serisi Örnek 4 şeklindedir. Fonksiyonu aralıkta bir Fourier serisine (Şekil 4) genişletin. Bu işlev teoremin koşullarını karşılar. Fourier katsayılarını bulalım. Toplama özelliğini kullanma belirli integral

Bilim ve teknolojide sıklıkla periyodik olaylarla uğraşmak zorundayız; belirli bir süre sonra yeniden üretilenler T, bir dönem denir. Periyodik fonksiyonların en basiti (bir sabit hariç) sinüzoidal miktardır: Asın(X+ ), harmonik salınım, orana göre döneme ilişkin bir “frekans” var: . Bu kadar basit periyodik fonksiyonlardan daha karmaşık fonksiyonlar oluşturulabilir. Açıkçası, aynı frekanstaki sinüzoidal niceliklerin eklenmesi aynı frekansta sinüzoidal bir miktara yol açtığından, bileşen sinüzoidal büyüklüklerinin farklı frekanslarda olması gerekir. Formun birkaç miktarını toplarsanız

Örnek olarak, burada üç sinüzoidal büyüklüğün toplamını yeniden üretiyoruz: . Bu fonksiyonun grafiğine bakalım

Bu grafik sinüs dalgasından önemli ölçüde farklıdır. Geri dön daha büyük ölçüde bu, bu tür terimlerden oluşan sonsuz bir serinin toplamı için meydana gelir. Şu soruyu soralım: Dönemin bu periyodik işlevi olabilir mi? T sonlu veya en azından toplamı olarak temsil edin sonsuz sayı sinüzoidal büyüklükler? Geniş bir işlevler sınıfıyla ilgili olarak bu sorunun olumlu yanıtlanabileceği ortaya çıktı, ancak bu yalnızca bu tür terimlerin sonsuz dizisinin tamamını dahil etmemiz durumunda mümkündür. Geometrik olarak bu, periyodik bir fonksiyonun grafiğinin bir dizi sinüzoidin üst üste bindirilmesiyle elde edildiği anlamına gelir. Her birini ele alırsak sinüzoidal değer biraz harmonik gibi salınım hareketi, o zaman bunun bir fonksiyonla veya sadece onun harmonikleriyle (birinci, ikinci vb.) karakterize edilen karmaşık bir salınım olduğunu söyleyebiliriz. Periyodik bir fonksiyonu harmoniklere ayırma işlemine denir. harmonik analiz.

Bu tür açılımların, yalnızca belirli bir sonlu aralıkta belirtilen ve herhangi bir salınım olayı tarafından üretilmeyen fonksiyonların incelenmesinde sıklıkla yararlı olduğunun anlaşılması önemlidir.

Tanım. Bir trigonometrik seri şu şekilde bir seridir:

Veya (1).

Gerçek sayılar trigonometrik serinin katsayıları denir. Bu seri şu şekilde de yazılabilir:

Yukarıda sunulan türden bir seri yakınsarsa, toplamı 2p periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur.

Tanım. Trigonometrik bir serinin Fourier katsayıları şöyle adlandırılır: (2)

(3)

(4)

Tanım. Fourier işlev için yakında f(x) katsayıları Fourier katsayıları olan trigonometrik serilere denir.

Fonksiyonun Fourier serisi ise f(x) tüm süreklilik noktalarında ona yakınsarsa, o zaman fonksiyona şunu söyleriz: f(x) Fourier serisine genişler.

Teorem.(Dirichlet teoremi) Eğer bir fonksiyonun periyodu 2p ise ve bir aralıkta sürekliyse veya son sayı Birinci türden süreksizlik noktalarında, parça sonlu sayıda parçaya bölünebilir, böylece her birinin içinde fonksiyon monoton olur, o zaman fonksiyonun Fourier serisi tüm değerler için yakınsar X ve fonksiyonun süreklilik noktalarında toplamı S(x) eşittir ve süreksizlik noktalarında toplamı eşittir, yani. soldaki ve sağdaki sınır değerlerinin aritmetik ortalaması.

Bu durumda fonksiyonun Fourier serisi f(x) fonksiyonun süreklilik aralığına ait olan herhangi bir parça üzerinde düzgün yakınsar.

Bu teoremin koşullarını karşılayan bir fonksiyona segment üzerinde parçalı düzgün denir.

Bir fonksiyonun Fourier serisindeki açılımına ilişkin örnekleri ele alalım.

Örnek 1. Fonksiyonu Fourier serisine genişletin f(x)=1-x regl dönemi geçirmek 2p ve segmentte verilmiştir.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiğini çizelim

Bu fonksiyon segment üzerinde, yani bir periyot uzunluğundaki bir segment üzerinde süreklidir, bu nedenle bu segmentin her noktasında ona yakınsayan bir Fourier serisine genişletilebilir. Formül (2)'yi kullanarak bu serinin katsayısını buluruz: .

Parçalara göre integrasyon formülünü uygulayalım ve sırasıyla (3) ve (4) formüllerinden bulalım:

Katsayıları formül (1)'de değiştirerek şunu elde ederiz: veya .

Bu eşitlik ve (grafiklerin birleştiği noktalar) dışındaki tüm noktalarda geçerlidir. Bu noktaların her birinde serinin toplamı, sağ ve soldaki sınır değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir.

Fonksiyonu ayrıştırmak için bir algoritma sunalım Fourier serisinde.

Genel prosedür Eldeki sorunun çözümü aşağıdakilere iniyor.

Çoklu yayların kosinüsleri ve sinüsleri ile, yani bir dizi formda

veya içinde karmaşık biçim

Nerede bir k,bk veya buna göre, c k isminde T.r.katsayıları
İlk kez T. r. L. Euler'de bulundu (L. Euler, 1744). Çürüme yaşadı

Ortada. 18. yüzyıl Bir ipin serbest titreşim probleminin incelenmesiyle bağlantılı olarak, karakterize edici bir fonksiyonu temsil etme olasılığı hakkında soru ortaya çıktı. başlangıç ​​pozisyonu dizeler, T. r'nin toplamı şeklinde. Bu konu, zamanın en iyi analistleri arasında - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Eu1er) arasında onlarca yıl süren hararetli tartışmalara neden oldu. İşlev kavramının içeriğine ilişkin uyuşmazlıklar. O zamanlar işlevler genellikle analitik işlevlerle ilişkilendiriliyordu. yalnızca analitik veya parçalı değerlendirmelerin dikkate alınmasına yol açan ödev analitik fonksiyonlar. Ve burada grafiği oldukça keyfi olan bir fonksiyonun, bu fonksiyonu temsil eden bir TR oluşturması gerekli hale geldi. Ancak bu tartışmaların önemi daha büyüktür. Aslında pek çok temel konuyla ilgili konuları tartıştılar veya bunlarla bağlantılı olarak ortaya çıktılar. önemli kavramlar ve matematik fikirleri. genel analiz - fonksiyonların Taylor serileri ve analitik ile temsili. fonksiyonların devamı, ıraksak serilerin kullanımı, limitler, sonsuz denklem sistemleri, polinomlarla fonksiyonlar vb.
Ve gelecekte de bu başlangıç ​​döneminde olduğu gibi tr teorisi ortaya çıkacak. matematikte yeni fikirlerin kaynağı olarak hizmet etti.
Fourier integrali, hemen hemen periyodik fonksiyonlar, genel ortogonal seriler, soyut. T. r. küme teorisinin yaratılmasının başlangıç ​​noktası olarak hizmet etti. T.r. işlevleri temsil etmek ve keşfetmek için güçlü bir araçtır.

18. yüzyıl matematikçileri arasında tartışmalara yol açan soru, 1807 yılında termodinamiğin katsayılarını hesaplamak için formüller belirten J. Fourier tarafından çözüldü. (1) olması gereken. f(x) fonksiyonunu temsil eder: ve bunları termal iletkenlik problemlerinin çözümünde uyguladı. Formüller (2) Fourier formülleri olarak adlandırılır, ancak bunlar daha önce A. Clairaut'ta (1754) bulunmuş ve L. Euler (1777) bunlara terim terim entegrasyonu kullanılarak ulaşılmıştır. T.r. (1), katsayıları formül (2) ile belirlenen, denir. f fonksiyonunun Fourier serisi ve sayıları bir k, bk
- Fourier katsayıları. Elde edilen sonuçların niteliği, bir fonksiyonun bir seri ile temsilinin nasıl anlaşıldığına, formül (2)'deki integralin nasıl anlaşıldığına bağlıdır. Modern teori
T.r. Lebesgue integralinin ortaya çıkmasından sonra elde edildi. T. r.'nin teorisi. iki büyük bölüme ayrılabilir - teori, Fourier serisi
(1) serisinin belirli bir fonksiyonun Fourier serisi olduğu varsayılır ve böyle bir varsayımın yapılmadığı genel termodinamik teorisi. Aşağıda genel termodinamik teorisinde elde edilen ana sonuçlar verilmiştir. (Bu durumda kümeler ve fonksiyonların ölçülebilirliği Lebesgue'e göre anlaşılmaktadır).
İlk sistematik Bu serilerin Fourier serileri olduğunun varsayılmadığı TR çalışması W. Riemann'ın (W. Riemann, 1853) tezidir. Bu nedenle, genel T. r. isminde bazen Riemann'ın T. r teorisi. Rastgele bir TR'nin özelliklerini incelemek. (1) sıfıra yaklaşan katsayılar ile B. Riemann dikkate alınır. sürekli fonksiyon , F(x)

düzgün yakınsak bir serinin toplamıdır

daha sonra bu, faktörler tarafından oluşturulan serinin (1) toplamına yol açar. isminde Riemann toplama yöntemi. F fonksiyonunu kullanarak, serinin (1) x noktasındaki davranışının yalnızca bu noktanın keyfi olarak küçük bir mahallesindeki F fonksiyonunun davranışına bağlı olduğuna göre Riemann yerelleştirme ilkesi formüle edilir.
Eğer T. r. bir dizi pozitif ölçü üzerinde yakınsarsa katsayıları sıfıra yönelir (Cantor-Lebesgue). Sıfır TR katsayıları için çabalıyoruz. aynı zamanda ikinci kategorideki bir dizi yakınsamanın sonucudur (W. Young, W. Young, 1909).
Bir tanesi merkezi sorunlar genel T. r teorileri. TR'nin keyfi bir fonksiyonunu temsil etme problemidir. N. N. Luzin'in (1915) T. R. fonksiyonlarının temsiline ilişkin Abel-Poisson ve Riemann yöntemleriyle toplanabilen sonuçlarını güçlendiren D. E. Menshov, fonksiyonun temsilinin en önemli durumla ilgili aşağıdaki teoremi kanıtladı (1940). f, T.r. olarak anlaşılmaktadır. İle F(x)neredeyse her yerde. Hemen hemen her yerde ölçülebilir ve sonlu olan her f fonksiyonu için, hemen hemen her yerde ona yakınsayan bir doğrusal denklem vardır (Menshov teoremi). F integrallenebilir olsa bile, genel olarak konuşursak, bir f fonksiyonunun Fourier serisini böyle bir seri olarak almanın imkansız olduğu unutulmamalıdır, çünkü her yerde ıraksayan Fourier serileri vardır.
Menshov'un yukarıdaki teoremi şu açıklamaya izin verir: Eğer bir f fonksiyonu hemen hemen her yerde ölçülebilir ve sonlu ise, o zaman öyle bir fonksiyon vardır ki hemen hemen her yerde ve j fonksiyonunun terimsel farklılaşmış Fourier serisi hemen hemen her yerde f(x)'e yakınsar (N.K. Bari, 1952).
Menshov teoreminde f fonksiyonunun hemen hemen her yerde sonlu olması koşulunu göz ardı etmenin mümkün olup olmadığı bilinmemektedir (1984). Özellikle (1984) T. r. neredeyse her yerde birleşiyor
Bu nedenle, sonsuz değer alabilen fonksiyonların bir dizi pozitif ölçü üzerinde temsil edilmesi sorunu, bunun daha zayıf bir gereksinimle değiştirildiği durum için dikkate alındı ​​- . Sonsuz değer alabilen fonksiyonlara ölçü olarak yakınsaklık şu şekilde tanımlanır: kısmi toplamlar T. p. n(x)ölçü olarak f(x) fonksiyonuna yakınsar . eğer nerede fn(x) hemen hemen her yerde / (x)'e yakınsar ve dizi ölçü olarak sıfıra yakınsar. Bu formülasyonda, fonksiyonları temsil etme sorunu tamamen çözülmüştür: ölçülebilir her fonksiyon için, ona ölçü olarak yaklaşan bir TR vardır (D. E. Menshov, 1948).
TR'lerin benzersizliği sorununa birçok çalışma ayrılmıştır: iki farklı TR'nin aynı işleve ayrılıp ayrılamayacağı; başka bir formülasyonda: eğer T. r. sıfıra yakınsarsa serinin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar mı? Burada her noktada ya da belirli bir kümenin dışındaki tüm noktalarda yakınsaklıktan söz edebiliriz. Bu soruların cevabı esasen, dışında yakınsaklığın varsayılmadığı kümenin özelliklerine bağlıdır.
Aşağıdaki terminoloji oluşturulmuştur. Birçok isim birçok kişi tarafından benzersizlik veya U- T. r'nin yakınsamasından kaynaklanıyorsa ayarlayın. belki de kümenin noktaları dışında her yerde sıfıra E, bundan bu serinin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar. Aksi halde Yenaz. M seti.
G. Cantor'un gösterdiği gibi (G. Cantor, 1872) ve herhangi bir sonlu küme U-kümeleridir. Keyfi olan da bir U-kümesidir (W. Jung, 1909). Öte yandan, her pozitif ölçü seti bir M-kümesidir.
M ölçü kümelerinin varlığı, bu özelliklere sahip mükemmel bir kümenin ilk örneğini oluşturan D. E. Menshov (1916) tarafından kurulmuştur. Bu sonuç teklik probleminde temel öneme sahiptir. Sıfır ölçülü M-kümelerinin varlığından, bir üçgen serinin fonksiyonları hemen hemen her yerde yakınsak olarak temsil edildiğinde, bu serilerin açıkça benzersiz bir şekilde belirlendiği sonucu çıkar.
Mükemmel kümeler aynı zamanda U-kümeleri de olabilir (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Benzersizlik sorununda çok önemli bir rol oynar: ince özellikler sıfır ölçü setleri. Genel soru sıfır ölçülü kümelerin sınıflandırılması hakkında M- ve U seti (1984) açık kalır. Hatta çözülmedi mükemmel setler.
Aşağıdaki problem benzersizlik problemiyle ilgilidir. Eğer T. r. bir fonksiyona yakınsar o zaman bu seri / fonksiyonunun bir Fourier serisi olmalıdır. P. Du Bois-Reymond (1877), f'nin Riemannian integrallenebilir olup olmadığı ve serinin f(x)'e her noktada yakınsak olup olmadığı sorusuna olumlu bir yanıt vermiştir. III. sonuçlarından. J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912), sayılabilir bir dizi nokta dışında serinin her yerde yakınsadığı ve toplamının sonlu olduğu durumda bile cevabın pozitif olduğu sonucuna varır.
Bir seri serisi kesinlikle belirli bir x 0 noktasında yakınsaksa, bu serinin yakınsaklık noktaları ve mutlak yakınsaklık noktaları x 0 noktasına göre simetrik olarak yerleştirilir. (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Buna göre Denjoy - Luzin teoremi TR'nin mutlak yakınsamasından. (1) bir dizi pozitif ölçüye göre seri yakınsar ve bu nedenle mutlak yakınsama hepsi için sıra (1) X.İkinci kategorinin kümeleri ve belirli sıfır ölçü kümeleri de bu özelliğe sahiptir.
Bu inceleme yalnızca tek boyutlu TR'leri kapsamaktadır. (1). Genel T. r. ile ilgili ayrı sonuçlar bulunmaktadır. birkaç değişkenden. Burada çoğu durumda sorunların doğal formülasyonlarını bulmak hala gereklidir.

Yaktı.: Bari N.K., Trigonometrik seriler, M., 1961; Zygmund A., Trigonometrik seriler, çev. İngilizce'den, cilt 1-2, M., 1965; Luzin N.N., İntegral ve trigonometrik seriler, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., çev. German'dan, M.-L., 1948, s. 225-61.
S. A. Telyakovsky.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Diğer sözlüklerde "TRİGONOMETRİK SERİ" nin ne olduğunu görün:

a0, a1, b1, a2, b2 ... katsayılarının x ... değişkenine bağlı olmadığı formdaki bir dizi

Büyük Ansiklopedik Sözlük Matematikte, bir trigonometrik seri şu biçimdeki herhangi bir seridir: Katsayılar ve aşağıdaki gibi tanımlanırsa, bir trigonometrik seriye bir fonksiyonun Fourier serisi denir... Vikipedi

Formun fonksiyonel serisi, (1) yani çoklu yayın sinüsleri ve kosinüsleri boyunca yer alan bir seri. Çoğu zaman T.r. Karmaşık biçimde yazılan an, bn veya cn sayılarına T katsayıları denir.… … Büyük Sovyet Ansiklopedisi

a0, a1, b1, a2, b2, ... katsayılarının x değişkenine bağlı olmadığı formdaki bir dizi. * * * TRİGONOMETRİK SERİ TRİGONOMETRİK SERİ, a0, a1, b1, a2, b2... katsayılarının x değişkenine bağlı olmadığı formdaki bir seri... Ansiklopedik Sözlük Periyodu olan keyfi bir fonksiyonun seri (1) biçiminde veya kullanılarak trigonometrik Fourier serisi gösterimi

karmaşık giriş, bir dizi biçiminde: . İçindekiler... Vikipedi sonsuz trigonometrik Fourier serileri

- - Telekomünikasyon konuları, temel kavramlar EN Fourier serisi...

Fourier serilerinin ifadelerini trigonometrik ve karmaşık formda ele alacağız ve ayrıca Fourier serilerinin yakınsaklığı için Dirichlet koşullarını da dikkate alacağız. Ek olarak, spektral analiz teorisine alışmada sıklıkla zorluk yaratan sinyal spektrumunun negatif frekansı gibi bir kavramın açıklaması üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.

Periyodik sinyal. Trigonometrik Fourier serisi

Örnek olarak Şekil 1, c süresiyle tekrarlanan, c süresindeki dikdörtgen darbe dizisini göstermektedir.

Şekil 1. Periyodik dizi

Dikdörtgen darbeler

Kurstan matematiksel analiz trigonometrik fonksiyonlar sisteminin olduğu bilinmektedir

Fourier serisinin yakınsaması için Dirichlet koşulları, segment üzerinde periyodik bir sinyalin belirtilmesini ve aşağıdaki koşulları karşılamasını gerektirir:

Örneğin periyodik fonksiyon fonksiyon Dirichlet koşullarını karşılamamaktadır çünkü fonksiyon ikinci tür süreksizliklere sahiptir ve keyfi bir tamsayı olan sonsuz değerler alır. Yani fonksiyon Fourier serisi ile temsil edilemez. Ayrıca fonksiyona bir örnek de verebilirsiniz. Sınırlıdır ancak sıfıra yaklaşırken sonsuz sayıda uç noktaya sahip olduğundan Dirichlet koşullarını da karşılamaz. Bir fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilmiştir.

Şekil 2. Fonksiyon grafiği :

A - iki tekrar periyodu; b - civarda

Şekil 2a, fonksiyonun iki tekrar periyodunu göstermektedir ve Şekil 2b'de - yakınındaki alan. Sıfıra yaklaştıkça salınım frekansının sonsuz şekilde arttığı ve böyle bir fonksiyonun parçalı monoton olmadığı için Fourier serisi ile temsil edilemeyeceği görülmektedir.

Pratikte sonsuz akım veya gerilim değerlerine sahip hiçbir sinyalin bulunmadığına dikkat edilmelidir. Şununla işlevler: sonsuz sayı türün ekstremum değerleri ayrıca uygulamalı problemler tanışmayın. Tüm gerçek periyodik sinyaller Dirichlet koşullarını karşılar ve aşağıdaki formdaki sonsuz trigonometrik Fourier serisiyle temsil edilebilir:

İfade (2)'de katsayı periyodik sinyalin sabit bileşenini belirtir.

Sinyalin sürekli olduğu tüm noktalarda, Fourier serisi (2) verilen sinyalin değerlerine ve birinci türden süreksizlik noktalarında - ortalama değere yakınsar ve burada ve soldaki sınırlardır ve sırasıyla süreksizlik noktasının sağında.

Matematiksel analiz sürecinden, sonsuz bir toplam yerine yalnızca ilk terimleri içeren kesik Fourier serisinin kullanımının sinyalin yaklaşık bir temsiline yol açtığı da bilinmektedir:

Şekil 3. Kesik Fourier serisi kullanılarak sinyallerin yaklaşımı:

A - dikdörtgen darbeler; b - testere dişi sinyali

Fourier serileri karmaşık formda

Böylece, periyodik bir sinyal, sabit bir bileşenin ve pozitif frekanslar için katsayılara sahip frekanslarda dönen karmaşık üstellerin ve negatif frekanslarda dönen karmaşık üstellerin toplamı ile temsil edilebilir.

Pozitif frekanslarla dönen karmaşık üstellerin katsayılarını ele alalım:

İfadeler (6) ve (7) çakışmaktadır; ayrıca sabit bileşen sıfır frekansta karmaşık bir üstel aracılığıyla da yazılabilir:

Böylece, (5) (6)-(8) dikkate alınarak eksi sonsuzdan sonsuza endekslendiğinde tek bir toplam olarak temsil edilebilir:

İfade (9), karmaşık biçimde bir Fourier serisidir. Fourier serisinin karmaşık formdaki katsayıları, serinin katsayılarıyla ilişkilidir. trigonometrik form, ve hem pozitif hem de negatif frekanslar için belirlenir. Frekans tanımındaki alt simge, negatif frekanslara karşılık gelen negatif alt simgelerle birlikte, ayrık harmoniğin sayısını gösterir.

İfade (2)'den, gerçek bir sinyal için (2) serisinin katsayılarının da gerçek olduğu sonucu çıkar. Bununla birlikte, (9) gerçek bir sinyali hem pozitif hem de negatif frekanslarla ilgili bir dizi karmaşık eşlenik katsayıyla ilişkilendirir.

Fourier serisinin karmaşık biçimde bazı açıklamaları

Birincisi, karmaşık üslerle çalışmak çoğu durumda trigonometrik fonksiyonlarla çalışmaktan daha kolaydır. Örneğin, karmaşık üslü sayıları çarparken ve bölerken, sadece üsleri toplamak (çıkarmak) yeterli olurken, trigonometrik fonksiyonları çarpma ve bölme formülleri daha hantaldır.

Üstel sayıların, hatta karmaşık olanların bile, türevini almak ve integralini almak, bundan daha kolaydır. trigonometrik fonksiyonlar farklılaşma ve entegrasyon sırasında sürekli değişen (sinüs kosinüse veya tam tersi).

Sinyal periyodik ve gerçekse, trigonometrik Fourier serisi (2) daha net görünür çünkü tüm genişleme katsayıları ve gerçek kalır. Bununla birlikte, çoğu zaman karmaşık periyodik sinyallerle uğraşmak gerekir (örneğin, modülasyon ve demodüle etme sırasında karmaşık zarfın karesel bir temsili kullanılır). Bu durumda, trigonometrik Fourier serisi kullanıldığında, tüm katsayılar ve açılımlar (2) karmaşık hale gelirken, Fourier serisi karmaşık biçimde (9) kullanıldığında, hem gerçek hem de karmaşık giriş sinyalleri için aynı genişleme katsayıları kullanılacaktır. .

Ve son olarak (9)’da ortaya çıkan negatif frekansların açıklaması üzerinde durmak gerekir. Bu soru çoğu zaman yanlış anlaşılmalara neden olur. İÇİNDE günlük yaşam negatif frekanslarla karşılaşmıyoruz. Örneğin radyomuzu hiçbir zaman negatif frekansa ayarlamayız. Mekanikten aşağıdaki benzetmeyi ele alalım. Belirli bir frekansta serbestçe salınan mekanik bir yaylı sarkaç olsun. Bir sarkaç negatif frekansta salınabilir mi? Tabii ki değil. Negatif frekanslarda yayın yapan radyo istasyonları olmadığı gibi, sarkacın salınımlarının frekansı da negatif olamaz. Ancak yaylı sarkaç tek boyutlu bir nesnedir (sarkaç tek bir düz çizgi boyunca salınır).

Mekanikten bir benzetme daha yapabiliriz: frekansıyla dönen bir tekerlek. Sarkaçtan farklı olarak tekerlek döner, yani. Tekerleğin yüzeyindeki bir nokta bir düzlemde hareket eder ve tek bir düz çizgi boyunca salınmaz. Bu nedenle, tekerleğin dönüşünü benzersiz bir şekilde belirlemek için dönüş hızını ayarlamak yeterli değildir çünkü dönüş yönünü de ayarlamak gerekir. İşte tam da bu yüzden frekans işaretini kullanabiliriz.

Dolayısıyla, eğer tekerlek saat yönünün tersine rad/s frekansıyla dönüyorsa, o zaman tekerleğin pozitif bir frekansla döndüğünü, saat yönünde ise dönme frekansının negatif olacağını düşünüyoruz. Böylece, bir dönüş komutu için negatif frekans anlamsız olmaktan çıkar ve dönüş yönünü belirtir.

Ve şimdi anlamamız gereken en önemli şey. Tek boyutlu bir nesnenin titreşimi (örneğin, bahar sarkaç) Şekil 4'te gösterilen iki vektörün dönüşlerinin toplamı olarak temsil edilebilir.

Şekil 4. Yaylı sarkacın salınımı

İki vektörün dönüşlerinin toplamı olarak

Açık karmaşık düzlem

Sarkaç, karmaşık düzlemin gerçek ekseni boyunca aşağıdaki frekansta salınır: harmonik kanunu. Sarkacın hareketi yatay bir vektör olarak gösterilmiştir. Üstteki vektör karmaşık düzlemde pozitif frekansla (saat yönünün tersine) döner ve alt vektör negatif frekansla (saat yönünde) döner. Şekil 4, trigonometri dersindeki iyi bilinen ilişkiyi açıkça göstermektedir:

Böylece karmaşık formdaki (9) Fourier serisi, pozitif ve negatif frekanslarla dönen karmaşık düzlem üzerindeki vektörlerin toplamı olarak periyodik tek boyutlu sinyalleri temsil eder. Aynı zamanda, (9)'a göre, gerçek bir sinyal durumunda, negatif frekanslar için genişleme katsayılarının, pozitif frekanslar için karşılık gelen katsayılarla karmaşık eşlenik olduğunu da belirtelim. Karmaşık bir sinyal durumunda, katsayıların bu özelliği, ve'nin de karmaşık olması nedeniyle geçerli değildir.

Periyodik sinyal spektrumu

Periyodik sinyaller yalnızca sabit bir frekans ızgarasında arka arkaya yerleştirildiğinden, periyodik sinyallerin spektrumu çizgilidir (ayrık).

Şekil 5. Periyodik bir dizinin spektrumu

Dikdörtgen darbeler:

A - genlik spektrumu; b - faz spektrumu

Şekil 5, c, darbe süresi c ve darbe genliği B'de periyodik dikdörtgen darbe dizisinin (bkz. Şekil 1) genlik ve faz spektrumunun bir örneğini gösterir.

Orijinal gerçek sinyalin genlik spektrumu sıfır frekansa göre simetriktir ve faz spektrumu antisimetriktir. Aynı zamanda faz spektrumunun değerlerinin ve karmaşık düzlemde aynı noktaya karşılık gelir.

İndirgenmiş sinyalin tüm genişleme katsayılarının tamamen gerçek olduğu ve faz spektrumunun negatif katsayılara karşılık gelir.

Genlik spektrumunun boyutunun sinyalin boyutuyla örtüştüğünü lütfen unutmayın. Volt cinsinden ölçülen, zaman içindeki voltaj değişimini tanımlıyorsa, spektrum harmoniklerinin genlikleri de volt boyutuna sahip olacaktır.

Sonuçlar

Fourier serisinin karmaşık biçimdeki ifadesi üzerinde ayrıntılı olarak durduk ve hem gerçek hem de karmaşık periyodik sinyallerin, pozitif ve negatif frekanslara sahip bir dizi karmaşık üstel sayıyla temsil edildiğini gösterdik. Bu durumda genişleme katsayıları da karmaşıktır ve periyodik sinyalin genliğini ve faz spektrumunu karakterize eder.

İÇİNDE sonraki bölüm Periyodik sinyallerin spektrumunun özelliklerini daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

DSPL kütüphanesinde yazılım uygulaması