Doğrusal bağımlılık Ve doğrusal bağımsızlık vektörler.
Vektörlerin temeli. Afin koordinat sistemi

Oditoryumda çikolatalarla dolu bir araba var ve bugün her ziyaretçi tatlı bir çiftle karşılaşacak: analitik geometri ve doğrusal cebir. Bu makale aynı anda iki bölümü kapsayacaktır. yüksek Matematik ve tek bir pakette nasıl anlaştıklarını göreceğiz. Biraz ara verin, bir Twix yiyin! ...kahretsin, ne kadar saçmalık. Her ne kadar tamam, puan vermeyeceğim, sonuçta çalışmaya karşı olumlu bir tutuma sahip olmalısınız.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı, doğrusal vektör bağımsızlığı, vektör temeli ve diğer terimler yalnızca geometrik yorumlama, ama her şeyden önce cebirsel anlam. Bakış açısından “vektör” kavramı lineer Cebir- bu her zaman bir düzlemde veya uzayda tasvir edebileceğimiz "sıradan" bir vektör değildir. Kanıt için çok uzaklara bakmanıza gerek yok, beş boyutlu uzayın vektörünü çizmeyi deneyin . Veya Gismeteo'ya az önce gittiğim hava durumu vektörü: – sıcaklık ve Atmosfer basıncı sırasıyla. Örnek elbette özellikler açısından yanlıştır. Vektör Uzayı, ancak yine de hiç kimse bu parametrelerin bir vektör olarak resmileştirilmesini yasaklamaz. Sonbaharın nefesi...

Hayır, sizi teoriyle, doğrusal vektör uzaylarıyla sıkmayacağım. anlamak Tanımlar ve teoremler. Yeni terimler (doğrusal bağımlılık, bağımsızlık, doğrusal kombinasyon, temel vb.) cebirsel açıdan tüm vektörler için geçerlidir ancak geometrik örnekler verilecektir. Böylece her şey basit, erişilebilir ve anlaşılır. Görevlerin ötesinde analitik geometri bazılarına bakacağız tipik görevler cebir. Materyalde ustalaşmak için derslere aşina olmanız tavsiye edilir. Aptallar için vektörler Ve Determinant nasıl hesaplanır?

Düzlem vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Düzlem temeli ve afin koordinat sistemi

Bilgisayar masanızın düzlemini düşünelim (sadece bir masa, komodin, zemin, tavan, ne isterseniz). Görev aşağıdaki eylemlerden oluşacaktır:

1) Düzlem tabanını seçin. Kabaca söylemek gerekirse, bir masa tablasının uzunluğu ve genişliği vardır, dolayısıyla temeli oluşturmak için iki vektörün gerekli olacağı sezgiseldir. Bir vektör kesinlikle yeterli değil, üç vektör çok fazla.

2) Seçilen esasa göre koordinat sistemini ayarla(koordinat ızgarası) tablodaki tüm nesnelere koordinatlar atamak için kullanılır.

Şaşırmayın, ilk başta açıklamalar parmaklarda kalacak. Üstelik seninkinde. Lütfen yerleştirin işaret parmağı sol el monitöre bakması için masanın kenarına. Bu bir vektör olacak. Şimdi yer Serçe parmak sağ el aynı şekilde masanın kenarında - monitör ekranına yönlendirilecek şekilde. Bu bir vektör olacak. Gülümse, harika görünüyorsun! Vektörler hakkında ne söyleyebiliriz? Veri vektörleri doğrusal, yani doğrusal karşılıklı olarak ifade edilir:
, peki, ya da tam tersi: burada sıfırdan farklı bir sayı var.

Bu eylemin bir resmini sınıfta görebilirsiniz. Aptallar için vektörler Burada bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını açıkladım.

Parmaklarınız bilgisayar masasının düzlemine temel oluşturacak mı? Belli ki değil. Doğrusal vektörler ileri geri hareket eder yalnız yönü vardır ve bir düzlemin uzunluğu ve genişliği vardır.

Bu tür vektörlere denir doğrusal bağımlı.

Referans: “Doğrusal”, “doğrusal olarak” kelimeleri şunu ifade eder: matematiksel denklemler, ifadeler kareler, küpler, diğer kuvvetler, logaritmalar, sinüsler vb. içermez. Yalnızca doğrusal (1. derece) ifadeler ve bağımlılıklar vardır.

İki düzlem vektörü doğrusal bağımlı ancak ve ancak eşdoğrusal olmaları durumunda.

Parmaklarınızı masanın üzerinde, aralarında 0 veya 180 derece dışında herhangi bir açı olacak şekilde çaprazlayın. İki düzlem vektörüdoğrusal Olumsuz bağımlı ancak ve ancak eşdoğrusal değillerse. Böylece temel elde edilmiş olur. Temelin farklı uzunluklarda dik olmayan vektörlerle “çarpık” olduğu ortaya çıkmasından utanmanıza gerek yok. Çok yakında, yapımı için yalnızca 90 derecelik bir açının uygun olmadığını ve yalnızca eşit uzunluktaki birim vektörlerin uygun olmadığını göreceğiz.

Herhangi düzlem vektör tek yol esasına göre genişletilir:
, gerçek sayılar nerede? Numaralar denir vektör koordinatları V Bu temelde.

Ayrıca söyleniyor ki vektörolarak sunuldu doğrusal kombinasyon temel vektörleri. Yani ifade denir vektör ayrışmasıtemelde veya doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Örneğin, vektörün düzlemin ortonormal bazında ayrıştırıldığını veya vektörlerin doğrusal bir birleşimi olarak temsil edildiğini söyleyebiliriz.

Hadi formüle edelim temelin tanımı resmi olarak: Uçağın temeli doğrusal olarak bağımsız (doğrusal olmayan) vektör çifti olarak adlandırılır, , burada herhangi bir düzlem vektörü temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir.

Tanımın önemli bir noktası, vektörlerin alınmış olmasıdır. V belli bir sırayla . Üsler – bunlar tamamen farklı iki temel! Dedikleri gibi, sağ elinizin küçük parmağının yerine sol elinizin küçük parmağını koyamazsınız.

Temelini çözdük ama bilgisayar masanızdaki her öğeye bir koordinat ızgarası ayarlamak ve koordinatları atamak yeterli değil. Neden yeterli değil? Vektörler serbesttir ve tüm düzlem boyunca dolaşırlar. Peki, çılgın bir hafta sonundan kalan masadaki o küçük kirli noktalara koordinatları nasıl atarsınız? Bir başlangıç ​​noktasına ihtiyaç var. Ve böyle bir dönüm noktası herkesin bildiği bir noktadır - koordinatların kökeni. Koordinat sistemini anlayalım:

“Okul” sistemiyle başlayacağım. Zaten açık giriş dersi Aptallar için vektörler Dikdörtgen koordinat sistemi ile ortonormal taban arasındaki bazı farklılıkların altını çizdim. İşte standart resim:

Onlar hakkında konuştuklarında dikdörtgen koordinat sistemi, çoğu zaman koordinatların kökenini kastediyorlar, koordinat eksenleri ve eksenler boyunca ölçeklendirin. Bir arama motoruna “dikdörtgen koordinat sistemi” yazmayı deneyin; birçok kaynağın size 5-6. Sınıflardan aşina olduğunuz koordinat eksenlerini ve düzlemdeki noktaların nasıl çizileceğini anlatacağını göreceksiniz.

Öte yandan öyle görünüyor ki dikdörtgen sistem Koordinatlar tamamen ortonormal bir temelde belirlenebilir. Ve bu neredeyse doğru. İfade şu şekildedir:

Menşei, Ve ortonormal temel belirlendi Kartezyen dikdörtgen düzlem koordinat sistemi . Yani dikdörtgen koordinat sistemi kesinlikle tek bir nokta ve iki birim dik vektörlerle tanımlanır. Bu yüzden yukarıda verdiğim çizimi görüyorsunuz. geometrik problemlerÇoğunlukla (ancak her zaman değil) hem vektörler hem de koordinat eksenleri çizilir.

Sanırım herkes bir nokta (köken) ve ortonormal temel kullanmanın bunu anladığını düşünüyorum. Düzlemdeki HERHANGİ BİR NOKTA ve düzlemdeki HERHANGİ BİR VEKTÖR koordinatlar atanabilir. Mecazi anlamda konuşursak, "bir düzlemdeki her şey numaralandırılabilir."

Zorunlular mı koordinat vektörleri izole olmak mı? Hayır, sıfır olmayan isteğe bağlı bir uzunluğa sahip olabilirler. İkinci noktayı düşünün ortogonal vektör keyfi sıfır olmayan uzunluk:

Böyle bir temel denir dikey. Vektörlerle koordinatların kökeni bir koordinat ızgarası ile tanımlanır ve düzlemdeki herhangi bir noktanın, herhangi bir vektörün belirli bir temelde koordinatları vardır. Örneğin veya. Bariz sakınca, koordinat vektörlerinin V Genel dava birlik dışında farklı uzunluklara sahiptir. Uzunluklar bire eşitse olağan ortonormal taban elde edilir.

! Not : ortogonal temelde ve ayrıca aşağıda afin bazlar eksenler boyunca düzlem ve uzay birimleri dikkate alınır ŞARTLI. Örneğin, x ekseni boyunca bir birim 4 cm, ordinat ekseni boyunca bir birim 2 cm içerir. Bu bilgi, gerekirse "standart olmayan" koordinatları "her zamanki santimetremize" dönüştürmek için yeterlidir.

Aslında zaten yanıtlanmış olan ikinci soru ise temel vektörler arasındaki açının 90 dereceye eşit olup olmaması gerektiğidir. HAYIR! Tanımda belirtildiği gibi temel vektörler şu şekilde olmalıdır: yalnızca doğrusal olmayan. Buna göre açı 0 ile 180 derece dışında herhangi bir değer olabilir.

Uçakta adı verilen bir nokta Menşei, Ve doğrusal olmayan vektörler, , ayarlamak afin düzlem koordinat sistemi :

Bazen böyle bir koordinat sistemine denir eğik sistem. Örnek olarak çizimde noktalar ve vektörler gösterilmektedir:

Anladığınız gibi afin koordinat sistemi daha da az kullanışlıdır; dersin ikinci bölümünde tartıştığımız vektörlerin ve bölümlerin uzunluklarına ilişkin formüller bu sistemde çalışmıyor. Aptallar için vektörler ile ilgili birçok lezzetli formül vektörlerin skaler çarpımı. Ancak vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralları, bu ilişkide bir parçayı bölme formülleri ve yakında ele alacağımız diğer bazı problem türleri geçerlidir.

Ve sonuç şu ki, en uygun özel durum afin sistemi koordinatlar Kartezyen dikdörtgen bir sistemdir. Bu yüzden onu en sık görmen gerekiyor canım. ...Ancak, bu hayatta her şey görecelidir; eğik bir açının (ya da örneğin başka bir açının) olduğu pek çok durum vardır. kutupsal) koordinat sistemi. Ve insansılar bu tür sistemleri sevebilir =)

Pratik kısma geçelim. Tüm görevler bu ders hem dikdörtgen koordinat sistemi hem de genel afin durumu için geçerlidir. Burada karmaşık bir şey yok; tüm materyallere bir okul çocuğu bile erişebilir.

Düzlem vektörlerin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Tipik bir şey. İki düzlem vektörü için eşdoğrusal olsaydı, karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterliydi Aslında bu, bariz ilişkinin koordinat bazında detaylandırılmasıdır.

örnek 1

a) Vektörlerin doğrusal olup olmadığını kontrol edin .
b) Vektörler bir taban oluşturuyor mu? ?

Çözüm:
a) Vektörler için var olup olmadığını bulalım. eşitlikler sağlanacak şekilde orantı katsayısı:

Size mutlaka “züppe” uygulama türünden bahsedeceğim bu kuralın pratikte oldukça iyi çalışıyor. Buradaki fikir, hemen oranı telafi etmek ve doğru olup olmadığına bakmaktır:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranlarından bir orantı kuralım:

Kısaltalım:
dolayısıyla karşılık gelen koordinatlar orantılıdır, bu nedenle,

İlişki tam tersi şekilde de yapılabilir; bu da eşdeğer bir seçenektir:

Kendi kendini test etmek için eşdoğrusal vektörlerin birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği gerçeğini kullanabilirsiniz. İÇİNDE bu durumda eşitlikler var . Geçerlilikleri, vektörlerle yapılan temel işlemlerle kolayca doğrulanabilir:

b) İki düzlem vektörü eşdoğrusal (doğrusal olarak bağımsız) değillerse bir temel oluştururlar. Doğrusallık açısından vektörleri inceliyoruz . Bir sistem oluşturalım:

İlk denklemden şu çıkıyor, ikinci denklemden şu çıkıyor, yani sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla vektörlerin karşılık gelen koordinatları orantılı değildir.

Çözüm: vektörler doğrusal olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Çözümün basitleştirilmiş bir versiyonu şuna benzer:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından bir orantı kuralım :
Bu, bu vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bir temel oluşturduğu anlamına gelir.

Genellikle bu seçenek incelemeciler tarafından reddedilmez, ancak bazı koordinatların sıfıra eşit olduğu durumlarda sorun ortaya çıkar. Bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Burada orantı nasıl çalışılır? (aslında sıfıra bölemezsiniz). Bu nedenle basitleştirilmiş çözüme "züppe" adını verdim.

Cevap: a) , b) şeklinde.

Küçük yaratıcı örnekİçin bağımsız karar:

Örnek 2

Vektörler parametrenin hangi değerindedir? doğrusal olacaklar mı?

Örnek çözümde parametre orantı yoluyla bulunur.

Zarif bir şey var cebirsel yöntem Doğrusallık açısından vektörleri kontrol edelim. Bilgimizi sistematize edelim ve bunu beşinci nokta olarak ekleyelim:

İki vektör için düzlemler eşdeğerdir aşağıdaki ifadeler :

2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler doğrusal değildir;

+ 5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Sırasıyla, aşağıdaki zıt ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler doğrusal olarak bağımlıdır;
2) vektörler bir temel oluşturmaz;
3) vektörler eşdoğrusaldır;
4) vektörler birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilebilir;
+ 5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan bir determinant, sıfıra eşit .

Gerçekten, gerçekten bunu umuyorum şu an Karşılaştığınız tüm terimleri ve ifadeleri zaten anlıyorsunuz.

Yeni beşinci noktaya daha yakından bakalım: iki düzlem vektörleri ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eşdoğrusaldırlar:. Kullanmak için bu özelliğin Doğal olarak, yapabilmeniz gerekiyor belirleyicileri bul.

Haydi karar verelimÖrnek 1 ikinci şekilde:

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım. :
Bu, bu vektörlerin doğrusal olduğu anlamına gelir.

b) İki düzlem vektörü eşdoğrusal (doğrusal olarak bağımsız) değillerse bir temel oluştururlar. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım :
Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bir temel oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: a) , b) şeklinde.

Orantılı bir çözümden çok daha kompakt ve daha güzel görünüyor.

Ele alınan malzemenin yardımıyla sadece vektörlerin eşdoğrusallığını oluşturmak değil, aynı zamanda parçaların ve düz çizgilerin paralelliğini de kanıtlamak mümkündür. Belirli geometrik şekillerle ilgili birkaç problemi ele alalım.

Örnek 3

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt: Çözüm tamamen analitik olacağından problemde çizim oluşturmaya gerek yoktur. Paralelkenarın tanımını hatırlayalım:
Paralelkenar Karşılıklı kenarları paralel olan çiftlere dörtgen denir.

Bu nedenle aşağıdakileri kanıtlamak gerekir:
1) karşıt tarafların paralelliği ve;
2) karşıt tarafların paralelliği ve.

Kanıtlıyoruz:

1) Vektörleri bulun:

2) Vektörleri bulun:

Sonuç aynı vektördür (“okula göre” – eşit vektörler). Eşdoğrusallık oldukça açıktır, ancak kararı düzenlemeyle net bir şekilde resmileştirmek daha iyidir. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
, bu, bu vektörlerin eşdoğrusal olduğu anlamına gelir ve .

Çözüm: Karşıt taraflar Dörtgenler çiftler halinde paraleldir, bu da tanımı gereği bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. Q.E.D.

Daha iyi ve farklı rakamlar:

Örnek 4

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin yamuk olduğunu kanıtlayın.

Kanıtın daha titiz bir formülasyonu için, elbette yamuğun tanımını almak daha iyidir, ancak neye benzediğini hatırlamak yeterlidir.

Bu sizin kendi başınıza çözmeniz gereken bir görevdir. Tam çözüm dersin sonunda.

Ve şimdi yavaş yavaş uçaktan uzaya geçme zamanı:

Uzay vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Kural çok benzer. İki uzay vektörünün eşdoğrusal olabilmesi için karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..

Örnek 5

Aşağıdaki uzay vektörlerinin eşdoğrusal olup olmadığını öğrenin:

A) ;
B)
V)

Çözüm:
a) Vektörlerin karşılık gelen koordinatları için bir orantı katsayısı olup olmadığını kontrol edelim:

Sistemin çözümü yoktur, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

Oran kontrol edilerek “Basitleştirilmiş” resmileştirilir. Bu durumda:
– karşılık gelen koordinatlar orantılı değildir; bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı anlamına gelir.

Cevap: vektörler eşdoğrusal değildir.

b-c) Bunlar bağımsız karar verme noktalarıdır. İki şekilde deneyin.

Üçüncü dereceden bir determinant aracılığıyla uzaysal vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesi için bir yöntem vardır, Bu method makalede ele alınan Vektörlerin vektör çarpımı.

Düzlem durumuna benzer şekilde, dikkate alınan araçlar, uzaysal bölümlerin ve düz çizgilerin paralelliğini incelemek için kullanılabilir.

İkinci bölüme hoş geldiniz:

Üç boyutlu uzayda vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Uzamsal temel ve afin koordinat sistemi

Uçakta incelediğimiz desenlerin birçoğu uzay için de geçerli olacak. Bilgideki aslan payı zaten çiğnendiğinden teori notlarını en aza indirmeye çalıştım. Ancak yeni terim ve kavramlar çıkacağı için giriş kısmını dikkatli okumanızı tavsiye ederim.

Artık bilgisayar masasının düzlemi yerine üç boyutlu uzayı keşfediyoruz. Öncelikle temelini oluşturalım. Birileri artık içeride, birileri dışarıda ama her halükarda üç boyuttan kaçamıyoruz: genişlik, uzunluk ve yükseklik. Bu nedenle, bir temel oluşturmak için üç uzaysal vektör gerekli olacaktır. Bir veya iki vektör yeterli değildir, dördüncüsü gereksizdir.

Ve yine parmaklarımızda ısınıyoruz. Lütfen elinizi kaldırın ve dağıtın farklı taraflar başparmak, işaret parmağı ve orta parmak . Bunlar vektörler olacak, farklı yönlere bakıyorlar, farklı uzunluklara sahipler ve farklı açılar onların arasında. Tebrikler, üç boyutlu uzayın temeli hazır! Bu arada parmaklarınızı ne kadar çevirseniz de bunu öğretmenlere göstermenize gerek yok ama tanımlardan kaçış yok =)

Sonra soralım önemli konu, herhangi üç vektör bir temel oluşturur mu üç boyutlu uzay ? Lütfen üç parmağınızı bilgisayar masasının üstüne sıkıca bastırın. Ne oldu? Üç vektör aynı düzlemde bulunur ve kabaca konuşursak boyutlardan birini kaybettik - yükseklik. Bu tür vektörler aynı düzlemde ve üç boyutlu uzayın temelinin yaratılmadığı çok açıktır.

Eş düzlemli vektörlerin aynı düzlemde olması gerekmediğine dikkat edilmelidir, paralel düzlemlerde olabilirler (bunu parmaklarınızla yapmayın, bunu yalnızca Salvador Dali yaptı =)).

Tanım: vektörlere denir aynı düzlemde, eğer paralel oldukları bir düzlem varsa. Buraya şunu eklemek mantıklıdır: Eğer böyle bir düzlem yoksa o zaman vektörler aynı düzlemde olmayacaktır.

Üç eş düzlemli vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır yani birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirler. Basitleştirmek için, yine aynı düzlemde olduklarını hayal edelim. İlk olarak, vektörler sadece eş düzlemli değildir, aynı zamanda doğrusal da olabilirler, bu durumda herhangi bir vektör herhangi bir vektör aracılığıyla ifade edilebilir. İkinci durumda, örneğin vektörler eşdoğrusal değilse, üçüncü vektör bunlar aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir: (ve önceki bölümdeki materyallerden nedenini tahmin etmek kolaydır).

Bunun tersi de doğrudur: eş düzlemli olmayan üç vektör her zaman doğrusal olarak bağımsızdır yani hiçbir şekilde birbirleri aracılığıyla ifade edilmezler. Ve açıkçası, yalnızca bu tür vektörler üç boyutlu uzayın temelini oluşturabilir.

Tanım: Üç boyutlu uzayın temeli doğrusal olarak bağımsız (eş düzlemli olmayan) vektörlerin üçlüsü olarak adlandırılır, belli bir sıraya göre alınır ve uzayın herhangi bir vektörü tek yol belirli bir temele göre ayrıştırılır; bu temeldeki vektörün koordinatları nerededir?

Vektörün formda temsil edildiğini de söyleyebileceğimizi hatırlatmama izin verin. doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Koordinat sistemi kavramı, bir nokta ve herhangi üç doğrusal durumla tamamen aynı şekilde tanıtılmıştır; bağımsız vektörler:

Menşei, Ve eş düzlemli olmayan vektörler, belli bir sıraya göre alınır, ayarlamak üç boyutlu uzayın afin koordinat sistemi :

Elbette koordinat ızgarası "eğik" ve elverişsizdir, ancak yine de oluşturulan koordinat sistemi bize izin verir kesinlikle herhangi bir vektörün koordinatlarını ve uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarını belirler. Daha önce bahsettiğim bazı formüller tıpkı düzlem gibi uzayın afin koordinat sisteminde çalışmayacaktır.

Herkesin tahmin ettiği gibi, afin koordinat sisteminin en tanıdık ve kullanışlı özel durumu şudur: dikdörtgen uzay koordinat sistemi:

Uzayda bir noktaya denir Menşei, Ve ortonormal temel belirlendi Kartezyen dikdörtgen uzay koordinat sistemi . Tanıdık resim:

Pratik görevlere geçmeden önce bilgileri tekrar sistematize edelim:

İçin üç vektör boşluk aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler doğrusal olarak bağımsızdır;
2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler eş düzlemli değildir;
4) vektörler birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilemez;
5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Zıt ifadelerin anlaşılır olduğunu düşünüyorum.

Uzay vektörlerinin doğrusal bağımlılığı/bağımsızlığı geleneksel olarak bir determinant (nokta 5) kullanılarak kontrol edilir. Geriye kalan pratik görevler belirgin bir cebirsel karaktere sahip olacaktır. Geometri çubuğunu bir kenara bırakıp doğrusal cebir beyzbol sopasını kullanmanın zamanı geldi:

Uzayın üç vektörü ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir: .

Dikkatinizi küçük bir teknik nüansa çekmek istiyorum: vektörlerin koordinatları yalnızca sütunlarda değil satırlarda da yazılabilir (bundan dolayı determinantın değeri değişmeyecektir - determinantların özelliklerine bakın). Ancak bazı pratik sorunların çözümünde daha faydalı olduğu için sütunlarda çok daha iyidir.

Belirleyicileri hesaplama yöntemlerini biraz unutmuş veya belki de hiç anlamayan okuyuculara en eski derslerimden birini öneriyorum: Determinant nasıl hesaplanır?

Örnek 6

Aşağıdaki vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturup oluşturmadığını kontrol edin:

Çözüm: Aslında tüm çözüm determinantın hesaplanmasından ibarettir.

a) Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım (determinant ilk satırda ortaya çıkıyor):

Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu (eş düzlemli olmadığı) ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: bu vektörler bir temel oluşturur

b) Bu bağımsız karar verilmesi gereken bir noktadır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Tanışın ve yaratıcı görevler:

Örnek 7

Parametrenin hangi değerinde vektörler eş düzlemli olacaktır?

Çözüm: Vektörler ancak ve ancak bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir:

Temel olarak determinantı olan bir denklemi çözmeniz gerekir. Jerboas üzerindeki uçurtmalar gibi sıfırlara saldırıyoruz - ikinci satırdaki determinantı açmak ve eksilerden hemen kurtulmak en iyisidir:

Daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz ve konuyu en basit doğrusal denklem haline getiriyoruz:

Cevap: saat

Burada kontrol etmek kolaydır; bunu yapmak için, elde edilen değeri orijinal determinantın yerine koymanız ve şu şekilde olduğundan emin olmanız gerekir: , tekrar açıyorum.

Sonuç olarak bir tanesine daha bakalım tipik görev doğası gereği daha cebirsel olan ve geleneksel olarak doğrusal cebir dersine dahil edilen. O kadar yaygındır ki kendi konusunu hak etmektedir:

3 vektörün üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu kanıtlayın
ve bu temelde 4. vektörün koordinatlarını bulun

Örnek 8

Vektörler verilmiştir. Vektörlerin üç boyutlu uzayda bir taban oluşturduğunu gösterin ve bu tabandaki vektörün koordinatlarını bulun.

Çözüm: Öncelikle durumu ele alalım. Koşula göre dört vektör verilmiştir ve görebileceğiniz gibi bunların bazı temellerde koordinatları zaten vardır. Bu temelin ne olduğu bizi ilgilendirmiyor. Ve şu şey ilgi çekicidir: Üç vektör pekala yeni bir temel oluşturabilir. Ve ilk aşama, Örnek 6'nın çözümüyle tamamen örtüşmektedir; vektörlerin gerçekten doğrusal olarak bağımsız olup olmadığının kontrol edilmesi gerekmektedir:

Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:

Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

! Önemli : vektör koordinatları mutlaka yaz sütunlara determinant, dizelerde değil. Aksi takdirde ilerideki çözüm algoritmasında karışıklık yaşanacaktır.

Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, aralarından en az birinin sıfırdan farklı olduğu sayılar varsa, eşitlik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Eğer bu eşitlik yalnızca tümünün olması durumunda sağlanırsa, o zaman vektörler sistemine denir. Doğrusal bağımsız.

Teorem. Vektör sistemi olacak doğrusal bağımlı ancak ve ancak vektörlerinden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması durumunda.

Örnek 1. Polinom polinomların doğrusal bir birleşimidir https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomlar doğrusal olarak oluşur bağımsız sistem, polinomdan beri https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Örnek 2. Matris sistemi, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width = "51" height = "48 src = "> doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü doğrusal bir kombinasyon şuna eşittir: sıfır matris yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text durumunda /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> doğrusal bağımlı.

Çözüm.

Bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu yapalım https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" yükseklik = "22">.

Aynı isimli koordinatların eşitlenmesi eşit vektörler, https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> alıyoruz

Sonunda elde ettik

Ve

Sistemin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır, dolayısıyla bu vektörlerin doğrusal birleşimi yalnızca tüm katsayıların sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşittir. Bu yüzden bu sistem vektörler doğrusal olarak bağımsızdır.

Örnek 4. Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır. Vektör sistemleri nasıl olacak?

A).;

B).?

Çözüm.

A). Doğrusal bir kombinasyon yapalım ve bunu sıfıra eşitleyelim

Doğrusal uzayda vektörlerle yapılan işlemlerin özelliklerini kullanarak son eşitliği formda yeniden yazıyoruz.

Vektörler doğrusal olarak bağımsız olduğundan, at katsayıları sıfıra eşit olmalıdır, yani.gif" width="12" height="23 src=">

Ortaya çıkan denklem sisteminin benzersiz bir önemsiz çözümü vardır .

Eşitlikten bu yana (*) yalnızca https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – doğrusal olarak bağımsız olduğunda yürütülür;

B). Eşitlik yapalım https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Benzer akıl yürütmeyi uygulayarak şunu elde ederiz:

Denklem sistemini Gauss yöntemiyle çözerek şunu elde ederiz:

veya

Sonuncu sistem var sonsuz kümeçözümler https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width = "149" height = "24 src = ">. Böylece, eşitliğin sıfırdan farklı bir katsayılar kümesi vardır. tutar (**) . Bu nedenle vektör sistemi – doğrusal bağımlı.

Örnek 5 Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızdır ve bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Eşitlik içinde (***) . Gerçekten de, sistem doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

ilişkiden (***) aldık veya Haydi belirtelim .

Aldık

Bağımsız çözüm için problemler (sınıfta)

1. Sıfır vektör içeren bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

2. Bir vektörden oluşan sistem A, doğrusal olarak bağımlıdır ancak ve ancak şu durumda, a=0.

3. İki vektörden oluşan bir sistem, yalnızca vektörler orantılıysa (yani bunlardan biri diğerinden bir sayıyla çarpılarak elde edilirse) doğrusal olarak bağımlıdır.

4. Eğer k doğrusal ise bağımlı sistem bir vektör eklediğinizde doğrusal bağımlı bir sistem elde edersiniz.

5. Doğrusal olarak bağımsız bir sistemden bir vektör çıkarılırsa, ortaya çıkan vektör sistemi doğrusal olarak bağımsız olur.

6. Eğer sistem S doğrusal olarak bağımsızdır, ancak bir vektör eklenirken doğrusal olarak bağımlı hale gelir B, sonra vektör B sistem vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir S.

C).İkinci dereceden matrisler uzayında matris sistemi.

10. Vektörler sistemi olsun A,B,C vektör uzayı doğrusal olarak bağımsızdır. Doğrusal bağımsızlığı kanıtlayın aşağıdaki sistemler vektörler:

A).a+b, b, c.

B).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– Rasgele sayı

C).a+b, a+c, b+c.

11. İzin vermek A,B,C– bir üçgenin oluşturulabileceği düzlem üzerinde üç vektör. Bu vektörler doğrusal olarak bağımlı olacak mı?

12. İki vektör verilmiştir a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). İki tane daha al dört boyutlu vektör a3 vea4 böylece sistem a1,a2,a3,a4 doğrusal olarak bağımsızdı .

İzin vermek L- keyfi doğrusal uzay,A Ben Î L,- elemanları (vektörler).

Tanım 3.3.1.İfade , Nerede , - keyfi gerçek sayılar, doğrusal kombinasyon olarak adlandırılır vektörler bir 1, bir 2,…, bir N.

Eğer vektör R = sonra şunu söylüyorlar R vektörlere ayrıştırılmış bir 1, bir 2,…, bir N.

Tanım 3.3.2. Vektörlerin doğrusal birleşimine denir önemsiz değil, sayılar arasında sıfır olmayan en az bir tane varsa. Aksi takdirde doğrusal kombinasyon denir önemsiz.

Tanım 3.3.3 . Vektörler a 1 , a 2 ,…, a N bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa, doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılırlar;

= 0 .

Tanım 3.3.4. Vektörler a 1 ,a 2 ,…, a N eşitlik varsa doğrusal bağımsız olarak adlandırılır = 0 yalnızca tüm sayıların olması durumunda mümkündür ben 1, ben 2,…, ben n aynı anda sıfıra eşittir.

Eşitlik olduğundan sıfırdan farklı herhangi bir a 1 elemanının doğrusal olarak bağımsız bir sistem olarak kabul edilebileceğini unutmayın. ben bir 1 = 0 ancak şu durumda mümkün ben= 0.

Teorem 3.3.1. Gerekli ve yeterli koşul doğrusal bağımlılık a 1, a 2,…, a N bu unsurlardan en az birinin geri kalanına ayrıştırılması olasılığıdır.

Kanıt. Gereklilik. Elemanlar a 1 , a 2 ,…, a olsun N doğrusal bağımlı. Bu demektir = 0 ve sayılardan en az biri ben 1, ben 2,…, ben n sıfırdan farklı. Kesinlik için izin ver ben 1 ¹ 0. Sonra

yani a 1 öğesi a 2, a 3,…, a öğelerine ayrıştırılır N.

Yeterlilik. a 1 öğesinin a 2 , a 3 , …, a öğelerine ayrıştırılmasına izin verin N, yani a 1 = . Daha sonra = 0 dolayısıyla a 1 , a 2 ,…, a vektörlerinin önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimi vardır. N, eşittir 0 yani doğrusal bağımlıdırlar .

Teorem 3.3.2. a 1 , a 2 ,…, a öğelerinden en az biri ise N sıfır ise bu vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt . İzin vermek A N= 0 , o zaman = 0 bu, bu elemanların doğrusal bağımlılığı anlamına gelir.

Teorem 3.3.3. Eğer n vektör arasında herhangi bir p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Kanıt. Kesinlik için a 1 , a 2 ,…, a elemanlarını kabul edelim. P doğrusal bağımlı. Bu, önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonun olduğu anlamına gelir: = 0 . Öğeyi her iki parçasına da eklersek belirtilen eşitlik korunacaktır. Daha sonra + = 0 ve sayılardan en az biri ben 1, ben 2,…, lp sıfırdan farklı. Bu nedenle, a 1 , a 2 ,…, a vektörleri N doğrusal olarak bağımlıdır.

Sonuç 3.3.1. Eğer n eleman doğrusal olarak bağımsızsa, o zaman bunlardan herhangi bir k tanesi doğrusal olarak bağımsızdır (k< n).

Teorem 3.3.4. Eğer vektörler bir 1, bir 2,…, bir N- 1 doğrusal olarak bağımsızdır ve elemanlar bir 1, bir 2,…, bir N- 1 A n doğrusal olarak bağımlıdır, o zaman vektör A n vektörlere genişletilebilir bir 1, bir 2,…, bir N- 1 .

Kanıt. a 1 koşuluna göre, a 2 ,…, A N- 1 A N doğrusal olarak bağımlıysa, bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır = 0 , ve (aksi takdirde a 1 , a 2 ,…, a vektörleri doğrusal olarak bağımlı hale gelecektir N- 1). Ama sonra vektör

,

Q.E.D.

Tarafımızca tanıtılan doğrusal işlemler vektörlerin üzerinde derlemeyi mümkün kılmak çeşitli ifadelerİçin Vektör nicelikleri ve bu işlemler için ayarlanan özellikleri kullanarak bunları dönüştürün.

Belirli bir a 1, ..., a n vektör kümesine dayanarak, formun bir ifadesini oluşturabilirsiniz.

burada a 1, ... ve n keyfi gerçek sayılardır. Bu ifade denir vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1, ..., a n. α i, i = 1, n sayıları temsil eder doğrusal kombinasyon katsayıları. Bir vektör kümesine de denir vektör sistemi.

Tanıtılan vektörlerin doğrusal birleşimi kavramıyla bağlantılı olarak, belirli bir a 1, ..., a n vektör sisteminin doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilen bir vektörler kümesini tanımlama sorunu ortaya çıkar. Ek olarak, bir vektörün doğrusal kombinasyon biçiminde temsil edildiği koşullar ve böyle bir temsilin benzersizliği hakkında doğal sorular vardır.

Tanım 2.1. a 1, ... ve n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer α 1 , ... , α n katsayıları kümesi varsa, öyle ki

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2,2)

ve bu katsayılardan en az biri sıfır değildir. Belirtilen katsayılar kümesi mevcut değilse, vektörlere çağrılır. Doğrusal bağımsız.

Eğer α 1 = ... = α n = 0 ise, o zaman açıkça α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 olur. Bunu aklımızda tutarak şunu söyleyebiliriz: a 1, ..., ve vektörleri Eşitlik (2.2)'den tüm α 1 , ... , α n katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa n doğrusal olarak bağımsızdır.

Aşağıdaki teorem, yeni kavrama neden "bağımlılık" (veya "bağımsızlık") terimi denildiğini açıklar ve doğrusal bağımlılık için basit bir kriter sağlar.

Teorem 2.1. a 1, ... ve n, n > 1 vektörlerinin doğrusal bağımlı olabilmesi için, bunlardan birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

◄ Gereklilik. a 1, ... ve n vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Doğrusal bağımlılığın Tanım 2.1'ine göre, soldaki eşitlikte (2.2) sıfır olmayan en az bir katsayı vardır, örneğin α 1. İlk terimi eşitliğin sol tarafında bırakarak geri kalanını Sağ Taraf, her zamanki gibi işaretlerini değiştiriyorlar. Ortaya çıkan eşitliği α 1'e bölerek şunu elde ederiz:

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

onlar. a 1 vektörünün geri kalan a 2, ..., a n vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak temsili.

Yeterlilik. Örneğin, ilk a 1 vektörünün geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğini varsayalım: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Tüm terimleri sağ taraftan sola aktararak 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 elde ederiz, yani. a 1, ..., a n vektörlerinin α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n katsayılarına sahip doğrusal bir kombinasyonu, eşittir sıfır vektör. Bu doğrusal kombinasyonda tüm katsayılar sıfır değildir. Tanım 2.1'e göre a 1, ... ve n vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlılığın tanımı ve kriteri, iki veya daha fazla vektörün varlığını ima edecek şekilde formüle edilmiştir. Ancak bir vektörün doğrusal bağımlılığından da bahsedebiliriz. Bu ihtimali gerçekleştirmek için “vektörler doğrusal olarak bağımlıdır” yerine “vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır” demek gerekir. "Bir vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır" ifadesinin bu tek vektörün sıfır olduğu anlamına geldiğini görmek kolaydır (doğrusal bir kombinasyonda yalnızca bir katsayı vardır ve sıfıra eşit olmamalıdır).

Doğrusal bağımlılık kavramının basit bir geometrik yorumu vardır. Aşağıdaki üç ifade bu yorumu açıklamaktadır.

Teorem 2.2.İki vektör ancak ve ancak şu durumda doğrusal olarak bağımlıdır: doğrusal.

◄ Eğer a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan biri, örneğin a, diğeri aracılığıyla ifade edilir; a = λb, bazı λ gerçek sayıları için. Tanım 1.7'ye göre İşler sayı başına vektörler, a ve b vektörleri doğrusaldır.

Şimdi a ve b vektörleri eşdoğrusal olsun. Her ikisi de sıfır ise, bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu sıfır vektörüne eşit olduğundan, bunların doğrusal olarak bağımlı oldukları açıktır. Bu vektörlerden birinin, örneğin b vektörünün 0'a eşit olmamasına izin verin. Vektör uzunluklarının oranını λ ile gösterelim: λ = |a|/|b|. Doğrusal vektörler şunlar olabilir: tek yönlü veya zıt yönlü. İÇİNDE ikinci durumλ'nın işaretini değiştirelim. Daha sonra Tanım 1.7'yi kontrol ederek a = λb olduğuna ikna olduk. Teorem 2.1'e göre a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Açıklama 2.1.İki vektör durumunda, doğrusal bağımlılık kriteri dikkate alınarak kanıtlanmış teorem şu şekilde yeniden formüle edilebilir: iki vektör, ancak ve ancak bunlardan birinin diğerinin bir sayı ile çarpımı olarak temsil edilmesi durumunda eşdoğrusaldır. Bu, iki vektörün doğrusallığı için uygun bir kriterdir.

Teorem 2.3.Üç vektör ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda doğrusal olarak bağımlıdır: aynı düzlemde.

◄ Eğer üç vektör a, b, c doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 2.1'e göre bunlardan biri, örneğin a, diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir: a = βb + γc. b ve c vektörlerinin kökenlerini A noktasında birleştirelim. O zaman βb, γс vektörleri A noktasında ve boyunca ortak bir kökene sahip olacaktır. paralelkenar kuralına göre bunların toplamı onlar. a vektörü, A kökenli bir vektör olacaktır ve son bileşen vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın tepe noktasıdır. Böylece tüm vektörler aynı düzlemde, yani aynı düzlemde yer alır.

a, b, c vektörleri eş düzlemli olsun. Bu vektörlerden biri sıfırsa, bu açıkça diğerlerinin doğrusal bir birleşimi olacaktır. Doğrusal bir kombinasyonun tüm katsayılarını sıfıra eşit almak yeterlidir. Bu nedenle üç vektörün de sıfır olmadığını varsayabiliriz. Uyumlu başladı bu vektörler ortak nokta O. Uçları sırasıyla A, B, C noktaları olsun (Şekil 2.1). C noktasından O, A ve O, B nokta çiftlerinden geçen çizgilere paralel çizgiler çizeriz. Kesişme noktalarını A" ve B" olarak belirleyerek bir OA"CB" paralelkenarı elde ederiz, dolayısıyla OC" = OA" + OB". OA" vektörü ve sıfır olmayan vektör a = OA eşdoğrusaldır ve bu nedenle bunlardan ilki, ikincinin şu şekilde çarpılmasıyla elde edilebilir: gerçek Numaraα:OA" = αOA. Benzer şekilde, OB" = βOB, β ∈ R. Sonuç olarak, OC" = α OA + βOB elde ederiz, yani c vektörü, a ve b vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir. Teorem 2.1'e göre a , b , c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2.4. Herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

◄ İspatı Teorem 2.3'teki şemaya göre gerçekleştiriyoruz. Rastgele dört a, b, c ve d vektörünü düşünün. Dört vektörden biri sıfırsa veya aralarında iki eşdoğrusal vektör varsa veya dört vektörden üçü aynı düzlemdeyse, bu dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Örneğin, a ve b vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olmayan katsayılarla bunların doğrusal kombinasyonunu αa + βb = 0 yapabilir ve ardından katsayı olarak sıfırları alarak geri kalan iki vektörü bu kombinasyona ekleyebiliriz. Sıfır olmayan katsayıların bulunduğu, 0'a eşit dört vektörün doğrusal bir kombinasyonunu elde ederiz.

Böylece, seçilen dört vektör arasında hiçbir vektörün sıfır olmadığını, hiçbir ikisinin eşdoğrusal olmadığını ve hiçbir üçünün eşdüzlemsel olmadığını varsayabiliriz. Bunları şu şekilde seçelim ortak başlangıç O noktası. O zaman a, b, c, d vektörlerinin uçları bazı A, B, C, D noktaları olacaktır (Şekil 2.2). D noktasından üç düzlem çiziyoruz, düzlemlere paralel OBC, OCA, OAB ve A", B", C" bu düzlemlerin sırasıyla OA, OB, OS düz çizgileriyle kesişme noktaları olsun. Paralel yüzlü OA"C"B"C"B"DA'yı elde ederiz. "ve a, b, c vektörleri O tepe noktasından çıkan kenarlarında bulunur. OC"DC" dörtgeni bir paralelkenar olduğundan, OD = OC" + OC" . Buna karşılık, OC" segmenti bir köşegendir. paralelkenar OA"C"B", yani OC" = OA" + OB" ve OD = OA" + OB" + OC" olur.

OA ≠ 0 ve OA", OB ≠ 0 ve OB", OC ≠ 0 ve OC" vektör çiftlerinin eşdoğrusal olduğunu ve bu nedenle α, β, γ katsayılarını şu şekilde seçmek mümkündür: OA" = αOA, OB" = βOB ve OC" = γOC. Sonunda OD = αOA + βOB + γOC elde ederiz. Sonuç olarak, OD vektörü diğer üç vektör aracılığıyla ifade edilir ve Teorem 2.1'e göre dört vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır.

Tanım. Vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1 , ..., katsayıları x 1 , ..., x n olan bir n'ye vektör denir

x 1 a 1 + ... + x n a n .

önemsiz, eğer tüm x 1 , ..., x n katsayıları sıfıra eşitse.

Tanım. x 1 a 1 + ... + x n an n doğrusal kombinasyonuna denir önemsiz değil, x 1, ..., x n katsayılarından en az biri sıfıra eşit değilse.

Doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir kombinasyonu yoksa.

Yani, a 1, ..., a n vektörleri eğer x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ise ancak ve ancak x 1 = 0, ..., x n = 0 ise doğrusal olarak bağımsızdır.

Tanım. a 1, ..., a n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir kombinasyonu varsa.

Doğrusal bağımlı vektörlerin özellikleri:

2 ve 3 boyutlu vektörler için.

Doğrusal olarak bağımlı iki vektör eşdoğrusaldır. (Doğrusal vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.)

3 boyutlu vektörler için.

Doğrusal olarak bağımlı üç vektör aynı düzlemdedir. (Üç eş düzlemli vektörler- doğrusal olarak bağımlı.)

• N boyutlu vektörler için.

  n + 1 vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı ile ilgili problem örnekleri:

Örnek 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin .

Çözüm:

Vektörlerin boyutu vektör sayısından az olduğundan vektörler doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

Örnek 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm:

ikinciyi birinci satırdan çıkarın; üçüncü satıra ikinci satırı ekleyin:

Bu çözüm, sistemin birçok çözümü olduğunu, yani a, b, c vektörlerinin doğrusal kombinasyonunun eşit olacağı şekilde x 1, x 2, x 3 sayılarının değerlerinin sıfır olmayan bir kombinasyonunun olduğunu gösterir. sıfır vektörü, örneğin:

bir + b + c = 0

bu, a, b, c vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

Cevap: a, b, c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Örnek 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm: Bu vektörlerin doğrusal birleşiminin sıfır vektörüne eşit olacağı katsayıların değerlerini bulalım.

Bu vektör denklemi bir sistem olarak yazılabilir doğrusal denklemler

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözelim

birincisini ikinci satırdan çıkarın; birincisini üçüncü satırdan çıkarın:

ikinciyi birinci satırdan çıkarın; üçüncü satıra bir saniye ekleyin.