N boyutlu uzaylar. N boyutlu aritmetik uzay

Doğrusal uzay, birbirleriyle toplamanın ve bir öğenin bir sayı ile çarpımının tanımlandığı (keyfi nitelikteki) bir nesneler kümesidir. Doğrusal uzay genellikle vektör denir

Bu durumda aşağıdaki koşullar yerine getirilir:

Setin elemanları L isminde vektörler ve alan elemanları P - skalerler.

Aynı tipteki kümelerin elemanları üzerinde yapılan doğrusal işlemler, orijinal kümelerle aynı özelliklere sahip yeni bir kümenin elemanlarıyla sonuçlanır. Doğrudan toplama işlemi için tanımlanır ters işlemçıkarma ve doğrudan çarpma işlemi için - ters bölme işlemi. Hem doğrudan hem de ters işlemler için, kümenin bir elemanı B kümesinin bir ve yalnızca bir elemanına karşılık gelir. Bire bir kümeler. Bire bir kümelere örnek olarak vektör miktarları verilebilir. Üç boyutlu uzayın tüm vektörlerinin kümesi bir vektör uzayı oluşturur. Bir VP örneği sözde n boyutlu aritmetik uzay . Bu uzayın vektörleri sıralı sistemlerdir. N gerçek sayılar:  1 ,  2 ,...,  N . İki vektörün toplamı ve bir sayının çarpımı ilişkilerle belirlenir:

( 1 ,  2 , …,  N) + ( 1 ,  2 , …,  N) = ( 1 +  1 ,  2 +  2 , …,  N +  N);

( 1 ,  2 , …,  N) = ( 1 ,  2 , …,  N). Bu alandaki temel aşağıdaki sistem olabilir: N vektörler e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e N = (0, 0,..., 1).

Birçok R tüm polinomlar  0 +  1 sen+ … +  N sen N(herhangi bir derece N) gerçek katsayılı tek değişkenden  0 ,  1 ,...,  N polinomları toplamak ve polinomları gerçek sayılarla çarpmak için kullanılan olağan cebir kuralları ile bir polinom polinomu oluşturulur. 1, sen, sen 2 ,...,sen N (herhangi biri için N) doğrusal olarak bağımsızdır R, Bu yüzden R- sonsuz boyutlu vektör Aynı düzlemde yer almayan sıfırdan farklı herhangi üç vektör doğrusal olarak bağımsızdır. Derece polinomları şu değerden yüksek değil: N v.p. boyutlarını oluşturun N+ 1 ; temeli polinomlar olabilir 1, sen, sen 2 ,...,sen N .

11. Vektörlerin nokta çarpımı, özellikleri.

Sonucu koordinat sistemine bağlı olmayan ve faktör vektörlerinin uzunluklarını ve aralarındaki açıyı karakterize eden bir skaler (sayı) olan iki vektör üzerinde yapılan işlem. Bu işlemin genellikle her faktörde değişmeli ve doğrusal olduğu kabul edilir. Faktörlerin yazılma sırası önemli değildir. *=*. Vektörler arasındaki açı ise Ve aracılığıyla belirtin, sonra onları nokta çarpım formülle ifade edilebilir
.Eğer vektörler Ve koordinatları ile verilir:, , daha sonra bunların skaler çarpımı formül kullanılarak hesaplanabilir. Bu, iki vektörün dikliği için gerekli ve yeterli bir koşulu ima eder.

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabilirsiniz:

,.

6 cevap

Boyutlar, yapmalarını istediğiniz şeydir. Mesela derinlik ve zaman ancak bu kavramlarla uğraştığınızda anlam kazanır.

Bunun uzay ve zamanla ilgili olması gerekmez. Aslında C++ standardı bunlara kapsamlar adını verir.

Diyelim ki on farklı peyniriniz var ve birinin bunları tercih etme olasılığını tahmin etmek istiyorsunuz. belli bir sırayla. Bunu int'nizde saklayabilirsiniz; , kapsamına atıfla: favori peynir, ikinci favori peynir, üçüncü favori peynir, dördüncü favori peynir, beşinci favori peynir ve en az favori peynir. Birinin peynirleri 5-4-6-3-2-1 sırasıyla tercih etme olasılığı t olarak ifade edilir.

Mesele şu ki, dil, alan semantiğini uzantılara eklemiyor. Bunu yapmak size kalmış.

N boyutlu diziler yalnızca C++ değildir. Matematikte, fizikte, diğer çeşitli bilimlerde vb. her yerde karşımıza çıkar.

İşte bir örnek: Diyelim ki verileri konuma (x, y, z), zamana ve "verileri hangi kullanıcının oluşturduğuna" göre indekslemek istiyorsunuz. x1, y1, z1, time1'de toplanan ve kullanıcı1 tarafından oluşturulan bir veri noktası için onu dataArray = myNewData'da saklarsınız.

Programlamada, dünyayı doğrudan temsil etmeye çalışmadığınız sürece, çok boyutlu dizileri geleneksel geometri açısından düşünmeyin. Her ardışık "boyutu" diziler içeren başka bir dizi olarak düşünmek daha iyidir. Bunun görünebileceği çeşitli kullanım durumları vardır. Bununla birlikte, eğer üçten fazla boyut kullanıyorsanız, bunu artık diziler veya hatta "dizi dizileri" olarak değerlendirmem; üç düzeyden fazlasını gerektiren bir şeyi programlama şeklinize daha yakın olan ağaçları tercih ederim.

Bir örnek, düğümleri olan ve aynı zamanda düğümleri olan bir kök düğümünüzün olduğu bir ağaçtır. Bir şey seçmek istiyorsanız ahşap harika bir araçtır. Diyelim ki gelen bir grup sayıyı sıralamak istediniz rastgele sıra. Kökte görünen ilk sayıyı yaparsınız. İlk sayı 5 ve sonraki sayı 7 ise, o zaman 5. düğümün "sağ" köküne 7 koymalısınız. Ve eğer 3 ve sonra 4 varsa, 5'in "soluna" 3'ü ve sonra da 3'ü eklemelisiniz. 4'ten 3'ten "doğru" olana. Bu ağacı sırayla geçerseniz (her zaman ağaçta sola doğru giderseniz, yalnızca yeni düğüm olmadığında geri dönerseniz, sonra sağa dönerseniz), sıralı bir liste elde edersiniz: 3, 4, 5, 7.

5 / \ 3 7 \ 4

Burada ağaç yapısını görebilirsiniz. Eğer bunu C'de yapıyor olsaydınız, şuna benzeyen yapıları kullanırdınız (sözde kod kullanıyorum):

Struct Node( int val; Sol düğüm; Sağ düğüm; )

İkili ağaçlar hakkında pek çok materyal var (ki bunu açıklıyorum), ama öncelikle dizi kavramından, "uzaydaki boyutlar gibi" kavramından ve çok daha fazlası, yalnızca öğeleri depolayabilen bir veri yapısından uzaklaşmanızı istedim. Bazen bir ikili ağaç veya başka bir veri yapısı çok karmaşık olabilir ve 5 veya daha fazla boyutlu bir dizi, veri depolamak için daha uygun olabilir. Şu anda aklıma bir örnek gelmiyor ama daha önce kullanılmışlardı.

Fiziksel 3B varlıklar olarak 4, 5, 6 (veya daha yüksek) fiziksel boyutların neyi temsil ettiğini "görselleştiremeyiz".

4. boyut algımızı 4. yöne doğru artıracaktır Bu, doğal olarak algıladığımız yükseklik, genişlik ve derinlik yönlerine dik olacaktır. Evet - geometri tuhaftı!!

Bize bu fikir hakkında bir fikir vermek için, bu videoda Carl Sagan 2. dünyada yaşayan, 2 metrelik tamamen düz bir varlığın (küçük kare) gizemli bir 3 boyutlu varlıkla tanışmasının nasıl bir his olacağını hayal ediyor.
Bu üç boyutlu yaratık (şüphe verici bir şekilde elmaya benzeyen), esas olarak küçük karenin "göremediği" bu gizemli üçüncü boyutta var oluyor. Elma üzerinde yalnızca 2 boyutlu düz dünyası ile kesişen noktaları algılar, yani. Onun projeksiyonu...

Video günümüz standartlarına göre eski moda görünüyor ancak fizik/geometri açısından bakıldığında hala gördüğüm en iyi açıklama.

Üç boyuttan daha büyük bir uzayın olasılığına ilişkin tartışmalar sürüyor. Bu tür görüşler matematik ve fizikteki soyut çok boyutlu uzaylar kavramından esinlenmiştir. Fizikte bu kavram şu şekilde kullanılır: uygun yolüç uzamsal koordinata zaman ve bir dizi başka parametre eklendiğinde yapılan açıklamalar. Bu parametrelerin sayısı, uzay-zaman özellikleriyle birlikte n ise bunların oluştuğu kabul edilir. n boyutlu uzay. Yeterli olduğunda büyük miktarlarözellikleri ve birbiriyle ilişkili değişkenler, çok boyutlu ve hatta kavramına gelebilir. sonsuz uzay ancak bu kavram oldukça şartlı olacaktır çünkü tamamen farklı özellikleri karakterize etmek için kullanılacaktır.

Örneğin, bir kağıt yığını alırsanız (sayfanın düzlemindeki her şey iki boyutlu bir alandır) ve bu yığını bir çatalla delerseniz, o zaman her sayfada (iki boyutlu bir boşluk) dört delik şeklinde çatalın izi olacaktır. İki boyutlu uzayda "yaşayanlar" bu dört deliği hiçbir zaman tek bir bütün halinde birleştiremeyeceklerdir. bunların çatalın ve onunla etkileşimin bir "izi" olduğunu hayal edin. Bu nedenle, iki boyutlu uzay ve onun "sakinleri" perspektifinden bakıldığında çatal temsil için erişilemezdir.

Başka bir örnek. Eğer hayal edersen yatay düzlem Ağacın tepesini yere paralel olarak geçerseniz, bu düzlemde dalların bölümleri ayrı ve birbiriyle tamamen ilgisiz görünecektir. Ve bizim uzayımızda bu, bir ağacın dallarının birlikte tek bir tepeyi oluşturan, tek kökten beslenen, tek gölgeye sahip bir kesitidir. Yani belki üç boyutlu cisimler Uzayımızın dört boyutlu cisimlerinin küremizde bizim için anlaşılmaz görüntüleri var mı? Ya da belki de her türlü anormal olay beynimizde kalan “izlerdir”. üç boyutlu uzay dört boyutluluğun sakinleri mi?

Her türden "kötü ruhların" bazen mütevazı üç boyutlu dünyamıza "süründüğü", her türden "uzaylılar" da dahil olmak üzere "dördüncü boyut" veya kısaca "başka bir boyut" kavramına zaten alışkınız. Bir yandan, diğer yandan her şey geri dönülmez bir şekilde ortadan kayboluyor, insanlar, gemiler, uçaklar.

“Öteki” boyut arayışının tarihi dramlarla doludur, kendi peygamberleri ve kendi peygamberleri vardır. kötü dahiler. Bilimin yolları garip ve öngörülemezdir ve yüzyılın başında bilimsel bir yön olarak reddedilen şey, yüzyılın sonunda birdenbire yoğun bir ilgi uyandırmıştır. Herhangi birinin geçmişi bilimsel yön köklerinden başlamak gerekir. “Öteki” mekanların varlığına dair ilk ipuçları Giordano Bruno'nun eserlerinde bulunabilir. Ama sadece 19. yüzyılın ortaları V. Fizikçiler ve matematikçiler ilk kez çekingen bir şekilde başka, daha yüksek boyutların var olma olasılığı sorusunu gündeme getirdiler. Bu problem en basit şekilde matematiksel olarak çözüldü ve konuyu tartışmaya açan ilk kişi, yeni Öklid dışı geometrilerin yaratıcılarından biri olan B. Riemann'ın "On the hipotezler üzerine" adlı eserinde oldu.

"geometrilerin temeli", özellikle n kat genişletilmiş miktarlara ayrılmıştır. Hemen hemen aynı sıralarda bu sorun fizikçileri de etkilemeye başladı ve E. Mach bu konuya ilk değinenlerden biri oldu: “Hâlâ atom teorisinin etkisi altındayken, bir keresinde bunu açıklamaya çalışmıştım. spektral çizgiler gazlar... Bunda karşılaştığım zorluklar, 1863'te beni, üç boyutlu hassas uzayımızda duyarsız şeylerin mutlaka temsil edilmesinin gerekmediği fikrine götürdü.”

Einstein'ın 20. yüzyılın başında ortaya çıkan görelilik teorisi, en abartılı olanlar da dahil olmak üzere fiziksel fikirlerin geliştirilmesi için muazzam bir alan sağladı. Einstein, şimdiye kadar sarsılmaz uzay ve zaman kavramlarını ihlal eden, SRT'de referans çerçevesine, hareket hızına ve ardından GRT'de yerçekimi alanının gücüne bağımlılıklarını gösteren ilk kişilerden biriydi.

Daha sonra birçok bilim adamı, uzayımızın neden tam olarak üç boyuta sahip olduğu veya başka bir deyişle üç boyutlu uzaydaki geometri ve fiziği, çok boyutlu uzaylardaki geometri ve fizikten ayıran özellikler nelerdir? sorusunu düşünmeye başladı.

1917'de genel göreliliğe dayanarak Einstein, Evrenin sabit, kapalı küresel bir modelini yarattı. Karakteristik özellik Bu model uzayın sonluluğuydu, ancak iç geometri açısından bakıldığında uzay sınırsız gibi görünüyordu. Bunda hiçbir çelişki yoktur. Örneğin, bizim bakış açımıza göre bir balonun yüzeyi sonludur, ancak iç yüzeyi boyunca sürünen bir sineğin bakış açısına göre sınırsız olacaktır.

Ancak karar verirken standart denklemler bazı zorluklar ortaya çıktı. Almak için istatistiksel çözümler Einstein, kozmolojik terim I olarak adlandırılan belirli bir katsayıyı tanıtmak zorunda kaldı. Einstein tarafından türetilen denklemler, üç çözüm ve buna bağlı olarak hem Evrenin hem de uzayın üç modelini vermeleri açısından ilginçtir. Einstein'ın uzay-zaman dünyası tamamen statiktir. Sınırsız zaman eksenine sahip silindirik 4 boyutlu bir dünya olarak temsil edilebilir, yani. bu modele göre zaman

Uzay-zaman sürekliliğinin değişken bölümü, uzaysal bölümün aksine sonsuzdur.

Popüler dile tercüme edersek, Einstein'ın dünyası, içindeki maddenin varlığı nedeniyle kavisli ve kendi üzerine kapalı olan 3 boyutlu bir fiziksel uzaydır. Zamanda başlangıcı ve sonu olmayan 4 boyutlu bir küre (hipersfer). Üç boyutlu dünyayı yalnızca 4 veya daha fazla alanda bükebilirsiniz yüksek siparişölçümler. Bu açıkça tam hak eşitliği anlamına gelir dördüncü boyut mevcut üç olanla ilgili olarak.

Einstein'ın yaşadığı yıllarda ve sonrasında birçok bilim adamı uzayın n boyutluluğuna ilişkin fikirler ortaya atmış ve teoriler sunmuştur. Einstein'ın bir zamanlar başaramadığı şey, birçoğu zaten ödül almış olan modern teorisyenlerden oluşan bir galaksi tarafından oldukça başarılı bir şekilde çözülmüştür. Nobel Ödülleri. Bu A. Salash, S. Weinberg, S. Glashow. İçinde modern teoriler Büyük Birleşme, üçünü tek bir kavram altında buluşturmayı başardılar. farklı türlerölçüm alanları kullanılarak tanımlanabilecek etkileşimler (yerçekimsel olanlar şu ana kadar "denizde kaldı"). Gösterge alanlarının ana özelliği, bu yaklaşıma zarafetini veren ve geniş perspektifler açan soyut simetrilerin varlığıdır. Kaluza-Klein teorisinin hayata döndürülmesinde, ayar alanlarının simetrileri, uzayın ek boyutlarıyla ilişkili somut geometrik simetrilere dönüşür.

Orijinal versiyonda olduğu gibi, teorideki etkileşimler, uzay-zamana ek uzaysal boyutlar eklenerek tanıtılmaktadır. Ancak artık üç tür etkileşime yer vermek gerektiğinden, bir değil birkaçını devreye sokmak gerekiyor. ek boyutlar. Büyük Birleşme teorisinde yer alan operasyonların sayısının basit bir hesaplaması, ek olarak 7 uzaysal boyut gerektirir; zamanı hesaba katarsak, tüm uzay-zamanın 11 boyutu vardır. Böylece, modern versiyon Kaluza-Klein teorisi, 11 boyutlu bir Evreni, 7 uzaysal ortak-

koordinatları çökmüş ve bu nedenle prensipte gözetilmeyen.

Bilim doğadaki dört temel etkileşimi bilir:

■ haşhaş ölçeğinde elektromanyetik ve yerçekimsel
Romira;

■ mikrokozmos ölçeğinde zayıf ve güçlü.
Ancak, son yıllar V bilimsel çalışmalar tartışmak
başka bir mesafenin var olma olasılığı verilmiştir
makrokozmosta ulusal etkileşim - döndürmek, veya
burulma çubuğu bilgilerin kaydedilmesi ve iletilmesi
bir burulma alanı boyunca ilerleyin. Fiziksel
Görünüşe göre bu beşinci etkileşimin türü tamamen
diğer dört etkileşimden tamamen farklı,
çünkü buradaki bilgi aktarımı şu şekilde gerçekleştiriliyor:
Enerjinizi boşa harcamadan.

Modern eserler J. Wheeler, A. Perose, K. Pribram, P. Davis bu beşincinin varlığına izin veriyor temel etkileşim doğada - spintorsiyon etkileşimi. Onunla ilişkili alanlar (burulma alanları), Evrenin herhangi bir yerine neredeyse enerjisiz olarak bilgi aktarma ve ayrıca Evrendeki bilgi bağlantılarının "holografik doğasını" sağlama yeteneğine sahiptir.

Belirtilen paradigmaya göre, ilişkili hemen hemen tüm olgular duyusal algışifacıların fenomenleri ve biyoenerjetik (daha kesin olarak biyobilgisel) etkisi. Bu nedenle buna inanmak için her türlü neden var burulma alanları Psişik olaylardan sorumludur.

Günümüzde bu faaliyet alanı egzotik olmaktan çıktı. Artık birçok kuruluş, işletme ve araştırma enstitüsü buna katılıyor. Jeopatojenik radyasyona, bilgisayarlardan, bilgisayarlardan, televizyon alıcılarından ve diğer radyo-elektronik cihazlardan gelen radyasyona karşı koruma olarak kullanılabilecek filmlerden sentetik burulma önleyici ekranların üretimi halka satış için organize edilmiştir. Benzersiz özelliklere sahip yeni yapısal malzemeler yaratılıyor. Örneğin, Rusya ve Ukrayna'daki bilim adamları iki kat daha güçlü ve daha dayanıklı çelik ürettiler.

normalden altı kat daha esnektir. En çok çeşitli türler Burulma alanlarına yanıt veren sensörler.

Burulma alanlarını kullanma olasılıkları çok büyüktür. Gerçekten inanılmaz bilgi işlem yeteneklerine sahip, mikro düzeyde öğelere sahip yeni nesil bilgisayarlardan bahsetmek yeterli. Beşinci temel etkileşimin keşfi doğa anlayışımızı değiştirecek. Eğer yüzyılımız elektromanyetizmanın burcunda geçtiyse, bir sonraki yüzyıl burulma enerjisinin yüzyılı olacaktır.

Yapı

1 tetrahedronun 2 tetrahedrona dönüştürülmesi

2-tetrahedron'u 3-tetrahedron'a dönüştürme

Bilindiği gibi, herhangi bir N noktası aracılığıyla bir (N-1)-düzlemi çizilebilir ve içinden (N-1)-düzleminin çizilemeyeceği N+1 nokta kümesi vardır. Dolayısıyla, N+1, N-uzayındaki, tek bir (N-1)-düzleminde yer almayan ve bir N-çokyüzlünün köşeleri olarak hizmet edebilen minimum nokta sayısıdır.

Köşe sayısı N+1 olan en basit N-polihedron, bu ailenin üç boyutlu üyesinin adından dolayı N-tetrahedron olarak adlandırılır. Literatürde “simplex” adı da kabul edilmektedir. Daha düşük boyutlu uzaylarda bu tanım 4 rakama karşılık gelir:

• 0-tetrahedron (nokta) – 1 köşe;
• 1–tetrahedron (bölüm) – 2 köşe;
• 2 – tetrahedron (üçgen) – 3 köşe;
• 3-tetrahedron (aslında bir tetrahedron) – 4 köşe.

Bütün bu rakamların üç ortak özelliği var:

1. Tanıma uygun olarak her şeklin köşe sayısı uzay boyutundan bir fazladır;

2. Var genel kural alt boyuttaki figürleri daha yüksek boyuttaki figürlere dönüştürmek. Gerçek şu ki geometrik merkez bir sonraki boyuta bir dik inşa edilir, bu dikmenin üzerine yeni bir tepe noktası inşa edilir ve orijinal tetrahedronun tüm köşelerine kenarlarla bağlanır;

3. Paragraf 2'de açıklanan prosedüre göre, tetrahedronun herhangi bir köşesi kenarlarla diğer tüm köşelere bağlanır.

Tanımlanan küre

Herhangi bir N-tetrahedronun etrafında bir N-küre tanımlanabilir.

1-dört yüzlü için bu ifade açıktır. Tanımlanan 1-küre, 1-tetrahedronun kendisiyle çakışan bir parça olacak ve yarıçapı R = a/2 olacaktır. 1-tetrahedron'a bir nokta daha ekleyelim ve onun etrafında 2'li bir küre tanımlamaya çalışalım.

AB doğru parçası çapı olacak şekilde yarıçapı a/2 olan 2-küre s 0 oluşturalım. C noktası s 0 dairesinin dışında bulunuyorsa, dairenin yarıçapını artırarak ve onu C noktasına doğru kaydırarak üç noktanın da daire üzerinde olmasını sağlamak mümkündür. C noktası s 0 dairesinin içinde yer alıyorsa, yarıçapını artırarak ve C noktasının ters yönünde kaydırarak daireyi bu noktaya ayarlayabilirsiniz. Şekilden görülebileceği gibi, bu her durumda yapılabilir. C noktası AB noktalarıyla aynı doğru üzerinde değildir. C noktasının AB'ye göre asimetrik konumu bir engel değildir.

Düşünülüyor genel durum varsayalım ki, yarıçapı r olan ve (N-1) boyutlu bir şekil etrafında çevrelenmiş bir (N-1) küresi S N-1 olduğunu varsayalım. Kürenin merkezini orijine yerleştirelim. Kürenin denklemi şöyle görünecek

Merkezi (0, 0, 0, ... 0, h S) noktasında ve yarıçapı R olan bir N-küre inşa edelim ve

Bu kürenin denklemi

Denklem (1)'de x N = 0'ı yerine koyarsak, denklem (2)'yi elde ederiz. Dolayısıyla herhangi bir h S için S N-1 küresi S N küresinin bir alt kümesidir, yani onun x N = 0 düzlemine göre kesitidir.

C noktasının koordinatlarının (X 1, X 2, X 3, ..., X N) olduğunu varsayalım. Denklemi (2) forma dönüştürelim

ve C noktasının koordinatlarını yerine koyun:

Sol taraftaki ifade, R C'nin orijinden C noktasına olan uzaklığının karesidir, bu da son denklemi forma indirgememizi sağlar

buradan h S parametresini ifade edebiliriz:

X N = 0 dışında herhangi bir R C, X N ve r için h S'nin var olduğu açıktır. Bu, eğer C noktası S N-1 küresinin düzleminde bulunmuyorsa, her zaman h S parametresini şu şekilde bulabileceğiniz anlamına gelir: merkezi ( 0, 0, 0, ..., h S) olan S N küresi hem S N–1 küresi hem de C noktası yer alacaktır. Dolayısıyla, eğer N ise herhangi bir N+1 noktası etrafında bir N-küre tanımlanabilir. bu noktalar bir (N –1) küre üzerinde yer alır ve son nokta onlarla aynı (N-1) düzlemde yer almaz.

İkincisini tümevarımla uygulayarak, N-küresinin, eğer aynı (N-1)-düzleminde yer almıyorlarsa herhangi bir N+1 noktası etrafında tanımlanabileceğini söyleyebiliriz.

N-tetrahedronun yüz sayısı

Bir tetrahedronun N+1 köşesi vardır ve bunların her biri kenarlarla diğer tüm köşelere bağlanır.

Bir tetrahedronun tüm köşeleri birbirine bağlı olduğundan, köşelerinin herhangi bir alt kümesi aynı özelliğe sahiptir. Bu, bir tetrahedronun L+1 köşelerinin herhangi bir alt kümesinin, onun L boyutlu yüzünü tanımladığı ve bu yüzün kendisinin bir L-tetrahedron olduğu anlamına gelir. O halde bir tetrahedron için L boyutlu yüzlerin sayısı, L+1 köşelerini seçme yollarının sayısına eşittir. tam set N+1 köşe.

Bir N-çokyüzlüdeki L boyutlu yüzlerin sayısını K(L,N) sembolüyle gösterelim, o zaman bir N-dörtyüzlü için

n'den m'ye kadar olan kombinasyonların sayısı nerede?

Özellikle, en yüksek boyutun yüzlerinin sayısı köşelerin sayısına eşittir ve N+1'e eşittir:

Düzenli bir N-tetrahedron için formüller

L boyutlu yüzlerin sayısı
Yükseklik
Hacim
Sınırlandırılmış kürenin yarıçapı
Yazılı kürenin yarıçapı
Dihedral açı

Bazı yararlı oranlar

Wikimedia Vakfı.

• 2010.

Çeviri

Merhaba Habr. Harika “Siz ve işiniz” makalesini hatırlıyor musunuz (+219, 2222 yer imi, 350 bin okuma)?

Yani Hamming'in (evet, evet, kendi kendini izleyen ve kendi kendini düzelten Hamming kodları) onun derslerine dayanarak yazılmış bir kitabı var. Adam fikrini söylediği için buraya tercüme ediyoruz. Bu sadece BT ile ilgili bir kitap değil, aynı zamanda inanılmaz bir düşünme biçimi hakkında da bir kitap.. havalı insanlar "Bu sadece bir suçlama değil olumlu düşünme

; harika işler yapma şansını artıran koşulları anlatıyor.”

Zaten 6 (30 bölümden) bölümü tercüme ettik.

Bell Telefon Laboratuvarlarında, özellikle bölümde 30 yıllık aktif araştırmamın ardından profesör olduğumda matematiksel araştırma, Profesörlerin anlaması ve özetlemesi gerektiğini hatırladım geçmiş deneyim. Ayaklarımı masaya koydum ve geçmişimi düşünmeye başladım. İÇİNDE ilk yıllar Esas olarak hesaplamalarla ilgileniyordum, yani birçok şeye dahil oldum büyük projeler hesaplamalar gerektirir. Kısmen dahil olduğum birkaç büyük mühendislik sisteminin nasıl geliştirildiğini düşünürken, onlardan biraz uzakta, onların çok şey içerdiğini görmeye başladım. ortak unsurlar. Zamanla tasarım problemlerinin, n'nin bağımsız parametrelerin sayısı olduğu n boyutlu uzayda olduğunu anlamaya başladım. Evet 3 boyutlu nesneler yaratıyoruz ama bunların tasarımı çok boyutlu uzayda, her tasarım parametresi için 1 boyut.

Birçok boyutlu uzaylar kesin ayrıntılar olmadan sezgisel olarak anlaşılır hale getirmek için daha fazla kanıta ihtiyaç duyulacaktır. Bu nedenle şimdi n boyutlu uzayı ele alacağız.

Üç boyutlu uzayda yaşadığınızı sanıyorsunuz ama çoğu durumda iki boyutlu uzayda yaşıyorsunuz. Örneğin, hayatın rastgele akışında birisiyle tanışırsanız, o kişiyle tekrar tanışma şansınız makuldür. Ama 3 boyutlu dünyada bu şans yok! Okyanusta potansiyel olarak üç boyutta yaşayabilen balıkları düşünün. Yüzeyde ya da dipte hareket ederek nesneleri iki boyutla sınırlandırırlar ya da okullar oluştururlar ya da aynı anda tek bir yerde toplanırlar, örneğin bir haliç, bir kumsal, Sargasso Denizi vb. İçeri girerlerse bir arkadaşla tanışmayı bekleyemezler açık okyanusüç boyutlu. Veya örneğin uçakların çarpışmasını istiyorsanız, onları bir havaalanının yakınına toplamanız, 2 boyutlu uçuş seviyelerine yerleştirmeniz veya grup halinde göndermeniz gerekir; gerçekten rastgele uçuşlarda şu anda olduğundan daha az kaza yaşanırdı!

N boyutlu uzay, tasarım problemlerini çözerken orada dolaşırken başımıza neler geldiğini anlamak için keşfetmemiz gereken matematiksel bir yapıdır. İki boyutta Pisagor teoremine sahibiz, çünkü dik üçgen hipotenüsün karesi toplamına eşit diğer tarafların kareleri. Üç boyutta, paralelyüzün köşegeninin uzunluğuyla ilgileniyoruz, Şekil 2. 9.1. Bunu bulmak için önce bir yüzün köşegenini çizeriz, Pisagor teoremini uygularız, sonra onu üçüncü boyutun ona dik olan diğer tarafıyla birlikte kenarlarından biri olarak alırız ve yine Pisagor teoreminden şunu buluruz: köşegenin karesi üç karenin toplamıdır dik kenarlar. Açıkça bu kanıttan ve formülün gerekli simetrisinden şu sonuç çıkar: Daha fazlasına giderseniz yüksek boyutlar köşegen kareniz aynı zamanda karşılıklı dik kenarların karelerinin toplamına da eşit olacaktır,

Burada x i, n boyutlu uzayda dikdörtgen bir bloğun kenarlarının uzunluğudur.

Pirinç. 9.I

Geometrik yaklaşıma devam edersek, uzaydaki düzlemler basitçe x i'nin doğrusal kombinasyonları olacak ve bir noktanın etrafındaki küre, belirli bir noktadan sabit bir mesafede bulunan tüm noktalar olacaktır.

Sınırlı bir uzay parçasının boyutu fikrini anlayabilmek için n boyutlu bir kürenin hacmine ihtiyacımız var. Ama önce n! için Stirling yaklaşımına ihtiyacımız var; ayrıntıların çoğunu anlamanız ve bizim sözümüze güvenmek yerine aşağıdakilerin doğruluğundan emin olmanız için bunu türeteceğim.

N tipi bir ürünle! işlenmesi zor olduğundan log n! alırız, bu da şuna dönüşür:

Elbette ln e tabanının logaritmasıdır. Toplamlar bize bunların integrallerle ilişkili olduğunu hatırlatır, dolayısıyla buna benzer bir integralle başlayacağız.

Parçalara göre integrali kullanıyoruz (çünkü ln x'in cebirsel bir fonksiyonun integralinden geldiğini ve bu nedenle bir sonraki adımda elimine edilebileceğini biliyoruz). U=ln x, dV=dx olsun, o zaman

Öte yandan, yamuk formülünü elde ettiğimiz ln x integraline uygularsak, bkz. 9.II,

ln 1 = 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafına da (1/2) * ln n eklersek sonuçta elde ederiz

e'nin her iki tarafın kuvvetine yükselterek logaritmalardan kurtulalım.

C'nin n'den bağımsız belirli bir sabit (e'ye yakın) olduğu durumlarda, integrali yamuk formülle tahmin ettiğimiz için, n arttıkça hata giderek daha yavaş büyür.

Pirinç. 9.II

Giderek daha fazla, C'nin bir sınırı var. Bu Stirling formülünün ilk şeklidir. Sonsuza yaklaştıkça √(2*π)=2,5066... ​​​​(e=2,71828...) olduğu ortaya çıkan C sabitinin limitini hesaplamakla zaman kaybetmeyeceğiz. Böylece nihayet faktöriyel için Stirling formülünü elde ederiz.

Aşağıdaki tablo n! için Stirling yaklaşımının hatasını göstermektedir.

Lütfen sayılar arttıkça katsayının bire yaklaştığını ancak farkın giderek büyüdüğünü unutmayın!

2 işlevi düşünürseniz

O zaman f(n)/g(n) oranının n'nin sonsuza gittiği limiti 1'e eşittir, ancak tabloda olduğu gibi fark

N arttıkça büyür ve büyür.

Faktöriyel kavramını tüm pozitif gerçek sayılar kümesine genişletmemiz gerekiyor, bunun için gama fonksiyonunu bir integral biçiminde tanıtıyoruz.

Bu, tüm n>0 için mevcuttur. n>1 için bu sefer dV=e^(-x)dx ve U = x^(n-1) kullanarak tekrar parçalı integral alıyoruz. İki limit için integrallenebilir kısım 0'dır ve aşağıdaki formüle sahibiz

Böylece gama fonksiyonu (n-1) değerlerini alır! tüm pozitif tamsayılar için n ve doğal olarak faktöriyel kavramını tüm pozitif tamsayılar için genişletir pozitif sayılar, çünkü integral her n > 0 için mevcuttur.

İhtiyacımız olacak

Önce x=t^2'yi, sonra dx=2t*dt'yi gösterelim ve elde ederiz (son adımda simetriyi kullanarak)

Şimdi bu integrali hesaplamak için standart yaklaşımı kullanıyoruz. Biri x değişkenine göre, diğeri y değişkenine göre olmak üzere iki integralin çarpımını elde ederiz.

X^2 + y^2 şunu ima eder: kutupsal koordinatlar, hadi onu forma dönüştürelim

Açı entegrasyonu basittir. Üstel entegrasyon da artık basit ve sonunda şunu elde ediyoruz.

Böylece,

Şimdi n boyutlu kürenin (ya da isterseniz hiperkürenin) hacmine dönelim. Kenarı x olan n boyutlu bir küpün hacminin x^n'ye eşit olduğu açıktır. Biraz düşündükten sonra n boyutlu bir kürenin hacim formülünün şu şekilde görünmesi gerektiğini anlayacaksınız:

Burada Cn karşılık gelen sabittir. n = 2 durumu için sabit π'ye, n=1 durumu için ise 2'ye eşittir (düşünürseniz). Üç boyutlu durumda C 3 = 4*π/3 elde ederiz.

1/2 gama fonksiyonu için kullandığımız yöntemin aynısıyla başlayacağız, ancak bu sefer her biri kendi değişkeni x i olan n adet integralin çarpımını alacağız. Bir kürenin hacmi, yüzeylerin hacimlerinin toplamı olarak temsil edilebilir; bu toplamın her bir terimi, yüzey alanı ile dr kalınlığının çarpımına karşılık gelir. Bir küre için yüzey alanının değeri, kürenin hacminin r yarıçapına göre farklılaştırılmasıyla elde edilebilir,

Ve bu nedenle hacim terimleri eşittir

r^2=t'yi eşitlersek, elimizde

Bunu nereden alıyoruz?

Bunu görmek kolaydır

Ve aşağıdaki tabloyu hesaplayabiliriz.

Böylece C n katsayısının n=5'e yükseldiğini ve daha sonra 0'a düştüğünü görüyoruz. Birim yarıçaplı küreler için bu, boyut arttıkça kürenin hacminin sıfıra doğru yöneldiği anlamına gelir. Yarıçap r'ye eşitse hacim için kolaylık sağlamak amacıyla n=2k gösterilir (çünkü gerçek sayılar n arttıkça ve tek boyutlu kürelerin hesaplanması zorlaştıkça düzgün bir şekilde değişir),

Pirinç. 9.III

Yarıçap r ne kadar büyük olursa olsun, n boyutlarının sayısı artırıldığında hacmi keyfi olarak küçük olan bir küre ortaya çıkar.

Şimdi n boyutlu bir kürenin yüzeyine yakın olan göreceli hacim miktarını düşünün. Kürenin yarıçapı r ve yüzeyin iç yarıçapı r(1-ε) olsun, o zaman yüzeyin bağıl hacmi şöyle olur:

Büyük n için, yüzey ne kadar ince olursa olsun (yarıçapa göre), içinde neredeyse hiçbir şey yoktur. Söylediğimiz gibi hacim neredeyse tamamen yüzeyde. 3 boyutlu uzayda bile birim küre, 1/2 yarıçap kalınlığındaki bir yüzeyin içinde hacminin 7/8'ine sahiptir. N boyutlu uzayda 1-(1/2)^n yüzeyden yarıçapın yarısı kadar içeride.

Bu tasarımda önemlidir; Yukarıdaki hesaplamalar ve veri dönüşümleri sonrasında, en uygun tasarımın düşündüğünüz gibi derinlerde değil, neredeyse kesinlikle yüzeyde olacağı ortaya çıktı. Hesaplamalı yöntemler genellikle çok boyutlu uzaylarda optimumu aramaya uygun değildir. Bu hiç de tuhaf değil; genel olarak konuşursak en iyi tasarım- bu, bir veya daha fazla parametreyi en uç noktaya getirmektir - açıkçası, görünür tasarım alanının yüzeyine çıkacaksınız!

Daha sonra n boyutlu bir küpün köşegenine, yani başlangıç ​​noktasından koordinatları (1,1,...,1) olan noktaya kadar olan vektöre bakacağız. Bu çizgi ile herhangi bir eksen arasındaki açının kosinüsü, tanım gereği, belirli bir eksen üzerindeki çıkıntının uzunluğunun koordinat değerinin, açıkça 1'e eşit olan, vektörün eşit uzunluğuna oranı olarak verilir. √n'ye. Buradan

Bundan, büyük n için köşegenin her koordinat eksenine neredeyse dik olduğu sonucu çıkar!

Koordinatları (±1, ±1,..., ±1) olan noktaları dikkate alırsak, her koordinat eksenine hemen hemen dik olan bu tür 2n adet köşegen olacaktır. Örneğin n=10 için sayıları 1024 yani hemen hemen dik çizgilerdir.

İki vektör arasındaki açıya ihtiyacım var ve bunun vektörlerin nokta çarpımı olduğunu hatırlayacaksınız, ancak neler olduğunu daha iyi anlamak için tekrar yazdırmanızı öneririm. [Açıklama; Önemli durumlarda, neler olup bittiğine dair bir fikir edinmek için temeldeki tüm çıkarımları gözden geçirmenin çok yararlı olduğunu buldum.] Karşılık gelen x i ve y i koordinatlarıyla birlikte iki x ve y noktası alın. Pirinç. 9.III. Kosinüs teoremini 3 nokta x, y ve orijin düzlemine uyguladığımızda, şunu elde ederiz:

Burada X ve Y, parçaların x ve y noktalarına olan uzunluklarıdır. Ancak C, her eksen boyunca koordinatlardaki farklılıklar kullanılarak elde edilebilir.

Gördüğümüz iki ifadeyi eşitlemek

Şimdi bu formülü orijinden çizilen iki parçaya uygulayalım. rastgele nokta bir dizi koordinattan

(±1, ±1,..., ±1)

Rastgele alınan bu tür iki faktörün nokta çarpımı yine ±1'e eşittir ve bu, her bir parçanın uzunluğu √n olacak şekilde n kez toplanmalıdır, bu nedenle (payda n'yi not edin)

Ve zayıf kanunla büyük sayılar n neredeyse kesin olarak arttıkça bu 0'a doğru yönelir. Ama 2^n rastgele vektör var ve verilen vektör 2^n rastgele vektörün geri kalanı neredeyse kesinlikle buna neredeyse dik! n-boyutluluk gerçekten çok büyüktür!

Doğrusal cebirde ve diğer disiplinlerde, bir dizi dik eksen bulmayı ve sonra bu koordinat sistemindeki diğer her şeyi temsil etmeyi öğrenirsiniz, ancak bunu n boyutlu uzayda n'yi karşılıklı dik bulduktan sonra görürsünüz. koordinat eksenleri, neredeyse 2^n başka yön var dikey temalar bulduğun! Teori ve pratik doğrusal cebir tamamen farklı!

Son olarak, n boyutlu uzay hakkındaki sezgilerinizin pek iyi olmadığını daha da kanıtlamak için, daha sonraki bölümlerde ihtiyaç duyacağım başka bir paradoks üreteceğim. 4x4'lük bir karenin 4'e bölünmesiyle başlayalım birim kare, her birinde çizdiğimiz birim çember, Pirinç. 9.IV. Daha sonra, merkezi karenin merkezinde olacak şekilde, geri kalanına dokunacak şekilde bir daire çizeceğiz. içeri. Yarıçapı Şekil 2'den olmalıdır. 9.IV,

3 boyutlu uzayda 4x4x4 boyutunda bir küp ve birim yarıçaplı 8 küremiz var. Merkezleri birleştiren parçaların üzerinde bulunan bir noktada diğerlerine değen iç kürenin yarıçapı vardır.

Yarıçapının neden 2 boyuttan büyük olduğunu düşünün.

N boyuta hareket edersek, 4x4x...x4'lük bir küpümüz ve her köşesinde birer tane olmak üzere, her biri diğerine n bitişik olana değen 2^n küremiz var. Diğerlerine içeriden temas eden iç kürenin yarıçapı olacaktır.

Dikkatlice kontrol edin! Emin misin? Değilse neden olmasın? Akıl yürütmedeki hata nerede?
Bunun doğru olduğunu doğruladıktan sonra bunu n=10 ölçüm durumuna uyguluyoruz. İç küre için yarıçapımız var

Pirinç. 9.IV

Ve 10 boyutlu uzayda iç küre küpün sınırlarının ötesine geçiyordu. Evet küre dışbükeydir, evet diğer 1024'e içeriden temas eder ve aynı zamanda küpün sınırlarının ötesine uzanır!

Bu, n boyutlu uzay hakkındaki hassas sezgileriniz için çok fazla, ancak n boyutlu uzayın genellikle karmaşık nesnelerin tasarımının gerçekleştiği yer olduğunu unutmayın. Az önce açıklanan şeyleri, bunların nasıl doğru olabileceğini veya daha doğrusu neden doğru olması gerektiğini görene kadar düşünerek n boyutlu uzay hakkında daha iyi bir fikir edinmeye çalışmalısınız. Aksi takdirde karar verdiğinizde sorun yaşarsınız zor görev tasarım. Belki de yarıçapı yeniden hesaplamanız gerekir farklı boyutlar ve ayrıca köşegenler ve koordinat eksenleri arasındaki açılara dönün ve nasıl sonuçlandığını görün.

Şimdi, tüm bunları klasik Öklid uzayında, karşılık gelen koordinatların kare farklarının toplamının noktalar arasındaki mesafenin karesine eşit olduğu Pisagor mesafesini kullanarak yaptığımı kesinlikle belirtmek gerekir. Matematikçiler bu mesafeye L 2 adını verirler.

L1 alanı koordinat farklılıklarının karelerinin toplamını değil, mesafelerin toplamını kullanır, sanki dikdörtgen sokak ızgarasına sahip bir şehirde seyahat ediyormuşsunuz gibi. Ne kadar ileri gitmeniz gerektiğini size söyleyen iki nokta arasındaki farkların toplamıdır. Bilgisayarda buna daha sonraki bölümlerde açıklığa kavuşturulacak nedenlerden dolayı genellikle "Hamming mesafesi" adı verilir. Bu uzayda iki boyutlu bir daire, üstte duran kareye benzer. 9.V. Üç boyutlu uzayda bu, üstünde duran bir küp gibidir, vs. Artık yukarıdaki örnekteki paradoksal iç kürenin küpün ötesine nasıl uzanabileceğini daha iyi görebilirsiniz.

L∞ veya Chebyshev mesafesi adı verilen, sıklıkla kullanılan üçüncü bir ölçüm vardır (hepsi metrik = mesafenin fonksiyonlarıdır). Burada koordinatlardaki maksimum fark, diğer farklara bakılmaksızın mesafe olarak alınır, Şekil 1. 9.VI. Bu uzayda bir daire bir karedir, bir 3 boyutlu küre bir küptür ve bu durumda paradoksun iç küresinin tüm yönlerde sıfır yarıçapa sahip olduğunu görüyorsunuz.

Bunlar metrik örnekleri, mesafe ölçüleriydi. İki x ve y noktası arasındaki D(x,y) metriğini belirleme koşulları aşağıdaki gibidir:

1. D(x,y) ≥ 0 (negatif değil)
2. D(x,y) = 0 ancak ve ancak x=y ise (özdeşlik)
3. D(x,y) = D(y,x) (simetri)
4. D(x,y) + D(y,z) ≥ D(x,z) (üçgen eşitsizliği).

Pirinç. 9.V

Pirinç. 9.VI

Üç ölçüt L ∞ , L 2 ve L 1'in (Chebyshev, Pisagor ve Hamming) hepsinin bu koşulları karşılayıp karşılamadığını kontrol etmeyi size bırakıyorum.

Gerçek şu ki, farklı koordinatlar için karmaşık tasarımda bu metriklerden herhangi birini bir arada kullanabiliriz, böylece tasarım alanı tam bir resim değil, küçük parçaların bir karışımı olur. L 2 metriği açıkça aşağıdakilerle ilgilidir: en küçük kareler ve geri kalan iki L ∞ ve L 1 karşılaştırmalara daha benzer. Karşılaştırma yaparken gerçek hayat genellikle herhangi bir karakteristikte maksimum L ∞ farkını kullanırsınız: yeterli koşul iki öğeyi ayırt etmek için veya bazen, bit dizilerinde olduğu gibi, önemli olan uyumsuzlukların sayısıdır ve karelerin toplamı uygun değildir, bu da L 1 metriğinin kullanıldığı anlamına gelir. Bu daha büyük ölçüde AI'da model tanımlama için doğrudur.

Ne yazık ki, yukarıdakilerin hepsi doğru olsa da, bunlar size nadiren açıklanır. Kimse bana bundan bahsetmedi! Daha sonraki bölümlerde pek çok sonuca ihtiyacım olacak, ancak genel olarak konuşursak, bu gösteriden sonra karmaşık tasarım ve kapsamlı analiz yapmaya çalıştığım gibi tasarımın gerçekleştirildiği alan. Dağınıklık temel olarak tasarımın devreye girdiği yerdir ve uygulanabilir bir çözüm bulmanız gerekir.

L 1 ve L ∞ genel olarak bilinmediğinden, üç metrik hakkında birkaç yorum yapmama izin verin. L2, fiziksel ve geometrik durumlarda kullanıma yönelik, veri çıkarma da dahil olmak üzere doğal bir uzaklık fonksiyonudur. fiziksel ölçümler. Bu yüzden L 2'yi fizikte her yerde bulursunuz. Ama konu entelektüel yargılar olunca diğer 2 ölçü daha uygun, her ne kadar algılanması yavaş olsa da o yüzden sık sık görüyoruz. sık kullanım Açıkça L2'nin bir ölçüsü olan ki-kare tahmin edicileri, burada daha uygun diğer tahmin edicilerin kullanılması gerekir.

Devam edecek...

Kim çeviri konusunda yardım etmek ister - kişisel bir mesaj veya e-posta gönderin ".) Çeviride kim yardım etmek ister - kişisel bir mesaj veya e-postayla yazın