İrrasyonel eşitsizlikler tablosunu çözme yöntemleri. Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

İÇİNDE bu dersİrrasyonel eşitsizliklerin çözümünü ele alacağız, vereceğiz çeşitli örnekler.

Konu: Denklemler ve eşitsizlikler. Denklem ve eşitsizlik sistemleri

İrrasyonel eşitsizlikleri çözerken genellikle eşitsizliğin her iki tarafını da bir dereceye kadar yükseltmek gerekir; bu oldukça sorumlu bir işlemdir. Özelliklerini hatırlayalım.

Her ikisi de negatif değilse eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınabilir, ancak o zaman gerçek bir eşitsizlikten gerçek bir eşitsizlik elde edebiliriz.

Her durumda eşitsizliğin her iki tarafının küpü alınabilir; eğer orijinal eşitsizlik doğruysa, o zaman küpü aldığımızda gerçek eşitsizliği elde ederiz.

Formun bir eşitsizliğini düşünün:

Radikal ifade negatif olmamalıdır. Fonksiyon herhangi bir değeri alabilir; iki durumun dikkate alınması gerekir.

İlk durumda eşitsizliğin her iki tarafı da negatif değil, bunun karesini alma hakkımız var. İkinci durumda sağ taraf negatiftir ve onun karesini alma hakkımız yoktur. Bu durumda eşitsizliğin anlamına bakmak gerekir: işte pozitif bir ifade ( karekök) Daha olumsuz ifade Bu, eşitsizliğin her zaman karşılandığı anlamına gelir.

Yani, aşağıdaki çözüm şemasına sahibiz:

Birinci sistemde radikal ifadeyi ayrıca korumuyoruz, çünkü sistemin ikinci eşitsizliği sağlandığında radikal ifadenin otomatik olarak pozitif olması gerekir.

Örnek 1 - eşitsizliği çözün:

Diyagrama göre, iki eşitsizlik sisteminin eşdeğer bir kümesine geçiyoruz:

Örnekleyelim:

Pirinç. 1 - örnek 1'in çözümünün gösterimi

Gördüğümüz gibi mantıksızlıktan kurtulduğumuzda, örneğin karesini alırken bir dizi sistem elde ederiz. Bazen bu karmaşık tasarım basitleştirilebilir. Ortaya çıkan kümede, ilk sistemi basitleştirme ve eşdeğer bir küme elde etme hakkına sahibiz:

Gibi bağımsız egzersiz bu kümelerin denkliğini kanıtlamak gerekir.

Formun bir eşitsizliğini düşünün:

Önceki eşitsizliğe benzer şekilde iki durumu ele alıyoruz:

İlk durumda eşitsizliğin her iki tarafı da negatif değil, bunun karesini alma hakkımız var. İkinci durumda sağ taraf negatiftir ve onun karesini alma hakkımız yoktur. Bu durumda eşitsizliğin anlamına bakmak gerekir: Burada pozitif ifade (karekök) negatif ifadeden küçüktür, bu da eşitsizliğin çelişkili olduğu anlamına gelir. İkinci sistemi düşünmeye gerek yok.

Sahibiz eşdeğer sistem:

Bazen irrasyonel eşitsizlikler çözülebilir grafiksel yöntem. Bu yöntem karşılık gelen grafikler oldukça kolay bir şekilde oluşturulabildiğinde ve kesişme noktaları bulunabildiğinde uygulanabilir.

Örnek 2 - eşitsizlikleri grafiksel olarak çözün:

İlk eşitsizliği zaten çözdük ve cevabı biliyoruz.

Eşitsizlikleri grafiksel olarak çözmek için, sol tarafta fonksiyonun grafiğini ve sağ tarafta fonksiyonun grafiğini oluşturmanız gerekir.

Pirinç. 2. Fonksiyonların grafikleri ve

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için parabolü bir parabole dönüştürmek (bunu y eksenine göre yansıtmak) ve elde edilen eğriyi 7 birim sağa kaydırmak gerekir. Grafik bunu doğruluyor bu fonksiyon tanım alanında monoton bir şekilde azalır.

Bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir ve oluşturulması kolaydır. Y ekseniyle kesişme noktası (0;-1)'dir.

Birinci fonksiyon monoton olarak azalır, ikincisi ise monoton olarak artar. Denklemin bir kökü varsa, o zaman tek kök budur; bunu grafikten tahmin etmek kolaydır: .

Argüman değeri ne zaman daha az kök, parabol düz çizginin üzerindedir. Argümanın değeri üç ile yedi arasında olduğunda düz çizgi parabolün üzerinden geçer.

Cevabımız var:

Etkili yöntemİrrasyonel eşitsizliklerin çözümünde aralık yöntemi kullanılır.

Örnek 3 - eşitsizlikleri aralık yöntemini kullanarak çözün:

Aralık yöntemine göre geçici olarak eşitsizlikten uzaklaşmak gerekiyor. Bunu yapmak için verilen eşitsizlikteki her şeyi aktarın sol taraf(sağda sıfır olsun) ve sol tarafa eşit bir fonksiyon girin:

Şimdi ortaya çıkan fonksiyonu incelememiz gerekiyor.

ODZ:

Bu denklemi zaten grafiksel olarak çözdük, bu yüzden kökü belirleme üzerinde durmuyoruz.

Şimdi sabit işaretli aralıkları seçmek ve her aralıkta fonksiyonun işaretini belirlemek gerekir:

Pirinç. 3. İşaret sabitliği aralıkları örneğin 3

Bir aralıktaki işaretleri belirlemek için bir deneme noktası alıp onu fonksiyona koymak gerektiğini hatırlayalım; fonksiyon, ortaya çıkan işareti tüm aralık boyunca koruyacaktır.

Sınır noktasındaki değeri kontrol edelim:

Cevap açıktır:

düşünelim sonraki tür eşitsizlikler:

İlk önce ODZ'yi yazalım:

Kökler mevcut, negatif değiller, her iki tarafın karesini alabiliriz. Şunu elde ederiz:

Eşdeğer bir sistemimiz var:

Ortaya çıkan sistem basitleştirilebilir. İkinci ve üçüncü eşitsizlikler sağlandığında birinci eşitsizlik otomatik olarak doğrudur. Sahibiz::

Örnek 4 - eşitsizliği çözün:

Şemaya göre hareket ediyoruz - eşdeğer bir sistem elde ediyoruz.

Bu konunun görevlerini iyi bir şekilde çözmek için, özellikle "İrrasyonel denklemler ve sistemler" ve "Rasyonel eşitsizlikler" konularındaki önceki bazı konuların teorisine mükemmel bir şekilde hakim olmanız gerekir. Şimdi irrasyonel eşitsizliklerin (yani köklü eşitsizliklerin) çözümünde kullanılan ana teoremlerden birini yazalım. Yani her iki işlev de varsa F(X) Ve G(x) negatif değilse eşitsizlik:

Aşağıdaki eşitsizliğe eşdeğerdir:

Başka bir deyişle, bir eşitsizliğin sağında ve solunda negatif olmayan ifadeler varsa bu eşitsizlik güvenli bir şekilde herhangi bir kuvvete yükseltilebilir. Peki, tüm eşitsizliği tek bir kuvvete yükseltmeniz gerekiyorsa, o zaman bu durumda solun negatif olmamasını gerektirmeye bile gerek yoktur ve doğru parçalar eşitsizlikler. Böylece, kısıtlama olmaksızın herhangi bir eşitsizliğin tek gücüne yükseltilebilir. Bir eşitsizliği eşit güce çıkarmak için bu eşitsizliğin her iki tarafının da negatif olmadığından emin olmak gerektiğini bir kez daha vurgulayalım.

Bu teorem tam olarak irrasyonel eşitsizliklerde çok alakalı hale gelir; Köklü eşitsizliklerde, çoğu örneği çözebilmek için eşitsizlikleri bir dereceye kadar yükseltmek gerekir. Elbette irrasyonel eşitsizliklerde, esas olarak iki standart koşuldan oluşan ODZ'nin çok dikkatli bir şekilde dikkate alınması gerekir:

Çift dereceli kökler negatif olmayan ifadeler içermelidir;
Kesirlerin paydaları sıfır içermemelidir.

Şunu da hatırlayalım Çift kökün değeri her zaman negatif değildir.

Yukarıdakilere uygun olarak, eğer irrasyonel bir eşitsizliğin ikiden fazla karekökü varsa, eşitsizliğin (veya başka bir çift kuvvetin) karesini almadan önce, eşitsizliğin her iki tarafında negatif olmayan ifadelerin olduğundan emin olmak gerekir; kareköklerin toplamı. Eşitsizliğin bir tarafında köklerde farklılık varsa, bu tür bir farkın işareti hakkında önceden hiçbir şey bilinemez, bu da eşitsizliğin eşit bir kuvvete yükseltilmesinin imkansız olduğu anlamına gelir. Bu durumda, önünde eksi işareti bulunan kökleri şuraya aktarmanız gerekir: zıt taraflar Eşitsizliklerde (soldan sağa veya tam tersi), dolayısıyla köklerin önündeki eksi işaretleri artıya dönüşecek ve eşitsizliğin her iki tarafında yalnızca köklerin toplamları elde edilecektir. Ancak bundan sonra tüm eşitsizliğin karesi alınabilir.

Matematiğin diğer konularında olduğu gibi irrasyonel eşitsizlikleri çözerken kullanabileceğiniz değişken değiştirme yöntemi. Önemli olan, değiştirmeyi uyguladıktan sonra yeni ifadenin daha basit hale gelmesi ve eski değişkeni içermemesi gerektiğini unutmamaktır. Ayrıca ters değişim yapmayı da unutmamalısınız.

Göreceli olarak basit ama yaygın olan birkaç irrasyonel eşitsizlik türü üzerinde duralım. Bu tür eşitsizliklerin ilk türü, çift dereceli iki kök karşılaştırıldı yani formda bir eşitsizlik var:

Bu eşitsizlik her iki tarafta da negatif olmayan ifadeler içerdiğinden güvenli bir şekilde 2'nin kuvvetine yükseltilebilir. N bundan sonra ODZ'yi dikkate alarak şunu elde ederiz:

Lütfen ODZ'nin yalnızca daha küçük olan radikal ifade için yazıldığını unutmayın. Diğer ifade otomatik olarak sıfırdan büyük olacaktır, çünkü birinci ifadeden büyüktür ve bu da sıfırdan büyüktür.

ne zaman eşit bir kökün bazılarından daha büyük olduğu varsayılır rasyonel ifade

Böyle bir eşitsizliğin çözümü iki sistemden oluşan bir kümeye geçilerek gerçekleştirilir:

Ve son olarak, şu durumda çift derecenin kökünün bazı rasyonel ifadelerden daha az olduğu varsayılır yani formda irrasyonel bir eşitsizliğin olması durumunda:

Böyle bir eşitsizliğin çözümü sisteme geçilerek gerçekleştirilir:

Tek dereceli iki kökün karşılaştırıldığında veya tek dereceli bir kökün herhangi bir rasyonel ifadeden büyük veya küçük olduğunun varsayıldığı durumlarda, eşitsizliğin tamamını istediğiniz tek dereceye yükseltebilir ve böylece tüm eşitsizliklerden kurtulabilirsiniz. kökler. Bu durumda, eşitsizlikler herhangi bir kısıtlama olmaksızın ve kökler altında tek bir kuvvete yükseltilebildiğinden, ilave ODZ ortaya çıkmaz. tek dereceler herhangi bir işaretin ifadeleri görünebilir.

Genelleştirilmiş aralık yöntemi

Bir kompleksin olduğu durumda irrasyonel denklem Yukarıda açıklanan durumların hiçbirinin kapsamına girmeyen ve bir miktar güce yükseltilerek çözülemeyen, uygulanmalıdır. genelleştirilmiş aralık yöntemi, aşağıdaki gibidir:

DL'yi tanımlayın;
Eşitsizliği sağ tarafta sıfır olacak şekilde dönüştürün (mümkünse sol tarafta sıfıra azaltın) ortak payda, çarpanlara ayırma vb.);
Pay ve paydanın tüm köklerini bulun ve bunları çizin sayı ekseni ayrıca, eşitsizlik katı değilse, payın köklerinin üzerini boyayın, ancak her durumda paydanın köklerini delikli noktalar olarak bırakın;
Belirli bir aralıktaki bir sayıyı dönüştürülmüş eşitsizliğe koyarak, her bir aralıktaki ifadenin tamamının işaretini bulun. Bu durumda eksen üzerindeki noktalardan geçerken işaretlerin değiştirilmesi artık mümkün değildir. Her aralıktaki bir ifadenin işaretini, aralıktaki değeri bu ifadeye değiştirerek belirlemek gerekir ve her aralık için bu şekilde devam eder. Başka yolu yok (her şey bununla ilgili, genel olarak, genelleştirilmiş aralık yöntemi ile olağan yöntem arasındaki fark);
ODZ'nin kesişimini ve eşitsizliği karşılayan aralıkları bulun, ancak eşitsizliği karşılayan bireysel noktaları (katı olmayan eşitsizliklerde payın kökleri) kaybetmeyin ve yanıtın tüm köklerini hariç tutmayı unutmayın. tüm eşitsizliklerin paydası.

Geri
İleri

Fizik ve matematikte BT'ye başarılı bir şekilde nasıl hazırlanılır?

Fizik ve matematikte CT'ye başarılı bir şekilde hazırlanmak için diğer şeylerin yanı sıra en önemli üç koşulu yerine getirmek gerekir:

Bu sitedeki eğitim materyallerinde verilen tüm konuları inceleyin ve tüm testleri ve ödevleri tamamlayın. Bunu yapmak için hiçbir şeye ihtiyacınız yok: her gün üç ila dört saatinizi fizik ve matematikte CT'ye hazırlanmaya, teori çalışmaya ve problem çözmeye ayırın. Gerçek şu ki CT, sadece fizik veya matematik bilmenin yeterli olmadığı, aynı zamanda hızlı ve hatasız çözebilmeniz gereken bir sınavdır. büyük sayı için görevler farklı konular ve değişen karmaşıklığa sahiptir. İkincisi ancak binlerce problemi çözerek öğrenilebilir.
Fizikteki tüm formülleri ve yasaları, matematikteki formülleri ve yöntemleri öğrenin. Aslında bunu yapmak da çok basit, gerekli formüller Fizikte sadece 200 kadar parça var, matematikte ise biraz daha az. Bu öğelerin her biri yaklaşık bir düzine içerir standart yöntemler problem çözme temel seviyeöğrenilebilen ve dolayısıyla tamamen otomatik olarak ve zorlanmadan çözülebilen zorluklar doğru an çoğu BT. Bundan sonra sadece en zor görevleri düşünmeniz gerekecek.
Fizik ve matematikte prova testinin üç aşamasına da katılın. Her iki seçeneğe de karar vermek için her RT iki kez ziyaret edilebilir. Yine CT'de sorunları hızlı ve verimli bir şekilde çözme becerisinin yanı sıra formül ve yöntem bilgisine ek olarak, zamanı doğru bir şekilde planlayabilmeniz, kuvvetleri dağıtabilmeniz ve en önemlisi cevap formunu hiçbir şey yapmadan doğru bir şekilde doldurabilmeniz gerekir. Cevapların ve sorunların sayısını veya kendi soyadınızı karıştırmak. Ayrıca RT sırasında, DT'deki hazırlıksız bir kişiye çok alışılmadık gelebilecek problemlerde soru sorma tarzına alışmak önemlidir.

Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması CT'ye çıkmanıza olanak sağlayacaktır. mükemmel sonuç, yapabileceklerinizin maksimumu.

Bir hata mı buldunuz?

Bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız eğitim materyalleri, ardından lütfen e-postayla bu konu hakkında yazın. Ayrıca bir hatayı şu adrese bildirebilirsiniz: sosyal ağ(). Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.