Rasyonel sayılarla işlemler konusu nasıl anlaşılır? Rasyonel sayılar ve üzerlerindeki işlemler

İÇİNDE bu ders Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri dikkate alınır. Konu karmaşık olarak sınıflandırılmıştır. Burada önceden edinilmiş bilgilerin tüm cephaneliğini kullanmak gerekir.

Tam sayılarda toplama ve çıkarma kuralları rasyonel sayılar için de geçerlidir. Rasyonel sayıların kesir olarak gösterilebilen sayılar olduğunu hatırlayın; A - bu kesrin payıdır, B kesrin paydasıdır. Aynı zamanda B sıfır olmamalıdır.

Bu dersimizde kesirler ve karışık sayılar onları giderek daha fazla genel bir ifadeyle adlandıracağız - rasyonel sayılar.

Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım. İfadede verilen artının işlemin işareti olduğunu ve kesir için geçerli olmadığını dikkate alıyoruz. Bu kesirin kendi artı işareti vardır ve bu, yazılmadığı için görünmez. Ancak netlik sağlamak için yazacağız:

Bu rasyonel sayıların toplamıdır farklı işaretler. Farklı işaretlere sahip rasyonel sayıları eklemek için, daha küçük modülü daha büyük modülden çıkarmanız ve ortaya çıkan cevaptan önce, modülü daha büyük olan rasyonel sayının işaretini koymanız gerekir.

Hangi modülün daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu anlamak için, hesaplamadan önce bu kesirlerin modüllerini karşılaştırabilmeniz gerekir:

Bir rasyonel sayının modülü, bir rasyonel sayının modülünden daha büyüktür. Bu nedenle, çıkardık. Bir cevap aldık. Daha sonra bu kesri 2'ye indirerek son cevabı bulduk.

Sayıları parantez içine almak ve modül eklemek gibi bazı ilkel eylemler atlanabilir. Bu örnek kısaca şöyle yazılabilir:İfadenin anlamını bulun:

Örnek 2. Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım. Aradaki eksiyi dikkate alıyoruz rasyonel sayılar

ve bir işlem işaretidir ve bir kesir anlamına gelmez. Bu kesirin kendi artı işareti vardır ve bu, yazılmadığı için görünmez. Ancak netlik sağlamak için yazacağız:

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim. Bunu yapmak için çıkanın karşısındaki sayıyı eksiye eklemeniz gerektiğini hatırlatalım:

Not. Her rasyonel sayıyı parantez içine almak gerekli değildir. Bu, rasyonel sayıların hangi işaretlere sahip olduğunu açıkça görmek için kolaylık sağlamak amacıyla yapılır.

Örnek 3.İfadenin anlamını bulun:

Bu ifadede kesirler farklı paydalar. İşleri kolaylaştırmak için bu kesirleri azaltalım ortak payda. Bunun nasıl yapılacağı üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız. Zorluk yaşarsanız dersi tekrarladığınızdan emin olun.

Kesirleri ortak bir paydaya indirgedikten sonra ifade aşağıdaki formu alacaktır:

Bu, farklı işaretlere sahip rasyonel sayıların toplanmasıdır. Küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyarız:

Bu örneğin çözümünü kısaca yazalım:

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun

Haydi hesaplayalım bu ifade aşağıda: rasyonel sayıları toplayalım ve sonra rasyonel sayıyı ortaya çıkan sonuçtan çıkaralım.

İlk eylem:

İkinci eylem:

Örnek 5. İfadenin anlamını bulun:

−1 tamsayısını kesir olarak gösterelim ve karışık sayıyı uygunsuz kesre dönüştürelim:

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım:

Farklı işaretli rasyonel sayıların toplamasını elde ettik. Küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyarız:

Bir cevap aldık.

İkinci bir çözüm daha var. Bütün parçaların ayrı ayrı bir araya getirilmesinden oluşur.

O halde orijinal ifadeye geri dönelim:

Her sayıyı parantez içine alalım. Bunu yapmak için karışık sayı geçicidir:

Tamsayı kısımları hesaplayalım:

(−1) + (+2) = 1

Ana ifadede (−1) + (+2) yerine sonuç birimini yazıyoruz:

Ortaya çıkan ifade şudur. Bunu yapmak için birimi ve kesri birlikte yazın:

Çözümü daha kısa şekilde yazalım:

Örnek 6. Bir ifadenin değerini bulun

Karışık sayıyı bileşik kesire dönüştürelim. Gerisini değiştirmeden yeniden yazalım:

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım:

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

Bu örneğin çözümünü kısaca yazalım:

Örnek 7. Bir ifadenin değerini bulun

−5 tamsayısını kesir olarak gösterelim ve karışık sayıyı uygunsuz kesre dönüştürelim:

Bu kesirleri ortak paydaya getirelim. Ortak bir paydaya indirgendikten sonra aşağıdaki formu alacaklardır:

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım:

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

Negatif rasyonel sayıların toplamını elde ettik. Bu sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:

Böylece ifadenin değeri olur.

Haydi karar verelim bu örnek ikinci yol. Orijinal ifadeye dönelim:

Karışık sayıyı genişletilmiş biçimde yazalım. Gerisini değiştirmeden yeniden yazalım:

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alıyoruz:

Tamsayı kısımları hesaplayalım:

Ana ifadede ortaya çıkan −7 sayısını yazmak yerine

İfade, karışık sayı yazmanın genişletilmiş şeklidir. Son cevabı oluşturmak için −7 sayısını ve kesri birlikte yazıyoruz:

Bu çözümü kısaca yazalım:

Örnek 8. Bir ifadenin değerini bulun

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alıyoruz:

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

Negatif rasyonel sayıların toplamını elde ettik. Bu sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:

Yani ifadenin değeri

Bu örnek ikinci şekilde çözülebilir. Tam ve kesirli parçaların ayrı ayrı eklenmesinden oluşur. Orijinal ifadeye dönelim:

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım:

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

Negatif rasyonel sayıların toplamını elde ettik. Bu sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım. Ancak bu sefer hem kesirli hem de kesirli tüm parçaları (−1 ve −2) toplayacağız.

Bu çözümü kısaca yazalım:

Örnek 9.İfade ifadelerini bulun

Karışık sayıları şuna dönüştürelim: uygunsuz kesirler:

Bir rasyonel sayıyı işaretiyle birlikte parantez içine alalım. Rasyonel bir sayı zaten parantez içinde olduğundan parantez içine alınmasına gerek yoktur:

Negatif rasyonel sayıların toplamını elde ettik. Bu sayıların modüllerini toplayalım ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:

Yani ifadenin değeri

Şimdi aynı örneği ikinci yöntemle yani tamsayı ve kesirli kısımları ayrı ayrı toplayarak çözmeye çalışalım.

Bu sefer elde etmek için kısa çözüm, karışık bir sayıyı genişletilmiş biçimde yazmak ve çıkarma işlemini toplamayla değiştirmek gibi bazı adımları atlamaya çalışalım:

Lütfen kesirli parçaların ortak bir paydaya indirgendiğini unutmayın.

Örnek 10. Bir ifadenin değerini bulun

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

Ortaya çıkan ifade, hataların ana nedeni olan negatif sayıları içermemektedir. Ve negatif sayılar olmadığından, çıkanın önündeki artıyı ve parantezleri de kaldırabiliriz:

Sonuç, hesaplanması kolay basit bir ifadedir. Bunu bizim için uygun olan herhangi bir şekilde hesaplayalım:

Örnek 11. Bir ifadenin değerini bulun

Bu, farklı işaretlere sahip rasyonel sayıların toplanmasıdır. Büyük modülden küçük modülü çıkaralım ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyalım:

Örnek 12. Bir ifadenin değerini bulun

İfade birkaç rasyonel sayıdan oluşur. Buna göre öncelikle parantez içindeki adımları uygulamanız gerekiyor.

Önce ifadeyi hesaplıyoruz, sonra elde edilen sonuçları topluyoruz.

İlk eylem:

İkinci eylem:

Üçüncü eylem:

Cevap: ifade değeri eşittir

Örnek 13. Bir ifadenin değerini bulun

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:

Rasyonel sayıyı işaretiyle birlikte parantez içine alalım. Rasyonel sayı zaten parantez içinde olduğundan parantez içine alınmasına gerek yoktur:

Bu kesirleri ortak paydaya getirelim. Ortak bir paydaya indirgendikten sonra aşağıdaki formu alacaklardır:

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

Farklı işaretli rasyonel sayıların toplamasını elde ettik. Büyük modülden küçük modülü çıkaralım ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyalım:

Böylece ifadenin anlamı eşittir

Aynı zamanda rasyonel sayılar olan ve pozitif ya da negatif olabilen ondalık sayıların toplanması ve çıkarılmasına bakalım.

Örnek 14.−3,2 + 4,3 ifadesinin değerini bulun

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım. İfadede verilen artının bir işlem işareti olduğunu ve 4.3 ondalık kesir için geçerli olmadığını dikkate alıyoruz. Bu ondalık kesirin kendi artı işareti vardır ve bu, yazılmadığı için görünmez. Ancak netlik sağlamak için bunu yazacağız:

(−3,2) + (+4,3)

Bu, farklı işaretlere sahip rasyonel sayıların toplanmasıdır. Farklı işaretlere sahip rasyonel sayıları toplamak için, daha küçük modülü daha büyük modülden çıkarmanız ve ortaya çıkan yanıttan önce, modülü daha büyük olan rasyonel sayıyı koymanız gerekir.

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Hangi modülün daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu anlamak için, hesaplamadan önce bu ondalık kesirlerin modüllerini karşılaştırabilmeniz gerekir:

4,3 sayısının modülü -3,2 sayısının modülünden büyük olduğundan 4,3'ten 3,2'yi çıkardık. 1.1 cevabını aldık. Cevap pozitiftir çünkü cevabın önünde modülü daha büyük olan rasyonel sayının işareti bulunmalıdır. Ve 4,3 sayısının modülü −3,2 sayısının modülünden daha büyük

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Böylece −3,2 + (+4,3) ifadesinin değeri 1,1 olur.Örnek 15.

3,5 + (−8,3) ifadesinin değerini bulun

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Bu, farklı işaretlere sahip rasyonel sayıların toplanmasıdır. Önceki örnekte olduğu gibi büyük modülden küçük olanı çıkarıyoruz ve cevabın önüne modülü büyük olan rasyonel sayının işaretini koyuyoruz:

Böylece 3,5 + (−8,3) ifadesinin değeri −4,8 olur.

3,5 + (−8,3) = −4,8

Bu örnek kısaca şöyle yazılabilir:Örnek 16.

−7,2 + (−3,11) ifadesinin değerini bulun

Bu negatif rasyonel sayıların toplamıdır. Negatif rasyonel sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

İfadeyi karmaşıklaştırmamak için modüllerin bulunduğu girişi atlayabilirsiniz:

Böylece 3,5 + (−8,3) ifadesinin değeri −4,8 olur.

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Böylece −7,2 + (−3,11) ifadesinin değeri −10,31 olur.Örnek 17.

−0,48 + (−2,7) ifadesinin değerini bulun

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Bu negatif rasyonel sayıların toplamıdır. Modüllerini ekleyelim ve ortaya çıkan cevabın önüne eksi koyalım. İfadeyi karmaşıklaştırmamak için modüllerin bulunduğu girişi atlayabilirsiniz:Örnek 18.

−4,9 − 5,9 ifadesinin değerini bulun

(−4,9) − (+5,9)

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

(−4,9) + (−5,9)

Negatif rasyonel sayıların toplamını elde ettik. Modüllerini ekleyelim ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koyalım:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Dolayısıyla −4,9 − 5,9 ifadesinin değeri −10,8 olur

−4,9 − 5,9 = −10,8

Örnek 19. 7 − 9,3 ifadesinin değerini bulun

Her sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım.

(+7) − (+9,3)

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Dolayısıyla 7 − 9,3 ifadesinin değeri −2,3 olur

Bu örneğin çözümünü kısaca yazalım:

7 − 9,3 = −2,3

Örnek 20.−0,25 − (−1,2) ifadesinin değerini bulun

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

−0,25 + (+1,2)

Farklı işaretli rasyonel sayıların toplamasını elde ettik. Büyük modülden küçük modülü çıkaralım ve cevabın önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyalım:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Bu örneğin çözümünü kısaca yazalım:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Örnek 21.−3,5 + (4,1 − 7,1) ifadesinin değerini bulun

Parantez içindeki işlemleri gerçekleştirelim, ardından ortaya çıkan cevabı −3,5 sayısıyla toplayalım.

İlk eylem:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

İkinci eylem:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Cevap:−3,5 + (4,1 − 7,1) ifadesinin değeri −6,5'tir.

Örnek 22.(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) ifadesinin değerini bulun

Parantez içindeki adımları yapalım. Daha sonra, ilk parantezlerin uygulanması sonucunda elde edilen sayıdan, ikinci parantezlerin uygulanması sonucunda elde edilen sayıyı çıkarın:

İlk eylem:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

İkinci eylem:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Üçüncü perde

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Cevap:(3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) ifadesinin değeri 6'dır.

Örnek 23. Bir ifadenin değerini bulun −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Her rasyonel sayıyı işaretleriyle birlikte parantez içine alalım

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

İfade birkaç terimden oluşur. Kombinasyon toplama kanununa göre, eğer bir ifade birden fazla terimden oluşuyorsa, toplam, eylemlerin sırasına bağlı olmayacaktır. Bu, terimlerin herhangi bir sırayla eklenebileceği anlamına gelir.

Tekerleği yeniden icat etmeyelim, tüm terimleri göründükleri sıraya göre soldan sağa ekleyelim:

İlk eylem:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

İkinci eylem:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Üçüncü eylem:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Cevap:−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 ifadesinin değeri 1'dir.

Örnek 24. Bir ifadenin değerini bulun

−1,8 ondalık kesirini karışık sayıya dönüştürelim. Gerisini değiştirmeden yeniden yazalım:

O zaman a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

Sıfırın eklenmesi sayıyı değiştirmez ancak zıt sayıların toplamı sıfırdır.

Bu, herhangi bir rasyonel sayı için şu anlama gelir: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

Rasyonel sayıların çarpımının aynı zamanda değişme ve birleşme özellikleri de vardır. Başka bir deyişle, eğer a, b ve c herhangi bir rasyonel sayı ise ab - ba, a(bc) - (ab)c olur.

1 ile çarpmak rasyonel sayıyı değiştirmez ancak bir sayının tersi ile çarpımı 1'e eşittir.

Bu, herhangi bir rasyonel sayı için aşağıdakilere sahip olduğumuz anlamına gelir:

a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - s.

1190. Uygun bir hesaplama sırası seçtikten sonra ifadenin değerini bulun:

1191. Ab = ba çarpımının değişme özelliğini kelimelerle formüle edin ve şu durumlarda kontrol edin:

1192. Kelimelerle formüle edin ilişkisel özellik a(bc)=(ab)c'yi çarpın ve şununla kontrol edin:

1193. Uygun bir hesaplama sırası seçerek ifadenin değerini bulun:

1194. Çarparsanız hangi sayıyı elde edersiniz (pozitif veya negatif):

a) bir negatif sayı ve iki pozitif sayı;
b) iki negatif ve bir pozitif sayı;
c) 7 negatif ve birkaç pozitif sayı;
d) 20 negatif ve birkaç pozitif? Bir sonuç çıkarın.

1195. Ürünün işaretini belirleyin:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

a) Vitya, Kolya, Petya, Seryozha ve Maxim spor salonunda toplandılar (Şekil 91, a). Çocukların her birinin yalnızca iki kişiyi tanıdığı ortaya çıktı. Kim kimi tanıyor? (Grafiğin kenarı “birbirimizi tanıyoruz” anlamına gelir.)

b) Bir ailenin erkek ve kız kardeşleri bahçede yürüyorlar. Bu çocukların hangileri erkek, hangileri kızdır (Şekil 91, b)? (Grafiğin noktalı kenarları “Ben bir kız kardeşim”, düz kenarlar ise “Ben bir erkek kardeşim” anlamına gelir.)

1205. Hesapla:

1206. Karşılaştırın:

a) 2 3 ve 3 2; b) (-2) 3 ve (-3) 2; c) 1 3 ve 1 2; d) (-1) 3 ve (-1) 2.

1207. 5.2853'ü binde birine yuvarlayın; ile yüzde birler; onda birine kadar; birimlerine kadar.

1208. Sorunu çözün:

1) Bir motosikletçi bir bisikletçiye yetişiyor. Şimdi aralarında 23,4 km var. Bir motosikletçinin hızı bir bisikletçinin hızının 3,6 katıdır. Motosikletçinin bisikletçiye bir saat içinde yetişeceği biliniyorsa bisikletçinin ve motosikletçinin hızlarını bulunuz.
2) Bir araba bir otobüse yetişiyor. Şimdi aralarında 18 km var. Otobüsün hızı binek otomobilin hızıyla aynıdır. Arabanın otobüse bir saat içinde yetişeceği biliniyorsa otobüsün ve arabanın hızlarını bulunuz.

1209. İfadenin anlamını bulun:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

Hesaplamalarınızı şununla kontrol edin: mikro hesap makinesi.
1210. Uygun bir hesaplama sırası seçtikten sonra ifadenin değerini bulun:

1211. İfadeyi basitleştirin:

1212. İfadenin anlamını bulun:

1213. Şu adımları izleyin:

1214. Öğrencilere 2,5 ton hurda metal toplama görevi verildi. 3,2 ton hurda metal topladılar. Öğrenciler görevi yüzde kaç oranında tamamladılar ve görevi yüzde kaçla aştılar?

1215. Araba 240 km yol kat etti. Bunlardan 180 km'sini köy yolunda, geri kalanını ise otoyolda yürüdü. 10 km başına benzin tüketimi köy yolu 1,6 litreydi ve otoyolda -% 25 daha az. Her 10 km'lik yolculukta ortalama kaç litre benzin tüketildi?

1216. Köyü terk eden bisikletçi, köprüde aynı yöne yürüyen bir yayayı fark etti ve 12 dakika sonra ona yetişti. Bir bisikletlinin hızı 15 km/saat ve köyden köprüye olan mesafe 1 km 800 m olduğuna göre yayanın hızını bulunuz?

1217. Şu adımları izleyin:

a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).

Bildiğiniz gibi insanlar rasyonel sayılarla yavaş yavaş tanıştı. İlk başta nesneleri sayarken doğal sayılar ortaya çıktı. İlk başta bunlardan birkaçı vardı. Bu nedenle yakın zamana kadar Torres Boğazı'ndaki adaların yerlileri arasında (ayrılan Yeni Gine Avustralya'dan) dilde yalnızca iki sayı vardı: “urapun” (bir) ve “okaz” (iki). Adalılar şu şekilde sayıyordu: "Okaza-urapun" (üç), "Okaza-Okaza" (dört) vb. Yerliler, yediden başlayarak tüm sayıları "çok" anlamına gelen bir kelimeyle çağırdılar.

Bilim insanları, yüzlerce kelimesinin 7.000 yıldan daha önce, binlerce kelimesinin ise 6.000 yıl önce ve 5.000 yıl önce ortaya çıktığına inanıyor. Eski Mısır ve içinde Antik Babil isimler bir milyona kadar çok büyük sayılar için görünür. Ancak uzun bir süre doğal sayı dizisinin sonlu olduğu düşünülüyordu: İnsanlar en büyük sayının var olduğunu düşünüyordu.

Antik Yunan'ın en büyük matematikçisi ve fizikçisi Arşimed (M.Ö. 287-212) çok büyük sayıları tanımlamanın bir yolunu buldu. Arşimet'in adlandırabildiği en büyük sayı o kadar büyüktü ki, bunu dijital olarak kaydetmek için Dünya'dan Güneş'e olan mesafenin iki bin katı kadar uzun bir kasete ihtiyaç duyulacaktı.

Ancak henüz bu kadar büyük rakamları yazmayı başaramamışlardı. Bu ancak 6. yüzyılda Hintli matematikçiler sayesinde mümkün olabildi. sıfır sayısı icat edildi ve rakamlardaki birimlerin yokluğunu ifade etmeye başladı ondalık gösterim sayılar.

Ganimetleri bölüştürürken ve daha sonra değerleri ölçerken ve benzeri durumlarda insanlar "kırık sayıları" devreye sokma ihtiyacıyla karşılaştılar - ortak kesirler. Kesirlerle işlemler Orta Çağ'da matematiğin en zor alanı olarak kabul ediliyordu. Almanlar bugüne kadar kendisini zor durumda bulan bir kişinin "parçalara düştüğünü" söylüyor.

Kesirlerle çalışmayı kolaylaştırmak için ondalık sayılar icat edildi kesirler. Avrupa'da Hollandalı matematikçi ve mühendis Simon Stevin tarafından X585'te tanıtıldılar.

Negatif sayılar kesirlerden daha sonra ortaya çıktı. Uzun zamandır bu tür sayılar, öncelikle pozitif ve negatif sayılar olan “mülk - borç” için kabul edilen yorumun karışıklığa yol açması nedeniyle “var olmayan”, “yanlış” olarak kabul edildi: “mülk” veya “borçları” ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz, ancak Ürün veya özel “mülk” ve “borç” nasıl anlaşılır?

Ancak tüm bu şüphe ve şaşkınlıklara rağmen, pozitif ve negatif sayıları çarpma ve bölmeye ilişkin kurallar 3. yüzyılda önerildi. Yunan matematikçi Diophantus (şeklinde: “Çıkarılan, eklenenle çarpılır, çıkanı verir; çıkandan çıkarılan, ekleneni verir” vb.) ve daha sonra Hintli matematikçi Bhaskar (XII yüzyıl) aynı kuralları “mülk”, “borç” kavramlarında da ifade etmiştir (“İki mal veya iki borcun çarpımı mülkiyettir; mal ve borcun çarpımı borçtur.” Aynı kural bölünme konusunda da geçerlidir).

Eylemlerin özelliklerinin şu şekilde olduğu tespit edildi: negatif sayılar aşırı pozitif olanlarla aynıdır (örneğin toplama ve çarpmanın değişme özelliği vardır). Ve nihayet geçen yüzyılın başından itibaren negatif sayılar pozitif sayılara eşit hale geldi.

Daha sonra matematikte irrasyonel, karmaşık ve diğerleri gibi yeni sayılar ortaya çıktı. Bunları lisede öğreniyorsun.

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, 6. sınıf için Matematik, Ders Kitabı lise

6. sınıf matematik indir için takvim planına göre kitaplar ve ders kitapları, okul çocukları için çevrimiçi yardım

6. sınıfta matematik açık dersi.

Ders: Rasyonel sayılarla işlemler. (Tek sayı dersi)

Hedef: Pozitif ve negatif sayılarla işlemlerdeki becerileri pekiştirin. Hazırlık deneme çalışması.

Görevler:

• Pozitif ve negatif sayı kavramlarını gözden geçirin; Pozitif ve negatif sayılarla eylemleri gerçekleştirme becerilerini pekiştirin.

• Konuya olan ilgiyi artırmak için alışılmamış şekil ders yürütmek.
• Mantıksal yaratıcılık ve yaratıcı düşünmeyi geliştirin.

Ders türü: BT kullanarak öğrencilerin bilgilerinin tekrarlanması ve pekiştirilmesi dersi.

Organizasyon biçimleri eğitim faaliyetleri: kolektif, bireysel, ikili, beyin fırtınası.

Teçhizat: bilgisayar, projektör, PowerPoint sunumu (ekli), bireysel kart seti.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı.

Dersin konusunu ve tarihini bir deftere yazıyoruz. Konu neden bu kadar alışılmadık bir şekilde yazıldı? (Diyet ile yapılan eylemler tüm sayılar.)

Isınma: Dışarısı karanlık, gece gibi görünüyor ama uyanma ve okula hazırlanma zamanı. Öyle ki: Seni kaldırdılar ama uyandırmayı unuttular sözü gibi olmasın. Her ihtimale karşı seni uyandırmaya karar verdim...

Şarj cihazı: Günaydın: Bir öğrenciye soru soruyorum, cevap veriyorsa oturuyor, hayır başkasına, henüz oturmamış birine iletebilir. Doğru cevaplandı, kimlerin isimleri sonraki soru. (Beyin fırtınası)

1) en küçük doğal sayı (1)

2) Çarpma sonucu (Çarpım)

3) 4'ün karşısındaki sayı?

4) Bir daire üzerindeki bir noktayı merkezine (Yarıçap) bağlayan doğru parçası

5) Bir sayının yüzde biri (Yüzde)

6) açıları ölçmek için alet (iletki)

7) Sayıları bölerken 0 elde etmek mümkün müdür (evet)

8) Bitkiler ve denklemler nelere sahiptir? (Kök)

9) 10² neye eşittir? (100)

10) Nesneleri sayarken kullanılan sayılar?

12) 1 kg pamuktan veya 1 kg demirden daha ağır olan nedir?

13) başlangıç ​​noktasından koordinat çizgisi üzerindeki sayıya olan mesafe (modül)

14) Zıt iki sayının toplamı (0)

15) 2³ (8)

16) Sıfıra bölmek mümkün mü?

17) modül – 9 (9)

18) bölme sonucu (bölüm)

19) İki negatif sayının (pozitif) çarpılmasıyla hangi sayı elde edilir?

20) karşılıklı ürün karşılıklı sayılar (1)

21) “-” işaretli sayılara (negatif) denir

22) toplamanın sonucu (toplam)

23) Bir noktanın koordinat çizgisi (koordinat) üzerindeki konumunu gösteren sayı

24) “+” işaretli sayılara (pozitif) denir.

25) Doğal sayılar, onların karşıtları ve sıfır (tamsayılar)

26) Hangi sayı ne pozitif ne de negatiftir. (sıfır)

Bugün sınıfta önceki derslerde edindiğiniz bilgileri tekrarlayacak, özetleyecek ve sistematik hale getireceğiz. Teste hazırlanalım.

Ve bir şey bu konuda bize çok yardımcı olacak ilginç sayı. Hangisini tahmin etmeye çalışın?

İpuçları:

Bu doğru - bu 30 sayısı.

• Sizce bu rakam neden? (Sınıfımız 30 kişiliktir)

Her birinizin hayatında bazı olayların 30 sayısıyla bağlantılı olduğunu düşünüyorum. Mesela bu benim düğün tarihim. Senden ne haber? (öğrencilerin cevapları)

1. Sözlü çalışma.

• Birkaç soruya cevap verelim.

1. Lütfen bana 30 sayısı hakkında ne bildiğimizi söyler misiniz?

(pozitif, tamsayı, çift, bileşik)

1. Bu sayı koordinat çizgisinin neresinde yer alıyor?

(Koordinat doğrusunda bu sayı sıfırın solunda yer alır)

1. Verilen sayıya bitişik iki tam sayıyı adlandırın.

(29 ve 31)

1. Bunun tersi hangi sayı olacaktır?

(Sayı -30)

1. Neden modül eşittir verilen numara?

(Bu sayının modülü 30'dur)

1. Bunun karşılıklısı mı?

{ }

1. 0'a göre 30 sayısına simetrik bir sayı mı?

{ }

Ayrıca matematikte 30 sayısıyla ilgili başka ilginç gerçekler de vardır:

Peki devam edeceğiz

1. Kapsanan materyali gözden geçirme görevleri.

Üzerine bir şekil çizelim koordinat düzlemi:

1. (-5;3); (-4;4); (-2;4);(-1;3);(-1;1);(-3;0)(-1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5);(-5;-4)
2. (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2;-5);(1;-4);(1;3).

Bu sayı, sayılar dünyasında veya manevi numerolojide ne anlama geliyor:

30 sayısı 3 ve 0 olmak üzere iki rakamdan oluşur. Bu nedenle 30 sayısının anlamını tam olarak anlamak için bilmeniz gerekenler ana anlam bu sayılar. Troyka'nın ana anlamı, en "temel", fizyolojik olandan en "yüksek", manevi ve sezgisel olana kadar tüm tezahürlerinde Sevgidir.

Manevi numerolojide sıfırın anlamı huzur, sükunet, huzurdur. Bu nedenle otuz, sayıların dilinden "aşkta sükunet" veya "aşkta sükunet" veya "kendini tüketen aşk" olarak çevrilir. İfadelerin seçimi bir takım öznel ve objektif faktörler bir bireyin hayatında.

30 sayısının anlamı

30 sayısı dolaylı olarak her şeyde başarının önkoşullarını yaratır. 30 sayısı doğrudan kâr etme, maddi refah ve kariyer ile ilgili değildir. Ancak(!) dolaylı olarak bu sayı kara, kariyere ve HER ŞEYE katkıda bulunabilir!

Yine de 30 sayısının teşvik ettiği en önemli şey aşktır. 30 numara ani hareketlerden, ateşli sözlerden ve yüksek sesle yeminlerden hoşlanmaz. 30 sayısı, onunla temasa geçen herkesi SEVGİ veya BARIŞ ile doldurur!

Tarih olarak 30 sayısı yılın aylarının önemli bir bölümünü sonlandırmaktadır.

Takvimin 30'u sonuçları özetlemek için idealdir. İçinde olsa bile son çare olarak, ticari sonuçlar, eğer prensipte başkalarını özetlemeyecekseniz. Önemli olan 30'unda hiçbir şeye başlamamak!

30'unda doğan insanlar barışçıldır ama çok güçlüdür. Sakin ve titizdirler. Belirli bir sonuç istiyorlar. Her şeyin sonucu: aşkın, ticaretin veya örneğin bir performansın sonucu.

30 numara belirsiz ifadelerden hoşlanmaz. Açık ve kısa bir evet veya hayıra ihtiyaçları var.

1. Pratik görevler. (beden eğitimi + pratik uygulama)

• Herkesin masada bir numarası vardır. Göreviniz: sınıfta sayıların toplamı 30 olacak şekilde bir çift bulun.

(Sayılar: -30 ve 60; -5 ve 35; -2,72 ve 32,72; 2 ve 27; -0,25 ve 30; ve 29.5; -6 ve 36; I-2.5I ve 27.5; BEN- ben ve 21; - ve 30.5; 5 ve 24.25; 38,6 ve -8; -120 ve 150.)

Her çift birbirini bulur bulmaz tahtadan bir görev (en düşük sayıya sahip) alıp tamamlarlar: (hesaplama zinciri). Zincir ekrana yansıtılıyor. Erken ve doğru şekilde bitiren çift “5” alır.

1. İlginç gerçekler 30 sayısı hakkında:

• İncil'de

1. İsa'nın vaftiz edildiği yaş.
2. Yahuda, İsa'ya ihanet ettiği için 30 gümüş aldı

• Edebiyatta

1. Masallarda: Otuzuncu krallıkta, otuzuncu devlette...
2. Puşkin'in "Altın Balık Hakkında" masalında yaşlı adam ve yaşlı kadın 30 yıl 3 yıl yaşadılar.
3. Dostoyevski'nin "Suç ve Ceza" adlı romanında30 sayısı, kahramanların çeşitli mali sorunlarıyla ilgili hikayeye adanmıştır. Sonya 30 ruble getiriyor, Raskolnikov'un annesine 30 ruble göndereceğine söz veriyor, Svidrigailov 30 bin fidye alıyor.
4. 19 Ekim 1811'de Puşkin numaraya kabul edildi 30 öğrenciler Tsarskoye Selo Lisesi.

• Doğa biliminde

1. Periyodik tabloda 30 numara kırılgan bir metaldir - çinko.
2. Gün sayısıNisan , Haziran , Eylül , Kasım
3. Otuz derecenin altındaki sıcaklıklarda 1-9. sınıfların dersleri iptal edilir.
4. 30 Şubat . Tarihte üç kez, bazı ülkelerde Şubat ayında 30 gün yaşandı.

Geri kalanlar şu anda bir sayı tablosuyla çalışıyor.

• Sayıların bağlantısı: mavi ve kırmızı. Seçenekleri kullanarak, hesaplamaların sonucunun 30 olduğu eylem işaretini (bir) bulun. İlk seçenek mavi, ikincisi kırmızıdır. (mavi sayıların çarpımı 30'a; kırmızı sayıların toplamı 30'a eşittir).

Sayıları artan sırada düzenleyin.

• Şimdi ne bulduğunuzu kontrol edelim.

(Mavi: -2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36

Kırmızılar :)

Özetleyelim.

Test

1. Hangi sayısal aralık 30 numaraya aittir.

A) C) (25.7;30)

2. Bir noktanın koordinatlarının toplamı 30 ise o noktanın apsisi nedir?

Ve ordinat apsisinden 5 kat daha büyüktür.

1. 5 B) 6 C) 4

1. İfadenin değerini bulun: 2,7: (-0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2

1. – 30 B) 30 C) 0,3

1. 20 B) 75 C) 12

Test anahtarı: BACAC. (Testi doğru çözme puanları). Slayt 2

Dersin amaçları ve hedefleri: pozitif ve negatif sayılarla işlemlerdeki becerileri pekiştirmek. Koordinatlarını kullanarak noktalar oluşturma alıştırması yapın. Test için hazırlık. Meta-konu bağlantılarının güçlendirilmesi.

NUMARA BİLMESİ Yarım saat nedir? Bir dersin 2/3'ü neye eşittir? Eylül ayında kaç gün vardır?

30 sayısı hakkında ne biliyoruz? 30 sayısı hakkında ne söyleyebilirsiniz? pozitif, tamsayı, çift, bileşik Peki bu sayı koordinat çizgisinin neresinde yer alıyor? sıfırın sağında Verilen sayıya bitişik iki tam sayıyı adlandırın. 29 ve 31 Peki bunun tersi hangi sayı olacaktır? -30 Bu sayının modülü nedir? 30 Bunun karşılığı nedir? 1/30 0'a göre 30 sayısına simetrik bir sayı mı? -30

Matematiksel gerçekler 10 30'a bir nonilyon denir. 2 30 = 1 073 741 824, ikili önek: gibi (Gi). İkosahedron ve dodekahedronun kenar sayısı. Birincinin kareleri toplamı dört sayı. (1²+2²+3²+4²). Minimum sayı bu üçün ürünüçeşitli asal sayılar. (2*3*5) Roma sayı sisteminde (XXX) ardışık üç özdeş sayı.

Koordinat düzlemi Koordinat düzlemine bir şekil çizin: (-5;3); (-4;4); (-2;4); (- 1;3);(-1;1);(-3;0) (- 1;-1);(-1;-4);(-2;-5);(-4;-5 );(-5;-4) (1;3);(2;4);(4;4);(5;3);(5;-4);(4;-5);(2; -5);(1;-4);(1;3).

30 sayısının anlamı (spiritüel numeroloji) 30 sayısı 3 ve 0 olmak üzere iki sayıdan oluşur. 3'ün asıl anlamı Aşk'tır. 0 huzur, sükunet, huzurdur. 30 - "Aşkta huzur" veya "Aşkta huzur" veya "Kendini tüketen aşk" olarak çevrilmiştir. 30 sayısı dolaylı olarak her şeyde başarının önkoşullarını yaratır. . 30 sayısı onunla temasa geçen herkesi SEVGİ veya BARIŞ ile doldurur! Takvimin 30'u sonuçları özetlemek için idealdir. 30'unda doğan insanlar barışçıldır ama çok güçlüdür.

-30 ve 60 çiftini bulun; - 5 ve 35; - 2,72 ve 32,72; 2 ve 27; - 0,25 ve 30; ve 29.5; -6 ve 36; ben - ben ve 21; - ve 30.5; 5 ve 24.25; 38,6 ve -8; - 120 ve 150. I -2,5 I ve 27,5;

Hesaplama zinciri -27,5 +(-7,24)= –(-35,96)= *2,3= +(- 3,906)= : = *(-5) = : (-0,25) = + 58,4 = * 3 = : 8 = * (- 8,6)= –(- 8,56)= + 11,12 =

30 sayısıyla ilgili ilginç gerçekler: Edebiyatta Peri masallarında: otuzuncu krallıkta, otuzuncu eyalette... Puşkin'in "Japon Balığı Hakkında" masalında yaşlı adam ve yaşlı kadın 30 yıl 3 yıl yaşadılar. Dostoyevski'nin Suç ve Ceza romanında 30 sayısı, kahramanların çeşitli mali sorunlarıyla ilgili hikayeyle ilişkilendirilir. Sonya 30 ruble getiriyor, Raskolnikov'un annesine 30 ruble göndereceğine söz veriyor, Svidrigailov 30 bin fidye alıyor. 19 Ekim 1811'de Puşkin, Tsarskoye Selo Lisesi'nin 30 öğrencisinden biri olarak kabul edildi. İncil'de İsa'nın vaftiz edildiği yaş. Yahuda, İsa'ya ihanet ettiği için 30 gümüş aldı. Doğa bilimlerinde periyodik tabloda 30 numara çinkodur. Nisan, Haziran, Eylül, Kasım Aylarındaki Gün Sayısı Hava sıcaklığının otuz derecenin altına düşmesiyle 1-9. sınıflardaki dersler iptal edilir. 30 Şubat. Tarihte üç kez, bazı ülkelerde Şubat ayında 30 gün yaşandı.

Sayı bağlantısı - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 - 2,5 0,1 9,6 21 0,25 36 8,9 Mavi: -2/3; -1/3; 0,25; 5/7;21;36 Kırmızı:

Test 1. 30 sayısı hangi sayısal aralığa aittir? A) C) (25.7;30) 2. Bir noktanın koordinatlarının toplamı 30 ve ordinatı apsisin 5 katı büyükse, bu noktanın apsisi ne kadardır? A) 5 B) 6 C) 4 3. Hangi sayıya bölmeliyiz (-2 böylece bölüm 30'a eşit olur. A) 13 B) - 66 C) – 13.5 4. İfadenin değerini bulun: 2.7 : (- 0,3)+(-7,63+9,24) – 11,305*2 A)– 30 B) 30 C) 0,3 5. 30'da kaç kez bulunur. A) 20 B) 75 C) 12

Bu dersimizde sayılarla yapılan işlemlerin temel özelliklerini hatırlayacağız. Sadece temel özellikleri gözden geçirmekle kalmayacağız, aynı zamanda bunları rasyonel sayılara nasıl uygulayacağımızı da öğreneceğiz. Örnekleri çözerek kazanılan tüm bilgileri pekiştireceğiz.

Sayılarla yapılan işlemlerin temel özellikleri:

İlk iki özellik toplama, sonraki ikisi çarpma özellikleridir. Beşinci özellik her iki işlem için de geçerlidir.

Bu özelliklerde yeni bir şey yok. Hem doğal sayılar hem de tam sayılar için geçerliydiler. Bunlar aynı zamanda rasyonel sayılar için de doğrudur ve daha sonra inceleyeceğimiz sayılar (örneğin irrasyonel sayılar) için de doğru olacaktır.

Permütasyon özellikleri:

Terimlerin veya faktörlerin yeniden düzenlenmesi sonucu değiştirmez.

Kombinasyon özellikleri:, .

Birden fazla sayının eklenmesi veya çarpılması herhangi bir sırayla yapılabilir.

Dağıtım özelliği:.

Özellik her iki işlemi de (toplama ve çarpma) birbirine bağlar. Ayrıca soldan sağa okunursa parantez açma kuralı, içinde ise parantez açma kuralı denir. ters taraf- yargılama kuralı ortak çarpan parantezlerin dışında.

Aşağıdaki iki özellik açıklanmaktadır nötr elemanlar Toplama ve çarpma için: Sıfır eklemek ve bir ile çarpmak orijinal sayıyı değiştirmez.

açıklayan iki özellik daha simetrik elemanlar toplama ve çarpma için zıt sayıların toplamı sıfırdır; karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir.

Sonraki mülk: . Bir sayı sıfırla çarpılırsa sonuç her zaman sıfır olur.

Bakacağımız son özellik: .

Sayıyı ile çarparsak şunu elde ederiz: karşı sayı. Bu mülkün özel bir özelliği var. Dikkate alınan diğer tüm özellikler, diğerleri kullanılarak kanıtlanamadı. Aynı özellik öncekiler kullanılarak kanıtlanabilir.

Çarpma

Bir sayıyı ile çarptığımızda zıt sayıyı elde ettiğimizi kanıtlayalım. Bunun için dağıtım özelliğini kullanıyoruz: .

Bu her sayı için geçerlidir. Sayı yerine ve yerine koyalım:

Solda parantez içinde karşılıklı zıt sayıların toplamı var. Toplamları sıfırdır (böyle bir özelliğimiz var). Şimdi solda. Sağ tarafta şunu elde ederiz: .

Şimdi solda sıfır, sağda ise iki sayının toplamı var. Ancak iki sayının toplamı sıfır ise bu sayılar birbirinin tersidir. Ancak bu sayının yalnızca bir zıttı vardır: . İşte olan budur: .

Özelliği kanıtlanmıştır.

Önceki özellikler kullanılarak kanıtlanabilen böyle bir özelliğe denir. teorem

Burada neden çıkarma ve bölme özellikleri yok? Örneğin, çıkarma işlemi için dağılma özelliği yazılabilir: .

Ama o zamandan beri:

• Herhangi bir sayının çıkarılması, sayının tersiyle değiştirilerek eşdeğer olarak toplama olarak yazılabilir:

• Bölme, tersi ile çarpma olarak yazılabilir:

Bu, toplama ve çarpma özelliklerinin çıkarma ve bölme işlemlerine uygulanabileceği anlamına gelir. Sonuç olarak hatırlanması gereken özelliklerin listesi daha kısadır.

Ele aldığımız tüm özellikler yalnızca rasyonel sayıların özellikleri değildir. Diğer sayılar, örneğin irrasyonel sayılar da tüm bu kurallara uyar. Örneğin karşıt sayısının toplamı sıfırdır: .

Şimdi birkaç örnek çözerek pratik kısma geçeceğiz.

Hayattaki rasyonel sayılar

Nesnelerin niceliksel olarak tanımlayabildiğimiz, bir sayıyla gösterebildiğimiz özelliklerine denir. değerler: uzunluk, ağırlık, sıcaklık, miktar.

Aynı miktar hem tam sayı hem de kesirli sayı ile pozitif veya negatif olarak gösterilebilir.

Örneğin boyunuz m - kesirli sayı. Ancak cm'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz - bu zaten bir tamsayıdır (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

Başka bir örnek. Santigrat ölçeğinde negatif bir sıcaklık, Kelvin ölçeğinde pozitif olacaktır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Örnek olarak illüstrasyon

Bir evin duvarını inşa ederken bir kişi genişlik ve yüksekliği metre cinsinden ölçebilir. Kesirli miktarlar üretir. Diğer tüm hesaplamaları kesirli (rasyonel) sayılarla yapacak. Başka bir kişi her şeyi tuğla sayısındaki genişlik ve yükseklikte ölçebilir. Yalnızca tam sayı değerleri aldığından tam sayılarla hesaplamalar yapacaktır.

Niceliklerin kendileri ne tamsayı, ne kesirli, ne negatif ne de pozitiftir. Ancak bir miktarın değerini tanımladığımız sayı zaten oldukça spesifiktir (örneğin negatif ve kesirli). Ölçüm ölçeğine bağlıdır. Ve gerçek değerlerden hareket ettiğimizde matematiksel model, ardından belirli bir sayı türüyle çalışırız

Eklemeyle başlayalım. Şartlar bizim için uygun olan herhangi bir şekilde yeniden düzenlenebilir ve eylemler herhangi bir sırayla gerçekleştirilebilir. Farklı işaretlerin terimleri aynı rakamda bitiyorsa, önce onlarla işlem yapmak uygundur. Bunu yapmak için terimleri değiştirelim. Örneğin:

Ortak kesirler aynı paydalar katlanması kolaydır.

Karşıt sayıların toplamı sıfırdır. Aynı ondalık kuyruklara sahip sayıların çıkarılması kolaydır. Bu özelliklerin yanı sıra değişmeli toplama yasasını kullanarak, örneğin aşağıdaki ifadenin değerini hesaplamayı kolaylaştırabilirsiniz:

Tamamlayıcı ondalık kuyrukları olan sayıların eklenmesi kolaydır. Bütünüyle ve kesirli parçalar halinde Karışık sayılarla ayrı ayrı çalışmak uygundur. Aşağıdaki ifadenin değerini hesaplarken bu özellikleri kullanırız:

Çarpma işlemine geçelim. Çarpılması kolay sayı çiftleri vardır. Değişme özelliğini kullanarak çarpanları bitişik olacak şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz. Bir üründeki eksilerin sayısı hemen sayılabilir ve sonucun işareti hakkında bir sonuca varılabilir.

Bu örneği düşünün:

Faktörlerden ise sıfıra eşit ise çarpım sıfıra eşit olur, örneğin: .

Karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir ve bir ile çarpmak çarpımın değerini değiştirmez. Bu örneği düşünün:

kullanarak bir örneğe bakalım dağılım özellikleri. Parantezleri açarsanız her çarpma işlemi kolaydır.

Ondalık kesirlerle işlemler.
 Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma.
1. Ondalık noktadan sonraki basamak sayısını eşitleyin.
2. Ekle veya çıkar ondalık sayılar virgülün altında rakamlarla virgül.
 Ondalık sayıların çarpılması.
1. Virgüllere dikkat etmeden çarpın.
2. Çarpımda tüm çarpanların sayısı kadar sağdan rakamı ayırın
virgülden sonra birlikte.
 Ondalık sayıları bölme.
1. Bölen ve bölen kısmında virgülleri, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırın
bölücüde.
2. Parçanın tamamını bölün ve bölüme virgül koyun. (Eğer bütün kısım bölenden daha az, O
bölüm sıfır tamsayılardan başlar)
3. Bölmeye devam edin.
Pozitif ve negatif sayılarla eylemler.
Pozitif ve negatif sayıların toplanması ve çıkarılması.
a – (– c) = a + c
Diğer tüm durumlar sayıların toplamı olarak kabul edilir.
 İki negatif sayının toplanması:
1. sonucu “–” işaretiyle yazın;
2. Modülleri ekliyoruz.
 Farklı işaretli sayıların toplanması:
1. Büyük modülün işaretini koyun;
2. Küçük olanı büyük modülden çıkarın.
 Pozitif ve negatif sayıları çarpma ve bölme.
1. Farklı işaretli sayıları çarparken ve bölerken sonuç işaretle yazılır
eksi.
2. Sayıları ile çarparken ve bölerken aynı işaretler sonuç bir işaretle yazılır
artı.
Adi kesirlerle işlemler.
Toplama ve çıkarma.
1. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.
2. Payları ekleyin veya çıkarın ancak paydayı değiştirmeden bırakın.
Payı payla ve paydayı paydayla çarpın (mümkünse azaltın).
Böleni (ikinci kesir) “çevirin” ve çarpma işlemini gerçekleştirin.
Bölüm.
Çarpma.
Bütün parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak.
38
5 = 38: 5 = 7(kalan 3) = 7
3
5
Karışık bir sayıyı bileşik kesire dönüştürme.
2
7 + =
4
4.7+2
7
30
7
=

1
.
+
Bir kesri azaltmak.
Bir kesri azaltın - payı ve paydayı aynı sayıya bölün.
6
7
6
7. Kısacası:
30:5
35:5 =
30
35 =
Örneğin:
30
35 =
.
1.
Kesirlerin paydalarını asal olanlara ayırın
çarpanlar
Kesirleri ortak paydaya indirgemek.
5 4
7
16 +

36
80 =
71
80
2. Aynı faktörlerin üzerini çizin.
3. Birincinin paydasından kalan faktörler
kesirleri çarpın ve olarak yazın
ikinci kesir için ek bir faktör ve
ikinci fraksiyondan birinci fraksiyona.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Her kesrin payını ve paydasını çarpın
ek çarpanı ile.
9
20 =
35
80 +
Karışık sayılarda toplama ve çıkarma.
Tam parçaları ve kesirli parçaları ayrı ayrı ekleyin veya çıkarın.
"Özel" durumlar:
1'i payı ve değeri eşit olan bir kesre "dönüştürün"

2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
1'i alın ve onu payı ve değeri eşit olan bir kesire "dönüştürün".
paydaları verilen kesrin paydasına eşittir.
1'i alın ve paydayı paya ekleyin.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve çarpma veya bölme işlemini gerçekleştirin.
Karışık sayılarda çarpma ve bölme.

2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30.14
7.5
6.2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7