). Kemometride kullanılan genel amaçlı araçlar arasında özel mekan MatLab paketini kaplar. Popülerliği alışılmadık derecede yüksek. Bunun nedeni MatLab'ın çok boyutlu verileri işlemek için güçlü ve çok yönlü olmasıdır. Paketin yapısı, onu matris hesaplamaları yapmak için uygun bir araç haline getirir. MatLab kullanılarak incelenebilecek problemlerin kapsamı şunları içerir: matris analizi, sinyal ve görüntü işleme, sinir ağları ve diğerleri. MatLab bir dildir yüksek seviye sahip olmak açık kaynak deneyimli kullanıcıların programlanan algoritmaları anlamalarını sağlar. Basit bir yerleşik programlama dili, kendi algoritmalarınızı oluşturmanızı kolaylaştırır. Uzun yıllardır MatLab'ı kullanarak şunu yarattık: büyük miktar işlevler ve ToolBox (özel araç paketleri). En popüler olanı Eigenvector Research, Inc.'in PLS ToolBox paketidir.

1. Temel bilgiler

1.1. MatLab çalışma ortamı

Programı başlatmak için simgeye çift tıklayın. Şekilde gösterilen çalışma ortamı karşınıza açılacaktır.

Çalışma ortamı MatLab 6.xÖnceki sürümlerin çalışma alanından biraz farklı olarak birçok destekleyici öğeye erişim için daha kullanışlı bir arayüze sahiptir.

Çalışma ortamı MatLab 6.x aşağıdaki unsurları içerir:

düğmeler ve açılır liste içeren araç çubuğu;

Başlatma Paneli sekmelerinin bulunduğu pencere ve Çalışma alanıçeşitli ToolBox modüllerine ve çalışma tezgahı içeriklerine erişebileceğiniz;

sekmeli pencere Komut Geçmişi Ve Geçerli Dizin, önceden girilen komutları görüntülemek ve yeniden çağırmak ve ayrıca geçerli dizini ayarlamak için tasarlanmıştır;

"giriş" istemini ve yanıp sönen dikey imleci içeren bir komut penceresi;

durum çubuğu.

Eğer bir çalışma ortamındaysanız MatLab 6.xŞekilde gösterilen pencerelerden bazıları eksikse Görünüm menüsünden uygun öğeleri seçmelisiniz: Komut Penceresi, Komut Geçmişi , Geçerli Dizin , Çalışma Alanı , Başlatma Paneli .

Komutlar komut penceresine yazılmalıdır. Komut satırı istemini belirten » sembolünün yazılmasına gerek yoktur. Çalışma alanını görüntülemek için kaydırma çubuklarını veya sola veya sağa hareket etmek için Home, End tuşlarını ve yukarı veya aşağı hareket etmek için PageUp, PageDown tuşlarını kullanmak kullanışlıdır. Aniden, komut penceresinin çalışma alanında dolaştıktan sonra, yanıp sönen imlecin bulunduğu komut satırı kaybolursa, Enter tuşuna basmanız yeterlidir.

MatLab'ın o komutu çalıştırabilmesi veya ifadeyi değerlendirebilmesi için herhangi bir komut veya ifade yazmanın Enter tuşuna basılmasıyla bitmesi gerektiğini unutmamak önemlidir.

1.2. Basit hesaplamalar

Komut satırına 1+2 yazıp Enter tuşuna basın. Sonuç olarak MatLab komut penceresi aşağıdakileri görüntüler:

Pirinç. 2 Temel bileşen analizinin grafiksel gösterimi

MatLab programı ne yaptı? Önce 1+2 toplamını hesapladı, sonra sonucu özel bir değişken olan ans'a yazdı ve 3'e eşit olan değerini komut penceresinde gösterdi. Yanıtın altında, MatLab'ın daha sonraki hesaplamalar için hazır olduğunu gösteren, yanıp sönen bir imlecin bulunduğu bir komut satırı bulunur. Komut satırına yeni ifadeler yazabilir ve anlamlarını bulabilirsiniz. Önceki ifadeyle çalışmaya devam etmeniz gerekiyorsa, örneğin hesapla (1+2)/4.5), o zaman en kolay yol, ans değişkeninde saklanan mevcut sonucu kullanmaktır. ans/4.5 yazın (girerken ondalık sayılar nokta kullanılır) ve tuşuna basın Girmek, çıkıyor

Pirinç. 3 Temel bileşen analizinin grafiksel gösterimi

1.3. Yankı komutları

MatLab'da her komutun yürütülmesine bir yankı eşlik eder. Yukarıdaki örnekte cevap ans = 0,6667'dir. Çoğu zaman yankı, programın çalışmasının algılanmasını zorlaştırır ve daha sonra kapatılabilir. Bunu yapmak için komutun noktalı virgülle bitmesi gerekir. Örneğin

Pirinç. 4 ScoresPCA işlevine girme örneği

1.4. Çalışma ortamının korunması. MAT dosyaları

Tüm değişken değerlerini kaydetmenin en kolay yolu Dosya menüsündeki Çalışma Alanını Farklı Kaydet seçeneğini kullanmaktır. Bu, dizini ve dosya adını belirtmeniz gereken Çalışma Alanı Değişkenlerini Kaydet iletişim kutusunu açacaktır. Varsayılan olarak, dosyanın ana MatLab dizininin çalışma alt dizinine kaydedilmesi önerilir. Program, çalışmasının sonuçlarını mat uzantılı bir dosyaya kaydedecektir. Artık MatLab'ı kapatabilirsiniz. Bir sonraki çalışma oturumunda değişkenlerin değerlerini geri yüklemek için, kaydedilen bu dosyayı Dosya menüsünün Aç alt öğesini kullanarak açmalısınız. Artık son oturumda tanımlanan tüm değişkenler tekrar kullanılabilir. Yeni girilen komutlarda kullanılabilirler.

1.5. Dergi

MatLab, yürütülebilir komutları ve sonuçları bir metin dosyasına yazma (bir çalışma günlüğü tutma) yeteneğine sahiptir; bu dosya daha sonra bir metin düzenleyiciden okunabilir veya yazdırılabilir. Günlüğe kaydetmeyi başlatmak için şu komutu kullanın: günlük. Komut argümanı olarak günlük iş günlüğünün saklanacağı dosyanın adını belirtmelisiniz. Daha sonra yazılan komutlar ve bunların yürütülmesinin sonuçları, örneğin bir dizi komut gibi bu dosyaya yazılacaktır.

aşağıdaki eylemleri gerçekleştirir:

examplepl-1.txt dosyasındaki günlüğü açar;

hesaplamalar yapar;

tüm değişkenleri MAT dosyasındaki work-1.mat dosyasına kaydeder;

günlüğü, MatLab kök dizininin çalışma alt dizinindeki example-1.txt dosyasına kaydeder ve MatLab'ı kapatır;

Bazı metin düzenleyicilerde examplel-1.txt dosyasının içeriğine bakın. Dosya aşağıdaki metni içerecektir:

1.6. Yardım sistemi

Yardım menüsünden Yardım Penceresi seçeneğini seçtikten sonra veya araç çubuğundaki soru düğmesine tıkladığınızda MatLab Yardım penceresi görünür. Aynı işlem komutu yazılarak da yapılabilir. yardım kazan. Tek tek konulara ilişkin yardım pencerelerini görüntülemek için şunu yazın: yardım kazanma konusu. Yardım penceresi size yardım komutuyla aynı bilgileri sağlar, ancak pencere arayüzü diğer yardım konularına daha kullanışlı bir bağlantı sağlar. Math Works Web sayfasının adresini kullanarak şirketin sunucusuna erişebilir ve en iyi şekilde yararlanabilirsiniz. son bilgiİlginizi çeken sorular için. Teknik destek sayfasından yeni yazılım ürünlerini inceleyebilir veya sorunlarınıza yanıt bulabilirsiniz.

2. Matrisler

2.1. Skalerler, vektörler ve matrisler

MatLab'da skalerleri, vektörleri ve matrisleri kullanabilirsiniz. Bir skaler girmek için değerini bir değişkene atamak yeterlidir; örneğin

MatLab'ın büyük harfler ve harfler arasında ayrım yaptığını unutmayın. büyük harfler, dolayısıyla p ve P farklı değişkenlerdir. Dizilere (vektörler veya matrisler) girmek için bunların elemanları köşeli parantez içine alınır. Dolayısıyla, 1x3'lük bir satır vektörü girmek için, satır öğelerinin boşluklarla veya virgüllerle ayrıldığı aşağıdaki komutu kullanın.

Bir sütun vektörüne girerken öğeler noktalı virgülle ayrılır. Örneğin,

Küçük matrisleri doğrudan komut satırından girmek uygundur. Girişte bir matris, her elemanı bir satır vektörü olan bir sütun vektörü olarak düşünülebilir.

veya bir matris, her elemanı bir sütun vektörü olan bir satır vektörü olarak ele alınabilir.

2.2. Öğelere erişim

Matris elemanlarına erişim iki indeks kullanılarak gerçekleştirilir - parantez içindeki satır ve sütun numaraları; örneğin, B(2,3) komutu B matrisinin ikinci satırının ve üçüncü sütununun elemanını döndürür. Bir matristen bir sütun veya satır seçmek için, matrisin sütun veya satır numarasını dizinlerden biri olarak kullanın ve diğer dizini iki nokta üst üste ile değiştirin. Örneğin A matrisinin ikinci satırını z vektörüne yazalım.

Ayrıca iki nokta üst üste kullanarak matris bloklarını da seçebilirsiniz. Örneğin P matrisinden renkle işaretlenmiş bir blok seçelim.

Çalışma ortamı değişkenlerini görüntülemeniz gerekiyorsa, komutu komut satırına yazmanız gerekir. kim .

Çalışma ortamının bir skaler (p), dört matris (A, B, P, P1) ve bir satır vektörü (z) içerdiği görülmektedir.

2.3. Temel Matris İşlemleri

Matris işlemlerini kullanırken, toplama veya çıkarma için matrislerin aynı boyutta olması gerektiğini ve çarpma sırasında ilk matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerektiğini unutmayın. Matrislerin, sayıların ve vektörlerin toplanması ve çıkarılması artı ve eksi işaretleri kullanılarak gerçekleştirilir

ve çarpma yıldız işareti * ile işaretlenmiştir. 3×2 boyutunda bir matris tanıtalım

Bir matrisin bir sayıyla çarpılması da yıldız işareti kullanılarak yapılır ve hem sağda hem de solda bir sayıyla çarpabilirsiniz. Yapı Kare matris^ operatörü kullanılarak bir tam sayının kuvveti üretilir

P matrisini kendisiyle çarparak sonucunuzu kontrol edin.

2.4. Özel türde matrisler oluşturma

Dikdörtgen bir matrisin sıfırlarla doldurulması yerleşik işlev tarafından gerçekleştirilir sıfırlar

Kimlik matrisi, fonksiyon kullanılarak oluşturulur göz

Fonksiyonun çağrılması sonucunda birlerden oluşan bir matris oluşturulur. olanlar

MatLab matrisleri doldurma yeteneği sağlar rastgele numaralar. Fonksiyonun sonucu rand sıfır ile bir arasında eşit olarak dağıtılan sayıların bir matrisidir ve işlevler Randn- dağıtılan sayıların matrisi normal hukuk sıfır ortalama ve birim varyans ile.

İşlev teşhis elemanları diyagonal boyunca düzenleyerek bir vektörden diyagonal bir matris oluşturur.

2.5. Matris hesaplamaları

MatLab birçok şey içeriyor çeşitli işlevler matrislerle çalışmak için. Yani, örneğin, bir matrisin yerini değiştirmek kesme işareti kullanılarak yapılır "

Bulma ters matris fonksiyonu kullanılarak gerçekleştirilir yatırım kare matrisler için

3. MatLab ve Excel'in Bütünleştirilmesi

MatLab ve Excel'in entegre edilmesi, Excel kullanıcısının veri işleme, çeşitli hesaplamalar ve sonuçların görselleştirilmesi için çok sayıda MatLab işlevine erişmesine olanak tanır. excllink.xla eklentisi bu Excel uzantısını uygular. MatLab ve Excel arasındaki iletişim için özel fonksiyonlar tanımlanmıştır.

3.1. Excel Yapılandırması

Excel'i ayarlamadan önce Birlikte çalışma MatLab ile, MatLab'ın kurulu sürümünde Excel Link'in bulunduğundan emin olmalısınız. Ana MatLab dizininin exclink alt dizininde veya toolbox alt dizininde excllink.xla eklentisini içeren bir dosya bulunmalıdır. Excel'i başlatın ve Araçlar menüsünden Eklentiler'i seçin. Mevcut olanlarla ilgili bilgileri içeren bir iletişim kutusu açılacaktır. şu anüst yapılar Gözat düğmesini kullanarak excllink.xla dosyasının yolunu belirtin. Satır, iletişim kutusundaki eklentiler listesinde görünür MatLab ile kullanım için Excel Bağlantısı 2.0 bayrak seti ile. Tamam'ı tıklayın, gerekli eklenti Excel'e eklendi.

Lütfen Excel'in artık üç düğme içeren bir Excel Bağlantısı araç çubuğuna sahip olduğunu unutmayın: putmatrix, getmatrix, evalstring. Bu düğmeler, Excel ile MatLab arasındaki ilişkiyi uygulamak için gereken temel eylemleri (matris verilerinin alışverişi ve Excel ortamından MatLab komutlarının yürütülmesi) uygular. Excel yeniden başlatıldığında excllink.xla eklentisi otomatik olarak bağlanır.

Excel ve MatLab'ın koordineli çalışması, Excel'de varsayılan olarak kabul edilen (ancak değiştirilebilir) birkaç ayar daha gerektirir. Araçlar menüsünde Seçenekler'e gidin, Seçenekler iletişim kutusu açılır. Genel sekmesini seçin ve R1C1 referans stili bayrağının kapalı olduğundan emin olun; hücreler A1, A2 vb. olarak numaralandırılır. Düzenle sekmesinde Seçimi Enter'dan sonra taşı bayrağı ayarlanmalıdır.

3.2. MatLab ve Excel arasında veri alışverişi

Excel'i başlatın, gerekli tüm ayarların önceki bölümde anlatıldığı gibi yapıldığını kontrol edin (MatLab kapatılmalıdır). Excel'in gerektirdiği şekilde ondalık basamakları ayırmak için nokta kullanarak A1'den C3'e kadar olan hücrelere bir matris girin.

Sayfadaki hücre verilerini seçin ve putmatrix düğmesine tıklayın, MatLab'ın çalışmadığını belirten bir uyarı içeren bir Excel penceresi açılır. Tamam'a tıklayın, MatLab'ın açılmasını bekleyin.

Seçilen Excel hücrelerindeki verilerin dışa aktarılması gereken MatLab tezgah değişkeninin adını belirtmek için bir giriş satırı içeren bir Excel iletişim kutusu görüntülenir. Örneğin M girin ve Tamam düğmesini kullanarak pencereyi kapatın. MatLab komut penceresine gidin ve çalışma tezgahında üçe üçlük bir dizi içeren M değişkeninin oluşturulduğundan emin olun:

MatLab'da M matrisiyle bazı işlemler yapın, örneğin onu ters çevirin.

Arama yatırım Diğer MatLab komutları gibi bir matrisi tersine çevirmek için bunu doğrudan Excel'den yapabilirsiniz. Excel Bağlantı panelinde bulunan evalstring düğmesine tıklamak, giriş satırında MatLab komutunu yazmanız gereken bir iletişim kutusunun görünmesine neden olur

IM=inv(M) .

Sonuç, MatLab ortamında komut çalıştırıldığında elde edilene benzer.

Excel'e dönün, A5 hücresini geçerli hücre yapın ve getmatrix düğmesini tıklayın. Excel'e aktarılacak değişkenin adını girmenizi isteyen bir giriş satırı içeren bir iletişim kutusu görüntülenir. İÇİNDE bu durumda böyle bir değişken IM'dir. Tamam'ı tıklayın, A5'ten A7'ye kadar olan hücrelere ters matris öğeleri girilir.

Bu nedenle, bir matrisi MatLab'a aktarmak için, Excel sayfasının uygun hücrelerini seçmelisiniz ve onu içe aktarmak için yalnızca içe aktarılan dizinin sol üst öğesi olacak bir hücre belirtmeniz gerekir. Geriye kalan öğeler, dizinin boyutlarına göre çalışma sayfası hücrelerine, içerdikleri verilerin üzerine yazılacaktır, bu nedenle dizileri içe aktarırken dikkatli olmalısınız.

Yukarıdaki yaklaşım en basit bir şekilde uygulamalar arasında bilgi alışverişi - kaynak veriler Excel'de bulunur, ardından MatLab'a aktarılır, orada bir şekilde işlenir ve sonuç Excel'e aktarılır. Kullanıcı, Excel Bağlantısı araç çubuğu düğmelerini kullanarak verileri aktarır. Bilgi bir matris biçiminde sunulabilir, yani. çalışma sayfasının dikdörtgen alanı. Bir satır veya sütunda düzenlenen hücreler sırasıyla MatLab satır vektörlerine ve sütun vektörlerine aktarılır. Satır vektörlerinin ve sütun vektörlerinin Excel'e aktarılması benzer şekilde gerçekleşir.

4. Programlama

4.1. M dosyaları

Çok sayıda komut girmeniz ve bunları sık sık değiştirmeniz gerekiyorsa MatLab komut satırından çalışmak zorlaşır. Komut kullanarak günlük tutmak günlük ve çalışma ortamının sürdürülmesi çalışmayı biraz daha kolaylaştırır. En çok uygun bir şekilde MatLab komut gruplarını yürütmek, komutları yazabileceğiniz, hepsini bir kerede veya parçalar halinde yürütebileceğiniz, bunları bir dosyaya kaydedebileceğiniz ve daha sonra kullanabileceğiniz M dosyalarının kullanılmasıdır. M dosyası düzenleyicisi M dosyalarıyla çalışacak şekilde tasarlanmıştır. Onun yardımıyla, kendi işlevlerinizi oluşturabilir ve bunları komut penceresinden de dahil olmak üzere çağırabilirsiniz.

Ana MatLab penceresinin Dosya menüsünü genişletin ve Yeni öğede M dosyası alt öğesini seçin. Yeni dosya, şekilde gösterilen M dosyası düzenleyici penceresinde açılır.

MatLab'da iki tür M dosyası vardır: program dosyası ( Komut Dosyası M Dosyaları), bir dizi komut ve dosya işlevlerini içeren, ( İşlev M Dosyaları), kullanıcı tanımlı işlevleri açıklar.

4.2. Dosya programı

Düzenleyiciye, bir grafik penceresinde iki grafiğin oluşturulmasına yol açan komutları girin

Şimdi düzenleyicinin Dosya menüsünden Farklı kaydet'i seçerek mydemo.m adlı dosyayı ana MatLab dizininin çalışma alt dizinine kaydedin. Dosyanın içerdiği tüm komutları çalıştırmak için Hata Ayıklama menüsünden Çalıştır'ı seçin. Ekranda bir grafik penceresi görünecektir Şekil 1, fonksiyonların grafiklerini içerir.

Dosya programı komutlarının çıktısı komut penceresine gönderilir. Çıktıyı bastırmak için komutları noktalı virgülle sonlandırmanız gerekir. Yazma sırasında bir hata yapılırsa ve MatLab komutu tanıyamazsa, yanlış girilene kadar olan komutlar yürütülür ve ardından komut penceresinde bir hata mesajı görüntülenir.

M dosyası düzenleyicisinin sağladığı çok kullanışlı bir özellik, bazı komutların yürütülmesidir. Grafik penceresini kapat Şekil 1. Sol düğmeyi basılı tutarken fareyi kullanmayı veya tuşu basılı tutarken ok tuşlarını kullanmayı seçin Vardiya, ilk dört komutu seçin ve bunları Metin öğesinden yürütün. Lütfen grafik penceresinde yürütülen komutlara karşılık gelen yalnızca bir grafiğin görüntülendiğini unutmayın. Bazı komutları yürütmek için bunları seçip F9 tuşuna basmayı unutmayın.

M dosyasının bireysel blokları, yürütme sırasında atlanan ancak M dosyasıyla çalışırken kullanışlı olan yorumlarla sağlanabilir. Yorumlar yüzde işaretiyle başlar ve otomatik olarak yeşil renkte vurgulanır, örneğin:

Mevcut bir M dosyasının açılması, çalışma ortamının Dosya menüsündeki Aç öğesi veya M dosyası düzenleyicisi kullanılarak yapılır.

4.3. Dosya işlevi

Yukarıda tartışılan dosya programı yalnızca bir MatLab komutları dizisidir; giriş veya çıkış argümanlarına sahip değildir. Kullanmak için Sayısal yöntemler ve MatLab'da kendi uygulamalarınızı programlarken, üreten dosya fonksiyonlarını oluşturabilmelisiniz. gerekli eylemler giriş argümanlarıyla ve eylemin sonucunu çıkış argümanlarında döndürün. Dosya işlevleriyle nasıl çalışılacağını anlamanıza yardımcı olacak birkaç basit örneğe bakalım.

Çok değişkenli kemometrik analizden elde edilen veriler ön işleme tabi tutulurken sıklıkla ortalama kullanılır. Dosya fonksiyonunu bir kez yazıp ardından ortalamanın yapılması gereken yere çağırmak mantıklıdır. M dosyası düzenleyicisinde yeni bir dosya açın ve şunu yazın:

İlk satırdaki fonksiyon kelimesi bu dosyanın bir fonksiyon dosyası içerdiğini belirtir. İlk satır, fonksiyonun adını ve giriş ve çıkış argümanlarının listesini içeren fonksiyon başlığıdır. Örnekte, işlev adı merkezlemedir, bir giriş argümanı X ve bir çıkış argümanı Xc'dir. Başlığı yorumlar takip eder ve ardından değerinin hesaplandığı fonksiyonun gövdesi (bu örnekte iki satırdan oluşur) gelir. Hesaplanan değerin Xc'ye yazılması önemlidir. Gereksiz bilgilerin ekranda görüntülenmesini önlemek için noktalı virgül eklemeyi unutmayın. Şimdi dosyayı çalışma dizininize kaydedin. Dosya menüsünden Kaydet veya Farklı Kaydet öğesinin seçilmesinin, Dosya adı alanının zaten ortalanmış adı içerdiği bir Dosyayı Kaydet iletişim kutusunun görünmesiyle sonuçlanacağını lütfen unutmayın. Değiştirmeyin, işlev dosyasını önerilen adla bir dosyaya kaydedin!

Artık oluşturulan işlev yerleşik sin, cos ve diğerleriyle aynı şekilde kullanılabilir. Kendi işlevleri bir dosya programından ve başka bir dosya işlevinden çağrılabilir. Matrisleri ölçeklendirecek bir dosya işlevini kendiniz yazmaya çalışın; her sütunu o sütunun standart sapmasına bölün.

Virgülle ayrılmış bir listeye yerleştirilen çeşitli giriş bağımsız değişkenlerini içeren bir işlev dosyası yazabilirsiniz. Birden fazla değer döndüren işlevler de oluşturabilirsiniz. Bunu yapmak için, çıktı bağımsız değişkenleri, virgüllerle ayrılmış olarak çıktı bağımsız değişkenleri listesine eklenir ve listenin kendisi köşeli parantez içine alınır. İyi bir örnek saniye cinsinden belirtilen süreyi saat, dakika ve saniyeye dönüştüren bir fonksiyondur.

Çoklu çıktı argümanlarıyla dosya fonksiyonları çağrılırken sonuç uygun uzunlukta bir vektöre yazılmalıdır.

4.4 Grafik oluşturma

MatLab'ın aşağıdakiler için geniş fırsatları var: grafik görüntü vektörler ve matrislerin yanı sıra yorumlar oluşturmak ve grafikleri yazdırmak için. Birkaç önemli grafik fonksiyonunu tanımlayalım.

İşlev komplo Var çeşitli şekiller giriş parametreleriyle ilişkili; örneğin, arsa(y), y öğelerinin indekslerine göre parçalı doğrusal bir grafiğini oluşturur. Eğer argüman olarak iki vektör verilirse, arsa(x,y) y'ye karşı x'in bir grafiğini üretecektir. Örneğin, günah fonksiyonunu 0 ila 2π aralığında çizmek için aşağıdakileri yapın:

Program, pencerede görüntülenen bir bağımlılık grafiği oluşturmuştur. Şekil 1

MatLab, her çizime otomatik olarak farklı bir renk atar (kullanıcı bunu yapmadığı sürece), böylece veri kümeleri arasında ayrım yapabilirsiniz.

Takım devam etmek Mevcut bir grafiğe eğriler eklemenizi sağlar. İşlev alt olay örgüsü birden fazla grafiği tek bir pencerede görüntülemenizi sağlar

4.5 Grafiklerin yazdırılması

Dosya menüsündeki Yazdır öğesi ve komut Yazdır Yazdır MatLab grafikleri. Yazdır menüsü, ortak standart yazdırma seçeneklerini seçmenizi sağlayan bir iletişim kutusu açar. Takım Yazdırçıktıda daha fazla esneklik sağlar ve M dosyalarından yazdırma üzerinde kontrole olanak tanır. Sonuç doğrudan varsayılan yazıcıya gönderilebilir veya belirli bir dosyaya kaydedilebilir.

5. Örnek programlar

Bu bölümde çok boyutlu verilerin analizinde kullanılan en yaygın kullanılan algoritmalar açıklanmaktadır. Hem veri dönüştürmenin en basit yöntemleri (merkezleme ve ölçeklendirme) hem de veri analizine yönelik algoritmalar (PCA, PLS) dikkate alınır.

5.1. Merkezleme ve ölçeklendirme

Çoğu zaman analiz sırasında orijinal verileri dönüştürmek gerekir. En sık kullanılan veri dönüştürme yöntemleri, her değişkeni ortalamak ve ölçeklendirmektir. standart sapma. Matrisin merkezlenmesi için fonksiyon kodu verildi. Bu nedenle aşağıda sadece fonksiyonun kodu gösterilmektedir. terazi veri. Orijinal matrisin ortalanması gerektiğini lütfen unutmayın

5.2. SVD/PCA

Verileri sıkıştırmanın en popüler yolu çok değişkenli analiz temel bileşen analizidir (PCA). İLE matematiksel nokta PCA orijinal matrisin ayrıştırılmasıdır X, yani bunu iki matrisin çarpımı olarak temsil etmek T Ve P

X = TP t+ e

Matris T puanların (puanların) matrisi denir, matris bir artıklar matrisidir.

Matrisleri bulmanın en basit yolu T Ve P- standart aracılığıyla SVD ayrıştırmasını kullanın MatLab işlevi, isminde SVD .

5.3 PCA/NIPALLER

PCA hesapları ve yükleri oluşturmak için her adımda bir bileşeni hesaplayan yinelenen NIPALS algoritması kullanılır. İlk olarak orijinal matris X dönüştürülür (en azından merkezli; bkz.) ve bir matrise dönüşür e 0 , A=0. Sonraki başvuru sonraki algoritma.

T 2. P t = T T eA / T T T 3. P = P / (P T P) ½ 4. T = eA P / P T P 5. Yakınsamayı kontrol edin, değilse 2'ye gidin

Sonrakini hesapladıktan sonra ( A-th) bileşenlerin olduğunu varsayıyoruz TA=T Ve PA=P e A+1 = eA – T P A Açık A+1.

NIPALS algoritmasının kodu bu kılavuzda okuyucuların kendileri tarafından yazılabilir; yazarlar kendi versiyonlarını sunarlar. PCA'yı hesaplarken, ana bileşenlerin sayısını (değişken sayıPC) girebilirsiniz. Kaç bileşene ihtiyaç duyulduğunu bilmiyorsanız komut satırına = pcanipals (X) yazmalısınız ve ardından program, bileşen sayısını orijinal matrisin boyutlarından en küçüğüne eşit olarak ayarlayacaktır. X.

Chemometrics eklentisini kullanarak PCA'nın nasıl hesaplanacağı eğitimde açıklanmaktadır.

5.4PLS1

Çok değişkenli kalibrasyon için en popüler yöntem Gizli Yapılara Projeksiyon (PLS) yöntemidir. Bu yöntem, öngörücü matrisin eşzamanlı ayrıştırılmasını içerir X ve yanıt matrisleri e:

X=TP t+ e e=UQ t+ F T=XW(P T W) –1

Projeksiyon, karşılık gelen vektörler arasındaki korelasyonu en üst düzeye çıkaracak şekilde tutarlı bir şekilde oluşturulmuştur. X-hesaplar TA Ve e-hesaplar senA. Veri bloğu ise e birden fazla yanıt içerir (ör. k>1), başlangıç ​​verilerinin iki projeksiyonu oluşturulabilir – PLS1 ve PLS2. İlk durumda, yanıtların her biri için sen k kendi projeksiyon alt uzayı inşa edilmiştir. Aynı zamanda faturalar T (sen) ve yükler P (W, Q) hangi yanıtın kullanıldığına bağlıdır. Bu yaklaşıma PLS1 denir. PLS2 yöntemi için tüm yanıtlar için ortak olan yalnızca bir projeksiyon alanı oluşturulur.

Bu kitapta PLS yönteminin ayrıntılı bir açıklaması verilmiştir. PLS1 hesapları ve yükleri oluşturmak için tekrarlayan bir algoritma kullanılır. İlk olarak orijinal matrisler X Ve e merkez

ve bir matrise dönüşüyorlar e 0 ve vektör F 0 , A=0. Daha sonra bunlara aşağıdaki algoritma uygulanır.

1. w t = FA T e A 2. w = w / (w T w) ½ 3. T = eA w 4. Q = T T FA / T T T 5. sen = QFA / Q 2 6. P t = T T eA / T T T

Sonrakini hesapladıktan sonra ( A-th) bileşenlerin olduğunu varsayıyoruz TA=T Ve PA=P. Bir sonraki bileşeni elde etmek için kalanları hesaplamanız gerekir. e A+1 = eA – T P t ve indeksi değiştirerek aynı algoritmayı onlara uygulayın A Açık A+1.

İşte bu algoritmanın kitaptan alınan kodu

Eklentiyi kullanarak PLS1'i hesaplama hakkında KemometriEkle Excel'deki Projeksiyon yöntemleri kılavuzunda açıklanmıştır.

5.5PLS2

PLS2 için algoritma aşağıdaki gibidir. İlk olarak orijinal matrisler X Ve e dönüşürler (en azından merkez; bkz.) ve matrislere dönüşürler e 0 ve F 0 , A=0. Daha sonra bunlara aşağıdaki algoritma uygulanır.

1. Başlangıç ​​vektörünü seçin sen 2. w t = sen T e A 3. w = w / (w T w) ½ 4. T = eA w 5. Q t = T T FA / T T T 6. sen = FA Q/ Q T Q 7. Yakınsamayı kontrol edin, değilse 2 8'e gidin. P t = T T eA / T T T

Sonrakini hesapladıktan sonra ( A oh) PLS2 bileşenlerinin yerleştirilmesi gerekiyor: TA=T, PA=p, wA=w, senA=sen Ve Q bir = Q. Bir sonraki bileşeni elde etmek için kalanları hesaplamanız gerekir. e A+1 = eA –t p t ve FA +1 = F A – teşekkür ederim t ve indeksi değiştirerek aynı algoritmayı onlara uygulayın A Açık A+1.

İşte yine kitaptan ödünç alınan kod.

Eklentiyi kullanarak PLS2'yi hesaplama hakkında KemometriEkle Excel'deki Projeksiyon yöntemleri kılavuzunda açıklanmıştır.

Çözüm

MatLab veri analizi için çok popüler bir araçtır. Ankete göre, tüm araştırmacıların üçte biri bu programı kullanırken, Unsrambler programı bilim adamlarının yalnızca %16'sı tarafından kullanılıyor. MatLab'ın en büyük dezavantajı yüksek fiyat. Ayrıca MatLab rutin hesaplamalar için de iyidir. Etkileşim eksikliği, yeni, keşfedilmemiş veri kümeleri için arama ve araştırma hesaplamaları yaparken bunu sakıncalı hale getirir.

13.7. Bohr'un teorisine göre hidrojen atomu (hidrojen benzeri atom)

13.7.3. Elektron atomdaki yörüngelerde

Buna göre yörünge nicemleme kuralı ( Somerfeld ilkesi) bir atomdaki elektronun durağan durumlarının enerjisi, yörüngesinin yarıçapı ve bu yörüngedeki hız arasındaki ilişki formülle verilir.

mvr = nℏ,

burada m elektron kütlesidir, m = 9,11 ⋅ 10 −31 kg; v - elektron hızı; r, elektron yörüngesinin yarıçapıdır; ℏ - azaltılmış Planck sabiti, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; h, Planck sabitidir, h = 6,626 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; n baş kuantum sayısıdır.

Yörüngelerin kuantizasyonu kuralından, bir atomdaki bir elektronun durağan durumlarının yalnızca koşulun sağlandığı elektron yörüngelerine karşılık geldiği sonucu çıkar.

mv n r n = n ℏ,

burada r n, n numaralı yörüngedeki elektronun yarıçapıdır; v n - n numaralı yörüngedeki elektron hızı; m elektron kütlesidir, m = 9,11 ⋅ 10 −31 kg; ℏ - azaltılmış Planck sabiti, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; h, Planck sabitidir, h = 6,626 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; n baş kuantum sayısıdır.

Sabit elektron yörüngesinin yarıçapı

r n = ℏ 2 n 2 k Z e 2 m ,

burada k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m2 /Cl 2; ε 0 - elektrik sabiti, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 F/m; Z - elemanın seri numarası; e elektron yüküdür, e = −1,6 ⋅ 10 −19 C; m elektron kütlesidir, m = 9,11 ⋅ 10 −31 kg; ℏ - azaltılmış Planck sabiti, ℏ = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; h, Planck sabitidir, h = 6,626 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; n baş kuantum sayısıdır.

İlk yörünge yarıçapı hidrojen atomundaki elektron (Z = 1 ve n = 1) eşittir

r 1 = ℏ 2 k e 2 m = 0,53 ⋅ 10 − 10 m

ve denir ilk Bohr yarıçapı.

Hesaplamaları basitleştirmek için yarıçap n'inci yörüngeler Hidrojen benzeri bir atomdaki elektron için formülü kullanın

r (Å) = 0,53 ⋅ n 2 Z,

burada r (Å) angstrom cinsinden yarıçaptır (1 Å = 1,0 ⋅ 10 −10 m); Z - seri numarası kimyasal element V Periyodik tablo elementler D.I. Mendeleev; n = 1, 2, 3, … ana kuantum sayısıdır.

Sabit bir yörüngedeki elektronun hızı hidrojen benzeri bir atomda formülle belirlenir

v n = k Z e 2 n ℏ ,

burada k = 1/4πε 0 ≈ 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m2 /Cl 2; ε 0 - elektrik sabiti, ε 0 = 8,85 ⋅ 10 −12 F/m; Z - elemanın seri numarası; e elektron yüküdür, e = −1,6 ⋅ 10 −19 C; ℏ - azaltılmış Planck sabiti, ℏ = = h /2π ≈ 1,055 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; h, Planck sabitidir, h = 6,626 ⋅ 10 −34 J ⋅ s; n baş kuantum sayısıdır.

Birinci yörüngedeki elektron hızı bir hidrojen atomunda (Z = 1 ve n = 1) eşittir

v n = k e 2 ℏ = 2,2 ⋅ 10 6 m/s.

Değer hesaplamalarını basitleştirmek için elektron hızı n'inci yörünge hidrojen benzeri bir atomda formül kullanılır

v (m/s) = 2,2 ⋅ 10 6 ⋅ Zn ,

burada v (m/s) - m/s cinsinden hız modülü; Z, Periyodik Elementler Tablosu D.I'deki bir kimyasal elementin seri numarasıdır. Mendeleev; n = 1, 2, 3, … ana kuantum sayısıdır.

Örnek 21. Helyum atomundaki bir elektron, birinci yörüngeden yarıçapı 9 kat daha büyük olan bir yörüngeye doğru hareket eder. Atomun absorbe ettiği enerjiyi bulunuz.

Çözüm . Bir helyum atomu tarafından emilen enerji, enerji farkına eşittir:

∆E = E 2 - E 1 ,

burada E1, r1 yörünge yarıçapına karşılık gelen elektron enerjisidir; E2, r2 yörünge yarıçapına karşılık gelen elektron enerjisidir.

Bir helyum atomundaki (Z = 2) elektron enerjileri aşağıdaki formüllerle belirlenir:

• baş kuantum sayısı n 1 = 1 olan bir durumda -

E 1 (eV) = - 13,6 Z 2 n 1 2 = - 54,4 eV;

• baş kuantum sayısı n 2 olan durum -

E 2 (eV) = - 54,4 n 2 2 .

E2 enerjisini belirlemek için karşılık gelen yörüngelerin yarıçapları için ifadeyi kullanırız:

• temel kuantum sayısı n 1 = 1 olan bir yörünge için -

r 1 (Å) ≈ 0,53 n 1 2 Z = 0,265 Å;

• baş kuantum sayısı n 2 olan yörüngeler -

r2 (Å) ≈ 0,265 n2 2.

Yarıçap oranı

r 2 (Å) r 1 (Å) = 0,265 n 2 2 0,265 = n 2 2

ikinci durumun baş kuantum sayısını belirlememizi sağlar:

n 2 = r 2 (Å) r 1 (Å) = 9 = 3,

burada r2/r1, koşulda belirtilen yörünge yarıçaplarının oranıdır, r2/r1 = 9.

Enerji oranından

E 2 E 1 = 1 n 2 2

ikinci durumdaki bir helyum atomundaki elektron enerjisinin şu olduğu sonucu çıkar:

E 2 = E 1 n 2 2 = − 54,4 eV 3 2 = − 6,04 eV.

Belirtilen geçiş sırasında atom tarafından emilen enerji farktır

∆E = E 2 − E 1 = −6,04 − (−54,4) = 48,4 eV.

Sonuç olarak, belirtilen geçiş sırasında atom 48,4 eV'ye eşit bir enerji emdi.

Örnek 1. Hidrojen atomu için ilk Bohr yörüngesinin yarıçapını ve üzerindeki elektronun hızını hesaplayın.

Çözüm. Yarıçap n'inci Bohr yörüngesi r n ve hız senüzerindeki elektronlar Bohr'un ilk önermesinin denklemiyle birbirine bağlanır:

ben n r n = n. (3.1)

Miktarlarla ilgili başka bir denklemin olması sen Ve r nÇekirdeğin Coulomb çekim kuvvetinin etkisi altında dairesel bir yörüngede hareket eden bir elektron için Newton'un ikinci yasasını yazalım. Hidrojen atomunun çekirdeğinin, yükü mutlak değer olarak bir elektronun yüküne eşit olan bir proton olduğunu göz önünde bulundurarak şunu yazarız:

Nerede M– elektron kütlesi, – normal ivme. (3.1) ve (3.2)'yi birlikte çözersek şunu elde ederiz:

Onu buraya koyuyorum n=1, hesaplamaları yapalım:

; .

Örnek 2. Hidrojen atomundaki elektron dördüncü enerji seviyesinden ikinci enerji seviyesine geçmiştir. Yayılan fotonun enerjisini ve dalga boyunu belirleyin.

Çözüm. Foton enerjisini belirlemek için hidrojen benzeri iyonlara ilişkin seri formülü kullanırız:

, (3.3)

Nerede λ – foton dalga boyu; R – Rydberg sabiti; Z– göreceli birimlerdeki nükleer yük (at) Z= 1 formülü hidrojenin seri formülüne girer); n 1– elektronun hareket ettiği yörüngenin numarası; n 2– elektronun hareket ettiği yörünge numarası ( n 1 Ve n 2– temel kuantum sayıları).

Foton enerjisi E aşağıdaki formülle ifade edilir

Bu nedenle eşitliğin her iki tarafı (13.3) ile çarpılır. hc foton enerjisi için bir ifade elde ederiz:

.

Çünkü Rhc iyonlaşma enerjisidir E ben o zaman hidrojen atomu

.

Eşitlik (3.4)'ten fotonun dalga boyunu ifade ediyoruz

Hesaplamaları sistem dışı birimlerde yapacağız: E ben= 13,6 eV; Z = 1; n 1 = 2; n 2 = 4:

eV = 2,55 ev.

M.

Örnek 3. Başlangıç ​​hızı ihmal edilebilecek bir elektron, hızlanan bir potansiyel farkından geçmiştir. sen. İki durum için elektronun de Broglie dalga boyunu bulun: 1) U 1= 51V; 2) U 2= 510 kV.

Çözüm. Bir parçacığın de Broglie dalga boyu onun momentumuna bağlıdır R ve formülle belirlenir

Nerede H– Planck sabiti.

Bir parçacığın momentumu, kinetik enerjisi biliniyorsa belirlenebilir. T. Momentum ve kinetik enerji arasındaki ilişki, göreli olmayan durum için (parçacığın kinetik enerjisinin dinlenme enerjisinden çok daha az olduğu zaman) ve göreli durum için (kinetik enerjinin parçacığın dinlenme enerjisiyle karşılaştırılabilir olduğu zaman) farklıdır.

Göreli olmayan durumda

Nerede m 0 parçacığın geri kalan kütlesidir.

Göreli durumda

, (3.7)

Nerede E 0 = m 0 sn 2– parçacığın dinlenme enerjisi.

(3.6) ve (3.7) ilişkilerini dikkate alan formül (3.5) yazılacaktır:

Göreli olmayan durumda

Göreli durumda

. (3.9)

Problem koşullarında belirtilen potansiyel farkından geçen bir elektronun kinetik enerjilerini karşılaştıralım. U 1= 51V ve U 2= 510 kV, elektronun geri kalan enerjisi ile ve buna bağlı olarak de Broglie dalga boyunu hesaplamak için (3.8) veya (3.9) formüllerinden hangisinin kullanılması gerektiğine karar vereceğiz.

Bilindiği gibi ivmelenen bir potansiyel farkından geçen elektronun kinetik enerjisi sen,

T = AB.

İlk durumda T1 = AB 1= 51 eV = 0,51 · 10 -4 MeV, bu elektronun dinlenme enerjisinden çok daha azdır E 0 = m 0 sn 2= 0,51 MeV. Bu nedenle bu durumda formül (3.8)'i uygulayabiliriz. Hesaplamaları basitleştirmek için şunu unutmayın: T1 = 10 -4 m 0 c 2. Bu ifadeyi formül (3.8)'de yerine koyarak, formda yeniden yazıyoruz.

.

Compton dalga boyu olduğu düşünülürse λ , alıyoruz

Çünkü λ = 14.43, o zaman

İkinci durumda kinetik enerji T2 = AB 2= 510 keV = 0,51 MeV, yani. elektronun dinlenme enerjisine eşittir. Bu durumda başvurulması gerekmektedir. göreli formül(3.9). Hesaba katıldığında T2= 0,51 MeV = m 0 sn 2, formülü (3.9) kullanarak buluyoruz

,

λ değerini yerine koyalım ve hesaplamaları yapalım:

Örnek 4. Hidrojen atomundaki bir elektronun kinetik enerjisi büyüklük sırasına göredir. T= 10 eV. Belirsizlik ilişkisini kullanarak bir atomun minimum doğrusal boyutlarını tahmin edin.

Çözüm. Konum ve momentum için belirsizlik ilişkisi şu şekildedir:

Nerede Dx– parçacığın (bu durumda elektron) koordinatının belirsizliği; Drx– parçacık (elektron) momentumunun belirsizliği; – Planck sabiti.

Belirsizlik ilişkisinden, bir parçacığın uzaydaki konumu ne kadar doğru belirlenirse, momentumun ve dolayısıyla parçacığın enerjisinin de o kadar belirsiz hale geldiği sonucu çıkar. Atomun doğrusal boyutları olsun ben o zaman atomun elektronu belirsizliğin olduğu bölgede bir yere yerleştirilecektir.

Ayrıklığın varlığı enerji seviyeleri atomların (aynı zamanda moleküllerin ve atom çekirdeğinin) temel bir özelliğidir.

Enerji seviyelerinin farklılığını açıklayan atomun yapısını hayal etmek için bildiğimiz fizik yasalarını uygulamaya çalışalım.

En basit atom olan hidrojen atomunu ele alalım. Periyodik element tablosundaki hidrojenin sıra sayısı bire eşit Bu nedenle bir hidrojen atomu, yükü eşit olan pozitif bir çekirdek ve bir elektrondan oluşur. Çekirdek ile elektron arasında yükler arasında bir çekim kuvveti vardır. Bu kuvvetin varlığı, bir gezegenin yerçekiminin etkisi altında Güneş'in etrafında dönmesiyle aynı şekilde, hafif bir elektronun ağır bir çekirdeğin etrafında dairesel veya eliptik bir yörüngede dönmesi nedeniyle radyal (merkezcil) ivme sağlar. Dolayısıyla atomun farklı olası durumları, çekirdek etrafında dönen elektronun yörüngesinin boyutundaki (ve şeklindeki) farklılığa karşılık gelir.

Bir atomdaki elektronun enerjisi, yörünge boyunca hareketin kinetik enerjisinden ve çekirdeğin elektrik alanındaki potansiyel enerjiden oluşur. Dairesel bir yörüngedeki bir elektronun enerjisinin ve dolayısıyla bir bütün olarak atomun enerjisinin yörüngenin yarıçapına bağlı olduğu gösterilebilir (paragrafın sonuna bakın): yörüngenin daha küçük bir yarıçapı buna karşılık gelir. atomun daha küçük bir enerjisine. Ancak § 204'te gördüğümüz gibi, bir atomun enerjisi herhangi bir değeri değil, yalnızca belirli seçilmiş değerleri alabilir. Enerji yörüngenin yarıçapı tarafından belirlendiğinden, atomun her enerji seviyesi seçilen belirli bir yarıçaptaki bir yörüngeye karşılık gelir.

Bir hidrojen atomundaki bir elektronun olası dairesel yörüngelerinin resmi Şekil 2'de gösterilmektedir. 367. Bir atomun ana enerji seviyesi, en küçük yarıçaptaki bir yörüngeye karşılık gelir.

Pirinç. 367. Hidrojen atomundaki bir elektronun olası yörüngeleri: yörüngelerin yarıçapı orantılı olarak artar, yani. ilişki içinde vb.

Normalde elektron bu yörüngededir. Yeterli miktarda enerji verildiğinde elektron başka bir enerji düzeyine geçer, yani dış yörüngelerden birine “sıçrar”. Belirtildiği gibi böyle uyarılmış bir durumda atom kararsızdır. Bir süre sonra elektron daha düşük bir seviyeye hareket eder, yani daha küçük yarıçaplı bir yörüngeye “sıçrar”. Bir elektronun uzak bir yörüngeden yakın bir yörüngeye geçişine bir ışık kuantumunun yayılması eşlik eder.

Dolayısıyla, atomun nükleer modelinden ve enerji seviyelerinin farklılığından, atomda seçilmiş, "izin verilen" elektron yörüngelerinin varlığı ortaya çıkar. Bir elektronun neden rastgele bir yarıçaptaki bir yörüngede bir çekirdeğin etrafında dönemediği sorusu ortaya çıkıyor. Ne fiziksel fark izin verilen ve yasa dışı yörüngeler?

Ders kitabının önceki bölümlerinden aşina olduğumuz mekanik ve elektrik yasaları (bkz. cilt I, II) bu sorulara herhangi bir yanıt vermiyor. Bu yasalar açısından bakıldığında tüm yörüngeler tamamen eşittir. Özel yörüngelerin varlığı bu yasalarla çelişmektedir.

Bildiğimiz fizik yasalarıyla aynı derecede çarpıcı bir çelişki, atomun (temel durumdaki) kararlılığıdır. İvmeyle hareket eden herhangi bir yükün elektromanyetik dalgalar yaydığını biliyoruz. Elektromanyetik radyasyon enerjiyi uzaklaştırın. Bir atomda elektron, küçük yarıçaplı bir yörüngede yüksek hızda hareket eder ve bu nedenle büyük bir merkezcil ivmeye sahiptir. Bildiğimiz yasalara göre bir elektronun, elektromanyetik dalgalar şeklinde yayarak enerji kaybetmesi gerekir. Ancak yukarıda da belirtildiği gibi elektron enerji kaybederse yörüngesinin yarıçapı küçülür. Sonuç olarak elektron sabit yarıçaplı bir yörüngede dönemez. Hesaplamalar, radyasyon nedeniyle yörünge yarıçapının azalması sonucunda elektronun saniyenin yüz milyonda biri kadar bir sürede çekirdeğe düşmesi gerektiğini gösteriyor. Bu sonuç, atomların kararlılığını gösteren günlük deneyimimizle keskin bir şekilde çelişmektedir.

Yani atomun yapısına ilişkin deney sonucu elde edilen veriler ile yine deneysel olarak bulunan temel mekanik ve elektrik yasaları arasında bir çelişki vardır.

Ancak bahsedilen yasaların çok fazla sayıda elektron ve çok sayıda atom içeren cisimler üzerinde yapılan deneylerde bulunup test edildiğini de unutmamak gerekir. Bu yasaların atomdaki tek bir elektronun hareketine uygulanacağına inanmamız için hiçbir nedenimiz yok. Dahası, bir atomdaki elektronun davranışı ile yasalar arasındaki tutarsızlık klasik fizik bu yasaların atomik olaylara uygulanamayacağını gösterir (ayrıca bkz. § 210).

Yukarıda atomun sözde gezegen modelinin ana hatlarını çizdik; elektronların izin verilen yörüngelerde dönmesi fikri atom çekirdeği. Gezegen modelini gerekçelendirirken klasik fizik yasalarını kullandık. Ancak, daha önce de belirtildiği gibi ve § 210'da daha ayrıntılı olarak göreceğimiz gibi, bir atomdaki elektronun hareketi, içinde yer aldığı olgular alanına aittir. Klasik mekanik uygulanamaz. Bu nedenle, "mikro dünya"nın daha derinlemesine incelenmesinin, gezegen modelinin eksikliğini ve kabaca yaklaşıklığını göstermesi şaşırtıcı değildir; atomun gerçek resmi daha karmaşıktır. Bununla birlikte, bu model atomun temel özelliklerinin çoğunu doğru bir şekilde yansıtmaktadır ve bu nedenle, yaklaşımına rağmen bazen kullanılmaktadır.

Bir hidrojen atomunun enerjisinin elektron yörüngesinin yarıçapına bağımlılığını düşünelim. Yarıçaplı bir yörünge boyunca elektron hareketinin kinetik enerjisini, merkezcil ivmenin yüklerin Coulomb çekim kuvveti tarafından sağlanması koşulundan (SI sisteminde) belirleriz. Bu kuvvetin yarattığı ivmeyi merkezcil ivmeye eşitlediğimizde elektronun kinetik enerjisinin yörünge yarıçapı ile ters orantılı olduğunu buluruz. .

Yarıçapı ve olan iki yörünge seçelim. İkinci yörüngedeki elektron dönüşünün kinetik enerjisi birinciden bir miktar daha fazladır. .

Yörüngeler birbirinden çok uzak değilse, o zaman . Bu nedenle paydadaki miktar ihmal edilebilir ve kinetik enerjilerdeki fark yaklaşık olarak eşit olacaktır.

Tam tersine, elektronun potansiyel enerjisi ilk uzak yörüngede daha büyüktür, çünkü elektronu seriden çıkarmak için elektron ile çekirdek arasında etki eden elektriksel çekim kuvvetlerine karşı iş yapılması gerekir; bu çalışma potansiyel enerjiyi arttırmaya yöneliktir.

Bir elektronun yakın bir yörüngeden uzak bir yörüngeye radyal bir yol boyunca aktarılmasına izin verin. Yol uzunluğu . Elektrik gücü bu yol boyunca büyüklük olarak sabit değildir. Ancak yörüngeler birbirine yakın olduğundan, işin yaklaşık bir hesaplaması için, elektronun çekirdeğe ortalama mesafesindeki kuvvetin değerini kullanmak mümkündür: . Coulomb yasasına göre kuvvet ve yol üzerindeki iş, potansiyel enerjideki artışa eşit olacaktır.

Böylece bir elektron uzak bir yörüngeden yakın bir yörüngeye hareket ettiğinde potansiyel enerjisindeki azalma kinetik enerjisindeki artışın iki katına eşit olur. Bu teoremi, aralarındaki mesafenin koşulu karşıladığı yakın yörüngeler için kanıtladık. Ardışık yakın yörünge çiftleri arasındaki geçişler sırasında elektron enerjisindeki değişiklikleri toplayarak, teoremin keyfi olarak uzak yörüngeler için de geçerli olduğuna ikna olduk.

Şimdi sonsuz uzaklıktaki bir yörüngeyi ele alalım; Elektronun üzerindeki potansiyel enerjisini potansiyel enerjinin kaynağı olarak alalım, yani . Kinetik enerji sıfıra gider; bir yörüngeden yarıçaplı son bir yörüngeye geçerken bir miktar artacaktır. Potansiyel enerji miktarın iki katı kadar azalacaktır, yani.

.(206.1)

Bu nedenle elektronun toplam enerjisi şuna eşittir: ; Yörünge yarıçapı ne kadar küçükse, o kadar küçüktür (eksi işareti!).

Birkaç ay süren çalışmanın ardından Bohr, 1913'te atomun kuantum teorisini yayınladı. Bu teori üç varsayıma dayanmaktadır.

Bohr'un ilk varsayımı :

Bir atom, klasik fiziğin izin verdiği tüm durumlarda olmayabilir, ancak yalnızca her biri kendine özgü E n enerjisine sahip olan özel, kuantum (veya durağan) durumlarda olabilir. Durağan durumda bir atom enerji yaymaz veya absorbe etmez.

Saniye Bohr'un varsayımı:

Bir atom bir durağan durumdan diğerine geçtiğinde, durağan durumların enerjileri arasındaki farka eşit ћω enerjili bir kuantum ışık yayılır veya emilir (Şekil 25.5):

ћω = |E n 2 -E n 1 | (25.1)

E n 1 başlangıç ​​durumundaki enerjidir, E n 2 ise son durumdaki enerjidir.

Üçüncü Bohr'un varsayımı:

Sabit bir durumda, bir elektron yalnızca yarıçapı koşulu karşılayan böyle bir (“izin verilen”) yörünge boyunca hareket edebilir:

m·υ·r=n·ћ (25,2)

Durağanlık koşulu elektron yörüngeleri, burada m·υ·r elektronun açısal momentumudur, n ise kuantum durumunun sayısıdır (n =1, 2, 3, ...).

Kuantum durumunun sayısını ve bu durumdaki atomun enerjisini belirleyen n tam sayısına denir. Ana kuantum sayısı .

Teorisini en basit atom olan hidrojen atomuna uygulayan Bohr, deneysel verilerle tamamen uyumlu sonuçlar elde etti.

En basit atom olan hidrojen atomunu ele alalım. Çekirdeğin etrafında dairesel bir yörüngede dönen, bir proton ve bir elektron içeren bir çekirdekten oluşur. Elektron çekirdek tarafından etkilenmektedir Coulomb kuvvetiçekim, ona merkezcil ivme kazandırıyor, dolayısıyla

(25.3)

[e - elektron ve proton yükü, ε o - elektrik sabiti].

Bohr'un ilk varsayımının yerine getirilmesi gerektiğinden, elektron yörüngelerinin durağan durumunu kullanacağız. Buradan v hızını belirleyelim.

(25.4)

karesini alın ve (25.4) yerine koyun. Ortaya çıkan ifadeden bulduğumuz

dolayısıyla bir hidrojen atomundaki elektron yörüngelerinin yarıçapı şuna eşittir:

(25.5)

Sabitlerin değerlerini (25.5) yerine koyup n = 1 sayarak atom fiziğinde bir uzunluk birimi olan ilk Bohr yarıçapının değerini elde ederiz:

rB = 0,528-10-10 m.

§ 25.3 Hidrojen atomunun enerjisi

Bohr modeline göre atomun çekirdeği hareketsiz kabul edilir, bu nedenle toplam enerji Bir atomun E'si, elektronun dönüşünün kinetik enerjisi E k ile elektronun çekirdekle etkileşiminin potansiyel enerjisi E p'nin toplamıdır:

(25.6)

Sonsuz büyük bir mesafede bulunan iki yükün potansiyel enerjisinin varsayıldığı için E'nin ortaya çıkan değeri negatiftir. sıfıra eşit. Yükler birbirine yaklaştığında potansiyel enerji azalır.

Belirli bir atomun sahip olduğu enerjinin her değeri durağan durum, isminde enerji seviyesi . N ne kadar büyük olursa, elektron çekirdekten o kadar uzak olur ve enerji düzeyi de o kadar yüksek olur.

Bir atomun enerji seviyeleri genellikle yatay çizgilerle ve bir atomun bir durağan durumdan diğerine geçişleri oklarla gösterilir (Şekil 25.6).

Bir atom daha yüksek bir seviyeden daha düşük bir seviyeye hareket ettiğinde (bu, bir elektronun çekirdeğe daha yakın bir yörüngeye "sıçramasına" karşılık gelir), bir miktar ışık yayılır. Absorbsiyon sırasında ise tam tersine, bir atomun üzerine gelen bir kuantum (foton) olayı, atomu daha düşük enerjili bir durumdan daha yüksek enerjili bir duruma aktarır; fotonun kendisi kaybolur ve onu soğuran elektron, çekirdekten daha uzakta bir yörüngeye yerleşir.

İLE atomun durumu сn = 1 olarak adlandırılır temel veya normal durum . Bu durumda, atomun enerjisi minimumdur ve içinde kalabilir (yokluğunda) dış etkiler) istenilen süre boyunca.

n>1 olan diğer tüm durumlara denir heyecanlı . Bir atom çok kısa bir süre (yaklaşık 10-8 saniye) boyunca uyarılmış durumda kalabilir, ardından kendiliğinden (hemen veya kademeli olarak, seviye seviye) temel duruma geçerek karşılık gelen kuantumu yayar.

Temel durumda, hidrojen atomunun enerjisi E = -13,6 eV'dir. Uyarılmış durumlara geçerken enerjisi artar.

Bir elektronun birinci Bohr yörüngesinden “sonsuzluğa” çıkarılması için harcanması gereken minimum enerjiye denir iyonlaşma enerjisi W і veya bir hidrojen atomunun bağlanma enerjisi.

Bu nedenle, temel durumdaki bir hidrojen atomunu iyonize etmek için ona ΔE enerjisi verilmesi gerekir. = Wi = 13,6 eV. Eğer ΔE enerjisi ona aktarılırsa < W i, o zaman ΔE = E n -E i olduğunda atom E p enerjili bir duruma girecek ve ΔE ≠ E n -E i olduğunda enerji emilimi gerçekleşmeyecek ve atom aynı durumda kalacaktır.

Enerji emiliminin bu (“sıçrayış benzeri”) doğası, herhangi bir kimyasal elementin atomları için gözlemlenmelidir. Cıva atomları için, 1913'te Alman deneysel fizikçiler D. Frank ve G. Hertz tarafından keşfedildi. Deneyleri, atomun kuantum teorisinin gelişmesinde çok önemli bir rol oynayan atomlardaki ayrık enerji seviyelerinin varlığını doğruladı.