Dalga denklemi türü fiziksel sistem Hamiltonyeni tarafından belirlenir ve bu nedenle kuantum mekaniğinin tüm matematiksel aygıtlarında temel önem kazanır.

Serbest bir parçacığın Hamiltonyeninin formu zaten belirlenmiştir. Genel Gereksinimler uzayın homojenliği ve izotropisi ve Galileo'nun görelilik ilkesi ile ilgilidir. İÇİNDE Klasik mekanik bu gereksinimler bir parçacığın enerjisinin momentumuna ikinci dereceden bağımlı olmasına yol açar: burada sabite parçacığın kütlesi denir (bkz. I, § 4). İÇİNDE Kuantum mekaniği aynı gereksinimler, enerji ve momentumun özdeğerleri için aynı ilişkiye yol açar - aynı anda ölçülebilir korunan (serbest parçacık için) miktarlar.

Ancak ilişkinin enerji ve momentumun tüm özdeğerleri için geçerli olabilmesi için, bunların operatörleri için de geçerli olması gerekir:

(15.2)'yi burada değiştirerek, serbestçe hareket eden bir parçacığın Hamiltonyenini şu şekilde elde ederiz:

Nerede - Laplace operatörü.

Etkileşmeyen parçacıklardan oluşan bir sistemin Hamiltonyeni toplamına eşit Her birinin Hamiltonyenleri:

burada a endeksi parçacıkları numaralandırıyor; - Parçacığın koordinatlarına göre farklılaşmanın gerçekleştirildiği Laplace operatörü.

Klasik (göreceli olmayan) mekanikte parçacıkların etkileşimi, Hamilton fonksiyonundaki toplamsal bir terimle tanımlanır - parçacıkların koordinatlarının bir fonksiyonu olan etkileşimin potansiyel enerjisi.

Sistemin Hamiltoniyenine aynı fonksiyonun eklenmesiyle kuantum mekaniğinde parçacıkların etkileşimi açıklanmaktadır:

ilk terim bir operatör olarak düşünülebilir kinetik enerji ve ikincisi operatör olarak potansiyel enerji. Özellikle, dış alanda bulunan bir parçacık için Hamiltoniyen şu şekildedir:

burada U(x, y, z) bir parçacığın dış alandaki potansiyel enerjisidir.

(17.2)-(17.5) ifadelerinin genel denklem (8.1)'e yerleştirilmesi, karşılık gelen sistemler için dalga denklemlerini verir. Bir dış alandaki parçacığın dalga denklemini buraya yazalım.

Durağan durumları tanımlayan denklem (10.2) şu şekildedir:

Denklemler (17.6), (17.7) Schrödinger tarafından 1926 yılında kurulmuş olup Schrödinger denklemleri olarak adlandırılmaktadır.

Serbest bir parçacık için denklem (17.7) şu şekildedir:

Bu denklemin tüm uzayda sonlu olan çözümleri vardır. pozitif değer enerji E. Belirli hareket yönlerine sahip durumlar için bu çözümler momentum operatörünün özfonksiyonlarıdır ve . Böyle bir sistemin tam (zamana bağlı) dalga fonksiyonları durağan durumlar gibi görünmek

(17,9)

Bu tür her fonksiyon (düzlem dalga), parçacığın belirli bir E enerjisi ve momentuma sahip olduğu bir durumu tanımlar. Bu dalganın frekansı eşittir ve dalga vektörüne karşılık gelen dalga boyu, parçacığın de Broglie dalga boyu olarak adlandırılır.

Serbestçe hareket eden bir parçacığın enerji spektrumu böylece sürekli hale gelir ve sıfırdan bu özdeğerlerin her birine kadar uzanır (yalnızca değerin dejenere olması ve dejenereliğin sonsuz çokluğa sahip olması hariç). Aslında, E'nin sıfır olmayan her değeri karşılık gelir sonsuz kümeözfonksiyonlar (17.9), vektör yönlerinde aynı mutlak değerle farklılık gösterir.

Basitlik açısından dış alandaki tek bir parçacığı dikkate alarak Schrödinger denkleminde klasik mekaniğe limit geçişin nasıl gerçekleştiğini izleyelim. Dalga fonksiyonunun sınırlayıcı ifadesini (6.1) Schrödinger denkleminde (17.6) değiştirerek, türev alarak şunu elde ederiz:

Bu denklemin tamamen gerçek ve tamamen sanal terimleri vardır (S ve a'nın gerçek olduğunu hatırlayın); her ikisini de ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek iki denklem elde ederiz:

Bu denklemlerden ilkini içeren terimi ihmal edersek, şunu elde ederiz:

(17,10)

yani, beklendiği gibi, bir S parçacığının hareketi için klasik Hamilton-Jacobi denklemi. Bu arada, klasik mekanikte birinci (sıfır değil) derecedeki niceliklere kadar geçerli olduğunu görüyoruz.

Ortaya çıkan denklemlerden ikincisi 2a ile çarpıldıktan sonra şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bu denklemin görsel bir anlamı var fiziksel anlam: Bir parçacığı uzayda belirli bir yerde bulma olasılık yoğunluğu vardır; parçacığın klasik hızı v vardır. Dolayısıyla denklem (17.11), olasılık yoğunluğunun klasik mekanik yasalarına göre "hareket ettiğini" gösteren bir süreklilik denkleminden başka bir şey değildir. klasik hız v her noktada.

Görev

Galile dönüşümü altında dalga fonksiyonu dönüşümü yasasını bulun.

Çözüm. Hadi bir dönüşüm yapalım dalga fonksiyonu serbest hareket parçacıklar (düzlem dalga). Herhangi bir fonksiyon düzlem dalgalara genişletilebildiğinden, keyfi bir dalga fonksiyonu için dönüşüm yasası bulunacaktır.

K ve K" referans sistemlerindeki düzlem dalgalar (K", K'ye göre V hızıyla hareket eder):

Ayrıca her iki sistemdeki parçacıkların momentumları ve enerjileri formüllerle birbiriyle ilişkilidir.

(bkz. I, § 8), Bu ifadeleri yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Bu formda, bu formül artık bir parçacığın serbest hareketini karakterize eden miktarları içermez ve istenen değeri belirler. Genel hukuk keyfi bir parçacık durumunun dalga fonksiyonunun dönüşümü. Parçacıklardan oluşan bir sistem için (1)'deki üs, parçacıkların toplamını içermelidir.

Ders 5. SCHRÖDINGER DENKLEMİ.

De Broglie dalgalarının olasılıksal anlamı. Dalga fonksiyonu.

De Broglie dalgalarının belirli bir özelliği vardır. kuantum doğası klasik fizikteki dalgalarla hiçbir benzerliği yoktur. Değil elektromanyetik dalgalar uzaydaki dağılımları herhangi bir şeyin dağılımıyla ilişkili olmadığından elektromanyetik alan. Dalgaların doğasına ilişkin soru, bu dalgaların genliğinin fiziksel anlamına ilişkin bir soru olarak formüle edilebilir. Genlik yerine genlik modülünün karesiyle orantılı bir dalga yoğunluğunun seçilmesi daha uygundur.

Elektron kırınımı deneylerinden, bu deneylerde yansıyan elektron ışınlarının eşit olmayan bir dağılımının olduğu sonucu çıkar. çeşitli yönler. Dalga açısından bakıldığında, bazı yönlerdeki elektron sayısında maksimumların varlığı, bu yönlerin de Broglie dalgalarının en yüksek yoğunluğuna karşılık geldiği anlamına gelir. Uzayda belirli bir noktadaki dalgaların şiddeti, bu noktaya 1 saniyede çarpan elektronların olasılık yoğunluğunu belirler.

Bu, de Broglie dalgalarının bir tür istatistiksel, olasılıksal yorumunun temelini oluşturdu.

Belirli bir noktadaki de Broglie dalgası genliğinin kare büyüklüğü, o noktada bir parçacığın tespit edilme olasılığının bir ölçüsüdür.

Bir parçacığın bulunmasının olasılık dağılımını tanımlamak için şu an uzayda bir noktada zamanın ve koordinatların bir fonksiyonu olan bir fonksiyon tanıtıyoruz. Yunan harfi ψ ve denir dalga fonksiyonu ya da sadece psi işlevi.

Tanım gereği, bir parçacığın x, x+dx dahilinde bir koordinata sahip olma olasılığı.

Eğer , parçacığın dxdydz hacminde olma olasılığıdır.

Bu nedenle, bir parçacığın dV hacim elemanında bulunma olasılığı, psi fonksiyonunun modülünün ve dV hacim elemanının karesiyle orantılıdır.

Fiziksel anlam, ψ fonksiyonunun kendisi değil, modülünün karesidir; burada ψ*, ψ'ye eşlenik fonksiyon kompleksidir. Büyüklük mantıklı olasılık yoğunluğu, yani tanımlar Bir parçacığın uzayda belirli bir noktada bulunma olasılığı. Başka bir deyişle de Broglie dalgalarının şiddetini belirler. Dalga fonksiyonu mikro nesnelerin durumunun ana özelliğidir ( temel parçacıklar, atomlar, moleküller).

Kararsız denklem Schrödinger.

Newton'un klasik mekanikteki denklemleri, makroskobik cisimlerin mekaniğin ana problemini çözmesini mümkün kılar - cisme (veya bir cisimler sistemine) etki eden kuvvetler ve başlangıç ​​​​koşulları göz önüne alındığında, cismin koordinatlarını ve herhangi bir andaki hızını bulun zamanla, yani Bir cismin uzay ve zaman içindeki hareketini tanımlar.

Kuantum mekaniğinde benzer bir problem ortaya koyarken mikropartiküllere uygulanma olasılığı üzerindeki kısıtlamaları dikkate almak gerekir. klasik kavramlar Koordinatlar ve momentum. Belirli bir anda uzaydaki bir mikro parçacığın durumu, dalga fonksiyonuyla veya daha kesin olarak parçacığı uzayda bulma olasılığıyla belirlendiğinden x,y,z noktası t zamanında, kuantum mekaniğinin temel denklemi psi fonksiyonuna göre bir denklemdir.

Bu denklem 1926'da Schrödinger tarafından elde edildi. Newton'un hareket denklemleri gibi, Schrödinger denklemi de türetilmek yerine varsayılmıştır. Bu denklemin geçerliliği, onun yardımıyla elde edilen sonuçların deneylerle iyi bir uyum içinde olmasıyla kanıtlanmıştır.

Schrödinger denklemi şu şekle sahiptir:

,

burada m parçacık kütlesidir, i ise hayali birim, sonucu bazı işlevlere etki eden Laplace operatörüdür

.

U(x,y,z,t) – problemlerimiz çerçevesinde, bir kuvvet alanında hareket eden bir parçacığın potansiyel enerjisi. Schrödinger denkleminden psi fonksiyonunun tipinin U fonksiyonu tarafından belirlendiği sonucu çıkar, yani. sonuçta parçacığa etki eden kuvvetlerin doğası.

Schrödinger denklemi eklenmiştir önemli koşullar psi fonksiyonunun üzerine bindirilmiş olanlardır. Üç koşul vardır:

1) ψ fonksiyonu sonlu, sürekli ve net olmalıdır;

2) türevler sürekli olmalı

3) fonksiyon entegre edilebilir olmalıdır, yani. integral

nihai olmalıdır. En basit durumlarda üçüncü koşul normalizasyon koşuluna indirgenir

Bu, uzayda bir yerde bir parçacığın varlığının güvenilir olay ve olasılığı bire eşit olmalıdır. İlk iki koşul, diferansiyel denklemin istenen çözümüne uygulanan olağan gereksinimlerdir.

Schrödinger denklemine nasıl ulaşılabileceğini açıklayalım. Basitlik açısından kendimizi tek boyutlu durumla sınırlıyoruz. Serbestçe hareket eden bir parçacığı (U = 0) ele alalım.

De Broglie'nin fikrine göre bunu bir düzlem dalgayla karşılaştıralım.

Değiştirip yeniden yazalım

.

Bu ifadenin t'ye göre bir kez, x'e göre ikinci kez iki kez türevini alırsak, şunu elde ederiz:

Serbest bir parçacığın enerjisi ve momentumu şu ilişkiyle ilişkilidir:

E ve p 2 ifadelerini bu ilişkide yerine koymak

Son ifade U =0 noktasında Schrödinger denklemiyle örtüşmektedir.

Potansiyel enerji U ile karakterize edilen bir kuvvet alanındaki parçacık hareketi durumunda, enerji E ve momentum p aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Belirtilen gerekçenin hiçbir kanıt değeri yoktur ve Schrödinger denkleminin bir türevi olarak değerlendirilemez. Amaçları bu denklemin nasıl kurulabileceğini açıklamaktır.

Heisenberg, mikropartiküllerin çeşitli konumlardaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin şu şekilde olduğu sonucuna vardı: Kuvvet alanları deneysel olarak gözlemlenen değerlerin takip edeceği bir denklem olmalı dalga özellikleri parçacıklar. Yönetim denklemi dalga fonksiyonu Ψ için bir denklem olmalıdır (x, y, z, t),çünkü tam olarak bu veya daha kesin olarak |Ψ| miktarıdır. 2, bir parçacığın o anda mevcut olma olasılığını belirler T hacim olarak Δ V, yani koordinatların olduğu alanda X Ve x + dx, y Ve y + dу, z Ve z+ dz.

Göreli olmayan kuantum mekaniğinin temel denklemi 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edildi. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri) türetilmemiş, ancak varsayılmıştır. Bu denklemin doğruluğu, elde edilen deneyimlerle mutabakata varılarak doğrulanır. sonuçları kullanma Bu da ona bir doğa kanunu niteliği kazandırır.

Genel denklem Schrödinger'in formu şöyledir:

Nerede ? =s/(2π), M- parçacık kütlesi, Δ - Laplace operatörü , Ben- hayali birim, sen(x, y, z, t) - potansiyel fonksiyonİçinde hareket ettiği kuvvet alanındaki parçacık, Ψ( x, y, z, t) parçacığın istenen dalga fonksiyonudur.

Denklem (1), düşük (ışık hızına kıyasla) bir hızda hareket eden (spin değeri 0'a eşit olan) herhangi bir parçacık için geçerlidir; υ "İle.

Koşullarla desteklenir, dalga fonksiyonu üzerine bindirilmiş:

1) dalga fonksiyonu sonlu, kesin ve sürekli olmalıdır;

2) türevler sürekli olmalıdır;

3) fonksiyon |Ψ| 2 integrallenebilir olmalıdır (en basit durumlarda bu durum, olasılıkların normalleştirilmesi koşuluna indirgenir).

Denklem (1) denir zamana bağlı Schrödinger denklemi.

Birçok fiziksel olaylar Mikro dünyada meydana gelen denklem (1), Ψ'nin zamana bağımlılığını ortadan kaldırarak basitleştirilebilir, yani. Durağan durumlar (sabit enerji değerlerine sahip durumlar) için Schrödinger denklemini bulun. Bu, parçacığın hareket ettiği kuvvet alanının sabit olması durumunda mümkündür; yani fonksiyon sen = sen(x, y,z) açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir. İÇİNDE bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü şu şekilde temsil edilebilir:

. (2)

Denklem (2) durağan durumlar için Schrödinger denklemi denir.

Bu denklem parametre olarak şunları içerir: toplam enerji e parçacıklar. Teoride diferansiyel denklemler bu tür denklemlerin sonsuz sayıda çözümü olduğu kanıtlanmıştır; sınır şartları Fiziksel anlamı olan çözümler seçilir. Schrödinger denklemi için bu tür koşullar şunlardır: dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullar: Yeni fonksiyonlar ilk türevleriyle birlikte sonlu, açık ve sürekli olmalıdır.

Bu nedenle, yalnızca Ψ düzenli fonksiyonlarıyla ifade edilen çözümlerin gerçek fiziksel anlamı vardır. Ancak hiçbir parametre değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez. E, ancak yalnızca belirli bir görevin özelliği olan belirli bir grup için. Bu enerji değerlerine özdeğerler denir . Uygun çözümler özdeğerler enerjiye özfonksiyonlar denir . Özdeğerler e hem sürekli hem de oluşturulabilir ayrık seri. İlk durumda, sürekli veya katı bir spektrumdan, ikincisinde ise ayrı bir spektrumdan bahsediyorlar.

Tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki parçacıksonsuz yükseklikte “duvarlarla”

Hadi gerçekleştirelim nitel analiz Sonsuz yüksek "duvarlara" sahip tek boyutlu dikdörtgen bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir parçacığa uygulanan Schrödinger denkleminin çözümleri. Böyle bir "delik", formun potansiyel enerjisiyle tanımlanır (basitlik açısından parçacığın eksen boyunca hareket ettiğini varsayıyoruz) X)

Nerede ben“deliğin” genişliğidir ve enerji tabanından sayılır (Şekil 2).

Tek boyutlu bir problem durumunda durağan durumlar için Schrödinger denklemi şu şekilde yazılacaktır:

. (1)

Sorunun koşullarına göre (sonsuz yüksek "duvarlar"), parçacık "deliğin" ötesine nüfuz etmez, bu nedenle "delik" dışında tespit edilme olasılığı (ve dolayısıyla dalga fonksiyonunun) sıfırdır. “Çukur” sınırlarında (en X= 0 ve x = 1) sürekli dalga fonksiyonu da ortadan kalkmalıdır.

Dolayısıyla bu durumda sınır koşulları şu şekildedir:

Ψ (0) = Ψ ( ben) = 0. (2)

“Çukur” içinde (0 ≤ X≤ 0) Schrödinger denklemi (1) aşağıdaki denkleme indirgenecektir:

veya . (3)

Nerede k2 = 2mE /? 2.(4)

Diferansiyel denklemin genel çözümü (3):

Ψ ( X) = A günah kx + Bçünkü kx.

(2)'ye göre Ψ (0) = 0 olduğundan B = 0 olur.

Ψ ( X) = A günah kx. (5)

Koşul Ψ ( ben) = A günah kl= 0 (2) yalnızca şu durumlarda yürütülür: kl = nπ, Nerede N- tamsayılar, yani bu gerekli

k = nπ/l. (6)

(4) ve (6) ifadelerinden şu sonuç çıkar:

(N = 1, 2, 3,…), (7)

yani, bir parçacığın sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyu" içindeki hareketini tanımlayan durağan Schrödinger denklemi yalnızca özdeğerler için karşılanır E p, bir tamsayıya bağlı olarak P. Bu nedenle enerji E p Sonsuz yükseklikte “duvarları” olan bir “potansiyel kuyusu”ndaki parçacıklar yalnızca kesin ayrık değerler yani kuantize edilmiştir.

Nicelenmiş enerji değerleri E p arandı enerji seviyeleri ve numara P, Bir parçacığın enerji seviyesini belirleyen şeye denir. Ana kuantum sayısı. Dolayısıyla sonsuz yüksek “duvarlara” sahip bir “potansiyel kuyusu” içindeki bir mikropartikül ancak belirli bir enerji seviyesinde olabilir. E p, veya dedikleri gibi parçacık kuantum durumundadır P.

(5) değerini yerine koymak k(6)'dan özfonksiyonları buluruz:

.

Entegrasyon sabiti A bu durumda şu şekilde yazılacak olan normalleştirme koşulundan şunu buluruz:

.

Entegrasyonun bir sonucu olarak elde ederiz ve özfonksiyonlar şu şekilde olacaktır:

(N = 1, 2, 3,…). (8)

Enerji seviyelerine (7) karşılık gelen özfonksiyonların (8) grafikleri N= 1,2,3, Şekil 2'de gösterilmektedir. 3, A.İncirde. 3, B‌‌‌‌‌‌ Ψ'ya eşit, deliğin "duvarlarından" çeşitli mesafelerde bir parçacığın tespit edilmesinin olasılık yoğunluğunu gösterir N(X)‌ 2 = Ψ N(X)·Ψ N * (X) İçin n = 1, 2 ve 3. Şekilden, örneğin kuantum durumunda olduğu anlaşılmaktadır. n=Şekil 2'de bir parçacık "deliğin" ortasında olamaz, ancak aynı sıklıkla solunda ve solunda da olabilir. doğru parçalar. Parçacığın bu davranışı, kuantum mekaniğindeki parçacık yörüngeleri kavramının savunulamaz olduğunu gösterir.

İfade (7)'den iki bitişik seviye arasındaki enerji aralığının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

Örneğin kuyu boyutlarına sahip bir elektron için ben= 10 -1 m (metaldeki serbest elektronlar) , Δ E n ≈ 10 -35 · N J ≈ 10 -1 6 N eV, yani Enerji seviyeleri o kadar yakın konumlandırılmıştır ki spektrum pratikte sürekli kabul edilebilir. Kuyunun boyutları atomik boyutlarla karşılaştırılabilirse ( ben ≈ 10 -10 m), sonra elektron için Δ E n ≈ 10 -17 N J ≈ 10 2 N eV, yani Açıkçası ayrık enerji değerleri (çizgi spektrumu) elde edilir.

Böylece, Schrödinger denkleminin sonsuz yüksek "duvarlara" sahip bir "potansiyel kuyusu" içindeki bir parçacığa uygulanması kuantize edilmiş enerji değerlerine yol açarken, klasik mekanik bu parçacığın enerjisine herhangi bir kısıtlama getirmez.

Ek olarak, bu problemin kuantum mekaniksel değerlendirmesi, sonsuz yüksek "duvarlara" sahip "potansiyel kuyusundaki" bir parçacığın π 2'ye eşit minimum enerjiden daha düşük bir enerjiye sahip olamayacağı sonucuna varır. ? 2 /(2t1 2). Sıfırdan farklı bir minimum enerjinin varlığı tesadüfi değildir ve belirsizlik ilişkisinden kaynaklanır. Koordinat belirsizliği Δ X"çukur" genişliğinde parçacıklar benΔ'ya eşit X= ben.

O halde belirsizlik ilişkisine göre dürtünün kesin, bu durumda sıfır bir değeri olamaz. Momentum belirsizliği Δ R ≈ s/d. Momentum değerlerinin bu yayılması kinetik enerjiye karşılık gelir E dk ≈(Δ P) 2 / (2M) = ? 2 / (2ml 2). Diğer tüm seviyeler ( p> 1) Bu minimum değeri aşan bir enerjiye sahip olmak.

Formül (9) ve (7)'den, büyük kuantum sayıları için ( N"1) Δ E n / E p ≈ 2/P“1, yani bitişik seviyeler birbirine yakın konumlandırılmış: ne kadar yakınsa o kadar fazla P. Eğer Pçok büyükse, neredeyse sürekli bir seviye dizisinden bahsedebiliriz ve Karakteristik özellik kuantum süreçleri- ayrıklık düzeltildi. Bu sonuç, Bohr'un uygunluk ilkesinin (1923) özel bir durumudur; buna göre kuantum mekaniği yasalarının zorunlu olması gerekir. büyük değerler kuantum sayıları klasik fizik kanunlarına dönüşür.

Schrödinger denkleminin durağan çözümleri.

Ek A

Schrödinger denklemine bir çözüm bulma serbest elektron dalga paketi şeklinde .

Serbest elektron için Schrödinger denklemini yazalım

Dönüşümlerden sonra Schrödinger denklemi şu şekli alır:

(A.2)

Bu denklemi başlangıç ​​koşuluyla çözüyoruz

(A.3)

Burada elektron dalga fonksiyonu başlangıç ​​anı zaman. (A.2) denklemine Fourier integrali biçiminde bir çözüm arıyoruz.

(A.4)

(A.4)'ü (A.2)'de değiştiririz ve şunu elde ederiz:

Çözüm (A.4) artık aşağıdaki biçimde yazılabilir.

(A.6)

Kullanırız başlangıç ​​koşulu(A.3) ve (A.6)'dan elektronun başlangıç ​​dalga fonksiyonunun Fourier integraline açılımını elde ederiz.

(A.7)

(A.7) ifadesine uyguluyoruz ters dönüşüm Fourier

(A.8)

Yapılan dönüşümleri özetleyelim. Yani, eğer elektronun zamanın başlangıç ​​anında dalga fonksiyonu biliniyorsa, entegrasyondan (A.8) sonra katsayıları buluruz. Daha sonra bu katsayıları (A.6)'da yerine koyup integre ettikten sonra, uzayın herhangi bir noktasında, zamanın herhangi bir anında elektronun dalga fonksiyonunu elde ederiz.

Bazı dağıtımlar için entegrasyon açıkça gerçekleştirilebilir ve elde edilebilir. analitik ifade Schrödinger denklemini çözmek için. Başlangıç ​​dalga fonksiyonu olarak, düzlem monokromatik bir dalga tarafından modüle edilen Gauss dağılımını alıyoruz.

İşte ortalama elektron momentumu. Başlangıç ​​dalga fonksiyonunu bu formda seçmek, Schrödinger denklemine dalga paketi formunda bir çözüm elde etmemizi sağlayacaktır.

Başlangıç ​​dalga fonksiyonunun (A.9) özelliklerini ayrıntılı olarak ele alalım.

İlk önce, dalga fonksiyonu birliğe normalleştirilir.

(A.10)

Normalizasyon (A.10), aşağıdaki tablo integrali kullanılarak kolaylıkla kanıtlanabilir.

(A.11)

ikinci olarak, eğer dalga fonksiyonu birliğe normalleştirilirse, o zaman dalga fonksiyonunun kare modülü, uzayda belirli bir noktada bir elektron bulmanın olasılık yoğunluğudur.

Burada miktar, zamanın ilk anında dalga paketinin genliği olarak adlandırılacaktır. Paket genliğinin fiziksel anlamı şudur: maksimum değer olasılık dağılımları. Şekil 1 olasılık yoğunluk dağılımının grafiğini göstermektedir.

Başlangıçtaki olasılık yoğunluk dağılımı.

Şekil 1'deki grafiğin bazı özelliklerine dikkat edelim.

1. Koordinat eksen üzerindeki bir noktadır X Olasılık dağılımının maksimum değere sahip olduğu. Bu nedenle şunu söyleyebiliriz büyük ihtimalle bir noktanın yakınında bir elektron tespit edilebilir.

2. Değer, dağılım değerinin azaldığı noktadan sapmayı belirleyecektir. e maksimum değerin katıdır.

(A.13)

Bu durumda miktara dalga paketinin başlangıç ​​anında genişliği, miktara ise paketin yarı genişliği denir.

3. Aralıkta bir elektron bulma olasılığını hesaplayın .

(A.14)

Dolayısıyla merkezi ve yarı genişliği olan bir bölgede elektron tespit edilme olasılığı 0,843'tür. Bu olasılık birliğe yakındır, dolayısıyla genellikle yarı genişliğe sahip bölge, elektronun zamanın ilk anında bulunduğu bölge olarak anılır.

Üçüncü, başlangıç ​​dalga fonksiyonu momentum operatörünün bir özfonksiyonu değildir. Dolayısıyla dalga fonksiyonuna sahip bir durumdaki elektronun belirli bir momentumu yoktur; yalnızca elektronun ortalama momentumundan bahsedebiliriz. Ortalama elektron momentumunu hesaplayalım.

Dolayısıyla formül (A.9)'daki değer elektron momentumunun ortalama değeridir. İntegral tablosu (A.11) kullanıldığında formül (A.15) kolayca kanıtlanabilir.

Böylece başlangıç ​​dalga fonksiyonunun özellikleri analiz edilmiştir. Şimdi fonksiyonu Fourier integralinin (A.8) yerine koyalım ve katsayıları bulalım.

İntegralde (A.16) integral değişkeninde aşağıdaki değişikliği yapıyoruz.

(A.17)

Sonuç olarak integral (A.16) aşağıdaki formu alır.

(A.18)

Sonuç olarak katsayılar için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

(A.18)

Katsayıları formül (A.6)'da yerine koyarak dalga fonksiyonu için aşağıdaki integral ifadesini elde ederiz.

İntegralde (A.19) integral değişkeninde aşağıdaki değişikliği yapıyoruz.

(A.20)

Sonuç olarak integral (A.19) aşağıdaki formu alır.

Sonunda dalga paketinin formülünü elde ettik.

(A.22)

Zamanın başlangıç ​​anı için formül (A.22)'nin başlangıç ​​dalga fonksiyonu için formül (A.9)'a dönüştüğünü görmek kolaydır. Fonksiyonun olasılık yoğunluğunu bulalım (A.22).

Dalga paketini (A.22) formül (A.23)'e koyarız ve sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

(A.24)

Burada dalga paketinin merkezi veya olasılık yoğunluk dağılımının maksimumu aşağıdaki değere eşit bir hızla hareket eder.

Dalga paketinin yarı genişliği zamanla artar ve aşağıdaki formülle belirlenir.

(A.26)

Dalga paketinin genliği zamanla azalır ve aşağıdaki formülle belirlenir.

(A.27)

Böylece bir dalga paketinin olasılık dağılımı aşağıdaki biçimde yazılabilir.

(A.28)

Şekil 2'de. zaman içinde ardışık üç noktadaki olasılık dağılımını gösterir.

Zaman içinde ardışık üç noktada olasılık dağılımı.

Ek B

Genel bilgi Schrödinger denkleminin çözümü hakkında .

Giriiş.

Bir kuantum parçacığının hareketi Genel dava Schrödinger denklemi ile tanımlanır:

Burada i sanal birim, h =1.0546´10 -34 (J×s) Planck sabitidir. Şebeke Ĥ Hamilton operatörü denir. Hamilton operatörünün şekli elektronun dış alanlarla etkileşiminin türüne bağlıdır.

Elektronun spin özelliklerini dikkate almazsak, örneğin elektronun manyetik alandaki hareketini dikkate almazsak o zaman Hamilton operatörü formda temsil edilebilir.

(B.2)

Kinetik enerji operatörü şu şekildedir:

, (B.3)

Nerede M=9,1094´10 -31 (kg) – elektron kütlesi. Potansiyel enerji, bir elektronun harici bir elektrik alanıyla etkileşimini tanımlar.

Bunda laboratuvar işi elektronun eksen boyunca tek boyutlu hareketini ele alacağız X. Bu durumda Schrödinger denklemi aşağıdaki formu alır:

. (B.4)

Denklem (B.4) ile matematiksel nokta görünüm, bilinmeyen bir dalga fonksiyonu için kısmi diferansiyel denklemdir e=e(x,t). Böyle bir denklemin olduğu biliniyor. kesin çözüm Uygun başlangıç ​​ve sınır şartları belirtilmişse. Başlangıç ​​ve sınır koşulları belirli koşullara göre seçilir. fiziksel sorun.

Örneğin bir elektronun ortalama p 0 momentumuyla soldan sağa hareket ettiğini varsayalım. Ek olarak, başlangıç ​​t=0 zamanında elektron x m -d uzayının belirli bir bölgesinde lokalizedir.< x < x m +d. Здесь x m – центр области локализации электрона, а d – эффективная полуширина этой области.

Bu durumda başlangıç ​​koşulu şu şekilde görünecektir:

. (B.5)

Burada Y 0(x) başlangıç ​​anındaki dalga fonksiyonudur. Dalga fonksiyonu karmaşık fonksiyon bu nedenle dalga fonksiyonunun kendisini değil olasılık yoğunluğunu grafiksel olarak temsil etmek uygundur.

Bir elektron bulmanın olasılık yoğunluğu bu yer belirli bir zamanda dalga fonksiyonuyla şu şekilde ifade edilir:

Olasılıkların birliğe normalleştirilmesi gerektiğine dikkat edin. Buradan dalga fonksiyonunu normalleştirme koşulunu elde ederiz:

. (B.7)

Başlangıçtaki olasılık yoğunluk dağılımı

, (B.8)

grafiksel olarak gösterilebilir. Şekil 3'te. elektronun zamanın ilk anında olası konumu gösterilmektedir.

Elektronun t=0 anındaki konumu.

Bu şekilde elektronun en büyük olasılıkla x m noktasında bulunduğu açıktır. Mektup A olasılık dağılımının genliğini (maksimum değerini) göstereceğiz. Bu şekil aynı zamanda dağılımın genişliğinin (2d) veya yarı genişliğinin (d) nasıl belirlendiğini de gösterir. Eğer dağılım üstel veya Gauss karakterine sahipse, dağılımın genişliği bir düzeyde belirlenir. e maksimum değerden birkaç kat daha azdır.

Şekil 3'te. ortalama elektron momentumunun vektörü gösterilmiştir. Bu, elektronun sağdan sola doğru hareket ettiği ve olasılık dağılımının da sağdan sola doğru hareket edeceği anlamına gelir. Şekil 2'de. zaman içinde ardışık üç noktadaki olasılık dağılımını gösterir. Şekil 2'de. x m(t) dağılımının maksimumunun soldan sağa doğru hareket ettiği görülebilir.

Şekil 2'de. Bir elektronun sağdan sola hareketine olasılık yoğunluk dağılımında bir deformasyonun eşlik ettiği fark edilebilir. Genlik A(t) azalır ve yarı genişlik d(t) artar. Elektronun hareketinin yukarıdaki ayrıntılarının tümü, Schrödinger denkleminin (B4) başlangıç ​​koşulu (B.5) ile çözülmesiyle elde edilebilir.

Özet . Fiziksel problemin formülasyonuna bağlı olarak Schrödinger denkleminin formu değişebilir. Schrödinger denklemiyle açıklanan belirli fiziksel olayları incelerken, Schrödinger denklemine bir çözüm bulmak için gerekli başlangıç ​​ve sınır koşulları seçilir.

Schrödinger denkleminin durağan çözümleri.

Bir elektron zamanla sabit bir dış alanda hareket ederse, potansiyel enerjisi zamana bağlı olmayacaktır. Bu durumda aşağıdakilerden biri Muhtemel çözümler Schrödinger denklemi (B.4) zamanla ayrılabilir bir çözümdür T ve x koordinatı boyunca.

Diferansiyel denklemleri çözmek için matematikte bilinen bir teknik kullanıyoruz. Denklemin (B.4) çözümünü şu şekilde arıyoruz:

. (B.9)

(B.9)'u denklem (B.4)'te yerine koyarsak ve aşağıdaki ilişkileri elde ederiz:

. (B.10)

Burada e– kuantum mekaniğinde bir elektronun toplam enerjisinin anlamı verilen bir sabit. İlişkiler (B.10) aşağıdaki iki diferansiyel denkleme eşdeğerdir:

. (B.11)

Sistemdeki (B.11) ilk denklem aşağıdaki gibidir ortak karar:

Burada C keyfi bir sabittir. (B.12) ifadesini (B.9) yerine koyarız ve Schrödinger denkleminin (B.4) şu şekilde bir çözümünü elde ederiz:

, (B.13)

fonksiyon nerede sen(x) denklemi karşılıyor.

(B.14)

Devamlı C fonksiyonun içerdiği sen(X).

Schrödinger denkleminin (B.4) (B.13) ifadesi biçimindeki çözümüne denir. Schrödinger denkleminin durağan çözümü. Denklem (B.14) denir durağan Schrödinger denklemi. İşlev sen(x) denir dalga fonksiyonu, zamandan bağımsız.

Elektronun dalga fonksiyonu (B.13) tarafından açıklanan durumuna denir. durağan durum. Kuantum mekaniği, bir elektronun durağan durumda olduğunu belirtir. belirli enerji e.

Elde edilen sonuçlar üç boyutlu elektron hareketi için Schrödinger denklemine (B.1) genelleştirilebilir. Hamilton operatörü ise Ĥ açıkça zamana bağlı değilse, Schrödinger denkleminin (B.1) olası çözümlerinden biri aşağıdaki formdaki durağan bir çözümdür:

, (B.15)

dalga fonksiyonunun durağan Schrödinger denklemini karşıladığı yer.

(B.16)

Kuantum mekaniğindeki (B.14) ve (B.16) denklemlerinin de bu adı taşıdığını unutmayın. Bu denklemler şunun için denklemlerdir: yerel işlevler Ve özdeğerler Hamilton operatörü. Başka bir deyişle, (B.16) denklemini çözerek enerjileri buluruz. e(Hamilton operatörünün özdeğerleri) ve karşılık gelen dalga fonksiyonları (Hamilton operatörünün özfonksiyonları).

Özet . Schrödinger denkleminin durağan çözümleri, Schrödinger denkleminin diğer çözümlerinin büyük bir kümesinden belirli bir çözüm sınıfıdır. Hamilton operatörü açıkça zamana bağlı değilse durağan çözümler mevcuttur. Durağan durumda bir elektronun belirli bir enerjisi vardır. Bulmak olası değerler enerji için sabit Schrödinger denklemini çözmek gerekir.

Dalga paketi.

Schrödinger denkleminin durağan çözümlerinin, Şekil 1 ve Şekil 2'de gösterildiği gibi lokalize bir elektronun hareketini tanımlamadığını görmek kolaydır. Nitekim durağan çözümü (B.13) alıp olasılık dağılımını bulursak zamandan bağımsız bir fonksiyon elde ederiz.

(B.17)

Bu şaşırtıcı değildir; sabit çözüm (B.13), kısmi diferansiyel denklemin (B.4) olası çözümlerinden biridir.

Ancak ilginç olan Schrödinger denkleminin (B.4) dalga fonksiyonuna göre doğrusallığından dolayıdır. e(x,t), bu denklemin çözümleri için süperpozisyon ilkesi sağlanır. Durağan durumlar için bu prensip aşağıdakileri belirtir. Sabit çözümlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu (ile farklı enerjiler e Schrödinger denkleminin (B.4) )'si aynı zamanda Schrödinger denkleminin (B.4) bir çözümüdür.

Vermek matematiksel ifade Süperpozisyon ilkesi için elektronun enerji spektrumu hakkında birkaç söz söylememiz gerekiyor. Durağan Schrödinger denkleminin (B.14) çözümü ayrık bir spektruma sahipse, bu, denklem (B.14)'ün aşağıdaki gibi yazılabileceği anlamına gelir:

(B.18)

burada n endeksi genel olarak konuşursak, n=0,1,2,¼ sonsuz bir değer serisinden geçer. Bu durumda Schrödinger denkleminin (B.4) çözümü, durağan çözümlerin toplamı olarak temsil edilebilir.

(B.19)

Kuantum mekaniğinde özfonksiyonların olduğu kanıtlanmıştır. sen Ayrık bir spektrumun n(x)'i ortonormal bir fonksiyon sistemi haline getirilebilir. Bu, çalıştığı anlamına gelir sonraki koşul normalleştirme.

(B.20)

Burada d n m Kronecker sembolüdür.

sen n (x) ortonormaldir, bu durumda katsayılar C Toplamda n (B.19) basit bir fiziksel anlama sahiptir. Katsayının kare modülü C N olasılığa eşit dalga fonksiyonuna sahip bir durumdaki bir elektronun (B.19) enerjiye sahip olduğu e N.

Bu ifadedeki en önemli şey, dalga fonksiyonuna (B.19) sahip bir durumdaki elektronun belirli bir enerjisinin olmamasıdır. Enerji ölçülürken bu elektron kümeden herhangi bir enerjiye sahip olabilir (B.21).

Bu nedenle bir elektronun (B.21) formülüyle belirlenen olasılıkla şu veya bu enerjiye sahip olabileceğini söylüyorlar.

Durağan durumda olan ve belirli bir enerjiye sahip olan elektrona denir. tek renkli elektron. Durağan durumda olmayan ve dolayısıyla belirli bir enerjisi olmayan elektrona elektron denir. monokromatik olmayan elektron.

Durağan Schrödinger denkleminin (B.14) çözümü sürekli bir spektruma sahipse, bu, denklem (B.14)'ün aşağıdaki gibi yazılabileceği anlamına gelir:

, (B.22)

enerji nerede e sürekli bir aralıkta değerler alır [ e dakika, e maksimum]. Bu durumda Schrödinger denkleminin (B.4) çözümü, durağan çözümlerin bir integrali olarak temsil edilebilir.

(B.23)

Sürekli spektrumun özfonksiyonları sen Kuantum mekaniğinde E(x) genellikle d fonksiyonuna normalleştirilir:

, (B.24)

D fonksiyonunun tanımı aşağıdaki integral ilişkilerde bulunur:

D fonksiyonunun davranışını görselleştirmek için bu fonksiyonun aşağıdaki açıklaması verilmiştir:

Yani eğer fonksiyonlar sistemi sen E(x) d-fonksiyonuna normalleştirilir, ardından katsayı modülünün karesi alınır C(e) integralde (B.23) yoğunluğa eşit dalga fonksiyonuna (B.19) sahip bir durumdaki bir elektronun enerjiye sahip olma olasılığı e.

Schrödinger denkleminin durağan çözümlerinin toplamı (B.19) veya integrali (B.23) olarak sunulan Y(x,t) dalga fonksiyonuna denir. dalga paketi.

Böylece monokromatik olmayan bir elektronun durumu bir dalga paketiyle tanımlanır. Şunu da söyleyebiliriz: Tek renkli bir elektronun durumları, ağırlık faktörleriyle birlikte, tek renkli olmayan bir elektronun durumuna katkıda bulunur.

Şekil 1'de. ve Şekil 2. Elektron dalga paketleri farklı zamanlarda gösterilmektedir.

Özet . Monokromatik olmayan bir elektronun durumu bir dalga paketiyle tanımlanır. Monokromatik olmayan bir elektronun belirli bir enerjisi yoktur. Bir dalga paketi, durağan durumların dalga fonksiyonlarının kendi enerjileriyle toplamı veya integrali olarak temsil edilebilir. Monokromatik olmayan bir elektronun bu enerji kümesinden bir veya daha fazla enerjiye sahip olma olasılığı, karşılık gelen durağan durumların dalga paketine katkısıyla belirlenir.

Serbest hareket. Schrödinger denkleminin genel çözümü.

Elektronun etkileşime girdiği alana bağlı olarak, durağan Schrödinger denkleminin (B.14) çözümü şu şekilde olabilir: farklı tip. Bu laboratuvar serbest hareketi inceliyor. Bu nedenle, (B.14) denkleminde potansiyel enerjiyi koyuyoruz sıfıra eşit. Sonuç olarak elde ederiz aşağıdaki denklem:

, (B.26)

Bu denklemin genel çözümü aşağıdaki forma sahiptir:

. (B.27)

Burada C1 ve C2 iki keyfi sabittir, k bir dalga sayısı anlamına gelir.

Şimdi (B.23) ifadesini kullanarak Schrödinger denkleminin serbest hareket için genel çözümünü yazıyoruz. Fonksiyonu (B.27) integral (B.23) ile değiştiririz. Aynı zamanda enerji üzerinden entegrasyonun sınırlarını da dikkate alıyoruz. e serbest hareket için sıfırdan sonsuza kadar seçilir. Sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bu integralde entegrasyondan enerjiye geçmek uygundur e dalga numarası üzerinden entegrasyona k. Dalga sayısının hem pozitif hem de pozitif alabileceğini varsayacağız. negatif değerler. Kolaylık olması açısından, enerjiyle ilişkili w frekansını tanıtıyoruz. e, aşağıdaki ilişki:

İntegrali (B.28) dönüştürerek dalga paketi için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

. (B.30)

İntegral (B.30), serbest hareket için Schrödinger denkleminin (B.4) genel çözümünü verir. Oranlar C(k) başlangıç ​​koşullarından bulunur.

Başlangıç ​​koşulunu (B.5) alalım ve çözümü (B.30) buraya koyalım. Sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

(B.31)

İntegral (B.31), başlangıç ​​dalga fonksiyonunun Fourier integraline genişletilmesinden başka bir şey değildir. Ters Fourier dönüşümünü kullanarak katsayıları buluyoruz C(k).

. (B.32)

Özet . Bir elektronun serbest hareketi ile yokluğunda hareketi kastediyoruz dış alan uzayın sonsuz bir bölgesinde. Elektronun Y 0 (x) zamanının başlangıç ​​anında dalga fonksiyonu biliniyorsa, o zaman (B.32) ve (B.30) formülleri kullanılarak Schrödinger denklemi Y(x,t)'nin genel çözümü bulunabilir. ) elektronun serbest hareketi için.

§ 217. Genel Schrödinger denklemi. Durağan durumlar için Schrödinger denklemi

Da Broglie dalgalarının (bkz. § 216) ve Heisenberg belirsizlik ilişkisinin (bkz. § 215) istatistiksel yorumu, mikropartiküllerin çeşitli kuvvet alanlarındaki hareketini tanımlayan kuantum mekaniğindeki hareket denkleminin bir denklem olması gerektiği sonucuna varılmasına yol açtı. parçacıkların deneysel dalga özelliklerine ilişkin gözlemlenebilir bilgiler. Yönetici denklem dalga fonksiyonuna göre bir denklem olmalıdır (x, sen, z, T ), çünkü bir parçacığın o anda var olma olasılığını belirleyen şey tam da bu ya da daha doğrusu miktardır.T hacim olarakdV , yani koordinatların olduğu alandaX Ve X + dx . sen Ve sen + ölmek . zuz + dz . Gerekli denklem parçacıkların dalga özelliklerini hesaba katması gerektiğinden, dalga denklemi elektromanyetik dalgaları tanımlayan denkleme benzer.

Temel denklemgöreceli olmayan kuantum mekaniği 1926'da E. Schrödinger tarafından formüle edilmiştir. Schrödinger denklemi, fiziğin tüm temel denklemleri gibi (örneğin, klasik mekanikteki Newton denklemleri ve elektromanyetik alan için Maxwell denklemleri) türetilmemiş, ancak varsayılmıştır. Bu denklemin doğruluğu, onun yardımıyla elde edilen sonuçların deneyimlerle mutabakatı ile doğrulanır ve bu da ona bir doğa kanunu karakteri verir. Schrödinger denklemi şu şekle sahiptir:

(217.1)

Nerede,T - parçacık kütlesi, - Laplace operatörü ,

- hayali birim,V (x, y, z , T ) - Bir parçacığın hareket ettiği kuvvet alanındaki potansiyel fonksiyonu,(x, y, z, T ) - parçacığın istenen dalga fonksiyonu.

Denklem (217.1), düşük hızda (ışık hızıyla karşılaştırıldığında) yani hızıyla hareket eden herhangi bir parçacık (spin değeri 0'a eşit; bkz. § 225) için geçerlidir. Dalgaya uygulanan koşullarla desteklenir. fonksiyon: 1) dalga fonksiyonu sonlu, net ve sürekli olmalıdır (bkz. § 216); 2) türevler sürekli olmalıdır; 3) fonksiyon şu şekilde olmalıdır:

entegre edilebilir; en basit durumlarda bu koşul, olasılıkların normalleştirilmesi koşuluna (216.3) indirgenir.

Schrödinger denklemine ulaşmak için, de Broglie'nin fikrine göre bir düzlem dalgayla ilişkilendirilen, serbestçe hareket eden bir parçacığı düşünün. Basitlik açısından tek boyutlu durumu ele alıyoruz. Bir eksen boyunca yayılan bir düzlem dalganın denklemi X, şu şekle sahiptir (bkz. § 154) veya karmaşık gösterimde Bu nedenle düz

de Broglie dalgası şu şekle sahiptir:

(217.2)

(bu dikkate alınır Kuantum mekaniğinde üs eksi işaretiyle alınır,

ancak yalnızca fiziksel bir anlamı olduğundan bu (bkz. (217.2)) önemsizdir. Daha sonra

Neresi

Enerji arasındaki ilişkiyi kullanmae ve dürtü ve ifadelerin değiştirilmesi

(217.3), diferansiyel denklemi elde ederiz

bu durum için denklem (217.1) ile örtüşmektedirsen =0 (serbest bir parçacık olarak kabul ettik).

Bir parçacık potansiyel enerji ile karakterize edilen bir kuvvet alanı içinde hareket edersesen , O

toplam enerjie içerir tipik Gerçek ve potansiyel enerjiler. Benzerlerinin yürütülmesi

arasındaki ilişkiyi akıl yürütme ve kullanmae VeR (bu durum için hoş geldiniz

° (217.1) ile çakışan bir diferansiyel denkleme.

Yukarıdaki mantık Schrödinger denkleminin bir türevi olarak alınmamalıdır. Sadece bu denkleme nasıl ulaşılabileceğini açıklıyorlar. Schrödinger denkleminin doğruluğunun kanıtı, onun yol açtığı sonuçların deneyimlerle uyumudur.

Denklem (217.1) genel Schrödinger denklemidir. Buna zamana bağlı Schroednäger denklemi de denir. Mikro dünyada meydana gelen birçok fiziksel olay için denklem (217.1), zamana bağımlılığı ortadan kaldırarak basitleştirilebilir, başka bir deyişle Schrödinger denklemini bulun. durağan durumlar - Sabit enerji değerlerine sahip durumlar. Bu, parçacığın hareket ettiği kuvvet alanının sabit olması durumunda mümkündür; yani fonksiyon açıkça zamana bağlı değildir ve potansiyel enerji anlamına gelir. Bu durumda Schrödinger denkleminin çözümü, biri yalnızca koordinatların, diğeri yalnızca zamanın fonksiyonu olan ve zamana bağımlılık çarpanla ifade edilen iki fonksiyonun ürünü olarak temsil edilebilir.

Bu yüzden

Neredee sabit bir alan durumunda sabit olan parçacığın toplam enerjisidir. (217.4)'ü (217.1)'e koyarsak, şunu elde ederiz:

dolayısıyla, ortak faktörlere ve karşılık gelen dönüşümlere bölündükten sonra

fonksiyonu tanımlayan denkleme ulaşıyoruz

(217.5)

Denklem (217.5) durağan durumlar için Schrödinger denklemi olarak adlandırılır. Bu denklem toplam enerjiyi parametre olarak içerir e parçacıklar. Diferansiyel denklemler teorisinde, bu tür denklemlerin, sınır koşulları getirilerek fiziksel anlamı olan çözümlerin seçildiği sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu kanıtlanmıştır. Schrödinger denklemi için bu tür koşullar, dalga fonksiyonlarının düzenliliği için koşullardır: dalga fonksiyonları sonlu, tek değerli ve birinci türevleriyle birlikte sürekli olmalıdır. Dolayısıyla yalnızca düzenli fonksiyonlarla ifade edilen çözümler gerçek bir fiziksel anlama sahiptir ancak parametrenin hiçbir değeri için düzenli çözümler gerçekleşmez. E, ancak yalnızca belirli bir görevin özelliği olan belirli bir grup için. Bu enerji değerlerine uygun değerler denir. Çözümler Enerji özdeğerlerine karşılık gelen , denir kendi fonksiyonları. Özdeğerler e hem kalıcı hem de kalıcı olabilir

süreksiz ve ayrık seriler. İlk durumda, sürekli veya katı bir spektrumdan, ikincisinde ise ayrı bir spektrumdan bahsediyorlar.

§ 218. Nedensellik ilkesi ■ kuantum mekaniği

Belirsizlik ilişkisinden genellikle nedensellik ilkesinin mikrokozmosta meydana gelen olaylara uygulanamayacağı sonucu çıkarılır. Bu, aşağıdaki düşüncelere dayanmaktadır. Klasik mekanikte nedensellik ilkesine göre: prensip klasik determinizm, sistemin belirli bir andaki bilinen durumuna (tamamen sistemin tüm parçacıklarının koordinatlarının ve momentumlarının değerlerine göre belirlenir) ve ona uygulanan kuvvetlere dayanarak, kesinlikle doğru bir şekilde belirlenebilir. sonraki herhangi bir anda durum. Buradan, klasik fizik aşağıdaki nedensellik anlayışına dayanmaktadır: durum mekanik sistem Parçacıkların etkileşiminin bilinen bir yasası ile zamanın ilk anında bir neden vardır ve sonraki andaki durumu bir sonuçtur.

Öte yandan, mikro nesneler aynı anda hem belirli bir koordinata hem de buna karşılık gelen belirli bir momentum projeksiyonuna (belirsizlik ilişkisi (215.1) tarafından belirlenen) sahip olamaz, bu nedenle zamanın ilk anında sistemin durumunun olduğu sonucuna varılır. kesin olarak belirlenmemiştir. Sistemin durumu zamanın ilk anında belirlenmezse, sonraki durumlar tahmin edilemez, yani nedensellik ilkesi ihlal edilir.

Ancak kuantum mekaniğinde mikro nesnenin durumu kavramı klasik mekanikten tamamen farklı bir anlam kazandığından, mikro nesnelerle ilgili olarak nedensellik ilkesinin ihlali gözlenmez. Kuantum mekaniğinde bir mikro nesnenin durumu tamamen dalga fonksiyonu (x, sen,z, T), modülünün karesi (x, sen,z, T)\ 2 koordinatları olan bir noktada bir parçacık bulmanın olasılık yoğunluğunu belirtir x, y,z.

Buna karşılık, dalga fonksiyonu(x, sen,z, T) fonksiyonun zamana göre birinci türevini içeren Schrödinger denklemini (217.1) karşılar. Bu aynı zamanda bir fonksiyonun belirtilmesinin (t 0 zamanı için) sonraki anlardaki değerini de belirleyeceği anlamına gelir. Bu nedenle kuantum mekaniğinde başlangıç ​​durumu

Bir sebep vardır ve bir sonraki andaki durum bir sonuçtur. Bu, kuantum mekaniğindeki nedensellik ilkesinin biçimidir, yani bir fonksiyonun belirtilmesi, sonraki anlar için değerlerini önceden belirler. Böylece, kuantum mekaniğinde tanımlanan bir mikropartikül sisteminin durumu, nedensellik ilkesinin gerektirdiği gibi, önceki durumdan açıkça takip eder.