İşletim sistemi çekirdeği
Ağ çekirdeği işletim sistemi(komut yorumlayıcısı) kullanıcı arayüzünü sağlar. Çekirdek işlevleri arasında şunlar yer alır:
Süreçleri oluşturarak, sonlandırarak veya askıya alarak yürütülmesini kontrol etmek ve aralarındaki etkileşimleri düzenlemek.
Çalışan işlemlere CPU zamanı verildiği sıranın planlanması (zamanlama). İşlemler merkezi işlemci ile zaman paylaşımlı modda çalışır: merkezi işlemci işlemi yürütür, çekirdeğin saydığı zaman dilimi tamamlandıktan sonra işlem askıya alınır ve çekirdek başka bir işlemin yürütülmesini etkinleştirir. Daha sonra çekirdek askıya alma işlemini başlatır.
Çalışan işleme RAM tahsis etme. İşletim sistemi çekirdeği, işlemlere tahsis edilen adres alanını dış müdahalelerden korurken, işlemlerin belirli koşullar altında adres alanının bölümlerini paylaşmasına izin verir. Sistem boş belleğe ihtiyaç duyuyorsa, çekirdek, işlemi geçici olarak takas aygıtları adı verilen harici depolama aygıtlarına değiştirerek belleği boşaltır. Çekirdek, aygıtları boşaltmak için tüm süreçleri boşaltırsa, UNIX sisteminin bu uygulamasına takas sistemi adı verilir; hafıza sayfaları boşaltma cihazına gönderiliyorsa, böyle bir sisteme sayfa değiştirme sistemi denir.
Bilgilerin verimli bir şekilde depolanmasını ve kullanıcı verilerinin alınmasını sağlamak için harici belleğin tahsisi. Bu fonksiyonun uygulanması sürecinde dosya sistemi. Çekirdek, harici belleği kullanıcı dosyaları için ayırır, kullanılmayan belleği harekete geçirir, dosya sistemini anlaşılır bir biçimde yapılandırır ve kullanıcı dosyalarını yetkisiz erişime karşı korur.
Terminaller, teyp aygıtları, disk sürücüleri ve ağ ekipmanı gibi çevresel aygıtlara süreç erişimini kontrol eder.
Çekirdek bir sayı uygular gerekli işlevler Kullanıcı düzeyinde uygulanabilecek işlevler haricinde, kullanıcı düzeyindeki süreçlerin yürütülmesini sağlamak.
Ana ağ işletim sistemlerinin özellikleri
işletim sistemi NetWare Novell'in odaklandığı nokta yerel ağ IBM PC ile uyumlu bilgisayarlar. Çekirdeği bir dosya sunucusuna yüklenen bu ağ işletim sistemi başlı başına bir işletim sistemidir. İş istasyonları, ağ işletim sisteminin çekirdeğiyle etkileşimi ve diğer iş istasyonlarıyla mesaj alışverişini sağlayan modüllerini yükler. Aynı zamanda iş istasyonlarında farklı temel işletim sistemleri de kullanılabilmektedir. Ağ işletim sistemi, herhangi bir yapıdaki ağın çalışmasını sağlar: tek kanallı, halkalı, yıldız vb. Şu anda NetWare Novell ağ işletim sisteminin çeşitli sürümleri kullanılmaktadır. Novell NetWare 2.2 ağı, 80286 işlemcili bir dosya sunucusunu temel alan küçük bir ağı düzenlemek için tasarlanmıştır. Büyük ve güvenilir ağlar oluşturmak için, 80386 ve üzeri işlemcilerde çalışan Novell NetWare 3.11 veya 3.12 ağı daha uygundur. Sürüm 3.11/3.12, 2.2'den farklı olarak özel bir dosya sunucusuyla çalışır ve bir sunucuya bağlı iş istasyonu sayısı 250'ye ulaşabilir. Novell NetWare 4.1 ağı, birçok bölümden oluşan ve birden fazla sunucu içeren büyük ağlar oluşturmak için tasarlanmıştır. Bu versiyondaki iş istasyonu sayısı 1000'e ulaşabilir.
Sistemin avantajları:
iyi tasarlanmış ve güçlü dosya ve yazdırma hizmetleri;
disklerdeki bilgilerin operasyonel sıkıştırılması araçlarının mevcudiyeti;
büyük çok kullanıcılı, çok sunuculu Novell ağları için güçlü yönetim araçları;
hata toleransı artırılmış ağlar oluşturma yeteneği (NetWare SFT III paketi);
büyük sayı uygulama programları bağımsız tedarikçiler tarafından geliştirildi;
dağıtılmış bir dizinin uygun hiyerarşik yapısı.
Sistemin dezavantajları:
çoklu işlemeyi organize etmek için ayrı bir NetWareSMP paketi satın alma ihtiyacı;
basit uygulama geliştirme araçlarının eksikliği;
sunucu uygulamalarını çalıştırırken zayıf bellek koruması, programlarda hata ayıklamayı zorlaştırır ve çalışması sırasında sistemin çökmesine neden olabilir.
NetWare İşletim Sistemi Özellikleri
dosya paylaşımı desteği,
ağ yazıcılarına erişim sağlamak,
e-postayla çalışmak için araçların sağlanması,
çeşitli DBMS türleri için destek,
çeşitli işletim sistemlerini çalıştıran iş istasyonlarından dosya sunucusuna erişim sağlamak,
Uzak ağ bölümlerinin bağlanmasına olanak tanıyan araçlar sunan,
Yerel ve uzak kullanıcıların ağ kaynaklarına erişiminde "şeffaflığın" sağlanması,
Güvenli veri depolama için araçlar sunan,
Ağ kaynaklarının yetkisiz erişime karşı korunmasını sağlamak,
birden çok dosya sunucusu diskinde çok bölümlü birimleri dinamik olarak genişletme desteği,
kurumsal ağ kaynak yönetimi araçlarının sağlanması: NetWare 4.1'de ağ kaynaklarının NDS'sinin birleşik dizini,
Farklı protokoller kullanılarak veri iletiminin ve işlenmesinin sağlanması: SPX/IPX, TCP/IP, NetBIOS, AppleTalk,
süper sunucuların simetrik çalışma modunda çalışması için destek (NetWare 4.1 SMP OS).
Windows 95/98
Windows 95/98- yerel eşler arası ağın ağ işletim sistemi (bilgisayar sayısı 10'u geçmez). Windows 95, öncelikleri olan, 32 bitlik, çok görevli ve çok iş parçacıklı bir sistemdir. İşletim sistemi, dağıtılmış veri işleme için çeşitli araçlar sağlar. Nesneye yönelik mimari için bir ortam oluşturur ve ağ üzerinde çalışan harici aygıtların ve yazılımların tanımlanması ve yapılandırmasının değiştirilmesiyle ilgili çeşitli işlevleri gerçekleştirir. Arıza koruması ve veri güvenliği sağlanır. Windows 95 her türlü veriyle çalışır: metin, ses ve görüntü; üç boyutlu grafiklerle çalışmanıza olanak tanıyan kullanışlı, basitleştirilmiş bir kullanıcı arayüzü kullanır. Windows 95, e-posta, sesli posta ve faks mesajlarını depolamak için tasarlanmış evrensel bir posta kutusu olan bir modüle sahiptir. Bir çalışma grubu içindeki mesajlaşma Microsoft Mail kullanılarak gerçekleştirilir. Çalışma grubunda faks modemle donatılmış bir makineyi posta makinesi olarak tahsis etmelisiniz.
Microsoft Windows NT WS/Sunucu 4.0
MicrosoftWindows NTW.S./ Sunucu 4.0 benzersiz ve güçlü bir işletim sistemidir.
Geliştirilmesi sırasında aşağıdaki hedefler takip edildi:
güvenilirlik,
performans,
taşınabilirlik,
uyumluluk,
ölçeklenebilirlik,
emniyet.
Windows NT, artan kararlılık ve yüksek performansın gerekli olduğu bir iş istasyonu ve ağ sunucusu olarak çalışmak için idealdir. Windows NT, Windows'un önceki sürümlerinin ve diğer işletim sistemlerinin bir sentezidir. Farklı türlere uyarlanabilir donanım tam işlem yapılmadan. Bir işletim sisteminin önemli bir özelliği, mevcut uygulamalarla çalışabilmesidir.
Sistemin avantajları:
birleşik bir grafik arayüzün kullanılabilirliği;
basitlik ve kullanım ve yönetim kolaylığı;
güvenilir dosya ve baskı hizmetleri;
uygulama programlarının geliştirilmesi sürecini kolaylaştıran, uygulama programlama için geliştirilmiş API (ApplicationProgramInterface) arayüzü;
tek ve çok işlemcili (32 işlemciye kadar) işlemeyi tek bir pakette uygulama yeteneği;
çeşitli işlemci mimarileri (Intel, Alpha, MIPS, vb.) desteği.
Sistemin dezavantajları:
benzer NOS hizmetleri NetWare ve BanyanVINES 6.0 ile karşılaştırıldığında dizin hizmetinin (etki alanı modeli) zayıf esnekliği;
Etki alanları içindeki ve alanlar arasındaki erişimi kontrol ederken güvenlik sisteminin karmaşıklığı.
Windows 2000
Windows2000'in üç çeşidi vardır
Windows 2000 Gelişmiş Sunucu (İle- eskimiş- Kurumsal Sunucu)
Windows 2000 Profesyonel (İle- eskimiş- iş istasyonu).Son derece verimli işyeri
ÖzelliklerWindows 2000:
Windows 2000 Professional, genişletilmiş aygıt desteği, mobil güç yönetimi desteği ve onu şimdiye kadar piyasaya sürülen kullanımı en kolay Windows sürümü haline getiren geliştirilmiş bir kullanıcı arabirimi içerir.
Sisteme yeni “sihirbazlar” eklendi: Yeni cihazları sisteme en basit şekilde bağlamanızı sağlayan “donanım sihirbazı”, modemleri ve ağ bağlantılarını hızlı bir şekilde yapılandırmanıza yardımcı olan “ağ bağlantı sihirbazı”, “yazıcı sihirbazı” ”, bir yazıcıyı hızlı bir şekilde bağlamanıza yardımcı olur.
Artık bileşenlerin çalışırken değiştirilmesi desteği var. Bu özellik, yeni cihazlar bağlarken makinelerini yeniden başlatmak zorunda kalan dizüstü bilgisayar sahipleri tarafından takdir edilecektir.
Windows 2000, NTFS5 adı verilen yeni bir dosya sistemi kullanır. Ana ayırt edici özellik bu dosya sisteminin otomatik “arka plan” veri şifrelemesi.
Yeni sistem, yeni özellikler yüklendikten sonra gereken yeniden başlatma sayısını YEDİ kat azalttı; bu, sistemin yeni parametreleri "kabul etmesi" için kullanıcının yeniden başlatmasına gerek kalmayacağı anlamına geliyor.
Yeni hizmet eklendi hızlı arama Veri indeksleme nedeniyle gerekli dosyaları yüksek hızda bulmanızı sağlayacak veriler
Yeni bir güvenlik politikası oluşturuldu. Bu yaklaşım sistemi çeşitli arızalara karşı oldukça dayanıklı hale getirir.
Geliştirilmiş ağ desteği. Kullanıcı açısından bakıldığında, ayrıntılara girmeden, sürekli meşgul bir sistem yöneticisini dahil etmeden ağ kaynaklarına erişim sağlamak artık mümkün olacak.
Windows 2000'in yeni bir özelliği var - sistemi disklere kurmanıza izin verecek bir kurulum komut dosyası oluşturma farklı arabalar tek bir komut dosyası kullanarak.
Görev 1. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin. Vektör sistemi, sütunları vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin matrisi tarafından belirlenecektir.
.
Çözüm. Doğrusal kombinasyona izin verin 
sıfıra eşittir. Bu eşitliği koordinatlarla yazarsak şunu elde ederiz: aşağıdaki sistem denklemler:
.
Böyle bir denklem sistemine üçgen denir. Onun tek çözüm 
. Bu nedenle vektörler 
doğrusal bağımsız.
Görev 2. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin.
.
Çözüm. Vektörler 
doğrusal olarak bağımsızdır (bkz. Problem 1). Vektörün, vektörlerin doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. 
. Vektör genişleme katsayıları 
denklem sisteminden belirlenir
.
Bu sistemin üçgen gibi benzersiz bir çözümü var.
Bu nedenle vektör sistemi 
doğrusal bağımlı.
Yorum. Problem 1'deki ile aynı türdeki matrislere denir. üçgen ve problem 2'de – kademeli üçgen . Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorunu, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan matris adım üçgen ise kolayca çözülür. Eğer matris yoksa özel tip, ardından kullanarak temel dize dönüşümleri Sütunlar arasındaki doğrusal ilişkiler korunarak basamaklı üçgen forma indirgenebilir.
Temel dönüşümlerçizgiler Matrisler (EPS) Bir matris üzerinde aşağıdaki işlemlere denir:
1) dizelerin yeniden düzenlenmesi;
2) bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayıyla çarpmak;
3) bir dizeye rastgele bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek.
Görev 3. Maksimumu doğrusal olarak bulun bağımsız alt sistem ve vektör sisteminin rütbesini hesaplayın
.
Çözüm. Sistemin matrisini EPS kullanarak basamaklı üçgen forma indirgeyelim. Prosedürü açıklamak için dönüştürülecek matrisin numarasının bulunduğu satırı sembolüyle belirtiyoruz. Oktan sonraki sütun, yeni matrisin satırlarını elde etmek için dönüştürülmekte olan matrisin satırları üzerindeki eylemleri gösterir.
.
Açıkçası, ortaya çıkan matrisin ilk iki sütunu doğrusal olarak bağımsızdır, üçüncü sütun bunların doğrusal birleşimidir ve dördüncüsü ilk ikisine bağlı değildir. Vektörler 
temel denir. Sistemin maksimum doğrusal olarak bağımsız bir alt sistemini oluştururlar. ve sistemin rütbesi üçtür.
Temel, koordinatlar
Görev 4. Kümedeki bu temelde vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun geometrik vektörler koordinatları koşulu karşılayan 
.
Çözüm. Küme orijinden geçen bir düzlemdir. Bir düzlemdeki keyfi bir temel, doğrusal olmayan iki vektörden oluşur. Seçilen bazdaki vektörlerin koordinatları, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin çözülmesiyle belirlenir.
Koordinatları kullanarak temeli bulabileceğinizde bu sorunu çözmenin başka bir yolu var.
Koordinatlar 
uzaylar düzlemdeki koordinatlar değildir, çünkü bunlar ilişkiyle ilişkilidir 
yani bağımsız değillerdir. Bağımsız değişkenler (serbest olarak adlandırılırlar) düzlemdeki bir vektörü benzersiz bir şekilde tanımlarlar ve bu nedenle de koordinatlar olarak seçilebilirler. Daha sonra temel 
serbest değişken kümelerinin içinde yer alan ve bunlara karşılık gelen vektörlerden oluşur 
Ve 
yani.
Görev 5. Tek koordinatları birbirine eşit olan uzaydaki tüm vektörler kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun.
Çözüm. Şu şekilde seçelim önceki görev, uzaydaki koordinatlar.
Çünkü 
, ardından serbest değişkenler 
vektörü benzersiz bir şekilde belirler ve bu nedenle koordinatlardır. Karşılık gelen taban vektörlerden oluşur.
Görev 6. Formun tüm matrisleri kümesinde bu temelde vektörlerin temelini ve koordinatlarını bulun 
, Nerede 
– keyfi sayılar.
Çözüm. Her matris aşağıdaki biçimde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir:
Bu ilişki vektörün tabana göre açılımıdır. 
koordinatlarla 
.
Görev 7. Boyut ve temeli bulun doğrusal kabuk vektör sistemleri
.
Çözüm. EPS'yi kullanarak matrisi sistem vektörlerinin koordinatlarından adım üçgen formuna dönüştürüyoruz.
.
Sütunlar 
son matrisler doğrusal olarak bağımsızdır ve sütunlar 
bunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Bu nedenle vektörler 
bir temel oluşturmak 
, Ve 
.
Yorum. Temel belirsiz bir şekilde seçilmiştir. Örneğin, vektörler 
aynı zamanda bir temel oluşturur 
.
A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Çözüm. Arıyor genel çözüm denklem sistemleri
A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ
Gauss yöntemi. Bunu yapmak için bu homojen sistemi koordinatlarla yazıyoruz:
Sistem Matrisi
İzin verilen sistem şu şekildedir: 
(r bir = 2, N= 3). Sistem işbirlikçi ve belirsizdir. Genel çözümü ( X 2 – serbest değişken): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Örneğin sıfır olmayan özel bir çözümün varlığı, vektörlerin olduğunu gösterir. A
1 , A
2 , A
3
doğrusal bağımlı.
Örnek 2.
olup olmadığını öğrenin bu sistem doğrusal olarak bağımlı veya doğrusal olarak bağımsız vektörler:
1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.
Çözüm. Homojen bir denklem sistemi düşünün A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ
veya genişletilmiş biçimde (koordinatlara göre)
Sistem homojendir. Dejenere değilse benzersiz bir çözümü vardır. Durumunda homojen sistem– sıfır (önemsiz) çözüm. Bu, bu durumda vektörler sisteminin bağımsız olduğu anlamına gelir. Sistem dejenere ise sıfırdan farklı çözümlere sahiptir ve dolayısıyla bağımlıdır.
Sistemi dejenerasyon açısından kontrol ediyoruz:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Sistem dejenere değildir ve dolayısıyla vektörler A 1 , A 2 , A 3 doğrusal bağımsız.
Atamalar. Belirli bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı mı yoksa doğrusal olarak bağımsız mı olduğunu öğrenin:
1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.
2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.
4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.
5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.
6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.
7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Aşağıdakileri içeriyorsa bir vektör sisteminin doğrusal bağımlı olacağını kanıtlayın:
a) iki eşit vektör;
b) iki orantılı vektör.
Vektörler, özellikleri ve bunlarla ilgili eylemler
Vektörler, vektörlerle eylemler, doğrusal vektör uzayı.
Vektörler sonlu sayıda gerçek sayıların sıralı bir koleksiyonudur.
Eylemler: 1.Bir vektörü bir sayıyla çarpmak: lambda*vektör x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. Vektörlerin toplamı (aynı vektör uzayına ait) vektör x + vektör y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. Vektör 0=(0,0…0)---n E n – n boyutlu (doğrusal uzay) vektör x + vektör 0 = vektör x
Teorem. N vektörden oluşan bir sistem için, n boyutlu doğrusal uzay doğrusal bağımlı olduğundan, vektörlerden birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.
Teorem. Olayların n boyutlu doğrusal uzayının n+ 1. vektörlerinin herhangi bir kümesi. doğrusal bağımlı.
Vektörlerin toplanması, vektörlerin sayılarla çarpılması. Vektörlerin çıkarılması.
İki vektörün toplamı, başlangıcın vektörün sonu ile çakışması koşuluyla, vektörün başlangıcından vektörün sonuna doğru yönlendirilmiş bir vektördür. Vektörler temel birim vektörlerdeki açılımlarıyla veriliyorsa, vektörler eklenirken karşılık gelen koordinatları da eklenir.
Bunu Kartezyen koordinat sistemi örneğini kullanarak ele alalım. İzin vermek
Hadi bunu gösterelim
Şekil 3'ten açıkça görülüyor ki 
Herhangi bir miktar sonlu sayı vektörler çokgen kuralı kullanılarak bulunabilir (Şekil 4): sonlu sayıda vektörün toplamını oluşturmak için, sonraki her vektörün başlangıcını bir öncekinin sonuyla birleştirmek ve başlangıcı bağlayan bir vektör oluşturmak yeterlidir ilk vektörün sonuncunun sonu ile.
Vektör toplama işleminin özellikleri:
Bu ifadelerde m, n sayılardır.
Vektörler arasındaki farka vektör denir. İkinci terim, vektörün yönüne zıt fakat uzunluğu ona eşit olan bir vektördür.
Böylece vektörleri çıkarma işleminin yerini toplama işlemi alır
Başlangıcı orijinde ve sonu A noktasında (x1, y1, z1) olan bir vektöre A noktasının yarıçap vektörü denir ve basitçe gösterilir. Koordinatları A noktasının koordinatlarıyla çakıştığı için birim vektörlerdeki açılımı şu şekildedir:
A(x1, y1, z1) noktasında başlayıp B(x2, y2, z2) noktasında biten bir vektör şu şekilde yazılabilir: 
burada r2, B noktasının yarıçap vektörüdür; r 1 - A noktasının yarıçap vektörü.
Bu nedenle, vektörün birim vektörlerdeki açılımı şu şekildedir:
Uzunluğu A ve B noktaları arasındaki mesafeye eşittir
ÇARPLAMA
Yani bu durumda uçak sorunu bir vektörün a = (ax; ay) b sayısına göre çarpımı formülle bulunur
a b = (ax b; ay b)
Örnek 1. a = (1; 2) vektörünün 3'e çarpımını bulun.
3 bir = (3 1; 3 2) = (3; 6)
Yani uzaysal bir problem durumunda a = (ax; ay; az) vektörünün b sayısıyla çarpımı formülle bulunur.
a b = (ax b; ay b; az b)
Örnek 1. a = (1; 2; -5) vektörünün 2'ye çarpımını bulun.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
Vektörlerin nokta çarpımı ve 
ve vektörleri arasındaki açı nerede; eğer öyleyse
Skaler çarpımın tanımından şu sonuç çıkar: 
örneğin vektörün vektör yönüne izdüşümünün büyüklüğü buradadır.
Skaler kare vektör:
Nokta çarpımın özellikleri:
Koordinatlarda nokta çarpımı
Eğer 
O 
Vektörler arasındaki açı
Vektörler arasındaki açı - bu vektörlerin yönleri arasındaki açı (en küçük açı).
Çapraz çarpım (İki vektörün çapraz çarpımı.) - bu bir sözde vektör, düzleme dik, üç boyutlu Öklid uzayında vektörler üzerinde ikili "vektör çarpımı" işleminin sonucu olan iki faktörden oluşturulmuştur. Çarpım ne değişmeli ne de birleşmeli (anti-değişmeli) ve vektörlerin nokta çarpımından farklı. Pek çok mühendislik ve fizik probleminde, mevcut iki vektöre dik bir vektör oluşturabilmeniz gerekir: vektör çarpımı bu fırsatı sağlıyor. Çapraz çarpım, vektörlerin dikliğini "ölçmek" için kullanışlıdır - iki vektörün çapraz çarpımının uzunluğu, bunlar dikse uzunluklarının çarpımına eşittir ve vektörler paralel veya antiparalelse sıfıra düşer.
Çapraz çarpım yalnızca üç boyutlu ve yedi boyutlu uzaylarda tanımlanır. Bir vektör çarpımının sonucu, tıpkı bir skaler çarpım gibi, Öklid uzayının metriğine bağlıdır.
Üç boyutlu dikdörtgen koordinat sisteminde nokta çarpım vektörlerinin koordinatlarını hesaplama formülünden farklı olarak çapraz çarpım formülü oryantasyona bağlıdır dikdörtgen sistem koordinatları veya başka bir deyişle “kiralliği”
Vektörlerin doğrusallığı.
Sıfır olmayan (0'a eşit olmayan) iki vektör, paralel çizgiler üzerinde veya aynı çizgide yer alıyorsa eşdoğrusal olarak adlandırılır. Kabul edilebilir ancak tavsiye edilmeyen bir eşanlamlı "paralel" vektörlerdir. Doğrusal vektörler aynı yönde (“eş-yönlü”) veya zıt yönde (içinde) olabilir. ikinci durum bazen "antikollinear" veya "antiparalel" olarak adlandırılırlar.
Vektörlerin karışık çarpımı( a, b, c)- a vektörünün skaler çarpımı ile b ve c vektörlerinin vektör çarpımı:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
bazen üçlü denir skaler çarpım vektörler, büyük olasılıkla sonucun bir skaler (daha kesin olarak bir sözde skaler) olması nedeniyle.
Geometrik anlam: Karışık ürünün modülü sayısal olarak paralelyüzün hacmine eşittir, vektörlerin oluşturduğu(ABC) .
Özellikler
Karma çalışma tüm argümanlarına göre çarpık simetrik: yani e. herhangi iki faktörün yeniden düzenlenmesi çarpımın işaretini değiştirir. Sağdaki karışık ürünün Kartezyen sistem koordinatlar (ortonormal temelde), vektörlerden oluşan bir matrisin determinantına eşittir ve:
Sol Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) karışık çarpım, vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşittir ve eksi işaretiyle alınır:
özellikle,
Herhangi iki vektör paralelse, herhangi bir üçüncü vektörle sıfıra eşit bir karma çarpım oluştururlar.
Üç vektör doğrusal olarak bağımlıysa (yani aynı düzlemde bulunuyorsa), bunların karışık çarpımı sıfıra eşittir.
Geometrik duyu - Karışık ürün mutlak değer vektörlerin oluşturduğu paralelyüzün (şekle bakınız) hacmine eşit ve; işaret, bu vektör üçlüsünün sağ el veya solak olmasına bağlıdır.
Vektörlerin eş düzlemliliği.
Üç vektör (veya daha büyük sayı) ortak bir kökene indirgenerek aynı düzlemde yer alıyorlarsa eş düzlemli olarak adlandırılırlar.
Eş düzlemliliğin özellikleri
Eğer en az biri üç vektör- sıfır ise üç vektör de aynı düzlemde kabul edilir.
Bir çift doğrusal vektör içeren üçlü bir vektör aynı düzlemlidir.
Eş düzlemli vektörlerin karışık çarpımı. Bu, üç vektörün eş düzlemliliği için bir kriterdir.
Eş düzlemli vektörler- doğrusal olarak bağımlı. Bu aynı zamanda eş düzlemlilik için de bir kriterdir.
3 boyutlu uzayda aynı düzlemde olmayan 3 vektör bir temel oluşturur
Doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörler.
Doğrusal bağımlı ve bağımsız sistemler vektörler.Tanım. Vektör sistemi denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin şuna eşit en az bir önemsiz olmayan doğrusal kombinasyonu varsa sıfır vektör. Aksi takdirde, yani Verilen vektörlerin yalnızca önemsiz bir doğrusal kombinasyonu boş vektöre eşitse, vektörlere denir. doğrusal bağımsız.
Teorem (doğrusal bağımlılık kriteri). Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin doğrusal bağımlı olabilmesi için bu vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.
1) Vektörler arasında en az bir sıfır vektör varsa, o zaman tüm vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.
Aslında, örneğin , varsayalım ki, önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimimiz var.▲
2) Vektörlerden bazıları doğrusal bağımlı bir sistem oluşturuyorsa sistemin tamamı doğrusal bağımlıdır.
Aslında, vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. Bu, sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonun olduğu anlamına gelir. Ama sonra varsayarsak 
Ayrıca sıfır vektörüne eşit önemsiz bir doğrusal kombinasyon da elde ederiz.
2. Temel ve boyut. Tanım. Doğrusal bağımsız vektörler sistemi 
vektör uzayı isminde temel Bu uzayın herhangi bir vektörü, bu sistemin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebiliyorsa, yani; her vektör için vardır gerçek sayılar 
eşitliği sağlayacak şekildedir. Bu eşitliğe denir. vektör ayrışması esasa ve sayılara göre denir vektörün tabana göre koordinatları(veya temelde) .
Teorem (tabana göre genişlemenin benzersizliği üzerine). Uzaydaki her vektör bir tabana genişletilebilir tek şekilde, yani tabandaki her vektörün koordinatları açık bir şekilde belirlenir.
Tarafımızca tanıtılan doğrusal işlemler vektörlerin üzerinde derlemeyi mümkün kılmak çeşitli ifadelerİçin vektör miktarları ve bu işlemler için ayarlanan özellikleri kullanarak bunları dönüştürün.
Belirli bir a 1, ..., a n vektör kümesine dayanarak, formun bir ifadesini oluşturabilirsiniz.
burada a 1, ... ve n keyfi gerçek sayılardır. Bu ifade denir vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1, ..., a n. α i, i = 1, n sayıları temsil eder doğrusal kombinasyon katsayıları. Bir vektör kümesine de denir vektör sistemi.
Tanıtılan vektörlerin doğrusal birleşimi kavramıyla bağlantılı olarak, belirli bir a 1, ..., a n vektör sisteminin doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilen bir vektörler kümesini tanımlama sorunu ortaya çıkar. Ek olarak, bir vektörün doğrusal kombinasyon biçiminde temsil edildiği koşullar ve böyle bir temsilin benzersizliği hakkında doğal sorular vardır.
Tanım 2.1. a 1, ... ve n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer α 1 , ... , α n katsayıları kümesi varsa, öyle ki
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2,2)
ve bu katsayılardan en az biri sıfır değildir. Belirtilen katsayılar kümesi mevcut değilse, vektörlere çağrılır. doğrusal bağımsız.
Eğer α 1 = ... = α n = 0 ise, o zaman açıkça α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 olur. Bunu aklımızda tutarak şunu söyleyebiliriz: a 1, ..., vektörleri Eşitlik (2.2)'den tüm α 1 , ... , α n katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa n doğrusal olarak bağımsızdır.
Aşağıdaki teorem, yeni kavrama neden "bağımlılık" (veya "bağımsızlık") terimi denildiğini açıklar ve doğrusal bağımlılık için basit bir kriter sağlar.
Teorem 2.1. a 1, ... ve n, n > 1 vektörlerinin doğrusal bağımlı olabilmesi için, bunlardan birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.
◄ Gereklilik. a 1, ... ve n vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Doğrusal bağımlılığın Tanım 2.1'ine göre, soldaki eşitlikte (2.2) sıfır olmayan en az bir katsayı vardır, örneğin α 1. İlk terimi eşitliğin sol tarafında bırakarak geri kalanını sağ taraf, her zamanki gibi işaretlerini değiştiriyorlar. Ortaya çıkan eşitliği α 1'e bölerek şunu elde ederiz:
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
onlar. a 1 vektörünün geri kalan a 2, ..., a n vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak temsili.
Yeterlilik. Örneğin, ilk a 1 vektörünün geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğini varsayalım: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Tüm terimleri sağ taraftan sola aktararak 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 elde ederiz, yani. a 1, ..., a n vektörlerinin α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n katsayılarına sahip doğrusal bir kombinasyonu, eşittir sıfır vektör. Bu doğrusal kombinasyonda tüm katsayılar sıfır değildir. Tanım 2.1'e göre a 1, ... ve n vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.
Doğrusal bağımlılığın tanımı ve kriteri, iki veya daha fazla vektörün varlığını ima edecek şekilde formüle edilmiştir. Ancak bir vektörün doğrusal bağımlılığından da bahsedebiliriz. Bu ihtimali gerçekleştirmek için “vektörler doğrusal olarak bağımlıdır” yerine “vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır” demek gerekir. "Bir vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır" ifadesinin bu tek vektörün sıfır olduğu anlamına geldiğini görmek kolaydır (doğrusal bir kombinasyonda yalnızca bir katsayı vardır ve sıfıra eşit olmamalıdır).
Doğrusal bağımlılık kavramının basit bir anlamı vardır. geometrik yorumlama. Aşağıdaki üç ifade bu yorumu açıklamaktadır.
Teorem 2.2.İki vektör ancak ve ancak şu durumda doğrusal olarak bağımlıdır: eşdoğrusal.
◄ Eğer a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan biri, örneğin a, diğeri aracılığıyla ifade edilir; a = λb, bazı λ gerçek sayıları için. Tanım 1.7'ye göre çalışır sayı başına vektörler, a ve b vektörleri doğrusaldır.
Şimdi a ve b vektörleri eşdoğrusal olsun. Her ikisi de sıfır ise, bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu sıfır vektörüne eşit olduğundan, bunların doğrusal olarak bağımlı oldukları açıktır. Bu vektörlerden birinin, örneğin b vektörünün 0'a eşit olmamasına izin verin. Vektör uzunluklarının oranını λ ile gösterelim: λ = |a|/|b|. Doğrusal vektörler şunlar olabilir: tek yönlü veya zıt yönlü. İkinci durumda λ'nın işaretini değiştiririz. Daha sonra Tanım 1.7'yi kontrol ederek a = λb olduğuna ikna olduk. Teorem 2.1'e göre a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.
Açıklama 2.1.İki vektör durumunda, doğrusal bağımlılık kriteri dikkate alınarak kanıtlanmış teorem şu şekilde yeniden formüle edilebilir: iki vektör ancak ve ancak bunlardan birinin diğerinin bir sayı ile çarpımı olarak temsil edilmesi durumunda eşdoğrusaldır. Bu, iki vektörün doğrusallığı için uygun bir kriterdir.
Teorem 2.3.Üç vektör ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda doğrusal olarak bağımlıdır: eş düzlemli.
◄ Eğer üç vektör a, b, c doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 2.1'e göre bunlardan biri, örneğin a, diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir: a = βb + γс. b ve c vektörlerinin kökenlerini A noktasında birleştirelim. O zaman βb, γс vektörleri A noktasında ve boyunca ortak bir kökene sahip olacaktır. paralelkenar kuralına göre bunların toplamı onlar. a vektörü A kökenli bir vektör olacaktır ve son bileşen vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın tepe noktasıdır. Böylece tüm vektörler aynı düzlemde, yani aynı düzlemde yer alır.
a, b, c vektörleri eş düzlemli olsun. Bu vektörlerden biri sıfır ise diğerlerinin doğrusal birleşimi olacağı açıktır. Doğrusal kombinasyonun tüm katsayılarını almak yeterlidir sıfıra eşit. Bu nedenle üç vektörün de sıfır olmadığını varsayabiliriz. Uyumlu başladı bu vektörler ortak nokta O. Uçları sırasıyla A, B, C noktaları olsun (Şekil 2.1). C noktasından O, A ve O, B nokta çiftlerinden geçen çizgilere paralel çizgiler çizeriz. Kesişme noktalarını A" ve B" olarak belirleyerek bir OA"CB" paralelkenarı elde ederiz, dolayısıyla OC" = OA" + OB". OA" vektörü ve sıfır olmayan vektör a = OA eşdoğrusaldır ve bu nedenle bunlardan ilki, ikincinin şu şekilde çarpılmasıyla elde edilebilir: gerçek sayıα:OA" = αOA. Benzer şekilde, OB" = βOB, β ∈ R. Sonuç olarak, OC" = α OA + βOB elde ederiz, yani c vektörü, a ve b vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir. Teorem 2.1'e göre , a , b , c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.
Teorem 2.4. Herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır.
◄ İspatı Teorem 2.3'teki şemaya göre gerçekleştiriyoruz. Rastgele dört a, b, c ve d vektörünü düşünün. Dört vektörden biri sıfırsa veya aralarında iki tane varsa eşdoğrusal vektör veya dört vektörden üçü aynı düzlemde ise bu dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Örneğin, a ve b vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olmayan katsayılarla bunların doğrusal kombinasyonunu αa + βb = 0 yapabilir ve ardından katsayı olarak sıfırları alarak geri kalan iki vektörü bu kombinasyona ekleyebiliriz. Sıfır olmayan katsayıların bulunduğu, 0'a eşit dört vektörün doğrusal bir kombinasyonunu elde ederiz.
Böylece, seçilen dört vektör arasında hiçbir vektörün sıfır olmadığını, hiçbir ikisinin eşdoğrusal olmadığını ve hiçbir üçünün eşdüzlemsel olmadığını varsayabiliriz. Bunları şu şekilde seçelim ortak başlangıç O noktası. O zaman a, b, c, d vektörlerinin uçları bazı A, B, C, D noktaları olacaktır (Şekil 2.2). D noktasından üç düzlem çiziyoruz, düzlemlere paralel OBC, OCA, OAB ve A", B", C" bu düzlemlerin sırasıyla OA, OB, OS düz çizgileriyle kesişme noktaları olsun. Paralel yüzlü OA"C"B"C"B"DA'yı elde ederiz. "ve a, b, c vektörleri O tepe noktasından çıkan kenarlarında yer alır. OC"DC" dörtgeni bir paralelkenar olduğundan, OD = OC" + OC" . Buna karşılık, OC" segmenti bir köşegendir. paralelkenar OA"C"B", yani OC" = OA" + OB" ve OD = OA" + OB" + OC" olur.
OA ≠ 0 ve OA", OB ≠ 0 ve OB", OC ≠ 0 ve OC" vektör çiftlerinin eşdoğrusal olduğunu ve bu nedenle α, β, γ katsayılarını şu şekilde seçmek mümkündür: OA" = αOA, OB" = βOB ve OC" = γOC. Sonunda OD = αOA + βOB + γOC elde ederiz. Sonuç olarak, OD vektörü diğer üç vektör aracılığıyla ifade edilir ve Teorem 2.1'e göre dört vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır.
