Hız modülüne göre dağıtım. Maxwell'in moleküllerin hız dağılımına ilişkin yasası

Nick. Gorkavy

"Uzay Dedektifleri" - yeni kitap yazar, fiziksel ve matematik bilimleri doktoru Nikolai Nikolaevich Gorkavy. Karakterleri bilim kurgu üçlemesi “Astrovite”den okuyuculara tanıdık geliyor ve bilim masalları 2010-2014 yılında dergide yayımlanan; Sayı 1, 4-7, 9, 2015'te; 1, 2, 3, 2016 Sayılarında

Temel parçacıklar ve plazmanın doğal hızlandırıcısı: 31 Ağustos 2012'de Güneş'ten fırlatılan madde 1,5 bin km/s hızla hareket ediyor.

Werner Karl Heisenberg. 1933 Fotoğraf: Alman Federal Arşivleri/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Münih Üniversitesi, Werner Heisenberg'in mezun olduğu okul. Fotoğraf: Diago Delso/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Profesör Arnold Somerfeld. 1935 Fotoğraf: GFHund/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Genç profesör Werner Heisenberg. 1927 Fotoğraf: Wikimedia Commons/PD.

Sudelfeld kasabası Güney Bavyera Profesör A. Sommerfeld'in öğrencileriyle kayak yapmaya gittiği yer. Fotoğraf: LepoRello/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0.

Niels Bohr ve Werner Heisenberg. Fotoğraf: Fermilab, ABD Enerji Bakanlığı/Wikimedia Commons/PD.

Max Born. Fotoğraf: Wikimedia Commons/PD.

Werner Heisenberg'i ve onun ünlü belirsizlik ilişkisini tasvir eden Alman pulu. Fotoğraf: Wikimedia Commons/PD.

Akşam dağları serin bir sisle seğiriyordu, inekler yeşil, hafif eğimli meralarda dolaşıyor, boyun çanlarını şıngırdatıyor ve taze otları çıtırdıyordu. Çayırda kış için saklanan saman yığınları vardı. Sarışın bir genç samanlıklardan birinde yatıyordu ve Alman filozof Immanuel Kant'ın bir kitabını okuyordu. Uzaklarda bir yerde silahlar ateşleniyor, mermiler patlıyordu ve çocuk yıldızlar hakkında, biliş süreçleri hakkında okuyor, varoluş, ahlak ve etik sorunları hakkında düşünüyordu. Kendisini, ülkesini ve tüm dünyayı nelerin beklediğini bilmiyordu. İlk olduğunu bilmiyordum dünya savaşı yakında sona ereceğini ve bunun son olmayacağını; Werner Heisenberg adında bir çocuğun çayırda uzanıp Kant okuması sayesinde önümüzdeki yıllarda dünya tanınmayacak kadar değişecek. kendi zevki. O diğerleri gibi değil, özel bir çocuktu.

Galatea, başlamamız gereken yerin burası olduğunu belirtti.

Peki, bununla başlayalım,” diye yanıtladı Prenses Dzintara ve çocukları Galatea ile Andrei, başka bir akşam masalını dinlemeye hazırlandılar.

Böylece, yirminci yüzyılın başında Almanya'da bir çocuk yaşardı... Babası August Heisenberg, akla gelebilecek en sessiz faaliyetle meşguldü: eski Yunanca yazılmış eski Bizans el yazmalarını incelemek. Bunları araştırmak için İtalya ve Yunanistan'a gitti ve Münih Üniversitesi'ndeki öğrencilere tarih öğretti. İki oğlu vardı: Kimyager olan Erwin ve Werner. Ve dünyayla ilgili klasik fikirlere en çok değer veren bir kişinin ailesinde, zaman ve mekanla ilgili mevcut görüşleri reddeden ve bunları anlamak için yeni yaklaşımlar öneren bir asi büyümek zorundaydı.

Bu nasıl oldu? - Andrey'e sordu.

Henüz bir okul çocuğu olan Werner, uzun bir hastalık sırasında Hermann Weyl'in “Uzay” kitabını okudu. Zaman. Madde” dedi ve maddenin gücünden etkilendi. matematiksel yöntemler. O andan itibaren Heisenberg matematiğe ilgi duymaya başladı. Genç adamın olağanüstü bilgisi dikkat çekti final sınavı spor salonunda.

Werner'in gençliği, Alman tarihinin çalkantılı bir devrim döneminde gerçekleşti. 1918 baharında, o, diğer 16 yaşındaki okul çocuklarıyla birlikte, savaşan Almanya'ya yardım etmek için bir çiftlikte çalışmaya gönderildi. Heisenberg yaşıtlarından farklıydı. Akşamları emekli olmak için acele ediyordu ve coşkuyla okuyordu felsefi eserler Platon ve Kant.

Birinci Dünya Savaşı'nın ardından Almanya, siyasi istikrarsızlık, toplumsal huzursuzluk ve protestoların yaşandığı bir dönem yaşadı. Werner gençlik hareketinin toplantılarına katıldı ve burada karşıtlara yönelik hararetli konuşmaları dinledi. sosyal gelenekler ve önyargılar. Ancak o zaman bile asıl ilgi alanı siyaset ve felsefe değildi; onu en çok büyüleyen şey fizik ve matematikti.

1920'de Heisenberg Münih Üniversitesi'ne girdi, Profesör Arnold Sommerfeld'in öğrencisi oldu ve teorik fizik dünyasına daldı. Üç yıl sonra teorik hidrodinamik üzerine bir tez hazırladı ancak bunu elde etmek için bunu hesaba katmadı. akademik derece sözlü sınavı geçmeli ve deneysel fizik. Werner, titiz profesör Wilhelm Wien'in sorularına cevap veremedi ve neredeyse başarısız oldu. Tez adayını tamamen başarısızlıktan ancak Arnold Sommerfeld'in şefaati kurtardı.

Heisenberg, diplomasını aldıktan sonra yeni bir işe başladı. kuantum fiziği. Wolfgang Pauli ile birlikte Max Born'un yönetmen yardımcısı oldu. Fizik Enstitüsü Göttingen Üniversitesi. Born, Heisenberg hakkında şunları yazdı: “Kısa sarı saçları, net canlı gözleri ve büyüleyici ifadesiyle basit bir köylü adama benziyordu. Asistanlık görevini Pauli'den daha ciddiyetle yerine getirdi ve bana çok yardımcı oldu. Anlaşılmaz hızı ve anlayış keskinliği, her zaman onun çok büyük miktarda işi fazla çaba harcamadan başarmasını sağladı.”

Heisenberg ayrıca Niels Bohr'la da çalıştı (bkz. “Bilim ve Yaşam” No. 1, 2016, makale). 1922'de sözde Borovsky festivali sırasında tanıştılar. Heisenberg ünlü Danimarkalı ile konuştu ve bu konuşma onun çözüme yönelik görüşlerini ve yaklaşımlarını büyük ölçüde etkiledi. bilimsel problemler. "İyimserliği Sommerfeld'den, matematiği Göttingen halkından ve fiziği Bohr'dan öğrendim" diye yazdı.

1925'te 23 yaşındayken Werner, kuantum mekaniğini temel alan yeni bir kuantum mekaniği yarattı. matematiksel matrisler. O bağımsızdı klasik fizik ve kuantum bilimi devriminde bir dönüm noktası oldu.

Matrisler nelerdir?

Matrisler denir dikdörtgen masalar sayılar. Heisenberg, bir deneyde gözlemlenebilen herhangi bir fiziksel miktarın kendi matrisine sahip olduğunu öne sürdü. Bohr atomundaki kuantum sıçramalarını ve kuantum mekaniksel sistemlerin durumundaki değişiklikleri aşağıdakileri kullanarak tanımlayabildi: matematiksel işlemler matrisler üzerinde. Bir buçuk yıl sonra Heisenberg, modern bilim için bir dönüm noktası haline gelen kuantum belirsizlik ilişkisini türetti. İlişki, dünyamızın temelde hatalı olduğunu belirtiyordu: Herhangi bir nesnenin, örneğin bir elektronun momentumunu ve konumunu aynı anda iyi bir doğrulukla bilemiyoruz. Bir elektronun momentumunu doğru ölçersek konumu hakkındaki bilgileri kaybederiz, koordinatlarını doğru ölçersek momentumu veya hızı belirleme yeteneğimizi kaybederiz.

Yani bilim insanları hiçbir şeyi kesin olarak bilemiyor mu? - Galatea hayrete düşmüştü. - Ne kadar uğraşırlarsa uğraşsınlar ölçümlerde her zaman hatalar mı olacak?

Ne yazık ki bu doğru. Bir elektronun koordinatlarındaki belirsizlik, momentumundaki hatayla çarpıldığında Planck sabitine eşittir (bkz. “Bilim ve Yaşam” No. 7, 2015, makale) - ve bu Heisenberg belirsizlik ilişkisi, de Broglie'nin konseptini mükemmel bir şekilde tamamladı (bkz. “Bilim ve Yaşam” No. 2, 2016, makale) dalga şeklindeki parçacıklar hakkında. Eğer bir parçacığı kurnaz bir tuzakla yakalamaya çalışırsak, yani konumunu doğru bir şekilde tespit edersek, parçacığın momentumunu belirlemedeki hata sonsuz derecede büyük olacaktır.

Bilgi parmaklarınızın arasından bir dalga gibi akıyor,” diye sırıttı Galatea.

Görünüşe göre," diye araya girdi Andrei, "Galatea da bu belirsizlikler ilişkisine uyuyor: Hiçbir zaman doğru zamanda doğru yerde olmuyor!

Dzintara öfkeli kızına bakarak gülümsedi ve devam etti:

Heisenberg belirsizlik ilişkisi şu şekilde de yorumlanır: parametreleri ölçmek için kuantum sistemi araçsal müdahale gereklidir ve bu müdahale sistemin özelliklerini o kadar bozar ki sistem orijinal durumunu “unutur” ve biz onun ne olduğunu bilme fırsatını kaybederiz.

Kardeşini fark etmemiş gibi davranan Galatea annesine döndü:

Anne, bize anlattığın hikayelere bakılırsa teorisyenler çok genç yaşta keşifler yapıyor. Ancak yıllar geçtikçe deneyim ve bilgi artıyor ve daha fazla keşif olması gerekiyor.

Teorik keşifler için en verimli çağın üniversiteden mezun olduktan sonraki ilk birkaç yıl olduğu uzun zamandır biliniyor, çünkü sadece deneyim ve bilgi değil, aynı zamanda gençliğin yeni bir görünümü ve cesareti de önemli. Yaşlılıkta bilim adamı, uzun süredir birlikte yaşadığı gerçeklerin ihlal edilmesini kabul etmekte zorlanır.

Werner Heisenberg'in başarıları gözden kaçmadı. Üniversiteler onu profesörlüğe davet etmek için birbiriyle yarıştı. Werner, 25 yaşındayken Leipzig Üniversitesi'nde teorik fizik profesörü oldu.

Artık kimse onu fizik bilgisizliğinden dolayı suçlayamazdı! - Galatea memnuniyetle kaydetti.

Onunla çalışan herkes Heisenberg'in demokratik olduğunu ve neşeli bir insan. Örneğin bilimsel çalışmalardan sonra büyük bir heyecanla masa tenisi oynadı. Biyografi yazarları - öğrencileri Neville Mott, ödüllü Nobel Ödülü Rudolf Peierls, büyük bilim adamına ithaf ettiği bir kitapta, Heisenberg'in kuantum mekaniğini yarattığı ve genç bir profesör olduğu dönem hakkında şunları yazdı: “Kendini ele almaya başlasaydı kimse onu kınamazdı. Fiziğin çehresini değiştiren en az iki kararlı adımı attıktan ve böyle bir şey aldıktan sonra ciddileşin ve biraz kibirli olun. genç yaşta daha yaşlı ve daha az sayıda kişiyi zorlayan profesör statüsü önemli insanlar kendini önemli hissediyordu ama olduğu gibi kaldı; tavırları resmi olmayan ve neşeliydi, neredeyse çocuksuydu ve utangaçlığa varan bir tevazuya sahipti.”

Heisenberg, 32 yaşından küçükken "kuantum mekaniğinin yaratılması nedeniyle" Nobel Fizik Ödülü'nü aldı. Kesinlikle mutluydu, ancak alçakgönüllü ve adil davranarak, kuantum mekaniğinin yaratılmasındaki meslektaşları Erwin Schrödinger ve Paul Dirac'ın aralarında bir Nobel Ödülü almasına ve Max Born'un tamamen atlanmasına şaşırdığını ifade etti.

Heisenberg çok çalıştı ama bir kız arkadaşı ya da ailesi var mıydı? - Galatea'ya sordu. - Yoksa sadece bilim mi okudu?

Werner, 35 yaşında Berlinli bir ekonomi profesörünün kızı Elisabeth Schumacher ile evlendi. Sonsuza kadar mutlu yaşadılar ve yedi çocukları oldu. Heisenberg'in kızları Anna-Maria ve Verena fizyolog oldu, oğlu Martin genetikçi oldu ve Jochen babasının izinden gitti; o da nükleer fizikçiydi;

Heisenberg 1976'da öldü. 1963 Nobel Fizik Ödülü sahibi Eugene Wigner o dönemde şöyle yazmıştı: “Bilimimize ondan daha büyük katkılarda bulunan yaşayan hiçbir teorik fizikçi yoktur. Aynı zamanda herkese karşı dost canlısıydı, kibirden uzaktı ve hoş bir arkadaştı." Ve 1952'de Nobel Fizik Ödülü'nü kazanan ilk öğrencisi Felix Bloch şunları hatırladı: "Bir öğretmen olarak onun en büyük niteliklerinden birini seçmek zorunda kalsaydım, bu onun olağanüstü yeteneği olurdu." olumlu tutum Heisenberg'in en şaşırtıcı özelliklerinden biri, yaklaşımında gösterdiği neredeyse hatasız sezgiydi. fiziksel sorun ve kararların gökten yağıyormuş gibi göründüğü olağanüstü yol.”

Werner Carl Heisenberg(1901-1976) - Alman teorik fizikçi, kuantum mekaniğinin kurucularından biri. 1932 Nobel Fizik Ödülü'nü kazandı.

Hermann Weil(1885-1955) - Alman matematikçi ve teorik fizikçi. Ünlü “Uzay” kitabının yazarı. Zaman. Matter" - ilk sunumlardan biri genel teori Einstein'ın göreliliği.

Arnold Johannes Wilhelm Somerfeld(1868-1951) - Alman teorik fizikçi ve matematikçi. Öğretmen ve bilimsel süpervizör Werner Heisenberg.

Maksimum Doğan(1882-1970) - Kuantum mekaniğinin yaratıcılarından biri olan Alman ve İngiliz teorik fizikçi. 1954 Nobel Fizik Ödülü sahibi.

Felix Bloch(1905-1983) - İsviçreli fizikçi, Werner Heisenberg'in öğrencisi. 1952 Nobel Fizik Ödülü sahibi.

Neville Francis Mott(1905-1996) - İngiliz fizikçi. Philip Anderson ve John van Vleck ile birlikte aldığı 1977 Nobel Fizik Ödülü'nü kazandı.

Maxwell dağılımı

Denge durumunda, çok sayıda parçacıktan oluşan bir sistemde, örneğin belirli bir gaz hacminde, dış etkilerin yokluğunda makroskobik değişiklikler meydana gelmez: sistemin parametreleri sabit kalır. Moleküllerin ortalama hızı da sabit kalır. Belirli bir anda kaç tane molekülün veya bunların hangi kısmının belirli bir hızda hareket ettiği sorusunun cevabı teorik olarak Maxwell tarafından elde edildi.

Konsepti tanıtalım hız uzayı. Her molekül için, hızının bileşenlerini karşılıklı üç dik eksen boyunca çiziyoruz (Şekil 1.3.1).

Hız uzayındaki her nokta belirli bir hıza sahip bir moleküle karşılık gelir. Vektör hız gider Başlangıç ​​noktasından söz konusu noktaya kadar.

Birim gaz hacmindeki moleküllerin hızlarına göre nasıl dağılacağını düşünelim.

Bu moleküller bir dizi n noktayla temsil edilecektir. Moleküllerin çarpışması nedeniyle bazı noktalar hacim elemanını terk edecek, bazıları ise ona girecek. Bu durumda ortalama puan sayısı bu eleman hacim korunur.

Maxwell yasası, genellikle f(v) olarak adlandırılan bir fonksiyonla tanımlanır. Moleküllerin hıza göre dağılımının fonksiyonu. f(v) fonksiyonu, hızları v ila v+dv, ᴛ.ᴇ aralığında yer alan dN(v)/N moleküllerinin bağıl sayısını belirler.

Nerede .

Maxwell olasılık teorisinin yöntemlerini kullanarak şu fonksiyonu buldu:

Formülden açıkça görülüyor ki özel tip fonksiyon gazın türüne (m0 molekülünün kütlesine) ve durum parametresine (sıcaklık T) bağlıdır.

f(v) fonksiyonunun grafiği Şekil 1.3.2'de gösterilmektedir. f(v) fonksiyonu sıfırdan başlar, v'de maksimuma ulaşır ve sonra asimptotik olarak sıfıra yönelir. Eğri v in'e göre simetrik değildir.

Maxwell dağılımı, termodinamik denge durumunda ideal bir gazın moleküllerinin hız dağılımıdır.

Maxwell dağılımının entegrasyonu ile ortalama değerler hesaplanabilir. Ortalama kare hız (kök ortalama kare hız)

Hızları v1 ila v2 aralığında olan moleküllerin sayısını bulmak için eğrinin karşılık gelen bölümünün altındaki alanı belirlemek son derece önemlidir (Şekil 1.3.2).

Sıcaklık arttıkça Maxwell eğrisinin maksimumu daha yüksek hızlara doğru kayar ve eğrinin şekli değişir. İki kişilik dağıtımlar farklı sıcaklıklarŞekil 1.3.3'te gösterilmektedir. Eğrinin sınırladığı alan değişmediğinden sıcaklık arttıkça moleküler hız dağılım eğrisi uzayacak ve azalacaktır.

Şekil 1.3.3 T 1< Т.

Hızın mutlak değerinin ortalama değeri (negatif ve negatif olduğundan hızın ortalama değeri sıfırdır) pozitif değerler bileşenler eşittir) formülle belirlenir

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, gazın durumunu karakterize eden hızlar:

1) büyük olasılıkla;

2) ortalama hız;

3) kare demek.

Bu hızlar ilişkiyle ilişkilidir

v B: avñ: áv sqñ @1:1.13:1.22,

yani hızın ortalama karekökü en büyük değere sahiptir.

Moleküllerin hıza göre dağılımlarına dayanarak, yeni E = m 0 v 2/2 değişkenine geçerek, moleküllerin enerjiye göre dağılım fonksiyonunu elde edebiliriz.

O halde ideal bir gaz molekülünün ortalama kinetik enerjisi şuna eşittir:

Hızları v ila v+Dv aralığında olan moleküllerin (DN) sayısını hesaplamak için, v B'nin en olası hız olduğu u=v/v B bağıl hızını tanıtmak uygundur. O halde DN molekül sayısıdır, bağıl hızlar u, u+Du, ᴛ.ᴇ aralığındadırlar. v/v giriş, v+Dv/v giriş, Dvv'nin olması gereken yerde. Evet, elimizde

burada N, gaz moleküllerinin toplam sayısıdır, DN/N, u, u+Du aralığında hızlara sahip moleküllerin bağıl sayısıdır (fraksiyonu). Bu bağımlılığın grafiği, eğer u apsis ekseni boyunca çizilmişse ve DN/(NDu) değeri ordinat ekseni boyunca dağılım fonksiyonu ise, Şekil 1.3.2'ye karşılık gelir.

Örnek 7. 27°C sıcaklıkta nitrojen moleküllerinin ortalama kare hızının kökünü belirleyin. Kök ortalama hızın karesi moleküler ağırlığa ve sıcaklığa nasıl bağlıdır?

T=300°K, m=28 kg/kmol, k=1,38×10 -23 J/derece.

Çözüm. Nerede ;

Böylece

Kök ortalama kare hızı, sıcaklığın kareköküyle doğru orantılıdır ve moleküler kütlenin kareköküyle ters orantılıdır.

Maxwell dağılımı - kavram ve türleri. "Maxwell Dağıtımı" 2017, 2018 kategorisinin sınıflandırılması ve özellikleri.

• Pek çok durumda yalnızca ortalama değerlerin bilgisi fiziksel büyüklükler yeterli değil. Örneğin insanların ortalama boy uzunluğunu bilmek giyim üretiminin planlanmasına izin vermez. çeşitli boyutlar. Boyları belirli bir aralıkta olan yaklaşık insan sayısını bilmeniz gerekir.

  Aynı şekilde hızları ortalama değerden farklı olan moleküllerin sayısını bilmek de önemlidir. Bu sayıların nasıl belirlenebileceğini ilk keşfeden kişi Maxwell oldu.

Rastgele bir olayın olasılığı

Davranışı tanımlamak için § 4.1'de zaten bahsetmiştik. büyük nüfus moleküller J. Maxwell olasılık kavramını tanıttı.

Tekrar tekrar vurgulandığı gibi, bir molekülün belirli bir süre boyunca hızındaki (veya momentumundaki) değişimi izlemek prensip olarak imkansızdır. geniş aralık zaman. Belirli bir zamanda tüm gaz moleküllerinin hızlarını doğru bir şekilde belirlemek de imkansızdır. Bir gazın bulunduğu makroskobik koşullardan (belirli bir hacim ve sıcaklık), belirli moleküler hız değerlerinin mutlaka takip edilmesi gerekmez. Bir molekülün hızı, belirli makroskobik koşullar altında, rastgele bir değişken olarak düşünülebilir. farklı anlamlar tıpkı fırlatırken olduğu gibi zar 1'den 6'ya kadar istediğiniz sayıda puan atabilirsiniz (zarın kenar sayısı altıdır). Zar atıldığında kaç puan geleceğini tahmin etmek imkansızdır. Ancak diyelim ki beş puanın yuvarlanma olasılığı belirlenebilir.

Rastgele bir olayın meydana gelme olasılığı nedir? Çok büyük sayıda N test yapılmasına izin verin (N, zar atışlarının sayısıdır). Üstelik N" vakada testlerin olumlu bir sonucu vardı (yani beş düştü). Bu durumda bu olayın olasılığı, olumlu sonucu olan vaka sayısının toplam test sayısına oranına eşittir, Bu sayının istenilen kadar büyük olması şartıyla:

Simetrik bir zar için 1'den 6'ya kadar seçilen herhangi bir sayıdaki noktanın olasılığı eşittir.

Bunu birçok şeyin arka planında görüyoruz. rastgele olaylar belirli bir niceliksel model keşfedildiğinde bir sayı ortaya çıkar. Bu sayı - olasılık - ortalamaları hesaplamanıza olanak tanır. Yani, eğer 300 zar atarsanız, formül (4.6.1)'den takip edildiği gibi, ortalama beş sayısı 300 = 50 olacaktır ve aynı zarı 300 kez mi, yoksa 300 kez aynı mı atmanız kesinlikle hiçbir fark yaratmaz. aynı anda zar atın.

Hiç şüphe yok ki, bir kaptaki gaz moleküllerinin davranışı, atılan bir zarın hareketinden çok daha karmaşıktır. Ama burada bile kesin bir şey bulmayı umabiliriz. niceliksel modeller, eğer sorun klasik mekanikte olduğu gibi değil de oyun teorisinde olduğu gibi ortaya konulursa, istatistiksel ortalamaların hesaplanmasına olanak tanır. Belirli bir anda bir molekülün hızının kesin değerini belirleme konusundaki çözülemeyen problemden vazgeçmek ve hızın belirli bir değere sahip olma olasılığını bulmaya çalışmak gerekir.

Moleküllerin hız dağılımı - Maxwell dağılımı

Maxwell, termal denge durumundaki gazlarda zamanla değişmeyen belirli bir hız dağılımı olduğunu, başka bir deyişle belirli bir değer aralığında hızlara sahip molekül sayısının sabit kaldığını varsaydı. Ve Maxwell bu dağılımı buldu.

Ancak Maxwell'in esas değeri bu sorunu çözmekten çok formülasyonun kendisindeydi. yeni sorun. Belirli makroskobik koşullar altında tek tek moleküllerin rastgele davranışlarının belirli bir olasılıksal veya istatistiksel yasaya tabi olduğunu açıkça fark etti. Gaz moleküllerinin hız dağılımına ilişkin bu istatistiksel yasanın nispeten basit olduğu ortaya çıktı.

Moleküllerin hız dağılımı görsel olarak aşağıdaki gibi temsil edilebilir. Haydi seçelim dikdörtgen sistem referans, eksenler üzerine parçacık hızlarının v x , v y , v z projeksiyonlarını çizeceğiz. Sonuç, her noktası kesin olarak belirlenmiş bir v hızına sahip bir moleküle karşılık gelen, referans sisteminin başlangıcından bu noktaya kadar çizilen yarıçap vektörünün uzunluğuna eşit olan üç boyutlu bir "hız alanı" olacaktır ( Şekil 4.7).

Pirinç. 4.7

N molekülünün her birinin hızı, bu hız uzayında bir nokta olarak gösterilirse, moleküllerin hız dağılımı hakkında genel bir fikir elde edilecektir (Şekil 4.8). Noktalar oldukça düzensiz bir şekilde yerleştirilecek, ancak ortalama olarak noktaların yoğunluğu orijinden uzaklaştıkça azalacaktır (tüm moleküler hızlar eşit sıklıkta gerçekleşmez).

Pirinç. 4.8

Puan dağılımının resmi elbette donmuş değil. Zamanla çarpışmalar nedeniyle moleküllerin hızları değişir ve sonuç olarak hız uzayındaki noktaların dağılım modeli değişir. Ancak değişimi öyledir ki, hız uzayının herhangi bir bölgesindeki noktaların ortalama yoğunluğu zamanla değişmez, aynı kalır. Belirli bir istatistik yasasının varlığı tam da bu anlama gelir. Ortalama yoğunluk en olası hız dağılımına karşılık gelir.

Hız uzayının belirli bir küçük hacmindeki (Δv x Δv y Δvz) AN noktalarının sayısı, açıkça bu hacmin içindeki noktaların yoğunluğuyla çarpımına eşittir. (Benzer şekilde, belirli bir hacimdeki ΔV'nin kütlesi Δm, ρ maddesinin yoğunluğunun bu hacimle çarpımına eşittir: Δm = ρΔV.) Nf(v x , v y , v z) ile gösterelim. ortalama yoğunluk hız uzayındaki noktalar, yani hız uzayının birim hacmi başına düşen nokta sayısı (N, gaz moleküllerinin toplam sayısıdır). Daha sonra

Aslında ΔN, hız projeksiyonları v x'den v x + Δv x'e, v y'den v y + Δv y'ye ve v z'den v z + Δv z'ye (hızların yarıçap vektörleri) kadar olan değerler aralığında yer alan moleküllerin sayısıdır. Bu moleküllerin her biri küp şeklindeki Δv = Δv x Δv y Δvz hız uzayının hacmi içinde sonlanır (bkz. Şekil 4.8).

Bir molekülün hız projeksiyonlarının belirli bir hız aralığında yer alma olasılığı, belirli bir hız değerine sahip molekül sayısının toplam molekül sayısına oranına eşittir:

f(v x, v y, v z) fonksiyonuna moleküllerin hız dağılım fonksiyonu denir ve olasılık yoğunluğunu, yani hız uzayının birim hacmi başına olasılığı temsil eder.

Moleküllerin belirli bir andaki hızları prensipte herhangi bir olabilir. Ancak farklı hız dağılımlarının olasılığı aynı değildir. Olası tüm anlık dağılımlar arasında olasılığı diğerlerinden daha yüksek olan bir dağılım vardır; en olası dağılım. Maxwell, moleküler hızların bu en olası dağılımını (Maxwell dağılımı) veren f(v x, v y, v z) dağılım fonksiyonunun, molekülün kinetik enerjisinin oranıyla belirlendiğini tespit etti.

termal hareketinin ortalama enerjisine kT (k, Boltzmann sabitidir). Bu dağıtım şu şekildedir:

Burada e ≈ 2,718 doğal logaritmanın tabanıdır ve A'nın değeri hıza bağlı değildir.

Dolayısıyla Maxwell'e göre hız uzayındaki molekülleri temsil eden noktaların yoğunluğu orijine yakın yerlerde maksimumdur (v = 0) ve v arttıkça azalır ve ne kadar hızlı olursa termal hareket enerjisi kT de o kadar düşük olur. Şekil 4.9, v y ve v z projeksiyonlarının herhangi biri olması koşuluyla, f dağılım fonksiyonunun v x projeksiyonuna bağımlılığını göstermektedir. Dağılım fonksiyonu, istatistik teorilerinde sıklıkla bulunan ve Gauss eğrisi olarak adlandırılan karakteristik bir çan şekline sahiptir.

Pirinç. 4.9

A sabiti, bir molekülün hızının sıfırdan sonsuza kadar herhangi bir değere sahip olma olasılığının bire eşit olması şartından bulunur. Bu duruma normalizasyon koşulu denir. (Benzer şekilde, belirli bir zar atışında 1'den 6'ya kadar herhangi bir sayıda puan alma olasılığı birdir.) Toplam olasılık rastgele bir olayın tüm olası birbirini dışlayan gerçekleşme olasılıklarının eklenmesiyle elde edilir.

Tüm olasılıkların ΔW i toplamı olası değerler hız i, denklemi elde ederiz

Normalleştirme sabiti A'yı denklem (4.6.5)'i kullanarak hesapladıktan sonra, belirli bir aralıktaki hızlara sahip ortalama parçacık sayısı için ifadeyi aşağıdaki biçimde yazabiliriz:

Herhangi bir molekülün belirli bir andaki hızı rastgele değişken. Bu nedenle, moleküllerin belirli bir zamanda hıza göre dağılımı rastgeledir. Ancak istatistik yasasıyla belirlenen ortalama dağılım zorunlu olarak belirli makroskobik koşullar altında gerçekleşir ve zamanla değişmez. Ancak her zaman ortalamadan sapmalar, dalgalanmalar vardır. Bu sapmalar eşit olasılıkşu ya da bu yönde gerçekleşir. Bu nedenle ortalama olarak moleküllerin hıza göre belirli bir dağılımı vardır.

Moleküllerin Maxwell hız dağılımının sadece gazlar için değil aynı zamanda sıvılar ve sıvılar için de geçerli olduğu ortaya çıkmıştır. katılar. Yalnızca parçacıkların hareketini tanımlamak için uygulamanın imkansız olduğu durumlarda klasik mekanik Maxwell dağılımı artık geçerli değil.

Moleküler hız modüllerinin dağılımı

Mutlak hızları v ila v + Δv aralığında olan ortalama molekül sayısını bulalım.

Maxwell dağılımı (4.6.4), hız projeksiyonları v x'den v x + Δv x'e, v y'den v y + Δv y'ye, v z'den v z + Δv z'ye kadar olan değerler aralığında yer alan moleküllerin sayısını belirler. Bu hızların vektörleri Δv x Δu y Δvz hacminin içinde biter (bkz. Şekil 4.8). Bu şekilde, Δv x Δu y Δv z hacminin hız uzayındaki konumu tarafından verilen, belirli bir modüle ve belirli bir hız yönüne sahip ortalama molekül sayısı ayarlanır.

Hız modülleri v ila + Δv aralığında yer alan tüm moleküller, v yarıçaplı ve Δv kalınlığındaki küresel bir katman içindeki hız uzayında bulunur (Şekil 4.10). Top hacmi ürüne eşit katmanın kalınlığına göre yüzey alanı: 4πv 2 Δv.

Pirinç. 4.10

Bu katmanın içinde yer alan ve dolayısıyla v ila v + Δv aralığında hız modülü değerleri verilmiş olan moleküllerin sayısı, Δv x Δu hacmini değiştirirsek formül (4.6.2)'den bulunabilir. y Δv z hacmi 4πv 2 Δv ile.

Böylece gerekli ortalama molekül sayısı

Bir molekülün hız modülünün belirli bir değerinin olasılığı orana eşit olduğundan, olasılık yoğunluğu için elde ettiğimiz

Bu fonksiyonun hıza bağımlılığını ifade eden bir grafik Şekil 4.11'de gösterilmektedir. F(v) fonksiyonunun, f(v x, v y, v z) olasılık yoğunluğu gibi artık sıfırda bir maksimuma sahip olmadığını görüyoruz. Bunun nedeni aşağıdaki gibidir. Hız uzayında molekülleri temsil eden noktaların yoğunluğu v = 0 yakınında hala en büyük olacaktır, ancak artan hız modülleri (~ v 2) ile küresel katmanların hacmindeki artış nedeniyle f(v) fonksiyonu artar. Bu durumda küresel katman içindeki nokta sayısı, noktaların yoğunluğunun azalması nedeniyle f(v x, v y, v z) fonksiyonunun azalmasından daha hızlı büyür.

Pirinç. 4.11

Ne söylendiğini açıklayabilir misiniz? açık bir örnek. Oldukça isabetli bir atıcının eşmerkezli dairelerle düzenli bir hedefe ateş ettiğini varsayalım. Mermi vuruşları hedefin merkezi etrafında yoğunlaşır. Vuruş yoğunluğu (birim alan başına düşen vuruş sayısı) hedefin merkezine yakın bir yerde maksimum olacaktır. Hedefi Δx genişliğinde ayrı dar şeritlere bölelim (Şekil 4.12, a). Daha sonra belirli bir şerit üzerindeki isabet sayısının genişliğine oranı, hedefin merkezine yakın yerde maksimum olacaktır.

Pirinç. 4.12

Belirli bir şeritteki vuruş sayısı ile genişliği arasındaki ilişki, Şekil 4.12, b'de gösterilen forma sahiptir. Burada yine f(vx)'in hız projeksiyonları üzerindeki dağılımına ilişkin bir Gauss eğrisi elde edilir (bkz. Şekil 4.9).

Ancak çeşitli hedef halkalarındaki isabet sayısını sayarsanız tamamen farklı bir sonuç elde edilecektir. Bu durumda, yarıçapı r olan bir halkadaki vuruş sayısının genişliğine oranı, Şekil 4.12c'de gösterilen eğri ile grafiksel olarak karakterize edilecektir. Vuruşların yoğunluğu hedef merkezden uzaklaştıkça azalsa da halkaların alanları r ile orantılı olarak artar, bu da eğrinin maksimumunun sıfırdan kaymasına yol açar.

Moleküllerin en olası hızı

Moleküler hız modüllerinin olasılık yoğunluğuna ilişkin formül (4.6.8) bilindiğinde, bu olasılık yoğunluğunun (1) maksimumuna karşılık gelen hız değeri bulunabilir. Hız (en olası olarak adlandırılır) şuna eşit çıkıyor:

Çoğu molekülün en muhtemel hıza yakın hızları vardır (bkz. Şekil 4.11).

Mutlak sıcaklık T arttıkça, en olası hız da artar ve aynı zamanda bağımlılık eğrisi Do) giderek daha düzgün hale gelir (Şekil 4.13).

Pirinç. 4.13

Hızlı moleküllerin rolü

Herhangi bir sıcaklıkta, hızları ve dolayısıyla kinetik enerjileri ortalamanın belirgin şekilde üzerinde olan belirli sayıda molekül vardır.

Birçok kişinin olduğu biliniyor kimyasal reaksiyonlarörneğin yanma yaygın türler yakıt (odun, kömür vb.), yalnızca belirli, yeterli bir seviyede başlayın yüksek sıcaklık. Yakıtın oksidasyon sürecini, yani yanma işlemini başlatmak için gereken enerji (buna aktivasyon enerjisi denir) 10-19 J düzeyindedir. Ve 293 K sıcaklıkta (oda sıcaklığı), yakıtın ortalama kinetik enerjisi Moleküllerin termal hareketi yaklaşık 5 10 -21 J'dir. Bu nedenle yanma meydana gelmez. Ancak sıcaklığın yalnızca 2 kat artması (586 K'ye kadar) tutuşmaya neden olur. Ortalama enerji moleküller de 2 kat artar, ancak kinetik enerjisi 10 -19 J'yi aşan moleküllerin sayısı 10 8 kat artar. Bu Maxwell dağılımından kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla 293 K sıcaklıkta kitap okurken kendinizi rahat hissedersiniz, ancak 586 K sıcaklıkta kitap yanmaya başlar.

Bir sıvının buharlaşması aynı zamanda Maxwell dağılımının sağ "kuyruğundaki" hızlı moleküller tarafından da belirlenir. Su moleküllerinin oda sıcaklığında bağlanma enerjisi kT'den önemli ölçüde daha yüksektir. Ancak buharlaşma meydana gelir. büyük sayı kinetik enerjisi kT'yi aşan hızlı moleküller.

Maxwell keşfetti yeni tip fizik kanunu- istatistiksel - ve moleküllerin hıza göre dağılımını buldu. Keşfinin önemini açıkça anlamıştı. Cambridge'e sunulan bir raporda felsefi toplum Maxwell şunları söyledi: "İnanıyorum ki en çok önemli düşünme yöntemlerimizi geliştirmek moleküler teorilerÇünkü bizi dinamik ve istatistiksel diyebileceğimiz iki biliş yöntemini birbirinden ayırmaya zorluyorlar."

(1) Bu, maksimum değeri bulma kurallarına göre yapılır. bilinen fonksiyon. Bu fonksiyonun hıza göre türevini hesaplayıp sıfıra eşitlemek gerekir.

Yoğunluk dağıtım fonksiyonu

Maxwell dağılımı- Fizik ve kimyada bulunan olasılık dağılımı. Birçok şeyi açıklayan gazların kinetik teorisinin temelini oluşturur. temel özellikler Basınç ve difüzyon dahil gazlar. Maxwell dağılımı aşağıdakiler için de geçerlidir: elektronik süreçler Transfer ve diğer fenomenler. Maxwell dağılımı bir gazdaki bireysel moleküllerin birçok özelliğine uygulanır. Genellikle bir gazdaki moleküllerin enerjilerinin dağılımı olarak düşünülür, ancak aynı zamanda moleküllerin hızlarının, momentumlarının ve modüllerinin dağılımına da uygulanabilir. Aynı zamanda şu şekilde de ifade edilebilir: ayrık dağıtım birden fazla ayrık enerji seviyesinde veya nasıl sürekli dağıtım bir miktar enerji sürekliliği boyunca.

Maxwell dağılımı istatistiksel mekanik kullanılarak elde edilebilir (bölüm fonksiyonunun kökenine bakın). Bir enerji dağılımı olarak, çarpışmanın hakim olduğu bir sistemde en olası enerji dağılımına karşılık gelir: büyük miktar etkileşime girmeyen parçacıklar kuantum etkileriönemsizdir. Bir gazdaki moleküller arasındaki etkileşim genellikle oldukça küçük olduğundan, Maxwell dağılımı gazdaki mevcut duruma oldukça iyi bir yaklaşım sağlar.

Ancak diğer birçok durumda elastik çarpışmaların diğer tüm süreçlere üstünlüğü koşulu yaklaşık olarak bile karşılanmamaktadır. Bu, örneğin rekombinasyon ve çarpışmalı uyarılma süreçlerinin (yani ışınımsal süreçlerin) özellikle elektronlar için büyük önem taşıdığı iyonosferik ve kozmik plazma fiziği için geçerlidir. Maxwell dağılımının uygulanabilirliği varsayımı bu durumda sadece niceliksel olarak yanlış sonuçlar vermekle kalmayacak, hatta doğru anlayış süreçlerin fiziği kalite seviyesi. Ayrıca gaz parçacıklarının kuantum de Broglie dalga boyunun parçacıklar arasındaki mesafeye göre küçük olmaması durumunda kuantum etkilerinden dolayı Maxwell dağılımından sapmalar gözlemlenecektir.

Maxwell enerji dağılımı ayrık bir enerji dağılımı olarak ifade edilebilir:

sistemin sıcaklığında enerjiye sahip moleküllerin sayısı, sistemdeki toplam molekül sayısı ve Boltzmann sabitidir. (Bazen yukarıdaki denklemin dejenerasyonun derecesini gösteren bir faktörle yazıldığını unutmayın. enerji seviyeleri. Bu durumda toplam, sistemin tüm durumlarına değil, tüm enerjilere ait olacaktır). Hız enerjiyle ilişkili olduğundan, sıcaklık ile gazdaki moleküllerin hızları arasındaki ilişkiyi elde etmek için denklem (1) kullanılabilir. Denklem (1)'deki payda kanonik bölüm fonksiyonu olarak bilinir.

Maxwell dağılımı

Dürtü vektörüne göre dağılım

Aşağıda sunulan şey, James Clerk Maxwell tarafından önerilen ve daha sonra Ludwig Boltzmann tarafından daha az varsayımla açıklanan türetmeden çok farklıdır.

Durumunda ideal gaz Temel durumdaki etkileşime girmeyen atomlardan oluşan enerjinin tamamı kinetik enerji formundadır. Kinetik enerji bir parçacığın momentumuyla aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

momentum vektörünün karesi nerede.

Bu nedenle denklem (1)'i şu şekilde yeniden yazabiliriz:

denklem (1)'deki paydaya karşılık gelen istatistiksel toplam nerede, - moleküler ağırlık gaz, - termodinamik sıcaklık ve Boltzmann sabitidir. Bu dağılım, momentum bileşenlerinin bu değerlerine sahip bir durumda bir molekül bulmanın olasılık yoğunluk fonksiyonuyla orantılıdır. Böylece:

Normalleştirme sabiti C, moleküllerin sahip olma olasılığının durumuna göre belirlenir. herhangi Genel olarak dürtü birliğe eşit olmalıdır. Bu nedenle denklem (4)'ün tüm değerler üzerinden integrali şu şekilde olmalıdır: bire eşit. Şu gösterilebilir:

Dolayısıyla denklem (4)'teki integralin 1 değerine sahip olması için,

İfadeyi (6) denklem (4)'te değiştirerek ve gerçeğini kullanarak şunu elde ederiz:

Hız vektör dağılımı

Hız dağılım yoğunluğunun darbe dağılım yoğunluğu ile orantılı olduğu göz önüne alındığında:

ve bunu kullanarak şunu elde ederiz:

bu Maxwell hız dağılımıdır. Sonsuz küçük bir elementte hıza yakın bir parçacığın tespit edilme olasılığı

İtkinin mutlak değerine göre dağılım

İntegral alarak dağılımı bulabiliriz mutlak değer dürtü

Enerji dağıtımı

Son olarak ve ilişkilerini kullanarak kinetik enerji dağılımını elde ederiz:

Öngörülen hız dağılımı

Hız vektörü için Maxwell dağılımı, üç yönün her biri için dağılımların çarpımıdır:

tek yönde dağılım:

Bu dağılım normal dağılım şeklindedir. Durgun bir gazdan bekleneceği gibi, herhangi bir yöndeki ortalama hız sıfırdır.

Hız modülüne göre dağıtım

Genellikle, moleküler hızların projeksiyonlarından ziyade mutlak değere göre dağılım daha ilgi çekicidir. hız modülü, vşu şekilde tanımlanır:

bu nedenle hız modülü her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olacaktır. Her şey normal dağıldığı için üç serbestlik dereceli ki-kare dağılımına sahip olacaktır. Hız modülünün olasılık yoğunluk fonksiyonu ise:

dolayısıyla hız modülünün olasılık yoğunluk fonksiyonu şuna eşittir:

Karakteristik hız

Denklem (11) hız dağılımını veya başka bir deyişle belirli bir hıza sahip moleküllerin fraksiyonunu vermesine rağmen, ortalama parçacık hızları gibi diğer nicelikler genellikle daha ilgi çekicidir. Aşağıdaki alt bölümlerde tanımlayacağız ve elde edeceğiz büyük olasılıkla hız, ortalama hız Ve RMS hızı.

En olası hız

en olası hız, - sistemin herhangi bir molekülünün sahip olma olasılığı maksimumdur ve hangisine karşılık gelir? maksimum değer. Bunu bulmak için hesaplamanız, sıfıra eşitlemeniz ve şunu çözmeniz gerekir:

Ortalama hız

RMS hızı

Yerine koyma ve integrasyon yaparsak, şunu elde ederiz:

Maxwell dağılımının türetilmesi

Şimdi dağıtım formülünü James Clerk Maxwell'in yaptığı gibi elde edelim.
Gazın durağan durumundaki hız noktalarının uzayını (her molekül koordinat sisteminde bir nokta olarak temsil edilir) ele alalım. Sonsuz küçük bir hacim elemanı seçelim. Gaz sabit olduğundan hız noktalarının sayısı zamanla değişmeden kalır. Hız uzayı izotropiktir, dolayısıyla tüm yönler için olasılık yoğunluk fonksiyonları aynıdır.

Maxwell, hızların yönler boyunca dağılımlarının istatistiksel olarak bağımsız olduğunu, yani bir molekülün hızının bileşeninin bileşenlere bağlı olmadığını varsaydı.

Sağ taraf ve'ye bağlı değildir; bu, soldakinin ve'ye bağlı olmadığı anlamına gelir. Ancak aynı zamanda eşittirler, dolayısıyla sol taraf da bağlı değildir. Araç bu ifade yalnızca bir sabite eşit olabilir.

Şimdi temel bir adım atmanız gerekiyor - sıcaklığı girin. Sıcaklığın kinetik tespiti (moleküler hareketin ortalama kinetik enerjisinin bir ölçüsü olarak).

Herhangi bir gazın molekülleri sonsuz kaotik hareket halindedir. Moleküllerin hızları çeşitli değerler alabilir. Moleküller çarpışır ve çarpışmalar sonucunda moleküllerin hızları değişir. Zamanın herhangi bir anında, her bir molekülün hızı hem büyüklük hem de yön açısından rastgeledir.

Ancak gaz kendi haline bırakılırsa, farklı termal hareket oranları, belirli bir sıcaklıkta, belirli bir gaz kütlesinin molekülleri arasında çok özel bir yasaya göre dağıtılır, yani. Moleküllerin hıza göre bir dağılımı vardır.

Moleküler hız dağılımı yasası teorik olarak Maxwell tarafından türetilmiştir. Maxwell yasası ifade edilir aşağıdaki formül:

hızları aralıkta bulunan moleküllerin sayısı nerede; – belirli bir gaz kütlesinin toplam molekül sayısı; - temel doğal logaritma; – aralıktan belirtilen hız değeri; – Belirli bir sıcaklıkta gaz moleküllerinin en olası hızı.

Büyük olasılıkla hız Belirli bir gaz kütlesindeki en fazla sayıda molekülün sahip olduğu hıza yakın hız denir. Değer gaz sıcaklığına bağlıdır.

Formül (10.6), hızların yönüne bakılmaksızın, hızları belirli bir hız aralığında bulunan moleküllerin sayısını verir.

Daha fazlasını koyarsan özel soru yani, hız bileşenleri ve , ve , ve arasında yer alan gazdaki moleküllerin sayısı nedir, o zaman

veya, (10.8)

bir gaz molekülünün kinetik enerjisi nerede; – molekülün kütlesi; – Boltzmann sabiti; – mutlak sıcaklık gaz Formüller (10.7) ve (10.8) – ayrıca Maxwell dağıtım formülleri. Dağılım yasasına (10.6) karşılık gelen moleküllerin hız dağılım eğrisi, Şekil 2'de gösterilmektedir. 10.1. Apsis ekseni tek bir gaz molekülünün alabileceği hız değerlerini gösterir.

Eğrinin maksimumu en olası hıza karşılık gelir. Eğri göreli olarak asimetriktir, çünkü Bir gaz, çok yüksek hızlara sahip nispeten az sayıda molekül içerir.

Biraz düşünelim aralık , (Şekil 10.1). Küçükse, gölgeli şeridin alanı dikdörtgenin alanına yakındır:

onlar. gölgeli şeridin alanı, hızları aralıkta yer alan moleküllerin sayısını temsil eder. Ve tüm eğrinin altındaki alan, belirli bir gaz kütlesindeki toplam molekül sayısıyla orantılıdır.

Eğrinin hangi değerde maksimuma sahip olacağını bulalım. Maksimumu şu şekilde buluyoruz: normal kurallar matematik, birinci türevi sıfıra göre eşitler:

O zamandan beri.

Türevini alarak şunu elde ederiz, yani. eğrinin maksimumu en olası hıza karşılık gelir.

Maxwell teorik olarak aritmetik ortalama hızı hesaplamak için kullanılabilecek formüller buldu. Gaz moleküllerinin termal hareketini karakterize edebilecek hızları listeleyelim.

1. En olası hız. (10.9)

2. Hızın ortalama karekökü:

3. Aritmetik ortalama hız. (10.11)

Tüm hızlar, bir mol gazın kütlesi olan ile doğru orantılı ve ters orantılıdır.

Şek. Şekil 10.1'de sıcaklık için grafik I, sıcaklık için grafik II çizilmiştir. Sıcaklık arttıkça eğrinin maksimumunun sağa doğru kaydığı görülebilir, çünkü Sıcaklık arttıkça moleküler hızlar artar. Daha hızlı moleküller vardır, eğrinin sağ kolu yükselir, daha az yavaş molekül vardır, sol dal daha dik hale gelir. Ve tüm eğri azalır çünkü eğrinin altındaki alan aynı kalmalıdır çünkü gazın toplam molekül sayısı aynı kalmıştır ve tabii ki gaz ısıtıldığında değişememektedir.

Maxwell Yasası bir İstatistik Yasasıdır yani çok sayıda molekül için geçerli olan bir yasa.

Ayrıca Maxwell yasası gaz üzerindeki dış etkiyi hesaba katmaz; gaza etki eden kuvvet alanları yoktur.

10.4. Dış alanda ideal gaz.
Barometrik formül. Boltzmann dağılımı

Dünya yüzeyinde dikey bir hava sütunu düşünün (Şekil 10.2). Kolonun yüksekliği nispeten küçükse (birkaç yüz metreyi geçmezse), gazın yoğunluğu ve birim hacim başına molekül sayısı (konsantrasyon) yaklaşık olarak aynı olacaktır. Bununla birlikte, sütunun yüksekliği yaklaşık bir kilometre veya daha fazlaysa, moleküllerin yükseklik boyunca düzgün dağılımı ihlal edilir. yer çekimi Molekülleri Dünya yüzeyine yakın yoğunlaştırma eğilimindedir. Sonuç olarak hava yoğunluğu ve atmosferik basınç Dünya yüzeyinden uzaklaştıkça azalacaktır.

Yükseklikle basıncın değişimi yasasını belirleyelim (barometrik formülü bulacağız).

Barometrik formül atmosferik basıncın nasıl bağlı olduğunu gösterir P yükseklikten H Dünya yüzeyinin üstünde. Basıncın Dünya yüzeyine yakın bir yükseklikte olmasına izin verin. Basınç biliniyor. Yükseklikle basınçtaki değişimi bulmamız gerekiyor.

Türetmede gaz sıcaklığının sabit kaldığını varsayıyoruz. Dünya yüzeyinin üzerinde bir kesite sahip silindirik bir gaz (hava) sütunu seçelim. Kolonun tabanından yüksekte yer alan sonsuz küçük kalınlıkta bir gaz tabakasını düşünelim.

Katmanın üst ve alt tabanına etki eden kuvvetler arasındaki fark, bu katmanda bulunan gazın ağırlığına eşittir;

Sonsuza kadar düşük kütle katmandaki gaz formülle hesaplanır

gaz katmanının hacmi nerede.

O halde gaz yoğunluğu nerede; – yer çekiminin hızlanması.

Katmanın her iki tabanındaki basınç farkı:

Ayrıca bir eksi işareti de koymanız gerekiyor

çünkü eksi işareti var fiziksel anlam. Yükseklik arttıkça gaz basıncının azaldığını gösterir. Yüksekliğe çıktığınızda gaz basıncı bir miktar azalacaktır.

Gaz yoğunluğunu Mendeleev-Clapeyron denkleminden buluyoruz.

(10.12)'deki ifadeyi değiştirerek, şunu elde ederiz:

Bu ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklemdir:

İntegral alalım:

Barometrik formülü alalım

Şek. 10.3, iki sıcaklık değeri için basınç-yükseklik grafiklerini gösterir T 1 ve T 2 (T 2 > T 1). Gaz sıcaklığının değişmesiyle basınç P Dünya yüzeyinde 0 değişmeden kalır, çünkü birim taban alanına ve sınırsız yüksekliğe sahip, dünya yüzeyinin üzerinde bulunan dikey bir gaz kolonunun ağırlığına eşittir. Bir gazın ağırlığı sıcaklığa bağlı değildir.

Barometrik formülden şu durum için Boltzmann dağılımını elde etmek çok kolaydır: dış etki Gaz üzerinde yerçekimi kuvveti vardır.

Bir yükseklikteki gaz basıncı, bu yükseklikte birim hacim başına düşen molekül sayısıyla doğru orantılıdır, , o yükseklikteki moleküllerin konsantrasyonudur ve , – Yüksekte gaz moleküllerinin konsantrasyonu.

Herhangi biri. (10.14)

Formül (10.14) yerçekimi alanındaki moleküller için Boltzmann dağılımı olarak adlandırılır.

Şek. 10.4, iki sıcaklık değeri için moleküler konsantrasyonların yüksekliğe bağımlılığının grafiklerini gösterir T 1 ve T 2 (T 2 >T 1) yerçekimi alanında. Moleküler konsantrasyon N 0 Dünya yüzeyinde sıcaklık arttıkça azalır ( N 0 (T 2) < N 0 (T 1)) gaz kolonu içindeki moleküllerin yeniden dağıtılması nedeniyle. Kinetik enerjisi daha büyük olan moleküller daha yükseğe çıkar.

Molekülün yükseklikteki potansiyel enerjisi ise, o zaman

Formül (10.15) yalnızca moleküllerin yerçekimi alanında hareket ettiği durum için geçerli değildir. Boltzmann dağılımını ifade eden bu formül, herhangi bir kuvvet alanı için geçerlidir. potansiyel fonksiyon :

Perrin Deneyimi (1870–1942).
Avogadro sayısının tanımı

Fransız fizikçi Perrin, Avogadro sayısını deneysel olarak belirlemek için Boltzmann dağılımını kullandı.

Mikroskop ona doğrultuldu üst katman emülsiyonlar (Şekil 10.5), mikroskopla anlık bir fotoğraf çekti ve fotoğraftaki Brown parçacıklarının sayısını saydı. Daha sonra mikroskop tüpü 0,01 mm alçaltılarak tekrar fotoğraflar çekildi ve fotoğraftaki Brown parçacıklarının sayısı sayıldı. Kabın tabanında daha fazla Brown parçacıklarının olduğu, emülsiyon yüzeyinde daha az olduğu ve genel olarak Brown parçacıklarının yükseklik dağılımının Boltzmann dağılımına karşılık geldiği ortaya çıktı. Sakız topları bir sıvı (emülsiyon) içinde olduğundan, Arşimet'in kaldırma kuvveti dikkate alınarak potansiyel enerjileri şu şekilde yazılabilir: M 0 – topun kütlesi, M g – topun yer değiştirdiği sıvı hacminin kütlesi. O zaman Boltzmann dağılımı şu şekilde yazılabilir:

Eğer N 1 ve N 2 – yüksekliklerde ölçülen parçacık konsantrasyonları H 1 ve H 2 o zaman; , A .

Daha sonra ve'yi belirleyebiliriz.

Boyut

topların ve emülsiyonun malzemesinin yoğunlukları nerede ve nerede.

Boltzmann sabitini deneysel olarak belirledikten sonra k Perrin, Avogadro sayısının değerini bağımlılıktan türetmiştir. Tam değer:

Konu 11
İŞ, İÇ ENERJİ VE ISI.
TERMODİNAMİĞİN BİRİNCİ YASASI

Termodinamik dönüşümün koşullarını inceleyen bir bilimdir çeşitli türler enerjinin termal enerjiye ve bunun tersinin yanı sıra bu durumda gözlemlenen niceliksel ilişkiler. Termodinamik kapakları büyük daire Doğada ve teknolojide gözlemlenen olaylar. Özel önemısıtma mühendisliği için var, çünkü ısıtma ve soğutma makinelerinin geliştirilmesinin temelini oluşturur. Termodinamikte bu kelime sıklıkla kullanılır vücut. Termodinamikte bir cisme hava, su, cıva veya herhangi bir gaz denilebilir. Belirli bir hacmi kaplayan herhangi bir madde.

Bir termodinamik sistem birçok cisim içerebilir, ancak tek bir cisimden oluşabilir; çoğu zaman bu cisim ideal gaz.

Bir termodinamik sistem, birbirleriyle ve diğer cisimlerle enerji alışverişi yapabilen, söz konusu cisimlerin herhangi bir topluluğudur.Örneğin bir termodinamik sistem ideal bir gaz olabilir.

Bir termodinamik sistemin durumu termodinamik parametrelerle karakterize edilir. Termodinamik parametreler sistemin durumunu karakterize eden büyüklüklerdir. Termodinamik parametreler basınç, hacim, sıcaklık, bir maddenin yoğunluğu vb. miktarları içerir. Örneğin ideal gaz durumunun parametreleri basınçtır. P, hacim V, sıcaklık T. Bir termodinamik sistemin durumunun parametrelerini ilişkilendiren denklem denir. durum denklemi.Örneğin Mendeleev-Clapeyron denklemi: .

Termodinamik sistemin durumuna denir denge, eğer tüm parametreleri belirli bir değere sahipse ve sabit dış koşullar altında zamanla değişmiyorsa.

Eğer termodinamik sistem dengesi bozulup kendi haline bırakıldığında orijinal durumuna geri döner. Bu süreç denir gevşeme.

Termodinamikte, bir sistemin bir durumdan diğerine olası tüm geçişlerinin yasaları incelenir. Bir sistemin bir durumdan diğerine geçişi,en az bir durum parametresinde bir değişikliğin eşlik ettiği,süreç denir. Bir durumdan diğerine geçiş sırasında sistem parametrelerindeki değişimi belirleyen denkleme süreç denklemi denir.

Termodinamik yalnızca termodinamik olarak çalışır denge durumları Denge durumları olarak kabul edilen cisimler ve yavaş süreçler sürekli olarak birbirini takip eder. O çalışıyor genel desenler Sistemlerin termodinamik denge durumlarına geçişi.

Denge süreçleri– termodinamik parametrelerin değişim oranının sonsuz küçük olduğu prosesler, ör. Termodinamik parametrelerdeki değişiklikler sonsuz uzun sürelerde meydana gelir. Bu modeli, Çünkü tüm gerçek süreçler dengesizdir.

Denge süreci, bir dizi denge durumundan geçen bir süreçtir.

Dengesizlik süreci- Sonlu bir zamanda termodinamik parametrelerde sonlu bir değerde bir değişikliğin meydana geldiği bir süreç.

Dengesiz bir süreç grafiksel olarak gösterilemez.

Termodinamik, olguları incelemek için özel bir yöntem kullanır. Termodinamik yöntem. Termodinamik bir sürecin nasıl gerçekleştiğine bakar.

Termodinamik, çok büyük olgusal malzemenin genelleştirilmesi olan iki temel yasaya dayanmaktadır. Bu yasalar tüm termodinamik biliminin ortaya çıkmasına neden oldu ve bu nedenle başlangıçlar adını aldı.

11.1. İdeal bir gazın iç enerjisi.
Serbestlik derecesi sayısı

Serbestlik derecesi sayısı isminde en küçük sayı Vücudun uzaydaki konumunu belirlemek için girilmesi gereken bağımsız koordinatlar. – serbestlik derecesi sayısı.

düşünelim tek atomlu gaz. Böyle bir gazın molekülü maddi bir nokta olarak düşünülebilir; maddi noktanın (Şekil 11.1) uzaydaki konumu üç koordinatla belirlenir.

Molekül üç yönde hareket edebilir (Şekil 11.2).

Sonuç olarak üç öteleme serbestlik derecesine sahiptir.

Bir molekül maddi bir noktadır.

Enerji dönme hareketi, Çünkü maddi bir noktanın, noktadan geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti sıfırdır

Tek atomlu bir gaz molekülü için serbestlik derecesi sayısıdır.

düşünelim iki atomlu gaz. İki atomlu bir molekülde her atom maddi bir nokta olarak alınır ve atomların birbirine sıkı bir şekilde bağlı olduğuna inanılır, bu bir dambıl modelidir; iki atomlu molekül. İki atomlu sıkı bağlı molekül(deforme olmayan bir bağlantıyla birbirine bağlanan iki malzeme noktası kümesi), Şekil 1. 11.3.

Molekülün kütle merkezinin konumu üç koordinatla belirtilir (Şekil 11.4), bunlar üç serbestlik derecesidir, belirlerler ileri hareket moleküller. Ancak molekül aynı zamanda eksenler etrafında dönme hareketleri de gerçekleştirebilir ve bunlar, belirleyen iki serbestlik derecesi dahadır. molekül rotasyonu. Bir molekülün bir eksen etrafında dönmesi imkansızdır çünkü Maddi noktalar bu noktalardan geçen bir eksen etrafında dönemezler.

İki atomlu bir gaz molekülü için serbestlik derecesi sayısıdır.

düşünelim triatomik gaz. Bir molekülün modeli, birbirine sıkı bir şekilde bağlı olan üç atomdan (maddi noktalar) oluşur (Şekil 11.5).

Triatomik bir molekül sıkı bağlı bir moleküldür.

Üç atomlu bir gaz molekülü için serbestlik derecesi sayısıdır.

Çok atomlu bir molekül için serbestlik derecesi sayısıdır.

Atomlar arasında katı bağları olmayan gerçek moleküller için titreşim hareketinin serbestlik derecelerini de hesaba katmak gerekir, o zaman gerçek bir molekülün serbestlik derecesi sayısı şuna eşittir:

Ben= Ben uygulanacak + Ben döndürmek + Ben salınım (11.1)

Kanun düzgün dağılım enerji
serbestlik derecesine göre (Boltzmann yasası)

Enerjinin serbestlik derecelerine göre eşit dağılımı kanunu Eğer bir parçacık sistemi termodinamik denge durumundaysa, 1 serbestlik derecesi başına moleküllerin kaotik hareketinin ortalama kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareket eşittir

Dolayısıyla serbestlik derecesi olan bir molekülün enerjisi vardır.

mol sayısı, molün kütlesi ve iç enerji gaz formülle ifade edilir

İdeal bir gazın iç enerjisi yalnızca gazın sıcaklığına bağlıdır. İdeal bir gazın iç enerjisindeki değişim, sıcaklıktaki değişimle belirlenir ve bu değişimin meydana geldiği sürece bağlı değildir.

İdeal bir gazın iç enerjisindeki değişim

sıcaklık değişimi nerede.

Düzgün enerji dağılımı yasası aşağıdakiler için geçerlidir: salınım hareketi Bir moleküldeki atomlar. Titreşimsel serbestlik derecesi sadece kinetik enerjiyi değil aynı zamanda potansiyel enerjiyi de hesaba katar ve derece başına kinetik enerjinin ortalama değeri ortalama değere eşittir. potansiyel enerji, bir serbestlik derecesi başına ve eşittir

Bu nedenle, eğer bir molekül belirli sayıda serbestlik derecesine sahipse
Ben= Ben uygulanacak + Ben döndür + Ben salınımlar, ardından molekülün ortalama toplam enerjisi: ve gaz kütlesinin iç enerjisi:

11.2. Temel çalışma. İdeal gaz çalışması
izoprosesler sırasında

Eğer dış kuvvetler sistem üzerinde iş yaparsanız iş negatif olur.

Bir silindirdeki pistonun altında bulunan ideal bir gazı düşünün (Şekil 11.6). Gaz genişler ve piston sonsuz küçük bir yüksekliğe yükselir. Gazın pistona uyguladığı kuvvet aşağıdaki formülle bulunur:

Başkan Yardımcısı ( V) ve parçanın uçlarından ordinat eksenine paralel geçen düz çizgiler.