Temel konseptler. Toplama ve çarpma teoremleri.
Formüller tam olasılık, Bayes, Bernoulli. Laplace teoremleri.
Sorular
- Olasılık teorisinin konusu.
- Olay türleri.
- Olasılığın klasik tanımı.
- İstatistiksel tanım olasılıklar.
- Geometrik tanım olasılıklar.
- Olasılık ekleme teoremi Olumsuz ortak etkinlikler.
- Olasılık çarpım teoremi bağımlı olaylar.
- Şartlı olasılık.
- Bağımlı olayların çarpılması.
- Ortak etkinliklerin eklenmesi.
- Toplam olasılık formülü.
- Bayes formülü.
13. Binom, polinom dağılım kanunu.
- Olasılık teorisinin konusu. Temel konseptler.
Olasılık teorisinde olay, bazı deneyimler (testler) sonucunda ortaya çıkabilecek herhangi bir olgudur.
Örneğin: Atıcı hedefe ateş eder. Atış bir sınavdır, hedefi vurmak ise bir olaydır. Etkinlikler genellikle belirlenir
Tek bir rastgele olay, çoğu zaman dikkate alınamayan birçok rastgele nedenin sonucudur. Bununla birlikte, kitlesel homojen olayları (aynı koşullar altında deney sırasında birçok kez gözlemlenen) dikkate alırsak, o zaman bunların belirli kalıplara tabi olduğu ortaya çıkar: Aynı koşullar altında çok sayıda para atarsanız, tahmin edebilirsiniz. Küçük bir hata ile armanın meydana gelme sayısı atış sayısının yarısına eşit olacaktır.
Olasılık teorisinin konusu, kütlesel homojen rastgele olayların olasılıksal modellerinin incelenmesidir. Olasılık teorisi yöntemleri, güvenilirlik, atış, otomatik kontrol vb. teorilerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Olasılık teorisi matematiksel ve uygulanmış istatistikler Bu da üretimin planlanması ve organize edilmesinde, analiz edilmesinde kullanılır. teknolojik süreçler vesaire.
Tanımlar.
1. Eğer deneyimin bir sonucu olarak olay
a) her zaman gerçekleşecekse güvenilir bir olaydır,
b) asla gerçekleşmeyecek, o zaman - imkansız bir olay,
c) Olabilir, olmayabilir, o halde tesadüfi (olası) bir olaydır.
2. Bu olaylardan hiçbirinin gerçekleşmediğine inanmak için bir neden varsa, olaylar eşit derecede mümkün olarak adlandırılır. daha fazla şans diğerlerinden daha çok deneyimlerden ortaya çıkarlar.
3. Olaylar ve eğer bunlardan birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini dışlamıyorsa (hariç tutmuyorsa) ortaktır (uyumsuzdur).
4. Bir grup olay, bu gruptan en az iki olayın uyumlu olması durumunda uyumludur, aksi halde uyumsuzdur.
5. Yaşanan deneyim sonucunda içlerinden biri mutlaka gerçekleşecekse, bir grup olaya tam denir.
Örnek 1. Hedefe üç el ateş edilir: İlk atışta Let - vur (ıskala), ikinci atışta - üçüncü atışta. Daha sonra
a) - eşit derecede olası olayların ortak bir grubu.
b) - tam bir uyumsuz olay grubu. - tam tersi bir olay.
c) - tam bir olay grubu.
Klasik ve istatistiksel olasılık
Klasik yol Olasılık tespiti, eşit derecede olası uyumsuz olaylardan oluşan tam bir gruba uygulanır.
Bu gruptaki her olaya bir vaka veya temel sonuç adı verilecektir. Her olayla ilgili olarak, davalar olumlu ve olumsuz olarak ikiye ayrılır.
Tanım 2. Bir olayın olasılığı niceliktir
Olayın meydana gelmesine elverişli vakaların sayısı nerede, eşit derecede mümkün olanların toplam sayısı bu deneyim vakalar.
Örnek 2.İki atıldı zar. Olay - bırakılan noktaların toplamı eşit olsun. Bulmak .
a) Yanlış karar. Yalnızca 2 olası durum vardır: ve - tam bir grup uyumsuz olay. Yalnızca bir durum olumludur; 
Bu bir hatadır çünkü eşit derecede mümkün değildirler.
b) Toplam eşit olası durumlar. Olumlu vakalar: prolapsus
Klasik tanımın zayıf yönleri şunlardır:
1. - vaka sayısı sınırlıdır.
2. Bir deneyin sonucu çoğu zaman bir dizi temel olay (durum) şeklinde temsil edilemez.
3. Davaların eşit derecede mümkün olduğunu düşünmenin nedenlerini belirtmek zordur.
Bir dizi test yapılmasına izin verin.
Tanım 3. Bir olayın göreceli sıklığı niceliktir
olayların ortaya çıktığı denemelerin sayısı ve toplam deneme sayısı.
Uzun vadeli gözlemler şunu göstermiştir ki çeşitli deneyimler yeterince büyük
Çok az değişir, belirli bir aralıkta dalgalanır sabit sayı buna istatistiksel olasılık diyoruz.
Olasılık var aşağıdaki özellikler:
Olayların cebiri
7.3.1 Tanımlar.
8. Birkaç olayın toplamı veya birleşimi, bunlardan en az birinden oluşan bir olaydır.
9. Birkaç olayın ürünü, tüm bu olayların ortaklaşa meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.
Örnek 1'den. 
- Üç atışta en az bir vuruş, - Birinci ve ikinci atışta bir vuruş ve üçüncü atışta ıskalama.
Tam olarak bir vuruş.
En az iki vuruş.
10. İki olaydan birinin olasılığı diğerinin oluşup oluşmamasına bağlı değilse (bağlıysa) bu olaya bağımsız (bağımlı) denir.
11. Her biri ve geri kalan olayların herhangi bir doğrusal kombinasyonu bağımsız olaylar ise, çeşitli olaylara toplu olarak bağımsız olaylar denir.
12. Koşullu olasılık 
olayın meydana geldiği varsayımına göre hesaplanan bir olayın olasılığıdır.
7.3.2 Olasılık çarpım teoremi.
Birkaç olayın ortak olarak meydana gelme (üreme) olasılığı, bunlardan birinin olasılığının çarpımına eşittir. koşullu olasılıklar kalan olaylar önceki tüm olayların gerçekleştiği varsayımına göre hesaplanmıştır
Sonuç 1. Eğer - müştereken bağımsızsa, o zaman
Gerçekten: o zamandan beri.
Örnek 3. Torbada 5 beyaz, 4 siyah ve 3 mavi top vardır. Her test, bir torbadan rastgele bir topun çekilmesinden oluşur. İlk sınavda olma olasılığı nedir? beyaz top, ikinciyle - siyah bir top, üçüncüyle - mavi bir top, eğer
a) top torbaya her döndüğünde.
- Topların ilk testinden sonra torbada 4 tanesi beyazdır. . Buradan
b) top torbaya geri dönmüyor. Daha sonra - toplamda bağımsız ve
7.3.3 Olasılık toplama teoremi.
Olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı eşittir
Sonuç 2. Olaylar ikili olarak uyumsuzsa, o zaman
Gerçekten bu durumda
Örnek 4. Bir hedefe üç el ateş edilir. İlk atışta isabet olasılığı, ikinci atışta ve üçüncü atıştadır. En az bir vuruş olasılığını bulun.
Çözüm.- İlk atışta bir vuruş, - ikincide, - üçüncüde, - üç atışta en az bir vuruş olsun. O halde müşterek bağımsız olanlar toplamda nerededir? Daha sonra
Sonuç 3.İkili olarak uyumsuz olaylar oluşursa tam grup, O
Sonuç 4. Zıt olaylar için
Bazen problemleri çözerken ters olayın olasılığını bulmak daha kolaydır. Örneğin, örnek 4'te - üç atışla bir ıskalama. Toplamda bağımsız olduğundan ve daha sonra
Yukarıda belirtildiği gibi, klasik çözünürlüklü olasılık, tüm temel sonuçların eşit derecede mümkün olduğunu varsayar. Deney sonuçlarının eşitliği simetri hususlarından dolayı sonucuna varılmıştır. Simetri hususlarının kullanılabileceği problemler pratikte nadirdir. Çoğu durumda, tüm temel sonuçların eşit derecede mümkün olduğuna inanmak için nedenler sunmak zordur. Bu bağlamda istatistiksel olarak adlandırılan başka bir olasılık tanımının getirilmesi gerekli hale geldi. Öncelikle bağıl frekans kavramını tanıtalım.
Olayın göreceli sıklığı, veya frekans, bu olayın meydana geldiği deney sayısının gerçekleştirilen tüm deney sayısına oranıdır. Olayın sıklığını belirtelim A başından sonuna kadar WA), Daha sonra
Nerede N– toplam deney sayısı; M– olayın meydana geldiği deneylerin sayısı A.
Az sayıda deneyde olayın sıklığı büyük ölçüde rastgeledir ve bir deney grubundan diğerine gözle görülür biçimde farklılık gösterebilir. Örneğin, yaklaşık on yazı tura atıldığında armanın 2 kez ortaya çıkması oldukça olasıdır (frekans 0,2), başka bir on atışla da 8 arma elde edebiliriz (frekans 0,8). Ancak deney sayısının artmasıyla birlikte olayın sıklığı giderek rastlantısal karakterini kaybediyor; Her bireysel deneyimin doğasında var olan rastgele koşullar kütleyi iptal eder ve frekans, küçük dalgalanmalarla belirli bir ortalamaya yaklaşarak istikrar kazanma eğilimindedir. sabit değer. Nesnel olan bu sabit sayısal karakteristik fenomenler belirli bir olayın olasılığı olarak kabul edilir.
Olasılığın istatistiksel tanımı: olasılık olaylar, farklı serilerdeki belirli bir olayın frekans değerlerinin etrafında gruplandırıldığı sayıyı adlandırır çok sayıda testler.
Deneysel olarak defalarca test edilen ve insanlığın deneyimiyle doğrulanan frekans kararlılığı özelliği, gözlemlenen en karakteristik modellerden biridir. rastgele olaylar. Bir olayın sıklığı ile olasılığı arasında şu şekilde ifade edilebilecek derin bir bağlantı vardır: Bir olayın olasılık derecesini değerlendirirken, bu değerlendirmeyi benzer olayların pratikte daha fazla veya daha az meydana gelmesiyle ilişkilendiririz. .
Geometrik olasılık
Olasılığın klasik tanımı, sayının temel sonuçlar Kesinlikle. Pratikte bu tür sonuçların sonsuz olduğu deneyler vardır. Klasik olasılık tanımının sonsuz sayıda sonuç içeren testlere uygulanamaması şeklindeki bu dezavantajının üstesinden gelmek için, geometrik olasılıklar – bir noktanın bir alana düşme olasılıkları.
Düzlemde karelenebilir bir bölgenin verildiğini varsayalım. G, yani alan olan alan SG. Bölgede G alan içerir G alan S g. Bölgeye G Rastgele bir nokta atılıyor. Atılan noktanın alanın bir kısmına düşebileceğini varsayacağız. G bu parçanın alanıyla orantılı ve şeklinden ve konumundan bağımsız bir olasılıkla. Hadi olay A– “atılan nokta bölgeye çarpıyor G", Daha sonra geometrik olasılık bu olay aşağıdaki formülle belirlenir:
İÇİNDE Genel dava Geometrik olasılık kavramı şu şekilde tanıtılmaktadır. Alanın ölçüsünü gösterelim G(uzunluk, alan, hacim) aracılığıyla selam, ve alanın ölçüsü G- başından sonuna kadar selam G ; ayrıca izin ver A– olay “atılan noktanın alana çarpması G Bölgede yer alan G" Bölgeye çarpma ihtimali G bölgeye atılan puanlar G, formülle belirlenir
.
Görev. Bir dairenin içine bir kare yazılmıştır. Çemberin içine rastgele bir nokta atılıyor. Noktanın kareye düşme olasılığı nedir?
Çözüm.Çemberin yarıçapı şöyle olsun R, o zaman dairenin alanı . Karenin köşegeni, sonra karenin kenarı ve karenin alanı olur. İstenilen olayın olasılığı, karenin alanının dairenin alanına oranı olarak tanımlanır, yani. 
.
Kontrol soruları
1. Test (deneyim) ne denir?
2. Etkinlik nedir?
3. Hangi olaya a) güvenilir denir? b) rastgele mi? c) imkansız mı?
4. Hangi olaylara a) uyumsuz denir? b) ortak?
5. Hangi olaylara zıt denir? Bunlar a) uyumsuz mudur? b) uyumlu mu yoksa rastgele mi?
6. Rastgele olaylardan oluşan tam bir gruba ne denir?
7. Test sonucunda olaylar bir arada gerçekleşemiyorsa ikili uyumsuzluk olur mu?
8. Olayları şekillendirin A ve tüm grup?
9. Hangi temel sonuçlar olumludur? bu olay?
10. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?
11. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
12. Hangi koşullar altında geçerlidir? klasik olasılık?
13. Geometrik olasılık hangi koşullar altında uygulanır?
14. Olasılığın hangi tanımına geometrik denir?
15. Bir olayın sıklığı nedir?
16. Olasılığın hangi tanımına istatistiksel denir?
1. “Konservatuar” kelimesinin harflerinden rastgele bir harf seçilir. Bu harfin sesli harf olma olasılığını bulunuz. "o" harfi olma olasılığını bulun.
2. Aynı kartlara “o”, “p”, “s”, “t” harfleri yazılmıştır. Rastgele bir sıraya yerleştirilen kartlarda “kablo” kelimesinin görünme olasılığını bulun.
3. Takımda 4 kadın ve 3 erkek bulunmaktadır. Tiyatroya 4 bilet tugay üyeleri arasında çekilişle dağıtılıyor. Bilet sahipleri arasında 2 kadın 2 erkek olma olasılığı nedir?
4. İki zar atılıyor. Her iki zardaki puanların toplamının 6'dan büyük olma olasılığını bulun.
5. Beş adet aynı kartta l, m, o, o, t harfleri yazılıdır. Kartları teker teker çıkardığımızda "çekiç" kelimesini göründükleri sıraya göre alma olasılığı nedir?
6. 10 biletten 2'si kazanıyor Rastgele alınan beş biletten birinin kazanma olasılığı nedir?
7. Rastgele seçilen bir grupta olma olasılığı nedir? çift haneli sayı sayılar, çarpımları sıfıra eşit olacak şekildedir.
8. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor ve bu sayının 30'a bölen olma olasılığını bulun.
9. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor ve bu sayının 3'ün katı olma olasılığını bulun.
10. Rastgele 50'yi geçmeyen bir sayı seçiliyor ve bu sayının asal olma olasılığını bulun.
Dizin sıra korelasyonu Kendall, ilişkinin önemine ilişkin ilgili hipotezi test ediyor.
2.Olasılığın klasik tanımı. Olasılığın özellikleri.
Olasılık, olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir. Bu kavramın çeşitli tanımları bulunmaktadır. Klasik denilen bir tanım verelim. Daha sonra belirtiyoruz zayıf taraflar Bu tanımı ve klasik tanımın eksikliklerini gidermemize olanak tanıyan diğer tanımları verin.
Bir örneğe bakalım. Bir kavanozda 2'si kırmızı, 3'ü mavi ve 1'i beyaz olmak üzere 6 adet özdeş, iyice karıştırılmış top bulunsun. Açıkçası, bir torbadan rastgele renkli (yani kırmızı veya mavi) bir top çekme olasılığı, beyaz bir top çekme olasılığından daha fazladır. Bu fırsat ölçülebilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Bu sayıya bir olayın olasılığı (renkli bir topun ortaya çıkması) denir. Dolayısıyla olasılık, bir olayın meydana gelme olasılığının derecesini karakterize eden bir sayıdır.
Kendimize vermeyi görev edinelim Niceliksel değerlendirme Rastgele alınan bir topun renkli olma olasılığı. Renkli bir topun ortaya çıkışı A olayı olarak kabul edilecektir. Testin olası sonuçlarının her biri (test, topun torbadan çıkarılmasından oluşur) çağrılacaktır. temel sonuç (temel olay). Temel sonuçları w 1, w 2, w 3 vb. ile gösteririz. Örneğimizde aşağıdaki 6 temel sonuç mümkündür: w 1 - beyaz bir top belirir; w 2, w 3 - kırmızı bir top belirdi; w 4, w 5, w 6 - mavi bir top belirir. Bu sonuçların ikili olarak uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturduğunu (yalnızca bir top ortaya çıkacak) ve eşit derecede mümkün olduklarını (top rastgele çekiliyor, toplar aynı ve iyice karıştırılıyor) görmek kolaydır.
Bizi ilgilendiren olayın meydana geldiği temel sonuçlara, uygun bu olay. Örneğimizde, aşağıdaki 5 sonuç A olayını (renkli bir topun ortaya çıkması) desteklemektedir: w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
Böylece, hangisi olursa olsun, testte A lehine temel sonuçlardan biri ortaya çıkarsa A olayı gözlenir; örneğimizde w 2 veya w 3 veya w 4 veya w 5 veya w 6 meydana gelirse A gözlenir. Bu anlamda A olayı birkaç temel olaya bölünmüştür (w2,w3,w4,w5,w6); temel bir olay diğer olaylara bölünmez. Bu, A olayı ile temel bir olay (temel sonuç) arasındaki farktır.
A olayı için uygun olan temel sonuçların sayısının bunların etkilerine oranı toplam sayısı A olayının olasılığı denir ve P(A) ile gösterilir. Söz konusu örnekte 6 temel sonuç vardır; Bunlardan 5'i A olayını tercih etmektedir. Sonuç olarak, alınan topun renkli olma olasılığı P(A) = 5/6'ya eşittir. Bu sayı, belirlediğimiz renkli topun ortaya çıkma olasılığının derecesinin niceliksel değerlendirmesini verir. bulmak istedim. Şimdi olasılığın tanımını verelim.
A olayının olasılığı bu olay için olumlu sonuçların sayısının, grubun tamamını oluşturan eşit derecede olası tüm uyumsuz temel sonuçların toplam sayısına oranına denir. Yani A olayının olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir:
burada m, A lehine temel sonuçların sayısıdır; n, olası tüm temel test sonuçlarının sayısıdır.
Burada temel sonuçların uyumsuz, eşit derecede mümkün olduğu ve tam bir grup oluşturduğu varsayılmaktadır. Olasılığın tanımından aşağıdaki özellikler çıkar:
S yaklaşık y s t yaklaşık 1 kadar. Olasılık güvenilir olay bire eşittir.
Aslında eğer olay güvenilirse, testin her temel sonucu olayın lehinedir. Bu durumda m = n dolayısıyla,
P (A) = m / n = n / n = 1.
S yaklaşık s t yaklaşık 2'de. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.
Aslında, eğer bir olay imkansızsa, o zaman testin temel sonuçlarından hiçbiri olayı desteklemez. Bu durumda m = 0 dolayısıyla,
P(A) = m / n = 0 / n = 0.
Yaklaşık olarak t ile yaklaşık 3'te. Olasılık rastgele olay Orada pozitif sayı, sıfır ile bir arasına alınmış.
Aslında testin temel sonuçlarının toplam sayısının yalnızca bir kısmı rastgele bir olay tarafından tercih edilir. Bu durumda 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Yani herhangi bir olayın olasılığı çifte eşitsizliği karşılar
Not: Olasılık teorisindeki modern ve sıkı dersler küme teorisi temeline dayanmaktadır. Yukarıda tartışılan kavramları küme teorisi dilinde sunmakla kendimizi sınırlayalım.
Test sonucunda w i, (i = 1, 2, ..., n) olaylarından yalnızca biri gerçekleşsin. Adlandırıldığım olaylar Temel olaylar (temel sonuçlar). Bundan zaten temel olayların ikili olarak uyumsuz olduğu sonucu çıkıyor. Bir testte meydana gelebilecek tüm temel olayların kümesine denir. temel olayların alanı W ve temel olayların kendileri uzay noktaları W.
A olayı, unsurları A'nın lehine olan temel sonuçlar olan (W uzayının) bir alt kümesiyle tanımlanır; B olayı, unsurları B'nin lehine sonuçlar olan W'nin bir alt kümesidir, vb. Dolayısıyla bir testte meydana gelebilecek tüm olayların kümesi W'nin tüm alt kümelerinin kümesidir. Testin herhangi bir sonucu için W'nin kendisi meydana gelir, bu nedenle W güvenilir bir olaydır; W uzayının boş bir alt kümesi imkansız bir olaydır (testin hiçbir sonucu altında gerçekleşmez).
Temel olayların, her birinin yalnızca bir W elementi içermesi nedeniyle tüm olaylardan farklı olduğuna dikkat edin.
Her temel sonuca w i pozitif bir sayı atanır P i bu sonucun olasılığıdır ve
Tanım gereği, A olayının olasılığı P(A), A olayının lehine olan temel sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir. Buradan güvenilir bir olayın olasılığının bire eşit olduğunu, imkansız bir olayın ise bire eşit olduğunu elde etmek kolaydır. sıfıra eşittir ve keyfi bir olay sıfır ile bir arasındadır.
Önemli bir konuyu ele alalım özel durum tüm sonuçların eşit derecede mümkün olduğu zaman. Sonuçların sayısı n'dir, tüm sonuçların olasılıklarının toplamı bire eşittir; dolayısıyla her sonucun olasılığı 1/n'dir. A olayı m sonuç tarafından tercih edilsin. A olayının olasılığı, A lehine sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir:
P (A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Terim sayısının m'ye eşit olduğunu düşünürsek,
P(A) = m/n.
Olasılığın klasik tanımı elde edilir.
Mantıksal olarak inşaat tam teori olasılıklara dayalı aksiyomatik tanım Rastgele olay ve olasılığı. A. N. Kolmogorov tarafından önerilen aksiyomlar sisteminde tanımlanamayan kavramlar temel olay ve olasılık. Olasılığı tanımlayan aksiyomlar şunlardır:
1. Her A olayı, negatif olmayan bir olayla ilişkilidir. gerçek Numara R(A). Bu sayıya A olayının olasılığı denir.
2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir:
3. İkili uyumsuz olaylardan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.
Bu aksiyomlara dayanarak olasılıkların özellikleri ve aralarındaki bağımlılıklar teoremler halinde türetilir.
3. Olasılığın statik tespiti, bağıl frekans.
Klasik tanım deney gerektirmez. Gerçek iken uygulamalı problemler sahip olmak sonsuz sayı sonuçlar ve bu durumda klasik tanım bir cevap veremez. Bu nedenle bu tür problemlerde kullanacağımız statik çözünürlüklü olasılıklar, bir deney veya deneyden sonra hesaplanır.
Statik olasılık w(A) veya bağıl sıklık, belirli bir olay için olumlu sonuçların sayısının gerçekte gerçekleştirilen toplam test sayısına oranıdır.
w(A)=nm
Göreceli frekans olay var kararlılık özelliği:
lim N→∞P(∣ ∣ nm−P∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Geometrik olasılıklar.
Şu tarihte: geometrik yaklaşım tanımına olasılıklar keyfi bir küme, temel olayların alanı olarak kabul edilir Bir çizgi, düzlem veya uzay üzerinde sonlu Lebesgue ölçüsü. Olaylar denir her türlü ölçülebilir kümenin alt kümeleri.
A olayının olasılığı formülle belirlenir
nerede gösterir A kümesinin Lebesgue ölçüsü. Olayların ve olasılıkların bu tanımıyla her şey A.N. Kolmogorov'un aksiyomları karşılandı.
Yukarıdakilere indirgenen belirli görevlerde olasılık şeması, test, bir alandaki bir noktanın rastgele seçilmesi olarak yorumlanır ve olay A– seçilen noktanın belirli bir noktaya nasıl çarptığı bölgenin A alt bölgesi. Bu durumda bölgedeki tüm noktaların bulunması gerekmektedir. seçilme şansının eşit olması. Bu gereklilik genellikle kelimelerle ifade edilir. “rastgele”, “rastgele” vb.
Bir olayın olasılığı kavramı olasılık teorisinin temel kavramlarını ifade eder. Olasılık, rastgele bir A olayının meydana gelme olasılığının niceliksel bir ölçüsüdür. P(A) ile gösterilir ve aşağıdaki özelliklere sahiptir.
Olasılık sıfırdan bire kadar değişen pozitif bir sayıdır:
İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır
Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir
Olasılığın klasik tanımı. = (1, 2,…, n) tüm olası temel sonuçları tanımlayan ve uyumsuz ve eşit derecede olası olayların tam bir grubunu oluşturan temel olayların uzayı olsun. A olayının m temel sonucun bir alt kümesine karşılık geldiğini varsayalım.
bu sonuçlara A olayının lehine denir. Olasılığın klasik tanımında, herhangi bir temel sonucun olasılığının olduğuna inanılır.
ve m sonucun tercih ettiği A olayının olasılığı şuna eşittir:
Dolayısıyla tanım:
A olayının olasılığı, bu olay için olumlu sonuçların sayısının, tam grubu oluşturan eşit derecede olası tüm uyumsuz temel sonuçların toplam sayısına oranıdır. Olasılık formülle verilir
burada m, A olayı için uygun olan temel sonuçların sayısıdır ve testin tüm olası temel sonuçlarının sayısıdır.
Olasılığın klasik tanımı, bazı problemlerde bir olayın olasılığının analitik olarak hesaplanmasını mümkün kılar.
Belirli olayların meydana gelebileceği bir deney yapılmasına izin verin. Eğer bu olaylar ikili olarak uyumsuz ve eşit derecede olası olaylardan oluşan tam bir grup oluşturuyorsa, o zaman deneyimin olası sonuçların simetrisine sahip olduğu söylenir ve bir "durum şeması"na indirgenir. Bir vaka şemasına indirgenmiş deneyler için klasik olasılık formülü geçerlidir.
Örnek 1.13. Piyangodan 5'i kazanan olmak üzere 1000 bilet çekiliyor. Bir piyango bileti satın alırken kazanma olasılığınızı belirleyin
Bu deneyimin temel olayı bir biletin satın alınmasıdır. Her piyango bileti, kendi numarasına sahip olduğundan ve satın alınan bilet iade edilmediğinden benzersizdir. A olayı, kazanan biletin satın alınmasıdır. 1000 biletten birini satın aldığınızda, bu deneyin tüm olası sonuçları = 1000 olacaktır, sonuçlar uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturur. A olayının lehine olan sonuçların sayısı =5'e eşit olacaktır. O halde bir bilet alarak kazanma olasılığı şuna eşittir:
P(A) = = 0,005
Olasılıkları doğrudan hesaplamak için kombinatorik formüllerin kullanılması uygundur. Bunu örnekleme kontrol problemi örneğini kullanarak gösterelim.
Örnek 1.14 Bazıları kusurlu olan bir ürün partisi olsun. Ürünlerin bir kısmı kontrol için seçilir. Seçilen ürünler arasında tam olarak kusurlu olanların bulunma olasılığı nedir?
Bu deneydeki temel olay, orijinal element kümesinden bir element alt kümesinin seçilmesidir. Bir partiden ürünlere kadar herhangi bir ürün parçasının seçimi eşit derecede olası olaylar olarak değerlendirilebilir, dolayısıyla bu deneyim bir vaka şemasına indirgenir. A = olayının olasılığını hesaplamak için (kusurlu ürünler arasında, eğer bunlar bir grup kusurlu üründen seçilmişse), klasik olasılık formülünü uygulayabilirsiniz. Deneyin olası tüm sonuçlarının sayısı, ürünlerin partiden seçilebileceği yolların sayısıdır; aşağıdakilere göre öğelerin kombinasyonlarının sayısına eşittir: . A olayının lehine olan bir olay, iki temel olayın çarpımından oluşur: (kusurlu ürünlerden _ seçilir (standart ürünlerden _ seçilir). Kombinatoriklerin çarpma kuralına uygun olarak bu tür olayların sayısı
O zaman istenilen olasılık
Örneğin =100, =10, =10, =1 olsun. Bu durumda seçilen 10 ürün arasında tam olarak bir hatalı ürünün bulunma olasılığı şuna eşittir:
Olasılığın istatistiksel tanımı. Belirli bir deneyin koşullarına klasik olasılık tanımını uygulamak için, deneyin durum modeline uygun olması gerekir ve çoğu gerçek problem için bu gereksinimlerin karşılanması pratik olarak imkansızdır. Ancak bir olayın olasılığı, klasik tanımın geçerli olup olmamasına bakılmaksızın var olan nesnel bir gerçekliktir. Deneyimin vakaların yapısına uymadığı durumlarda uygulanabilecek başka bir olasılık tanımına ihtiyaç vardır.
Deneyin aynı deneyi tekrarlayan bir dizi test yapılmasını kapsadığını ve A olayının bir dizi deneyde bir kez meydana geldiğini varsayalım. W(A) olayının bağıl sıklığı, A olayının meydana geldiği deney sayısının gerçekleştirilen tüm deney sayısına oranıdır.
Frekansın kararlılık özelliğine sahip olduğu deneysel olarak kanıtlanmıştır: Bir serideki deney sayısı yeterince büyükse, o zaman aynı deneyin farklı serilerindeki A olayının bağıl frekansları birbirinden çok az farklılık gösterir.
Bir olayın istatistiksel olasılığı, deney sayısı sınırsız arttığında göreceli frekansların yöneldiği sayıdır.
A priori (deneyden önce hesaplanan) klasik olasılığın aksine, istatistiksel olasılık a posteriori'dir (deneyden sonra elde edilir).
Örnek 1.15 Belirli bir bölgede 10 yıl boyunca yapılan meteorolojik gözlemler, farklı yıllarda Temmuz ayındaki yağışlı gün sayısının: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Temmuz ayında herhangi bir günün yağmurlu olma olasılığını belirleyin
A olayı, Temmuz ayının belirli bir gününde, örneğin 10 Temmuz'da yağmur yağacak olmasıdır. Sağlanan istatistikler temmuz ayının hangi günlerinde yağmur yağdığına ilişkin bilgi içermediğinden, bu olayın yaşanma ihtimalinin tüm günlerde eşit olduğunu varsayabiliriz. Bir yıl, 31 günlük bir test dizisi olsun. Toplamda 10 seri bulunmaktadır. Serinin bağıl frekansları şunlardır:
Frekanslar farklıdır ancak 0,1 sayısı etrafında gruplandığı görülmektedir. Bu sayı A olayının olasılığı olarak alınabilir. On yıl boyunca Temmuz ayının tüm günlerini bir dizi test olarak alırsak, A olayının istatistiksel olasılığı şuna eşit olacaktır:
Olasılığın geometrik tanımı. Olasılığın bu tanımı, klasik tanımı, temel sonuçların uzayının sayılamayan bir dizi temel olay içerdiği ve olayların her birinin ortaya çıkmasının eşit derecede mümkün olduğu duruma genelleştirir. A olayının geometrik olasılığı, olayın meydana gelmesi için elverişli bölgenin ölçüsünün (A), tüm bölgenin ölçüsüne () oranıdır.
Alanlar a) parçaların uzunluklarını, b) şekillerin alanlarını, c) uzaysal şekillerin hacimlerini temsil ediyorsa, geometrik olasılıklar sırasıyla eşittir
Örnek 1.16. Alışveriş sıraları boyunca 10 metre aralıklarla reklamlar asılmaktadır. Bazı müşterilerin görüş genişliği 3 metredir. Alışveriş sırasına dik olarak hareket edip herhangi bir noktada sırayı geçebilirse reklamı fark etmeme olasılığı nedir?
Alışveriş sırasının iki reklam arasında yer alan bölümü, düz bir AB parçası olarak gösterilebilir (Şekil 1.6). Daha sonra alıcının reklamları fark edebilmesi için AC veya DV uzunluğu 3 m olan düz kesimlerden geçmesi gerekmektedir. Uzunluğu 4 m olan SD segmentinin noktalarından birindeki alışveriş sırasını geçerse reklamı fark etmeyecektir. Bu olayın olasılığı
Olayların ortaya çıkmasının rastgeleliği, belirli bir testin sonucunu önceden tahmin etmenin imkansızlığıyla ilişkilidir. Bununla birlikte, örneğin bir testi ele alırsak: tekrarlanan yazı tura atma, ω 1, ω 2, ..., ω n, o zaman sonuçların yaklaşık yarısında ( N / 2) olasılık kavramına karşılık gelen belirli bir model keşfedilir.
Altında olasılık olaylar A bir olayın meydana gelme olasılığının belirli bir sayısal özelliği olarak anlaşılır A. Bu sayısal özelliği gösterelim R(A). Olasılığı belirlemeye yönelik çeşitli yaklaşımlar vardır. Başlıcaları istatistiksel, klasik ve geometrik.
Üretilsin N testler ve aynı zamanda bazı olaylar A geldi N Bir kez. Sayı N A denir mutlak frekans olayın (veya basitçe sıklığı) A ve ilişki denir A olayının göreceli görülme sıklığı. Herhangi bir olayın bağıl sıklığı aşağıdaki özelliklerle karakterize edilir:
Olasılık teorisi yöntemlerinin gerçek süreçlerin incelenmesine uygulanmasının temeli, frekans kararlılığı özelliğine sahip rastgele olayların nesnel varlığıdır. İncelenen olayın birden fazla denemesi A bunu genel olarak göster N göreceli frekans ( A) yaklaşık olarak sabit kalır.
Olasılığın istatistiksel tanımı, A olayının olasılığının, etrafında bağıl frekans değerlerinin dalgalandığı sabit bir p(A) değeri olarak alınmasıdır. (A) test sayısında sınırsız artış ileN.
Not 1. Rastgele bir olayın olasılığındaki sıfırdan bire değişim sınırlarının, hesaplama ve uygulama kolaylığı açısından B. Pascal tarafından seçildiğine dikkat edin. P. Fermat ile yazışmalarda Pascal, belirtilen aralık olarak herhangi bir aralığın seçilebileceğini, örneğin sıfırdan yüze kadar ve diğer aralıkların seçilebileceğini belirtti. Bu kılavuzda aşağıdaki problemlerde olasılıklar bazen yüzde olarak ifade edilir; sıfırdan yüze. Bu durumda problemlerde verilen yüzdelerin paylara dönüştürülmesi gerekmektedir. 100'e bölün.
Örnek 1. Her biri 1000 atıştan oluşan 10 seri yazı tura atışı gerçekleştirildi. Büyüklük ( A) her seride 0,501'e eşittir; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0.484. Bu frekanslar gruplandırılmıştır. R(A) = 0,5.
Bu örnek, göreceli frekansın ( A) yaklaşık olarak eşittir R(A), yani.
