Ayrık rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem için dağılım yasası. İki rastgele değişkenin toplamının dağılım kanunu

Tanım. X 1, X 2, ..., X n rastgele değişkenleri, herhangi bir x 1, x 2, ..., x n için olaylar bağımsızsa bağımsız olarak adlandırılır.

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

Tanımdan hemen bağımsız rastgele değişkenler için şu sonucu çıkar: X 1, X 2, …, Xn dağıtım işlevi N-boyutlu rastgele değişken X = X 1, X 2, …, Xn rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarının çarpımına eşit X 1, X 2, …, Xn

F(x 1 , x 2, …, xn) = F(x 1)F(x 2)…F(xn). (1)

Eşitliğin ayrımını yapalım (1) N kez x 1 , x 2, …, xn, alıyoruz

P(x 1 , x 2, …, xn) = P(x 1)P(x 2)…P(xn). (2)

Rastgele değişkenlerin bağımsızlığının başka bir tanımı da verilebilir.

Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenlerin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse, bu tür rastgele değişkenlere toplu olarak bağımsız denir.

Örneğin, farklı sayıdaki iki piyango bileti satın alındı. İzin vermek X– ilk biletteki kazanç miktarı, e– ikinci biletteki kazanç miktarı. Rastgele değişkenler X Ve e– bağımsızdır, çünkü bir biletin kazanılması diğerinin dağıtım yasasını etkilemeyecektir. Ancak biletler aynı konudaysa, o zaman X Ve e– bağımlı.

İki rastgele değişkenden birinin dağılım yasası diğer değişkenin hangi olası değerleri alacağına bağlı olarak değişmiyorsa bağımsız olarak adlandırılır.

Teorem 1(evrişim) veya “2 rastgele değişkenin toplamının yoğunluğuna ilişkin teorem.”

İzin vermek X = (X 1;X 2) – bağımsız sürekli iki boyutlu rastgele değişken, e = X 1+ X 2. Daha sonra dağıtım yoğunluğu

Kanıt. Eğer öyleyse, o zaman gösterilebilir

Nerede X = (X 1 , X 2 , …, Xn). O zaman eğer X = (X 1 , X 2), ardından dağıtım fonksiyonu e = X 1 + X 2 şu şekilde tanımlanabilir (Şekil 1) –

=.

Tanıma göre fonksiyon rastgele değişken Y = X 1 + X 2'nin dağılım yoğunluğudur, yani.

ey (T) = Q.E.D.

İki bağımsız ayrık rastgele değişkenin toplamının olasılık dağılımını bulmak için bir formül türetelim.

Teorem 2.İzin vermek X 1 , X 2 – bağımsız ayrık rastgele değişkenler,

, , Daha sonra

Kanıt. Bir olay hayal edelim bir x = {X 1 +X 2 = X) toplam olarak uyumsuz olaylar

bir x = å( X 1 = X Ben; X 2 = X– X Ben).

Çünkü X 1 , X 2 – bağımsız o zaman P(X 1 = X Ben; X 2 = X– X ben) = P(X 1 = X Ben) P(X 2 = x – x Ben o zaman

P(bir x) = P(å( X 1 = X Ben; X 2 = x – xi)) = å( P(X 1 = x ben) P(X 2 = x – x Ben)),

Q.E.D.

Örnek 1.İzin vermek X 1 , X 2 – bağımsız rastgele değişkenler normal dağılım parametrelerle N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).

Toplamlarının dağılım yoğunluğunu bulalım (gösteriyoruz: X 1 = X, e = X 1 +X 2)

İntegral fonksiyonunun normal rastgele değişkenin parametrelerle dağılım yoğunluğu olduğunu görmek kolaydır. A= , , yani integral 1'e eşittir.

.

İşlev ey(T) a = 0, s = parametreleriyle normal dağılım yoğunluğudur. Böylece, bağımsız normal rastgele değişkenlerin (0,1) parametreli toplamı, (0,) parametreli normal bir dağılıma sahiptir, yani. e = X 1 + X 2 ~ N(0;).

Örnek 2. Poisson dağılımına sahip iki ayrık bağımsız rastgele değişken verilsin , Daha sonra

, (5)

Nerede k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

Teorem 2'ye göre elimizde:

Örnek 3.İzin vermek X 1, X 2 – üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler . Yoğunluğu bulalım e= X 1 +X 2 .

Haydi belirtelim X = X 1. O zamandan beri X 1, X 2 bağımsız rastgele değişken ise “evrişim teoremini” kullanacağız

Toplamı verilirse ( Şi l parametresi ile üstel bir dağılıma sahipse), o zaman e=bir dağılıma sahiptir Erlang dağılımı olarak adlandırılan ( N– 1) sipariş. Bu yasa işin simüle edilmesiyle elde edildi telefon santralleri teori üzerine yapılan ilk çalışmalarda sıraya girme.

Matematiksel istatistikte, bağımsız normal rastgele değişkenlerin fonksiyonları olan rastgele değişkenlerin dağılım yasaları sıklıkla kullanılır. Rastgele olayları modellerken en sık karşılaşılan üç yasayı ele alalım.

Teorem 3. Rastgele değişkenler bağımsız ise X 1, ..., Xn, bu durumda bu rastgele değişkenlerin fonksiyonları da bağımsızdır e 1 = F 1 (X 1), ...,Yn = fn(Xn).

Pearson dağılımı(2'den itibaren -dağıtım). İzin vermek X 1, ..., Xn– parametrelerle bağımsız normal rastgele değişkenler A= 0, s = 1. Bir rastgele değişken oluşturalım

İki rastgele sürekli değişkenden oluşan bir sistem düşünelim. Bu sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde ise, bu sistemin dağılım yasası normal dağılım yasasıdır.

. (1.18.35)

Burada şunu gösterebiliriz - matematiksel beklentiler rastgele değişkenler, – standart sapmaları, – değişkenlerin korelasyon katsayıları. (1.18.31) ve (1.18.35) formüllerini kullanan hesaplamalar şunu verir:

. (1.18.36)

Normal yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenlerin korelasyonu yoksa aynı zamanda bağımsız olduklarını görmek kolaydır.

.

Dolayısıyla normal dağılım yasası için korelasyonsuzluk ve bağımsızlık eşdeğer kavramlardır.

Eğer öyleyse, rastgele değişkenler bağımlıdır. Koşullu dağıtım yasaları formüller kullanılarak hesaplanır (1.18.20)

. (1.18.37)

Her iki yasa da (1.18.37) normal dağılımları temsil eder. Aslında, örneğin ilişkilerin ikincisini (1.18.37) forma dönüştürelim.

.

Bu gerçekten normal bir dağılım yasasıdır ve koşullu matematiksel beklenti eşittir

, (1.18.38)

A koşullu standart sapma formülle ifade edilir

. (1.18.39)

Bir miktarın sabit bir değerdeki koşullu dağılımı yasasında, yalnızca koşullu matematiksel beklentinin bu değere bağlı olduğunu, ancak bu değere bağlı olmadığını unutmayın. koşullu varyans – .

Açık koordinat uçağı bağımlılık (1.18.38) düz bir çizgidir

, (1.18.40)

buna denir regresyon hattı Açık .

Tam olarak aynı şekilde tespit edilmiştir ki koşullu dağıtım sabit değerdeki miktarlar

, (1.18.41)

koşullu matematiksel beklentiyle normal bir dağılım var

, (1.18.42)

koşullu standart sapma

. (1.18.43)

Bu durumda regresyon çizgisi şuna benzer:

. (1.18.44)

Regresyon çizgileri (1.18.40) ve (1.18.44) yalnızca ve miktarları arasındaki ilişki doğrusal olduğunda çakışır. Eğer ve miktarları bağımsızsa, regresyon çizgileri koordinat eksenlerine paraleldir.

İş bitimi -

Bu konu şu bölüme aittir:

Matematik olasılık teorisi matematiksel istatistik ders notları

Departman yüksek Matematik ve bilgisayar bilimi.. ders notları.. matematikte..

Eğer ihtiyacın varsa ek malzeme Bu konuyla ilgili veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

Bu bölümdeki tüm konular:

Olasılık teorisi
Olasılık teorisi, rastgele kütle olaylarının modellerinin incelendiği bir matematik dalıdır. Rastgele olan bir olaya denir

Olasılığın istatistiksel tanımı
Bir olay, deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilen veya görünmeyebilen rastgele bir olgudur (belirsiz olgu). Olayları büyük Latin harflerle belirtin

Temel olayların alanı
Bazı deneyimlerle ilişkili birçok olay olsun ve: 1) deneyimin sonucunda tek ve tek bir şey ortaya çıksın

Etkinliklerle ilgili eylemler
İki olayın toplamı ve

Yeniden düzenlemeler
Elementlerin farklı permütasyonlarının sayısı şu şekilde gösterilir:

Yerleşimler
Elemanları uygun şekilde yerleştirerek

Kombinasyonlar
Elementlerin birleşimi

Uyumsuz olaylara olasılık ekleme formülü
Teorem. İki toplamının olasılığı uyumsuz olaylar bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. (1

Rastgele olaylara olasılık ekleme formülü
Teorem. İki olayın toplamının olasılığı, bu olayların çarpım olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir.

Olasılık çarpma formülü
İki olay olsun ve verilsin. Olayı düşünün

Toplam Olasılık Formülü
Birbiriyle bağdaşmayan olayların tam bir grubu olsun; bunlara hipotez denir. Bir olayı ele alalım

Hipotez Olasılık Formülü (Bayes)
Tekrar bakalım - tam grup uyumsuz hipotezler ve olaylar

Asimptotik Poisson formülü
Test sayısının fazla olduğu ve bir olayın gerçekleşme olasılığının fazla olduğu durumlarda

Rastgele ayrık miktarlar
Rastgele miktar, bir deney tekrarlandığında farklı değerler alabilen bir miktardır. sayısal değerler. Rastgele değişkene ayrık denir,

Rastgele sürekli değişkenler
Deney sonucunda bir rastgele değişkenin belirli bir parçadan veya tüm parçadan herhangi bir değer alabilmesi durumunda gerçek eksen ise buna sürekli denir. Kanun

Rastgele sürekli bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
İzin vermek. Bir noktayı düşünelim ve ona artışlar verelim

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Rastgele ayrık veya sürekli değişkenler, eğer dağıtım yasaları biliniyorsa, tamamen belirlenmiş kabul edilir. Aslında dağıtım yasalarını bilerek her zaman isabet olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Rastgele değişkenlerin nicelikleri
Rastgele sürekli bir değişkenin mertebesinden nicelik

Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi onun ortalama değerini karakterize eder. Rastgele değişkenin tüm değerleri bu değer etrafında gruplanır. İlk önce rastgele ayrık değişkeni ele alalım

Rastgele değişkenlerin standart sapması ve dağılımı
İlk önce rastgele bir ayrık değişkeni ele alalım. Sayısal özellikler modu, medyan, nicelikler ve matematiksel beklenti

Rastgele değişkenlerin momentleri
Matematiksel beklenti ve dağılıma ek olarak olasılık teorisi şunları kullanır: sayısal özellikler Rastgele değişkenlerin momentleri olarak adlandırılan daha yüksek dereceler.

Rastgele değişkenlerin sayısal özelliklerine ilişkin teoremler
Teorem 1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi bu değerin kendisine eşittir. Kanıt: Let

Binom dağılım yasası

Poisson dağıtım yasası
Rastgele ayrık bir değişkenin değerleri almasına izin verin

Tek tip dağıtım kanunu
Rastgele sürekli bir değişkenin tekdüze dağılım yasası, olasılık yoğunluk fonksiyonunun yasasıdır;

Normal dağılım kanunu
Rastgele sürekli bir değişkenin normal dağılım yasası yoğunluk fonksiyonu yasasıdır

Üstel dağılım yasası
Üstel veya üstel dağılım Rastgele değişken olasılık teorisinin kuyruk teorisi, güvenilirlik teorisi gibi uygulamalarında kullanılır.

Rastgele değişken sistemleri
Pratikte, olasılık teorisi uygulamalarında, bir deneyin sonuçlarının tek bir rastgele değişkenle değil aynı anda birkaç rastgele değişkenle tanımlandığı problemlerle sıklıkla karşılaşılır.

İki rastgele ayrık değişkenden oluşan sistem
İkisi rastgele olsun ayrık miktarlar bir sistem oluşturur. Rastgele değer

İki rastgele sürekli değişkenden oluşan sistem
Şimdi sistem rastgele iki kişiden oluşsun sürekli miktarlar. Bu sistemin dağıtım yasasına muhtemelen denir

Koşullu dağıtım yasaları
Bağımlı rastgele sürekli nicelikler olsun

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin sayısal özellikleri
Başlangıç ​​anı rastgele değişkenler sisteminin sırası

Birkaç rastgele değişkenden oluşan sistem
İki rastgele büyüklükteki bir sistem için elde edilen sonuçlar, aşağıdakilerden oluşan sistemler durumuna genelleştirilebilir: herhangi bir numara rastgele değişkenler.

Sistemin bir kümeden oluşmasına izin verin
Olasılık teorisinin limit teoremleri

Disiplin olasılık teorisinin temel amacı, rastgele kütle olaylarının kalıplarını incelemektir. Uygulama, homojen bir rastgele fenomen kütlesinin gözlemlenmesinin ortaya çıktığını göstermektedir.
Chebyshev eşitsizliği

Matematiksel beklentisi olan bir rastgele değişkeni ele alalım
Chebyshev'in teoremi

Rastgele değişkenler ikili olarak bağımsızsa ve sonlu, kolektif olarak sınırlanmış varyanslara sahipse
Bernoulli teoremi

Deney sayısındaki sınırsız artışla, bir olayın meydana gelme sıklığı, olasılık açısından olayın olasılığına yakınsar
Merkezi Limit Teoremi

Rastgele değişkenleri herhangi bir dağıtım yasasıyla, ancak ortak olarak sınırlı varyanslarla eklerken, dağıtım yasası
Matematiksel istatistiğin temel sorunları Yukarıda tartışılan olasılık teorisinin yasaları şunlardır: matematiksel ifade

çeşitli rastgele kütle olaylarında gerçekte var olan gerçek modeller. Ders çalışıyor
Basit bir istatistiksel popülasyon. İstatistiksel dağılım fonksiyonu

Dağıtım yasası bilinmeyen bazı rastgele değişkenleri ele alalım. Deneyime dayalı olarak gerekli
İstatistik serisi. grafik çubuğu Şu tarihte:çok sayıda gözlemler (yaklaşık yüzlerce) nüfus

istatistiksel materyalin kaydedilmesi elverişsiz ve hantal hale gelir. Açıklık ve anlaşılırlık açısından istatistiksel materyal
Olasılık teorisinde, rastgele değişkenlerin çeşitli sayısal özellikleri dikkate alınmıştır: matematiksel beklenti, dağılım, çeşitli mertebelerdeki başlangıç ​​ve merkezi momentler. Benzer sayılar

Momentler yöntemini kullanarak teorik dağılımın seçimi
Herhangi bir istatistiksel dağılım kaçınılmaz olarak sınırlı sayıda gözlemle ilişkili rastgelelik unsurları içerir. Çok sayıda gözlemle bu rastgelelik unsurları düzeltilir,

Dağıtım yasasının biçimine ilişkin hipotezin inandırıcılığının kontrol edilmesi
Verilene izin ver istatistiksel dağılım bazı teorik eğrilerle yaklaşık olarak hesaplanır veya

Onay kriterleri
En sık kullanılan uyum iyiliği kriterlerinden biri olan Pearson kriterini ele alalım. Tahmin etmek

Bilinmeyen dağılım parametreleri için nokta tahminleri
s. 2.1. – 2.7 birinci ve ikinci temel problemlerin nasıl çözüleceğini detaylı olarak inceledik matematiksel istatistik. Bunlar deneysel verilere dayanarak rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını belirleme problemleridir.

Beklenti ve varyans tahminleri
Bilinmeyen matematiksel beklentiye sahip rastgele bir değişkeni ele alalım

Güven aralığı. Güven olasılığı
Uygulamada, rastgele bir değişken üzerinde yapılan az sayıda deneyle, bilinmeyen parametrenin yaklaşık olarak değiştirilmesi

Yukarıdakileri kullanalım genel yöntem bir problemi çözmek, yani iki rastgele değişkenin toplamının dağılım yasasını bulmak. Dağılım yoğunluğu f(x,y) olan iki rastgele değişkenden (X,Y) oluşan bir sistem vardır.

X ve Y rastgele değişkenlerinin toplamını ele alalım: ve Z değerinin dağılım yasasını bulalım. Bunu yapmak için xOy düzlemi üzerinde denklemi şu şekilde olan bir çizgi inşa edelim: (Şekil 6.3.1). Bu, eksenlerde z'ye eşit parçaları kesen düz bir çizgidir. Dümdüz xOy düzlemini iki parçaya böler; sağında ve üstünde ; sola ve aşağıya

Alan D bu durumda- xOy düzleminin sol alt kısmı, Şekil 2'de gölgelendirilmiştir. 6.3.1. Formül (6.3.2)'ye göre elimizde:

Bu, iki rastgele değişkenin toplamının yoğunluk dağılımının genel formülüdür.

Sorunun X ve Y'ye göre simetrisi nedeniyle aynı formülün başka bir versiyonunu yazabiliriz:

Bu yasaların bir bileşimini üretmek, yani miktarın dağılım yasasını bulmak gerekir: .

Dağıtım yasalarının bileşimi için genel formülü uygulayalım:

Bu ifadeleri daha önce karşılaştığımız formülde yerine koyarsak

ve bu, dağılım merkezi olan normal bir yasadan başka bir şey değildir

Aşağıdaki nitel akıl yürütme kullanılarak aynı sonuca çok daha kolay ulaşılabilir.

Parantezleri açmadan ve integralde (6.3.3) herhangi bir dönüşüm yapmadan hemen üssün olduğu sonucuna varırız. ikinci dereceden üç terimli x türüne göre

z değeri A katsayısına hiç dahil edilmediğinde, B katsayısında birinci kuvvete dahil edilir ve C katsayısında karesi alınır. Bunu aklımızda tutarak ve (6.3.4) formülünü uygulayarak, g(z)'nin şu olduğu sonucuna varırız: üstel fonksiyon z'ye göre üssü kare trinomial olan ve dağılım yoğunluğu; Bu tür normal yasaya karşılık gelir. Böylece biz; tamamen niteliksel bir sonuca varıyoruz: z değerinin dağılım yasası normal olmalıdır. Bu yasanın parametrelerini bulmak için - ve - matematiksel beklentilerin toplamı teoremini ve varyansların toplamı teoremini kullanacağız.

Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre . Varyansların toplamı teoremi ile veya buradan formül (6.3.7) gelir.

Standart sapmalardan bunlarla orantılı olası sapmalara geçerek şunları elde ederiz:
.

Böylece şu noktaya geldik sonraki kural: Normal yasaların bileşimiyle yeniden normal bir yasa elde edilir ve matematiksel beklentiler ve varyanslar (veya olası sapmaların kareleri) toplanır.

Normal yasaların bileşimine ilişkin kural, keyfi sayıda bağımsız rastgele değişken durumuna genelleştirilebilir.

N sayıda bağımsız rastgele değişken varsa: dağılım merkezleri ve standart sapmaları olan normal yasalara tabiyse, bu durumda değer aynı zamanda parametrelerle birlikte normal yasaya da tabidir.

Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem (X, Y) normal yasaya göre dağıtılırsa, ancak X, Y değerleri bağımlıysa, o zaman daha önce olduğu gibi aşağıdakilere dayanarak kanıtlamak zor değildir: Genel formül(6.3.1) bir miktarın dağılım yasasının da normal bir yasa olduğunu. Saçılma merkezleri hâlâ cebirsel olarak ekleniyor ancak standart sapmalar için kural daha karmaşık hale geliyor: burada r, X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısıdır.

Bütünüyle normal kanuna tabi olan birkaç bağımlı rastgele değişken toplandığında, toplamın dağılım kanunu da parametrelerle normal olarak ortaya çıkar.

X i, X j miktarlarının korelasyon katsayısı nerede ve toplam, miktarların tüm farklı ikili kombinasyonlarına kadar uzanıyor.

Biz buna ikna olduk önemli özellik Normal yasa: Normal yasaların bileşimiyle yeniden normal bir yasa elde edilir. Buna “kararlılık özelliği” denir. Bu türden iki yasanın bileşimi yine aynı türde bir yasayla sonuçlanıyorsa, bir dağıtım yasasına kararlı denir. Yukarıda normal kanunun istikrarlı olduğunu göstermiştik. Çok az sayıda dağıtım kanunu istikrar özelliğine sahiptir. Düzgün yoğunluk yasası kararsızdır: 0'dan 1'e kadar bölümlerdeki iki eşit yoğunluk yasasını birleştirerek Simpson yasasını elde ettik.

Normal hukukun istikrarı, uygulamada yaygın olarak kullanılmasının temel koşullarından biridir. Ancak normal olanın yanı sıra diğer bazı dağıtım kanunları da kararlılık özelliğine sahiptir. Normal yasanın bir özelliği, yeterince büyük bir sayının bileşimi ile pratik olarak keyfi yasalar Dağıtım, terimlerin dağılım yasalarının ne olduğuna bakılmaksızın toplam yasanın normale istenildiği kadar yakın olduğu ortaya çıkar. Bu, örneğin 0'dan 1'e kadar olan alanlardaki tekdüze yoğunluğun üç yasasını oluşturarak gösterilebilir. Ortaya çıkan dağılım yasası g(z), Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.3.1. Çizimden görülebileceği gibi g(z) fonksiyonunun grafiği normal yasanın grafiğine çok benzemektedir.

Üçüncü rastgele değişkenin olduğu durumu düşünün Z iki bağımsız rastgele değişkenin toplamıdır X Ve e, yani

Bu miktarların yoğunlukları
sırasıyla. Dağıtım yoğunluğu Z

Bu integrale denir evrişim veya kompozisyon yoğunlukları şu şekilde ifade edilir:

.

Böylece, bağımsız rastgele değişkenler toplanırsa dağılım yoğunlukları daraltılır.

Bu kural herhangi bir sayıda bağımsız terimin toplamı için geçerlidir. Yani eğer

.

Örnek. Yoğunlukları eşit olarak dağıtılmış iki X 1 ve X 2 miktarının toplamının dağılım yoğunluğunu belirleyelim:

Bu yoğunlukları (13.2.1)'de değiştirdikten ve varsayım altında entegre ettikten sonra
bunu anladık

Bu yoğunluğa yamuk denir (bkz. Şekil 13.2.1). Eğer
daha sonra yamuk bir ikizkenar üçgene dönüşür ve karşılık gelen yoğunluğa Sipson yoğunluğu denir.

Şekil 13.2.1 Trapez dağılım - iki düzgün dağılımın evrişimi.

13.3 Normal dağılım gösteren rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı

Eğer
, X Ve e bağımsız ve yoğunluklara göre normal dağılmış

o zaman miktar Z aynı zamanda yoğunlukla normal olarak dağıtılacaktır

,

Bu gerçek, derleme integralinin (13.2.1) değiştirildikten sonra doğrudan entegrasyonuyla kanıtlanmıştır.
Ve
.

Daha genel bir ifade de doğrudur: eğer

, (13.3.1)

Nerede Ve B- sabitler ve X Ben – ortalama değerleri olan bağımsız normal dağılımlı rastgele değişkenler
ve varyanslar , O e ayrıca ortalama değerle normal olarak dağıtılacaktır

(13.3.2)

ve varyans

. (13.3.3)

Buradan, eğer bağımsız normal dağılmış rastgele değişkenler toplanırsa, o zaman toplamın da matematiksel bir beklentiyle normal bir dağılıma sahip olacağı sonucu çıkar, miktara eşit terimlerin matematiksel beklentileri ve varyans, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir. Yani eğer

,

. (13.3.4)

14. Limit teoremleri

14.1 Büyük sayılar yasası kavramı.

Deneyimlerden, kitlesel olaylarda sonucun bireysel tezahürlere çok az bağlı olduğu bilinmektedir. Örneğin bir gazın kabın duvarlarına uyguladığı basınç, gaz moleküllerinin duvarlara çarpmasının sonucudur. Her darbenin güç ve yön açısından tamamen rastgele olmasına rağmen, ortaya çıkan basıncın pratikte deterministik olduğu ortaya çıkıyor. Aynı şey, vücut atomlarının ortalama kinetik hareket enerjisini belirleyen vücut sıcaklığı için de söylenebilir. Akım gücü, temel yüklerin (elektronların) hareketinin bir tezahürüdür. Her birinin kendine özgü özellikleri rastgele olay bu tür olayların bir kütlesinin ortalama sonucu üzerinde neredeyse hiçbir etkisi yoktur. Her bir olguda kaçınılmaz olan ortalamadan rastgele sapmalar karşılıklı olarak iptal edilir, dengelenir ve bir bütün olarak dengelenir. Bunun altında yatan şey, ortalamaların istikrarı olan bu gerçektir. kanun büyük sayılar: Çok sayıda rastgele olayla birlikte, ortalama sonuçları pratikte rastgele olmaktan çıkar ve yüksek derecede kesinlik ile tahmin edilebilir.

Olasılık teorisinde, büyük sayılar yasası, her biri belirli koşullar altında çok sayıda deneyin ortalama özelliklerinin sabit değerlere veya sınır dağılımlara yaklaştığı gerçeğini ortaya koyan bir dizi matematik teoremi olarak anlaşılır.