Tanım. X 1, X 2, ..., X n rastgele değişkenleri, herhangi bir x 1, x 2, ..., x n için olaylar bağımsızsa bağımsız olarak adlandırılır.
(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.
Tanımdan hemen bağımsız rastgele değişkenler için şu sonucu çıkar: X 1, X 2, …, Xn dağıtım fonksiyonu N-boyutlu rastgele değişken X = X 1, X 2, …, Xn rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarının çarpımına eşit X 1, X 2, …, Xn
F(x 1 , x 2, …, xn) = F(x 1)F(x 2)…F(xn). (1)
Eşitliğin ayrımını yapalım (1) N kez x 1 , x 2, …, xn, alıyoruz
P(x 1 , x 2, …, xn) = P(x 1)P(x 2)…P(xn). (2)
Rastgele değişkenlerin bağımsızlığının başka bir tanımı da verilebilir.
Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenlerin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse, bu tür rastgele değişkenlere toplu olarak bağımsız denir.
Örneğin, farklı sayıdaki iki piyango bileti satın alındı. İzin vermek X– ilk biletteki kazanç miktarı, e– ikinci biletteki kazanç miktarı. Rastgele değişkenler X Ve e– bağımsızdır, çünkü bir biletin kazanılması diğerinin dağıtım yasasını etkilemeyecektir. Ancak biletler aynı konudaysa, o zaman X Ve e– bağımlı.
İki rastgele değişkenden birinin dağılım yasası diğer değişkenin hangi olası değerleri alacağına bağlı olarak değişmiyorsa bağımsız olarak adlandırılır.
Teorem 1(evrişim) veya “2 rastgele değişkenin toplamının yoğunluğuna ilişkin teorem.”
İzin vermek X = (X 1;X 2) – bağımsız sürekli iki boyutlu rastgele değişken, e = X 1+ X 2. Daha sonra dağıtım yoğunluğu
Kanıt. Eğer öyleyse, o zaman gösterilebilir
Nerede X = (X 1 , X 2 , …, Xn). O zaman eğer X = (X 1 , X 2), ardından dağıtım fonksiyonu e = X 1 + X 2 şu şekilde tanımlanabilir (Şekil 1) –
=
.
Tanıma göre fonksiyon 
rastgele değişken Y = X 1 + X 2'nin dağılım yoğunluğudur, yani.
ey (T) = 
Q.E.D.
İki bağımsız ayrık rastgele değişkenin toplamının olasılık dağılımını bulmak için bir formül türetelim.
Teorem 2.İzin vermek X 1 , X 2 – bağımsız ayrık rastgele değişkenler,
, 
, Daha sonra
Kanıt. Bir olay hayal edelim bir x = {X 1 +X 2 = X) toplam olarak uyumsuz olaylar
bir x = å( X 1 = X Ben ; X 2 = X– X Ben).
Çünkü X 1 , X 2 – bağımsız o zaman P(X 1 = X Ben ; X 2 = X– X i) = P(X 1 = X Ben) P(X 2 = x – x ben), o zaman
P(bir x) = P(å( X 1 = X Ben ; X 2 = x – x ben)) = å( P(X 1 = x ben) P(X 2 = x – x Ben)),
Q.E.D.
Örnek 1.İzin vermek X 1 , X 2 – bağımsız rastgele değişkenler normal dağılım parametrelerle N(0;1); X 1 , X 2 ~ N(0;1).
Toplamlarının dağılım yoğunluğunu bulalım (gösteriyoruz: X 1 = X, e = X 1 +X 2)
İntegral fonksiyonunun normal bir rastgele değişkenin parametrelerle dağılım yoğunluğu olduğunu görmek kolaydır. A= , , yani integral 1'e eşittir.
.
İşlev ey(T) a = 0, s = parametreleriyle normal dağılım yoğunluğudur. Böylece, bağımsız normal rastgele değişkenlerin (0,1) parametreli toplamı, (0,) parametreli normal bir dağılıma sahiptir, yani. e = X 1 + X 2 ~ N(0;).
Örnek 2. Poisson dağılımına sahip iki ayrık bağımsız rastgele değişken verilsin 
, Daha sonra
, (5)
Nerede k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.
Teorem 2'ye göre elimizde:
Örnek 3.İzin vermek X 1, X 2 – üstel dağılıma sahip bağımsız rastgele değişkenler 
. Yoğunluğu bulalım e= X 1 +X 2 .
Haydi belirtelim X = X 1. O zamandan beri X 1, X 2 bağımsız rastgele değişken ise “evrişim teoremini” kullanacağız
Toplamı verilirse ( Xi l parametresi ile üstel bir dağılıma sahipse), o zaman e=dağıtım var 
Erlang dağılımı olarak adlandırılan ( N– 1) sipariş. Bu yasa işin simüle edilmesiyle elde edildi telefon santralleri teori üzerine yapılan ilk çalışmalarda sıraya girme.
Matematiksel istatistiklerde, bağımsız normal rastgele değişkenlerin fonksiyonları olan rastgele değişkenlerin dağılım yasaları sıklıkla kullanılır. Rastgele olayları modellerken en sık karşılaşılan üç yasayı ele alalım.
Teorem 3. Rastgele değişkenler bağımsız ise X 1, ..., Xn, bu durumda bu rastgele değişkenlerin fonksiyonları da bağımsızdır e 1 = F 1 (X 1), ...,Yn = fn(Xn).
Pearson dağılımı(2'den itibaren -dağıtım). İzin vermek X 1, ..., Xn– parametrelerle bağımsız normal rastgele değişkenler A= 0, s = 1. Bir rastgele değişken oluşturalım
İki rastgele sürekli değişkenden oluşan bir sistem düşünelim. Bu sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde ise, bu sistemin dağılım yasası normal dağılım yasasıdır.
. (1.18.35)
Burada şunu gösterebiliriz - matematiksel beklentiler rastgele değişkenler, – standart sapmaları, – değişkenlerin korelasyon katsayıları. (1.18.31) ve (1.18.35) formüllerini kullanan hesaplamalar şunu verir:
. (1.18.36)
Normal yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenlerin korelasyonu yoksa aynı zamanda bağımsız olduklarını görmek kolaydır.
.
Dolayısıyla normal dağılım yasası için korelasyonsuzluk ve bağımsızlık eşdeğer kavramlardır.
Eğer öyleyse, rastgele değişkenler bağımlıdır. Koşullu dağıtım yasaları formüller kullanılarak hesaplanır (1.18.20)
. (1.18.37)
Her iki yasa da (1.18.37) normal dağılımları temsil eder. Aslında, örneğin ilişkilerin ikincisini (1.18.37) forma dönüştürelim.
.
Bu gerçekten normal bir dağılım yasasıdır ve koşullu matematiksel beklenti eşittir
, (1.18.38)
A koşullu standart sapma formülle ifade edilir
. (1.18.39)
Bir miktarın sabit bir değerdeki koşullu dağılımı yasasında, yalnızca koşullu matematiksel beklentinin bu değere bağlı olduğunu, ancak bu değere bağlı olmadığını unutmayın. koşullu varyans – .
Açık koordinat düzlemi bağımlılık (1.18.38) düz bir çizgidir
, (1.18.40)
buna denir regresyon çizgisi Açık .
Tam olarak aynı şekilde tespit edilmiştir ki koşullu dağıtım sabit değerdeki miktarlar
, (1.18.41)
koşullu matematiksel beklentiyle normal bir dağılım var
, (1.18.42)
koşullu standart sapma
. (1.18.43)
Bu durumda regresyon çizgisi şuna benzer:
. (1.18.44)
Regresyon çizgileri (1.18.40) ve (1.18.44) yalnızca ve miktarları arasındaki ilişki doğrusal olduğunda çakışır. Eğer ve miktarları bağımsızsa, regresyon çizgileri koordinat eksenlerine paraleldir.
İşin sonu -
Bu konu şu bölüme aittir:
Matematik olasılık teorisi matematiksel istatistik ders notları
Departman yüksek matematik ve bilgisayar bilimi.. ders notları.. matematikte..
Eğer ihtiyacın olursa ek malzeme Bu konuyla ilgili veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:
Alınan materyalle ne yapacağız:
Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:
| Cıvıldamak |
Bu bölümdeki tüm konular:
Olasılık teorisi
Olasılık teorisi, rastgele kütle olaylarının modellerinin incelendiği bir matematik dalıdır.
Rastgele olan bir olaya denir
Olasılığın istatistiksel tanımı
Bir olay, deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilen veya görünmeyebilen rastgele bir olgudur (belirsiz olgu). Olayları büyük Latin harflerle belirtin
Temel olayların alanı
Bazı deneyimlerle ilişkili birçok olay olsun ve: 1) deneyimin sonucunda tek ve tek bir şey ortaya çıksın
Etkinliklerle ilgili eylemler
İki olayın toplamı ve
Yeniden düzenlemeler
Elementlerin farklı permütasyonlarının sayısı şu şekilde gösterilir:
Yerleşimler
Elemanları uygun şekilde yerleştirerek
Kombinasyonlar
Elementlerin birleşimi
Uyumsuz olaylara olasılık ekleme formülü Teorem. İki toplamının olasılığı uyumsuz olaylar
bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.
(1
Rastgele olaylara olasılık ekleme formülü
Teorem. İki olayın toplamının olasılığı, bu olayların çarpım olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir.
Olasılık çarpma formülü
Birbiriyle bağdaşmayan olayların tam bir grubu olsun; bunlara hipotez denir. Bir olayı düşünün
Hipotez Olasılık Formülü (Bayes)
Tekrar bakalım - tam grup uyumsuz hipotezler ve olaylar
Asimptotik Poisson formülü
Test sayısının fazla olduğu ve bir olayın gerçekleşme olasılığının fazla olduğu durumlarda
Rastgele ayrık miktarlar
Rastgele bir miktar, bir deney tekrarlandığında eşit olmayan değerler alabilen bir miktardır. sayısal değerler. Rastgele değişkene ayrık denir,
Rastgele sürekli değişkenler
Deney sonucunda bir rastgele değişkenin belirli bir parçadan veya tüm parçadan herhangi bir değer alabilmesi durumunda gerçek eksen ise buna sürekli denir. Kanun
Rastgele sürekli bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
Bırak olsun. Bir noktayı düşünelim ve ona artışlar verelim
Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Rastgele ayrık veya sürekli değişkenler, eğer dağıtım yasaları biliniyorsa, tamamen belirlenmiş kabul edilir. Aslında dağıtım yasalarını bilerek her zaman isabet olasılığını hesaplayabilirsiniz.
Rastgele değişkenlerin nicelikleri
Rastgele sürekli bir değişkenin mertebesinden nicelik
Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi onun ortalama değerini karakterize eder. Rastgele değişkenin tüm değerleri bu değer etrafında gruplanır. İlk önce rastgele ayrık değişkeni ele alalım
Rastgele değişkenlerin standart sapması ve dağılımı
İlk önce rastgele bir ayrık değişkeni ele alalım. Sayısal özellikler modu, medyan, nicelikler ve matematiksel beklenti
Rastgele değişkenlerin momentleri
Matematiksel beklenti ve dağılıma ek olarak olasılık teorisi şunları kullanır: sayısal özellikler Rastgele değişkenlerin momentleri olarak adlandırılan daha yüksek dereceler.
Rastgele değişkenlerin sayısal özelliklerine ilişkin teoremler
Teorem 1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi bu değerin kendisine eşittir.
Kanıt: Let
Binom dağılım yasası
Poisson dağıtım yasası
Rastgele ayrık bir değişkenin değerleri almasına izin verin
Tek tip dağıtım kanunu
Rastgele sürekli bir değişkenin tekdüze dağılım yasası, olasılık yoğunluk fonksiyonunun yasasıdır;
Normal dağılım kanunu
Rastgele sürekli bir değişkenin normal dağılım yasası yoğunluk fonksiyonu yasasıdır
Üstel dağılım yasası Üstel veyaüstel dağılım
Rastgele değişken sistemleri
Pratikte, olasılık teorisi uygulamalarında, bir deneyin sonuçlarının tek bir rastgele değişkenle değil aynı anda birkaç rastgele değişkenle tanımlandığı problemlerle sıklıkla karşılaşılır.
İki rastgele ayrık değişkenden oluşan sistem
İkisi rastgele olsun ayrık miktarlar bir sistem oluşturur. Rastgele değişken
İki rastgele sürekli değişkenden oluşan sistem
Şimdi sistem rastgele iki kişiden oluşsun sürekli miktarlar. Bu sistemin dağıtım yasasına muhtemelen denir
Koşullu dağıtım yasaları
Bağımlı rastgele sürekli nicelikler olsun
İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin sayısal özellikleri
Başlangıç anı rastgele değişkenler sisteminin sırası
Birkaç rastgele değişkenden oluşan sistem
İki rastgele büyüklükteki bir sistem için elde edilen sonuçlar, aşağıdakilerden oluşan sistemler durumuna genelleştirilebilir: herhangi bir sayı rastgele değişkenler.
Sistemin bir kümeden oluşmasına izin verin
Olasılık teorisinin limit teoremleri
Disiplin olasılık teorisinin temel amacı, rastgele kütle olaylarının kalıplarını incelemektir.
Uygulama, homojen bir rastgele fenomen kütlesinin gözlemlenmesinin ortaya çıktığını göstermektedir.
Chebyshev eşitsizliği
Matematiksel beklentisi olan bir rastgele değişkeni ele alalım
Chebyshev'in teoremi
Rastgele değişkenler ikili olarak bağımsızsa ve sonlu, kolektif olarak sınırlanmış varyanslara sahipse
Bernoulli teoremi
Deney sayısındaki sınırsız artışla, bir olayın meydana gelme sıklığı, olasılık açısından olayın olasılığına yakınsar
Merkezi limit teoremi
Rastgele değişkenleri herhangi bir dağıtım yasasıyla, ancak ortak olarak sınırlı varyanslarla eklerken, dağıtım yasası Matematiksel istatistiğin temel sorunları Yukarıda tartışılan olasılık teorisinin yasaları şunlardır:
matematiksel ifade
çeşitli rastgele kütle olaylarında gerçekte var olan gerçek modeller.
ders çalışıyor
Basit bir istatistiksel popülasyon. İstatistiksel dağılım fonksiyonu Dağıtım yasası bilinmeyen bazı rastgele değişkenleri ele alalım. Deneyime dayalı olarak gerekliİstatistik serisi. Histogram Şu tarihte: büyük sayı
gözlemler (yaklaşık yüzlerce)
Olasılık teorisinde, rastgele değişkenlerin çeşitli sayısal özellikleri dikkate alınmıştır: matematiksel beklenti, dağılım, çeşitli mertebelerdeki başlangıç ve merkezi momentler. Benzer sayılar
Momentler yöntemini kullanarak teorik dağılımın seçimi
Herhangi bir istatistiksel dağılım kaçınılmaz olarak sınırlı sayıda gözlemle ilişkili rastgelelik unsurları içerir. Çok sayıda gözlemle bu rastgelelik unsurları düzeltilir,
Dağıtım yasasının biçimine ilişkin hipotezin inandırıcılığının kontrol edilmesi
Verilene izin ver istatistiksel dağılım bazı teorik eğrilerle yaklaşık olarak hesaplanır veya
Onay kriterleri
En sık kullanılan uyum iyiliği kriterlerinden biri olan Pearson kriterini ele alalım.
Tahmin etmek
Bilinmeyen dağılım parametreleri için nokta tahminleri s. 2.1. – 2.7 birinci ve ikinci temel problemlerin nasıl çözüleceğini detaylı olarak inceledik matematiksel istatistik
. Bunlar deneysel verilere dayanarak rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını belirleme problemleridir.
Beklenti ve varyans tahminleri
Bilinmeyen matematiksel beklentiye sahip rastgele bir değişkeni ele alalım
Güven aralığı. Güven olasılığı
Uygulamada, rastgele bir değişken üzerinde yapılan az sayıda deneyle, bilinmeyen parametrenin yaklaşık olarak değiştirilmesi Yukarıdakileri kullanalım genel yöntem
bir problemi çözmek, yani iki rastgele değişkenin toplamının dağılım yasasını bulmak. Dağılım yoğunluğu f(x,y) olan iki rastgele değişkenden (X,Y) oluşan bir sistem vardır. 
X ve Y rastgele değişkenlerinin toplamını ele alalım: ve Z değerinin dağılım yasasını bulalım. Bunu yapmak için xOy düzlemi üzerinde denklemi şu şekilde olan bir çizgi inşa edelim: (Şekil 6.3.1). Bu, eksenlerde z'ye eşit parçaları kesen düz bir çizgidir. Dümdüz 
xOy düzlemini iki parçaya böler; sağında ve üstünde
; sola ve aşağıya Alan D bu durumda
- xOy düzleminin sol alt kısmı, Şekil 2'de gölgelendirilmiştir. 6.3.1. Formül (6.3.2)'ye göre elimizde:
Bu, iki rastgele değişkenin toplamının yoğunluk dağılımının genel formülüdür.
Sorunun X ve Y'ye göre simetrisi nedeniyle aynı formülün başka bir versiyonunu yazabiliriz:
Bu yasaların bir bileşimini üretmek, yani miktarın dağılım yasasını bulmak gerekir: .
Dağıtım yasalarının bileşimi için genel formülü uygulayalım:
Bu ifadeleri daha önce karşılaştığımız formülde yerine koyarsak
ve bu, dağılım merkezi olan normal bir yasadan başka bir şey değildir
Parantezleri açmadan ve integralde (6.3.3) herhangi bir dönüşüm yapmadan hemen üssün olduğu sonucuna varırız. ikinci dereceden üç terimli x türüne göre
z değeri A katsayısına hiç dahil edilmediğinde, B katsayısında birinci kuvvete dahil edilir ve C katsayısında karesi alınır. Bunu aklımızda tutarak ve (6.3.4) formülünü uygulayarak, g(z)'nin şu şekilde olduğu sonucuna varırız: üstel fonksiyon z'ye göre üssü kare trinomial olan ve dağılım yoğunluğu; Bu tür normal yasaya karşılık gelir. Yani biz; tamamen niteliksel bir sonuca varıyoruz: z değerinin dağılım yasası normal olmalıdır. Bu yasanın parametrelerini bulmak için - ve 
- matematiksel beklentilerin toplamı teoremini ve varyansların toplamı teoremini kullanacağız.
Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre 
. Varyansların toplamı teoremi ile 
veya 
buradan formül (6.3.7) gelir.
Standart sapmalardan bunlarla orantılı olası sapmalara geçerek şunu elde ederiz: 
.
Böylece şu noktaya geldik sonraki kural: Normal yasaların bileşimiyle yeniden normal bir yasa elde edilir ve matematiksel beklentiler ve varyanslar (veya olası sapmaların kareleri) toplanır.
Normal yasaların bileşimine ilişkin kural, keyfi sayıda bağımsız rastgele değişken durumuna genelleştirilebilir.
N sayıda bağımsız rastgele değişken varsa: dağılım merkezleri ve standart sapmalara sahip normal yasalara tabiyse, bu durumda değer aynı zamanda parametrelerle birlikte normal yasaya da tabidir.
Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem (X, Y) normal yasaya göre dağıtılırsa, ancak X, Y değerleri bağımlıysa, o zaman daha önce olduğu gibi aşağıdakilere dayanarak kanıtlamak zor değildir: genel formül(6.3.1) bir miktarın dağılım yasasının da normal bir yasa olduğunu. Saçılma merkezleri hâlâ cebirsel olarak ekleniyor ancak standart sapmalar için kural daha karmaşık hale geliyor: 
burada r, X ve Y değerlerinin korelasyon katsayısıdır.
Bütünüyle normal kanuna tabi olan birkaç bağımlı rastgele değişken toplandığında, toplamın dağılım kanunu da parametrelerle normal olarak ortaya çıkar.
X i, X j miktarlarının korelasyon katsayısı nerede ve toplam, miktarların tüm farklı ikili kombinasyonlarına kadar uzanıyor.
Biz buna ikna olduk önemli özellik Normal yasa: Normal yasaların bileşimiyle yeniden normal bir yasa elde edilir. Buna “kararlılık özelliği” denir. Bu türden iki yasanın bileşimi yine aynı türde bir yasayla sonuçlanıyorsa, bir dağıtım yasasına kararlı denir. Yukarıda normal kanunun istikrarlı olduğunu göstermiştik. Çok az sayıda dağıtım kanunu istikrar özelliğine sahiptir. Düzgün yoğunluk yasası kararsızdır: 0'dan 1'e kadar bölümlerdeki iki eşit yoğunluk yasasını birleştirerek Simpson yasasını elde ettik.
Normal hukukun istikrarı, uygulamada yaygın olarak kullanılmasının temel koşullarından biridir. Ancak normal olanın yanı sıra diğer bazı dağıtım kanunları da kararlılık özelliğine sahiptir. Normal yasanın bir özelliği, yeterince büyük bir sayının bileşimi ile pratik olarak keyfi yasalar Dağıtımda, terimlerin dağılım kanunları ne olursa olsun, toplam kanunun normale istendiği kadar yakın olduğu ortaya çıkar. Bu, örneğin, 0'dan 1'e kadar alanlardaki tekdüze yoğunluğun üç yasasını oluşturarak gösterilebilir. Ortaya çıkan dağılım yasası g(z), Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.3.1. Çizimden görülebileceği gibi g(z) fonksiyonunun grafiği normal yasanın grafiğine çok benzemektedir.
Üçüncü rastgele değişkenin olduğu durumu düşünün Z iki bağımsız rastgele değişkenin toplamıdır X Ve e yani
Bu miktarların yoğunlukları 
sırasıyla. Dağıtım yoğunluğu Z
Bu integrale denir evrişim veya kompozisyon yoğunlukları şu şekilde ifade edilir:
.
Böylece, bağımsız rastgele değişkenler toplanırsa dağılım yoğunlukları daraltılır.
Bu kural herhangi bir sayıda bağımsız terimin toplamı için geçerlidir. Yani eğer
.
Örnek. Yoğunlukları eşit olarak dağıtılmış iki X 1 ve X 2 miktarının toplamının dağılım yoğunluğunu belirleyelim:
Bu yoğunlukları (13.2.1)'de değiştirdikten ve varsayım altında entegre ettikten sonra 
bunu anladık
Bu yoğunluğa yamuk denir (bkz. Şekil 13.2.1). Eğer 
daha sonra yamuk bir ikizkenar üçgene dönüşür ve karşılık gelen yoğunluğa Sipson yoğunluğu denir.
Şekil 13.2.1 Trapez dağılım - iki düzgün dağılımın evrişimi.
13.3 Normal dağılım gösteren rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı
Eğer 
,
X Ve e bağımsız ve yoğunluklarla normal olarak dağılmış
o zaman miktar 
Z aynı zamanda yoğunlukla normal olarak dağıtılacaktır
,
Bu gerçek, derleme integralinin (13.2.1) değiştirildikten sonra doğrudan entegrasyonuyla kanıtlanmıştır. 
Ve 
.
Daha genel bir ifade de doğrudur: eğer
, (13.3.1)
Nerede 
Ve B- sabitler ve X Ben
– ortalama değerleri olan bağımsız normal dağılımlı rastgele değişkenler 
ve varyanslar 
, O e ayrıca ortalama değerle normal olarak dağıtılacaktır
(13.3.2)
ve varyans
. (13.3.3)
Buradan, eğer bağımsız normal dağılımlı rastgele değişkenler toplanırsa, o zaman toplamın da matematiksel bir beklentiyle normal dağılıma sahip olacağı sonucu çıkar, miktara eşit terimlerin matematiksel beklentileri ve varyans, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir. Yani eğer
,
. (13.3.4)
14. Limit teoremleri
14.1 Büyük sayılar yasası kavramı.
Deneyimlerden, kitlesel olaylarda sonucun bireysel tezahürlere çok az bağlı olduğu bilinmektedir. Örneğin bir gazın kabın duvarlarına uyguladığı basınç, gaz moleküllerinin duvarlara çarpmasının sonucudur. Her darbenin güç ve yön açısından tamamen rastgele olmasına rağmen, ortaya çıkan basıncın pratikte deterministik olduğu ortaya çıkıyor. Aynı şey, vücut atomlarının ortalama kinetik hareket enerjisini belirleyen vücut sıcaklığı için de söylenebilir. Akım gücü, temel yüklerin (elektronların) hareketinin bir tezahürüdür. Her birinin kendine özgü özellikleri rastgele olay bu tür olayların kütlesinin ortalama sonuç üzerinde neredeyse hiçbir etkisi yoktur. Her bir olguda kaçınılmaz olan ortalamadan rastgele sapmalar karşılıklı olarak iptal edilir, dengelenir ve bir bütün olarak dengelenir. Bunun altında yatan şey, ortalamaların istikrarı olan bu gerçektir. kanun büyük sayılar: Çok sayıda rastgele olayla birlikte, ortalama sonuçları pratikte rastgele olmaktan çıkar ve yüksek derecede kesinlik ile tahmin edilebilir.
Olasılık teorisinde, büyük sayılar yasası, her biri belirli koşullar altında çok sayıda deneyin ortalama özelliklerinin sabit değerlere veya sınır dağılımlara yaklaştığı gerçeğini ortaya koyan bir dizi matematik teoremi olarak anlaşılır.
