Cebirsel çarpım A Ve B ile gösterilir AB ve şu şekilde tanımlanır:

xE  AB ( X) =  Bir ( X) B ( X).

Cebirsel toplam Bu kümelerin her biri aşağıdaki şekilde gösterilir ve tanımlanır:

xE =  bir ( X) +  B ( X)A ( X) B ( X).

(, ) işlemleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:

- değişebilirlik;

- ilişkisellik;

A = , A  = A, AE = A, A E = E

- De Morgan'ın teoremi.

Yerine getirilmedi:

İdempotens;

- dağıtıcılık;

ve ayrıca A = , A = E.

Yorum. İşlemlerin verilen özelliklerinin kanıtları bulanık kümeler okuyucuya bırakıyoruz.

Örneğin, şu özelliği kanıtlayalım: . Haydi belirtelim  bir ( X) başından sonuna kadar A ,  B ( X) başından sonuna kadar B . Daha sonra her öğe için sol tarafta X elimizde: 1- ab , ve sağda: (1- A )+(1-B )-(1-A )(1-B ) = 1-A +1-B- 1+A +a-ab = 1-ab . 

Dağıtılabilirlik özelliğinin geçerli olmadığını kanıtlayalım; A(B C)  (AB) (AC). Sol taraf için elimizde: A (B +c-bc ) = ab +ac-abc ; sağ için: ab +ac -(ab )(ac ) = ab +ac +A 2 M.Ö. . Bu, dağıtımın geçerli olmadığı anlamına gelir aa 2 . 

Yorum.Şu tarihte: paylaşım işlemlerinde (, ,,) aşağıdaki özellikler sağlanır:

A(BC) = (AB)(A  C);

A (BC) = (AB)(AC);

A (BC) = (A B)(A C);

A (BC)=(A B)(A C).

Bulanık kümelerdeki temel işlemleri incelemeye devam edelim.

Cebirsel çarpım işlemine dayalı (en azından tam sayılar için)  bu temel açıktır) operasyon belirlenir üs alma  bulanık küme A, Nerede  - pozitif sayı. Bulanık küme Aüyelik fonksiyonu tarafından belirlenir  Bir  =   Bir (x). Üs almanın özel bir durumu:

CON(A) = A 2- operasyon konsantrasyon,

DIL(A) = A 0,5- operasyon burkulmalar,

dilsel belirsizliklerle çalışırken kullanılır.

Bir sayıyla çarpmak. Eğer  - öyle pozitif bir sayı ki   bir ( X) 1, o zaman bulanık küme A bir üyelik işlevi vardır:

A( X) = A( X).

Bulanık kümelerin dışbükey birleşimi.İzin vermek A 1 , A 2 ,.., A n - evrensel kümenin bulanık kümeleri e, A  1 ,  2 , ...,  n - Negatif olmayan sayılar toplamı 1'dir.

Dışbükey kombinasyon A 1 , A 2 ,.., A n'ye bulanık küme denir Aüyelik fonksiyonu ile:

xE bir ( X 1 , X 1 ,..., X n) =  1  A1 ( X) +  2  A2 ( X) + ... +  n  Ai ( X).

Bulanık kümelerin kartezyen çarpımı.İzin vermek A 1 , A 2 , ..., A n - evrensel kümelerin bulanık alt kümeleri e 1 , e 2 , ..., e sırasıyla n. Kartezyen çarpım bir = bir 1 A 2  ... A n, kümenin bulanık bir alt kümesidir E = E 1 e 2 ...  e n üyelik fonksiyonu ile:

 bir ( X 1 ,X 1 , ...,X n) = dk(  A1 ( X 1),  A2 ( X 2) , ... ,  Ai ( X N) ).

Bulanık Büyütme Operatörü Kesin kümeleri bulanık kümelere dönüştürmek ve bulanık kümenin bulanıklığını arttırmak için kullanılır.

İzin vermek A- bulanık küme, e- herkes için evrensel set xE bulanık kümeler tanımlanır k( X) . Her şeyin bütünlüğü k( X) bulanık artan operatörün çekirdeği denir F. Operatörün eyleminin sonucu F bir bulanık kümeye A, aşağıdaki biçimde bir bulanık kümedir:

Ф(A, K) =  Bir ( X)K( X),

Nerede  bir ( X)K( X) - bir sayı ile bir bulanık kümenin çarpımı.

Örnek:

e = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

k(1) = 1/1+0,4/2;

k(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

k(3) = 1/3+0,5/4;

k(4) = 1/4.

F(A,K) = A(1) k(1) A(2)k(2) A(3)k(3)A(4)k(4) =

0,8(1/1+0,4/2)  0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

0,8/1+0,6/2+0,24/3.

-seviyesinin (veya ) net seti . Bir bulanık kümenin -düzey kümesi A evrensel set e isminde temizlemek alt küme A evrensel set e, şu şekilde tanımlanır:

A ={X / A(X )), burada 1.

Örnek: A= 0,2/x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 ,

Daha sonra 0,3 = {X 3 ,X 4 },

0,7 = {X 4 }.

Oldukça açık bir özellik: eğer  1  2 ise, o zaman A 1  A 2 .

Ayrışma teoremi. Herhangi bir bulanık küme Aşu şekilde seviye kümelerine ayrıştırılabilir:

A = A , Nerede A - bir sayının çarpımı  çoğu için A, Ve  Değer aralığını "geçer" M bulanık küme üyelik fonksiyonları A.

Örnek:A = 0,1/X 1 + 0/X 2 + 0,7/X 3 + 1/X 4 şu şekilde temsil edilebilir:

A = 0,1(1,0,1,1)  0,7(0,0,1,1,)  1(0,0,0,1)=

= (0,1/x 1 + 0/x 2 + 0,1/x 3 + 0,1/x 4) (0/x 1 + 0/x 2 + 0,7/x 3 + 0,7 /x 4)

(0/x 1 + 0/x 2 + 0/x 3 + 1/x 4) = 0,1/x 1 +0/x 2 +0,7/x 3 +1/x 4.

Üyelik fonksiyonunun etki alanı şunlardan oluşuyorsa: N derecelendirmeler  1   2   3  ...  n , sonra A(sabit derecelendirme değerleri ile) şu şekilde temsil edilebilir:

A =  Ben A ben,

onlar. sıradan kümelerin bir koleksiyonu tarafından belirlenir ( A 1 , A 2 , ..., Ai ), nerede A1  A2  , ...,  Ai.

7. Dilsel değişkenler. Dilsel değişken örnekleri. Terma kavramı. Terim sayısının belirlenmesi

Dilsel değişken- bulanık küme teorisinde, ifadelerin anlamını doğal veya doğal ifadelerden alabilen bir değişken yapay dil. Örneğin “hız” dilsel değişkeni “yüksek”, “orta”, “çok düşük” vb. değerlere sahip olabilir. Değişkenin değerini aldığı ifadeler ise bulanık değişkenlerin adlarıdır ve şu şekilde tanımlanır: bulanık bir küme.

Örnek: bulanık yaş

Bir kişinin yaşını tanımlayan dilsel bir değişkeni düşünün, o zaman:

x: "yaş";

X: aralıktaki tam sayılar kümesi;

T(x): “genç”, “olgun”, “yaşlı” anlamına gelir. T(x) kümesi - her bir değer için bir dizi bulanık değişken: "genç", "olgun", "yaşlı", hangi yaştaki insanların genç, olgun olarak kabul edilmesi gerektiğine ilişkin bilgileri belirten bir üyelik fonksiyonunun ayarlanması gerekir , eskimiş;

G: “çok”, “pek değil”. Bu tür eklemeler yeni anlamların oluşmasına olanak sağlar: “çok genç”, “çok yaşlı değil” vb.

M: matematik kuralı G kuralı kullanılarak oluşturulan her değer için üyelik fonksiyonunun türünü belirler.

Terim- ifade resmi dil(sistem), bir nesnenin resmi adı veya bir formun adıdır. Konsept Terma endüktif olarak belirlenir. Bir terim sembolik bir ifadedir: t(X1, X2,…, Xn), burada t, bir işlev veya “işlevsel harf” olarak adlandırılan terimin adıdır ve X1, X2,…, Xn, yapılandırılmış veya basit terimlerdir .

8. Bulanık ilişkiler ve özellikleri

Bulanık kümeler teorisinin temel kavramlarından biri bulanık ilişki kavramıdır. Bu ilişkiler, "neredeyse eşit" veya "çok daha fazla" gibi kesin olmayan ifadeleri resmileştirmemize olanak tanır. Bir bulanık ilişkinin ve bulanık ilişkilerin bir kombinasyonunun tanımını verelim.

Boş olmayan iki küme (kesin) arasındaki bulanık ilişkiye Kartezyen çarpımda tanımlanan bulanık küme adını vereceğiz.

Bulanık çıkarım, bulanık koşullara veya önermelere dayalı olarak bulanık sonuçlar elde etme sürecidir.

Bulanık bir nesne kontrol sistemi ile ilgili olarak, bulanık mantıksal çıkarım, nesnenin mevcut durumu hakkındaki bilgileri temsil eden bulanık koşullara veya öncüllere dayalı olarak bir nesnenin gerekli kontrolü hakkında bulanık sonuçların elde edilmesi sürecidir.

Mantıksal çıkarım aşamalar halinde gerçekleştirilir.

Bulanıklaştırma (bulanıklığın getirilmesi), bir bulanık çıkarım sisteminin girdi değişkeninin sayısal değeri ile dilsel değişkenin karşılık gelen teriminin üyelik fonksiyonunun değeri arasında bir yazışmanın kurulmasıdır. Bulanıklaştırma aşamasında tüm girdilerin değerleri sistem değişkenleri Bulanık çıkarım sisteminin dışında bir şekilde, örneğin istatistiksel veriler kullanılarak elde edilen bulanık çıktılar, karşılık gelen duruma getirilir. belirli değerler Bulanık çıkarım sisteminin bulanık üretim kurallarının temelini oluşturan bulanık üretim kurallarının çekirdeklerinin koşullarında (önceleri) kullanılan karşılık gelen dilsel terimlerin üyelik fonksiyonları. Bulanıklaştırma, tüm temel öğelerin doğruluk dereceleri (a) ise tamamlanmış kabul edilir. mantıksal ifadeler Bulanık üretim kurallarının öncülleri arasında yer alan “IS” biçimindeki belirli bir terimin bilinen fonksiyonüyelik µ(x), - temiz sayısal değer, dilsel bir değişkenin evrenine ait.

Bulanık algoritma kavramı ilk olarak L.A. tarafından ortaya atılmıştır. Zadeh yaklaşık analiz için önemli bir araçtır karmaşık sistemler ve karar verme süreçleri. Bir bulanık algoritma, formülasyonu bulanık talimatlar (terimler) içeren sıralı bir bulanık talimatlar (kurallar) kümesi olarak anlaşılmaktadır.

Ortaya çıkan bulanık kümeden, daha sonra problemin çözümü olarak kabul edilen tek bir net değere ()o geçişine durulaştırma adı verilir.

11. Mamdani algoritması ilk uygulama alanında bulundu bulanık sistemler otomatik kontrol. 1975 yılında İngiliz matematikçi E. Mamdani tarafından bir buhar motorunun kontrol edilmesi önerildi.

Bulanık çıkarım sisteminin kural tabanının oluşturulması, bulanık üretim kurallarının çekirdeklerinin öncüllerinin, bulanık üretim kurallarının çekirdeklerinin öncüllerinin oluşturulduğu "IF A THEN B" formundaki sıralı, üzerinde anlaşmaya varılan bulanık üretim kuralları listesi formunda gerçekleştirilir. Mantıksal bağlaçlar “VE” ve bulanık üretim kurallarının çekirdeklerinin sonuçları basittir.

Giriş değişkenlerinin bulanıklaştırılması yukarıda açıklanan şekilde gerçekleştirilir. genel durum bulanık çıkarım sisteminin inşası.

Bulanık üretim kurallarının alt koşullarının toplanması, iki temel ifade olan A, B'nin klasik bulanık mantıksal işlemi "VE" kullanılarak gerçekleştirilir: T(A ∩ B) = min( T(A);T(B) ) .

Bulanık üretim kurallarının alt sonuçlarının etkinleştirilmesi, minimum etkinleştirme yöntemiyle gerçekleştirilir μ (y) = min(c; μ (x) ) , burada μ (x) ve c sırasıyla dilsel değişkenlerin terimlerinin üyelik fonksiyonlarıdır. ve bulanık üretim kurallarının karşılık gelen sonuç (sonuç) çekirdeklerini oluşturan bulanık ifadelerin doğruluk derecesi.

Bulanık üretim kurallarının alt sonuçlarının toplanması klasik yöntem kullanılarak gerçekleştirilir. bulanık mantıküyelik fonksiyonlarının maksimum birliği ∀ x ∈ X μ A B x = max( μ A x ; μ B x ) .

Durulaştırma, ağırlık merkezi veya alan merkezi yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir.

12 Bulanık kurallara dayalı sistemleri uygulamak için birçok bulanık çıkarım algoritması geliştirilmiştir. Bulanık çıkarım algoritmaları temel olarak kullanılan kuralların türüne, mantıksal işlemlere ve durulaştırma yönteminin türüne göre farklılık gösterir. Mamdani, Sugeno, Larsen, Tsukamoto bulanık çıkarım modelleri geliştirilmiştir.

Örneğin bulanık çıkarım kuralları şu şekilde verilmektedir:

P1: x A ise w D'dir, P2: y B ise w E'dir, P3: z C ise w F'dir,

burada x, y, z – giriş değişkenlerinin adları (açık format);

w – çıktı değişkeni adı;

A, B, C, D, E, F – belirtilen işlevler aksesuarlar.

FAT teoremi B. Kosko: Herhangi bir klasik matematiğe bulanık matematik yoluyla yaklaşılabilir. Onlar. Belirli bir para biriminin döviz kuru dalgalanma fonksiyonuna mümkün olduğu kadar yakın bir şekilde yaklaşan bulanık bir sistem oluşturmak mümkündür.

ES'deki açıklama sisteminin temel avantajları.

1) Açıklamalar kullanıcının sorunlarını çözmek için sistemi kullanmasına yardımcı olur,

2) ES, net algoritmaların olmadığı, zayıf biçimlendirilmiş alanlarda kullanıldığından, açıklamalar kullanıcının elde edilen sonuçların doğruluğuna ikna olmasını sağlar ve ES'ye olan güven derecesini arttırır,

3) Kullanıcı eğitimine hizmet etmek,

4) ES bilgi tabanında hata ayıklamaya hizmet edin

ES'deki açıklama sisteminin ana dezavantajları.

1) Açıklama talepleri tek şekilde yorumlanır dar anlamda(NEDEN ve NASIL soruları yalnızca amaç ve kurallar çerçevesinde yorumlanır),

2) Sistemin tüm eylemleri açıklanamaz (örneğin, neden bir hipotezin ilk önce test edildiği ve sonra başka biri),

3) Açıklamalar aslında programın yürütme yoluna dayanmaktadır, dolayısıyla yorumlayıcıyı değiştirirken açıklama sistemini de değiştirmek gerekir.

Risklerin dikkatli bir şekilde değerlendirilmesi ve dikkate alınması, her şirketin başarısının ayrılmaz bir parçası ve önemli bir bileşeni haline gelmiştir. Ancak şirketler giderek daha fazla belirsizlik koşullarında karar vermek zorunda kalıyor, bu da öngörülemeyen sonuçlara ve buna bağlı olarak istenmeyen sonuçlara ve kayıplara yol açabiliyor. Özellikle ciddi sonuçlar doğurabilir yanlış kararlar Genellikle yatırım projelerini değerlendirirken ima edilen uzun vadeli yatırımlarla ilgili. Bu nedenle riskin zamanında tanımlanmasının yanı sıra yeterli ve en doğru şekilde değerlendirilmesi de risklerin değerlendirilmesinden biridir. acil sorunlar modern yatırım analizi.

Ne yazık ki, mevcut muhasebe ve risk değerlendirme yöntemleri subjektiflikten ve önemli önkoşullardan yoksun değildir ve bu da proje riskinin yanlış değerlendirilmesine yol açmaktadır. Bulanık mantık teorisi, risk değerlendirmesine yönelik yeni ve dinamik olarak gelişen bir yaklaşımdır. İÇİNDE son zamanlarda Bulanık modelleme en aktif ve gelecek vaat eden alanlardan biridir uygulamalı araştırma Yönetim ve Karar Verme alanında.

Bu çalışma şunları sunar:

Risk ve belirsizliğin tanımı,

Risk analizinde yeni yaklaşımların kullanılması ihtiyacının gerekçelendirilmesi,

kısa açıklama bulanık mantık yöntemi,

bulanık mantık uygulama örnekleri

Sinir ağlarının çözdüğü problemler çok çeşitlidir. Bu yöntemin tıp, finansal yönetim ve siyaset bilimi gibi alanlarda uygulama bulması şaşırtıcı değildir. Genel olarak, YSA kullanılarak çözülen problemlerin büyük kısmını çeşitli problem kategorilerine indirgeyebiliriz.

Sınıflandırma. Sinir ağının görevi, nesneleri önceden belirlenmiş, birbiriyle örtüşmeyen çeşitli sınıflara dağıtmaktır.

İÇİNDE siyaset bilimi Sinir ağı yöntemi, özellikle olay analizinde sınıflandırma problemlerini çözmek için kullanılır. Barışçıl bir çözüme yol açan çatışma olay dizileri sınıfı ve askeri çatışmaya yol açan çatışma olay dizileri sınıfı önceden belirlenir

Yapay nöron (matematiksel McCulloch-Pitts nöronu, resmi nöron), yapay sinir ağının bir düğümüdür; basitleştirilmiş model doğal nöron. Matematiksel olarak, bir yapay nöron genellikle tek bir argümanın doğrusal olmayan bir fonksiyonu (tüm giriş sinyallerinin doğrusal bir kombinasyonu) olarak temsil edilir. Bu fonksiyona aktivasyon fonksiyonu veya tetikleme fonksiyonu denir. transfer fonksiyonu. Ortaya çıkan sonuç tek bir çıktıya gönderilir. Çok yapay nöronlar ağlarda birleşin - bazı nöronların çıktılarını diğerlerinin girdilerine bağlayın. Yapay nöronlar ve ağlar ideal bir nörobilgisayarın ana unsurlarıdır

18. Aktivasyon fonksiyonu (aktivasyon fonksiyonu, uyarma fonksiyonu) – yapay bir nöronun çıkış sinyalini hesaplayan bir fonksiyon. Bir argüman olarak, giriş toplayıcı Sigma'nın çıkışında alınan Y sinyalini alır. En sık kullanılanlar aşağıdaki işlevler aktivasyon.

1. Tek atlama veya sert eşik işlevi

Basit bir parçalı doğrusal fonksiyon. Giriş değeri eşikten küçükse, aktivasyon fonksiyonunun değeri izin verilen minimum değere, aksi takdirde izin verilen maksimum değere eşittir.

Etkinleştirme işlevi. Sert eşik fonksiyonu

2. Doğrusal eşik veya histerezis

Basit parçalı doğrusal fonksiyon. Aktivasyon fonksiyonunun izin verilen minimum ve maksimum değere aynı şekilde eşit olduğu iki doğrusal bölüme sahiptir. kabul edilebilir değer ve fonksiyonun kesinlikle monoton olarak arttığı bir bölüm var.

Etkinleştirme işlevi. Doğrusal eşik

3. Sigmoid işlevi veya sigmoid

Doygunluk ile her yerde monoton artan türevlenebilir S-şekilli doğrusal olmayan fonksiyon. Sigmoid, zayıf sinyalleri güçlendirmenize ve güçlü sinyallere doymamanıza olanak tanır. Grossberg (1973) böyle doğrusal olmayan bir aktivasyon fonksiyonunun gürültü doygunluğu ikilemini çözdüğünü buldu.

Yapay sinir ağı (YSA), biyolojik sinir ağlarının - ağların organizasyonu ve işleyişi ilkesine dayanan bir matematiksel modelin yanı sıra yazılım veya donanım uygulamasıdır. sinir hücreleri yaşayan organizma. Bu kavram beyinde meydana gelen süreçleri incelerken ve bu süreçleri modellemeye çalışırken ortaya çıktı. Bu türden ilk girişim W. McCulloch ve W. Pitts'in sinir ağlarıydı. Öğrenme algoritmalarının geliştirilmesinden sonra ortaya çıkan modeller eğitimde kullanılmaya başlandı. pratik amaçlar: tahmin problemlerinde, örüntü tanımada, kontrol problemlerinde vb.

YSA (Yapay Sinir Ağı), yapay nöronların düğüm olduğu, ağırlıklı bağlantılara sahip yönlendirilmiş bir grafik olarak düşünülebilir. Bağlantı mimarisine bağlı olarak YSA'lar iki sınıfa ayrılabilir: grafiklerin döngü içermediği ileri beslemeli ağlar ve tekrarlayan ağlar veya geri besleme bağlantılı ağlar. Çok katmanlı algılayıcılar olarak adlandırılan birinci sınıf ağların en yaygın ailesinde, nöronlar katmanlar halinde düzenlenir ve katmanlar arasında tek yönlü bağlantılara sahiptir. Şekil her sınıfın tipik ağlarını göstermektedir. İleri beslemeli ağlar, belirli bir girdi için ağın önceki durumundan bağımsız bir dizi çıktı değeri üretmeleri anlamında statiktir. Tekrarlanan ağlar dinamiktir çünkü geri bildirim nöronların girdileri içlerinde değiştirilir ve bu da ağın durumunda bir değişikliğe yol açar. 22

23. algılayıcı - algı sürecinin matematiksel bir modeli (Bkz. Algı). Yeni fenomen veya nesnelerle karşılaştığında kişi onları tanır, yani onları şu veya bu kavramla (sınıf) ilişkilendirir. Böylece tanıdıklarımızı kolaylıkla tanırız, saçlarını veya kıyafetlerini değiştirmiş olsalar bile, el yazılarını okuyabiliriz, her el yazısının kendine has özellikleri olmasına rağmen, bir melodiyi farklı bir düzenlemede tanırız vb. Bu insan yeteneğine algı olgusu denir. Bir kişi deneyime dayanarak yeni kavramlar geliştirebilir ve öğrenebilir. yeni sistem sınıflandırmalar. Örneğin el yazısı işaretleri ayırt etmeyi öğrenirken öğrenciye el yazısı işaretler gösterilerek bunların hangi harflere karşılık geldiği yani bu işaretlerin hangi sınıfa ait olduğu söylenir; Sonuç olarak işaretleri doğru şekilde sınıflandırma yeteneğini geliştirir.

Her bir hücreye düğüm veya algılayıcı denir:

sinir ağı Giriş ve çıkış arasında bir düğüm katmanından oluşan, tek katmanlı bir algılayıcıdır: ve birkaç katmandan oluşan bir ağ, çok katmanlı bir algılayıcıdır:

Çok katmanlı bir algılayıcının tek katmanlı olandan daha verimli olduğu doğrudur

Eğitim, bir sinir ağının serbest parametrelerinin, ağın gömülü olduğu ortamı simüle ederek ayarlandığı bir süreçtir. Antrenman tipi bu parametrelerin ayarlanma şekline göre belirlenir.

Sinir ağı öğrenme sürecinin bu tanımı, aşağıdaki olay dizisini varsayar:

Sinir ağı dış ortamdan uyarı alır.

Birinci noktanın sonucunda sinir ağının serbest parametreleri değiştirilmektedir.

Değişiklikten sonra iç yapı sinir ağı uyarılara farklı bir şekilde yanıt verir.

Bir sinir ağını eğitme problemini çözmek için yukarıdaki açık kurallar listesine öğrenme algoritması denir. Tüm sinir ağı mimarilerine uygun evrensel bir öğrenme algoritmasının olmadığını tahmin etmek kolaydır. Yalnızca çeşitli öğrenme algoritmaları tarafından temsil edilen ve her birinin kendine göre avantajları olan bir dizi araç vardır. Öğrenme algoritmaları, nöronların sinaptik ağırlıklarını ayarlama açısından birbirlerinden farklılık gösterir. Bir tane daha ayırt edici özellik eğitimli bir sinir ağını dış dünyaya bağlamanın bir yoludur. Bu bağlamda, belirli bir sinir ağının çalıştığı ortamın modeliyle ilişkili bir öğrenme paradigmasından bahsediyoruz.

Bir sinir ağının denetimli eğitimi, eğitim setindeki her giriş vektörü için, hedef olarak adlandırılan, çıkış vektörünün gerekli bir değerinin bulunduğunu varsayar. Bu vektörler bir eğitim çifti oluşturur. Ağ ağırlıkları, her giriş vektörü için çıkış vektörünün hedeften kabul edilebilir bir sapma düzeyi elde edilene kadar değiştirilir.

Bir sinir ağının denetimsiz öğrenmesi, şu açıdan çok daha makul bir öğrenme modelidir: biyolojik kökler yapay sinir ağları. Eğitim seti yalnızca girdi vektörlerinden oluşur. Sinir ağı eğitim algoritması, tutarlı çıktı vektörleri elde edilecek şekilde ağ ağırlıklarını ayarlar; böylece yeterince yakın girdi vektörlerinin sunumu aynı çıktıları verir.

X vektörlerinin, X girdilerinin özellik uzayından çıktı uzayı Y'nin Y vektörlerine F:X®Y dönüşümünü gerçekleştiren bir sinir ağı olsun. Ağ, W durum uzayından W durumundadır. bir eğitim örneği (Xa,Ya), a = 1 ..p. Ağın W durumunda yaptığı toplam E hatasını düşünün.

Tam hatanın iki özelliğine dikkat edelim. İlk olarak, E=E(W) hatası durum uzayında tanımlanan W durumunun bir fonksiyonudur. Tanım gereği negatif olmayan değerler alır. İkinci olarak, ağın eğitim setinde hata yapmadığı bazı eğitilmiş W* durumlarında, bu fonksiyon sıfır değer alır. Sonuç olarak, eğitilmiş durumlar, tanıtılan E(W) fonksiyonunun minimum noktalarıdır.

Bulanık kümelerde gerçekleştirilebilecek temel işlemlerden bazıları şunlardır.

1. Ek bulanık küme A sembolüyle gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır:

(5.15)

Toplama işlemi mantıksal olumsuzlamaya karşılık gelir. Örneğin, eğer A bulanık kümenin adıdır, o halde "A değil"(aşağıdaki örneğe bakınız) olarak anlaşılmaktadır.

2. Dernek bulanık kümeler A Ve İÇİNDE ile gösterilir A+B(veya AÈB) ve belirlenir :

(5.16)

Birlik mantıksal bağa karşılık gelir " veya" Örneğin, eğer A Ve İÇİNDE– bulanık kümelerin adları, ardından “ girişi A veya B"şöyle anlaşılıyor A+B.

sen Daha itibaren .

Yorum: mantıksal bağıntı akılda tutulmalıdır. Ú bu bağlamda tanım gereği maksimum (yani); Ù min (yani ) anlamına gelir.

3. Kavşak A Ve İÇİNDE belirlenmiş AÇB ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

(5.17)

Kesişme mantıksal bağlayıcıya karşılık gelir " sen"yani .

A ve B=AÇB(5.18)

Elemanların üyelik derecesi belirlenirken sen yeni bulanık küme, seç daha küçük(yukarıdaki nota bakın).

4. Ürün A Ve İÇİNDE ile gösterilir AB ve formülle belirlenir

(5.19)

Eğer (5.20)

Örnek 5.5. Eğer

U=1+2+…+10

A=0,8/3+1/5+0,6/6 (5.21)

B=0,7/3+1/4+0,5/6,

O ØА=1/1+1/2+0,2/3+1/4+0,4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

A+B=0,8/3+1/4+1/5+0,6/6

AÇB=0,7/3+0,5/6 (m'nin iki değerinden min alınmıştır)(5.22)

AB=0,56/3+0,3/6

0,4A=0,32/3+0,4/5+0,24/6

5. Kartezyen çarpım bulanık kümeler A 1, …, A n evrensel setleri U 1 ,…, U n buna göre belirtildi A 1'…'A n ve kümenin bulanık bir alt kümesi olarak tanımlanır U 1 ´…´U nüyelik fonksiyonuna sahiptir.

Örnek 5.6. Eğer

U 1 =U 2 =3+5+7

A 1 =0,5/3+1/5+0,6/7

A 2 =1/3+0,6/5 ise

A 1 `A 2 =0,5/3,3+1/5,3+0,6/7,6+0,5/3,5+0,6/5,5+0,6/7,5

Bulanık ilişkiler.

Bulanık tutum R: X®Y bulanık bir Kartezyen çarpım kümesini temsil eder X'Y. R iki değişkenin üyelik fonksiyonu kullanılarak şu şekilde tanımlanır:

(5.25)

X'Y kümesindeki bulanık bir ilişki çiftlerden oluşan bir koleksiyondur

(5.26)

Nerede - bulanık bir ilişkinin üyelik fonksiyonu R Bulanık kümenin üyelik fonksiyonu ile aynı anlama sahiptir.

Hiç N- Arary ilişki Kartezyen çarpımın bulanık bir alt kümesidir X 1'X 2'…'X n, Ve

(5.27)

Bulanık ilişkilere örnekler:

« X yaklaşık olarak eşit e»,

« Xçok daha fazlası e»,

« Aönemli ölçüde tercih edilir İÇİNDE».

Örnek 5.7. Diyelim ki X=(Yuri, Sergey), Y=(Maksim, Mikhail).

Daha sonra X ve Y kümelerinin elemanları arasındaki "benzerliğin" ikili bulanık ilişkisi şu şekilde yazılabilir:

benzerlik=0,8/(Yuri, Maxim)+0,6/(Yuri, Mikhail)+0,2/(Sergei, Maxim)+0,9/(Sergei, Mikhail).

Bunun yanı sıra, bu tutumşeklinde temsil edilebilir ilişki matrisleri.

(5.28)

hangisinde (i,j)- inci eleman fonksiyon değerine eşittir Ben-inci değer X ve j'inci değer sen.

Eğer R- davranış X®Y(veya aynı şey olan ilişki X'Y), A S- davranış Y®Z, ardından kompozisyon R Ve S bulanık bir ilişkidir X®Z, belirtilen R°S ve formülle tanımlanır

nerede ° kompozisyon işareti, işaretler Ú Ve Ù buna göre belirtmek maksimum Ve dk., Vy – üst kenar değer aralığına göre en.

Burada (5.29) ilişkilerin bileşimi.

İfade (5.29) maksimum minimum çarpımı belirler R Ve S.

Evet, için gerçek sayılar A Ve B:

(5.30)

(5.31)

Eğer X,Y,Z – sonlu kümeler, daha sonra ilişki matrisi R°S ilişki matrislerinin maksimum minimum ürünüdür R Ve S. Matrislerin maxmin çarpımında toplama ve çarpma işlemi yerine işlemler kullanılır Ú Ve Ù sırasıyla.

Bir maxmin çarpımı örneği

(5.32)

Burada satır sayısı sütun sayısına eşit olmalıdır. Satır sütunla çarpılır ve alınır maksimum değer itibaren minimum değerler buhar.

Mantıksal işlemler

Açılıyor.İzin vermek A Ve İÇİNDE- evrensel kümedeki bulanık kümeler E. Bunu söylüyorlar A içinde bulunan İÇİNDE, Eğer

Tanım: A⊂ İÇİNDE.

Bazen terim kullanılır hakimiyet, onlar. durumunda A⊂ İÇİNDE,öyle diyorlar İÇİNDE hakim A.

Eşitlik. A ve B eşit ise

Tanım: A = B.

Ek.İzin vermek M = , A Ve İÇİNDE– üzerinde tanımlanan bulanık kümeler E. A Ve İÇİNDE eğer birbirini tamamlıyorsa

Tanım:

Açıkça görülüyor ki (ek olarak tanımlanmış M= , ancak herhangi bir sıralı için tanımlanabileceği açıktır. M).

Kavşak. A⋂ İÇİNDE- eş zamanlı olarak bulunan en büyük bulanık alt küme A Ve İÇİNDE:

Dernek.A∪İÇİNDE- her ikisini de içeren en küçük bulanık alt küme A, yani ve İÇİNDE,üyelik fonksiyonu ile:

Fark. üyelik fonksiyonu ile:

Ayırıcı toplam

A ⊕ İÇİNDE = (A - B) ∪ (B-A) = (A ⋂ ̅ B) ∪ ( ̅A ⋂ B )

üyelik fonksiyonu ile:

Örnekler. İzin vermek

Burada:

1) Bir ⊂ İÇİNDE, yani A, içinde bulunur B veya B hakim A; İLE kıyaslanamayacak kadar ikisi de A, ne de İÇİNDE, onlar. çiftler ( A, C) Ve ( A, C) - baskın olmayan bulanık küme çiftleri.

2) A≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 1/X 3 + 0/X 4 ; ̅B = 0,3/X 1 + 0,1/X 2 + 0,9/X 3 +0/X 4 .

4) A⋂ B = 0,4/X 1 + 0,2/X 2 + 0/X 3 + 1 /X 4 .

5) A∪ İÇİNDE= 0,7/ x 1+ 0,9/X 2 + 0,1/X 3 + 1/X 4 .

6) A - B= A⋂̅B = 0,3/X 1 + 0,l/ X 2 + 0/X 3 + 0/X 4 ;

İÇİNDE- A=̅A⋂ İÇİNDE= 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,l/ X 3 + 0/X 4 .

7) A⊕ B = 0,6/X 1 + 0,8/X 2 + 0,1/X 3 + 0/X 4 .

Bulanık kümelerdeki mantıksal işlemlerin görsel temsili. Bulanık kümeler için aşağıdakileri oluşturmak mümkündür: görsel temsil. Ordinat ekseninde değerlerin çizildiği dikdörtgen bir koordinat sistemini ele alalım. μ Bir (x), elemanlar apsis ekseninde rastgele sırayla yerleştirilmiştir e(Bu temsili bulanık küme örneklerinde zaten kullandık). Eğer e Doğası gereği sıralıysa, elemanların x ekseni üzerindeki düzeninde bu sıranın korunması arzu edilir. Bu gösterim, bulanık kümeler üzerindeki basit mantıksal işlemleri netleştirir (bkz. Şekil 1.3).

Pirinç. 1.3. Mantıksal işlemlerin grafiksel yorumu: α - bulanık küme A; B- bulanık küme ̅A, içinde - A⋂A; G- A∪ A

Şek. 1.3α gölgeli kısım bulanık kümeye karşılık gelir A ve daha kesin olmak gerekirse, değer aralığını gösterir A ve içerdiği tüm bulanık kümeler A.Şek. 1.3 B, c, d verilen ̅ bir, bir ⋂ ̅ A, A sen A.

Operasyon Özellikleri ∪ Ve ⋂

İzin vermek A, B, C- bulanık kümeler varsa aşağıdaki özellikler sağlanır:

Genel olarak bulanık kümeler için, keskin kümelerin aksine

dava:

A⋂̅A ≠∅, A∪ ̅A ≠ E

(özellikle yukarıda bulanık kümelerin görsel temsili örneğinde gösterilmiştir).

Yorum . Yukarıda bulanık kümeler üzerinde tanıtılan işlemler, maksimum ve minimum işlemlerinin kullanımına dayanmaktadır. Bulanık kümeler teorisinde, karşılık gelen "ve", "veya", "değil" bağlaçlarının çeşitli anlamsal tonlarının dikkate alınmasına olanak tanıyan genelleştirilmiş, parametreli kesişim, birleştirme ve toplama operatörlerinin oluşturulması konuları geliştirilmiştir.

Kavşak ve birleşim operatörlerine yönelik bir yaklaşım, bunları aşağıdaki şekilde tanımlamaktır: üçgensel normlar ve konormlar sınıfı.

Üçgen normu(T- norm) iki basamaklı gerçek fonksiyon olarak adlandırılır T: x → , aşağıdaki koşulları karşılıyor:

Üçgen norm örnekleri

dk( μ bir, μB)

iş μ bir· μB

maksimum(0, μ bir+ μB- 1 ).

Üçgen konorma(T-conorma) iki basamaklı gerçek fonksiyon olarak adlandırılır S: x → özelliklerle:

ÖrneklerT-uyumluluk

maksimum( μ bir, μB)

μ bir+ μB- μ bir· μB

dk(1, μ bir+ μB).

Bulanık kümelerde cebirsel işlemler

Cebirsel çarpım A Ve İÇİNDE ile gösterilir A· İÇİNDE ve şu şekilde tanımlanır:

Cebirsel toplam bu kümelerin gösterilir A+B ve şu şekilde tanımlanır:

(-, +) işlemleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:

Yerine getirilmedi:

Yorum.(U, ⋂, +, ) işlemleri birlikte kullanıldığında aşağıdaki özellikler sağlanır:

Cebirsel çarpım işlemine dayanarak işlem tanımlanır üs alma α bulanık küme A, Nerede α - pozitif sayı. Bulanık küme bir αüyelik fonksiyonu tarafından belirlenir μ α A = μ α A ( X). Üs almanın özel bir durumu:

1) CON( A) = bir 2- operasyon konsantrasyon (mühürler);

2) DİL( A) = 0,5- operasyon burkulmalar,

dilsel belirsizliklerle çalışırken kullanılır (Şekil 1.4).

Pirinç. 1.4. Konsantrasyon (sıkıştırma) ve germe işlemleri kavramının gösterimi

Bir sayıyla çarpmak. Eğer α - öyle pozitif bir sayı ki, daha sonra bulanık kümeαAbir üyelik işlevi vardır:

μ αA (x) = αμA(X).

Bulanık kümelerin dışbükey birleşimi.İzin vermek A 1 , A 2 ,..., AN- evrensel kümenin bulanık kümeleri E, A ω 1 , ω 2 , …, ωN- toplamı 1'e eşit olan negatif olmayan sayılar.

Dışbükey kombinasyon A 1 , A 2 , ..., AN bulanık küme denir Aüyelik fonksiyonu ile:

Kartezyen(doğrudan) bulanık kümelerin çarpımı.İzin vermek A 1 , A 2 , ..., AN- evrensel kümelerin bulanık altkümeleri E 1, E 2,…, eN sırasıyla. Kartezyen veya doğrudan ürün A = 1 X bir 2 x... x AN kümenin bulanık bir alt kümesidir e = E 1 X E 2 x... x eNüyelik fonksiyonu ile:

Bulanık Büyütme Operatörü Kesin kümeleri bulanık kümelere dönüştürmek ve bulanık kümenin bulanıklığını arttırmak için kullanılır.

İzin vermek A- bulanık küme, e- herkes için evrensel set Xϵ e bulanık kümeler tanımlanır K(x). Her şeyin bütünlüğü k(x) artan bulanıklık Ф operatörünün çekirdeği olarak adlandırılır. Ф operatörünün bir bulanık küme üzerindeki eyleminin sonucu. A formun bulanık bir kümesidir

Nerede μ A (x) K (x)- bir sayı ile bir bulanık kümenin çarpımı.

Örnek . İzin vermek

E =(1,2,3,4); bir = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4; İLE(1)= 1/1 + 0,4/2;

İLE(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; İLE(3) = 1/3 + 0,5/4; İLE(4)= 1/4.

Daha sonra

α düzeyinde gevrek seti(veya seviye a). Bir bulanık kümenin α-düzey kümesi A evrensel set e isminde temizlemek alt küme bir α evrensel set E, olarak tanımlandı

bir a ={ X/μ A(X) ≥ α },

Nerede α ≤ 1.

Örnek.İzin vermek bir = 0,2/X 1 + 0/X 2 + 0,5/X 3 + 1/X 4 o zaman A 0,3 = { X 3 , X 4 } , A 0,7 = {x 4} .

Oldukça açık bir özellik: if a 1≥ 2 ise bir α1≤ Ve α2.

"Bulanık mantık" terimi

Kurucu

Örnek

Bulanık mantık uygulama örnekleri:

Bulanık küme

Bulanık küme yazma örnekleri

Bulanık küme örneği

Bulanık kümelerin temel özellikleri

Dil değişkeni "Yaş"

Bulanık kümelerin özellikleri

Üyelik fonksiyonunu belirleme yöntemleri

L-R bulanık sayılar

Bulanık kümelerdeki işlemler

Örnek

Dilsel kavramların güçlendirilmesi veya zayıflatılması

Örnek

Üçgen normları ve uygunlukları

Üçgen normların ve uygunlukların uygulanmasına bir örnek

Bulanık ilişkiler.

Bulanık ilişki örneği

Örnek gösterim 1

Örnek görünüm 2

Pazar-Ürün Modeli

Bulanık ilişkiler üzerinde işlemler

Bulanık ilişkiler üzerinde işlemler

Bulanık ilişkileri birleştirmeye bir örnek

Bulanık ilişkilerin kesişimine örnek

Şarkı örnekleri

Şarkı örnekleri

İki bulanık ilişkinin bileşimi

Eğitim için adayların seçimi

Bulanık ve dilsel değişkenler. Bulanık sayılar

Bulanık değişkenin tanımı