Eşit fazlı noktalar kümesine dik olan doğruya denir. Paralel olmayan doğruların kesişme noktası

Genel denklemlerle tanımlanan çizgiler: ve

Verilen doğrular paraleldir ancak ve ancak

Düzlemde şu şekilde verilen düz çizgiler:
Ve
yalnızca şu durumlarda diktir
(saatte
). Bu çizgiler ancak ve ancak eğimleri eşitse paraleldir;

Kanonik denklemleriyle tanımlanan çizgiler:
Ve
karşılıklı olarak dik ancak ve ancak şu durumlarda
Aşağıdaki koşul karşılanırsa bu çizgiler paraleldir:

2.7. Paralel olmayan doğruların kesişme noktası

Bir düzlem üzerinde iki doğru verilmişse:
Ve
, daha sonra ifade 2 koordinatlarına göre
bu çizgilerin kesişme noktaları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

Ders 10. Uzayda çizgi

Bir doğrunun genel denklemi

yön vektörü düz

Çizginin kanonik denklemi

Bir doğrunun parametrik denklemleri

Verilen 2 noktadan geçen doğrunun denklemi

Ve aynı düzlemde yatmak

Uzayda düz çizgi ve düzlem

L- düzlemde yatıyor

3.
Eğer

Ders 11. İkinci Dereceden Eğriler

İkinci dereceden bir eğri, aşağıdaki denklemle belirtilen noktaların geometrik yeridir: . Bu eğrinin türüne bağlı olarak denklem, sınıflardan birine ait bir eğri tanımlayarak kanonik olanlardan birine indirgenebilir.

İkinci dereceden eğrilerin sınıflandırılması

Dejenere Olmayan Dejenere

Hiperbol

Parabol

Nokta (0;0)

Kesişen çizgi çifti

Bir çift çakışan çizgi

Bir çift paralel çizgi

Kanonik denklem

Kanonik denklem
veya

Kanonik denklem

Bir eğrinin yozlaşmasının işareti: denklem iki faktörün ürünü olarak temsil edilebilir.

Kanonik denklem tarafından verilen ikinci dereceden eğri
, elips olarak adlandırılır. A, B – elipsin yarı eksenleri. Eğer
, O A- yarı ana eksen, B- küçük eksen.

Kanonik denklemle verilen bir elipsin oluşturulması
. Elipsin denklemi şu şekilde olsun
. Çizgileri oluşturalımx= 6 ve y= 3 . A Bu doğruların koordinat eksenleriyle kesişme noktaları elipse aittir. Bunları düzgün bir eğri ile birleştirelim ve istenilen grafiği elde edelim. Genellikle bir elips, elipsin odak noktalarına olan mesafelerin toplamının sabit bir değer olduğu ve 2'ye eşit olduğu noktaların yeri olarak tanımlanır.
. Elips denklemindeki odak koordinatları formüller kullanılarak bulunur
denklemde ise
. Eğer
(elips dikey olarak yönlendirilmiştir).

Bir elipsin optik özelliği, elipsin bir odağına bir nokta ışık kaynağı yerleştirilirse, görüntüsünün diğer odakta görünmesidir.

Bir elipsin eksantrikliği, uzama derecesidir - elipsin merkezinden odak noktasına olan mesafenin, formülle hesaplanan yarı ana eksenine oranı . Bir elips için genel durum>1, eğer  ise elips bir daireye dönüşür. Denklemin verdiği bir elips için
tuhaflık
ve odaklar noktalardadır
.

Çevre – özel durum denklem tarafından verilen elips
, Nerede R– dairenin yarıçapı. Çember 0'a sahiptir ve odakları merkezle (başlangıç noktası) çakışmaktadır.

Hiperbol

Hiperbol - kanonik denklemle tanımlanan bir eğri
veya
.A, B hiperbolün yarı eksenleridir. Denklemde yanında “+” işareti bulunan yarı eksene reel denir. Doğrudan
- bir hiperbolün asimptotları (grafik onlara yönelir, ancak onlara asla ulaşmaz).

Bir hiperbolün inşası

Bir hiperbolün inşası, denklem tarafından verilen uzunluktaki bir segmentin Öküz ekseni boyunca biriktirilmesiyle başlıyoruz A birimler ve Oy ekseni boyunca - uzunluk B birimler. Düz çizgiler oluşturmak
Ve
. Hiperbol, ortaya çıkan dikdörtgene iki noktada değecek
. Düz çizgiler çizelim
- bir hiperbolün asimptotları. Eğrinin şeklini daha doğru belirlemek için birkaç nokta daha alalım (ne kadar çok nokta olursa o kadar iyi). Eğrinin türü (örneğin denklemde verilen hiperbol alınır)
) şekilde gösterilmektedir. Denklem hiperboller içeriyorsa
x ve y'nin işaretlerini değiştirirsek eşlenik hiperbolünü elde ederiz
, aynı asimptotlara sahiptir.

Tıpkı bir elips gibi hiperbol de odak noktalarına olan uzaklıkları sabit olan noktaların yeri olarak tanımlanabilir. Bir hiperbolün odaklarının koordinatları vardır
, Nerede
(değerler A, B hiperbol denkleminden alınmıştır). Belirli bir hiperbolün eşleniği noktalarda odaklara sahip olacaktır
.

Bir hiperbolün optik özelliği, eğer bir ışık kaynağı hiperbolün bir odağına yerleştirilirse, sonsuzdaki bir noktadan sanki ikinci odaktaymış gibi görülebilmesidir.

Bir hiperbolün dışmerkezliği onun uzama derecesidir. Denklemde verilen bir hiperbol için (genel durumda >1)
tuhaflık
ve odaklar noktalardadır
.

Parabol

Bir parabol, formun kanonik bir denklemiyle tanımlanan ikinci dereceden bir eğridir.
veya
, Nerede P– parabolün parametresi. Denklemin türüne ve parametrenin değerine bağlı olarak parabolün dalları şu şekilde yönlendirilebilir:

Parabol, bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların yeri olarak tanımlanabilir.
- odaklanın - ve yönlendirin
- müdürler.

Bir parabolün optik özelliği, parabolün odağına bir nokta ışık kaynağı yerleştirilirse, ondan paralel bir ışın demetinin ortaya çıkmasıdır.

İkinci dereceden eğrilerin denklemlerinin kanonik forma indirgenmesi.

Eğrinin genel denklemi şudur ve (hesaplamaları basitleştirmek için) B = 0'ı kabul ediyoruz. Denklemi dönüştürmek için iki yöntem vardır genel görünüm kanonik olarak:

Tam bir kare seçme

Değişken değiştirme

Bu denklem için aşağıdaki formda bir değişiklik yapmak uygundur:

, Nerede X’ Ve sen’ – yeni değişkenler.

A ve C 0'a eşit değilse, o zaman
- yeni merkez ikinci dereceden eğri ve X’ Ve sen’ - yeni akslar.

1. Denklemde ikinci dereceden bir eğri verilmiştir.
. Neye karşılık geldiğini öğrenin.

Bu denklem, kanonik bir denkleme sahip, merkezi kaydırılmış bir daireye karşılık gelir; burada ( X 0 ;sen 0) dairenin merkezinin koordinatlarıdır ve R, yarıçapıdır. Seçim yöntemini kullanalım tam kare Denklemin kanonik formunu bulmak için

Yani bu denklem yarıçapı 2 birim olan bir daireye karşılık gelir. merkezi (2;0) noktasındadır.

Denklemi azaltın kanonik form ve eğriyi çizin:

Değişken değiştirme yöntemini kullanalım. Sahibiz:

Sonuç, merkezi (1;-2) noktasında olan bir elipsin kanonik denklemidir. Yukarıda açıklanan algoritmaya göre inşa ediyoruz.

Tam bir kareyi izole etme ve bir değişkeni değiştirme yöntemini kullanıyoruz.

Sonuç, merkezi (-2;2) olan bir parabolün denklemidir.

Şu ana kadar yaptığımız geometrik optik ve ışık ışınlarının yayılımını inceledi. Aynı zamanda ışın kavramının sezgisel olarak açık olduğunu düşündük ve ona bir tanım vermedik. Geometrik optiğin temel yasaları bizim tarafımızdan varsayımlar halinde formüle edildi.
Şimdi işe koyulacağız dalga optiği Işığın elektromanyetik dalgalar olarak ele alındığı. Dalga optiği çerçevesinde ışın kavramı zaten kesin olarak tanımlanabilir. Temel varsayım dalga teorisi Huygens ilkesidir; geometrik optik yasaları bunun sonuçları olarak ortaya çıkıyor.

Dalga yüzeyleri ve ışınları.

Sık aralıklarla yanıp sönen küçük bir ampul hayal edin. Her flaş farklı bir ışık üretir ışık dalgası genişleyen bir küre şeklinde (bir ampulün üzerinde ortalanmış). Zamanı durduralım ve uzayda, zamanın daha önceki çeşitli anlarında meydana gelen şimşeklerin oluşturduğu durmuş ışık kürelerini görelim.

Bu küreler sözde dalga yüzeyleridir. Ampulden gelen ışınların dalga yüzeylerine dik olduğuna dikkat edin.

Bir dalga yüzeyinin kesin bir tanımını vermek için öncelikle salınım fazının ne olduğunu hatırlayalım. Miktarın yasaya göre harmonik salınımlar yapmasına izin verin:

Bu yüzden, faz kosinüsün argümanı olan miktardır. Gördüğümüz gibi faz zamanla doğrusal olarak artar. Faz değeri eşittir ve denir
başlangıç aşaması.

Ayrıca bir dalganın titreşimlerin uzaydaki yayılımını temsil ettiğini de hatırlayalım. Mekanik dalgalar söz konusu olduğunda bunlar parçacıkların titreşimleri olacaktır. elastik ortam elektromanyetik dalgalar durumunda - gerilim vektörlerinin salınımları elektrik alanı ve manyetik alan indüksiyonu.

Hangi dalgalar dikkate alınırsa alınsın, dalga süreci tarafından yakalanan uzaydaki her noktada belirli büyüklükte salınımların meydana geldiğini söyleyebiliriz; böyle bir miktar, mekanik bir dalga durumunda salınan bir parçacığın koordinatları kümesidir veya bir elektromanyetik dalgadaki elektrik ve manyetik alanları tanımlayan vektörlerin bir dizi koordinatıdır.

Uzayda iki farklı noktadaki salınımların evreleri genel olarak şöyledir: farklı anlam. Fazın aynı olduğu nokta kümeleri ilgi çekicidir. Salınımların fazının gerçekleştiği noktalar kümesinin şu anda zamanın sabit bir değeri vardır ve uzayda iki boyutlu bir yüzey oluşturur.

Tanım. dalga yüzeyi - bu, belirli bir anda salınım fazının aynı değere sahip olduğu uzaydaki tüm noktaların kümesidir.

Kısacası, dalga yüzeyi sabit faz yüzeyidir. Her faz değerinin kendine ait dalga yüzeyi vardır. Bir dizi farklı faz değeri, bir dalga yüzeyleri ailesine karşılık gelir.

Zamanla her noktadaki faz değişir ve sabit bir faz değerine karşılık gelen dalga yüzeyi uzayda hareket eder. Bu nedenle dalgaların yayılması, dalga yüzeylerinin hareketi olarak düşünülebilir! Böylece, fiziksel dalga süreçlerini tanımlamak için elimizde uygun geometrik görüntüler bulunmaktadır.

Örneğin, eğer bir nokta ışık kaynağı şeffafsa homojen ortam, o zaman dalga yüzeyleri eşmerkezli kürelerdir ortak merkez kaynakta. Işığın yayılması bu kürelerin genişlemesi olarak karşımıza çıkıyor. Bunu zaten yukarıda ampul durumunda görmüştük.

Belirli bir zamanda uzaydaki her noktadan yalnızca bir dalga yüzeyi geçebilir. Aslında iki dalga yüzeyinin bir noktadan geçtiğini varsayarsak, farklı anlamlar fazlar ve , o zaman hemen bir çelişki elde ederiz: Bir noktadaki salınımların fazı aynı anda bu iki farklı sayıya eşit olacaktır.

Tek bir dalga yüzeyi bir noktadan geçtiğine göre, belirli bir noktada dalga yüzeyine dik olanın yönü de benzersiz bir şekilde belirlenir.

Tanım. kiriş - bu, her noktada bu noktadan geçen dalga yüzeyine dik olan uzaydaki bir çizgidir.

Başka bir deyişle ışın, bir dalga yüzeyleri ailesine ortak bir diktir. Işının yönü dalganın yayılma yönüdür. Işınlar boyunca dalga enerjisi uzayda bir noktadan diğerine aktarılır.

Dalga ilerledikçe sınır hareket ederek dalga süreci tarafından yakalanan uzay bölgesini ve henüz bozulmamış bölgeyi ayırır. Bu sınıra dalga cephesi denir. Böylece, dalga cephesi uzayda ulaşılan tüm noktaların kümesidir salınım süreci zamanın belirli bir anında. Dalga cephesi, dalga yüzeyinin özel bir durumudur; bu, tabiri caizse "ilk" dalga yüzeyidir.

En çok basit türler geometrik yüzeyler küre ve düzlemi içerir. Buna göre, bu şeklin dalga yüzeylerine sahip iki önemli dalga süreci durumumuz var - bunlar küresel ve düzlem dalgalardır.

Küresel dalga.

Dalga denir küresel dalga yüzeyleri küre ise (Şekil 1).

Dalga yüzeyleri mavi noktalı çizgiyle gösterilmiştir ve yeşil radyal oklar, dalga yüzeylerine dik ışınlardır.

Şeffaf, homojen bir ortam düşünün, fiziksel özellikler bunlar tüm yönlerde aynıdır. Böyle bir ortama yerleştirilen nokta ışık kaynağı küresel dalgalar yayar. Bu anlaşılabilir bir durum -
sonuçta ışık her yönde aynı hızla hareket edeceğinden herhangi bir dalga yüzeyi küre olacaktır.

Kuyu ışık ışınları, fark ettiğimiz gibi, bu durumda sıradan doğrusal olduğu ortaya çıktı geometrik ışınlar kaynağından başlayarak. Yasayı hatırla doğrusal yayılma: şeffaf homojen bir ortamda ışık ışınları düz çizgilerdir? Geometrik optikte bunu bir varsayım olarak formüle ettik. Şimdi (bir nokta kaynağı durumunda) bu yasanın nasıl kavramlarından çıktığını görüyoruz. dalga doğa Sveta.

Konuda " Elektromanyetik dalgalar"Radyasyon akısı yoğunluğu kavramını tanıttık:

İşte ışınlara dik olarak konumlanan yüzey alanı aracılığıyla zamanla aktarılan enerji. Dolayısıyla radyasyon akısı yoğunluğu, bir dalganın ışınlar boyunca birim zamanda birim alan boyunca aktardığı enerjidir.

Bizim durumumuzda enerji, dalga ilerledikçe yarıçapı artan kürenin yüzeyine eşit olarak dağılmıştır. Kürenin yüzey alanı şuna eşittir: , dolayısıyla elde ettiğimiz radyasyon akısı yoğunluğu için:

Gördüğümüz gibi, Küresel bir dalgadaki radyasyon akısı yoğunluğu, kaynağa olan mesafenin karesiyle ters orantılıdır.

Enerji titreşim genliğinin karesiyle orantılı olduğundan elektromanyetik alanşu sonuca varıyoruz ki küresel bir dalgadaki salınımların genliği kaynağa olan mesafeyle ters orantılıdır.

Düzlem dalgası.

Dalga denir düz dalga yüzeyleri düzlem ise (Şekil 2).

Mavi noktalı çizgiyle gösterilir paralel düzlemler bunlar dalga yüzeyleridir. Işınların (yeşil oklar) yine düz çizgiler olduğu ortaya çıkıyor.

Düzlem dalga, dalga teorisinin en önemli idealleştirmelerinden biridir; matematiksel olarak en basit şekilde tanımlanır. Bu idealleştirme, örneğin yeterince iyi durumda olduğumuzda kullanılabilir. uzun mesafe kaynaktan. Daha sonra gözlem noktasının yakınında küresel dalga yüzeyinin eğriliğini ihmal edebilir ve dalganın yaklaşık olarak düz olduğunu düşünebiliriz.

Gelecekte yansıma ve kırılma yasalarını Huygens ilkesinden çıkararak düzlem dalgaları kullanacağız. Ama önce Huygens ilkesinin kendisiyle ilgilenelim.

Huygens ilkesi.

Yukarıda dalgaların yayılmasını dalga yüzeylerinin hareketi olarak düşünmenin uygun olduğunu söylemiştik. Peki dalga yüzeyleri hangi kurallara göre hareket eder? Başka bir deyişle, dalga yüzeyinin belirli bir andaki konumunu bilmek, bir sonraki andaki konumunu nasıl belirler?

Bu sorunun cevabı, dalga teorisinin ana varsayımı olan Huygens ilkesiyle verilmektedir. Huygens ilkesi eşit olarak hem mekanik hem de elektromanyetik dalgalar için geçerlidir.

Huygens'in fikrini daha iyi anlamak için bir örneğe bakalım. Suya bir avuç taş atalım. Her taş, merkezi taşın düştüğü noktada olacak şekilde dairesel bir dalga üretecektir. Birbiriyle örtüşen bu dairesel dalgalar, su yüzeyinde genel bir dalga deseni oluşturacaktır. Önemli olan tüm dairesel dalgalar ve bunların oluşturduğu dalga deseni, taşlar dibe battıktan sonra da varlığını sürdürecektir. Öyleyse, doğrudan neden Başlangıçtaki dairesel dalgalar taşların kendisi tarafından sağlanmaz, fakat yerel rahatsızlıklar taşların düştüğü yerlerde suyun yüzeyi. Uzaklaşan dairesel dalgaların ve ortaya çıkan dalga modelinin kaynağı yerel rahatsızlıkların kendisidir ve bu rahatsızlıkların her birine tam olarak neyin sebep olduğu artık o kadar önemli değildir - bunun bir taş mı, bir şamandıra mı yoksa başka bir nesne mi olduğu. Sonraki dalga sürecini tanımlamak için yalnızca su yüzeyinde belirli noktalarda dairesel dalgaların ortaya çıkması önemlidir.

Huygens'in temel fikri, yerel rahatsızlıkların yalnızca taş veya şamandıra gibi yabancı cisimlerden değil, aynı zamanda uzayda yayılan bir dalgadan da kaynaklanabileceğiydi!

Huygens ilkesi. Uzayda yer alan her nokta dalga süreci kendisi küresel dalgaların kaynağı haline gelir.

Dalganın bozulduğu her noktadan her yöne yayılan bu küresel dalgalara denir. ikincil dalgalar. Dalga sürecinin sonraki evrimi, dalga sürecinin halihazırda ulaşmayı başardığı tüm noktalardan yayılan ikincil dalgaların üst üste binmesinden oluşur.

Huygens ilkesi, bir dalga yüzeyinin zamanın belirli bir anında bilinen konumuna bağlı olarak belirli bir anda oluşturulması için bir tarif verir (Şekil 3).

Yani orijinal dalga yüzeyinin her noktasını ikincil dalga kaynağı olarak görüyoruz. Bu süre zarfında ikincil dalgalar, dalga hızı kadar bir mesafe kat edeceklerdir. Eski dalga yüzeyinin her noktasından yarıçaplı küreler inşa ediyoruz; yeni dalga yüzeyi tüm bu kürelere teğet olacaktır. Ayrıca dalga yüzeyinin zamanın herhangi bir anında hizmet ettiğini söylüyorlar. mektup ikincil dalga aileleri.

Ancak elbette bir dalga yüzeyi oluşturmak için, zorunlu olarak önceki dalga yüzeylerinden birinin üzerinde yer alan noktalardan yayılan ikincil dalgaları almak zorunda değiliz. Arzu edilen dalga yüzeyi, noktalar tarafından yayılan bir ikincil dalga ailesinin zarfı olacaktır. salınım sürecine dahil olan herhangi bir yüzeyin.

Huygens ilkesine dayanarak, daha önce yalnızca deneysel gerçeklerin bir genellemesi olarak değerlendirdiğimiz ışığın yansıma ve kırılma yasalarını türetebiliriz.

Yansıma yasasının türetilmesi.

İki ortam arasındaki arayüzde olduğunu varsayalım düzlem dalgası(Şekil 4). Bu yüzeyin iki noktasını sabitliyoruz.

İki ışın gelip bu noktalara varır; bu ışınlara dik olan düzlem, gelen dalganın dalga yüzeyidir.

Yansıtıcı yüzeyin normali bu noktada çizilir. Açı, hatırladığınız gibi geliş açısıdır.

Yansıyan ışınlar I noktalarından çıkar. Bu ışınlara dik olan düzlem, yansıyan dalganın dalga yüzeyidir. Şimdilik yansıma açısını belirtelim; bunu kanıtlamak istiyoruz.

Segmentin tüm noktaları ikincil dalgaların kaynağı olarak hizmet eder. Öncelikle dalga yüzeyi noktaya ulaşır. Daha sonra gelen dalga hareket ettikçe diğer noktalar da salınım sürecine dahil olur. bu bölüm ve son fakat bir o kadar da önemlisi nokta.

Buna göre ikincil dalgaların yayımı ilk olarak şu noktada başlar; Şekil 2'de merkezi olan küresel bir dalga bulunmaktadır. 4 en büyük yarıçap

. Noktaya yaklaştıkça, ara noktalardan yayılan küresel ikincil dalgaların yarıçapları sıfıra düşer - sonuçta ikincil dalga, kaynağı noktaya ne kadar yakınsa daha sonra yayılacaktır. Yansıyan dalganın dalga yüzeyi tüm bu kürelere teğet bir düzlemdir. Planimetrik çizimimizde noktadan noktaya çizilen bir teğet doğru parçası bulunmaktadır. büyük daire

merkezi ve yarıçapı olan.

Şimdi yarıçapın, dalga yüzeyi noktaya doğru hareket ederken merkezde olan ikincil dalganın kat ettiği mesafe olduğuna dikkat edin. Bunu biraz farklı söyleyelim: İkincil dalganın noktadan noktaya hareket süresi, gelen dalganın noktadan noktaya hareket zamanına eşittir. Ancak olay ve ikincil dalgaların hareket hızları çakışıyor - sonuçta bunlar aynı ortamda oluyor! Dolayısıyla hızlar ve zamanlar çakıştığı için mesafeler eşittir: . Dik üçgenlerin hipotenüs ve kenar açılarının eşit olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle eşit ve karşılık gelen keskin köşeler
: . Geriye (her ikisi de eşit olduğundan) ve (her ikisi de eşit olduğundan) dikkat etmek kalır. Böylece yansıma açısı açıya eşit

düşmeler, gerekli olan da buydu.

Ayrıca, Şekil 2'deki yapıdan.

Şekil 4'te kırılma yasasının ikinci ifadesinin de karşılandığını görmek kolaydır: Gelen ışın, yansıyan ışın ve yansıtan yüzeyin normali aynı düzlemde yer alır.

Nokta, gelen dalganın dalga yüzeyinin ulaştığı parçanın ilk noktasıdır; bu noktada ikincil dalgaların emisyonu en erken başlar. Bu andan itibaren gelen dalganın noktaya ulaşması, yani parçayı kat etmesi için geçen süre olsun.

Işığın havadaki hızını gösterelim ve ışığın ortamdaki hızını gösterelim. Gelen dalga belli bir mesafe kat edip bir noktaya ulaşırken, o noktadan gelen ikincil dalga uzak bir mesafeye yayılacaktır.

Çünkü o zaman. Sonuç olarak dalga yüzeyi paralel değil dalga yüzeyi - ışık kırılması meydana gelir! Geometrik optik çerçevesinde kırılma olgusunun neden gözlemlendiğine dair hiçbir açıklama yapılmadı. Kırılmanın nedeni ışığın dalga doğasında yatmaktadır ve bakış açısından anlaşılabilir hale gelmektedir.
Huygens ilkesi: Bütün mesele, ortamdaki ikincil dalgaların hızının havadaki ışık hızından daha az olmasıdır ve bu, dalga yüzeyinin orijinal konumuna göre dönmesine yol açar.

İtibaren dik üçgenler ve bunu görmek kolaydır ve (kısa olması açısından, ile gösterilir). Böylece elimizde:

Bu denklemleri birbirine bölerek şunu elde ederiz:

Geliş açısının sinüsünün kırılma açısının sinüsüne oranının şuna eşit olduğu ortaya çıktı: sabit değer geliş açısından bağımsız olarak. Bu miktara ortamın kırılma indisi denir:

Sonuç, iyi bilinen kırılma yasasıdır:

Lütfen aklınızda bulundurun: fiziksel anlam kırılma indisi (ışığın boşluktaki ve ortamdaki hızlarının oranı olarak) Huygens ilkesi sayesinde yeniden netleştirildi.

Şek.

Şekil 5'te kırılma yasasının ikinci ifadesi de açıktır: Gelen ışın, kırılan ışın ve arayüzeyin normali aynı düzlemde yer alır. Aynı vücut aynı anda iki veya daha fazla harekete katılabilir. Basit bir örnek Yataya belirli bir açıyla atılan topun hareketidir. Topun iki bağımsız, karşılıklı dik harekete katıldığını varsayabiliriz: yatay olarak tek tip ve dikey olarak tek tip değişken. Aynı vücut ( maddi nokta

) iki (veya daha fazla) salınım hareketine katılabilir. Altında salınımların eklenmesi bileşke salınım yasasının tanımını anlayın, eğer salınım sistemi Aynı anda birden fazla salınım sürecine katılır. İki sınırlayıcı durum vardır; bir yöndeki salınımların eklenmesi ve karşılıklı salınımların eklenmesi.

dikey titreşimler

1. 2.1. Tek yönlü harmonik titreşimlerin eklenmesi Aynı yöndeki iki salınımın eklenmesi

iki denklemin eklenmesi yerine vektör diyagramı yöntemi (Şekil 9) kullanılarak yapılabilir.

Şekil 2.1 genlik vektörlerini göstermektedir A 1(t) ve A 2 (t), bu salınımların fazları sırasıyla eşit olduğunda, rastgele bir t zamanında salınımlar eklendi Ve . Salınımların eklenmesi tanıma gelir . Şu gerçeğin avantajını kullanalım vektör diyagramı Toplanan vektörlerin izdüşümlerinin toplamı, bu vektörlerin vektör toplamının izdüşümüne eşittir.

Ortaya çıkan salınım vektör diyagramında genlik vektörüne ve faza karşılık gelir.

Şekil 2.1 – Eş yönlü salınımların eklenmesi.

Vektör büyüklüğü A(t) kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir:

Ortaya çıkan salınımın fazı aşağıdaki formülle verilir:

Toplanan salınımların frekansları ω 1 ve ω 2 eşit değilse, o zaman hem faz φ(t) hem de genlik A(t) Ortaya çıkan dalgalanmalar zamanla değişecektir. Eklenen salınımlara denir tutarsız bu durumda.

2. İki harmonik titreşim x 1 ve x 2 olarak adlandırılır tutarlı, eğer faz farkları zamana bağlı değilse:

Ancak bu iki salınımın tutarlılık koşulunu yerine getirebilmesi için döngüsel frekanslarının eşit olması gerekir.

Ortaya çıkan salınımın genliği, eş yönlü salınımların eklenmesiyle elde edilir. eşit frekanslar(tutarlı salınımlar) şuna eşittir:

Ortaya çıkan salınımın başlangıç aşamasını, vektörleri yansıtırsanız bulmak kolaydır A 1 ve A 2 açık koordinat eksenleri OX ve OU (bkz. Şekil 9):

Bu yüzden, eşit frekanslara sahip iki harmonik eş yönlü salınımın eklenmesiyle elde edilen sonuçtaki salınım da bir harmonik salınımdır.

3. Ortaya çıkan salınımın genliğinin, eklenen salınımların başlangıç evrelerindeki farka bağımlılığını inceleyelim.

Eğer , burada n negatif olmayan herhangi bir tam sayıdır

(n = 0, 1, 2…), o zaman minimum. Ekleme anında eklenen salınımlar antifaz. Ortaya çıkan genlik sıfır olduğunda.

Eğer , O yani ortaya çıkan genlik şöyle olacaktır: maksimum. Ekleme anında eklenen salınımlar tek aşamada yani aşamadaydı. Eğer eklenen salınımların genlikleri aynı ise , O .

4. Eşit olmayan ancak benzer frekanslara sahip eş yönlü salınımların eklenmesi.

Eklenen salınımların frekansları eşit değil ancak frekans farkı hem ω 1 hem de ω 2'den çok daha az. Eklenen frekansların yakınlığının koşulu ilişkiler tarafından yazılır.

Benzer frekanslara sahip eş yönlü salınımların eklenmesine bir örnek, yatay bir cismin hareketidir. bahar sarkaç yay sertliği k 1 ve k 2'den biraz farklı olan.

Eklenen salınımların genlikleri aynı olsun ve başlangıç aşamaları sıfıra eşittir. Daha sonra eklenen salınımların denklemleri şu şekildedir:

, .

Ortaya çıkan salınım aşağıdaki denklemle tanımlanır:

Ortaya çıkan salınım denklemi iki çarpımına bağlıdır harmonik fonksiyonlar: bir – frekanslı , diğeri – frekansla burada ω eklenen salınımların frekanslarına yakındır (ω 1 veya ω 2). Ortaya çıkan salınım şu şekilde düşünülebilir: harmonik salınım değişmekten harmonik kanunu genlik. Bu salınım sürecine denir atım. Açıkça söylemek gerekirse, genel durumda ortaya çıkan salınım, harmonik bir salınım değildir.

Mutlak değer Genlik pozitif bir miktar olduğundan kosinüs alınır. Bağımlılığın doğası x res. dayak sırasında Şekil 2.2'de gösterilmektedir.

Şekil 2.2 – Vuruş sırasında yer değiştirmenin zamana bağlılığı.

Vuruşların genliği frekansla birlikte yavaş yavaş değişir. Eğer argümanı π kadar değişirse kosinüsün mutlak değeri tekrarlanır; bu, ortaya çıkan genliğin değerinin τ b zaman aralığından sonra tekrarlanacağı anlamına gelir. vuruş dönemi(Bkz. Şekil 12). Vuruş periyodunun değeri aşağıdaki ilişkiden belirlenebilir:

Değer dayak süresidir.

Büyüklük ortaya çıkan salınımın periyodudur (Şekil 2.4).

2.2. Karşılıklı dik titreşimlerin eklenmesi

1. Karşılıklı dik salınımların toplamının gösterilebileceği bir model Şekil 2.3'te sunulmaktadır. Bir sarkaç (kütlesi m olan maddi bir nokta), karşılıklı olarak dik olarak yönlendirilen iki elastik kuvvetin etkisi altında OX ve OU eksenleri boyunca salınabilir.

Şekil 2.3

Katlanmış salınımlar şu şekildedir:

Salınım frekansları , olarak tanımlanır; burada , yay sertlik katsayılarıdır.

2. İki tane ekleme durumunu düşünün aynı frekanslara sahip karşılıklı dik salınımlar , duruma karşılık gelir (aynı yaylar). Daha sonra eklenen salınımların denklemleri şu şekli alacaktır:

Bir nokta aynı anda iki harekete dahil olduğunda yörüngesi farklı ve oldukça karmaşık olabilir. Eşit frekanslara sahip karşılıklı dik iki tane eklendiğinde OXY düzleminde ortaya çıkan salınımların yörüngesinin denklemi ortadan kaldırılarak belirlenebilir. orijinal denklemler x ve y zamanı t için:

Yörünge türü, eklenen salınımların başlangıç aşamalarındaki farka göre belirlenir. başlangıç koşulları(bkz. § 1.1.2). Olası seçenekleri düşünelim.

a) Eğer n = 0, 1, 2…, yani. eklenen salınımlar aynı fazdaysa yörünge denklemi şu şekli alacaktır:

(Şekil 2.3a).


Şekil 2.3.a	Şekil 2.3b

b) Eğer (n = 0, 1, 2...), yani. eklenen salınımlar antifazdaysa yörünge denklemi şu şekilde yazılır:

(Şekil 2.3b).

Her iki durumda da (a, b), noktanın sonuçta ortaya çıkan hareketi, O noktasından geçen düz bir çizgi boyunca bir salınım olacaktır. Ortaya çıkan salınımın frekansı, eklenen salınımların frekansına eşittir ω 0, genlik belirlenir ilişki tarafından.

İş yeri: MOKU "Oktyabrsky bölgesinin Pokrovskaya ortaokulu"

Pozisyon: fizik öğretmeni

Ek bilgi: Test içeriğe göre tasarlanmıştır genel eğitim programı 11. sınıf lise için

Seçenek #1

Radyo dalgalarını kullanarak nesneleri tespit etme işlemine denir.

Düşük frekanslı bir sinyali izole etme işlemine denir.

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

Bir dizi noktaya dik olan düz bir çizgi eşit faz isminde...

B. nesne tespiti için;

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Dalga cephesi...

A. son dalga yüzeyi B. ilk dalga yüzeyi

B. Herhangi bir dalga yüzeyi

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Radar sırasında bir nesneye olan mesafeyi belirlemek için hangi formül kullanılır?

Test No. 3 “Elektromanyetik dalgalar. Radyo"

Seçenek No.2

Tespit süreci ne için?

A. bir sinyal iletmek uzun mesafeler;

B. nesne tespiti için;

B. Düşük frekanslı bir sinyali vurgulamak için;

D. Düşük frekanslı bir sinyali dönüştürmek için.

Salınım devresinin frekansı nasıl artırılır?

A. kapasitörün kapasitansını azaltmak ve salınım devresinin endüktansını arttırmak gereklidir;

B. kapasitörün kapasitansını arttırmak ve salınım devresinin endüktansını azaltmak gereklidir;

B. Hem kapasitörün kapasitansını hem de salınım devresinin endüktansını azaltmak gerekir;

D. Hem kapasitörün kapasitansını hem de salınım devresinin endüktansını arttırmak gerekir.

Düşük frekanslı salınımların yardımıyla yüksek frekanslı salınımları değiştirme işlemine denir...

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

Elektromanyetik dalgalar...

A. enine B. boyuna C. Aynı anda hem enine hem boyuna

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

Yayın ses sinyali uzun mesafelerde gerçekleştirilen...

A. herhangi bir dönüşüm olmaksızın bir ses sinyalinin doğrudan iletilmesi;

B. tespit edilen bir sinyalin kullanılması;

B. Simüle edilmiş bir sinyalin kullanılması.

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

A. tarama B. radar C. Yayın D. Modülasyon E. algılama

Elektromanyetik dalga üretmek için hangi cihaz kullanılabilir?

A. radyo B. TV C. Salınım devresi

D. Açık salınım devresi

Aynı fazdaki noktalar kümesine... denir.

Dalga cephesi...

Rahatsızlığın t zamanında ulaştığı noktalar kümesine denir.

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Modüle edilmiş sinyal bilgi taşıyor mu?

C. evet ama biz bunu algılamıyoruz;

B. evet ve bunu doğrudan işitme organlarımızla algılayabiliyoruz;

Radarın verici kısmı nasıl çalışır?

A. sürekli çalışıyor B. herhangi bir zamanda kendiliğinden kapanıyor

B. Sinyal iletiminden hemen sonra kapanır

Elektromanyetik dalgalar eşit hızda hareket eder.

A. herhangi birinden B. 3108 mm/s C. 3108 km/s D. 3108 m/s

Test No. 3 “Elektromanyetik dalgalar. Radyo"

Seçenek #3

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

Tespit süreci ne için?

A. sinyallerin uzun mesafelere iletilmesi için;

B. nesne tespiti için;

B. Düşük frekanslı bir sinyali vurgulamak için;

D. Düşük frekanslı bir sinyali dönüştürmek için.

Modüle edilmiş sinyal bilgi taşıyor mu?

C. evet ama biz bunu algılamıyoruz;

B. evet ve bunu doğrudan işitme organlarımızla algılayabiliyoruz;

Elektromanyetik dalgalar...

A. enine B. boyuna C. Aynı anda hem enine hem boyuna

Düşük frekanslı bir sinyali izole etme işlemine … denir.

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

Nesnelere olan mesafeyi belirlemek için hangi formül kullanılır?

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

Ses sinyallerinin uzun mesafelere iletimi gerçekleştirilir...

A. herhangi bir dönüşüm olmaksızın bir ses sinyalinin doğrudan iletilmesi;

B. tespit edilen bir sinyalin kullanılması;

B. Simüle edilmiş bir sinyalin kullanılması.

Salınım devresinin frekansı nasıl azaltılır?

A. kapasitörün kapasitansını azaltmak ve salınım devresinin endüktansını arttırmak gereklidir;

B. kapasitörün kapasitansını arttırmak ve salınım devresinin endüktansını azaltmak gereklidir;

B. Hem kapasitörün kapasitansını hem de salınım devresinin endüktansını azaltmak gerekir;

D. Hem kapasitörün kapasitansını hem de salınım devresinin endüktansını arttırmak gerekir.

Radyo dalgalarını kullanarak nesneleri tespit etme işlemine denir.

A. tarama B. radar C. Yayın D. Modülasyon E. algılama

Elektromanyetik dalga üretmek için hangi cihaz kullanılabilir?

A. radyo B. TV C. Salınım devresi

D. Açık salınım devresi

Aynı fazdaki noktalar kümesine... denir.

A. ışın B. dalga yüzeyi C. dalga cephesi

Eşit fazlı noktalar kümesine dik olan doğruya... denir.

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Elektromanyetik dalgalar eşit hızda hareket eder.

A. herhangi birinden B. 3108 mm/s C. 3108 km/s D. 3108 m/s

Dalga cephesi...

A. son dalga yüzeyi B. herhangi bir dalga yüzeyi

B. İlk dalga yüzeyi

Rahatsızlığın t zamanında ulaştığı noktalar kümesine denir.

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Radarın alıcı kısmı nasıl çalışır?

A. sürekli çalışıyor B. herhangi bir zamanda kendiliğinden kapanıyor

V. sinyal iletiminden hemen sonra açılır

Test No. 3 “Elektromanyetik dalgalar. Radyo"

Seçenek No.4

Radyo dalgalarını kullanarak nesneleri tespit etme işlemine denir.

A. tarama B. radar C. Yayın D. Modülasyon E. algılama

Aynı fazdaki noktalar kümesine... denir.

A. ışın B. dalga yüzeyi C. dalga cephesi

Elektromanyetik dalga üretmek için hangi cihaz kullanılabilir?

A. radyo B. TV C. Salınım devresi

D. Açık salınım devresi

Düşük frekanslı salınımların yardımıyla yüksek frekanslı salınımları değiştirme işlemine denir...

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

Radarın verici kısmı nasıl çalışır?

A. sürekli çalışıyor B. herhangi bir zamanda kendiliğinden kapanıyor

B. Sinyal iletiminden hemen sonra kapanır

Nesnelere olan mesafeyi belirlemek için hangi formül kullanılır?

A. R=2ct B. R=υt/2 C. R=ct/2 D. R=2υt

Düşük frekanslı bir sinyali izole etme işlemine … denir.

A. modülasyon B. radar C. Tespit D. Tarama

Tespit edilen sinyal bilgi taşıyor mu?

C. evet ama biz bunu algılamıyoruz;

B. evet ve bunu doğrudan işitme organlarımızla algılayabiliyoruz;

Ses sinyallerinin uzun mesafelere iletimi gerçekleştirilir...

A. herhangi bir dönüşüm olmaksızın bir ses sinyalinin doğrudan iletilmesi;

B. tespit edilen bir sinyalin kullanılması;

B. Simüle edilmiş bir sinyalin kullanılması.

Salınımlı bir devrenin salınım periyodu nasıl azaltılır?

A. kapasitörün kapasitansını azaltmak ve salınım devresinin endüktansını arttırmak gereklidir;

B. kapasitörün kapasitansını arttırmak ve salınım devresinin endüktansını azaltmak gereklidir;

B. Hem kapasitörün kapasitansını hem de salınım devresinin endüktansını azaltmak gerekir;

D. Hem kapasitörün kapasitansını hem de salınım devresinin endüktansını arttırmak gerekir.

Eşit fazlı noktalar kümesine dik olan doğruya... denir.

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Modülasyon süreci ne için?

A. sinyallerin uzun mesafelere iletilmesi için;

B. nesne tespiti için;

B. Düşük frekanslı bir sinyali vurgulamak için;

D. Düşük frekanslı bir sinyali dönüştürmek için.

Elektromanyetik dalgalar...

A. enine B. boyuna C. Aynı anda hem enine hem boyuna

Dalga cephesi...

A. son dalga yüzeyi B. herhangi bir dalga yüzeyi

B. İlk dalga yüzeyi

Rahatsızlığın t zamanında ulaştığı noktalar kümesine denir.

A. ışın B. dalga önü C. dalga yüzeyi

Elektromanyetik dalgalar eşit hızda hareket eder.

A. herhangi birinden B. 3108 mm/s C. 3108 km/s D. 3108 m/s

Referanslar:

Fizik: Ders Kitabı. 11. sınıf için genel eğitim kurumlar / G.Ya Myakishev, B.B. Bukhovtsev. - 15. baskı. - M.: Eğitim, 2015.-381 s.

Fizik. Sorun kitabı. 10-11 sınıflar: Genel eğitim için bir el kitabı. kurumlar / Rymkevich A.P. - 12. baskı, stereotip. - M .: Bustard, 2008. - 192 s.

Bağımsız ve testler. Fizik. Kirik, L.A.-M.: Ilexa, 2005.