Diapositive 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mathématicien anglais. Né à Bristol. Il y étudie et travaille, puis dans les écoles de Bath. Travaux de base sur l'algèbre. En 1819 a publié une méthode de calcul approximatif des racines réelles d'un polynôme, qui s'appelle maintenant la méthode de Ruffini-Horner (cette méthode était connue des Chinois au XIIIe siècle. Le schéma de division d'un polynôme par un binôme x-a est nommé). après Horner.

Diapositive 4

SCHÉMA HORNER

Méthode de division d'un polynôme nième degré sur un binôme linéaire - a, basé sur le fait que les coefficients du quotient incomplet et du reste sont liés aux coefficients du polynôme divisible et aux formules :

Diapositive 5

Les calculs selon le schéma de Horner sont placés dans le tableau :

Exemple 1. Diviser Le quotient partiel est x3-x2+3x - 13 et le reste est 42=f(-3).

Diapositive 6

Le principal avantage de cette méthode est la compacité de l'enregistrement et la capacité division rapide polynôme en binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.

Diapositive 7

Exemple 2.

Montrons que le polynôme P(x)=x4-6x3+7x-392 est divisible par x-7, et trouvons le quotient de la division. Solution. En utilisant le schéma de Horner, nous trouvons P(7) : De là, nous obtenons P(7)=0, c'est-à-dire reste lors de la division d'un polynôme par x-7 égal à zéro et, par conséquent, le polynôme P(x) est un multiple de (x-7). De plus, les nombres de la deuxième ligne du tableau sont les coefficients du quotient de P(x) divisé par (x-7), donc P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

Diapositive 8

Factorisez le polynôme x3 – 5x2 – 2x + 16.

Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), où Q(x) est un polynôme du deuxième degré

Diapositive 9

Les nombres résultants 1, −3, −8 sont les coefficients du polynôme, obtenu en divisant le polynôme d'origine par x – 2. Cela signifie que le résultat de la division est : 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc : x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Etc. est de nature éducative générale et a grande valeur pour étudier la totalité du cours mathématiques supérieures. Aujourd'hui, nous allons répéter les équations « scolaires », mais pas seulement celles « scolaires » - mais celles que l'on retrouve partout dans diverses tâches vyshmat. Comme d'habitude, l'histoire sera racontée de manière appliquée, c'est-à-dire Je ne me concentrerai pas sur les définitions et les classifications, mais je partagerai avec vous exactement expérience personnelle solutions. Les informations sont principalement destinées aux débutants, mais les lecteurs plus avancés y trouveront également beaucoup de choses pour eux-mêmes. moments intéressants. Et bien sûr, il y aura nouveau matériel, allant au-delà lycée.

Donc l'équation…. Beaucoup se souviennent de ce mot avec un frisson. Que valent les équations « sophistiquées » avec racines... ... oubliez-les ! Car alors vous rencontrerez les « représentants » les plus inoffensifs de cette espèce. Ou ennuyeux équations trigonométriques avec des dizaines de méthodes de résolution. Pour être honnête, je ne les aimais pas vraiment moi-même... Ne pas paniquer! – alors ce sont surtout des « pissenlits » qui vous attendent avec une solution évidente en 1 à 2 étapes. Même si la « bardane » s'accroche certainement, il faut ici être objectif.

Curieusement, en mathématiques supérieures, il est beaucoup plus courant de traiter des équations très primitives comme linéaireéquations

Que signifie résoudre cette équation ? Cela signifie trouver TELLE valeur de « x » (racine) qui en fait une véritable égalité. Jetons le « trois » vers la droite avec un changement de signe :

et réinitialisez le «deux» à côté droit (ou, la même chose - multipliez les deux côtés par) :

Pour vérifier, remplaçons le trophée gagné par équation originale :

L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la valeur trouvée est bien une racine équation donnée. Ou, comme on dit aussi, satisfait à cette équation.

Veuillez noter que la racine peut également s'écrire sous la forme décimal:
Et essayez de ne pas vous en tenir à ce mauvais style ! J'ai répété la raison plus d'une fois, notamment lors de la toute première leçon sur algèbre supérieure.

D’ailleurs, l’équation peut aussi être résolue « en arabe » :

Et ce qui est le plus intéressant - cette entrée complètement légal ! Mais si vous n'êtes pas enseignant, alors il vaut mieux ne pas faire ça, car ici l'originalité est punissable =)

Et maintenant un peu sur

méthode de solution graphique

L'équation a la forme et sa racine est Coordonnée "X" points d'intersection graphique de fonction linéaire avec horaire fonction linéaire (axe x):

Il semblerait que l'exemple soit si élémentaire qu'il n'y a plus rien à analyser ici, mais une autre nuance inattendue peut en être « extraite » : présentons la même équation sous la forme et construisons des graphiques des fonctions :

En même temps, s'il te plaît, ne confonds pas les deux concepts: une équation est une équation, et fonction– c'est une fonction ! Fonctions seulement de l'aide trouver les racines de l'équation. Il peut y en avoir deux, trois, quatre, voire une infinité. L'exemple le plus proche en ce sens est le célèbre équation quadratique, l'algorithme de solution pour lequel a reçu un paragraphe séparé des formules scolaires « chaudes ». Et ce n'est pas un hasard ! Si vous pouvez résoudre une équation quadratique et savoir Théorème de Pythagore, alors, pourrait-on dire, "la moitié des mathématiques supérieures est déjà dans votre poche" =) Exagéré, bien sûr, mais pas si loin de la vérité !

Par conséquent, ne soyons pas paresseux et résolvons une équation quadratique en utilisant algorithme standard:

, ce qui signifie que l'équation a deux valeurs différentes valide racine:

Il est facile de vérifier que les deux valeurs trouvées satisfont réellement à cette équation :

Que faire si vous avez soudainement oublié l'algorithme de solution et qu'il n'y a aucun moyen/coup de main à portée de main ? Cette situation peut survenir, par exemple, lors d'un contrôle ou d'un examen. Nous utilisons la méthode graphique ! Et il y a deux manières : vous pouvez construire point par point parabole , découvrant ainsi où il croise l'axe (si ça traverse du tout). Mais il vaut mieux faire quelque chose de plus astucieux : imaginer l'équation sous la forme, dessiner davantage de graphiques fonctions simples- Et Coordonnées "X" leurs points d'intersection sont bien visibles !


S'il s'avère que la ligne droite touche la parabole, alors l'équation a deux racines correspondantes (plusieurs). S’il s’avère que la ligne droite ne coupe pas la parabole, alors il n’y a pas de véritables racines.

Pour ce faire, bien sûr, vous devez être capable de construire graphiques de fonctions élémentaires, mais d'un autre côté, même un écolier peut acquérir ces compétences.

Et encore une fois - une équation est une équation, et les fonctions sont des fonctions qui seulement aidé résolvez l'équation!

Et ici, d'ailleurs, il conviendrait de rappeler encore une chose : si tous les coefficients d'une équation sont multipliés par un nombre non nul, alors ses racines ne changeront pas.

Ainsi, par exemple, l'équation a les mêmes racines. Comme simple « preuve », je vais retirer la constante entre parenthèses :
et je l'enlèverai sans douleur (Je diviserai les deux parties par « moins deux »):

MAIS! Si l'on considère la fonction , alors vous ne pouvez pas vous débarrasser de la constante ici ! Il est uniquement permis de retirer le multiplicateur entre parenthèses : .

Beaucoup de gens sous-estiment la méthode de résolution graphique, la considérant comme « indigne », et certains oublient même complètement cette possibilité. Et c’est fondamentalement faux, car tracer des graphiques sauve parfois la situation !

Autre exemple : supposons que vous ne vous souveniez pas des racines de l’équation trigonométrique la plus simple : . Formule générale est dans manuels scolaires, dans tous les ouvrages de référence sur mathématiques élémentaires, mais ils ne sont pas disponibles pour vous. Cependant, il est essentiel de résoudre l’équation (c’est-à-dire « deux »). Il y a un moyen de s'en sortir ! – construire des graphiques de fonctions :


après quoi on note calmement les coordonnées « X » de leurs points d'intersection :

Il existe une infinité de racines et leur notation condensée est acceptée en algèbre :
, Où ( – ensemble d'entiers) .

Et, sans « s'éloigner », quelques mots sur la méthode graphique de résolution des inégalités à une variable. Le principe est le même. Ainsi, par exemple, la solution de l’inégalité est n’importe quel « x », car La sinusoïde se situe presque entièrement sous la ligne droite. La solution de l'inégalité est l'ensemble des intervalles dans lesquels les morceaux de la sinusoïde se trouvent strictement au-dessus de la droite (axe des x):

ou, en bref :

Mais voici les nombreuses solutions à l’inégalité : vide, puisqu'aucun point de la sinusoïde ne se trouve au-dessus de la droite.

Y a-t-il quelque chose que vous ne comprenez pas ? Étudiez de toute urgence les leçons sur ensembles Et graphiques de fonctions!

Réchauffons-nous :

Tâche 1

Résolvez graphiquement les équations trigonométriques suivantes :

Réponses à la fin de la leçon

Comme vous pouvez le constater, pour étudier sciences exactes Il n’est pas du tout nécessaire de fourrer des formules et des ouvrages de référence ! De plus, il s’agit d’une approche fondamentalement erronée.

Comme je vous l'ai déjà rassuré au tout début de la leçon, les équations trigonométriques complexes dans un cours standard de mathématiques supérieures doivent être résolues extrêmement rarement. En règle générale, toute complexité se termine par des équations comme , dont la solution est constituée de deux groupes de racines provenant des équations les plus simples et . Ne vous inquiétez pas trop de résoudre ce dernier problème – regardez dans un livre ou trouvez-le sur Internet =)

La méthode de résolution graphique peut également être utile dans des cas moins triviaux. Considérons, par exemple, l’équation « hétéroclite » suivante :

Les perspectives de sa solution semblent... ne ressemblent à rien du tout, mais il suffit d'imaginer l'équation sous la forme , construire graphiques de fonctions et tout s'avérera incroyablement simple. Il y a un dessin au milieu de l'article sur fonctions infinitésimales (s'ouvrira dans l'onglet suivant).

Même méthode graphique vous pouvez découvrir que l'équation a déjà deux racines, et l'une d'elles est égale à zéro, et l'autre, apparemment, irrationnel et appartient au segment . Étant donné la racine peut être calculé approximativement, par exemple, méthode tangente. D'ailleurs, dans certains problèmes, il arrive que vous n'ayez pas besoin de trouver les racines, mais découvrez est-ce qu'ils existent du tout ?. Et ici aussi, un dessin peut aider - si les graphiques ne se croisent pas, alors il n'y a pas de racines.

Racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers.
Schéma Horner

Et maintenant je vous invite à tourner votre regard vers le Moyen Âge et à ressentir l'atmosphère unique de l'algèbre classique. Pour une meilleure compréhension du matériel, je vous recommande de lire au moins un peu nombres complexes.

Ce sont les meilleurs. Polynômes.

L'objet de notre intérêt sera les polynômes les plus courants de la forme avec entier coefficients Nombre naturel appelé degré de polynôme, nombre – coefficient du plus haut degré (ou juste le coefficient le plus élevé), et le coefficient est membre gratuit.

Je désignerai brièvement ce polynôme par .

Racines d'un polynôme appeler les racines de l'équation

J'adore la logique de fer =)

Pour des exemples, allez au tout début de l'article :

Il n'y a aucun problème pour trouver les racines des polynômes des 1er et 2e degrés, mais à mesure que vous augmentez, cette tâche devient de plus en plus difficile. Même si d'un autre côté, tout est plus intéressant ! Et c’est exactement à cela que sera consacrée la deuxième partie de la leçon.

Tout d’abord, littéralement un demi-écran de théorie :

1) D'après le corollaire théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme de degré a exactement complexe racines. Certaines racines (voire toutes) peuvent être particulièrement valide. De plus, parmi les racines réelles, il peut y avoir des racines identiques (plusieurs) (minimum deux, maximum pièces).

Si un nombre complexe est la racine d’un polynôme, alors conjuguer son nombre est aussi nécessairement la racine de ce polynôme (conjuguer racines complexes on dirait).

L'exemple le plus simple est une équation quadratique apparue pour la première fois en 8 (comme) classe, et que nous avons finalement « terminé » dans le sujet nombres complexes. Je vous le rappelle : une équation quadratique a soit deux racines réelles différentes, soit des racines multiples, soit des racines complexes conjuguées.

2) De Théorème de Bezout il s'ensuit que si un nombre est la racine d'une équation, alors le polynôme correspondant peut être factorisé :
, où est un polynôme de degré .

Et encore, notre vieil exemple : puisque est la racine de l’équation, alors . Après quoi, il n’est pas difficile d’obtenir la fameuse extension « école ».

Le corollaire du théorème de Bezout a une grande valeur pratique : si l'on connaît la racine d'une équation du 3ème degré, alors on peut la représenter sous la forme et à partir de l’équation quadratique, il est facile de découvrir les racines restantes. Si nous connaissons la racine d’une équation du 4ème degré, alors il est possible de développer le côté gauche en un produit, etc.

Et il y a deux questions ici :

Première question. Comment trouver cette racine ? Tout d'abord, définissons sa nature : dans de nombreux problèmes de mathématiques supérieures il faut trouver rationnel, en particulier entier racines des polynômes, et à cet égard, nous nous y intéresserons principalement ci-dessous.... ...ils sont si bons, si moelleux, qu'on a envie de les retrouver ! =)

La première chose qui vient à l’esprit est la méthode de sélection. Considérons, par exemple, l'équation . Le problème ici est dans le terme libre - s'il était égal à zéro, alors tout irait bien - nous retirons le « X » des parenthèses et les racines elles-mêmes « tombent » à la surface :

Mais nous avons membre gratuit est égal à "trois", et nous commençons donc à substituer dans l'équation différents numéros, prétendant être la « racine ». Tout d'abord, la substitution de valeurs uniques s'impose. Remplaçons :

Reçu incorrect l’égalité, donc l’unité « ne correspondait pas ». Bon, d'accord, remplaçons :

Reçu vraiégalité! Autrement dit, la valeur est la racine de cette équation.

Pour trouver les racines d’un polynôme du 3ème degré, il existe méthode analytique (les formules dites de Cardano), mais maintenant nous nous intéressons à une tâche légèrement différente.

Puisque - est la racine de notre polynôme, le polynôme peut être représenté sous la forme et apparaît Deuxième question: comment trouver un « petit frère » ?

Les considérations algébriques les plus simples suggèrent que pour ce faire, nous devons diviser par . Comment diviser un polynôme par un polynôme ? Même méthode scolaire commun nombres ordinaires- "dans une colonne" ! Cette méthode J'en ai discuté en détail dans les premiers exemples de la leçon Limites complexes, et maintenant nous allons examiner une autre méthode, appelée Schéma Horner.

Nous écrivons d’abord le polynôme « le plus élevé » avec tout le monde , y compris les coefficients nuls:
, après quoi nous saisissons ces coefficients (strictement dans l'ordre) dans la ligne supérieure du tableau :

On écrit la racine à gauche :

Je ferai immédiatement une réserve sur le fait que le schéma de Horner fonctionne également si le nombre « rouge » Pas est la racine du polynôme. Cependant, ne précipitons pas les choses.

Nous supprimons le coefficient dominant d'en haut :

Le processus de remplissage des cellules inférieures rappelle un peu la broderie, où le « moins un » est une sorte d'« aiguille » qui imprègne les étapes suivantes. Nous multiplions le nombre « reporté » par (–1) et ajoutons le nombre de la cellule supérieure au produit :

Nous multiplions la valeur trouvée par « l'aiguille rouge » et ajoutons le coefficient d'équation suivant au produit :

Et enfin, la valeur résultante est à nouveau « traitée » avec « l'aiguille » et le coefficient supérieur :

Le zéro dans la dernière cellule nous indique que le polynôme est divisé en sans laisser de trace (comme il se doit), tandis que les coefficients de dilatation sont « supprimés » directement de la ligne du bas du tableau :

Ainsi, on est passé de l'équation à une équation équivalente et tout est clair avec les deux racines restantes (V. dans ce cas nous obtenons des racines complexes conjuguées).

Soit dit en passant, l'équation peut également être résolue graphiquement : tracer "foudre" et voyez que le graphique croise l'axe des x () au point. Ou le même truc "rusé" - nous réécrivons l'équation sous la forme, dessinons graphiques élémentaires et détectez la coordonnée « X » de leur point d’intersection.

À propos, le graphique de toute fonction polynomiale du 3ème degré coupe l'axe au moins une fois, ce qui signifie que l'équation correspondante a au moins un valide racine. Ce fait valable pour toute fonction polynomiale de degré impair.

Et ici, je voudrais aussi m'attarder sur point important qui concerne la terminologie : polynôme Et fonction polynomiale – ce n'est pas la même chose! Mais dans la pratique, on parle souvent, par exemple, du « graphique d'un polynôme », ce qui, bien sûr, est de la négligence.

Cependant, revenons au schéma de Horner. Comme je l'ai mentionné récemment, ce schéma fonctionne pour d'autres numéros, mais si le numéro Pas est la racine de l'équation, alors une addition (reste) non nulle apparaît dans notre formule :

"Exécutons" la valeur "infructueuse" selon le schéma de Horner. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser le même tableau - écrivez une nouvelle "aiguille" à gauche, déplacez le coefficient dominant d'en haut (flèche verte gauche), et c'est parti :

Pour vérifier, ouvrons les parenthèses et présentons termes similaires:
, D'ACCORD.

Il est facile de voir que le reste (« six ») est exactement la valeur du polynôme en . Et en fait, comment ça se passe :
, et encore plus sympa - comme ceci :

A partir des calculs ci-dessus, il est facile de comprendre que le schéma de Horner permet non seulement de factoriser le polynôme, mais aussi d'effectuer une sélection « civilisée » de la racine. Je vous propose de consolider vous-même l'algorithme de calcul avec une petite tâche :

Tâche 2

En utilisant le schéma de Horner, trouvez racine entièreéquation et factoriser le polynôme correspondant

En d'autres termes, vous devez ici vérifier séquentiellement les nombres 1, –1, 2, –2, ... – jusqu'à ce qu'un reste zéro soit « dessiné » dans la dernière colonne. Cela signifiera que « l’aiguille » de cette droite est la racine du polynôme

Il est pratique de regrouper les calculs dans un seul tableau. Solution détaillée et la réponse à la fin de la leçon.

La méthode de sélection des racines est relativement bonne pour cas simples, mais si les coefficients et/ou le degré du polynôme sont grands, le processus peut prendre plus de temps. Ou peut-être qu'il y a des valeurs de la même liste 1, –1, 2, –2 et cela ne sert à rien de les considérer ? Et, en plus, les racines peuvent s'avérer fractionnées, ce qui conduira à un piquage totalement non scientifique.

Heureusement, il existe deux théorèmes puissants qui peuvent réduire considérablement la recherche de valeurs « candidates » dans racines rationnelles:

Théorème 1 Considérons irréductible fraction , où . Si le nombre est la racine de l'équation, alors le terme libre est divisé par et le coefficient principal est divisé par.

En particulier, si le coefficient dominant est , alors cette racine rationnelle est un entier :

Et nous commençons à exploiter le théorème avec juste ce détail savoureux :

Revenons à l'équation. Puisque son coefficient directeur est , alors les racines rationnelles hypothétiques peuvent être exclusivement entières, et le terme libre doit nécessairement être divisé en ces racines sans reste. Et « trois » ne peut être divisé qu’en 1, –1, 3 et –3. Autrement dit, nous n'avons que 4 « candidats racines ». Et, selon Théorème 1, autre nombres rationnels ne peut pas être les racines de cette équation EN PRINCIPE.

Il y a un peu plus de « prétendants » dans l'équation : le terme libre est divisé en 1, –1, 2, – 2, 4 et –4.

Attention, les chiffres 1, –1 sont des « habitués » de la liste des racines possibles (une conséquence évidente du théorème) et la plupart meilleur choix pour un contrôle prioritaire.

Passons à des exemples plus significatifs :

Problème 3

Solution: puisque le coefficient dominant est , alors les racines rationnelles hypothétiques ne peuvent être que des nombres entiers, et elles doivent nécessairement être des diviseurs du terme libre. « Moins quarante » est divisé en les paires de nombres suivantes :
– un total de 16 « candidats ».

Et ici apparaît immédiatement une pensée tentante : est-il possible d'éliminer tout ce qui est négatif ou tout racines positives? Dans certains cas, c'est possible ! Je formulerai deux signes :

1) Si Tous Si les coefficients du polynôme sont non négatifs, alors il ne peut pas avoir de racines positives. Malheureusement, ce n'est pas notre cas (maintenant, si on nous donnait une équation - alors oui, lors de la substitution d'une valeur du polynôme, la valeur du polynôme est strictement positive, ce qui signifie que tous les nombres positifs (et les irrationnels aussi) ne peut pas être la racine de l’équation.

2) Si les coefficients à degrés impairs sont non négatifs, et pour toutes les puissances paires (y compris membre gratuit) sont négatifs, alors le polynôme ne peut pas avoir racines négatives. C'est notre cas ! En regardant d’un peu plus près, vous pouvez voir que lorsque vous remplacez un « x » négatif dans l’équation côté gauche sera strictement négatif, ce qui signifie racines négatives disparaître

Il reste donc 8 nombres à rechercher :

Nous les « facturons » séquentiellement selon le schéma de Horner. J'espère que vous maîtrisez déjà le calcul mental :

La chance nous attendait lors du test du « deux ». Ainsi, la racine de l’équation considérée est-elle, et

Reste à étudier l'équation . C'est facile à faire grâce au discriminant, mais je vais effectuer un test indicatif en utilisant le même schéma. Notons tout d’abord que le terme libre est égal à 20, ce qui signifie Théorème 1 les nombres 8 et 40 sortent de la liste des racines possibles, laissant les valeurs à la recherche (un a été éliminé selon le schéma de Horner).

On écrit les coefficients du trinôme sur la ligne du haut nouveau tableau Et On commence à vérifier avec les mêmes "deux". Pourquoi? Et comme les racines peuvent être multiples, s'il vous plaît : - cette équation a 10 racines identiques. Mais ne nous laissons pas distraire :

Et là, bien sûr, je mentais un peu, sachant que les racines sont rationnelles. Après tout, s’ils étaient irrationnels ou complexes, je serais alors confronté à une vérification infructueuse de tous les nombres restants. Par conséquent, en pratique, soyez guidé par le discriminant.

Répondre: racines rationnelles : 2, 4, 5

Nous avons eu de la chance dans le problème que nous avons analysé, car : a) ils sont tombés tout de suite valeurs négatives, et b) nous avons trouvé la racine très rapidement (et théoriquement nous pourrions vérifier toute la liste).

Mais en réalité, la situation est bien pire. Je vous invite à regarder un jeu passionnant appelé « Le dernier héros»:

Problème 4

Trouver les racines rationnelles de l'équation

Solution: Par Théorème 1 numérateurs d'hypothétiques racines rationnelles doit satisfaire à la condition (on lit « douze est divisé par el »), et les dénominateurs correspondent à la condition . Sur cette base, nous obtenons deux listes :

"liste des éléments":
et "liste euh": (heureusement, les chiffres ici sont naturels).

Faisons maintenant une liste de toutes les racines possibles. Tout d’abord, nous divisons la « liste el » par . Il est absolument clair que les mêmes chiffres seront obtenus. Pour plus de commodité, mettons-les dans un tableau :

De nombreuses fractions ont été réduites, ce qui a donné lieu à des valeurs qui figurent déjà dans la « liste des héros ». Nous ajoutons uniquement les « débutants » :

De même, nous divisons la même « liste » par :

et enfin sur

Ainsi, l'équipe des participants à notre jeu est complétée :


Malheureusement, le polynôme de ce problème ne satisfait pas au critère « positif » ou « négatif », et nous ne pouvons donc pas écarter la ligne du haut ou du bas. Vous devrez travailler avec tous les chiffres.

Comment te sens-tu? Allez, relevez la tête - il existe un autre théorème que l'on peut appeler au sens figuré le « théorème du tueur »…. …des « candidats », bien sûr =)

Mais vous devez d'abord faire défiler le diagramme de Horner pendant au moins un le tout Nombres. Traditionnellement, prenons-en un. Dans la ligne du haut, nous écrivons les coefficients du polynôme et tout se passe comme d'habitude :

Puisque quatre n’est clairement pas zéro, la valeur n’est pas la racine du polynôme en question. Mais elle nous aidera beaucoup.

Théorème 2 Si pour certains en général la valeur du polynôme est non nulle : , alors ses racines rationnelles (s'ils existent) satisfaire la condition

Dans notre cas et donc toutes les racines possibles doivent satisfaire à la condition (appelons-le Condition n°1). Ce quatre sera le « tueur » de nombreux « candidats ». À titre de démonstration, je vais examiner quelques contrôles :

Vérifions le "candidat". Pour ce faire, représentons-le artificiellement sous la forme d'une fraction, d'où on voit clairement que . Calculons la différence de test : . Quatre est divisé par « moins deux » : , ce qui signifie que la racine possible a réussi le test.

Vérifions la valeur. Ici, la différence de test est : . Bien entendu, le deuxième « sujet » reste donc également sur la liste.

Il existe un algorithme pour diviser un polynôme f(x) à ( x–un), appelé schéma de Horner.

Laisser f(x) = , degré f(x) = n, un 0. Diviser f(x) à ( x–un), on obtient : (*) f(x) = (x – une) ×q(x)+r, Où rÎ F,degq(x) = n – 1.

Écrivons-le q(x)= b n -1 x n -1 + b n -2 x n -2 + … + b 1 x + b 0. Puis en remplaçant (*) par égalité à la place f(x) Et q(x) leurs expressions, on obtient :

un n x n + un n-1 x n-1 + … + un 1 x + un 0 = (x – une) (b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + … + b 1 x + b 0)+r

Puisque les polynômes sont égaux, les coefficients des puissances correspondantes doivent être égaux.

r – ab 0 = une 0 r = une 0 + ab 0

b 0 – ab 1 = a 1 b 0 = a 1 + ab 1

…………… .. ……………

b n -1 = a n a n = a n -1

Calculer les coefficients d'un polynôme q(x) est plus pratique à implémenter à l’aide d’un tableau (diagramme de Horner).

En utilisant le schéma Horner, vous pouvez résoudre les types de problèmes suivants :

1. Trouver q(x) Et r lors de la division f(x) à ( x – une);

2. Calculez la valeur du polynôme f(x) à x = un;

3. Découvrez s'il y aura x = un racine du polynôme f(x), et F;

4. Déterminez la multiplicité de la racine ;

5. Développez le polynôme en puissances ( x – une).

6. Calculer la valeur d'un polynôme f(x) et tous ses dérivés à x = un.

Exemple. Laisser f(x) = x 5 – 15 x4 + 76 x3 – 140x2 + 75x– 125 et une = 5.

Faisons un diagramme de Horner :

1. Calculez le quotient incomplet q(x) et le reste r lors de la division f(x) à ( X- 5). Dans la deuxième ligne du tableau on voit que les coefficients du quotient q(x) sont égaux à : 1, – 10, 26, – 10, 25, donc q(x) = 1x4– 10x3+ 26x2– 10x + 25, et le reste r est égal à 0.

2. Calculez la valeur du polynôme f(x) à X = 5. Utilisons le théorème de Bezout : f(5) = r = 0.

3. Voyons s'il y aura X = 5 racine d'un polynôme f(x). Par définition UN- racine f(x), Si f(UN) = 0. Depuis f(5) = r= 0, alors 5 est la racine f(x).

4. À partir des deuxième, troisième et quatrième lignes du tableau, nous voyons que f(x) est divisé par ( X– 5) 3, mais f(x) n'est pas divisible par ( X– 5)4 . La racine numérique de 5 est donc un multiple de 3.

5. Développons le polynôme f(x) par degrés ( X- 5), les coefficients de dilatation c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 sont obtenus dans les dernières cellules des deuxième, troisième, quatrième, cinquième, sixième et septième lignes du schéma de Horner :

f(x) = c 0 + c 1 ( X- 5)+ avec 2 ( X- 5) 2 + avec 3 ( X- 5) 3 + avec 4 ( X- 5) 4 + avec 5 ( X- 5) 5 ou

f(x) = 26 (X- 5) 3 + 10 (X- 5) 4 + (X- 5) 5 .

6. Calculez la valeur du polynôme f(x) et tous ses dérivés à X = 5.

avec 0 = f(5) = 0, s 1 = f′(5) = 0, s 2 = = 0 f»(5) = 0,

s 3 = = 26 f'''(5) = 26 ∙ 3 ! = 156, avec 4 = = 10 f′ v (5) = 10 ∙ 4 ! = 240,

avec 5 = = 1 f v (5) = 1 ∙ 5 ! = 120.

MÉTHODE 15."Fonction logarithmique".

1. Logique – analyse mathématique sujets.

Ce sujetétudié en 10e année.

Notions de base :

fonction, donné par la formule y=log a x, où a>0, a≠0 est appelé fonction logarithmique avec base a.

Le terme est une fonction logarithmique.

Le genre est une fonction.

Différences entre espèces : 1) a>0, a≠0 ; 2) la fonction est donnée par la formule y=log a x.

Offres principales :

Propriétés de la fonction logarithmique.

1°. Le domaine de définition d’une fonction logarithmique est l’ensemble de tous nombres positifs R + , c'est à dire D(log)=R + .

2°. L'étendue d'une fonction logarithmique est l'ensemble de tous les nombres réels.

3°. La fonction logarithmique dans tout le domaine de définition augmente (pour a>1) ou diminue (pour 0<а<1).

L'affirmation suivante est vraie : les graphiques des fonctions exponentielles et logarithmiques qui ont la même base sont symétriques par rapport à la droite y=x.

Idées principales et méthodes d'étude :

Les définitions des concepts sont explicites, à travers les différences de genre et d'espèce les plus proches - constructives.

Méthodes de preuve :

Déductive (basée sur la définition) utilisant des méthodes mathématiques : logarithme des degrés, propriétés fondamentales des degrés, méthode par contradiction.

Par exemple, la propriété selon laquelle pour a>1 une fonction augmente est prouvée en définissant une fonction croissante, en utilisant la méthode des contradictions.

1. - en astronomie (estimation de la luminosité des étoiles) ;

- en physique ;

- en mathématiques supérieures (logique mathématique, analyse mathématique).

Principaux types de problèmes mathématiques sur le sujet

Trouver le domaine de la fonction ;

Représentez graphiquement la fonction ;

Trouver la plage de la fonction ;

Trouver les intervalles de signe constant de la fonction ;

Explorez la fonction et construisez son graphique ;

Trouver la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction ;

Trouvez le sens de l’expression.

Erreurs et difficultés typiques dans l'étude du sujet

Erreurs mathématiques :

ü erreurs de calcul : lors de la résolution d'équations et d'inégalités, lors de la recherche de valeurs de fonctions, lors de l'utilisation de puissances ;

ü erreurs logiques : dans l'exécution de transformations d'identité, dans l'utilisation des propriétés des logarithmes, dans la définition de concepts, dans la dérivation de formules ;

ü erreurs graphiques : lors de la construction de graphiques de fonctions (les propriétés des fonctions ne sont pas prises en compte) ; Les transformations graphiques ne sont pas appliquées correctement.

3. méthodes et techniques permettant aux étudiants de travailler avec un manuel de mathématiques en fonction des caractéristiques d'âge des étudiants.

Dans les classes 5 et 6, les méthodes suivantes de travail avec le manuel sont utilisées :

1. lecture de règles, définitions, énoncés de théorèmes par les élèves après explication du professeur

2. lecture à haute voix par l'enseignant aux élèves, en soulignant les éléments principaux et essentiels

3. travailler avec des formules et des illustrations sur la couverture du manuel

4. les élèves lisent le manuel et répondent aux questions de l’enseignant

Dans les classes 7 et 8, les méthodes suivantes de travail avec le manuel sont ajoutées :

1. lire des textes après les avoir expliqués par le professeur

2. les élèves lisent le texte et le décomposent en paragraphes significatifs

3. lecture du texte du manuel par les élèves et rédaction des phrases principales du sujet selon le plan proposé par l'enseignant

De la 9e à la 11e année, les éléments suivants sont ajoutés à tout ce qui est proposé :

1. analyse d'exemples donnés par les élèves dans le manuel, après que l'enseignant ait expliqué le sujet

2. lecture du texte par les élèves et rédaction d'une synthèse à l'appui de ce texte

3. lire le texte du manuel et les élèves élaborent indépendamment un plan pour ce texte.

Pédagogique : pendant le cours, assurer la maîtrise du concept de fonction logarithmique, développer la capacité à déterminer les propriétés des fonctions logarithmiques et développer la capacité à représenter des graphiques d'une fonction logarithmique.

Développemental : favoriser le développement de la pensée, de la perception, de la mémoire, de l’imagination, de l’attention.

Pédagogique : cultiver un intérêt stable pour les mathématiques, cultiver certaines qualités de personnalité : précision, persévérance, travail acharné.

Type de cours : apprendre du nouveau matériel

Structure de la leçon :

1. moment d'organisation ; 2. fixer des objectifs de cours ; 3.vérifier les devoirs ; 4. préparation à l'étude de nouveaux matériaux ; 5. apprendre du nouveau matériel ; 6. consolidation primaire et compréhension du nouveau matériel ; 7. établir des devoirs ; 8. résumer la leçon.;

Aujourd'hui, nous allons étudier une nouvelle fonction logarithmique. Lorsque nous avons étudié la fonction exponentielle, nous avons organisé ses propriétés dans un tableau. Maintenant je vous propose d'ouvrir la page 98 de vos manuels, de lire le paragraphe 18 et d'écrire une synthèse à l'appui dans vos cahiers selon le plan proposé au tableau. Vous formaterez le résumé justificatif de la même manière que vous l’avez fait lors de l’étude de la fonction exponentielle. Plan de base. 3. définition d'une fonction logarithmique 4. formater les propriétés d'une fonction logarithmique dans un tableau.
Et maintenant, j'invite une personne au tableau qui formatera correctement les notes au tableau. 5. Une fonction numérique avec un domaine de définition D est une correspondance dans laquelle chaque nombre x de l'ensemble D est associé, selon une règle, à un nombre y dépendant de x. 6. puissance, exponentielle.
Le lecteur moyen de Habrahabr ne peut pas être qualifié d’inexpérimenté dans l’utilisation de toutes sortes de perversions. Une personne sur deux dira que le polynôme doit être calculé à l'aide de la règle de Horner. Mais il y a toujours un petit « mais », le plan de Horner est-il toujours le plus efficace ?

Schéma Horner

Exceptions

Y a-t-il autre chose, puisque le système de Horner est le plus économique ?

Dans certains cas, il est conseillé d'utiliser des schémas en deux étapes pour obtenir des valeurs polynomiales. Dans un premier temps, les actions sont effectuées uniquement sur les coefficients du polynôme en lequel il est transformé ; type spécial. Dans un deuxième temps, la valeur du polynôme lui-même est calculée pour les valeurs données de l'argument. Dans ce cas, il se peut que le nombre d’opérations effectuées à la deuxième étape soit inférieur à celui des calculs utilisant le schéma de Horner.

Encore une fois, je note que de telles méthodes de calcul sont appropriées lors du calcul des valeurs d'un polynôme pour grand nombre x valeurs. Le gain est obtenu du fait que la première étape du polynôme n'est effectuée qu'une seule fois. Un exemple serait le calcul fonctions élémentaires, où le polynôme d'approximation est préparé à l'avance.

Dans d'autres discussions, parlant du nombre d'opérations de calcul, je garderai à l'esprit la complexité de la deuxième étape des calculs.

Schéma de J. Todt pour les polynômes de degré 6

Les coefficients sont déterminés par la méthode coefficients incertains basé sur l'état. A partir de la dernière condition, nous composons un système d'équations, égalisant les coefficients pour degrés égaux polynômes.

Je ne présenterai pas ici le système lui-même. Mais cela peut être facilement résolu par la méthode des substitutions, et il faut résoudre équations quadratiques. Les coefficients peuvent s'avérer complexes, mais si les coefficients s'avèrent réels, alors les calculs nécessitent trois multiplications et sept additions au lieu de cinq multiplications et six additions selon le schéma de Horner.

Il n’est pas nécessaire de parler de l’universalité de ce schéma, mais le lecteur peut clairement apprécier la réduction du nombre d’opérations par rapport au schéma de Horner.

Schéma Yu.L. Ketkova

Yu.L. Ketkov a donné idée générale polynôme du nième degré pour n>5, conduisant toujours à des expressions réelles et nécessitant [(n+1)/2]+ multiplications et n+1 ajouts pour calculer le polynôme du nième degré.

Par exemple, avec n=2k, le schéma de Ketkov se réduit à trouver des polynômes :

Tous les coefficients inconnus sont trouvés à partir de l'égalité. Dans les travaux de Ketkov, une méthode est donnée pour résoudre les systèmes résultants, qui donne toujours des coefficients réels.

Schémas de V.Ya. Pana

V.Ya. Pan a travaillé sur des problèmes de calcul optimal de polynômes. Il a notamment proposé plusieurs schémas de calcul de polynômes réels, très proches des estimations d'E. Belaga. Je vais donner quelques schémas de Pan pour des polynômes réels.
1. Schéma de calcul des polynômes du quatrième degré.
Un polynôme est considéré.

Présentons-le sous la forme :

Pour calculer la valeur d'un polynôme, nous utilisons les expressions suivantes :

Ce circuit nécessite une multiplication et une addition dans la deuxième étape.

La particularité de ce schéma est que les coefficients existent toujours pour les coefficients réels du polynôme d'origine.

Chez V.Ya. Pan il existe d'autres schémas de calcul de polynômes, y compris des schémas complexes.

Conclusion

Cependant, si le nombre de valeurs polynomiales à calculer est important et que les performances sont très importantes, il est alors logique d'envisager d'utiliser méthodes spéciales calculs polynomiaux.

Certains lecteurs diront que jouer avec des projets autres que ceux de Horner est difficile, fastidieux et ne vaut pas la peine de s'y intéresser. Cependant, dans la vraie vie Il y a des problèmes dans lesquels il suffit de calculer un grand nombre valeurs des polynômes avec à grands degrés(par exemple, leur calcul peut prendre des mois), et diviser par deux le nombre de multiplications donnera un gain de temps important, même si vous devez passer quelques jours à mettre en œuvre un circuit spécifique pour calculer des polynômes.

Littérature

1. Ketkov Yu.L. À propos d'une façon de calculer des polynômes sur des machines mathématiques. // Actualités de l'Université, vol. 1., n° 4, 1958.
2. V. Ya. Pan, « Calcul de polynômes utilisant des schémas avec traitement préliminaire des coefficients et un programme de recherche automatique de paramètres », Zh. mathématiques. et les mathématiques. Fiz., 2:1 (1962), 133-140
3. V. Ya. Pan, « Sur les méthodes de calcul des valeurs des polynômes », Uspekhi Mat, 21 : 1(127) (1966), 103-134.
4. V. Ya. Pan, « Sur le calcul des polynômes du cinquième et septième degré avec des coefficients réels », Zh. mathématiques. et les mathématiques. Fiz., 5 : 1 (1965), 116-118
5. Pan V. Ya. Quelques schémas de calcul des valeurs de polynômes avec des coefficients réels. Problèmes de cybernétique. Vol. 5. M. : Nauka, 1961, 17-29.
6. Belaga E. G. Sur le calcul des valeurs d'un polynôme à une variable avec traitement préalable des coefficients. Problèmes de cybernétique. Vol. 5. M. : Fizmatgiz, 1961, 7-15.

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Calculer la valeur d’un polynôme en un point est l’un des problèmes de programmation classiques les plus simples.
Lors de la réalisation de différents types de calculs, il est souvent nécessaire de déterminer les valeurs des polynômes pour des valeurs données des arguments. Souvent, le calcul approximatif des fonctions se résume au calcul de polynômes approximatifs.
Le lecteur moyen de Habrahabr ne peut pas être qualifié d’inexpérimenté dans l’utilisation de toutes sortes de perversions. Une personne sur deux dira que le polynôme doit être calculé à l'aide de la règle de Horner. Mais il y a toujours un petit « mais », le plan de Horner est-il toujours le plus efficace ?


Mon objectif n’est pas de décrire précisément des algorithmes de calcul de polynômes, mais seulement de montrer que dans certains cas il est possible (nécessaire) d’appliquer d’autres schémas que les règles de Horner. Pour ceux qui sont intéressés par le matériel, à la fin de l'article se trouve une liste de références qui peuvent être consultées pour une étude plus détaillée de la question.
De plus, il est parfois dommage que les noms de nos mathématiciens russes restent peu connus. De plus, je suis simplement heureux de parler du travail de nos mathématiciens.

Schéma Horner

Exceptions

Y a-t-il autre chose, puisque le système de Horner est le plus économique ?

Dans certains cas, il est conseillé d'utiliser des schémas en deux étapes pour obtenir des valeurs polynomiales. Dans un premier temps, les actions sont effectuées uniquement sur les coefficients du polynôme ; celui-ci est converti sous une forme spéciale. Dans un deuxième temps, la valeur du polynôme lui-même est calculée pour les valeurs données de l'argument. Dans ce cas, il se peut que le nombre d’opérations effectuées à la deuxième étape soit inférieur à celui des calculs utilisant le schéma de Horner.

Encore une fois, notez que de telles méthodes de calcul sont utiles lors du calcul des valeurs d'un polynôme pour un grand nombre de valeurs de x. Le gain est obtenu du fait que la première étape du polynôme n'est effectuée qu'une seule fois. Un exemple est le calcul de fonctions élémentaires, où le polynôme d'approximation est préparé à l'avance.

Dans d'autres discussions, parlant du nombre d'opérations de calcul, je garderai à l'esprit la complexité de la deuxième étape des calculs.

Schéma de J. Todt pour les polynômes de degré 6

Les coefficients sont déterminés par la méthode des coefficients indéterminés basés sur la condition. À partir de la dernière condition, nous composons un système d'équations, égalisant les coefficients de degrés égaux de polynômes.

Je ne présenterai pas ici le système lui-même. Mais il est facilement résolu par la méthode de substitution, auquel cas vous devez résoudre des équations quadratiques. Les coefficients peuvent s'avérer complexes, mais si les coefficients s'avèrent réels, alors les calculs nécessitent trois multiplications et sept additions au lieu de cinq multiplications et six additions selon le schéma de Horner.

Il n’est pas nécessaire de parler de l’universalité de ce schéma, mais le lecteur peut clairement apprécier la réduction du nombre d’opérations par rapport au schéma de Horner.

Schéma Yu.L. Ketkova

Yu.L. Ketkov a donné une représentation générale du polynôme du nième degré pour n>5, qui conduit toujours à des expressions réelles et nécessite [(n+1)/2]+ multiplications et n+1 additions pour calculer le polynôme du nième degré.

Par exemple, avec n=2k, le schéma de Ketkov se réduit à trouver des polynômes :

Tous les coefficients inconnus sont trouvés à partir de l'égalité. Dans les travaux de Ketkov, une méthode est donnée pour résoudre les systèmes résultants, qui donne toujours des coefficients réels.

Schémas de V.Ya. Pana

V.Ya. Pan a travaillé sur des problèmes de calcul optimal de polynômes. Il a notamment proposé plusieurs schémas de calcul de polynômes réels, très proches des estimations d'E. Belaga. Je vais donner quelques schémas de Pan pour des polynômes réels.
1. Schéma de calcul des polynômes du quatrième degré.
Un polynôme est considéré.

Présentons-le sous la forme :

Pour calculer la valeur d'un polynôme, nous utilisons les expressions suivantes :

Ce circuit nécessite une multiplication et une addition dans la deuxième étape.

La particularité de ce schéma est que les coefficients existent toujours pour les coefficients réels du polynôme d'origine.

Chez V.Ya. Pan il existe d'autres schémas de calcul de polynômes, y compris des schémas complexes.

Conclusion

Cependant, si le nombre de valeurs polynomiales à calculer est important et que les performances sont très importantes, il est alors logique d'envisager l'utilisation de méthodes spéciales pour calculer les polynômes.

Certains lecteurs diront que jouer avec des projets autres que ceux de Horner est difficile, fastidieux et ne vaut pas la peine de s'y intéresser. Cependant, dans la vraie vie, il existe des problèmes dans lesquels vous devez simplement calculer un grand nombre de valeurs de polynômes avec de grandes puissances (par exemple, leur calcul peut prendre des mois), et réduire le nombre de multiplications de moitié donnera un gain significatif. gain de temps, même s'il faut passer quelques jours pour mettre en œuvre un schéma spécifique de calcul de polynômes.

Littérature

1. Ketkov Yu.L. À propos d'une façon de calculer des polynômes sur des machines mathématiques. // Actualités de l'Université, vol. 1., n° 4, 1958.
2. V. Ya. Pan, « Calcul de polynômes utilisant des schémas avec traitement préliminaire des coefficients et un programme de recherche automatique de paramètres », Zh. mathématiques. et les mathématiques. Fiz., 2:1 (1962), 133-140
3. V. Ya. Pan, « Sur les méthodes de calcul des valeurs des polynômes », Uspekhi Mat, 21 : 1(127) (1966), 103-134.
4. V. Ya. Pan, « Sur le calcul des polynômes du cinquième et septième degré avec des coefficients réels », Zh. mathématiques. et les mathématiques. Fiz., 5 : 1 (1965), 116-118
5. Pan V. Ya. Quelques schémas de calcul des valeurs de polynômes avec des coefficients réels. Problèmes de cybernétique. Vol. 5. M. : Nauka, 1961, 17-29.
6. Belaga E. G. Sur le calcul des valeurs d'un polynôme à une variable avec traitement préalable des coefficients. Problèmes de cybernétique. Vol. 5. M. : Fizmatgiz, 1961, 7-15.