Preuve et dérivation de formules pour la dérivée du logarithme népérien et du logarithme en base a. Exemples de calcul des dérivées de ln 2x, ln 3x et ln nx. Preuve de la formule de la dérivée du logarithme d'ordre n à l'aide de la méthode induction mathématique.

Dérivation de formules pour les dérivées du logarithme népérien et du logarithme pour baser un

La dérivée du logarithme népérien de x est égale à un divisé par x :
(1) (lnx)′ =.

La dérivée du logarithme en base a est égale à un divisé par la variable x multiplié par logarithme népérienà partir d'un :
(2) (log a x)′ =.

Preuve

Qu'il y en ait nombre positif, Pas égal à un. Considérons une fonction dépendant d'une variable x, qui est un logarithme en base :
.
Cette fonction est définie à .
(3) .

Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x. Par définition, la dérivée est la limite suivante : Transformons cette expression pour la réduire aux expressions connues
propriétés mathématiques et des règles. Pour ce faire, nous devons connaître les faits suivants :
(4) ;
(5) ;
(6) ;
UN) Propriétés du logarithme. Nous aurons besoin des formules suivantes :
(7) .
B)
Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue : Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
(8) .

DANS)
.
La signification de la deuxième limite remarquable :

.

Appliquons ces faits à notre limite. Nous transformons d’abord l’expression algébrique Pour ce faire, nous appliquons les propriétés (4) et (5). (8):
.

Utilisons la propriété (7) et la seconde
.
limite remarquable Et enfin, on applique la propriété (6) : Logarithme en base e appelé
.
logarithme népérien
.

. Il est désigné comme suit :

Alors ;

Ainsi, nous avons obtenu la formule (2) pour la dérivée du logarithme.
.
Dérivée du logarithme népérien
(1) .

Encore une fois, nous écrivons la formule de la dérivée du logarithme sur la base de a : Cette formule a la forme la plus simple pour le logarithme népérien, pour lequel , . Alors
.

En raison de cette simplicité, le logarithme naturel est très largement utilisé en analyse mathématique et dans d'autres branches des mathématiques liées au calcul différentiel.
.

Autres façons de prouver la dérivée d'un logarithme

Ici, nous supposons que nous connaissons la formule de la dérivée de l'exponentielle :
(9) .
Nous pouvons ensuite dériver la formule de la dérivée du logarithme népérien, étant donné que le logarithme est la fonction inverse de l’exponentielle.

Démontrons la formule de la dérivée du logarithme népérien, appliquer la formule de la dérivée de la fonction inverse:
.
Dans notre cas.
.
La fonction inverse du logarithme népérien est l'exponentielle :
.
Son dérivé est déterminé par la formule (9). Les variables peuvent être désignées par n'importe quelle lettre. Dans la formule (9), remplacez la variable x par y :
.
Depuis lors
.
Alors

La formule est éprouvée. Nous prouvons maintenant la formule de la dérivée du logarithme népérien en utilisant règles de différenciation fonction complexe
.
. Puisque les fonctions et sont inverses l’une de l’autre, alors
(10) .
Différencions cette équation par rapport à la variable x :
.
La dérivée de x est égale à un :
.
Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes :
.
Ici . Remplaçons dans (10) :
.

D'ici

Exemple Trouver des dérivés de En 2x, en 3x Et.

lnnx

Solution Les fonctions originales ont look similaire . Nous trouverons donc la dérivée de la fonction y = journal nx . Ensuite, nous substituons n = 2 et n = 3. Et ainsi, nous obtenons des formules pour les dérivées de en 2x En 2x, .

Et
. Nous trouverons donc la dérivée de la fonction .
On cherche donc la dérivée de la fonction
1) Imaginons cette fonction comme une fonction complexe composée de deux fonctions :
2) Fonctions dépendant d'une variable : ;
Fonctions dépendant d'une variable : .
.

Alors la fonction d'origine est composée des fonctions et :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable x :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable :
.
Nous appliquons la formule de la dérivée d'une fonction complexe.

Ici, nous l'avons mis en place.
(11) .
Nous avons donc trouvé :
.
On voit que la dérivée ne dépend pas de n.
.

Ce résultat est tout à fait naturel si l'on transforme la fonction originale en utilisant la formule du logarithme du produit :

; ; .

- c'est une constante. Sa dérivée est nulle. Alors, d’après la règle de différenciation de la somme, on a :

Répondre Dérivée du logarithme du module x Trouvons la dérivée d'un autre très
(12) .

fonction importante
.
- logarithme népérien du module x :
.

Considérons le cas.
,
La fonction ressemble alors à :
Sa dérivée est déterminée par la formule (1) :
.
Depuis lors
.

Considérons maintenant le cas.
.

La fonction ressemble alors à :
.

Où .

Mais nous avons aussi trouvé la dérivée de cette fonction dans l’exemple ci-dessus. Il ne dépend pas de n et est égal à
.
Nous combinons ces deux cas en une seule formule :
(13) .

Ainsi, pour que le logarithme soit en base a, on a :
.
Trouvons la dérivée du troisième ordre :
.
Trouvons la dérivée du quatrième ordre :
.

Vous pouvez remarquer que la dérivée d’ordre n a la forme :
(14) .
Prouvons-le par induction mathématique.

Preuve

Remplaçons la valeur n = 1 dans la formule (14) :
.
Depuis , alors quand n = 1 , la formule (14) est valide.

Supposons que la formule (14) soit satisfaite pour n = k. + 1 .

Montrons que cela implique que la formule est valable pour n = k
.
En effet, pour n = k on a :

.
Différencier par rapport à la variable x :
.
Nous avons donc : 1 Cette formule coïncide avec la formule (14) pour n = k + 1 .

.

Ainsi, de l'hypothèse que la formule (14) est valable pour n = k, il s'ensuit que la formule (14) est valable pour n = k +

Par conséquent, la formule (14), pour la dérivée du nième ordre, est valable pour tout n.
.
Dérivées d'ordres supérieurs du logarithme pour baser un
.

Pour trouver la dérivée d'ordre n d'un logarithme en base a, vous devez l'exprimer en termes de logarithme népérien :

En appliquant la formule (14), on trouve la nième dérivée :
(1) Preuve et dérivation des formules pour la dérivée de l'exponentielle (e à la puissance x) et de la fonction exponentielle (a à la puissance x). Exemples de calcul des dérivées de e^2x, e^3x et e^nx. Formules pour les dérivés d'ordres supérieurs..

La dérivée d'un exposant est égale à l'exposant lui-même (la dérivée de e à la puissance x est égale à e à la puissance x) :
(2) .

(e x )′ = e x

La dérivée d'une fonction exponentielle de base a est égale à la fonction elle-même multipliée par le logarithme naturel de a :
.
Dérivation de la formule de la dérivée de l'exponentielle, e à la puissance x Une exponentielle est une fonction exponentielle dont la base de puissance est égale au nombre e, qui est la limite suivante : Ici, cela peut être à la fois naturel et

nombre réel

. Ensuite, nous dérivons la formule (1) pour la dérivée de l’exponentielle.
Dérivation de la formule dérivée exponentielle
Considérons l'exponentielle, e à la puissance x :
(3) .

y = ex.
propriétés mathématiques Cette fonction est définie pour tout le monde.
(4) ;
UN) Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x.
(5) ;
Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue : Propriétés du logarithme. Nous aurons besoin des formules suivantes :
(6) .
B)
Par définition, la dérivée est la limite suivante : Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
(7) .

Transformons cette expression pour la réduire à des propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous avons besoin des faits suivants :
;
.

Propriété de l'exposant :
Propriété du logarithme :
.
g)
.

Appliquons ces faits à notre limite (3). On utilise la propriété (4) :
.

Faisons une substitution.
Alors ; .
.

En raison de la continuité de l'exponentielle,
.
Ici, nous avons également utilisé la deuxième limite remarquable (7). Alors
.

Ainsi, nous avons obtenu la formule (1) pour la dérivée de l'exponentielle.

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction exponentielle

Nous dérivons maintenant la formule (2) pour la dérivée de la fonction exponentielle avec une base de degré a.
(8)
Nous le croyons et.

Alors la fonction exponentielle Défini pour tout le monde. Transformons la formule (8). Pour cela nous utiliserons
;
.
propriétés de la fonction exponentielle
.

et logarithme.

Nous avons donc transformé la formule (8) sous la forme suivante :
(14) .
(1) .

Dérivées d'ordre supérieur de e à la puissance x
;
.

Trouvons maintenant les dérivées d'ordres supérieurs. Regardons d'abord l'exposant :
.

On voit que la dérivée de la fonction (14) est égale à la fonction (14) elle-même. En différenciant (1), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :

Cela montre que la dérivée d'ordre n est également égale à la fonction d'origine : Dérivées d'ordre supérieur de la fonction exponentielle Considérons maintenant
.
Nous combinons ces deux cas en une seule formule :
(15) .

fonction exponentielle
;
.

avec base de puissance a :
.

En différenciant (15), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
On voit que chaque différenciation conduit à la multiplication de la fonction originale par .

Par conséquent, la dérivée d’ordre n a la forme suivante :

Dérivés complexes. Dérivée logarithmique. Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle Nous continuons à améliorer notre technique de différenciation. Dans cette leçon, nous consoliderons le matériel que nous avons couvert, examinerons des dérivées plus complexes et nous familiariserons également avec de nouvelles techniques et astuces pour trouver une dérivée, en particulier avec la dérivée logarithmique. Aux lecteurs qui ont niveau bas préparation, vous devriez vous référer à l'article Comment trouver la dérivée ? Exemples de solutions , ce qui vous permettra d'améliorer vos compétences presque à partir de zéro. Ensuite, vous devez étudier attentivement la page Dérivée d'une fonction complexe , comprendre et résoudre Tous les exemples que j'ai donnés. Cette leçon

logiquement le troisième, et après l'avoir maîtrisé vous différencierez en toute confiance des fonctions assez complexes. Il n’est pas souhaitable d’adopter la position « Où d’autre ? Oui, ça suffit ! », puisque tous les exemples et solutions sont tirés du réel préparation, vous devriez vous référer à l'article essais et sont souvent rencontrés dans la pratique.– vous devrez très souvent différencier, et il n’est pas toujours pratique (ni nécessaire) de décrire des exemples de manière très détaillée. Par conséquent, nous nous entraînerons à trouver des dérivées oralement. Les « candidats » les plus appropriés pour cela sont les dérivés des fonctions complexes les plus simples, par exemple :

Selon la règle de différenciation des fonctions complexes :

Lors de l'étude d'autres sujets matan à l'avenir, cela entrée détaillée le plus souvent, cela n'est pas obligatoire ; on suppose que l'étudiant sait trouver de telles dérivées sur pilote automatique. Imaginons qu'à 3 heures du matin il y ait un coup de fil, Et voix agréable a demandé : « Quelle est la dérivée de la tangente de deux X ? » Cela devrait être suivi d’une réponse presque instantanée et polie : .

Le premier exemple sera immédiatement destiné à décision indépendante.

Exemple 1

Trouver oralement, en une seule action, les dérivées suivantes : . Pour terminer la tâche, il vous suffit d'utiliser table des dérivées des fonctions élémentaires(si vous ne vous en souvenez pas encore). Si vous rencontrez des difficultés, je vous recommande de relire la leçon préparation, vous devriez vous référer à l'article.

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, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Réponses à la fin de la leçon

Dérivés complexes

Après une préparation préliminaire de l'artillerie, les exemples avec des imbrications de fonctions 3-4-5 seront moins effrayants. Peut-être que les deux exemples suivants sembleront compliqués à certains, mais si vous les comprenez (quelqu'un en souffrira), alors presque tout le reste est calcul différentiel Cela ressemblera à une blague d'enfant.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme déjà noté, pour trouver la dérivée d'une fonction complexe, il faut tout d'abord Droite COMPRENEZ vos investissements. En cas de doute, je vous rappelle astuce utile: on prend par exemple la valeur expérimentale de « x » et on essaie (mentalement ou dans un brouillon) de lui substituer valeur donnée en une « expression terrible ».

1) Nous devons d’abord calculer l’expression, ce qui signifie que la somme est l’intégration la plus profonde.

2) Ensuite, vous devez calculer le logarithme :

4) Puis cubez le cosinus :

5) A la cinquième étape la différence :

6) Et enfin, la fonction la plus externe est la racine carrée :

Formule pour différencier une fonction complexe sera utilisé dans ordre inverse, de la fonction la plus externe à la fonction la plus interne. Nous décidons :

Il semble qu'il n'y ait aucune erreur...

(1) On prend la dérivée de racine carrée.

(2) On prend la dérivée de la différence en utilisant la règle

(3) La dérivée du triple est nulle. Au deuxième terme on prend la dérivée du degré (cube).

(4) Prenez la dérivée du cosinus.

(5) Prenez la dérivée du logarithme.

(6) Et enfin, nous prenons la dérivée du plongement le plus profond.

Cela peut paraître trop difficile, mais ce n’est pas l’exemple le plus brutal. Prenez, par exemple, la collection de Kuznetsov et vous apprécierez toute la beauté et la simplicité du dérivé analysé. J'ai remarqué qu'ils aiment donner une chose similaire lors d'un examen pour vérifier si un étudiant comprend comment trouver la dérivée d'une fonction complexe ou ne comprend pas.

Exemple suivant pour une décision indépendante.

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Astuce : nous appliquons d’abord les règles de linéarité et la règle de différenciation des produits.

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Il est temps de passer à quelque chose de plus petit et de plus joli.
Il n'est pas rare qu'un exemple montre le produit non pas de deux, mais trois fonctions. Comment trouver la dérivée de produits de trois des multiplicateurs ?

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Voyons d’abord s’il est possible de transformer le produit de trois fonctions en produit de deux fonctions ? Par exemple, si nous avions deux polynômes dans le produit, nous pourrions ouvrir les parenthèses. Mais dans l’exemple considéré, toutes les fonctions sont différentes : degré, exposant et logarithme.

Dans de tels cas, il est nécessaire séquentiellement appliquer la règle de différenciation des produits deux fois

L'astuce est que par « y » nous désignons le produit de deux fonctions : , et par « ve » nous désignons le logarithme : . Pourquoi cela peut-il être fait ? Est-ce vraiment – ce n’est pas le produit de deux facteurs et la règle ne fonctionne pas ?! Il n'y a rien de compliqué :

Reste maintenant à appliquer la règle une seconde fois mettre entre parenthèses :

Vous pouvez toujours être pervers et prendre quelque chose entre parenthèses, mais dans dans ce cas Il est préférable de laisser la réponse sous cette forme - ce sera plus facile à vérifier.

L'exemple considéré peut être résolu de la deuxième manière :

Les deux solutions sont absolument équivalentes.

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution indépendante ; dans l’exemple, elle est résolue en utilisant la première méthode.

Considérons exemples similaires avec des fractions.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Vous pouvez y accéder de plusieurs manières :

Ou comme ceci :

Mais la solution s'écrira de manière plus compacte si l'on utilise d'abord la règle de différenciation du quotient , en prenant pour tout le numérateur :

En principe, l’exemple est résolu, et s’il reste tel quel, ce ne sera pas une erreur. Mais si vous avez le temps, il est toujours conseillé de vérifier sur le brouillon pour voir si la réponse peut être simplifiée ? Réduisons l'expression du numérateur à dénominateur commun en 3x débarrassons-nous de la fraction à trois étages:

Moins simplifications supplémentaires c'est qu'il y a un risque de se tromper non pas en trouvant la dérivée, mais lors de banales transformations scolaires. D'un autre côté, les enseignants rejettent souvent le devoir et demandent de « y penser » par la dérivée.

Un exemple plus simple à résoudre par vous-même :

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous continuons à maîtriser les méthodes de recherche de la dérivée, et nous allons maintenant considérer un cas typique où un logarithme « terrible » est proposé pour la différenciation

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez aller très loin en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

Mais le tout premier pas vous plonge immédiatement dans le découragement - vous devez prendre le dérivé désagréable de puissance fractionnaire, puis aussi de la fraction.

C'est pourquoi avant comment prendre la dérivée d'un logarithme « sophistiqué », elle est d'abord simplifiée à l'aide de propriétés scolaires bien connues :

! Si vous avez un cahier de pratique sous la main, copiez-y directement ces formules. Si vous n'avez pas de cahier, copiez-les sur une feuille de papier, car les exemples restants de la leçon tourneront autour de ces formules.

La solution elle-même peut s’écrire quelque chose comme ceci :

Transformons la fonction :

Trouver la dérivée :

La pré-conversion de la fonction elle-même a grandement simplifié la solution. Ainsi, lorsqu'un logarithme similaire est proposé pour la différenciation, il convient toujours de le « décomposer ».

Et maintenant quelques exemples simples à résoudre par vous-même :

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Toutes les transformations et réponses sont à la fin de la leçon.

Dérivée logarithmique

Si la dérivée des logarithmes est une si douce musique, alors la question se pose : est-il possible dans certains cas d'organiser artificiellement le logarithme ? Peut! Et même nécessaire.

Exemple 11

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous avons récemment examiné des exemples similaires. Ce qu'il faut faire? Vous pouvez appliquer séquentiellement la règle de différenciation du quotient, puis la règle de différenciation du produit. L’inconvénient de cette méthode est que vous vous retrouvez avec une énorme fraction de trois étages, avec laquelle vous ne voulez pas du tout vous occuper.

Mais en théorie et en pratique, il existe une chose aussi merveilleuse que la dérivée logarithmique. Les logarithmes peuvent être organisés artificiellement en les « accrochant » des deux côtés :

Il faut maintenant « briser » le plus possible le logarithme du côté droit (les formules sous vos yeux ?). Je vais décrire ce processus en détail :

Commençons par la différenciation.
Nous concluons les deux parties sous le prime :

La dérivée du membre de droite est assez simple ; je ne la commenterai pas, car si vous lisez ce texte, vous devriez pouvoir la gérer en toute confiance.

Et le côté gauche ?

Sur le côté gauche, nous avons fonction complexe. Je prévois la question : « Pourquoi y a-t-il une lettre « Y » sous le logarithme ?

Le fait est que ce « jeu à une lettre » - EST-IL MÊME UNE FONCTION(si ce n'est pas très clair, référez-vous à l'article Dérivée d'une fonction spécifiée implicitement). Par conséquent, le logarithme est une fonction externe et le « y » est fonction interne. Et nous utilisons la règle pour différencier une fonction complexe :

Sur le côté gauche, comme par magie baguette magique nous avons une dérivée. Ensuite, selon la règle de proportion, on transfère le « y » du dénominateur du côté gauche vers le haut du côté droit :

Et maintenant, rappelons-nous de quel type de fonction de « joueur » nous avons parlé lors de la différenciation ? Regardons la condition :

Réponse finale :

Exemple 12

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Exemple d'exemple de conception de ce genreà la fin de la leçon.

En utilisant la dérivée logarithmique, il a été possible de résoudre n'importe lequel des exemples n° 4 à 7, une autre chose est que les fonctions y sont plus simples et, peut-être, l'utilisation de la dérivée logarithmique n'est pas très justifiée.

Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle

Nous n'avons pas encore considéré cette fonction. Une fonction exponentielle en puissance est une fonction pour laquelle le degré et la base dépendent du «x». Exemple classique, qui vous sera donné dans n'importe quel manuel ou lors de n'importe quelle conférence :

Comment trouver la dérivée d’une fonction puissance-exponentielle ?

Il est nécessaire d'utiliser la technique qui vient d'être évoquée - la dérivée logarithmique. Nous accrochons des logarithmes des deux côtés :

En règle générale, sur le côté droit, le degré est soustrait sous le logarithme :

On a donc du côté droit le produit de deux fonctions, qui seront différenciées par formule standard .

On trouve la dérivée ; pour ce faire, on met les deux parties sous des traits :

Prochaines étapes sont simples :

Enfin:

Si une conversion n'est pas tout à fait claire, veuillez relire attentivement les explications de l'exemple n° 11.

DANS tâches pratiques La fonction puissance-exponentielle sera toujours plus complexe que l’exemple discuté dans le cours.

Exemple 13

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous utilisons la dérivée logarithmique.

Sur le côté droit, nous avons une constante et le produit de deux facteurs - « x » et « logarithme du logarithme x » (un autre logarithme est imbriqué sous le logarithme). Lors de la différenciation, on s'en souvient, il est préférable de déplacer immédiatement la constante hors du signe dérivé afin qu'elle ne gêne pas ; et, bien sûr, nous appliquons la règle familière :

Comme vous pouvez le constater, l'algorithme d'utilisation de la dérivée logarithmique ne contient aucune astuce ou astuce particulière, et trouver la dérivée d'une fonction puissance-exponentielle n'est généralement pas associée au « tourment ».

L’opération consistant à trouver la dérivée est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau de dérivées est apparu et exactement certaines règles différenciation. Les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, vous n'avez pas besoin de calculer la limite mentionnée ci-dessus du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il vous suffit d'utiliser le tableau de dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, il vous faut une expression sous le signe premier décomposer des fonctions simples en composants et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. Autres dérivés fonctions élémentaires on retrouve dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, somme et quotient sont dans les règles de différenciation. La table des dérivées et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.

Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. À partir des règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de « X » est égale à un et que la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On différencie comme dérivée d'une somme dont le deuxième terme a un facteur constant il peut être soustrait du signe de la dérivée :

Si des questions se posent encore quant à l'origine de quelque chose, elles sont généralement résolues après s'être familiarisé avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous passons à eux en ce moment.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). N'importe quel nombre (1, 2, 5, 200...) présent dans l'expression de fonction. Toujours égal à zéro. Il est très important de s’en souvenir, car cela est très souvent nécessaire.
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent « X ». Toujours égal à un. Il est également important de s'en souvenir longtemps
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en puissances.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivée de racine carrée
6. Dérivée du sinus
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée de la tangente
9. Dérivée de cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arccosinus
12. Dérivée de l'arctangente
13. Dérivée de l'arc cotangent
14. Dérivée du logarithme népérien
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée d'une fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée d'une somme ou d'une différence
2. Dérivé du produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors les fonctions sont différentiables au même point

et

ceux. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à somme algébrique dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est-à-dire

Règle 2.Si les fonctions

sont différentiables à un moment donné, alors leur produit est différentiable au même point

et

ceux. La dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et de la dérivée de l'autre.

Corollaire 1. Multiplicateur constant peut être retiré du signe dérivé:

Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chaque facteur et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3.Si les fonctions

différenciable à un moment donné Et , alors à ce stade leur quotient est également dérivableu/v, et

ceux. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et le numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur.

Où chercher des choses sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée d'un produit et du quotient dans de vrais problèmes Il faut toujours appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, donc plus d'exemples pour ces dérivés - dans l'article"Dérivée du produit et quotient des fonctions".

Commentaire. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme dans une somme et comme un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est soustraite du signe des dérivées. Ce erreur typique, qui se produit le étape initialeétudient les dérivées, mais comme ils résolvent plusieurs exemples en une ou deux parties, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous disposez d'un terme toi"v, dans lequel toi- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (ce cas est abordé dans l'exemple 10).

Autre erreur courante - solution mécanique dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais nous allons d'abord apprendre à trouver des dérivées fonctions simples.

En chemin, on ne peut pas se passer de transformer les expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir le manuel dans une nouvelle fenêtre. Des actions avec des pouvoirs et des racines en 3x Opérations avec des fractions .

Si vous cherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon « Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines ».

Si vous avez une tâche comme , alors vous suivrez la leçon « Dérivées de fonctions trigonométriques simples ».

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous définissons les parties de l'expression de fonction : l'expression entière représente un produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme le deuxième terme a un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, « X » devient un et moins 5 devient zéro. Dans la deuxième expression, « x » est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de « x ». Nous obtenons valeurs suivantes dérivés :

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l’ancien numérateur. On obtient :

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel, est pris avec un signe moins :

Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, , alors bienvenue en classe "Dérivée de sommes de fractions avec puissances et racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors une leçon pour toi "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous avons pris connaissance de la dérivée dans le tableau des dérivées. Selon la règle de différenciation du produit et valeur du tableau dérivée de la racine carrée on obtient :

Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction on voit un quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. En utilisant la règle de différenciation des quotients, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulée de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Pour supprimer une fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .

Dans cette leçon, nous apprendrons à appliquer des formules et des règles de différenciation.

Exemples. Trouver des dérivées de fonctions.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Appliquer la règle je, formules 4, 2 et 1. On obtient :

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Nous résolvons de la même manière, en utilisant les mêmes formules et formules 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Appliquer la règle je, formules 3, 5 en 3x 6 en 3x 1.

Appliquer la règle IV, formules 5 en 3x 1 .

Dans le cinquième exemple, selon la règle je la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées, et on vient de trouver la dérivée du 1er terme (exemple 4 ), on trouvera donc des dérivées 2ème Et 3ème termes, et pour le 1er en résumé, nous pouvons immédiatement écrire le résultat.

Différencions 2ème en 3x 3ème termes selon la formule 4 . Pour ce faire, on transforme les racines des troisième et quatrième puissances des dénominateurs en puissances de c indicateurs négatifs, puis, par 4 formule, on trouve des dérivées de puissances.

Regarder cet exemple et le résultat obtenu. Avez-vous saisi le modèle ? Bien. Cela signifie que nous avons nouvelle formule et nous pouvons l'ajouter à notre table de dérivés.

Résolvons le sixième exemple et dérivons une autre formule.

Utilisons la règle IV et formule 4 . Réduisons les fractions résultantes.

Regardons cette fonction et son dérivé. Bien sûr, vous comprenez le modèle et êtes prêt à nommer la formule :

Apprendre de nouvelles formules !

Exemples.

1. Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction y= x2, Si valeur initiale l'argument était égal 4 , et nouveau - 4,01 .

Solution.

Nouvelle valeur d'argument x=x 0 +Δx. Remplaçons les données : 4.01=4+Δx, d'où l'incrément de l'argument Δх=4,01-4=0,01. L'incrément d'une fonction, par définition, est égal à la différence entre les nouvelles et précédentes valeurs de la fonction, c'est-à-dire Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Puisque nous avons une fonction y=x2, Que Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Répondre: incrément d'argument Δх=0,01 ; incrément de fonction Δу=0,0801.

La fonction incrément pourrait être trouvée différemment : Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Trouver l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction y=f(x) au point x0, Si f"(x 0) = 1.

Solution.

La valeur de la dérivée au point de tangence x0 et est la valeur de la tangente de l'angle tangent ( signification géométrique dérivé). Nous avons: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, parce que tg45°=1.

Répondre: la tangente au graphique de cette fonction forme un angle avec la direction positive de l'axe Ox égal à 45°.

3. Dériver la formule de la dérivée de la fonction y = xn.

Différenciation est l’action de trouver la dérivée d’une fonction.

Lorsque vous recherchez des dérivées, utilisez des formules dérivées sur la base de la définition d'une dérivée, de la même manière que nous avons dérivé la formule du degré de dérivée : (x n)" = nx n-1.

Ce sont les formules.

Tableau des dérivés Il sera plus facile de mémoriser en prononçant des formulations verbales :

1. Dérivé valeur constanteégal à zéro.

2. X premier est égal à un.

3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée.

4. La dérivée d'un degré est égale au produit de l'exposant de ce degré par un degré de même base, mais l'exposant est un de moins.

5. La dérivée d’une racine est égale à un divisé par deux racines égales.

6. La dérivée de un divisé par x est égale à moins un divisé par x au carré.

7. La dérivée du sinus est égale au cosinus.

8. La dérivée du cosinus est égale à moins le sinus.

9. La dérivée de la tangente est égale à un divisé par le carré du cosinus.

10. La dérivée de la cotangente est égale à moins un divisé par le carré du sinus.

Nous enseignons règles de différenciation.

1. La dérivée d'une somme algébrique est égale à la somme algébrique des dérivées des termes.

2. La dérivée d'un produit est égale au produit de la dérivée du premier facteur et du second plus le produit du premier facteur et de la dérivée du second.

3. La dérivée de « y » divisée par « ve » est égale à une fraction dont le numérateur est « y premier multiplié par « ve » moins « y multiplié par ve premier » et le dénominateur est « ve au carré ».

4. Cas particulier formules 3.

Apprenons ensemble !

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