કાયદો મોટી સંખ્યામાંએ હકીકતને કારણે સંભાવના સિદ્ધાંતનો કેન્દ્રિય કાયદો છે કે તે નિયમિતતા અને રેન્ડમનેસ વચ્ચેના મૂળભૂત જોડાણને ઘડે છે. જેમ કે, તે દલીલ કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં અકસ્માતો એક પેટર્ન તરફ દોરી જાય છે, જે ઘટનાઓના કોર્સની આગાહી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. સૌથી વધુ માં સામાન્ય સ્વરૂપતે પોતાની જાતને વ્યક્ત કરે છે ચેબીશેવનું પ્રમેય:

ચાલો ( Χ 1; X 2 ; … X n ; ...) સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ (તેઓ માનવામાં આવે છે અનંત સંખ્યા). અને તેમના ભિન્નતાને સમાનરૂપે મર્યાદિત રહેવા દો (એટલે ​​​​કે, આ બધાના ભિન્નતા રેન્ડમ ચલોકેટલાક સતત કરતાં વધી નથી સાથે):

પછી ભલે ગમે તેટલું ઓછું હોય હકારાત્મક સંખ્યા, મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ સંતુષ્ટ છે:

જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય. અથવા, સમાન વસ્તુ, સંભાવના શું છે

આમ, ચેબીશેવનું પ્રમેય જણાવે છે કે જો આપણે પૂરતી મોટી સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ nસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn), તો ઘટનાને લગભગ વિશ્વાસપાત્ર ગણી શકાય (એકતાની નજીકની સંભાવના સાથે) કે આ રેન્ડમ ચલોના અંકગણિત સરેરાશનું વિચલન તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશમાંથી હશે. સંપૂર્ણ મૂલ્યતમને ગમે તેટલું નાનું.

પુરાવો. Χ 1; X 2 ; … Xn):

(4)

; (5)

શરતોને ધ્યાનમાં લઈને (1), અમે તે સ્થાપિત કરીએ છીએ

(6)

આમ, જ્યારે તફાવત છે. એટલે કે, જ્યારે તેની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો ફેલાવો થાય છે ગાણિતિક અપેક્ષાઅનિશ્ચિત રૂપે ઘટે છે. અને આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે મૂલ્ય, એટલે કે, . અથવા, વધુ ચોક્કસ કહીએ તો, રેન્ડમ ચલ તેની ગાણિતિક અપેક્ષા - અચળ - થી ઓછામાં ઓછું કોઈક રીતે વિચલિત થવાની સંભાવના શૂન્ય તરફ વળે છે. એટલે કે, કોઈપણ મનસ્વી રીતે નાની હકારાત્મક સંખ્યા માટે

તેથી, સાબિત ચેબીશેવ પ્રમેય અનુસાર, મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ ( Χ 1; X 2 ; … Xn), એક અવ્યવસ્થિત ચલ હોવાને કારણે, વાસ્તવમાં અવ્યવસ્થિતતાનું પાત્ર ગુમાવે છે, હકીકતમાં, એક અપરિવર્તનશીલ સ્થિરાંક બની જાય છે. આ સ્થિરાંક મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે ( Χ 1; X 2 ; … Xn). આ મોટી સંખ્યાનો કાયદો છે.

ચેબીશેવના પ્રમેયનો બીજો પુરાવો આપી શકાય. આ કરવા માટે, અમે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તે સ્વતંત્ર અને સતત રેન્ડમ ચલો બંને માટે માન્ય છે અને તેની પોતાની કિંમત છે. ચેબીશેવની અસમાનતા આપણને સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન ચોક્કસ મૂલ્યમાં સકારાત્મક સંખ્યા કરતાં વધી જતું નથી. ચાલો અલગ રેન્ડમ ચલ માટે ચેબીશેવની અસમાનતાનો પુરાવો રજૂ કરીએ.

ચેબીશેવની અસમાનતા:સંભાવના કે રેન્ડમ ચલનું વિચલન એક્સનિરપેક્ષ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષા ધન સંખ્યા કરતાં ઓછી છે, તેનાથી ઓછી નહીં:

.

પુરાવો: અસમાનતાના અમલીકરણમાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓ અને , વિરુદ્ધ છે, તો તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે, એટલે કે. . આથી અમને રસ છે તેવી સંભાવના. (*)

અમે શોધીશું . આ માટે ચાલો તફાવત શોધીએરેન્ડમ ચલ એક્સ.

આ રકમની તમામ શરતો બિન-નકારાત્મક છે. ચાલો તે શરતોને કાઢી નાખીએ જેના માટે (બાકીની શરતો માટે ), જેના પરિણામે રકમ માત્ર ઘટી શકે છે. ચાલો નિશ્ચિતતા માટે, ધારવા માટે સંમત થઈએ કે kપ્રથમ શરતો (અમે ધારીશું કે વિતરણ કોષ્ટકમાં સંભવિત મૂલ્યો બરાબર આ ક્રમમાં ક્રમાંકિત છે). આમ,

અસમાનતા બંને પક્ષો થી સકારાત્મક છે, તેથી, તેમને વર્ગીકરણ કરીને, અમે સમાન અસમાનતા મેળવીએ છીએ . ચાલો બાકીના સરવાળામાં દરેક પરિબળને બદલીને આ ટિપ્પણીનો ઉપયોગ કરીએ સંખ્યા (આ કિસ્સામાં અસમાનતા ફક્ત વધી શકે છે), અમને મળે છે. (**)

વધારાના પ્રમેય મુજબ, સંભાવનાઓનો સરવાળો એ સંભાવના છે જે એક્સએક લેશે, ભલે ગમે તે હોય, મૂલ્ય , અને તેમાંના કોઈપણ માટે વિચલન અસમાનતાને સંતોષે છે . તે અનુસરે છે કે સરવાળો સંભાવના વ્યક્ત કરે છે . આ અમને અસમાનતા (**) ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવાની મંજૂરી આપે છે: . (***).

ચાલો અવેજી કરીએ (***) વી (*) અને અમે મેળવીએ છીએ , જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચેબીશેવના પ્રમેય 2 નો પુરાવો:

ચાલો આપણે એક નવા રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ - રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ ( Χ 1; X 2 ; … Xn):

ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

; . (*)

ચેબીશેવની અસમાનતાને જથ્થામાં લાગુ કરીને, અમારી પાસે છે.

ગુણોત્તર (*) ને ધ્યાનમાં લેતા,

શરત દ્વારા, તેનો અર્થ છે . (***) જમણી બાજુ (***) ને અસમાનતા (**) માં બદલીને આપણી પાસે છે

અહીંથી, પરની મર્યાદામાં પસાર થતાં, આપણે મેળવીએ છીએ

કારણ કે સંભાવના એક કરતાં વધી શકતી નથી, આપણે આખરે મેળવીએ છીએ:

જે અમારે સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

ચાલો ચેબીશેવના પ્રમેયના એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસ પર ધ્યાન આપીએ. જેમ કે, જ્યારે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ ( Χ 1; X 2 ; … Xn) ધરાવે છે સમાન કાયદાવિતરણો, અને તેથી, સમાન સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ:

(8)

પછી રેન્ડમ ચલ માટે, (5) મુજબ, આપણી પાસે છે:

(9)

આ કિસ્સામાં મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ (7) ફોર્મ લેશે:

(10)

(10) માંથી નીચેના નિષ્કર્ષ છે મહાન મૂલ્યવિવિધ પ્રકારના માપન કરતી વખતે રેન્ડમ ભૂલોનો સામનો કરવા માટે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે ચોક્કસ જથ્થાને માપવાની જરૂર છે એ. અમે એક નહીં, પરંતુ ઘણા ઉત્પન્ન કરીશું ( n) આ જથ્થાના મૂલ્યનું સ્વતંત્ર પુનરાવર્તિત માપન. કોઈપણ માપન માપન ઉપકરણની અપૂર્ણતા, માપમાં તમામ પ્રકારની અવ્યવસ્થિત દખલ વગેરે સાથે સંકળાયેલ રેન્ડમ ભૂલમાં સહજ છે. તેથી પરિણામો ( Χ 1; X 2 ; … Xn) ઇચ્છિત મૂલ્યના વ્યક્તિગત ક્રમિક માપન એ, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આપવામાં આવશે નહીં - તે રેન્ડમ ચલ હશે. વધુમાં, ધરાવતા જથ્થા સાથે સમાન વિતરણો, કારણ કે માપ વારંવાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સતત બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ. પછી જથ્થા માટે - બધાના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ nમાપ - મર્યાદિત સંભાવના સંબંધ (10) પૂર્ણ થશે. આનો અર્થ એ છે કે આ અંકગણિત સરેરાશ રેન્ડમનેસનું પાત્ર ગુમાવે છે, માં ફેરવાય છે એ- માપેલ જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય. આ, માર્ગ દ્વારા, સૂત્રો (9) દ્વારા પુરાવા મળે છે, જે મુજબ:

(11)

એટલે કે, ઇચ્છિત જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં હાથ ધર્યા એ, જેમાંના દરેકમાં રેન્ડમ માપન ભૂલ શક્ય છે, અને પછી સરેરાશ શોધવી અંકગણિત પરિણામોઆ માપ, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

એ(12)

આપણે મૂલ્ય મેળવી શકીએ છીએ અને વ્યવહારીક રીતે રેન્ડમ ભૂલો વિના.

આ નિષ્કર્ષ મોટી સંખ્યાના કાયદાનું પરિણામ છે. IN આ કિસ્સામાંઆ કાયદો એ હકીકતમાં પ્રગટ થાય છે કે જ્યારે માપનો સારાંશ આપવામાં આવે છે ત્યારે (4) રેન્ડમ ભૂલોવ્યક્તિગત પરિમાણો, સૈદ્ધાંતિક રીતે સમાન રીતે ઘણીવાર વત્તા અને બાદબાકી બંને ચિહ્ન સાથે થાય છે, સામાન્ય રીતે એકબીજાને રદ કરશે. અને બાકીની ભૂલ હજુ પણ વિભાજિત કરવામાં આવશે n, એટલે કે, તે વધુ ઘટશે nએકવાર તેથી જ્યારે મોટા મૂલ્યો nમૂલ્ય માપેલ મૂલ્યની લગભગ બરાબર સમાન હશે એ. આ નિષ્કર્ષ કુદરતી રીતે વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

નોંધ. તીવ્રતામાં તેઓ ફક્ત એકબીજાને રદ કરે છે રેન્ડમ ભૂલોમાપન, એટલે કે, રેન્ડમ પરિબળો (દખલગીરી) ની ક્રિયા સાથે સંકળાયેલ ભૂલો. પરંતુ વ્યવસ્થિત (કાયમી) ભૂલો, એટલે કે, દરેક માપમાં સહજ ભૂલો, કુદરતી રીતે જ રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક તીર જે ઉપકરણમાં નીચે પછાડવામાં આવે છે (વ્યવસ્થિત નથી) દરેક માપમાં સતત (વ્યવસ્થિત) ભૂલનું કારણ બને છે, અને તેથી આ માપના પરિણામોના અંકગણિત સરેરાશમાં તેનું કારણ બને છે. માપ લેવામાં આવે તે પહેલાં જ પદ્ધતિસરની ભૂલો દૂર કરવી જોઈએ અને માપન પ્રક્રિયા દરમિયાન તેને મંજૂરી નથી.

પછી, જો α એ માપન ઉપકરણનું વિભાજન મૂલ્ય છે, તો બધા પુનરાવર્તિત માપ α ની ચોકસાઈ સાથે કરવામાં આવે છે. પરંતુ તે પછી, સ્વાભાવિક રીતે, તમામ માપના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ માત્ર α ની ચોકસાઈ સાથે સૂચવી શકાય છે, એટલે કે, ઉપકરણની ચોકસાઈ દ્વારા નિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે.

તેથી, કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે, જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં કર્યા પછી. એઅને પછી આ માપોના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાથી, આપણને મળે છે ચોક્કસઅર્થ એ.અમે તેને માત્ર માપન ઉપકરણની ચોકસાઈમાં જ મેળવીશું. અને પછી પણ, જો આપણે બાકાત રાખીએ પદ્ધતિસરની ભૂલમાપ

અહીં એક અન્ય મહત્વપૂર્ણ છે ખાસ કેસમોટી સંખ્યામાં કાયદો. દો X=k- અમુક ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એવી nપુનરાવર્તિત પરીક્ષણો ( એક્સ- રેન્ડમ ચલ). અને દો અને - ઘટનાની સંભાવના અને ઘટનાની બિન-ઘટના એએક પરીક્ષણમાં. રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો - ઘટનાની ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન એવી nપરીક્ષણો ચાલો પરિચય પણ આપીએ nરેન્ડમ ચલ ( X 1, X 2, … X n), જે ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે એપ્રથમ, બીજામાં,... n-મી પરીક્ષણો. પછી k = X 1 + X 2 +…+ X p, અને ઘટનાની ઘટના એઘટના બનવાની સંભાવના સાથે વ્યવહારીક રીતે મેળ ખાય છે એએક પરીક્ષણમાં. આ નિષ્કર્ષ ઘણાની સંભાવનાઓ શોધવા પર આધારિત છે રેન્ડમ ઘટનાઓ, જેની સંભાવનાઓ અન્ય રીતે શોધી શકાતી નથી (સૈદ્ધાંતિક રીતે).

ઉદાહરણ તરીકે, ટેસ્ટમાં વિકૃત (અસમપ્રમાણતાવાળા) સિક્કા અને ઘટનાને ફેંકી દો એઆ પડકાર માટે, તે ક્રેસ્ટ ડ્રોપ છે. ઘટનાની સંભાવના એદ્વારા શાસ્ત્રીય સૂત્રઅથવા અન્ય કોઈ રીતે સૈદ્ધાંતિક સૂત્રતે શોધવું મુશ્કેલ છે, કારણ કે આવા સૂત્રમાં કોઈક રીતે સિક્કાના વિરૂપતાની લાક્ષણિકતાઓને પ્રતિબિંબિત કરવી આવશ્યક છે. તેથી, ધ્યેય તરફ દોરી જતો વાસ્તવિક માર્ગ એક છે: સિક્કાને વારંવાર ટૉસ કરો (ટૉસની સંખ્યા જેટલી વધારે હશે. n,વધુ સારું) અને પ્રયોગાત્મક રીતે હથિયારોના કોટના દેખાવની સંબંધિત આવર્તન નક્કી કરો. જો nમોટી છે, તો પછી મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર તે શક્ય છે ઉચ્ચ સંભાવનાભારપૂર્વક જણાવો કે .

મોટી સંખ્યાનો કાયદો ઘણી કુદરતી અને સામાજિક ઘટનાઓમાં પોતાને પ્રગટ કરે છે.

ઉદાહરણ 1.જેમ જાણીતું છે, બંધ વાસણમાં મુકવામાં આવેલ ગેસ વહાણની દિવાલો પર દબાણ લાવે છે. ગેસ રાજ્યના કાયદા અનુસાર, સતત ગેસ તાપમાને, આ દબાણ સતત રહે છે. જહાજની દિવાલો સામે વ્યક્તિગત પરમાણુઓની અસ્તવ્યસ્ત અસરને કારણે ગેસનું દબાણ થાય છે. બધા પરમાણુઓની ગતિ અને ગતિની દિશાઓ અલગ અલગ હોય છે, તેથી જહાજની દિવાલો પર વિવિધ પરમાણુઓની અસરના દળો પણ અલગ અલગ હોય છે. જો કે, જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ વ્યક્તિગત પરમાણુઓના પ્રભાવ બળ દ્વારા નહીં, પરંતુ તેમના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. સરેરાશબળ દ્વારા. પરંતુ તેણી સરેરાશ જેવી છે મોટી સંખ્યાઅનુલક્ષીને સક્રિય દળો, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહેશે. તેથી, જહાજની દિવાલો પર ગેસનું દબાણ વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહે છે.

ઉદાહરણ 2. એક વીમા કંપની કે જે સોદો કરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઓટો વીમા સાથે, વિવિધ વીમાકૃત ઘટનાઓ (કાર અકસ્માતો અને માર્ગ ટ્રાફિક અકસ્માતો) માટે વિવિધ વીમા રકમ ચૂકવે છે. જો કે, આ વીમાની રકમનું સરેરાશ મૂલ્ય, ઘણી જુદી જુદી સરેરાશ તરીકે nસ્વતંત્ર વીમાની રકમ, મોટી સંખ્યાના કાયદા અનુસાર, વ્યવહારીક રીતે યથાવત રહેશે. તે વીમા દાવાઓના વાસ્તવિક આંકડાઓની તપાસ કરીને નક્કી કરી શકાય છે. વીમા કંપનીને નુકસાન ટાળવા માટે, તેના ગ્રાહકો પાસેથી વસૂલવામાં આવેલું સરેરાશ વીમા પ્રીમિયમ કંપની દ્વારા તેના ગ્રાહકોને ચૂકવવામાં આવતા સરેરાશ પ્રીમિયમ કરતાં વધુ હોવું જોઈએ. પરંતુ કંપની માટે સ્પર્ધાત્મક (અન્ય વીમા કંપનીઓ સાથે આકર્ષકતામાં સ્પર્ધા કરવા) માટે આ પ્રીમિયમ ખૂબ ઊંચું હોવું જોઈએ નહીં.

અમે આ પુરાવાને બે તબક્કામાં હાથ ધરીએ છીએ. પ્રથમ, ધારો કે ત્યાં છે, અને નોંધ કરો કે આ કિસ્સામાં D(S„) સરવાળા વિક્ષેપ પ્રમેય દ્વારા. ચેબીશેવની અસમાનતા અનુસાર, કોઈપણ t > 0 માટે

t > n માટે ડાબી બાજુકરતાં ઓછી છે, અને પછીનું મૂલ્ય શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. આ સાબિતીના પ્રથમ ભાગને પૂર્ણ કરે છે.

ચાલો હવે D() ના અસ્તિત્વ માટેની પ્રતિબંધક સ્થિતિને કાઢી નાખીએ. આ કેસને કાપવાની પદ્ધતિ દ્વારા અગાઉના એકમાં ઘટાડવામાં આવે છે.

ચાલો રેન્ડમ ચલોના બે નવા સેટ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

U k =, V k =0, જો (2.2)

U k =0, V k =, જો

અહીં k=1,… , n અને નિશ્ચિત છે. પછી

બધા માટે k.

ચાલો (f(j)) એ રેન્ડમ ચલોનું સંભવિત વિતરણ હોઈએ (બધા j માટે સમાન). અમે ધાર્યું કે = M() અસ્તિત્વમાં છે, તેથી સરવાળો

મર્યાદિત પછી ત્યાં પણ છે

જ્યાં તે બધા j પર સમીકરણ કરવામાં આવે છે જેના માટે. નોંધ કરો કે જો કે તે n પર આધાર રાખે છે, તે માટે સમાન છે

યુ 1, યુ 2, ..., યુ એન. વધુમાં, માટે, અને તેથી મનસ્વી > 0 અને બધા પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે

U k પરસ્પર સ્વતંત્ર છે, અને તેમનો સરવાળો U 1 +U 2 +…+U n સાથે બરાબર એ જ રીતે વ્યવહાર કરી શકાય છે જે રીતે X k સાથે મર્યાદિત વિક્ષેપના કિસ્સામાં, ચેબીશેવની અસમાનતાને લાગુ કરીને, અમે (2.1) ની સમાનતા મેળવીએ છીએ.

(2.6) ના કારણે, તે અનુસરે છે

શ્રેણી (2.4) કન્વર્જ થતી હોવાથી, છેલ્લો સરવાળો n વધે તેમ શૂન્ય થાય છે. આમ, પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા એન માટે

અને તેથી

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

પરંતુ, (2.9) અને (2.12) બંનેમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ

તેઓ મનસ્વી હોવાથી, જમણી બાજુઇચ્છિત તરીકે નાનું બનાવી શકાય છે, જે સાબિતી પૂર્ણ કરે છે.

"હાનિકારક" રમતોનો સિદ્ધાંત

મોટી સંખ્યાના કાયદાના સારને વધુ વિશ્લેષણમાં, અમે ખેલાડીઓની પરંપરાગત પરિભાષાનો ઉપયોગ કરીશું, જો કે અમારી વિચારણાઓ પરવાનગી આપે છે સમાન રીતેઅને વધુ ગંભીર એપ્લિકેશનો, અને અમારી બે મૂળભૂત ધારણાઓ આંકડાશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કરતાં વધુ વાસ્તવિક છે જુગાર. પ્રથમ, ચાલો માની લઈએ કે ખેલાડી પાસે અમર્યાદિત મૂડી છે, જેથી કોઈ નુકશાન રમતને સમાપ્ત ન કરી શકે. (આ ધારણાને નકારવાથી ખેલાડીની બરબાદીની સમસ્યા થાય છે, જે હંમેશા સંભાવના સિદ્ધાંતના વિદ્યાર્થીઓને ષડયંત્રમાં મૂકે છે.) બીજું, ધારો કે ખેલાડી જ્યારે ઈચ્છે ત્યારે રમતમાં વિક્ષેપ પાડવાનો સ્વભાવ ધરાવતો નથી: અજમાયશની સંખ્યા અગાઉથી નક્કી કરવી જોઈએ અને ટર્ન ગેમ્સ પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં. નહિંતર, ખેલાડી, અમર્યાદિત મૂડીથી આશીર્વાદિત, સફળતાઓની શ્રેણીની રાહ જોશે અને યોગ્ય સમયે રમત બંધ કરશે. આવા ખેલાડીને આપેલ ક્ષણે સંભવિત વધઘટમાં રુચિ હોતી નથી, પરંતુ રમતોની લાંબી શ્રેણીમાં મહત્તમ વધઘટમાં, જેનું વર્ણન મોટી સંખ્યાના કાયદા કરતાં પુનરાવર્તિત લઘુગણકના કાયદા દ્વારા વધુ કરવામાં આવે છે.

ચાલો રેન્ડમ ચલ k નો પરિચય આપીએ (ધન કે નકારાત્મક) માટે ચૂકવણી kth પુનરાવર્તનરમતો પછી સરવાળો S n = 1 +…+ k એ રમતના n પુનરાવર્તનો પછીની કુલ જીત છે. જો દરેક પુનરાવર્તન પહેલાં ખેલાડી રમતમાં ભાગ લેવાના અધિકાર માટે યોગદાન આપે છે (જરૂરી નથી કે હકારાત્મક), તો n એ તેના દ્વારા ચૂકવવામાં આવેલા કુલ યોગદાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને S n એ કુલ ચોખ્ખી જીત છે. જો p=M(k) અસ્તિત્વમાં હોય તો મોટી સંખ્યાઓનો નિયમ લાગુ પડે છે. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મોટા n માટે તે તદ્દન બુદ્ધિગમ્ય છે કે તફાવત S n - n ની સરખામણીમાં નાનો લાગશે, તેથી, જો p કરતાં ઓછો હોય, તો મોટા n માટે ખેલાડીને મેગ્નિટ્યુડના ક્રમનું વળતર મળશે. સમાન ટોકન દ્વારા, યોગદાન લગભગ ચોક્કસપણે નુકસાનમાં પરિણમે છે. ટૂંકમાં, ખેલાડી માટે તક અનુકૂળ છે, અને તક પ્રતિકૂળ છે.

નોંધ કરો કે અમે હજી સુધી આ કેસ વિશે કંઈ કહ્યું નથી. આ કિસ્સામાં, એકમાત્ર સંભવિત નિષ્કર્ષ એ છે કે જો અને તે પર્યાપ્ત મોટા હોય, તો n ની સરખામણીમાં S n - n ખૂબ જ ઊંચી સંભાવના સાથે નાનો હશે પરંતુ S n - n બહાર આવશે કે કેમ તે જાણી શકાયું નથી સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક હોવું, એટલે કે, શું રમત નફાકારક અથવા વિનાશક હશે. આ બાબત ધ્યાનમાં લેવામાં આવી ન હતી શાસ્ત્રીય સિદ્ધાંત, જેને હાનિકારક કિંમત કહેવાય છે અને "હાનિકારક" સાથેની રમત. તમારે સમજવાની જરૂર છે કે "હાનિકારક" રમત વાસ્તવમાં સ્પષ્ટ રીતે નફાકારક અને વિનાશક બંને હોઈ શકે છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે "સામાન્ય કેસ" માં માત્ર M(k) જ નહીં, પણ D(k) પણ છે. આ કિસ્સામાં, મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય દ્વારા પૂરક છે, અને બાદમાં કહે છે કે તે ખૂબ જ બુદ્ધિગમ્ય છે કે "હાનિકારક" રમતમાં લાંબી રમતના પરિણામે ચોખ્ખો ફાયદો Sn - n હશે. n 1/2 નો ક્રમ અને તે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n માટે આ લાભ આશરે હશે સમાન તકોહકારાત્મક અથવા નકારાત્મક. આમ, જો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય લાગુ થાય છે, તો પછી "હાનિકારક" રમત શબ્દ વાજબી છે, જો કે આ કિસ્સામાં પણ આપણે મર્યાદા પ્રમેય સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, જેના પર "લાંબી રમતના પરિણામે" શબ્દો દ્વારા ભાર મૂકવામાં આવે છે. સંપૂર્ણ વિશ્લેષણબતાવે છે કે (1.3) માં કન્વર્જન્સ જેમ જેમ વિક્ષેપ વધે છે તેમ બગડે છે. જો તે મોટું છે, તો પછી સામાન્ય અંદાજમાત્ર અત્યંત મોટા n માટે અસરકારક રહેશે.

ચોક્કસ થવા માટે, ચાલો એક એવા મશીનની કલ્પના કરીએ કે જેમાં, જ્યારે તેમાં રૂબલ મૂકે છે, ત્યારે ખેલાડી 10 ની સંભાવના સાથે (10--1) રુબેલ્સ જીતી શકે છે, અને અન્ય કિસ્સાઓમાં નીચા રૂબલને ગુમાવે છે. અહીં અમારી પાસે બર્નૌલી પરીક્ષણો છે અને રમત "હાનિકારક" છે. એક મિલિયન પરીક્ષણો પૂર્ણ કર્યા પછી, ખેલાડી તેના માટે એક મિલિયન રુબેલ્સ ચૂકવશે. આ સમય દરમિયાન તે 0, 1,2,... વખત જીતી શકે છે. માટે પોઈસન અંદાજ મુજબ દ્વિપદી વિતરણ, અમુક દશાંશ સ્થાનો માટે ચોક્કસ, બરાબર k વખત જીતવાની સંભાવના e -1 /k બરાબર છે!. આમ, 0.368 ની સંભાવના સાથે. . . ખેલાડી એક મિલિયન ગુમાવશે, અને તે જ સંભાવના સાથે તે ફક્ત તેના ખર્ચની ભરપાઈ કરશે; તેની પાસે 0.184... બરાબર 10 લાખ, વગેરે હસ્તગત કરવાની સંભાવના છે. અહીં, 10 6 ટ્રાયલ પોઈસન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ધરાવતી પેઓફ સાથેની રમતમાં એક જ અજમાયશની સમકક્ષ છે.

દેખીતી રીતે, આ પ્રકારની પરિસ્થિતિઓમાં મોટી સંખ્યામાં કાયદો લાગુ કરવાનો કોઈ અર્થ નથી. આ યોજનામાં આગ, કાર અકસ્માતો વગેરે સામે વીમો શામેલ છે. મોટી રકમ જોખમમાં છે, પરંતુ અનુરૂપ સંભાવના ઘણી ઓછી છે. જો કે, અહીં સામાન્ય રીતે દર વર્ષે માત્ર એક જ કસોટી હોય છે, તેથી પરીક્ષણોની સંખ્યા ક્યારેય મોટી થતી નથી. વીમાધારક માટે, રમત "હાનિકારક" હોવી જરૂરી નથી, જો કે તે આર્થિક રીતે નફાકારક હોઈ શકે છે. મોટી સંખ્યાના કાયદાને તેની સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. વીમા કંપની માટે, તે મોટી સંખ્યામાં રમતો સાથે વ્યવહાર કરે છે, પરંતુ મોટા તફાવતને કારણે, રેન્ડમ વધઘટ હજુ પણ દેખાય છે. ચોક્કસ વર્ષોમાં મોટા નુકસાનને રોકવા માટે વીમા પ્રિમીયમ સેટ કરવું આવશ્યક છે, અને તેથી કંપનીને મોટી સંખ્યામાં કાયદાને બદલે વિનાશની સમસ્યામાં રસ છે.

જ્યારે ભિન્નતા અનંત હોય છે, ત્યારે "હાનિકારક" નાટક શબ્દ અર્થહીન બની જાય છે; એવું માનવા માટે કોઈ કારણ નથી કે કુલ ચોખ્ખો લાભ S n - n શૂન્યની આસપાસ વધઘટ કરે છે. ખરેખર. "હાનિકારક" રમતોના ઉદાહરણો છે જેમાં ખેલાડીને પરિણામ સ્વરૂપે ચોખ્ખી ખોટ થવાની સંભાવના છે. મોટી સંખ્યાનો કાયદો ફક્ત જણાવે છે કે આ નુકસાન n કરતા નાના ક્રમનું હશે જો કે, વધુ કંઈ કહી શકાય નહીં. જો n એક મનસ્વી ક્રમ બનાવે છે, અને n /n0, તો પછી "હાનિકારક" રમત ગોઠવવી શક્ય છે જેમાં રમતના n પુનરાવર્તનના પરિણામે કુલ ચોખ્ખી ખોટ એક n કરતાં વધી જાય તેવી સંભાવના છે.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" એ ગાણિતિક પ્રમેયની શ્રેણી તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક, ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ માટે, એ હકીકતને સ્થાપિત કરે છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગોની સરેરાશ લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ ચોક્કસ સ્થિરાંકો સુધી પહોંચે છે.

તે ચેબીશેવની અસમાનતા પર આધારિત છે:

ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલ Xનું વિચલન સકારાત્મક સંખ્યા ε કરતા ઓછું હોય તેવી સંભાવના આનાથી ઓછી નથી:

સ્વતંત્ર અને સતત r.v માટે માન્ય.

53. ચેબીશેવનું પ્રમેય.

સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અનંત ક્રમ રહેવા દો સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા અને સમાન સ્થિર C દ્વારા મર્યાદિત તફાવતો સાથે:

પછી, ધન સંખ્યા ગમે તે હોય, ઘટનાની સંભાવના એક તરફ વળે છે.

54. બર્નૌલીનું પ્રમેય.

n ઉત્પન્ન થવા દો સ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જેમાં દરેક ઘટના A ની સંભાવના p ની બરાબર છે.

55. લ્યાપુનોવના કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની વિભાવના.

ખૂબ જ સામાન્ય પરિસ્થિતિઓ હેઠળ મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિતરણ સામાન્ય વિતરણની નજીક છે.

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે વિતરિત કરવા માટે જાણીતા છે. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયમાં એ.એમ. લાયપુનોવ દ્વારા આ માટેનું સ્પષ્ટીકરણ આપવામાં આવ્યું હતું: જો રેન્ડમ ચલ એ પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાનો સરવાળો છે, જેમાંથી દરેકનો પ્રભાવ સમગ્ર સરવાળા પર નજીવો છે, તો તેની પાસે વિતરણ સામાન્યની નજીક.

56. સામાન્ય વસ્તી અને નમૂના: મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ખ્યાલો.

ગાણિતિક આંકડા એ એક વિજ્ઞાન છે જે રેન્ડમ સામૂહિક ઘટનાના દાખલાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે પ્રાયોગિક ડેટા મેળવવા, વર્ણન અને પ્રક્રિયા કરવા માટેની પદ્ધતિઓના વિકાસ સાથે કામ કરે છે.

ગાણિતિક આંકડાની સમસ્યાઓ:

માપન પરિણામોના આધારે અજાણ્યા વિતરણ કાર્યનો અંદાજ.

ગ્રેડ અજાણ્યા પરિમાણોવિતરણો

સ્થિર પૂર્વધારણા પરીક્ષણ.

ચાલો અમુક માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા xનો અભ્યાસ કરીએ.

પછી સંપૂર્ણતાને તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે.

ગુણધર્મો અભ્યાસ કરવા માટે આ લાક્ષણિકતાથી વસ્તીતત્વોનો એક ભાગ અવ્યવસ્થિત રીતે ચલો Xi દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે, જે નમૂનાની વસ્તી અથવા નમૂના બનાવે છે.

સંગ્રહના ઘટકોની સંખ્યાને તેનો પદાર્થ n કહેવામાં આવે છે.

નમૂના: 1) પુનરાવર્તિત નમૂના, જેમાં પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ (આગલું પસંદ કરતા પહેલા) સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે.

2) બિન-પુનરાવર્તન નમૂના, જેમાં પસંદ કરેલ ઑબ્જેક્ટ સામાન્ય વસ્તીને પરત કરવામાં આવે છે.

અમને રુચિ ધરાવતી સામાન્ય વસ્તીની લાક્ષણિકતા વિશે પૂરતા વિશ્વાસ સાથે નિર્ણય કરવા માટે નમૂનાના ડેટાનો ઉપયોગ કરવા માટે, તે જરૂરી છે કે નમૂના પ્રતિનિધિ હોય)

મોટી સંખ્યાના કાયદાના આધારે, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે જો નમૂનો અવ્યવસ્થિત રીતે હાથ ધરવામાં આવે તો તે પ્રતિનિધિ હશે: વસ્તીમાંના દરેક પદાર્થને નમૂનામાં સમાવવાની સમાન સંભાવના હોવી જોઈએ.

જો વસ્તીનો પદાર્થ પૂરતો મોટો હોય, અને નમૂના આ વસ્તીનો માત્ર એક નાનો ભાગ બનાવે છે, તો પુનરાવર્તિત અને બિન-પુનરાવર્તિત નમૂનાઓ વચ્ચેનો તફાવત ભૂંસી નાખવામાં આવે છે.

ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા વિકલ્પોની સૂચિને વિવિધતા શ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

આપેલ વિકલ્પના અવલોકનોની સંખ્યાને તેની આવર્તન ni કહેવામાં આવે છે, અને નમૂનાના પદાર્થ માટે આવર્તન ni નો ગુણોત્તર n-રિલેટિવ ફ્રીક્વન્સી wi છે.

યોજના:

1. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની વિભાવના (લ્યાપુનોવનું પ્રમેય)

2. મોટી સંખ્યા, સંભાવના અને આવર્તનનો કાયદો (ચેબીશેવ અને બર્નૌલીના પ્રમેય)

1. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો ખ્યાલ.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સામાન્ય સંભાવના વિતરણનું ખૂબ મહત્વ છે. સામાન્ય કાયદોલક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરતી વખતે, માપ વગેરેમાં સંભાવનાનું પાલન કરે છે. ખાસ કરીને, તે તારણ આપે છે કે પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણનો કાયદો મનસ્વી કાયદાવિતરણ નજીક છે સામાન્ય વિતરણ. આ હકીકતને કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય અથવા લ્યાપુનોવનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

તે જાણીતું છે કે સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોનો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ શું સમજાવે છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં આવ્યો છે

કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.જો રેન્ડમ ચલ X એ બહુ મોટી સંખ્યામાં પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો છે, જેમાંથી પ્રત્યેકનો પ્રભાવ સમગ્ર સરવાળા પર નજીવો છે, તો X સામાન્ય વિતરણની નજીકનું વિતરણ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ.ચાલો અમુક માપ લઈએ ભૌતિક જથ્થો. કોઈપણ માપન માપેલ મૂલ્યનું માત્ર અંદાજિત મૂલ્ય આપે છે, કારણ કે માપન પરિણામ ઘણા સ્વતંત્ર રેન્ડમ પરિબળો (તાપમાન, સાધનની વધઘટ, ભેજ, વગેરે) દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે. આમાંના દરેક પરિબળો નગણ્ય "આંશિક ભૂલ" પેદા કરે છે. જો કે, આ પરિબળોની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોવાથી, તેમની સંયુક્ત અસર નોંધપાત્ર "કુલ ભૂલ" ને જન્મ આપે છે.

પરસ્પર સ્વતંત્ર આંશિક ભૂલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાના સરવાળા તરીકે કુલ ભૂલને ધ્યાનમાં લેતા, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે કુલ ભૂલમાં સામાન્ય વિતરણની નજીકનું વિતરણ છે. અનુભવ આ નિષ્કર્ષની માન્યતાની પુષ્ટિ કરે છે.

ચાલો આપણે તે શરતો પર વિચાર કરીએ કે જેના હેઠળ "કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય" સંતુષ્ટ છે

X1,X2, ..., Xn- સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ક્રમ,

એમ(X1),એમ(X2), ...,એમ(એક્સn) - આ જથ્થાઓની અંતિમ ગાણિતિક અપેક્ષાઓ, અનુક્રમે સમાન M(એક્સકે)= એક

ડી (X1),ડી(X2), ...,ડી(એક્સn) - તેમના અંતિમ ભિન્નતા અનુક્રમે સમાન છે ડી(એક્સ k)= bk2

ચાલો નીચે આપેલા સંકેતનો પરિચય કરીએ: S= X1+X2 + ...Xn;

A k= X1+X2 + ...Xn=; B2 = D (X1)+ડી(Х2)+...ડી(એક્સn) =

ચાલો સામાન્ય કરેલ રકમનું વિતરણ કાર્ય લખીએ:

તેઓ કહે છે કે સુસંગતતા X1,X2, ..., Xnજો કોઈ હોય તો કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય લાગુ પડે છે x n ® ¥ તરીકે સામાન્ય કરેલ રકમનું વિતરણ કાર્ય વલણ ધરાવે છે સામાન્ય કાર્યવિતરણો:

જમણે " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો એક્સ, વિતરણ કોષ્ટક દ્વારા ઉલ્લેખિત:

ચાલો આપણે પોતાની જાતને સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢવાનું કાર્ય સેટ કરીએ કે રેન્ડમ ચલનું તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી વિચલન ચોક્કસ મૂલ્યમાં સકારાત્મક સંખ્યા કરતાં વધી જતું નથી. ε

જો ε પર્યાપ્ત નાના છે, તો પછી અમે આમ સંભાવનાનો અંદાજ લગાવીશું એક્સમૂલ્યોને તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની એકદમ નજીક લેશે. અસમાનતા સાબિત કરી છે જે અમને રુચિ ધરાવતો અંદાજ આપવા દે છે.

ચેબીશેવની લેમ્મા.રેન્ડમ ચલ X આપેલ છે, જે ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) સાથે માત્ર બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. કોઈપણ સંખ્યા α>0 માટે અભિવ્યક્તિ ધરાવે છે:

ચેબીશેવની અસમાનતા.ચોક્કસ મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલ X નું વિચલન ધન સંખ્યા કરતાં ઓછી હોવાની સંભાવના ε , 1 થી ઓછું નહીં - D(X) / ε 2:

P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

ટિપ્પણી.ચેબીશેવની અસમાનતા મર્યાદિત વ્યવહારિક મહત્વ ધરાવે છે, કારણ કે તે ઘણીવાર રફ અને ક્યારેક તુચ્છ (કોઈ રસ વગરનો) અંદાજ આપે છે.

ચેબીશેવની અસમાનતાનું સૈદ્ધાંતિક મહત્વ ખૂબ જ મહાન છે. નીચે આપણે ચેબીશેવના પ્રમેયને મેળવવા માટે આ અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીશું.

2.2. ચેબીશેવનું પ્રમેય

જો X1, X2, ..., Xn.. પેરવાઈઝ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે, અને તેમની ભિન્નતા એકસરખી રીતે મર્યાદિત છે (સતત સંખ્યા C થી વધી નથી), તો પછી ભલે તે ધન સંખ્યા કેટલી નાની હોય. ε , અસમાનતાની સંભાવના

÷ (X1+X2 + ...Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+...M(Xn))/n |< ε

જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય તો તે ઇચ્છિત એકતાની નજીક હશે.

P (÷ (X1+X2 + ... Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+...M(Xn))/n |< ε )=1.

ચેબીશેવનું પ્રમેય જણાવે છે:

1. મર્યાદિત ભિન્નતાઓ સાથે પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોને ગણવામાં આવે છે,

ચેબીશેવના પ્રમેયને ઘડવામાં, અમે ધાર્યું કે રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અલગ છે. વ્યવહારમાં, તે ઘણીવાર બને છે કે રેન્ડમ ચલોની સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા હોય છે. દેખીતી રીતે, જો આપણે ફરીથી માની લઈએ કે આ જથ્થાના વિક્ષેપ મર્યાદિત છે, તો ચેબીશેવનું પ્રમેય તેમને લાગુ પડશે.

ચાલો આપણે દરેક રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષા દર્શાવીએ એ;

વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં, ગાણિતિક અપેક્ષાઓનો અંકગણિત સરેરાશ, જે જોવામાં સરળ છે, તે પણ સમાન છે એ.

વિચારણા હેઠળના ચોક્કસ કેસ માટે ચેબીશેવનું પ્રમેય ઘડવાનું શક્ય છે.

"જો X1, X2, ..., Xn.. એ જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે જે સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા a ધરાવે છે, અને જો આ મૂલ્યોના ભિન્નતા સમાનરૂપે મર્યાદિત હોય, તો પછી ભલે તે સંખ્યા કેટલી નાની હોય. ε >ઓહ, અસમાનતાની સંભાવના

÷ (X1+X2 + ...Xn) / n - a | < ε

જો રેન્ડમ ચલોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય તો ઇચ્છિત એકતાની નજીક હશે" .

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રમેયની શરતો હેઠળ

P (÷ (X1+X2 + ...Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3. ચેબીશેવના પ્રમેયનો સાર

જો કે વ્યક્તિગત સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓથી ઘણા દૂર મૂલ્યો લઈ શકે છે, રેન્ડમ ચલોની પૂરતી મોટી સંખ્યામાં અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્યોને ચોક્કસ એકની નજીક લઈ જાય તેવી શક્યતા છે. સતત સંખ્યા, એટલે કે નંબર માટે

(એમ (એક્સજે) + M (X2)+... + એમ (Х„))/пઅથવા નંબર પર અને માંખાસ કેસ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલોમાં નોંધપાત્ર સ્કેટર હોઈ શકે છે, અને તેમનો અંકગણિત સરેરાશ વેરવિખેર રીતે નાનો છે.

આમ, નિશ્ચિતતા સાથે આગાહી કરવી અશક્ય છે કે જે શક્ય અર્થદરેક રેન્ડમ ચલો લેશે, પરંતુ તમે અનુમાન કરી શકો છો કે તેમના અંકગણિત સરેરાશ શું મૂલ્ય લેશે.

તેથી, પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો અંકગણિત સરેરાશ (જેના ભિન્નતા સમાનરૂપે મર્યાદિત છે) રેન્ડમ ચલનું પાત્ર ગુમાવે છે.

આ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓમાંથી દરેક જથ્થાના વિચલનો હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને હોઈ શકે છે, અને અંકગણિત અર્થમાં તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.

ચેબીશેવનું પ્રમેય માત્ર અલગ માટે જ નહીં, પણ સતત રેન્ડમ ચલો માટે પણ માન્ય છે; તે તક અને આવશ્યકતા વચ્ચેના જોડાણના સિદ્ધાંતની માન્યતાની પુષ્ટિ કરતું ઉદાહરણ છે.

2.4. પ્રેક્ટિસ માટે ચેબીશેવના પ્રમેયનું મહત્વ

ચાલો વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ચેબીશેવના પ્રમેયના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપીએ.

સામાન્ય રીતે, ચોક્કસ ભૌતિક જથ્થાને માપવા માટે, ઘણા માપન કરવામાં આવે છે અને તેમની અંકગણિત સરેરાશને ઇચ્છિત કદ તરીકે લેવામાં આવે છે. કઈ પરિસ્થિતિઓમાં આ માપન પદ્ધતિને યોગ્ય ગણી શકાય? આ પ્રશ્નનો જવાબ ચેબીશેવના પ્રમેય (તેનો વિશેષ કેસ) દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.

ખરેખર, દરેક માપના પરિણામોને રેન્ડમ ચલ તરીકે ધ્યાનમાં લો

X1, X2, ..., Xn

ચેબીશેવનું પ્રમેય આ જથ્થાઓ પર લાગુ કરી શકાય છે જો:

1) તેઓ જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર છે.

2) સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા રાખો,

3) તેમના ભિન્નતા સમાનરૂપે મર્યાદિત છે.

જો દરેક માપનનું પરિણામ અન્યના પરિણામો પર આધારિત ન હોય તો પ્રથમ આવશ્યકતા સંતુષ્ટ થાય છે.

જો માપ વ્યવસ્થિત (સમાન ચિહ્ન) ભૂલો વિના કરવામાં આવે તો બીજી આવશ્યકતા પૂરી થાય છે. આ કિસ્સામાં, તમામ રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન અને સમાન છે સાચું કદ એ.

જો ઉપકરણ ચોક્કસ માપન ચોકસાઈ પ્રદાન કરે તો ત્રીજી જરૂરિયાત પૂરી થાય છે. વ્યક્તિગત માપનના પરિણામો અલગ-અલગ હોવા છતાં, તેમનું સ્કેટરિંગ મર્યાદિત છે.

જો બધી ઉલ્લેખિત આવશ્યકતાઓ પૂરી થાય, તો અમને માપન પરિણામો પર ચેબીશેવના પ્રમેયને લાગુ કરવાનો અધિકાર છે: પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે nઅસમાનતાની સંભાવના

| (X1 + Xa+...X„)/n - a |< ε તમને ગમે તેટલી એકતાની નજીક.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પર્યાપ્ત સાથે મોટી સંખ્યામાંમાપન એ લગભગ નિશ્ચિત છે કે તેમનો અંકગણિત સરેરાશ ઇચ્છિત કરતાં ઓછો અલગ છે સાચો અર્થમાપેલ જથ્થો.

ચેબીશેવનું પ્રમેય તે શરતો સૂચવે છે કે જેના હેઠળ વર્ણવેલ માપન પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે. જો કે, તે વિચારવું એક ભૂલ છે કે માપનની સંખ્યામાં વધારો કરીને તમે મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ચોકસાઈ પ્રાપ્ત કરી શકો છો. હકીકત એ છે કે ઉપકરણ પોતે ફક્ત ± α ની ચોકસાઈ સાથે રીડિંગ્સ આપે છે, તેથી દરેક માપન પરિણામો અને તેથી તેમનો અંકગણિત સરેરાશ, ઉપકરણની ચોકસાઈથી વધુ ન હોય તેવી ચોકસાઈ સાથે જ પ્રાપ્ત થશે.

આંકડાઓમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતી નમૂના પદ્ધતિ ચેબીશેવના પ્રમેય પર આધારિત છે, જેનો સાર એ છે કે પ્રમાણમાં નાના માટે રેન્ડમ નમૂનાઅભ્યાસ હેઠળની વસ્તુઓના સમગ્ર સમૂહ (સામાન્ય વસ્તી)નો ન્યાય કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, કપાસની ગાંસડીની ગુણવત્તા એક નાના બંડલ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે જેમાં ગાંસડીના જુદા જુદા ભાગોમાંથી રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે. જો કે બંડલમાં તંતુઓની સંખ્યા ગાંસડીની તુલનામાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી હોય છે, બંડલમાં જ પર્યાપ્ત હોય છે મોટી સંખ્યામાંરેસા, સેંકડોમાં સંખ્યા.

બીજા ઉદાહરણ તરીકે, આપણે નાના નમૂનામાંથી અનાજની ગુણવત્તા નક્કી કરવા તરફ નિર્દેશ કરી શકીએ છીએ. અને આ કિસ્સામાં, અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા અનાજની સંખ્યા અનાજના સમગ્ર સમૂહની તુલનામાં નાની છે, પરંતુ તે પોતે જ ખૂબ મોટી છે.

પહેલેથી જ આપેલા ઉદાહરણો પરથી, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે ચેબીશેવનું પ્રમેય અભ્યાસ માટે અમૂલ્ય મહત્વ ધરાવે છે.

2.5. પ્રમેયબર્નૌલી

ઉત્પાદિત nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો (ઇવેન્ટ્સ નહીં, પરંતુ પરીક્ષણો). તેમાંના દરેકમાં, ઘટના બનવાની સંભાવના એની સમાન આર.

પ્રશ્ન ઉભો થાય છેતે લગભગ શું હશે? સંબંધિત આવર્તનઘટનાની ઘટનાઓ? આ પ્રશ્નનો જવાબ બર્નૌલી દ્વારા સાબિત કરાયેલ પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે, જેને "મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો" કહેવામાં આવતું હતું અને વિજ્ઞાન તરીકે સંભાવના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો હતો.

બર્નૌલીનું પ્રમેય.જો દરેકમાં nસ્વતંત્ર પરીક્ષણ સંભાવના આરઘટનાની ઘટના એઅચળ છે, તો સંભવિતતાથી સંબંધિત આવર્તનનું વિચલન મનસ્વી રીતે એકતાની નજીક છે તેવી સંભાવના આરજો પરીક્ષણોની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય તો ચોક્કસ મૂલ્યમાં આપખુદ રીતે નાનું હશે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો ε >0 એ મનસ્વી રીતે નાની સંખ્યા છે, તો પછી, પ્રમેયની શરતોને આધીન, સમાનતા ધરાવે છે

પી(|m / p - p |< ε)= 1

ટિપ્પણી.બર્નૌલીના પ્રમેયના આધારે નિષ્કર્ષ કાઢવો ખોટો હશે કે જેમ જેમ અજમાયશની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ તેમ સંબંધિત આવર્તન સતત સંભવિતતા તરફ વળે છે. p;બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બર્નૌલીનું પ્રમેય સમાનતાને સૂચિત કરતું નથી (t/p) = p,

INપ્રમેય અમે વાત કરી રહ્યા છીએમાત્ર એવી સંભાવના વિશે કે, પૂરતી મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે, સંબંધિત આવર્તન ઇચ્છિત કરતાં ઓછી અલગ હશે સતત સંભાવનાદરેક અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટના.

કાર્ય 7-1.

1. સંભાવનાનો અંદાજ કાઢો કે 3600 ડાઇસ રોલ્સમાં 6 પોઈન્ટની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી 900 હશે.

ઉકેલ.ચાલો x એ 3600 સિક્કા ટોસમાં 6 પોઈન્ટની ઘટનાઓની સંખ્યા છે. એક થ્રોમાં 6 પોઈન્ટ મેળવવાની સંભાવના p=1/6 છે, પછી M(x)=3600·1/6=600. ચાલો આપેલ α = 900 માટે ચેબીશેવની અસમાનતા (લેમ્મા) નો ઉપયોગ કરીએ.

= પી(x³ 900) £ 600 / 900 =2 / 3

જવાબ આપો 2 / 3.

2. 1000 સ્વતંત્ર પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, p=0.8. 50 કરતા ઓછા મૂલ્યમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી વિચલિત આ ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A ની સંખ્યાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. x એ n – 1000 ટ્રાયલ્સમાં ઘટના Aની ઘટનાઓની સંખ્યા છે.

M(X)= 1000·0.8=800. D(x)=100·0.8·0.2=160

ચાલો આપેલ ε = 50 માટે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ

P(|x-M(X)|< ε) ³ 1 - D(x)/ ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

જવાબ આપો. 0,936

3. ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, તેની સંભાવનાનો અંદાજ કાઢો |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. આપેલ: P(|X- M(X)\< ε) ³ 0.9; ડી (એક્સ)= 0.004. ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને, ε શોધો . જવાબ આપો. 0,2.

પરીક્ષણ પ્રશ્નો અને સોંપણીઓ

1. કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયનો હેતુ

2. લ્યાપુનોવના પ્રમેયની લાગુ પડવાની શરતો.

3. લેમ્મા અને ચેબીશેવના પ્રમેય વચ્ચેનો તફાવત.

4. ચેબીશેવના પ્રમેયની લાગુ પડવાની શરતો.

5. બર્નૌલીના પ્રમેયની લાગુ પડવાની શરતો (મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો)

જ્ઞાન અને કુશળતા માટેની આવશ્યકતાઓ

વિદ્યાર્થીએ કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયની સામાન્ય અર્થનિર્ધારણ રચના જાણવી જોઈએ. સ્વતંત્ર રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલો માટે ચોક્કસ પ્રમેય ઘડવામાં સમર્થ થાઓ. ચેબીશેવની અસમાનતા અને ચેબીશેવ સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યામાંના કાયદાને સમજો. ઘટનાની આવર્તન, "સંભાવના" અને "આવર્તન" ની વિભાવનાઓ વચ્ચેના સંબંધનો ખ્યાલ રાખો. બર્નૌલી સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યાના કાયદાની સમજ છે.

(1857-1918), ઉત્કૃષ્ટ રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી