અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિ અને તેનો સરવાળો. શ્રેણીના સરવાળાની ઓનલાઇન ગણતરી કરો

સંખ્યાત્મક ક્રમ VI

§ લ48. સરવાળો અનંતપણે ઘટતો જાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિ

અત્યાર સુધી, સરવાળો વિશે વાત કરતી વખતે, અમે હંમેશા માની લીધું છે કે આ રકમોમાં પદોની સંખ્યા મર્યાદિત છે (ઉદાહરણ તરીકે, 2, 15, 1000, વગેરે). પરંતુ કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે (ખાસ કરીને ઉચ્ચ ગણિત) વ્યક્તિએ રકમ સાથે વ્યવહાર કરવો પડશે અનંત સંખ્યાશરતો

એસ= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

આ રકમો શું છે? વ્યાખ્યા દ્વારા અસંખ્ય શબ્દોનો સરવાળો a 1 , a 2 , ..., a n , ... રકમ S ની મર્યાદા કહેવાય છે n પ્રથમ n સંખ્યાઓ જ્યારે n -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

મર્યાદા (2), અલબત્ત, અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોય. તદનુસાર, તેઓ કહે છે કે સરવાળો (1) અસ્તિત્વમાં છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

દરેક ચોક્કસ કેસમાં રકમ (1) અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ તે આપણે કેવી રીતે શોધી શકીએ? સામાન્ય ઉકેલઆ મુદ્દો અમારા પ્રોગ્રામના અવકાશની બહાર છે. જો કે, ત્યાં એક મહત્વપૂર્ણ છે ખાસ કેસ, જેને આપણે હવે ધ્યાનમાં લેવાનું છે. અમે અસંખ્ય રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોના સારાંશ વિશે વાત કરીશું.

દો a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. મતલબ કે | q |< 1. Сумма первых n આ પ્રગતિની શરતો સમાન છે

મર્યાદા વિશેના મુખ્ય પ્રમેયમાંથી ચલો(§ 136 જુઓ) આપણને મળે છે:

પરંતુ 1 = 1, એ qn = 0. તેથી

તેથી, અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો આ પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ જેટલો છે જે આ પ્રગતિના છેદને એક ઓછા વડે ભાગવામાં આવે છે.

1) ભૌમિતિક પ્રગતિ 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... નો સરવાળો બરાબર છે

અને ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો 12 છે; -6; 3; - 3 / 2 , ... સમાન

2) સરળ સામયિક અપૂર્ણાંક 0.454545... સામાન્યમાં કન્વર્ટ કરો.

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, ચાલો કલ્પના કરીએ આપેલ અપૂર્ણાંકઅનંત રકમ તરીકે:

જમણી બાજુઆ સમાનતા એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો છે, જેનો પ્રથમ પદ 45/100 ની બરાબર છે, અને છેદ 1/100 છે. તેથી જ

વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સાદા સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનો સામાન્ય નિયમ મેળવી શકાય છે (જુઓ પ્રકરણ II, § 38):

સાદા સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે નીચેની બાબતો કરવાની જરૂર છે: અવધિને અંશમાં મૂકો દશાંશ, અને છેદ એ નવનો સમાવેશ કરતી સંખ્યા છે જે દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમયગાળામાં અંકો હોય તેટલી વખત લેવામાં આવે છે.

3) મિશ્ર સામયિક અપૂર્ણાંક 0.58333....ને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો.

ચાલો આ અપૂર્ણાંકને અનંત રકમ તરીકે કલ્પના કરીએ:

આ સમાનતાની જમણી બાજુએ, 3/1000 થી શરૂ થતા તમામ પદો, અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે, જેમાંથી પ્રથમ પદ 3/1000 ની બરાબર છે, અને છેદ 1/10 છે. તેથી જ

વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, મિશ્ર સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનો સામાન્ય નિયમ મેળવી શકાય છે (જુઓ પ્રકરણ II, § 38). અમે તેને જાણી જોઈને અહીં રજૂ કરતા નથી. આ બોજારૂપ નિયમ યાદ રાખવાની જરૂર નથી. તે જાણવું વધુ ઉપયોગી છે કે કોઈપણ મિશ્ર સામયિક અપૂર્ણાંકને અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ અને ચોક્કસ સંખ્યાના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને સૂત્ર

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટે, તમારે, અલબત્ત, યાદ રાખવું જોઈએ.

એક કવાયત તરીકે, અમે સૂચવીએ છીએ કે તમે, નીચે આપેલ સમસ્યાઓ નંબર 995-1000 ઉપરાંત, ફરી એકવાર સમસ્યા નંબર 301 § 38 તરફ વળો.

કસરતો

995. અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળાને શું કહે છે?

996. અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો શોધો:

997. કયા મૂલ્યો પર એક્સ પ્રગતિ

શું તે અનંત રીતે ઘટી રહ્યું છે? આવી પ્રગતિનો સરવાળો શોધો.

998.વી સમભુજ ત્રિકોણબાજુ સાથે એ એક નવો ત્રિકોણ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને અંકિત થયેલ છે; આ ત્રિકોણમાં એક નવો ત્રિકોણ એ જ રીતે અંકિત થયેલ છે, અને તે જ રીતે જાહેરાત અનંત.

a) આ તમામ ત્રિકોણની પરિમિતિનો સરવાળો;

b) તેમના વિસ્તારોનો સરવાળો.

999. બાજુ સાથે ચોરસ એ એક નવો ચોરસ તેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીને અંકિત થયેલ છે; આ ચોરસમાં એક ચોરસ એ જ રીતે લખાયેલ છે, અને તેથી જાહેરાત અનંત. આ બધા ચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો અને તેમના વિસ્તારોનો સરવાળો શોધો.

1000. અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની રચના કરો જેમ કે તેનો સરવાળો 25/4 જેવો હોય, અને તેના પદોના વર્ગોનો સરવાળો 625/24 બરાબર હોય.

પ્રકરણની શરૂઆતમાં નોટેશન રજૂ કરીને, અમે અનિવાર્યપણે કહીને અનંત રકમના પ્રશ્નને ચતુરાઈપૂર્વક ટાળી દીધો, “ચાલો તેને પછીથી છોડી દઈએ. આ દરમિયાન, અમે ધારી શકીએ છીએ કે બધી બનતી રકમોમાં માત્ર બિન-શૂન્ય પદોની મર્યાદિત સંખ્યા છે! પરંતુ ગણતરીનો સમય આખરે આવી ગયો છે - આપણે એ હકીકતનો સામનો કરવો પડશે

રકમ અનંત હોઈ શકે છે. અને, સત્યમાં, અનંત રકમ સુખદ અને અપ્રિય બંને સંજોગોમાં આવે છે.

સૌપ્રથમ, અપ્રિય વિશે: તે તારણ આપે છે કે સરવાળો સંભાળતી વખતે અમે જે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કર્યો હતો તે હંમેશા અનંત રકમ માટે માન્ય હોતી નથી. અને હવે સારી સામગ્રી માટે: એક વિશાળ છે વર્ગ ગોઠવ્યોઅનંત રકમ, જેના માટે અમે કરેલા તમામ ઓપરેશન્સ સંપૂર્ણપણે કાયદેસર હતા. સારાંશનો સાચો અર્થ શોધી કાઢ્યા પછી બંને સંજોગો પાછળના કારણો સ્પષ્ટ થશે.

દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે તે શું છે અંતિમ રકમ: અમે એક પછી એક, કુલમાં બધી શરતો ઉમેરીએ છીએ, જ્યાં સુધી તે બધા ઉમેરાય નહીં. પરંતુ અનંત રકમ વધુ નાજુક રીતે નક્કી કરવી જોઈએ જેથી મુશ્કેલીમાં ન આવે.

2 બરાબર છે, કારણ કે જ્યારે આપણે તેને બમણું કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે

પરંતુ તે પછી, સમાન તર્કને અનુસરીને, આપણે રકમની ગણતરી કરવાની જરૂર પડશે

-1 ની બરાબર, કારણ કે જ્યારે આપણે તેને બમણું કરીએ છીએ ત્યારે આપણને મળે છે

કંઈક વિચિત્ર થઈ રહ્યું છે: તમે કેવી રીતે મેળવી શકો છો નકારાત્મક સંખ્યા, સારાંશ હકારાત્મક મૂલ્યો? T ના સરવાળાને અવ્યાખ્યાયિત છોડવું વધુ સારું લાગે છે, અને કદાચ આપણે માની લેવું જોઈએ કે T માં શરતો કોઈપણ નિશ્ચિત મર્યાદિત સંખ્યા કરતા મોટી થઈ ગઈ છે. (નોંધ કરો કે જથ્થો એ સમીકરણનો બીજો "ઉકેલ" છે; તે સમીકરણને "ઉકેલ" પણ કરે છે

ચાલો મનસ્વી રકમના મૂલ્યની યોગ્ય વ્યાખ્યા આપવાનો પ્રયાસ કરીએ જ્યાં સેટ K અનંત હોઈ શકે. શરૂ કરવા માટે, ધારો કે a ની તમામ શરતો બિન-નકારાત્મક છે. આ કિસ્સામાં, યોગ્ય વ્યાખ્યા શોધવી મુશ્કેલ નથી: જો કોઈ મર્યાદિત સબસેટ માટે મર્યાદિત સ્થિર A હોય તો

પછી આપણે સરવાળાને આવા તમામ A માંથી સૌથી નાનો માની લઈએ છીએ. (સારામાંથી નીચે મુજબ જાણીતા ગુણધર્મો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, આવા તમામ A ના સમૂહમાં હંમેશા સૌથી નાનું તત્વ હોય છે.) પરંતુ જો આવા મર્યાદિત સ્થિરાંક A અસ્તિત્વમાં નથી, તો આપણે તેનો અર્થ એ લઈએ છીએ કે જો A -

અમુક વાસ્તવિક સંખ્યા, પછી a ના પદોની અમુક મર્યાદિત સંખ્યા છે, જેનો સરવાળો A થી વધી જાય છે.

પાછલા ફકરામાં વ્યાખ્યા એટલી નાજુક રીતે ઘડવામાં આવી છે કે તે અનુક્રમણિકા સમૂહ K માં અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે તેવા કોઈપણ ક્રમ પર આધાર રાખતી નથી. તેથી, અમે જે દલીલો આપવા જઈ રહ્યા છીએ તે માત્ર પૂર્ણાંકોના સમૂહ પરના સરવાળા માટે જ માન્ય રહેશે નહીં, પણ ઘણા સૂચકાંકો સાથે બહુવિધ રકમો માટે

ખાસ કરીને, જ્યારે K એ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે, ત્યારે બિન-નકારાત્મક શબ્દો માટે અમારી વ્યાખ્યા a નો અર્થ છે કે

અને અહીં શા માટે છે: વાસ્તવિક સંખ્યાઓના કોઈપણ બિન-ઘટતા ક્રમની એક મર્યાદા હોય છે (જો આ મર્યાદા સમાન હોય તો, બિન-ઋણાત્મક પૂર્ણાંકોનો અમુક મર્યાદિત સમૂહ, જે બધા પછી છે; તેથી, ક્યાં તો અથવા A એ એક મર્યાદિત સ્થિરાંક છે. પરંતુ જો A અમુક સંખ્યા ઓછી હોય સ્થાપિત સરહદ A, પછી એવું છે કે, વધુમાં, એક મર્યાદિત સમૂહ એ હકીકતની સાક્ષી આપે છે કે A એ મર્યાદિત સ્થિરાંક નથી.

હવે તમે આપેલ વ્યાખ્યા અનુસાર ચોક્કસ અનંત રકમોની તીવ્રતાની સરળતાથી ગણતરી કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો પછી

ખાસ કરીને, અનંત સરવાળો અને T, જેની એક ક્ષણ પહેલા ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, અનુક્રમે 2 અને સમાન છે, જેમ આપણે અપેક્ષા રાખી હતી. બીજું નોંધપાત્ર ઉદાહરણ:

હવે એ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ કે જ્યારે, બિન-નકારાત્મક રકમની સાથે, રકમમાં નકારાત્મક શબ્દો હોઈ શકે છે. શું, ઉદાહરણ તરીકે, ની રકમ હોવી જોઈએ

જો આપણે શબ્દોને જોડીમાં જૂથબદ્ધ કરીએ, તો આપણને મળશે:

તેથી રકમ બહાર વળે છે શૂન્ય બરાબર; પરંતુ જો આપણે એક પગલું પછી જોડીમાં જૂથ બનાવવાનું શરૂ કરીએ, તો આપણને મળશે

એટલે કે સરવાળો એક સમાન છે.

આપણે સૂત્રમાં મૂકવાનો પ્રયાસ પણ કરી શકીએ છીએ કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે આ સૂત્ર માન્ય છે પરંતુ પછી આપણે સ્વીકારવાની ફરજ પડીશું કે આ અનંત રકમ સમાન છે કારણ કે તે પૂર્ણાંકોનો સરવાળો છે!

બીજું એક રસપ્રદ ઉદાહરણ એ બંને દિશામાં અનંત રકમ છે જેમાં k 0 અને E પર લખી શકાય છે.

જો આપણે "કેન્દ્રીય" તત્વથી શરૂ કરીને અને બહારની તરફ જઈને આ રકમની ગણતરી કરીએ,

પછી આપણને 1 મળે છે; અને જો આપણે બધા કૌંસના એક તત્વને ડાબી તરફ ખસેડીએ તો આપણને સમાન 1 મળે છે,

કારણ કે આંતરિક કૌંસમાં બંધ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે

સમાન તર્ક બતાવે છે કે જો આ કૌંસને ડાબી અથવા જમણી બાજુએ કોઈપણ નિશ્ચિત સંખ્યાના તત્વો ખસેડવામાં આવે તો સરવાળાનું મૂલ્ય 1 જેટલું જ રહે છે - આ અમારો અભિપ્રાય મજબૂત કરે છે કે સરવાળો ખરેખર 1 ની બરાબર છે. પરંતુ, બીજી બાજુ, જો અમે શરતોને નીચે પ્રમાણે જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ:

પછી આંતરિક કૌંસની જોડીમાં સંખ્યાઓ હશે

માં સી.એચ. 9 તે બતાવવામાં આવશે કે, તેથી, આ પદ્ધતિજૂથબંધી એ વિચાર તરફ દોરી જાય છે કે જે રકમ બંને દિશામાં અનંત છે તે વાસ્તવમાં સમાન હોવી જોઈએ

આપે છે તે રકમ વિશે કંઈક અર્થહીન છે વિવિધ અર્થોતેના સભ્યો ઉમેરતી વખતે અલગ અલગ રીતે. IN આધુનિક માર્ગદર્શિકાવિશ્લેષણ મુજબ, વ્યાખ્યાઓની એક આખી શ્રેણી છે જેની મદદથી આવા રોગવિજ્ઞાનવિષયક સરવાળોને અર્થપૂર્ણ અર્થો સોંપવામાં આવે છે; પરંતુ જો આપણે આ વ્યાખ્યાઓ ઉછીના લઈશું, તો આપણે અત્યાર સુધી જેટલી મુક્તપણે નોટેશન સાથે કામ કરી શકીશું નહીં. આ પુસ્તકના ઉદ્દેશ્યો એવા છે કે અમને ખ્યાલની શુદ્ધ સ્પષ્ટતાની જરૂર નથી " શરતી કન્વર્જન્સ" - અમે અનંત રકમની આવી વ્યાખ્યાને વળગી રહીશું, જે આ પ્રકરણમાં અમે ઉપયોગમાં લીધેલી તમામ કામગીરીને અમલમાં મૂકે છે.

સારમાં, અનંત રકમની આપણી વ્યાખ્યા એકદમ સરળ છે. K ને સેટ થવા દો અને દરેક માટે નિર્ધારિત રકમનો વાસ્તવિક-મૂલ્યવાળો શબ્દ બનવા દો. (હકીકતમાં, તેનો અર્થ ઘણા સૂચકાંકો હોઈ શકે છે જેથી K સેટ પોતે બહુપરિમાણીય હોઈ શકે.) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા x તેના હકારાત્મક અને નકારાત્મક ભાગોના તફાવત તરીકે રજૂ કરી શકાય છે,

(ક્યાં તો અથવા અમે પહેલેથી જ સમજાવ્યું છે કે અનંત રકમોની તીવ્રતા કેવી રીતે નક્કી કરવી કારણ કે તે બિન-નકારાત્મક છે. તેથી, અમારી સામાન્ય વ્યાખ્યા છે:

સિવાય કે જમણી બાજુના બંને સરવાળો સમાન હોય. IN બાદમાં કેસ Hlek ની રકમ અનિશ્ચિત રહે છે.

ચાલો Tskekak અને જો સરવાળો સીમિત હોય, તો તેઓ કહે છે કે સરવાળો એકદમ રૂપાંતરિત થાય છે. જો તે સીમિત હોય, તો તેઓ કહે છે કે સરવાળો અલગ થાય છે તેવી જ રીતે, જો તે મર્યાદિત હોય, તો તેઓ કહે છે કે તે જો માટે અલગ પડે છે, તો તેઓ કશું કહેતા નથી.

અમે એક વ્યાખ્યા સાથે શરૂઆત કરી કે જે રકમની બિન-નકારાત્મક શરતો માટે "કાર્ય કરે છે" અને પછી તેને કોઈપણ વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન શરતો સુધી વિસ્તૃત કરી, જો સરવાળાના સભ્યો જટિલ સંખ્યાઓ હોય, તો અમારી વ્યાખ્યા સ્પષ્ટપણે આ કિસ્સામાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે: સરવાળાને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ a, જો કે આ બંને રકમો અસ્તિત્વમાં છે અન્યથા, સરવાળો Hkek વ્યાખ્યાયિત નથી (કવાયત 18 જુઓ.)

કમનસીબ બાબત, જેમ કે પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, તે એ છે કે કેટલીક અનંત રકમને અવ્યાખ્યાયિત છોડવી પડશે કારણ કે અમે તેમની સાથે જે કામગીરી કરીએ છીએ તે વાહિયાતતા તરફ દોરી શકે છે. (કવાયત 34 જુઓ.) સરસ વાત એ છે કે જ્યારે પણ આપણે એવા સરવાળો સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ કે જે હમણાં જ સ્થાપિત અર્થમાં સંપૂર્ણપણે એકીકૃત થાય છે ત્યારે આ પ્રકરણની બધી ક્રિયાઓ સંપૂર્ણપણે માન્ય છે.

અમે દર્શાવીને આ સુખદ હકીકતની પુષ્ટિ કરી શકીએ છીએ કે અમારા દરેક સરવાળા રૂપાંતરણના નિયમો કોઈપણ સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ રકમની તીવ્રતાને યથાવત રાખે છે. વધુ વિશિષ્ટ રીતે, આનો અર્થ એ છે કે વ્યક્તિએ વિતરક, સંયુક્ત અને વિનિમયાત્મક કાયદાઓની પરિપૂર્ણતા તપાસવી જોઈએ, ઉપરાંત નિયમ કે જેના અનુસાર કોઈ પણ ચલનો સારાંશ શરૂ કરી શકે છે; આ પ્રકરણમાં આપણે જે કંઈ કર્યું છે તે આ ચાર મૂળભૂત સરવાળા ઓપરેશન્સમાંથી મેળવી શકાય છે.

વિતરણ કાયદો (2.15) નીચે પ્રમાણે વધુ કડક રીતે ઘડી શકાય છે: જો સરવાળો Hkek a એકદમ કન્વર્જ થાય છે અને જો c અમુક જટિલ સંખ્યા હોય, તો Lkek એકદમ કન્વર્જ થાય છે આ પહેલા સરવાળાને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિકમાં વિભાજીત કરીને સાબિત કરી શકાય છે, પછી સકારાત્મક અને નકારાત્મક ભાગોમાં , જેમ કે તેઓએ તેને પહેલા તોડી નાખ્યું, અને જ્યારે સરવાળાની દરેક પદ બિન-નકારાત્મક હોય ત્યારે એક વિશિષ્ટ કેસ સાબિત કરે છે. આ ચોક્કસ કેસમાં સાબિતી એ હકીકતને કારણે કામ કરે છે કે કોઈપણ માટે મર્યાદિત સમૂહછેલ્લી હકીકત સેટના કદ પર ઇન્ડક્શન દ્વારા સાબિત થાય છે

સંયોજન કાયદો (2.16) નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: જો સરવાળો અનુક્રમે A અને B માં સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય છે, તો સરવાળો સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય છે તે તારણ આપે છે કે આ વધુનો વિશેષ કેસ છે. સામાન્ય પ્રમેય, જે અમે ટૂંક સમયમાં સાબિત કરીશું.

વાસ્તવમાં વિનિમયાત્મક કાયદો (2.17) સાબિત કરવાની કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે સૂત્ર (2.35)ની ચર્ચા કરતી વખતે અમે તેને વિશિષ્ટ કેસ તરીકે કેવી રીતે મેળવવું તે દર્શાવ્યું. સામાન્ય નિયમસમીકરણના ક્રમમાં ફેરફાર.

બધાનો સરવાળો કુદરતી સંખ્યાઓનીચેની સંખ્યા શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે

આ, પ્રથમ નજરમાં, સંપૂર્ણપણે વિરોધાભાસી પરિણામ, તેમ છતાં, સખત રીતે સાબિત થઈ શકે છે. પરંતુ આપણે સાબિતી વિશે વાત કરીએ તે પહેલાં, આપણે એક પગલું પાછળ લઈ જવાની અને મૂળભૂત ખ્યાલો યાદ રાખવાની જરૂર છે.

ચાલો એ હકીકતથી શરૂઆત કરીએ કે શ્રેણીનો "શાસ્ત્રીય" સરવાળો એ મર્યાદા છે આંશિક રકમશ્રેણી, જો તે અસ્તિત્વમાં છે અને મર્યાદિત છે. વિકિપીડિયા અને સંબંધિત સાહિત્યમાં વિગતો મળી શકે છે. જો અંતિમ મર્યાદાઅસ્તિત્વમાં નથી, પછી શ્રેણીને ડાયવર્જન્ટ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબર શ્રેણી 1 + 2 + 3 + 4 +... ના પ્રથમ k પદોનો આંશિક સરવાળો નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે

તે સમજવું સરળ છે કે આ રકમ મર્યાદા વિના વધે છે કારણ કે k અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે. પરિણામે, મૂળ શ્રેણી અલગ છે અને કડક રીતે કહીએ તો, તેમાં કોઈ સરવાળો નથી. જો કે, સોંપણી કરવાની ઘણી રીતો છે અંતિમ મૂલ્યજુદી જુદી પંક્તિઓ.

પંક્તિ 1+2+3+4+... એકમાત્ર અલગ પંક્તિથી દૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રન્ડી શ્રેણી લો

જે પણ અલગ પડે છે, પરંતુ તે જાણીતું છે કે સેસારોની સમીકરણ પદ્ધતિ અમને આ શ્રેણી માટે 1/2 નું મર્યાદિત મૂલ્ય સોંપવાની મંજૂરી આપે છે. સિસારોના અનુસાર સરવાળો એ શ્રેણીના આંશિક સરવાળો સાથે નહીં, પરંતુ તેમની અંકગણિત સરેરાશ સાથે કાર્ય કરવાનો સમાવેશ કરે છે. જો આપણે આપણી જાતને મુક્તપણે અનુમાન કરવાની મંજૂરી આપીએ, તો આપણે કહી શકીએ કે ગ્રન્ડી શ્રેણીના આંશિક સરવાળો 0 અને 1 ની વચ્ચે ઓસીલેટ થાય છે, તેના આધારે શ્રેણીનો કયો સભ્ય સરવાળો (+1 અથવા -1) માં છેલ્લો છે, તેથી તેનું મૂલ્ય 1/2, બેની અંકગણિત સરેરાશ તરીકે શક્ય મૂલ્યોઆંશિક રકમ.

એક અલગ શ્રેણીનું બીજું રસપ્રદ ઉદાહરણ છે વૈકલ્પિક શ્રેણી 1 - 2 + 3 - 4 +... , જેનો આંશિક સરવાળો પણ ઓસીલેટ થાય છે. એબેલની પદ્ધતિ દ્વારા સમીકરણ અમને આપેલ શ્રેણી માટે 1/4 નું અંતિમ મૂલ્ય અસાઇન કરવાની મંજૂરી આપે છે. નોંધ કરો કે એબેલની પદ્ધતિ, એક રીતે, સીસારોની સમીકરણ પદ્ધતિનો વિકાસ છે, તેથી પરિણામ 1/4 અંતર્જ્ઞાનના દૃષ્ટિકોણથી સમજવું મુશ્કેલ નથી.

અહીં એ નોંધવું અગત્યનું છે કે સમીકરણ પદ્ધતિઓ એ યુક્તિઓ નથી કે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓ કોઈક રીતે અલગ શ્રેણીનો સામનો કરવા માટે આવ્યા હતા. જો તમે કન્વર્જન્ટ સીરિઝ માટે સીસારો સમેશન અથવા એબેલની પદ્ધતિ લાગુ કરો છો, તો આ પદ્ધતિઓ જે જવાબ આપે છે તે કન્વર્જન્ટ શ્રેણીના ક્લાસિકલ સરવાળો સમાન છે.

જો કે, સીસારોનો સરવાળો કે એબેલની પદ્ધતિ બેમાંથી કોઈને શ્રેણી 1 + 2 + 3 + 4 +... સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપતી નથી, કારણ કે આંશિક સરવાળોના અંકગણિત અર્થો, તેમજ અંકગણિતના અર્થના અંકગણિત અર્થ, અલગ પડે છે. વધુમાં, જો મૂલ્યો 1/2 અથવા 1/4 કોઈક રીતે સ્વીકારી શકાય છે અને તેને સંબંધિત શ્રેણી સાથે સહસંબંધિત કરી શકાય છે, તો પછી -1/12 શ્રેણી 1 + 2 + 3 + 4 +... સાથે સાંકળવું મુશ્કેલ છે. જે હકારાત્મક પૂર્ણાંકોનો અનંત ક્રમ છે.

પરિણામ -1/12 પર પહોંચવાની ઘણી રીતો છે. આ નોંધમાં હું ફક્ત તેમાંથી એક પર જ ટૂંકમાં ધ્યાન આપીશ, એટલે કે ઝેટા ફંક્શન દ્વારા નિયમિતકરણ. ચાલો zeta ફંક્શન રજૂ કરીએ

અવેજીમાં s = -1, અમને મૂળ મળે છે સંખ્યા શ્રેણી 1+2+3+4+…. ચાલો આ કાર્ય પર સરળ ગાણિતિક ક્રિયાઓની શ્રેણી કરીએ

ડીરિચલેટ એટા કાર્ય ક્યાં છે

જ્યારે મૂલ્ય s = -1આ ફંક્શન પહેલેથી જ જાણીતી શ્રેણી 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... બની જાય છે જેનો "સરવાળા" 1/4 બરાબર છે. હવે આપણે સરળતાથી સમીકરણ ઉકેલી શકીએ છીએ

રસપ્રદ રીતે, આ પરિણામ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એપ્લિકેશન શોધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટ્રિંગ થિયરીમાં. ચાલો જોસેફ પોલ્ચિન્સ્કીના પુસ્તક “સ્ટ્રિંગ થિયરી” ના પૃષ્ઠ 22 પર જઈએ:

જો આ સિદ્ધાંતના ઘણા પરિણામો માટે પુરાવાના અભાવને કારણે કેટલાક લોકો માટે સ્ટ્રિંગ થિયરી એ ખાતરીપૂર્વકનું ઉદાહરણ નથી, તો આપણે એ પણ ઉલ્લેખ કરી શકીએ છીએ કે સમાન પદ્ધતિઓ ક્વોન્ટમ થિયરીકેસિમીર અસરની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે ક્ષેત્રો.

બે વાર જવાનું ટાળવા માટે, અહીં ઝેટા ફંક્શન સાથેના થોડા વધુ રસપ્રદ ઉદાહરણો છે

જેઓ પ્રાપ્ત કરવા માંગે છે તેમના માટે વધુ માહિતીવિષય પર, હું નોંધ કરીશ કે મેં વિકિપીડિયા પર અનુરૂપ લેખનો અનુવાદ કર્યા પછી આ નોંધ લખવાનું નક્કી કર્યું છે, જ્યાં "લિંક્સ" વિભાગમાં તમે ઘણું બધું શોધી શકો છો. વધારાની સામગ્રી, મોટે ભાગે અંગ્રેજીમાં.

ડેવિડ બર્મન, મરિયાને ફ્રીબર્ગર

તાજેતરમાં એક ખૂબ જ વિચિત્ર પરિણામની ચર્ચા કરવામાં આવી હતી. એવું કહેવામાં આવે છે કે જ્યારે તમે બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ઉમેરો કરો છો

પછી સરવાળો બરાબર થશે. આ વિચાર વિડિઓમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે નંબરફાઈલ, જે જણાવે છે કે પરિણામ સાબિત થયું છે અને એ પણ કહે છે કે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ વિચારે લોકોને એટલો ચોંકાવી દીધો કે તે ન્યૂયોર્ક ટાઈમ્સમાં પણ આવી ગયો. તો આ બધાનો અર્થ શું છે?

ગણિત

સૌ પ્રથમ, તમામ કુદરતી સંખ્યાઓનો અનંત સરવાળો સમાન નથી. તમે કેલ્ક્યુલેટર પર આંશિક રકમની ગણતરી કરીને આને સરળતાથી ચકાસી શકો છો

અને તેથી વધુ. વૃદ્ધિ સાથે મોટા અને મોટા બને છે, એટલે કે, ઉમેરવામાં આવેલી કુદરતી સંખ્યાઓની સંખ્યામાં વધારો સાથે. વાસ્તવમાં, જો તમે પૂરતું મોટું પસંદ કરો છો, તો તમે ઇચ્છો તેટલું મોટું બનાવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે પ્રાપ્ત કરો છો

અને જ્યારે તમે પ્રાપ્ત કરો છો

તેથી જ ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે આ શ્રેણીઅલગ પડે છે. અથવા, તેને વધુ ઢીલી રીતે કહીએ તો, કે સરવાળો અનંત સમાન છે.

શ્રીનિવાસ રામાનુજન

તો તે ક્યાંથી આવે છે? હકીકતમાં, ખોટો પરિણામ 1913 માં પ્રખ્યાત ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીનિવાસ રામાનુજનના કાર્યમાં દેખાયો. પરંતુ રામાનુજન જાણતા હતા કે તેઓ શું કરી રહ્યા છે, અને તેમની પાસે તે લખવાનું કારણ હતું. તેણે કહેવાતા યુલર ઝેટા ફંક્શનનો અભ્યાસ કર્યો. આ શું છે તે સમજવા માટે, ચાલો પહેલા અનંત રકમનો વિચાર કરીએ

તમે જોઈ શકો છો કે જ્યારે તમે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના પારસ્પરિક ઉમેરાઓ છો ત્યારે આ રકમ પ્રાપ્ત થાય છે:

હવે આ રકમ અલગ નથી. જો આપણે આંશિક રકમના ક્રમને ધ્યાનમાં લઈએ, જેમ આપણે ઉપર કર્યું છે,

પછી પ્રાપ્ત થયેલા પરિણામો ઇચ્છિત સંખ્યાની નજીક હશે, પરંતુ તે ક્યારેય ઓળંગી શકશે નહીં. ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે શ્રેણીમાં કન્વર્જ થાય છે, અથવા વધુ ઢીલી રીતે કે શ્રેણીનો સરવાળો બરાબર છે.

હવે ચાલો જોઈએ કે જો, છેદમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને વર્ગીકરણ કરવાને બદલે, આપણે તેમને બીજી કોઈ શક્તિમાં વધારીએ તો શું થાય? તે તારણ આપે છે કે અનુરૂપ રકમ

જો ડિગ્રી કરતાં મોટી સંખ્યા હોય તો અંતિમ મૂલ્યમાં કન્વર્જ થાય છે. દરેક શીર્ષક માટે ==QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь !} ઉત્કૃષ્ટ ગણિતશાસ્ત્રીલિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા 17મી સદી.

અત્યાર સુધી ખૂબ સારું. પરંતુ જો આપણે સંખ્યાઓ કરતાં નાની ગણીએ તો શું થાય? ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે લો તો શું થશે? ચાલો જોઈએ.

તેથી અમને અમારો મૂળ સરવાળો મળ્યો, જે આપણે જાણીએ છીએ કે અલગ છે. આનાથી ઓછા અથવા તેના સમાન અન્ય કોઈપણ મૂલ્યો માટે આ જ સાચું છે: સરવાળો અલગ થાય છે.

ટિપ્પણી.યુલરના ઝેટા કાર્યનું ચાલુ રાખવું. ગણવામાં આવેલ યુલર ઝેટા ફંક્શન એ કરતાં મોટી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ નામના નંબરોના મોટા પરિવારનો ભાગ છે જટિલ સંખ્યાઓ. અને જ્યારે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંખ્યા રેખા પરના તમામ બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે, જટિલ સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા ધરાવતા પ્લેન પરના તમામ બિંદુઓને અનુરૂપ હોય છે. આ વિમાનને જટિલ વિમાન કહેવામાં આવે છે. જેમ ફંક્શન્સની દલીલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે તે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમની દલીલો જટિલ સંખ્યાઓ છે તેવા કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

એક અદ્ભુત હકીકતજટિલ ચલોના ફંક્શનની વાત એ છે કે જો તમે ડેટાના અમુક સેટ પર ફંક્શનની કિંમત જાણો છો, તો (કેટલીક તકનીકી વિગતો સુધી) તમે કોઈપણ સમયે ફંક્શનની કિંમત જાણી શકો છો. જટિલ વિમાન. ફંક્શનના ડોમેનને વિસ્તૃત કરવાની આ પદ્ધતિને વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. યુલરનું ઝેટા ફંક્શન કરતાં મોટી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જટિલ સંખ્યાઓ હોવાથી, આપણે આ કાર્યને આ રીતે વિચારી શકીએ છીએ જટિલ કાર્ય, અને પછી મેળવવા માટે વિશ્લેષણાત્મક સાતત્યનો ઉપયોગ કરો નવી સુવિધા, સમગ્ર પ્લેન પર વ્યાખ્યાયિત, પરંતુ કરતાં મોટી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે યુલર ઝેટા ફંક્શન સાથે સુસંગત. આ રીમેન ઝેટા ફંક્શન છે.

ત્યાં એક વધુ વસ્તુ છે જે કરી શકાય છે. શક્તિશાળી ગણિતનો ઉપયોગ કરીને ( વ્યાપક વિશ્લેષણટીકા જુઓ), અમે યુલર ઝેટા ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ જેથી કરીને આ ફંક્શન મર્યાદિત મૂલ્યો લે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નવા ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવાની એક રીત છે, ચાલો તેને કહીએ, તેથી title="QuickLaTeX.com દ્વારા રેન્ડરેડ" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">!}

અને કાર્ય માટે ચોક્કસ અંતિમ મૂલ્યો લેશે. આ પદ્ધતિને વિશ્લેષણાત્મક નિરંતર કહેવામાં આવે છે, અને તે જે નવું કાર્ય ઉત્પન્ન કરે છે તેને 18મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રી બર્નહાર્ડ રીમેન પછી રીમેન ઝેટા ફંક્શન કહેવામાં આવે છે. (આ નવું ફંક્શન બનાવવું કે જે મર્યાદિત મૂલ્યો લે છે તેમાં એક અલગ શ્રેણીમાંથી બીજી અલગ શ્રેણીની બાદબાકીનો સમાવેશ થાય છે, જેથી પ્રથમ વિભિન્ન સરવાળામાંથી પરિણામી અનંતતા અને બીજા વિભિન્ન સરવાળામાંથી પરિણામી અનંતતા કંઈક મર્યાદિત સમાન હોય.)

દંડ. હવે અમારી પાસે એક કાર્ય છે જે title="QuickLaTeX.com દ્વારા રેન્ડર કરવામાં આવ્યું છે" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:!}

અને જો તમે તે માટે ધારવાની ભૂલ કરો છો, તો તમને (ખોટી) સમાનતા મળશે

આ સમજાવે છે કે શા માટે રામાનુજને આ રહસ્યમય અભિવ્યક્તિ લખી છે.

ચાલાક

તો, વિડિયોમાંના લોકોએ કેવી રીતે "સાબિત" કર્યું કે બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો બરાબર છે? તેઓએ વાસ્તવમાં તે કર્યું નથી. આ વિડિયો જોવો એ જાદુગરને જોવા જેવું છે અને સસલાને ક્યારે ટોપીમાં નીચે ઉતારવામાં આવે છે તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરવા જેવું છે. "સાબિતી" નું પ્રથમ પગલું તમને એક મૂર્ખ વસ્તુ વિશે સમજાવવાનો પ્રયાસ કરે છે, એટલે કે અનંત રકમ

વિડિઓ આના પર લાંબા સમય સુધી ધ્યાન આપતી નથી અને એવું લાગે છે કે તે સ્પષ્ટ છે. પરંતુ ચાલો આને વધુ નજીકથી જોઈએ કે શું તે બિલકુલ અર્થપૂર્ણ છે. સરવાળો થવા દો મર્યાદિત સંખ્યા, ચાલો તેને કૉલ કરીએ. આપણી જાતને ઉમેરવાથી, આપણને અનંત રકમ મળે છે

પરંતુ આ માત્ર પ્રારંભિક રકમ છે, ક્યાંથી

ત્યારથી, તે સાચું નથી. આમ, અનંત રકમ સમાન ગણી શકાય તેવું વિધાન સાચું નથી. વાસ્તવમાં, તમે અનંત રકમનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ પરિણામો મેળવી શકો છો જે અલગ પડે છે. આ એક યુક્તિ છે!

ભૌતિકશાસ્ત્ર

પરંતુ વિડિયોમાં બતાવ્યા પ્રમાણે આ વિચિત્ર ખોટું પરિણામ ભૌતિકશાસ્ત્રના પાઠ્યપુસ્તકમાં કેવી રીતે આવ્યું? આ તે છે જ્યાં વસ્તુઓ ખરેખર રસપ્રદ બને છે. ધારો કે તમે બે વાહક ધાતુની પ્લેટો લો અને તેમને શૂન્યાવકાશમાં ગોઠવો જેથી તેઓ એકબીજાની સમાંતર હોય. શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્ર મુજબ, આ બે પ્લેટો વચ્ચે કોઈ બળ કાર્ય કરતું હોવું જોઈએ નહીં.

કેસિમીર અસર

પણ શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્રજ્યારે તમે વિશ્વને ખૂબ જ નાના સ્કેલ પર જુઓ છો ત્યારે તમે જે વિચિત્ર અસરો જુઓ છો તે ધ્યાનમાં લેતા નથી. તેમને ધ્યાનમાં લેવા માટે, અમને ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રની જરૂર છે, જે ઘણી બધી વિચિત્ર વસ્તુઓનો દાવો કરે છે. તેમાંથી એક એ છે કે શૂન્યાવકાશ ખાલી નથી, તે પ્રવૃત્તિથી ભરેલું છે. બધા સમય કહેવાતા વર્ચ્યુઅલ કણો. આ પ્રવૃત્તિ કહેવાતા આપે છે શૂન્ય ઊર્જા: કોઈપણ વસ્તુમાં સૌથી ઓછી ઉર્જા ક્યારેય શૂન્ય હોતી નથી. જ્યારે તમે ગણિત અથવા ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને બે પ્લેટો વચ્ચે કુલ ઊર્જા ઘનતાની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, ત્યારે તમને અનંત રકમ મળે છે.

જ્યારે તમે યુલરના ઝેટા ફંક્શનમાં મૂલ્યને પ્લગ કરો છો ત્યારે આ અનંત રકમ પણ તમને મળે છે:

તે કમનસીબ છે કારણ કે આ રકમઅલગ પડે છે (તે તે કરતાં પણ વધુ ઝડપથી કરે છે) જેનો અર્થ થશે અનંત ઘનતાઊર્જા આ દેખીતી રીતે નોનસેન્સ છે. પરંતુ જો તમે ચુસ્તપણે ધારો કે અનંત રકમ યુલર ઝેટા ફંક્શનને બદલે રીમેન ઝેટા ફંક્શનની બરાબર છે, તો શું? સારું, પછી તમને મર્યાદિત ઊર્જા ઘનતા મળશે. આનો અર્થ એ છે કે ધાતુની પ્લેટો વચ્ચે એક આકર્ષક બળ હોવું જોઈએ, જે હાસ્યાસ્પદ પણ લાગે છે, કારણ કે શાસ્ત્રીય ભૌતિકશાસ્ત્ર સૂચવે છે કે કોઈ બળ હોવું જોઈએ નહીં.

પરંતુ અહીં એક આશ્ચર્યજનક છે. જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓએ પ્રયોગ કર્યો, ત્યારે તેઓએ શોધ્યું કે બળ વાસ્તવમાં અસ્તિત્વમાં છે, અને તે ઊર્જાની ઘનતા બરાબર બરાબર છે!

આ અદ્ભુત ભૌતિક પરિણામકેસિમીર અસર તરીકે ઓળખાય છે, જેનું નામ ડચ ભૌતિકશાસ્ત્રી હેન્ડ્રિક કાસિમિરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે.

આની પ્રશંસા કરવા માટે થોડો સમય ફાળવો. ક્વોન્ટમ ભૌતિકશાસ્ત્રકહે છે કે ઊર્જા ઘનતા સમાન હોવી જોઈએ

આ બકવાસ છે, પરંતુ પ્રયોગો દર્શાવે છે કે જો તમે (ભૂલથી) આ રકમની ગણતરી કરો છો મૂલ્યની સમાન zeta ફંક્શન પર, તમને સાચો જવાબ મળશે. તેથી એવું લાગે છે કે કુદરત રામાનુજનના વિચારોને અનુસરી રહી છે. તેણીએ યુલરના ઝેટા ફંક્શનને વિસ્તૃત કર્યું જેથી મૂલ્યો કરતાં નાના મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય, હોશિયારીથી મર્યાદિત મૂલ્ય પર પહોંચવા માટે અનંત બાદબાકી કરી. આ અદ્ભુત છે!

આપણે નંબરફાઈલ વિડિયોમાં અને ભૌતિકશાસ્ત્રની પાઠ્યપુસ્તક બંનેમાં જોઈએ છીએ અને નહીં તેનું કારણ એ છે કે જ્યારે તમે કલ્પના કરો છો કે કેસિમીર અસર એક પરિમાણમાં થઈ રહી છે (એક રેખા સાથે, 3Dમાં નહીં), તો તમે જે ઉર્જા ઘનતાને ધ્યાનમાં લો છો તે બરાબર છે, નહીં .

તો શા માટે નંબરફાઈલ પરના લોકો આ વિચિત્ર "પરિણામ" નો પ્રચાર કરી રહ્યા છે? તેઓ અલબત્ત વિશ્લેષણાત્મક ચાલુ રાખવા વિશે જાણે છે, જે કાર્યને એકદમ વિશિષ્ટ બનાવે છે, પરંતુ આ તેમના વિડિઓઝ માટે ખૂબ જ તકનીકી સામગ્રી છે. જાણીને વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિએક સિક્વલ જે અંતિમ પરિણામને વાજબી બનાવે છે જ્યારે તેને તેમના પાછળના ખિસ્સામાં છુપાવી દે છે, તેઓ હોશિયારીથી આગળ વધ્યા. આમ કરવાથી, તેમને એક મિલિયનથી વધુ વ્યુઝ મળ્યા, અને વિશ્વએ ઝેટા ફંક્શન અને ગણિત વિશે વાત કરવાનું શરૂ કર્યું. આ માટે તેઓને અભિનંદન આપી શકાય છે. ઝેટા ફંક્શનનું ગણિત અદ્ભુત છે, અને અમે અહીં જે વર્ણવ્યું છે તે માત્ર શરૂઆત છે. લાંબી યાદીઅદ્ભુત ગાણિતિક ગુણધર્મો. જ્યારે આપણે ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રને લોકપ્રિય બનાવીએ છીએ, ત્યારે આપણે હંમેશા આપણે શું ન કહીએ અને શું સમજાવીએ તે અંગે પસંદગી કરવી પડે છે. આપણે તે રેખા ક્યાં દોરીએ છીએ તે આપણા પર નિર્ભર છે.