તેના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવવામાં આવ્યો છે. કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એમાંથી એક છે મુશ્કેલ વિષયોવી શાળા અભ્યાસક્રમ. દરેક સ્નાતક વ્યુત્પન્ન શું છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપશે નહીં.

આ લેખ સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવે છે કે વ્યુત્પન્ન શું છે અને શા માટે તેની જરૂર છે.. અમે હવે પ્રસ્તુતિમાં ગાણિતિક કઠોરતા માટે પ્રયત્ન કરીશું નહીં. સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે તેનો અર્થ સમજવો.

ચાલો વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:

વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ફેરફારનો દર છે.

આકૃતિ ત્રણ કાર્યોના આલેખ બતાવે છે. તમને લાગે છે કે કયું ઝડપથી વધી રહ્યું છે?

જવાબ સ્પષ્ટ છે - ત્રીજો. તેમાં ફેરફારનો સૌથી વધુ દર છે, એટલે કે સૌથી મોટો વ્યુત્પન્ન.

અહીં બીજું ઉદાહરણ છે.

કોસ્ટ્યા, ગ્રીશા અને માત્વેને તે જ સમયે નોકરી મળી. ચાલો જોઈએ કે વર્ષ દરમિયાન તેમની આવક કેવી રીતે બદલાઈ.

ગ્રાફ એક જ સમયે બધું બતાવે છે, તે નથી? કોસ્ટ્યાની આવક છ મહિનામાં બમણીથી વધુ થઈ ગઈ છે. અને ગ્રીશાની આવક પણ વધી, પણ થોડી જ. અને માટવેની આવક ઘટીને શૂન્ય થઈ ગઈ. પ્રારંભિક શરતો સમાન છે, પરંતુ કાર્યના ફેરફારનો દર, એટલે કે વ્યુત્પન્ન, - અલગ. Matvey માટે, તેની આવક વ્યુત્પન્ન સામાન્ય રીતે નકારાત્મક છે.

સાહજિક રીતે, આપણે ફંક્શનના ફેરફારના દરનો સરળતાથી અંદાજ લગાવીએ છીએ. પરંતુ આપણે આ કેવી રીતે કરી શકીએ?

આપણે ખરેખર જોઈ રહ્યા છીએ કે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેટલો ઝડપથી ઉપર (અથવા નીચે) જાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x બદલાતાં y કેટલી ઝડપથી બદલાય છે? દેખીતી રીતે, માં સમાન કાર્ય વિવિધ બિંદુઓહોઈ શકે છે અલગ અર્થવ્યુત્પન્ન - એટલે કે, તે ઝડપી અથવા ધીમી બદલી શકે છે.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સૂચવવામાં આવે છે.

અમે તમને ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને તેને કેવી રીતે શોધવું તે બતાવીશું.

કેટલાક ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરવામાં આવ્યો છે. ચાલો તેના પર abscissa સાથે એક બિંદુ લઈએ. ચાલો આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે સ્પર્શક દોરીએ. આપણે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેટલો ઝડપથી ઉપર જાય છે તેનો અંદાજ કાઢવા માંગીએ છીએ. આ માટે અનુકૂળ મૂલ્ય છે સ્પર્શકોણની સ્પર્શક.

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકોણના સ્પર્શક સમાન છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે સ્પર્શકના ઝોકના ખૂણા તરીકે આપણે સ્પર્શક અને ધરીની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો લઈએ છીએ.

કેટલીકવાર વિદ્યાર્થીઓ પૂછે છે કે ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક શું છે. આ એક સીધી રેખા છે જેમાં ફક્ત એક જ છે સામાન્ય બિંદુગ્રાફ સાથે, અને અમારી આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. તે વર્તુળમાં સ્પર્શક જેવું લાગે છે.

ચાલો તેને શોધીએ. આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે તીવ્ર કોણની સ્પર્શક અંદર જમણો ત્રિકોણ ગુણોત્તર સમાન વિરુદ્ધ પગબાજુમાં. ત્રિકોણમાંથી:

અમે ફંક્શનના સૂત્રને જાણ્યા વિના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધી કાઢ્યું. સંખ્યા હેઠળ ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં આવી સમસ્યાઓ વારંવાર જોવા મળે છે.

બીજો મહત્વનો સંબંધ છે. યાદ કરો કે સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવી છે

આ સમીકરણમાં જથ્થો કહેવાય છે સીધી રેખાનો ઢોળાવ. તે અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકના ખૂણાના સ્પર્શક સમાન છે.

.

અમે તે મેળવીએ છીએ

ચાલો આ સૂત્ર યાદ રાખીએ. તે વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ વ્યક્ત કરે છે.

એક બિંદુ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન તે બિંદુ પરના ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વ્યુત્પન્ન એ સ્પર્શકોણના સ્પર્શક સમાન છે.

અમે પહેલાથી જ કહ્યું છે કે સમાન ફંક્શનમાં વિવિધ બિંદુઓ પર વિવિધ ડેરિવેટિવ્સ હોઈ શકે છે. ચાલો જોઈએ કે ડેરિવેટિવ કેવી રીતે કાર્યના વર્તન સાથે સંબંધિત છે.

ચાલો અમુક ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરીએ. આ કાર્યને કેટલાક વિસ્તારોમાં વધવા દો, અને અન્યમાં ઘટાડો, અને સાથે વિવિધ ઝડપે. અને આ ફંક્શનમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ હોવા દો.

એક તબક્કે કાર્ય વધે છે. બિંદુ પર દોરેલા ગ્રાફનો સ્પર્શક રચાય છે તીવ્ર કોણ; હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે.

બિંદુએ આપણું કાર્ય ઘટે છે. આ બિંદુએ સ્પર્શક એક સ્થૂળ કોણ બનાવે છે; હકારાત્મક ધરી દિશા સાથે. સ્પર્શક થી અસ્પષ્ટ કોણનકારાત્મક છે, બિંદુએ વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.

શું થાય છે તે અહીં છે:

જો કોઈ કાર્ય વધી રહ્યું હોય, તો તેનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે.

જો તે ઘટે છે, તો તેનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ પર શું થશે? આપણે જોઈએ છીએ કે બિંદુઓ (મહત્તમ બિંદુ) અને (લઘુત્તમ બિંદુ) પર સ્પર્શક આડી છે. તેથી, આ બિંદુઓ પર સ્પર્શકોણની સ્પર્શક શૂન્ય બરાબર, અને વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે.

બિંદુ - મહત્તમ બિંદુ. આ બિંદુએ, કાર્યમાં વધારો ઘટાડો દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પરિણામે, બિંદુ પર વ્યુત્પન્નની નિશાની “વત્તા” થી “માઈનસ” માં બદલાય છે.

બિંદુ પર - લઘુત્તમ બિંદુ - વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે, પરંતુ તેનું ચિહ્ન "માઈનસ" થી "પ્લસ" માં બદલાય છે.

નિષ્કર્ષ: વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને આપણે કાર્યની વર્તણૂક વિશે અમને રુચિ હોય તે બધું શોધી શકીએ છીએ.

જો વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તો કાર્ય વધે છે.

જો વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક હોય, તો કાર્ય ઘટે છે.

મહત્તમ બિંદુએ, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અને "વત્તા" થી "માઈનસ" માં ચિહ્ન બદલાય છે.

ન્યૂનતમ બિંદુ પર, વ્યુત્પન્ન પણ શૂન્ય છે અને બાદબાકીથી વત્તામાં ચિહ્ન બદલાય છે.

ચાલો કોષ્ટકના રૂપમાં આ તારણો લખીએ:

ચાલો બે નાની સ્પષ્ટતા કરીએ. સમસ્યા હલ કરતી વખતે તમારે તેમાંથી એકની જરૂર પડશે. અન્ય - પ્રથમ વર્ષમાં, કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝના વધુ ગંભીર અભ્યાસ સાથે.

શક્ય છે કે અમુક સમયે ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ શૂન્ય બરાબર હોય, પરંતુ ફંક્શનમાં આ બિંદુએ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ નથી. આ કહેવાતા છે :

એક બિંદુ પર, ગ્રાફની સ્પર્શક આડી છે અને વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. જો કે, બિંદુ પહેલા કાર્ય વધ્યું - અને બિંદુ પછી તે વધવાનું ચાલુ રાખે છે. વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન બદલાતું નથી - તે જેમ હતું તેમ સકારાત્મક રહે છે.

એવું પણ બને છે કે મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. ગ્રાફ પર, આ તીવ્ર વિરામને અનુરૂપ છે, જ્યારે આપેલ બિંદુ પર સ્પર્શક દોરવાનું અશક્ય છે.

જો ફંક્શન ગ્રાફ દ્વારા નહીં, પરંતુ ફોર્મ્યુલા દ્વારા આપવામાં આવે તો વ્યુત્પન્ન કેવી રીતે શોધવું? આ કિસ્સામાં તે લાગુ પડે છે

સમસ્યા B9 એ ફંક્શન અથવા ડેરિવેટિવનો ગ્રાફ આપે છે જેમાંથી તમારે નીચેનામાંથી એક માત્રા નક્કી કરવાની જરૂર છે:

1. અમુક બિંદુએ ડેરિવેટિવનું મૂલ્ય x 0,
2. મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ),
3. વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો (એકવિધતાના અંતરાલો).

આ સમસ્યામાં પ્રસ્તુત કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝ હંમેશા સતત હોય છે, જે ઉકેલને વધુ સરળ બનાવે છે. કાર્ય વિભાગનું છે તે હકીકત હોવા છતાં ગાણિતિક વિશ્લેષણ, તે એકદમ નબળા વિદ્યાર્થીઓની ક્ષમતાઓમાં પણ છે, કારણ કે ત્યાં કોઈ ઊંડા નથી સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાનઅહીં જરૂરી નથી.

વ્યુત્પન્ન, આત્યંતિક બિંદુઓ અને એકવિધતા અંતરાલોનું મૂલ્ય શોધવા માટે, ત્યાં સરળ અને સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમ્સ છે - તે બધાની નીચે ચર્ચા કરવામાં આવશે.

મૂર્ખ ભૂલો કરવાનું ટાળવા માટે સમસ્યા B9 ની શરતોને કાળજીપૂર્વક વાંચો: કેટલીકવાર તમે ખૂબ લાંબા ગ્રંથો આવો છો, પરંતુ મહત્વપૂર્ણ શરતો, જે નિર્ણયના કોર્સને પ્રભાવિત કરે છે, ત્યાં થોડા છે.

વ્યુત્પન્ન મૂલ્યની ગણતરી. બે બિંદુ પદ્ધતિ

જો સમસ્યાને ફંક્શન f(x) નો ગ્રાફ આપવામાં આવે છે, અમુક બિંદુ x 0 પર આ આલેખને સ્પર્શક છે, અને આ બિંદુએ વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે, તો નીચેનો અલ્ગોરિધમ લાગુ કરવામાં આવે છે:

1. સ્પર્શક ગ્રાફ પર બે "પર્યાપ્ત" બિંદુઓ શોધો: તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ. ચાલો આ બિંદુઓને A (x 1 ; y 1) અને B (x 2 ; y 2) તરીકે દર્શાવીએ. કોઓર્ડિનેટ્સ યોગ્ય રીતે લખો - આ છે મુખ્ય મુદ્દોઉકેલો, અને અહીં કોઈપણ ભૂલ ખોટા જવાબમાં પરિણમે છે.
2. કોઓર્ડિનેટ્સ જાણવાથી, દલીલ Δx = x 2 − x 1 અને કાર્ય Δy = y 2 − y 1 ની વૃદ્ધિની ગણતરી કરવી સરળ છે.
3. અંતે, આપણે વ્યુત્પન્ન D = Δy/Δx નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટને દલીલના ઇન્ક્રીમેન્ટ દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે - અને આ જવાબ હશે.

ચાલો ફરી એક વાર નોંધ લઈએ: પોઈન્ટ A અને B ને સ્પર્શક પર ચોક્કસ રીતે જોવામાં આવવું જોઈએ, અને ફંક્શન f(x) ના ગ્રાફ પર નહીં, જેમ વારંવાર થાય છે. સ્પર્શરેખામાં ઓછામાં ઓછા આવા બે બિંદુઓ હોવા આવશ્યક છે - અન્યથા સમસ્યા યોગ્ય રીતે ઘડવામાં આવશે નહીં.

બિંદુઓ A (−3; 2) અને B (−1; 6) ને ધ્યાનમાં લો અને વધારો શોધો:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 −y 1 = 6 − 2 = 4.

ચાલો વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધીએ: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

કાર્ય. આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથેના બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. બિંદુ x 0 પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

બિંદુઓ A (0; 3) અને B (3; 0) ને ધ્યાનમાં લો, વધારો શોધો:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

હવે આપણે વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

કાર્ય. આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને abscissa x 0 સાથેના બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. બિંદુ x 0 પર f(x) ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

બિંદુઓ A (0; 2) અને B (5; 2) ને ધ્યાનમાં લો અને વધારો શોધો:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

તે વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય શોધવાનું બાકી છે: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

થી છેલ્લું ઉદાહરણઆપણે એક નિયમ ઘડી શકીએ: જો સ્પર્શક OX અક્ષની સમાંતર હોય, તો સ્પર્શક બિંદુ પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે કંઈપણ ગણવાની જરૂર નથી - ફક્ત ગ્રાફ જુઓ.

મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટની ગણતરી

કેટલીકવાર, ફંક્શનના ગ્રાફને બદલે, પ્રોબ્લેમ B9 વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ આપે છે અને ફંક્શનનો મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુ શોધવાની જરૂર પડે છે. આ પરિસ્થિતિમાં, બે-પોઇન્ટ પદ્ધતિ નકામી છે, પરંતુ ત્યાં અન્ય, સરળ અલ્ગોરિધમનો પણ છે. પ્રથમ, ચાલો પરિભાષા વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

1. બિંદુ x 0 એ ફંક્શન f(x) નો મહત્તમ બિંદુ કહેવાય છે જો આ બિંદુના અમુક પડોશમાં નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f(x 0) ≥ f(x).
2. બિંદુ x 0 એ ફંક્શન f(x) નો લઘુત્તમ બિંદુ કહેવાય છે જો આ બિંદુની અમુક પડોશમાં નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f(x 0) ≤ f(x).

વ્યુત્પન્ન ગ્રાફમાંથી મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ શોધવા માટે, ફક્ત આ પગલાં અનુસરો:

1. બધી બિનજરૂરી માહિતીને દૂર કરીને વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ ફરીથી દોરો. પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, બિનજરૂરી ડેટા માત્ર નિર્ણયમાં દખલ કરે છે. તેથી, અમે નોંધીએ છીએ સંકલન અક્ષવ્યુત્પન્નના શૂન્ય - બસ એટલું જ.
2. શૂન્ય વચ્ચેના અંતરાલ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો શોધો. જો અમુક બિંદુ x 0 માટે તે જાણીતું હોય કે f'(x 0) ≠ 0, તો માત્ર બે વિકલ્પો શક્ય છે: f'(x 0) ≥ 0 અથવા f'(x 0) ≤ 0. વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન છે મૂળ ડ્રોઇંગ પરથી નક્કી કરવું સરળ છે: જો વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ OX અક્ષની ઉપર આવેલો છે, તો f'(x) ≥ 0. અને તેનાથી વિપરીત, જો વ્યુત્પન્ન આલેખ OX અક્ષની નીચે આવેલો છે, તો f'(x) ≤ 0.
3. અમે ડેરિવેટિવના શૂન્ય અને ચિહ્નોને ફરીથી તપાસીએ છીએ. જ્યાં ચિહ્ન માઈનસથી પ્લસમાં બદલાય છે તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે. તેનાથી વિપરિત, જો વ્યુત્પત્તિની નિશાની વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે, તો આ મહત્તમ બિંદુ છે. ગણતરી હંમેશા ડાબેથી જમણે કરવામાં આવે છે.

આ યોજના ફક્ત સતત કાર્યો માટે કાર્ય કરે છે - B9 સમસ્યામાં અન્ય કોઈ નથી.

કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−5; 5]. આ સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) નો ન્યૂનતમ બિંદુ શોધો.

ચાલો બિનજરૂરી માહિતીથી છૂટકારો મેળવીએ અને માત્ર સીમાઓ છોડીએ [−5; 5] અને વ્યુત્પન્ન x = −3 અને x = 2.5 ના શૂન્ય. અમે ચિહ્નો પણ નોંધીએ છીએ:

દેખીતી રીતે, બિંદુ x = −3 પર બાદબાકીથી વત્તામાં વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન. આ ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−3; 7]. આ સેગમેન્ટ પર ફંક્શન f(x) નો મહત્તમ બિંદુ શોધો.

ચાલો માત્ર સીમાઓ છોડીને આલેખને ફરીથી દોરીએ [−3; 7] અને વ્યુત્પન્ન x = −1.7 અને x = 5 ના શૂન્ય. ચાલો પરિણામી ગ્રાફ પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નોંધીએ. અમારી પાસે છે:

દેખીતી રીતે, બિંદુ x = 5 પર વત્તાથી માઈનસમાં વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન - આ મહત્તમ બિંદુ છે.

કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−6; 4]. સેગમેન્ટ [−4; 3].

સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી તે અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ [−4; 3]. એટલા માટે અમે બનાવી રહ્યા છીએ નવું શેડ્યૂલ, જેના પર આપણે ફક્ત સીમાઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ [−4; 3] અને તેની અંદર વ્યુત્પન્નના શૂન્ય. જેમ કે, પોઈન્ટ x = −3.5 અને x = 2. આપણને મળે છે:

આ આલેખ પર માત્ર એક મહત્તમ બિંદુ x = 2 છે. તે આ બિંદુએ છે કે વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે.

બિન-પૂર્ણાંક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથેના બિંદુઓ વિશે એક નાની નોંધ. ઉદાહરણ તરીકે, માં છેલ્લું કાર્યબિંદુ x = −3.5 ગણવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ તે જ સફળતા સાથે આપણે x = −3.4 લઈ શકીએ છીએ. જો સમસ્યા યોગ્ય રીતે સંકલિત કરવામાં આવી હોય, તો આવા ફેરફારો જવાબને અસર કરશે નહીં, કારણ કે "નિશ્ચિત નિવાસ સ્થાન વિના" પોઈન્ટ સ્વીકારતા નથી. સીધી ભાગીદારીસમસ્યાના ઉકેલમાં. અલબત્ત, આ યુક્તિ પૂર્ણાંક બિંદુઓ સાથે કામ કરશે નહીં.

વધતા અને ઘટતા કાર્યોના અંતરાલો શોધવી

આવી સમસ્યામાં, મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓની જેમ, તે વિસ્તારો શોધવા માટે વ્યુત્પન્ન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવે છે જેમાં કાર્ય પોતે વધે છે અથવા ઘટે છે. પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે વધારો અને ઘટાડો શું છે:

1. ફંક્શન f(x) એ સેગમેન્ટ પર વધી રહ્યું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ બે બિંદુઓ x 1 અને x 2 માટે નીચેનું વિધાન સાચું છે: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દલીલ મૂલ્ય જેટલું મોટું છે, ફંક્શન મૂલ્ય જેટલું મોટું છે.
2. ફંક્શન f(x) એ સેગમેન્ટ પર ઘટતું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટમાંથી કોઈપણ બે બિંદુઓ x 1 અને x 2 માટે નીચેનું વિધાન સાચું છે: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). તે. ઉચ્ચ મૂલ્યદલીલ મેળ ખાય છે ઓછી કિંમતકાર્યો

ચાલો ઘડીએ પૂરતી શરતોચડતા અને ઉતરતા:

1. ક્રમમાં સતત કાર્ય f(x) સેગમેન્ટ પર વધ્યું છે, તે પૂરતું છે કે સેગમેન્ટની અંદર તેનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક હતું, એટલે કે. f’(x) ≥ 0.
2. સેગમેન્ટ પર સતત ફંક્શન f(x) ઘટાડવા માટે, તે પૂરતું છે કે સેગમેન્ટની અંદર તેનું ડેરિવેટિવ નકારાત્મક હોય, એટલે કે. f’(x) ≤ 0.

ચાલો પુરાવા વિના આ નિવેદનો સ્વીકારીએ. આમ, અમે વધતા અને ઘટતા અંતરાલો શોધવા માટે એક સ્કીમ મેળવીએ છીએ, જે ઘણી રીતે એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટની ગણતરી માટેના અલ્ગોરિધમના સમાન છે:

1. બધી બિનજરૂરી માહિતી દૂર કરો. વ્યુત્પન્નના મૂળ ગ્રાફમાં, અમને મુખ્યત્વે ફંક્શનના શૂન્યમાં રસ છે, તેથી અમે ફક્ત તેમને જ છોડીશું.
2. શૂન્ય વચ્ચેના અંતરાલો પર વ્યુત્પન્નના ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરો. જ્યાં f’(x) ≥ 0, કાર્ય વધે છે, અને જ્યાં f’(x) ≤ 0, તે ઘટે છે. જો સમસ્યા ચલ x પર નિયંત્રણો સેટ કરે છે, તો અમે તેને નવા ગ્રાફ પર પણ ચિહ્નિત કરીએ છીએ.
3. હવે જ્યારે આપણે કાર્યની વર્તણૂક અને અવરોધો જાણીએ છીએ, તે સમસ્યામાં જરૂરી જથ્થાની ગણતરી કરવાનું બાકી છે.

કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−3; 7.5]. ફંક્શન f(x) ના ઘટાડાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો દર્શાવો.

હંમેશની જેમ, ચાલો આલેખને ફરીથી દોરીએ અને સીમાઓને ચિહ્નિત કરીએ [−3; 7.5], તેમજ ડેરિવેટિવ x = −1.5 અને x = 5.3 ના શૂન્ય. પછી આપણે વ્યુત્પન્નના ચિહ્નો નોંધીએ છીએ. અમારી પાસે છે:

વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (− 1.5) પર નકારાત્મક હોવાથી, આ ઘટતા કાર્યનું અંતરાલ છે. આ અંતરાલની અંદરના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવાનું બાકી છે:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

કાર્ય. આકૃતિ અંતરાલ [−10; 4]. ફંક્શન f(x) ના વધારાના અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.

ચાલો બિનજરૂરી માહિતીથી છૂટકારો મેળવીએ. ચાલો ફક્ત સીમાઓ જ છોડીએ [−10; 4] અને વ્યુત્પન્નના શૂન્ય, જેમાંથી આ વખતે ચાર હતા: x = −8, x = −6, x = −3 અને x = 2. ચાલો વ્યુત્પન્નના ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરીએ અને નીચેનું ચિત્ર મેળવીએ:

અમે વધતા કાર્યના અંતરાલોમાં રસ ધરાવીએ છીએ, એટલે કે. જેમ કે જ્યાં f’(x) ≥ 0. ગ્રાફ પર આવા બે અંતરાલ છે: (−8; −6) અને (−3; 2). ચાલો તેમની લંબાઈની ગણતરી કરીએ:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

આપણે સૌથી મોટા અંતરાલોની લંબાઈ શોધવાની જરૂર હોવાથી, અમે જવાબ તરીકે મૂલ્ય l 2 = 5 લખીએ છીએ.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે, જે અંતરાલ [–5; 6]. f(x) ના ગ્રાફ પરના બિંદુઓની સંખ્યા શોધો, જેમાંના દરેક પર ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરવામાં આવેલ સ્પર્શક x-અક્ષ સાથે સુસંગત છે અથવા તેની સમાંતર છે.

આકૃતિ વિભેદક કાર્ય y = f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે.

ફંક્શન ગ્રાફ પરના બિંદુઓની સંખ્યા શોધો જે સેગમેન્ટ [–7; 7], જેમાં ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્પર્શક સમીકરણ y = –3x દ્વારા ઉલ્લેખિત સીધી રેખાની સમાંતર છે.

સામગ્રી બિંદુ M બિંદુ A થી આગળ વધવાનું શરૂ કરે છે અને 12 સેકન્ડ માટે સીધી રેખામાં ખસે છે. ગ્રાફ બતાવે છે કે બિંદુ A થી બિંદુ M સુધીનું અંતર સમય સાથે કેવી રીતે બદલાયું. એબ્સીસા અક્ષ સેકન્ડમાં સમય ટી બતાવે છે, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ મીટરમાં અંતર બતાવે છે. ચળવળ દરમિયાન કેટલી વખત બિંદુ M ની ગતિ શૂન્ય થઈ તે નક્કી કરો (ચળવળની શરૂઆત અને અંતને ધ્યાનમાં ન લો).

આકૃતિ y=f(x) ફંક્શનના ગ્રાફના વિભાગો અને abscissa x = 0 સાથેના બિંદુ પર તેની સ્પર્શક દર્શાવે છે. તે જાણીતું છે કે આ સ્પર્શક ગ્રાફના બિંદુઓમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાની સમાંતર છે. abscissa x = -2 અને x = 3 સાથે. આનો ઉપયોગ કરીને, વ્યુત્પન્ન f"(o) ની કિંમત શોધો.

આકૃતિ y = f’(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે - ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન, સેગમેન્ટ (−11; 2) પર વ્યાખ્યાયિત. બિંદુનો એબ્સીસા શોધો કે જેના પર ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફની સ્પર્શક એ એબ્સીસાની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે.

એક ભૌતિક બિંદુ x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3 ના નિયમ અનુસાર સચોટ રીતે આગળ વધે છે, જ્યાં x એ સંદર્ભ બિંદુથી મીટરમાં અંતર છે, t એ સેકન્ડમાં સમય છે, ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવે છે. કયા સમયે (સેકંડમાં) તેની ઝડપ 2 m/s જેટલી હતી?

ભૌતિક બિંદુ પ્રારંભિકથી અંતિમ સ્થાન સુધી સીધી રેખા સાથે ખસે છે. આકૃતિ તેની હિલચાલનો ગ્રાફ બતાવે છે. એબ્સીસા અક્ષ સેકંડમાં સમય બતાવે છે, ઓર્ડિનેટ અક્ષ થી અંતર બતાવે છે પ્રારંભિક સ્થિતિપોઈન્ટ (મીટરમાં). શોધો સરેરાશ ઝડપબિંદુ ચળવળ. તમારો જવાબ મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં આપો.

કાર્ય y = f (x) અંતરાલ [-4 પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે; 4]. આકૃતિ તેના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. કાર્ય y = f (x) ના ગ્રાફ પરના બિંદુઓની સંખ્યા શોધો, સ્પર્શક કે જેના પર Ox અક્ષની હકારાત્મક દિશા સાથે 45° નો ખૂણો બનાવે છે.

કાર્ય y = f (x) અંતરાલ [-2 પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે; 4]. આકૃતિ તેના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ બતાવે છે. ફંક્શન y = f (x) ના આલેખમાં બિંદુનો એબ્સીસા શોધો, જેના પર તે લે છે સૌથી નાનું મૂલ્યસેગમેન્ટ પર [-2; -0.001].

આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને બિંદુ x0 પર દોરેલા આ ગ્રાફની સ્પર્શક દર્શાવે છે. સ્પર્શક સમીકરણ y = -2x + 15 દ્વારા આપવામાં આવે છે. x0 બિંદુ પર કાર્ય y = -(1/4)f(x) + 5 ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

વિભેદક કાર્યના ગ્રાફ પર y = f (x) સાત બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે: x1,.., x7. બધા ચિહ્નિત બિંદુઓ શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય કરતાં વધુ. તમારા જવાબમાં, આ બિંદુઓની સંખ્યા સૂચવો.

આકૃતિ ફંક્શન f(x) ના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ y = f"(x) દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (-10; 2) પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શન f ના ગ્રાફની સ્પર્શક છે. (x) સીધી રેખા y = -2x-11 ની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે.

આકૃતિ y=f"(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે - ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન. એબ્સીસા અક્ષ પર ચિહ્નિત નવ બિંદુઓ છે: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
આમાંથી કેટલા બિંદુઓ ઘટતા કાર્ય f(x) ના અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે?

આકૃતિ y = f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને બિંદુ x0 પર દોરેલા આ ગ્રાફની સ્પર્શક દર્શાવે છે. સ્પર્શક સમીકરણ y = 1.5x + 3.5 દ્વારા આપવામાં આવે છે. x0 બિંદુ પર ફંક્શન y = 2f(x) - 1 ના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

આકૃતિ તેમાંના એકનો ગ્રાફ y=F(x) બતાવે છે એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યો f(x). ગ્રાફ પર એબ્સીસાસ x1, x2, ..., x6 સાથે ચિહ્નિત છ બિંદુઓ છે. આમાંથી કેટલા બિંદુઓ પર ફંક્શન y=f(x) નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે?

આકૃતિ માર્ગ પર આગળ વધતી કારનો ગ્રાફ બતાવે છે. એબ્સીસા અક્ષ સમય (કલાકોમાં) બતાવે છે અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ મુસાફરી કરેલ અંતર (કિલોમીટરમાં) દર્શાવે છે. આ માર્ગ પર કારની સરેરાશ ઝડપ શોધો. તમારો જવાબ કિમી/કલાકમાં આપો

એક ભૌતિક બિંદુ x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1 ના નિયમ અનુસાર સરેક્ટલીનરી રીતે આગળ વધે છે, જ્યાં x એ સંદર્ભ બિંદુ (મીટરમાં) થી અંતર છે, t એ સમય છે ચળવળ (સેકંડમાં). t=6 સેકંડ સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો

આકૃતિ કેટલાક ફંક્શન y = f(x) ના એન્ટિડેરિવેટિવ y = F(x) નો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (-6; 7) પર વ્યાખ્યાયિત છે. આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, આ અંતરાલ પર ફંક્શન f(x) ના શૂન્યની સંખ્યા નક્કી કરો.

આકૃતિ અમુક ફંક્શન f(x) ના એન્ટિડેરિવેટિવ્સમાંના એકનો y = F(x) નો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે અંતરાલ (-7; 5) પર વ્યાખ્યાયિત છે. આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને, અંતરાલ પર f(x) = 0 સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા નક્કી કરો [- 5; 2].

આકૃતિ વિભેદક કાર્ય y=f(x) નો ગ્રાફ દર્શાવે છે. x-અક્ષ પર નવ બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે: x1, x2, ... x9. બધા ચિહ્નિત બિંદુઓ શોધો કે જેના પર ફંક્શન f(x) નું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે. તમારા જવાબમાં, આ બિંદુઓની સંખ્યા સૂચવો.

ભૌતિક બિંદુ x(t)=12t^3−3t^2+2t, જ્યાં x એ મીટરમાં સંદર્ભ બિંદુથી અંતર છે, t એ ચળવળની શરૂઆતથી માપવામાં આવેલ સેકન્ડોમાંનો સમય છે. t=6 સેકંડ સમયે તેની ઝડપ (મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં) શોધો.

આકૃતિ y=f(x) ફંક્શનનો ગ્રાફ અને બિંદુ x0 પર દોરેલા આ ગ્રાફની સ્પર્શક દર્શાવે છે. સ્પર્શક સમીકરણ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. બિંદુ x0 પર y=4*f(x)-3 ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની કિંમત શોધો.

હેલો! ચાલો વિજ્ઞાનના ગ્રેનાઈટને પીસવામાં ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળી પદ્ધતિસરની તૈયારી અને દ્રઢતા સાથે આગામી યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાને ટક્કર આપીએ!!! INપોસ્ટના અંતે એક સ્પર્ધા કાર્ય છે, પ્રથમ બનો! આ વિભાગના એક લેખમાં તમે અને હું, જેમાં ફંક્શનનો ગ્રાફ આપવામાં આવ્યો હતો, અને અમે મૂકીએ છીએ વિવિધ પ્રશ્નોચરમસીમાઓ, વધારાના અંતરાલો (ઘટાડો) અને અન્ય સાથે સંબંધિત.

આ લેખમાં આપણે ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં સમાવિષ્ટ સમસ્યાઓ પર વિચાર કરીશું, જેમાં ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ આપવામાં આવ્યો છે અને નીચેના પ્રશ્નો પૂછવામાં આવ્યા છે:

1. આપેલ સેગમેન્ટના કયા બિંદુએ ફંક્શન સૌથી મોટું (અથવા સૌથી નાનું) મૂલ્ય લે છે.

2. આપેલ સેગમેન્ટના ફંક્શનના મહત્તમ (અથવા ન્યૂનતમ) પોઈન્ટની સંખ્યા શોધો.

3. આપેલ સેગમેન્ટના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટની સંખ્યા શોધો.

4. આપેલ સેગમેન્ટ સાથે જોડાયેલા ફંક્શનનો સીમાબિંદુ શોધો.

5. વધતા (અથવા ઘટતા) કાર્યના અંતરાલો શોધો અને જવાબમાં આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો દર્શાવે છે.

6. ફંક્શનના વધારા (અથવા ઘટાડાના) અંતરાલો શોધો. તમારા જવાબમાં, આમાંના સૌથી મોટા અંતરાલોની લંબાઈ દર્શાવો.

7. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફનો સ્પર્શક y = kx + b ફોર્મની રેખા સાથે સમાંતર અથવા એકરુપ છે.

8. જે બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક એબ્સિસા અક્ષની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરુપ છે તે બિંદુનો એબ્સીસા શોધો.

ત્યાં અન્ય પ્રશ્નો હોઈ શકે છે, પરંતુ જો તમે સમજો છો અને જો તમે સમજો છો તો તે તમને કોઈ મુશ્કેલી ઊભી કરશે નહીં અને (ઉકેલ માટે જરૂરી માહિતી પ્રદાન કરતી લેખોની લિંક્સ પ્રદાન કરવામાં આવી છે, હું તેમને પુનરાવર્તન કરવાની ભલામણ કરું છું).

મૂળભૂત માહિતી (સંક્ષિપ્તમાં):

1. વધતા અંતરાલો પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક સંકેત ધરાવે છે.

જો ચોક્કસ અંતરાલમાંથી ચોક્કસ બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન હોય હકારાત્મક મૂલ્ય, પછી ફંક્શનનો ગ્રાફ આ અંતરાલ પર વધે છે.

2. ઘટતા અંતરાલો પર, વ્યુત્પન્નમાં નકારાત્મક ચિહ્ન છે.

જો ચોક્કસ અંતરાલમાંથી ચોક્કસ બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન હોય નકારાત્મક મૂલ્ય, પછી ફંક્શનનો ગ્રાફ આ અંતરાલ પર ઘટે છે.

3. બિંદુ x પર વ્યુત્પન્ન એ સમાન બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના ઢોળાવની બરાબર છે.

4. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમ (મહત્તમ-લઘુત્તમ) ના બિંદુઓ પર, વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. આ બિંદુએ ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક x અક્ષની સમાંતર છે.

આ સ્પષ્ટપણે સમજવું અને યાદ રાખવું જોઈએ !!!

વ્યુત્પન્ન આલેખ ઘણા લોકોને "ગૂંચવણમાં મૂકે છે". કેટલાક લોકો અજાણતા તેને ફંક્શનના ગ્રાફ માટે ભૂલ કરે છે. તેથી, આવી ઇમારતોમાં, જ્યાં તમે જુઓ કે ગ્રાફ આપવામાં આવ્યો છે, તરત જ તમારું ધ્યાન શું આપવામાં આવ્યું છે તેના પર કેન્દ્રિત કરો: ફંક્શનનો ગ્રાફ અથવા ફંક્શનના વ્યુત્પન્નનો ગ્રાફ?

જો તે ફંક્શનના ડેરિવેટિવનો ગ્રાફ છે, તો તેને ફંક્શનના જ "પ્રતિબિંબ" તરીકે ગણો, જે તમને તે ફંક્શન વિશેની માહિતી આપે છે.

કાર્ય ધ્યાનમાં લો:

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–2;21).

અમે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપીશું:

1. સેગમેન્ટના કયા બિંદુએ કાર્ય છે f(X)સ્વીકારે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્ય.

આપેલ અંતરાલ પર, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલ પરનું કાર્ય ઘટે છે (તે અંતરાલની ડાબી સીમાથી જમણી તરફ ઘટે છે). આમ, ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય સેગમેન્ટની ડાબી સરહદ પર પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે બિંદુ 7 પર.

જવાબ: 7

2. સેગમેન્ટ પર કયા બિંદુએ કાર્ય છે f(X)

દ્વારા આ શેડ્યૂલવ્યુત્પન્ન આપણે નીચે મુજબ કહી શકીએ. આપેલ અંતરાલ પર, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન ધન છે, જેનો અર્થ છે કે આ અંતરાલ પરનું કાર્ય વધે છે (તે અંતરાલની ડાબી સીમાથી જમણી તરફ વધે છે). આમ, ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય સેગમેન્ટની ડાબી સરહદ પર પ્રાપ્ત થાય છે, એટલે કે, બિંદુ x = 3 પર.

જવાબ: 3

3. કાર્યના મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો f(X)

મહત્તમ બિંદુઓ તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં વ્યુત્પન્નની નિશાની હકારાત્મકથી નકારાત્મકમાં બદલાય છે. ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે આ રીતે ચિહ્ન ક્યાં બદલાય છે.

સેગમેન્ટ (3;6) પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, સેગમેન્ટ પર (6;16) તે નકારાત્મક છે.

સેગમેન્ટ (16;18) પર વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, સેગમેન્ટ પર (18;20) તે નકારાત્મક છે.

આમ, આપેલ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનમાં બે મહત્તમ બિંદુઓ x = 6 અને x = 18 છે.

જવાબ: 2

4. ફંક્શનના ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો f(X), સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે.

ન્યૂનતમ પોઈન્ટ એવા પોઈન્ટને અનુરૂપ હોય છે જ્યાં વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન નકારાત્મકથી હકારાત્મકમાં બદલાય છે. આપણું વ્યુત્પન્ન અંતરાલ (0;3) પર નકારાત્મક છે, અને અંતરાલ (3;4) પર હકારાત્મક છે.

આમ, સેગમેન્ટ પર ફંક્શનમાં માત્ર એક ન્યૂનતમ બિંદુ x = 3 છે.

*જવાબ લખતી વખતે સાવચેત રહો - પોઈન્ટ્સની સંખ્યા નોંધવામાં આવે છે, x મૂલ્ય નહીં;

જવાબ: 1

5. ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટની સંખ્યા શોધો f(X), સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે.

કૃપા કરીને નોંધો કે તમારે શું શોધવાની જરૂર છે જથ્થોએક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ (આ બંને મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ છે).

એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ એવા બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં વ્યુત્પન્નની નિશાની બદલાય છે (સકારાત્મકથી નકારાત્મક અથવા તેનાથી વિપરીત). શરતમાં આપેલ ગ્રાફમાં, આ ફંક્શનના શૂન્ય છે. ડેરિવેટિવ પોઈન્ટ 3, 6, 16, 18 પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

આમ, ફંક્શનમાં સેગમેન્ટ પર 4 એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ છે.

જવાબ: 4

6. વધતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X)

આ કાર્યના વધારાના અંતરાલ f(X)તે અંતરાલોને અનુરૂપ છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, એટલે કે, અંતરાલો (3;6) અને (16;18). મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અંતરાલની સીમાઓ તેમાં શામેલ નથી ( કૌંસ- અંતરાલમાં સરહદો શામેલ નથી, ચોરસ શામેલ છે). આ અંતરાલોમાં પૂર્ણાંક બિંદુઓ 4, 5, 17 છે. તેમનો સરવાળો છે: 4 + 5 + 17 = 26

જવાબ: 26

7. ઘટતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X)આપેલ અંતરાલ પર. તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો સૂચવો.

ફંક્શનના અંતરાલમાં ઘટાડો f(X)અંતરાલોને અનુરૂપ છે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે. આ સમસ્યામાં આ અંતરાલો છે (–2;3), (6;16), (18:21).

આ અંતરાલોમાં નીચેના પૂર્ણાંક બિંદુઓ છે: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. તેમનો સરવાળો છે:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

જવાબ: 140

*શરત પર ધ્યાન આપો: અંતરાલમાં સીમાઓ શામેલ છે કે નહીં. જો સીમાઓનો સમાવેશ કરવામાં આવે છે, તો પછી ઉકેલ પ્રક્રિયામાં ગણવામાં આવતા અંતરાલોમાં આ સીમાઓને પણ ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે.

8. વધતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X)

વધતા કાર્યના અંતરાલો f(X)અંતરાલોને અનુરૂપ છે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે. અમે તેમને પહેલેથી જ સૂચવ્યા છે: (3;6) અને (16:18). તેમાંથી સૌથી મોટું અંતરાલ (3;6) છે, તેની લંબાઈ 3 છે.

જવાબ: 3

9. ઘટતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X). તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.

ફંક્શનના અંતરાલમાં ઘટાડો f(X)અંતરાલોને અનુરૂપ છે જેના પર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે. અમે તેમને પહેલેથી જ સૂચવ્યા છે; આ અંતરાલો છે (-2;3), (6;16), (18;21), તેમની લંબાઈ અનુક્રમે 5, 10, 3 છે.

સૌથી મોટી લંબાઈ 10 છે.

જવાબ: 10

10. બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જેના પર ફંક્શનના ગ્રાફની સ્પર્શક છે f(X)સીધી રેખા y = 2x + 3 સાથે સમાંતર અથવા એકરુપ છે.

સ્પર્શક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે. સ્પર્શક સીધી રેખા y = 2x + 3 ની સમાંતર હોવાથી અથવા તેની સાથે એકરુપ હોવાથી, તેમના કોણીય ગુણાંક 2 ની બરાબર છે. આનો અર્થ એ છે કે તે બિંદુઓની સંખ્યા શોધવી જરૂરી છે કે જેના પર y′(x 0) = 2 છે. ભૌમિતિક રીતે, આ સીધી રેખા y = 2 સાથે વ્યુત્પન્ન ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓની સંખ્યાને અનુરૂપ છે. આ અંતરાલ પર આવા 4 બિંદુઓ છે.

જવાબ: 4

11. ફંક્શનના અંતિમ બિંદુ શોધો f(X), સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે.

ફંક્શનનો આત્યંતિક બિંદુ એ તે બિંદુ છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને આ બિંદુની નજીકમાં વ્યુત્પન્ન પરિવર્તન ચિહ્ન (ધનથી નકારાત્મક અથવા ઊલટું). સેગમેન્ટ પર, વ્યુત્પન્ન આલેખ x-અક્ષને છેદે છે, વ્યુત્પન્ન ફેરફારો નકારાત્મકથી હકારાત્મકમાં સાઇન કરે છે. તેથી, બિંદુ x = 3 એ એક આત્યંતિક બિંદુ છે.

જવાબ: 3

12. જે બિંદુઓ પર ગ્રાફ y = f (x) ના સ્પર્શકો એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર છે અથવા તેની સાથે એકરૂપ છે તે બિંદુઓના એબ્સીસાસ શોધો. તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટું સૂચવો.

આલેખ y = f (x) ની સ્પર્શક x-અક્ષની સમાંતર હોઈ શકે છે અથવા તેની સાથે એકરુપ હોઈ શકે છે, માત્ર એવા બિંદુઓ પર જ્યાં વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર હોય (આ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ હોઈ શકે છે અથવા સ્થિર બિંદુઓ, જેની નજીકમાં વ્યુત્પન્ન તેનું ચિહ્ન બદલતું નથી). આ ગ્રાફ દર્શાવે છે કે વ્યુત્પન્ન બિંદુ 3, 6, 16,18 પર શૂન્ય છે. સૌથી મોટી 18 છે.

તમે તમારા તર્કની રચના આ રીતે કરી શકો છો:

સ્પર્શક બિંદુ પર વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય સ્પર્શકના ઢોળાવ જેટલું છે. કારણ કે સ્પર્શક સમાંતર છે અથવા x-અક્ષ સાથે એકરુપ છે, તેની ઢાળ 0 ની બરાબર છે (ખરેખર, શૂન્ય ડિગ્રીના ખૂણાની સ્પર્શક શૂન્ય બરાબર છે). તેથી, અમે તે બિંદુ શોધી રહ્યા છીએ કે જ્યાં ઢાળ શૂન્યની બરાબર છે, અને તેથી વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. ડેરિવેટિવ જે બિંદુએ તેનો ગ્રાફ x-અક્ષને છેદે છે તે બિંદુ પર શૂન્ય બરાબર છે, અને આ બિંદુઓ 3, 6, 16,18 છે.

જવાબ: 18

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–8;4). સેગમેન્ટના કયા બિંદુએ [–7;–3] કાર્ય છે f(X)સૌથી નાનું મૂલ્ય લે છે.

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–7;14). કાર્યના મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો f(X), સેગમેન્ટ [–6;9] થી સંબંધિત છે.

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–18;6). ફંક્શનના ન્યૂનતમ બિંદુઓની સંખ્યા શોધો f(X), સેગમેન્ટથી સંબંધિત [–13;1].

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–11; –11). ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટની સંખ્યા શોધો f(X), સેગમેન્ટ [–10; -10].

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–7;4). વધતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X). તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો સૂચવો.

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ (–5;7) પર વ્યાખ્યાયિત. ઘટતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X). તમારા જવાબમાં, આ અંતરાલોમાં સમાવિષ્ટ પૂર્ણાંક બિંદુઓનો સરવાળો સૂચવો.

આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે y =f'(X)- કાર્યનું વ્યુત્પન્ન f(X), અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત (–11;3). વધતા કાર્યના અંતરાલો શોધો f(X). તમારા જવાબમાં, તેમાંથી સૌથી મોટાની લંબાઈ દર્શાવો.

F આકૃતિ ગ્રાફ બતાવે છે

સમસ્યાની શરતો સમાન છે (જે અમે ધ્યાનમાં લીધી છે). ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો:

1. ફંક્શન f (x) ના અંતિમ ભાગના વર્ગોનો સરવાળો.

2. મહત્તમ બિંદુઓના સરવાળાના ચોરસ અને ફંક્શન f (x) ના લઘુત્તમ બિંદુઓના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત.

3. સીધી રેખા y = –3x + 5 ની સમાંતર f(x) ની સ્પર્શકોની સંખ્યા.

સાચો જવાબ આપનાર પ્રથમ વ્યક્તિને 150 રુબેલ્સનું પ્રોત્સાહક ઇનામ મળશે. ટિપ્પણીઓમાં તમારા જવાબો લખો. જો આ બ્લોગ પર તમારી પ્રથમ ટિપ્પણી છે, તો તે તરત જ દેખાશે નહીં, પરંતુ થોડી વાર પછી (ચિંતા કરશો નહીં, ટિપ્પણી લખવામાં આવેલ સમય રેકોર્ડ કરવામાં આવશે).

તમને શુભકામનાઓ!

શુભેચ્છાઓ, એલેક્ઝાન્ડર ક્રુતિત્સિખ.

P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.