તાર્કિક જોડાણો - પ્રતીકો તાર્કિક ભાષાઓ, શિક્ષણ માટે વપરાય છે જટિલ નિવેદનો(સૂત્રો) પ્રાથમિકમાંથી. આ પ્રતીકોને અનુરૂપ જોડાણોને તાર્કિક જોડાણ પણ કહેવામાં આવે છે કુદરતી ભાષા. સામાન્ય રીતે, તાર્કિક જોડાણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેમ કે જોડાણ (સંયોજન “અને”, સાંકેતિક સંકેતો: &, ∧ અને ગુણાકાર ચિહ્નના રૂપમાં એક બિંદુ, જે ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે, A અને B ના જોડાણને AB તરીકે લખે છે), વિભાજન (એક છૂટક જોડાણ "અથવા", "∨" તરીકે સૂચિત), સૂચિતાર્થ ("જો..., પછી", "⊃" અને વિવિધ પ્રકારના તીરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), નકાર ("તે સાચું નથી કે.. .", દ્વારા સૂચવાયેલ: , ~ અથવા નકારાત્મક અભિવ્યક્તિ પર બાર) ઉપરોક્તમાંથી, નકાર એ યુનરી કનેક્ટિવ છે. અન્ય ડબલ (દ્વિસંગી) છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે, લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ ઇચ્છિત તરીકે સ્થાનિક હોઈ શકે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં, દ્વિસંગી કનેક્ટિવ્સ કરતાં વધુ ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાય છે. શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રમાં (તર્કશાસ્ત્ર, પ્રપોઝિશનલ લોજિક), કોઈપણ મલ્ટી-પ્લેસ લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ સૂચિબદ્ધ લોકો દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. કેટલાક પ્રાયોગિક અર્થ ત્રાંસી તાર્કિક જોડાણના ઉપયોગ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેને શરતી વિભાજન કહેવાય છે, જે ત્રણ વિધાન A, B અને Cને જોડે છે અને જેનો અર્થ થાય છે કે "B ના કિસ્સામાં A અને કિસ્સામાં C કેસ નોન-બી"અથવા ઔપચારિક રીતે: (B⊃A)&(B⊃C) (Sidorenko E.A. શરતી વિસંવાદ સાથે પ્રોપોઝિશનલ કેલ્ક્યુલસ. - પુસ્તકમાં: પદ્ધતિઓ તાર્કિક વિશ્લેષણ. એમ., 1977).

ક્લાસિકલ લોજિક લોજિકલ કનેક્ટિવ્સને વિસ્તૃત રીતે (તેઓ જે નિવેદનો જોડે છે તેના મૂળ અર્થને અવગણીને) તેઓ જે નિવેદનો જોડે છે તેના સત્ય મૂલ્યો દ્વારા નિર્ધારિત સત્ય કાર્યો તરીકે ગણે છે. આ તર્કમાં બે સત્ય મૂલ્યોને જોતાં, 1 (સાચું) અને 0 (ખોટું), વિધાન A અને Bમાં ક્રમબદ્ધ સત્ય મૂલ્યોના ચાર સંભવિત સેટ હોઈ શકે છે:<1,1>, <1,0>, <0,1>, <0,0>. પ્રપોઝલ ટ્રુથ ફંક્શન દરેક સૂચિબદ્ધ સત્ય મૂલ્યોમાંથી એકને અસાઇન કરે છે - 1 અથવા 0. કુલ મળીને 16 આવા ફંક્શન્સ છે, જ્યારે A અને B બંને સાચા હોય ત્યારે જ એક્સપ્રેશન A&B માટે વેલ્યુ 1 અસાઇન કરે છે. , એટલે કે બંનેની કિંમત 1 છે, અન્યથા A&B ની કિંમત 0 છે. વિભાજન Α ∨ B, તેનાથી વિપરિત, માત્ર એક કિસ્સામાં ખોટા છે, જ્યારે A અને B બંને ખોટા હોય તો જ સૂચિત A ⊃ B ખોટા હોય છે A સાચું છે અને પૂર્વવર્તી ખોટું છે (પરિણામે) B. અન્ય કિસ્સાઓમાં, A ⊃ B મૂલ્ય 1 લે છે. ચાર એકરૂપ કાર્યોમાંથી, માત્ર નકારાત્મકતા જ રસ ધરાવે છે, વિધાનનો અર્થ વિરુદ્ધમાં બદલીને: જ્યારે A છે સાચું, A ખોટું છે, અને ઊલટું. અન્ય તમામ યુનરી અને દ્વિસંગી શાસ્ત્રીય કાર્યોને પ્રસ્તુત કરેલા કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. જ્યારે અનુરૂપ સિમેન્ટિક્સમાં અપનાવવામાં આવેલી લોજિકલ કનેક્ટિવ સિસ્ટમ અમને અન્ય તમામને વ્યાખ્યાયિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, ત્યારે તેને કાર્યાત્મક રીતે પૂર્ણ કહેવામાં આવે છે. શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રમાં સંપૂર્ણ પ્રણાલીઓમાં, ખાસ કરીને, જોડાણ અને નકારનો સમાવેશ થાય છે; વિભાજન અને નકાર; સૂચિતાર્થ અને નકાર. ડી મોર્ગનના કાયદા તરીકે ઓળખાતા સમાનતા (A&B)≡(A∨B) અને (A∨B)≡(A&B) તેમજ: (Α⊃Β)≡(Α∨)ને કારણે જોડાણ અને વિભાજન એકબીજા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. B), (A&B)≡(A⊃B), (Α∨B)≡((A⊃B)⊃A). ફોર્મ A ≡ B ની કોઈપણ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જો જોડાણ (A⊃B)&(B⊃A) સામાન્ય રીતે માન્ય હોય (હંમેશા સાચું).

અનુક્રમે (A∨B) અને (A&B) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરાયેલા એન્ટિડિસજંક્શન અને એન્ટિકન્જક્શન ફંક્શન્સ, દરેક અલગથી કનેક્ટિવ્સની કાર્યાત્મક રીતે સંપૂર્ણ સિસ્ટમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ છેલ્લી પરિસ્થિતિ સી. પીયર્સ (તેમના જીવનકાળ દરમિયાન 1880માં અપ્રકાશિત કૃતિ) ને પહેલેથી જ જાણીતી હતી અને એચ.એમ. શેફર દ્વારા તેની ફરીથી શોધ કરવામાં આવી હતી. એકમાત્ર તાર્કિક જોડાણ તરીકે એન્ટિડિઝંકશનનો ઉપયોગ કરીને, શેફરે 1913 માં નિર્માણ કર્યું સંપૂર્ણ ગણતરીનિવેદનો એન્ટિડિસજંક્શન A∣B દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેને શેફર પ્રાઇમ, રીડિંગ કહેવામાં આવે છે આ અભિવ્યક્તિ, "Not-A અને not-B" તરીકે. J. G. P. Nicod એ એન્ટિકન્જક્શન માટે સમાન સંકેતનો ઉપયોગ કર્યો હતો ("એ અને B બંને છે તે સાચું નથી") અને, માત્ર આ સંયોજકનો ઉપયોગ કરીને, 1917 માં તેમણે એક (માત્ર!) સ્વયંસિદ્ધ અને અનુમાનના એક નિયમ સાથે સંપૂર્ણ પ્રસ્તાવિત ગણતરીની રચના કરી. . આમ, શેફરનો સ્ટ્રોક અનિવાર્યપણે ઊભી રેખા પોતે જ છે, જે વિવિધ લેખકો અનુસાર, વિરોધી વિભાજન અને વિરોધી જોડાણ બંનેનો અર્થ કરી શકે છે.

લોજિકલ કનેક્ટિવ્સની વિસ્તરણ તેમને વિશિષ્ટતા આપે છે, લોજિકલ કેલ્ક્યુલી બનાવવાની સમસ્યાને સરળ બનાવે છે અને બાદમાં માટે સુસંગતતા, નિર્ણાયકતા અને સંપૂર્ણતાની મેટાથિયોરેટિકલ સમસ્યાઓ ઉકેલવાનું શક્ય બનાવે છે (મેટાલોજિક્સ જુઓ). જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં, કનેક્ટિવ્સનું સત્ય-કાર્યકારી અર્થઘટન કુદરતી ભાષામાં કેવી રીતે સમજાય છે તેની સાથે નોંધપાત્ર વિસંગતતા તરફ દોરી જાય છે. આમ, સૂચિત સત્ય અર્થઘટન એકને "જો A, તો B" સ્વરૂપના સાચા વાક્યો તરીકે ઓળખવા દબાણ કરે છે તે કિસ્સામાં પણ જ્યારે વિધાન A અને B (અને, તે મુજબ, ઘટનાઓ કે જેના વિશે તેઓ અમે વાત કરી રહ્યા છીએ) ત્યાં ના છે વાસ્તવિક જોડાણ. A માટે ખોટુ કે B સાચુ હોવું પૂરતું છે. તેથી, બે વાક્યોમાંથી: "જો A, પછી B" અને "જો B, તો A," ઓછામાં ઓછું એક સાચું તરીકે ઓળખવું જોઈએ, જે શરતી જોડાણના સામાન્ય ઉપયોગ સાથે સારી રીતે બંધબેસતું નથી. માં સૂચિતાર્થ આ કિસ્સામાંખાસ કરીને "સામગ્રી" કહેવાય છે, ત્યાં તેને શરતી જોડાણથી અલગ પાડે છે, જે ધારે છે કે સાચા શરતી નિવેદનના પૂર્વવર્તી અને પરિણામ વચ્ચે વાસ્તવિક જોડાણ છે. તે જ સમયે, સામગ્રીની સૂચિતાર્થનો ઉપયોગ ઘણા સંદર્ભોમાં સંપૂર્ણ રીતે થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક મુદ્દાઓ, જ્યારે કોઈ તેના વિશે ભૂલી ન જાય. ચોક્કસ લક્ષણો. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, જો કે, તે તે સંદર્ભ છે કે જે શરતી જોડાણને ભૌતિક સૂચિતાર્થ તરીકે અર્થઘટન કરવાની મંજૂરી આપતું નથી, જે નિવેદનોના ઇન્ટરકનેક્શનનું સૂચન કરે છે. આવા સંદર્ભોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, વિશિષ્ટ બિન-શાસ્ત્રીય તર્કશાસ્ત્રનું નિર્માણ કરવું જરૂરી છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંબંધિત (જુઓ સંબંધિત તર્કશાસ્ત્ર), જેની ભાષામાં તેના બદલે સામગ્રી સૂચિતાર્થ(અથવા તેની સાથે) અન્ય સૂચિતાર્થો રજૂ કરવામાં આવે છે જે ઉદ્દેશ્યથી (મૂળભૂત રીતે) સમજવામાં આવે છે અને જેનું સત્ય સત્ય-કાર્યકારી રીતે ન્યાયી ઠેરવી શકાતું નથી. અન્ય તાર્કિક જોડાણોનો પણ સઘન અર્થઘટન કરી શકાય છે.

ઇ.એ. સિડોરેન્કો

નવી ફિલોસોફિકલ જ્ઞાનકોશ. ચાર ગ્રંથોમાં. / ફિલોસોફી RAS સંસ્થા. વૈજ્ઞાનિક એડ. સલાહ: વી.એસ. સ્ટેપિન, એ.એ. ગુસેનોવ, જી.યુ. સેમિગિન. M., Mysl, 2010, Vol.II, E - M, p. 439-440.

સાહિત્ય:

ચર્ચ એ. ગાણિતિક તર્કનો પરિચય, વોલ્યુમ 1. એમ., 1960;

કરી એચ. ગાણિતિક તર્કના પાયા. એમ., 1969.

વ્યાખ્યા. હેઠળ નિવેદનભાષાકીય વાક્યને સમજવાનો રિવાજ છે કે જેના વિશે તે સાચું છે કે ખોટું તે કહેવું અર્થપૂર્ણ છે આ ક્ષણેસમય

નિવેદનો મોટાભાગે નાના તરીકે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે લેટિન અક્ષરોમાં a, b, c, x1, x2, …

પ્રસ્તાવિત તર્કશાસ્ત્રમાં, વ્યક્તિને સામગ્રીમાં નહીં, પરંતુ નિવેદનોની સત્યતા અથવા ખોટામાં રસ હોય છે. સત્ય મૂલ્યો - સાચા અને ખોટા - અનુક્રમે I અને L દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે. ઘણા (I, L)સત્ય મૂલ્યોનો સમૂહ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. નિવેદન કહેવામાં આવે છે સરળ(પ્રાથમિક), જો તેને અમુક પ્રકારના અવિભાજ્ય સંપૂર્ણ તરીકે ગણવામાં આવે છે (સમૂહના તત્વની જેમ). મુશ્કેલ(સંયુક્ત) એ લોજિકલ કનેક્ટિવનો ઉપયોગ કરીને સરળ નિવેદનોથી બનેલું નિવેદન છે.

કુદરતી ભાષામાં, સરળમાંથી જટિલ વાક્યોની રચનામાં જોડાણોની ભૂમિકા નીચેના દ્વારા ભજવવામાં આવે છે: વ્યાકરણના અર્થ: જોડાણો “અને”, “અથવા”, “નહીં”; શબ્દો "જો ... પછી", "ક્યાં તો ... અથવા", "જો અને માત્ર જો", વગેરે. પ્રસ્તાવિત તર્કશાસ્ત્રમાં, જટિલ નિવેદનો કંપોઝ કરવા માટે વપરાતા તાર્કિક જોડાણો ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ. ચાલો એવા નિવેદનો પર લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ (ઓપરેશન્સ) ને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના માટે સત્ય મૂલ્ય ધરાવે છે સંયોજન નિવેદનોમાત્ર ઘટક નિવેદનોના સત્ય મૂલ્યો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને તેમના અર્થ દ્વારા નહીં.

નીચેનામાં, આપણે "સત્ય" ના અર્થને સાથે જોડીશું 1 , અને "જૂઠું" - 0 . દરેક તાર્કિક કામગીરી સાથે સંકળાયેલ છે સત્ય ટેબલ. સત્ય કોષ્ટક પ્રાથમિક નિવેદનોના મૂલ્યોના આધારે નિવેદનોના સત્ય મૂલ્યોને વ્યક્ત કરે છે. ભવિષ્યમાં, હું તેમાં સમાવિષ્ટ પ્રાથમિક વિધાનોના મૂલ્યોને જોતાં જટિલ વિધાનોના સત્ય મૂલ્યો સ્થાપિત કરવા માટે સત્ય કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીશ.

પછી - "તે સાચું નથી કે સ્ટેપનને ડાન્સ કરવાનું પસંદ છે."

વ્યાખ્યા. જોડાણબે વિધાન એ એક નવું વિધાન છે, જે માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જો બંને મૂળ વિધાન સાચા હોય (કોષ્ટક 4).

ગ્રાફ્સ. ગ્રાફ પર કામગીરી.

મેટ્રિસીસ અને તેમના પરની ક્રિયાઓ.

મેટ્રિસિસ (અને તે મુજબ ગણિત વિભાગ- મેટ્રિક્સ બીજગણિત)પાસે મહત્વપૂર્ણપ્રયોજિત ગણિતમાં, કારણ કે તેઓ એકનો નોંધપાત્ર ભાગ લખવાની મંજૂરી આપે છે ગાણિતિક મોડેલોવસ્તુઓ અને પ્રક્રિયાઓ. "મેટ્રિક્સ" શબ્દ 1850 માં દેખાયો. માં મેટ્રિસીસનો પ્રથમ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો પ્રાચીન ચીન, પાછળથી આરબ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા.

મેટ્રિક્સ A=A mnઓર્ડર m*n કહેવાય છે લંબચોરસ ટેબલ m - પંક્તિઓ અને n - કૉલમ ધરાવતી સંખ્યાઓ.

મેટ્રિક્સ તત્વો aij,જેના માટે i=j ને કર્ણ અને સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે મુખ્ય કર્ણ.

માટે ચોરસ મેટ્રિક્સ(m=n) મુખ્ય કર્ણ એ 11, a 22,..., a nn તત્વો દ્વારા રચાય છે.

મેટ્રિક્સ સમાનતા.

A=B, જો મેટ્રિક્સ ઓર્ડર આપે છે એઅને બીસમાન છે અને a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ.

1. મેટ્રિક્સ ઉમેરણ - તત્વ મુજબની કામગીરી

2. મેટ્રિસિસની બાદબાકી - તત્વ મુજબની કામગીરી

3. મેટ્રિક્સ અને સંખ્યાનું ઉત્પાદન એ તત્વ મુજબની ક્રિયા છે

4. ગુણાકાર એ*બીનિયમ અનુસાર મેટ્રિક્સ પંક્તિ થી કૉલમ(મેટ્રિક્સ A ના કૉલમની સંખ્યા મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ)

§ 4. પ્રાકૃતિક ભાષામાં તાર્કિક જોડાણો (તાર્કિક સ્થિરાંકો) ની અભિવ્યક્તિ

વિચારસરણીમાં, અમે ફક્ત સરળ સાથે જ નહીં, પણ જટિલ ચુકાદાઓ સાથે પણ કાર્ય કરીએ છીએ, જે તાર્કિક જોડાણો (અથવા ઑપરેશન્સ) દ્વારા સરળ લોકોમાંથી રચાય છે - જોડાણ, વિભાજન, સૂચિતાર્થ, સમાનતા, નકાર, જેને તાર્કિક સ્થિરાંકો અથવા તાર્કિક સ્થિરાંકો પણ કહેવામાં આવે છે. ચાલો વિશ્લેષણ કરીએ કે સૂચિબદ્ધ તાર્કિક જોડાણો કુદરતી (રશિયન) ભાષામાં કેવી રીતે વ્યક્ત થાય છે.

જોડાણ (ચિહ્ન “l”) એ “અને”, “a”, “પરંતુ”, “હા”, “જોકે”, “જે”, “પરંતુ”, “જોકે”, “માત્ર નહિં” દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. .., પણ ", વગેરે. પ્રસ્તાવિત તર્કશાસ્ત્રમાં, "l" ચિહ્ન સરળ વિધાનોને જોડે છે, તેમાંથી જટિલ નિવેદનો બનાવે છે. પ્રાકૃતિક ભાષામાં, જોડાણ "અને" અને અન્ય જોડાણ શબ્દો સંજ્ઞાઓ, ક્રિયાપદો, ક્રિયાવિશેષણો, વિશેષણો અને વાણીના અન્ય ભાગોમાં જોડાઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "દાદાની ટોપલીમાં બોલેટસ અને બોલેટસ હતા" (ab), "એક રસપ્રદ અને સુંદર ડિઝાઇન કરેલ પુસ્તક ટેબલ પર છે." છેલ્લું વિધાન જોડાણ દ્વારા જોડાયેલા બે સરળ નિવેદનોમાં વિભાજિત કરી શકાતું નથી: " રસપ્રદ પુસ્તકટેબલ પર આવેલું છે" અને "એક સુંદર શણગારેલું પુસ્તક ટેબલ પર પડેલું છે" - કારણ કે એવું લાગે છે કે ટેબલ પર બે પુસ્તકો છે, એક નહીં.

પ્રસ્તાવિત તર્કશાસ્ત્રમાં, જોડાણ (ab)(ba) ની કોમ્યુટેટીવીટીનો કાયદો લાગુ પડે છે. કુદરતી રશિયન ભાષામાં આવો કોઈ કાયદો નથી, કારણ કે સમય પરિબળ કાર્ય કરે છે. જ્યાં સમયના ક્રમને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યાં "અને" જોડાણનો ઉપયોગ બિન-વિનિમયાત્મક છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના બે નિવેદનો સમકક્ષ રહેશે નહીં: 1) "તેઓએ સ્ટીમ એન્જિનને અડક્યું, અને ટ્રેન આગળ વધવા લાગી," અને 2) "ટ્રેન આગળ વધવા લાગી, અને તેઓએ સ્ટીમ એન્જિન સાથે અથડાયો."

કુદરતી ભાષામાં, જોડાણ માત્ર શબ્દો દ્વારા જ નહીં, પણ વિરામચિહ્નો દ્વારા પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે: અલ્પવિરામ, અર્ધવિરામ, આડંબર. ઉદાહરણ તરીકે, "વીજળી ચમકી, ગર્જના થઈ અને વરસાદ પડવા લાગ્યો."

S. Kleene તેમના પુસ્તક "મેથેમેટિકલ લોજિક" માં કુદરતી ભાષાનો ઉપયોગ કરીને જોડાણ વ્યક્ત કરવા વિશે લખે છે. "તર્ક વિશ્લેષણ" વિભાગમાં, તે કુદરતી ભાષાના અભિવ્યક્તિઓની (બિન-સંપૂર્ણ) સૂચિ પ્રદાન કરે છે જેને "L" અથવા "&" ચિહ્નો દ્વારા બદલી શકાય છે. ફોર્મ્યુલા A^Bકુદરતી ભાષામાં તેને આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

"માત્ર નહીં એ, પણ IN કેવી રીતે એ,તેથી અને IN

માં,જોકે એલ. એસાથે IN

માં,છતાં એ.એ, જ્યારે માં" 7 .

આ તમામ રચનાઓના ઉદાહરણો સાથે આવવા માટે અમે તેને વાચક પર છોડીએ છીએ.

કુદરતી (રશિયન) ભાષામાં, વિભાજન (ab અને ab દ્વારા સૂચવાયેલ) જોડાણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: “અથવા”, “ક્યાં તો”, “ક્યાં તો... અથવા”, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, “સાંજે હું સિનેમા અથવા પુસ્તકાલયમાં જશે"; "આ પ્રાણી કાં તો કરોડઅસ્થિધારી અથવા અપૃષ્ઠવંશીનું છે"; "અહેવાલ કાં તો એલ.એન. ટોલ્સટોયના કાર્યો પર અથવા એફ.એમ. દોસ્તોવસ્કીના કાર્યો પર હશે."

બંને પ્રકારના વિભાજન માટે, કોમ્યુટેટીવીટીનો કાયદો લાગુ પડે છે: (ab(ba) અને (ab)(ba). કુદરતી ભાષામાં, આ સમાનતા સાચવેલ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચુકાદો “ હું માખણ અથવા બ્રેડ ખરીદીશ" એ ચુકાદાની સમકક્ષ છે "હું બ્રેડ અથવા બટર ખરીદીશ." એ~બી).

(અક્ષરોમાં એઅને INચલ નિવેદનો સૂચવવામાં આવે છે.)

અમે અભિવ્યક્તિની વિવિધ રીતો દર્શાવતા તાર્કિક આકૃતિઓ અને અનુરૂપ ઉદાહરણો રજૂ કરીએ છીએ સૂચિતાર્થ A -> B(જ્યાં એ- પૂર્વવર્તી, IN- અનુગામી).

1. જો A, તો B.

જોસપ્લાયર્સ સમયસર ભાગો પહોંચાડશે, તેપ્લાન્ટ તેની ઉત્પાદન યોજના પૂર્ણ કરશે.

2. જો A, તો B.

જો જલ્દીલાગુ દળો દૂર કરવામાં આવે છે, તેસંકુચિત વસંત તેના મૂળ આકારમાં પાછું આવે છે.

3. જ્યારે A, B થાય છે.

જ્યારેખરાબ હવામાન આવી રહ્યું છે થાય છેલોકોમાં કાર્ડિયોવેસ્ક્યુલર રોગોની ઘટનાઓમાં વધારો.

4. B, A માટે પૂરતું છે.

માટેવાયુઓના વિસ્તરણ માટે પર્યાપ્તતેમને ગરમ કરો.

5. A ને B જરૂરી છે.

માટેપૃથ્વી પર શાંતિ જાળવવી જરૂરીશાંતિ માટેના સંઘર્ષમાં તમામ રાજ્યોના પ્રયાસોને એક કરો.

6. A, માત્ર જો B.

આ કોર્સના વિદ્યાર્થીઓ સફાઈ દિવસે આવ્યા ન હતા, માત્ર જોતેઓ બીમાર હતા.

7. B. જો એ.

આઈહું તને ફરવા જવા દઈશ, જોતમે તમારું તમામ હોમવર્ક પૂર્ણ કરશો.

અમે તાર્કિક આકૃતિઓ અને અભિવ્યક્તિની વિવિધ રીતોના અનુરૂપ ઉદાહરણો રજૂ કરીએ છીએ સમાનતા

1. A, જો અને માત્ર જો B.

ઇવાનવ તેના પ્રયોગો સમયમર્યાદા સુધીમાં પૂર્ણ કરશે નહીં, જો અને માત્ર જોસ્ટાફ તેને મદદ કરશે નહીં.

2. જો A, તો B, અને ઊલટું.

જોવિદ્યાર્થીએ તમામ પરીક્ષાઓ અને પ્રેક્ટિસ ઉત્તમ ગુણ સાથે પાસ કરી, તેતે સન્માન સાથે ડિપ્લોમા મેળવે છે, અને ઊલટું.

3. A જો B, અને B જો A.

એક વર્તુળમાં બહુકોણ લખેલું છે, જોતેના શિરોબિંદુ વર્તુળ પર આવેલા છે, અનેબહુકોણના શિરોબિંદુ વર્તુળ પર આવેલા છે, જોઆ બહુકોણ વર્તુળમાં અંકિત થયેલ છે.

4. A માટે B જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે.

માટેશેષ વિના 3 વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યા માટે, જરૂરી અને પર્યાપ્તજેથી કરીને આ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો બાકીના વિના 3 વડે ભાગી શકાય.

5. A એ B ની સમકક્ષ છે(ક્યારેક).

હકીકત એ છે કે નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ અર્ધ-પરિમિતિ અને એપોથેમના ઉત્પાદન જેટલું છે, સમકક્ષકે નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ પરિમિતિના ઉત્પાદન અને અડધા એપોથેમ જેટલું છે.

6. અને પછી અને માત્ર જો વી.

કંપની સામાન ખરીદવાની ઓફર સ્વીકારવા માટે સંમત થશે પછી અને ત્યારે જઆ પ્રોડક્ટની કિંમતમાં 15%નો ઘટાડો થશે.

ઉપરોક્ત આકૃતિઓ અને વિશિષ્ટ, વૈવિધ્યસભર સામગ્રી સાથેના અનુરૂપ નિવેદનો પરથી, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે સૂચિતાર્થ, સમકક્ષતા અને અન્ય તાર્કિક જોડાણો (તાર્કિક શબ્દો) વ્યક્ત કરવાના માધ્યમો કુદરતી ભાષામાં (ખાસ કરીને, રશિયનમાં) કેટલા બહુપક્ષીય છે. આ અન્ય પ્રાકૃતિક ભાષાઓ વિશે કહી શકાય 9.

સૂચિતાર્થ (ab) કુદરતી ભાષાના "જો... પછી" જોડાણના અર્થમાં તદ્દન અનુરૂપ નથી, કારણ કે તેમાં ચુકાદાઓ વચ્ચે અર્થપૂર્ણ જોડાણનો અભાવ હોઈ શકે છે. એઅને b. પ્રસ્તાવિત તર્કશાસ્ત્રમાં, કાયદો એ સૂત્ર છે: (ab)(ab).

પરંતુ કુદરતી ભાષામાં વસ્તુઓ અલગ છે. કેટલીકવાર જોડાણ "જો, તો" સૂચિતાર્થ નથી, પરંતુ જોડાણ વ્યક્ત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "જો ગઈકાલે વાદળછાયું હતું, તો આજે સૂર્ય તેજસ્વી રીતે ચમકે છે." આ જટિલ ચુકાદો ફોર્મ્યુલા ab દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. લોજિકલ કનેક્ટિવ્સ ઉપરાંત, સામાન્ય ક્વોન્ટિફાયર અને અસ્તિત્વ ક્વોન્ટિફાયરનો ઉપયોગ સામાન્ય અને ચોક્કસ નિર્ણયો વ્યક્ત કરવા માટે તર્કશાસ્ત્રમાં થાય છે. સામાન્ય ક્વોન્ટિફાયર VP() સાથેનું સૂચન સામાન્ય રીતે આના જેવું વાંચે છે: “બધા એક્સ(ઓબ્જેક્ટના અમુક ડોમેનમાંથી) મિલકત ધરાવે છે આર", અને અસ્તિત્વ ક્વોન્ટિફાયર Z સાથે એન્ટ્રી xP(એક્સ) આના જેવું વાંચે છે: “આવા છે એક્સ(આ વિસ્તારમાં), જેની પાસે મિલકત છે આર."ઉદાહરણ તરીકે, 3x(x>100) વાંચે છે “આવા છે X,જે 100 થી વધુ છે", જ્યાં નીચે એક્સસંખ્યાઓ સૂચિત છે. સામાન્યતાના પરિમાણને શબ્દો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: "બધા", "દરેક", "દરેક", "કોઈ નહીં", વગેરે. અસ્તિત્વના પરિમાણને શબ્દો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: "કેટલાક", "અસ્તિત્વ", "બહુમતી", “લઘુમતી”, “માત્ર કેટલાક”, “ક્યારેક”, “તે એક”, “બધા નહિ”, “ઘણા”, “ઘણા”, “થોડા”, “ઘણા”, “લગભગ બધા”, વગેરે.

S. Kleene લખે છે કે ટેબ્યુલર પ્રોપોઝિશનલ કનેક્ટિવનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય ભાષાના અભિવ્યક્તિઓનું ભાષાંતર કરીને, આપણે અર્થના કેટલાક શેડ્સ ગુમાવીએ છીએ, પરંતુ આપણે બરાબર 10 મેળવીએ છીએ.

ગાણિતિક અને અન્ય તર્કની પ્રેક્ટિસમાં "જરૂરી સ્થિતિ" અને "ની વિભાવનાઓ છે. પૂરતી સ્થિતિ" શરત કહેવાય છે જરૂરીજો તે નિષ્કર્ષ (પરિણામ) થી અનુસરે છે. જો કોઈ નિષ્કર્ષ (પરિણામ) તેના પરથી આવે તો તેને પર્યાપ્ત કહેવામાં આવે છે. સૂચિતાર્થમાં a ->b ચલ એઆધાર છે. તેને પૂર્વવર્તી કહેવાય છે. ચલ b- પરિણામ (નિષ્કર્ષ). તેને પરિણામ કહેવાય છે.

ગણિતના પાઠમાં વિદ્યાર્થીઓને 1-4 પ્રકારની સમસ્યાઓ આપવામાં આવે છે, જેમાં નીચેના દરેક વાક્યમાં લંબગોળોને શબ્દો સાથે બદલવાની જરૂર પડે છે: "આવશ્યક" અથવા "પર્યાપ્ત", અથવા "જરૂરી અને પર્યાપ્ત":

1. બે પૂર્ણાંકોનો સરવાળો એક સમાન સંખ્યા બનવા માટે... જેથી દરેક પદ સમાન હોય.

2. સંખ્યાને 15 વડે ભાગી શકાય તે માટે... જેથી તે 5 વડે ભાગી શકાય.

3. કામ માટે ક્રમમાં (એક્સ- 3) (એક્સ+2) (એક્સ- 5) 0 બરાબર હતું, ... જેથી એક્સ= 3.

4. ચતુર્ભુજને લંબચોરસ બનાવવા માટે... જેથી તેના બધા ખૂણા 11 જેટલા હોય.

ચાલો સામાન્ય શબ્દોના મૂળભૂત જોડાણો અને જોડાણોનો ઉપયોગ કરીને મૂળમાંથી નવા વાક્યોની રચના માટે મૂળભૂત નિયમો ઘડીએ. બોલાતી ભાષા. એકલા રશિયન ભાષાના નિયમો પૂરતા નથી, કારણ કે કેટલીકવાર આપણે રશિયનમાં ઘડવામાં આવેલા સમાન વાક્યમાં જુદા જુદા અર્થો મૂકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, "જો, તો" વાક્યના વળાંકને ધ્યાનમાં લો, જેની સાથે આપણે બે વાક્યો ઘડીએ છીએ:

• 1) "જો મીશા ઉડતા રંગો સાથે પરીક્ષા પાસ કરે છે, તો તે ડિસ્કોમાં જશે."
• 2) "જો મીશા ઉડતા રંગો સાથે પરીક્ષા પાસ નહીં કરે, તો તે ડિસ્કોમાં જશે નહીં."

પ્રશ્ન: શું આ વાક્યો એક જ વાત કહે છે અથવા એવી પરિસ્થિતિ છે કે જેમાં એક વાક્ય સાચું છે અને બીજું ખોટું છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રશ્ન એ છે કે શું આ વાક્યો સમકક્ષ છે.

જ્યાં સુધી આપણે આ પ્રકારના શબ્દસમૂહો બાંધવાના નિયમો સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત ન કરીએ ત્યાં સુધી પ્રશ્નનો જવાબ અસ્પષ્ટપણે આપી શકાતો નથી. એક તરફ, પ્રથમ વાક્ય ઘડતી વખતે, આપણે વારંવાર બીજા વાક્યનો અર્થ કરીએ છીએ. જો કે, ચાલો આ દરખાસ્તોને એક અલગ દ્રષ્ટિકોણથી જોઈએ.

પ્રથમ, ચાલો વાક્ય રેખાકૃતિઓ લખીએ. આ કરવા માટે, અમે પત્ર દ્વારા "મીશા ઉડતા રંગો સાથે પરીક્ષા પાસ કરશે" વાક્ય સૂચવીએ છીએ એ, અને વાક્ય "મીશા ડિસ્કોમાં જશે" - પત્ર સાથે INપછી આ દરખાસ્તો નીચે પ્રમાણે યોજનાકીય રીતે લખી શકાય છે:

I) "જો એ, તે માં", 2) “જો નહિ એ, પછી નહીં IN"

હવે તેના બદલે અવેજી કરીએ એઅને INઅન્ય આગાહીઓ. ની જગ્યાએ એલો: "ટેબલ ઓકનું બનેલું છે", તેના બદલે IN"ટેબલ લાકડાનું છે." પછી આપણને વાક્યોની બીજી જોડી મળે છે:

• 1) "જો ટેબલ ઓક છે, તો તે લાકડાનું છે,"
• 2) "જો ટેબલ ઓક નથી, તો તે લાકડાનું નથી."

આ વાક્યો પ્રથમ બે જેવી સમાન યોજનાઓ અનુસાર બાંધવામાં આવ્યા હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે વાક્યોની પ્રથમ જોડીની સમાનતાનો અર્થ બીજી જોડીની સમકક્ષતા હોવો જોઈએ. જો કે, સામાન્ય ભાષણમાં પ્રથમ વાક્ય દેખીતી રીતે છે સાચું નિવેદન, કારણ કે ઓક એક વૃક્ષ છે, અને બીજું વાક્ય સામાન્ય રીતે ખોટું છે, કારણ કે ટેબલ બીજા વૃક્ષથી બનાવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે પાઈન.

આમ, માં સામાન્ય કેસ"જો" અનુસાર બાંધવામાં આવેલા વાક્યો એ, તે માં"અને "જો નહીં એ,પછી ના IN"તાર્કિક રીતે સમાન ગણી શકાય નહીં.

તેથી, વાક્યોના નિર્માણમાં અસ્પષ્ટતાને દૂર કરવા માટે, અમને સ્પષ્ટ નિયમોની જરૂર છે જે અમને મૂળ વાક્યોની સત્યતા અથવા અસત્યતાના આધારે પરિણામી વાક્યની સત્યતા અથવા અસત્યતાને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. એઅને IN

ચાલો આપણે “અને”, “અથવા”, તેમજ “જો, પછી”, “પછી અને માત્ર પછી”, “તે સાચું નથી કે” એક અસ્પષ્ટ તાર્કિક અર્થ આપીએ.

અક્ષરો દો એ અને બીમનસ્વી વાક્યો માટે ઊભા રહો. ચાલો સરળ પરિસ્થિતિઓથી પ્રારંભ કરીએ.

1. નકારાત્મક સંકેત~| (-i) અથવા. અભિવ્યક્તિ ~લી(-એલ, એ) વાંચે છે: "એ નહિ"અથવા "તે સાચું નથી કે એ."

વાક્યનો અર્થ ~ એકોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો કે જેમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે દરખાસ્ત ~lસાચું જ્યારે મૂળ વાક્ય એખોટું:

બંધારણમાં સરળ હોય તેવા વાક્યો ઘડતી વખતે, કણ “નહીં” ક્યારેક વાક્યની અંદર “વહન” થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક વાક્ય

"તે સાચું નથી કે નંબર V6 એક પૂર્ણાંક છે" નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: "સંખ્યા l/6 પૂર્ણાંક નથી." તેમજ વાક્ય “તે સાચું નથી કે સીધું એઅને bઆંતરછેદ" ફોર્મ્યુલેટ: "સીધુ એઅને bઅમે પૂછીશું નહીં.”

ઘણીવાર એવી વસ્તુ કે જેમાં અમુક ગુણધર્મ ન હોય તેને "નહીં" કણ સાથેનો શબ્દ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક પૂર્ણાંક જે સમ નથી તેને વિષમ કહેવામાં આવે છે. તેથી, "સંપૂર્ણ સંખ્યા એકી છે" અને "આખી સંખ્યા સમ નથી" એમ કહેવું પણ એટલું જ સાચું છે. પરંતુ સંખ્યા એ પૂર્ણાંક છે તે શરત વિના, આપણી પાસે વિવિધ અર્થોવાળા વાક્યો છે. ઉદાહરણ તરીકે, “સંખ્યા 0.2 સમ નથી” સાચું છે, પરંતુ “સંખ્યા 0.2 વિષમ છે” વાક્ય ખોટું છે.

શબ્દસમૂહને ધ્યાનમાં લો " વિચિત્ર કાર્ય" અહીં અમારી પાસે છે સ્વતંત્ર શબ્દઅને "વિષમ" શબ્દ અલગથી લખી અને ઉચ્ચારી શકાતો નથી, એટલે કે, "ધ ફંક્શન ઓડ છે" એ વાક્ય "ધ ફંક્શન ઇવન છે" નો ઇનકાર નથી. ખરેખર, ત્યાં એક કાર્યનું ઉદાહરણ છે જેમાં બંને વાક્યો ખોટા છે. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય )t=x+ન તો સમ કે વિચિત્ર છે (આ સમજાવવાનો પ્રયાસ કરો).

2. જોડાણ ચિહ્ન l અભિવ્યક્તિ LlWવાંચે છે: "A અને B".ક્યારેક જોડાણ & દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

વાક્યનો અર્થ AlVતે બનાવેલ વાક્યો પર આધાર રાખીને એ અને બીકોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત:

તેથી દરખાસ્ત AlVમાત્ર એક કિસ્સામાં સાચું, જ્યારે બંને વાક્યો એઅને INસાચા છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં આ વાક્ય ખોટું છે. દરખાસ્ત બનાવતી વખતે AlVજોડાણ "અને" ને બદલે, તમે અન્ય સંયોજનોનો ઉપયોગ કરી શકો છો કે જે એકસાથે દરેક વાક્યને પરિપૂર્ણ કરવા માટે સમાન તાર્કિક અર્થ ધરાવે છે: "a", "પરંતુ".

ઉદાહરણ 1.3.1.વાક્ય "નંબર" 111 તે 2 વડે વિભાજ્ય નથી, પરંતુ 3 વડે વિભાજ્ય છે" - પ્રતીકાત્મક રીતે તમે 1 લખી શકો છો AlV,જ્યાં એ= "111 એ 2 વડે વિભાજ્ય છે", B = " 111 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે."

3. વિભાજન ચિહ્નવિ. અભિવ્યક્તિઓ એવીબીવાંચે છે: "એ કે બી."

વાક્યનો અર્થ એવીબીકોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત:

ટેબલ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ઓફર "એઅથવા માં"તે કિસ્સાઓમાં સાચું છે જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક વાક્ય એઅથવા INસાચું, અને કિસ્સામાં જ્યારે બંને વાક્યો એઅને INખોટું, વાક્ય એવીબીખોટી કિંમત લે છે.

ક્યારેક વાક્યોની સામગ્રીમાંથી એઅને INતે અનુસરે છે કે વાક્યો એકસાથે સાચા હોઈ શકતા નથી. આ કિસ્સામાં, વાક્ય "અથવા" સંયોજનનો ઉપયોગ કરીને ઘડવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વાક્ય "એક સંખ્યા કાં તો સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક છે" નું સ્વરૂપ પણ છે "એઅથવા IN", પરંતુ તે જ સમયે તેનો એવો અર્થ છે કે તે બંને હકારાત્મક અને છે નકારાત્મક સંખ્યાતે ન હોઈ શકે.

ઉપરોક્ત નિયમો, દેખીતી રીતે, કોઈ પ્રશ્નો ઉભા કરતા નથી. ચાલો ફકરાની શરૂઆતમાં ચર્ચા કરેલ આકૃતિ તરફ આગળ વધીએ “જો એ,તે IN"

4. સૂચિતાર્થની નિશાની- અભિવ્યક્તિ A->Bવાંચે છે: "જો A, તો B."કેટલીકવાર અન્ય એરો સિમ્બોલ => આ કનેક્ટિવ, તેમજ z> ચિહ્ન દર્શાવવા માટે વપરાય છે. શબ્દસમૂહ સાથે "જો એ, તે માં"તેના જેવા અન્ય ઉપયોગ કરે છે: "બી જ્યારે એ», "એ ત્યારે જ જ્યારે B."

અમે વાક્યના અર્થોની વ્યાખ્યાને પ્રેરિત કરીએ છીએ A->B.અહીં ઉદભવતી મુખ્ય મુશ્કેલી એ છે કે જ્યારે તે કિસ્સાઓ માટે L-»# વાક્યનો અર્થ સોંપવો એખોટું બુદ્ધિપૂર્વક મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે, ઉપરોક્તને યાદ કરો સાચું વાક્ય: "જો ટેબલ ઓક છે, તો તે લાકડાનું છે." અહીં એ= "ઓક ટેબલ", B ="લાકડાનું ટેબલ." ટેબલને પાઈનનું બનેલું થવા દો. પછી એખોટું INસાચું ટેબલને આયર્ન થવા દો. પછી એખોટા અને INખોટું બંને કિસ્સાઓમાં ઓફર એખોટું છે, અને પરિણામી વાક્ય “જો એ, તે માં"સાચું તદુપરાંત, આ બંને કિસ્સાઓ ખરેખર શક્ય છે. અલબત્ત, તે શક્ય છે કે અમારી પાસે છે ઓક ટેબલ, પછી ઓ બીસાથે સાથે સાચું. અહીં સાચા વાક્યનું ઉદાહરણ છે A->B,જ્યારે A=u>B=l, અસ્તિત્વમાં નથી.

આમ, કિસ્સાઓ જ્યારે A=u, B=i,અથવા A=l y B=i, અથવા A=l, V=l,સાચું વાક્ય નક્કી કરવું જોઈએ અને માત્ર એક જ કેસ, જ્યારે

જે A=u, V-l,એટલે કે ઓફર A->Bખોટું

તેથી, ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્રમાં, ટી-વાક્યના મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે:

શું અનુસરે છે, સમગ્ર શબ્દસમૂહ દરમિયાન “જો એ, તે માં"આ રીતે સમજવામાં આવશે. અહીં એક સૂચન છે એકહેવાય છે પાર્સલ દ્વારા, અથવા સ્થિતિ, એ નિષ્કર્ષમાં.

ઉદાહરણ 13.2. માતાપિતાએ તેમના પુત્ર પેટ્યાને વચન આપ્યું: જો તે યુનિવર્સિટીમાંથી સફળતાપૂર્વક સ્નાતક થાય, તો તેઓ તેને એક કાર ખરીદશે. તે જાણીતું છે કે પુત્ર યુનિવર્સિટીમાંથી સ્નાતક થયો નથી, પરંતુ તેના માતાપિતાએ હજી પણ તેને કાર ખરીદી હતી. શું એવું કહી શકાય કે માતાપિતાએ જે કહ્યું તે ખોટું હતું?

પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, દરખાસ્તોને ધ્યાનમાં લો: એ= "મારો પુત્ર યુનિવર્સિટીમાંથી સ્નાતક થઈ રહ્યો છે", B ="તેઓ તેને એક કાર ખરીદી રહ્યાં છે." તે જ સમયે A=l, B=i.મા-બાપનું વચન જાણે A^>B.વ્યાખ્યા દ્વારા, આ એક પ્રસ્તાવ છે આપેલ મૂલ્યો એઅને INસાચું (કોષ્ટકની ત્રીજી પંક્તિ). તેથી, તાર્કિક દૃષ્ટિકોણથી, માતાપિતાના શબ્દો સાચા છે. પરંતુ જો તેમનો પુત્ર કૉલેજમાંથી સ્નાતક થયો, પરંતુ તેઓએ તેને કાર ખરીદી ન હતી, તો આ કિસ્સામાં (અને કોઈ અન્યમાં) વચન પૂર્ણ થશે નહીં.

હવે ચાલો અન્ય લોજિકલ કનેક્ટિવ જોઈએ જેનો અર્થ ઘણીવાર થાય છે જ્યારે "જો, પછી" શબ્દો કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઉદાહરણ તરીકે 1.3.2 ની શરતોમાં માતાપિતાએ ધાર્યું કે જો તેમનો પુત્ર પેટ્યા કૉલેજમાંથી સ્નાતક ન થાય, તો તેઓ તેને કાર ખરીદશે નહીં, તો તે કહેવું યોગ્ય રહેશે: "કાર ખરીદવામાં આવશે જો અને માત્ર જો પેટ્યા સંસ્થા સ્નાતક થાય છે."

5. સમાનતા ચિહ્નઅથવા અભિવ્યક્તિ અને તે વાંચે છે: "અને જો અને માત્ર જો B."અન્ય ફોર્મ્યુલેશન શક્ય છે: "અને જો અને માત્ર જો બી», "એ બરાબર જ્યારે B"વગેરે

વાક્યનો અર્થ એબીકોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે:

કિસ્સાઓમાં જ્યાં એઅને INસ્વીકારો સમાન મૂલ્યો, ઓફર એબીસાચું, અન્યથા વાક્ય ખોટું છે.

તે શબ્દસમૂહ જોવા માટે સરળ છે "એપછી અને ત્યારે જ માં"બે શબ્દસમૂહો સમાવે છે: "એજ્યારે માં"અને "એમાત્ર ત્યારે જ IN"પહેલું વાક્ય લખેલું છે B->A,અને બીજું A^>B.આ બે વાક્યો એકસાથે બે કિસ્સાઓમાં સાચા છે: A=u, B=u, અને એ પણ A=l, B=l.

તેથી, અમે પાંચ ચિહ્નો વ્યાખ્યાયિત કર્યા છે: l (સંયોજન), v (વિસંવાદ), -> (અર્થ), (સમાનતા), 1 (નકાર), જેને કહેવામાં આવે છે

લોજિકલ સીડર્સ.આ ચિહ્નો આ વાક્યોમાંથી પરવાનગી આપે છે એઅને INનવી ઓફરો પ્રાપ્ત કરો. આ કિસ્સામાં, નવા વાક્યનો અર્થ (સાચો કે ખોટો) વાક્યોના અર્થો દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. એઅને INમૂળ વાક્યોમાંથી નવું વાક્ય મેળવવાનો નિયમ કહેવાય છે લોજિકલ કામગીરી.આમ, દરેક તાર્કિક જોડાણો નક્કી કરે છે લોજિકલ કામગીરી, જેનું નામ અનુરૂપ બંડલ જેવું જ છે.

ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલ કામગીરીનો ઉપયોગ નિવેદનો અને આગાહી બંને માટે થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે યુનરી પ્રિડિકેટ્સને જોડીને " સંખ્યા, વધુ નહીં 3" અને "નંબર એક્સનકારાત્મક" વિભાજન ચિન્હ સાથે, અમને એક-સ્થળનું અનુમાન મળે છે: "સંખ્યા એક્સ 3 થી વધુ અથવા નકારાત્મક." એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે લોજિકલ કનેક્ટિવ સાથે બે આગાહીઓને જોડવા માટે, તે જરૂરી છે કે કેટલાક સામાન્ય વિસ્તાર ડીમાન્ય ઑબ્જેક્ટ્સ કે જે ચલોને બદલે આ આગાહીઓમાં બદલી શકાય છે.

ચાલો આપણે બે વધુ લોજિકલ કનેક્ટિવ્સને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, જેને કહેવાય છે kwaitora.mi,જે અમને એકીકૃત આગાહીઓમાંથી નિવેદનો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. શબ્દ "ક્વોન્ટિફાયર" થી અનુવાદિત લેટિન ભાષાએટલે "કેટલું". તેથી, આ ચિહ્નોનો ઉપયોગ કેટલા પદાર્થો પ્રસ્તાવને સંતોષે છે તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે થાય છે અને- બધા અથવા ઓછામાં ઓછા એક.

ચાલો એક આર્બિટરી પ્રિડિકેટ લઈએ અને એક ચલ પસંદ કરીએ કે જેના પર તેનું મૂલ્ય નિર્ભર છે. ચાલો તેને સૂચિત કરીએ ઓહ).

6. સામાન્ય પરિમાણકર્તાવી. આ નિશાનીમાંથી આવે છે અંગ્રેજી શબ્દ એ.એનઅને નીચેના શબ્દોનું સંક્ષેપ છે: “વજન”, “દરેક”, “કોઈપણ”, “કોઈપણ”.

અભિવ્યક્તિ Vj&4(y) નો અર્થ થાય છે કે પ્રિડિકેટ ઓહ)તમામ માન્ય ઑબ્જેક્ટ્સ માટે ચલાવવામાં આવે છે એક્સ.તે વાંચે છે: "બધા X માટે અને X તરફથી."

7. અસ્તિત્વનું પરિમાણકર્તા 3.આ ચિહ્ન અંગ્રેજી શબ્દ પરથી આવ્યો છે અસ્તિત્વમાં છેઅને નીચેના શબ્દોનું સંક્ષેપ છે: “અસ્તિત્વમાં”, “ત્યાં હશે”, “ઓછામાં ઓછું એક”, “કેટલાક”.

અભિવ્યક્તિ 3x4(*) નો અર્થ થાય છે કે અનુમાન ઓહ)ઓછામાં ઓછા એક માન્ય ઑબ્જેક્ટ માટે ચલાવવામાં આવે છે.v. તે વાંચે છે: "ત્યાં x છે અને xમાંથી."

ઉદાહરણ 1.3.3. ચલ દો એક્સયુનિવર્સિટીના વિદ્યાર્થીને સૂચવે છે. ચાલો દરખાસ્ત પર વિચાર કરીએ ઓહ)= "વિદ્યાર્થી l: એક કાર છે." પછી VxA(x)એટલે કે યુનિવર્સિટીના તમામ વિદ્યાર્થીઓ પાસે કાર છે. આ ખોટું નિવેદન છે. ઓફર EhA(x)મતલબ કે કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ પાસે કાર છે, જે સાચું નિવેદન છે.

આમ, શરૂઆતમાં અમારી પાસે એક અનુમાન હતું જેનું મૂલ્ય ચલ dg ના મૂલ્ય પર આધારિત હતું. ઑપરેશન કર્યા પછી, નિવેદનો પ્રાપ્ત થયા હતા જેની કિંમતો હવે ચલ પર આધારિત નથી એક્સ.

ત્યાં એક સૂત્ર હોઈ દો L(x),મફત ચલ સમાવે છે એક્સ.પછી નિવેદન કે સૂત્ર ઓહ)સમાન રીતે સાચું છે, અમે તેને ટૂંકમાં Vj&4(jc) તરીકે લખી શકીએ છીએ.

ક્વોન્ટિફાયરનો ઉપયોગ કરીને વાક્ય મેળવવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે પ્રમાણીકરણઅભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરતી વખતે UhA(x)અને 3 xA(x)પણ કહો: "એક ક્વોન્ટિફાયર x ચલમાં ઉમેરવામાં આવ્યું છે"અથવા "ચલ x એક ક્વોન્ટિફાયર દ્વારા જોડાયેલ છે."

નોંધ કરો કે ક્વોન્ટિફાયર ઑપરેશન્સ માત્ર એક-સ્થળના અનુમાન માટે જ લાગુ નથી. જો બે સ્થાનની આગાહી આપવામાં આવે છે A(hu),પછી તમે ચલ l - એક ક્વોન્ટિફાયરને જોડી શકો છો અને વાક્ય બનાવી શકો છો /xA(xy),જેનું સત્ય માત્ર એક ચલ પર નિર્ભર રહેશે y,અને અમારી પાસે એક જ સ્થાનની આગાહી હશે. આ એન્ટ્રીમાં ચલ એક્સકહેવાય છે ક્વોન્ટિફાયર સાથે સંકળાયેલ, અને ચલ y - મફત.સામાન્ય કિસ્સામાં, /7-સ્થળ પ્રિડિકેટના કોઈપણ ચલો માટે ક્વોન્ટિફાયર ઑપરેશન લાગુ કરવાથી, અમે (n-1)-પ્લેસ પ્રિડિકેટ સાથે સમાપ્ત થઈએ છીએ.

ક્વોન્ટિફાયરનો ઉપયોગ કોઈપણ સંખ્યામાં ચલોને લિંક કરવા માટે કરી શકાય છે. જો આપણી પાસે બે સ્થાનની આગાહી છે A(hu),પછી ઔપચારિક રીતે તમે 8 સ્ટેટમેન્ટ મેળવી શકો છો.

દરેક વેરીએબલને અમુક ક્વોન્ટિફાયર સાથે જોડવું: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(xy), 3yVxA(xy), 3xVyA(xy), /уЭхА(xy), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху).કેટલાક વાક્યોનો અર્થ સમાન હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે પ્રથમ અને બીજું (અનુમાન એ* અને y ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાચું હોવું જોઈએ), તેમજ સાતમા અને આઠમા. બાકીના અભિવ્યક્તિઓ સામાન્ય રીતે અલગ સત્યના નિવેદનો આપે છે.

ઉદાહરણ 1.3.4.વર્ગમાં ફક્ત બે છોકરાઓ રહેવા દો - પેટ્યા અને કોલ્યા. માટે સ્વતંત્ર નિર્ણયત્રણ સમસ્યાઓ આપવામાં આવી હતી, ચાલો તેમને નંબર 1, 2, 3 દ્વારા સૂચિત કરીએ. પેટ્યાએ 1 અને 2 સમસ્યાઓ હલ કરી અને કોલ્યાએ નંબર 3 સાથે એક સમસ્યા હલ કરી. ચાલો આગાહી રજૂ કરીએ. A(hu),જેનો અર્થ છે કે છોકરાએ * સમસ્યા હલ કરી uઅહીં ચલ એક્સછોકરાનું નામ અને ચલ સૂચવે છે ખાતે- કાર્ય નંબર. નીચેના વિધાનોને ધ્યાનમાં લો.

Vx3yA(xy)= "દરેક છોકરાએ ઓછામાં ઓછી એક સમસ્યા હલ કરી છે" - સાચું નિવેદન, કારણ કે પેટ્યાએ બે સમસ્યાઓ હલ કરી, અને કોલ્યાએ ઓછામાં ઓછી એક સમસ્યા હલ કરી.

• 3_yVx4(.*,y) = "એક સમસ્યા છે જે વર્ગના તમામ છોકરાઓએ ઉકેલી છે" - ખોટી, કારણ કે આવી કોઈ સમસ્યા નથી (ફક્ત પેટ્યાએ 1 લી અને 2 જી સમસ્યા હલ કરી, અને ફક્ત કોલ્યાએ 3 જી ઉકેલી).
• 3xVyA(x,y) = "ઓછામાં ઓછા એક છોકરાએ બધી સમસ્યાઓ હલ કરી છે" એ ખોટું નિવેદન છે.

V_yEx,4(;c,y) = "દરેક સમસ્યા ઓછામાં ઓછા એક વિદ્યાર્થી દ્વારા હલ કરવામાં આવી હતી" - સાચી, તેથી સમસ્યા નંબર 1 પેટ્યા દ્વારા ઉકેલવામાં આવી હતી, સમસ્યા નંબર 2 પણ પેટ્યા દ્વારા ઉકેલવામાં આવી હતી, અને સમસ્યા 3 કોલ્યા દ્વારા ઉકેલવામાં આવી હતી.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણમાંથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ: ક્રમમાં ક્વોન્ટિફાયર લખવામાં આવે છે તે વાક્યના તાર્કિક અર્થને અસર કરે છે. તેથી, વાક્યની સ્પષ્ટ રચના એ ક્રમમાં અસ્પષ્ટપણે અનુમાન લગાવવું જોઈએ કે જેમાં સામાન્યતા અને અસ્તિત્વના પરિમાણ થાય છે.

વ્યાયામ.તમારી જાતે ઉદાહરણ 1.3.4 માંથી નિવેદનોના અર્થોનું વિશ્લેષણ કરો, એમ માનીને કે પેટ્યાએ 2 અને 3 નંબરની સમસ્યાઓ હલ કરી છે.

સામાન્ય રીતે, આગાહીમાંથી ઓહ)તમે બે નિવેદનો મેળવી શકો છો - /xA(x)અને 3x4(x). જો કે, ઘણી વાર લેખિત સૂત્ર ઓહ)વિધાન Vx4(.x) તરીકે ચોક્કસપણે સમજવામાં આવે છે, જો કે જ્યારે લખવામાં આવે અથવા ઘડવામાં આવે ત્યારે સામાન્ય ક્વોન્ટિફાયર અવગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, d- 2 >0 લખીને, તેનો અર્થ એવો થાય છે કે કોઈપણનો વર્ગ વાસ્તવિક સંખ્યાબિન-નકારાત્મક. સંપૂર્ણ પ્રવેશનિવેદન છે: Ulg(dg?0). રેકોર્ડ (4x + 6y):2,ક્યાં*, y -પૂર્ણાંકો, ધારે છે કે ઉલ્લેખિત રકમ હંમેશા 2 વડે વિભાજ્ય હોય છે, એટલે કે સમ. આના પર ભાર મૂકવા માટે, આપણે V*Vy((4.x + 6jy):2) લખવું જોઈએ.

છેલ્લા બે ફકરામાં વ્યાખ્યાયિત ગાણિતિક ચિહ્નોઅને તાર્કિક જોડાણના ચિહ્નો ગાણિતિક ભાષાના મૂળાક્ષરો બનાવે છે.

જટિલ દરખાસ્ત એ છે જેમાં તાર્કિક જોડાણો હોય છે અને તેમાં ઘણા સરળ પ્રસ્તાવો હોય છે.

આગળ આપણે સાદા ચુકાદાઓને ચોક્કસ ગણીશું અવિભાજ્ય અણુઓ, જેમના સંયોજનમાંથી તત્વો ઉત્પન્ન થાય છે જટિલ રચનાઓ. અમે અલગ લેટિન અક્ષરો દ્વારા સરળ દરખાસ્તો દર્શાવીશું: a, b, c, d, ... આવા દરેક અક્ષર ચોક્કસ સરળ પ્રસ્તાવ રજૂ કરે છે. તમે આ ક્યાં જોઈ શકો છો? સંકુલમાંથી વિરામ લેતા આંતરિક માળખુંએક સરળ ચુકાદો, તેના જથ્થા અને ગુણવત્તાથી, તે ભૂલીને કે તેની પાસે એક વિષય અને અનુમાન છે, અમે ચુકાદાની માત્ર એક જ મિલકત જાળવી રાખીએ છીએ - તે સાચું કે ખોટું હોઈ શકે છે. બીજું બધું અમને અહીં રસ નથી. અને જ્યારે આપણે કહીએ છીએ કે અક્ષર "a" એક પ્રસ્તાવનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને ખ્યાલ નહીં, સંખ્યા નહીં, ફંક્શન નહીં, તો અમારો અર્થ ફક્ત એક જ વસ્તુ છે: તે "a" સત્ય અથવા અસત્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. જો "a" દ્વારા અમારો અર્થ "કાંગારૂઓ ઑસ્ટ્રેલિયામાં રહે છે" એવો પ્રસ્તાવ છે, તો અમારો અર્થ સત્ય છે; જો "a" દ્વારા અમારો અર્થ "કાંગારૂઓ સાઇબિરીયામાં રહે છે" એવો પ્રસ્તાવ છે, તો અમારો અર્થ જૂઠો છે. આમ, આપણા અક્ષરો "a", "b", "c", વગેરે. - આ એવા ચલો છે જે સાચા કે ખોટા દ્વારા બદલી શકાય છે.

તાર્કિક જોડાણો એ આપણી મૂળ કુદરતી ભાષામાં સંયોજનોના ઔપચારિક અનુરૂપ છે. કેવી રીતે જટિલ વાક્યો"જો કે", "ત્યારથી", "અથવા", વગેરે સંયોજનોની મદદથી સરળ લોકોમાંથી બનાવવામાં આવે છે, અને તાર્કિક જોડાણોની મદદથી જટિલ ચુકાદાઓ સરળ લોકોમાંથી બનાવવામાં આવે છે. અહીં આપણે વિચાર અને ભાષા વચ્ચેનું ઘણું મોટું જોડાણ અનુભવીએ છીએ, તેથી નીચેનામાં, "ચુકાદો" શબ્દને બદલે, જે શુદ્ધ વિચાર દર્શાવે છે, આપણે વારંવાર "નિવેદન" શબ્દનો ઉપયોગ કરીશું, જે તેના વિચારોને સૂચવે છે. ભાષાકીય અભિવ્યક્તિ. તેથી, ચાલો સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા લોજિકલ કનેક્ટિવ્સથી પરિચિત થઈએ.

નકાર. કુદરતી ભાષામાં તે "તે સાચું નથી કે..." અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ છે. નકારાત્મકતા સામાન્ય રીતે અમુક દરખાસ્તનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા પત્રની પહેલાં મૂકવામાં આવેલા "¬" ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: "¬a" વાંચે છે "તે સાચું નથી કે a." ઉદાહરણ: "તે સાચું નથી કે પૃથ્વી એક ગોળા છે."

તમારે એક સૂક્ષ્મ સંજોગો પર ધ્યાન આપવું જોઈએ. ઉપર આપણે સરળ નકારાત્મક નિર્ણયો વિશે વાત કરી. તેમને નકાર સાથે જટિલ ચુકાદાઓથી કેવી રીતે અલગ પાડવું? તર્કશાસ્ત્ર બે પ્રકારના નકારને અલગ પાડે છે - આંતરિક અને બાહ્ય. જ્યારે નકારાત્મકતા સંયોજક "છે" પહેલા એક સરળ પ્રસ્તાવની અંદર હોય, તો આ કિસ્સામાં આપણે એક સરળ નકારાત્મક પ્રસ્તાવ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, ઉદાહરણ તરીકે: "પૃથ્વી કોઈ ગોળા નથી." જો ઇનકાર બાહ્ય રીતેચુકાદા સાથે જોડાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે: "તે સાચું નથી કે પૃથ્વી એક બોલ છે," પછી આવા નકારને તાર્કિક જોડાણ તરીકે ગણવામાં આવે છે જે એક સરળ ચુકાદાને જટિલમાં પરિવર્તિત કરે છે.

જોડાણ. કુદરતી ભાષામાં, આ સંયોજક "અને", "એ", "પરંતુ", "જો કે", વગેરે જોડાણોને અનુરૂપ છે. મોટેભાગે, જોડાણ "&" પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. હવે આ ચિહ્ન ઘણીવાર વિવિધ કંપનીઓ અને સાહસોના નામોમાં જોવા મળે છે. આવા જોડાણ સાથેના પ્રસ્તાવને સંયોજક અથવા ફક્ત જોડાણ કહેવામાં આવે છે અને તે આના જેવો દેખાય છે:

a&b. ઉદાહરણ: "દાદાની ટોપલીમાં બોલેટસ અને બોલેટસ છે." આ જટિલ ચુકાદો એ બે સરળ દરખાસ્તોનું જોડાણ છે: "મારા દાદાની ટોપલીમાં બોલેટસ મશરૂમ્સ હતા" અને "મારા દાદાની ટોપલીમાં બોલેટસ હતા."

વિસંવાદ. કુદરતી ભાષામાં, આ જોડાણ "અથવા" જોડાણને અનુરૂપ છે. તે સામાન્ય રીતે "v" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આવા જોડાણ સાથેના ચુકાદાને ડિસજંકટીવ અથવા ફક્ત ડિસજંકશન કહેવામાં આવે છે અને તે આના જેવો દેખાય છે: a v b.

પ્રાકૃતિક ભાષામાં "અથવા" જોડાણ બેમાં વપરાય છે વિવિધ અર્થો: છૂટક "અથવા" - જ્યારે વિભાજનના સભ્યો એકબીજાને બાકાત રાખતા નથી, એટલે કે. એકસાથે સાચું હોઈ શકે છે, અને કડક “અથવા” (ઘણી વખત જોડાણની જોડી દ્વારા બદલવામાં આવે છે “ક્યાં તો... અથવા...”) - જ્યારે વિસંવાદના સભ્યો એકબીજાને બાકાત રાખે છે. આને અનુરૂપ, બે પ્રકારના વિસંવાદને અલગ પાડવામાં આવે છે - કડક અને બિન-કડક.

સૂચિતાર્થ. કુદરતી ભાષામાં તે "જો... પછી" જોડાણને અનુરૂપ છે. તે "->" ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આવા સંયોજક સાથેની દરખાસ્તને ઇમ્પ્લિકેટિવ અથવા ફક્ત સૂચિતાર્થ કહેવામાં આવે છે, અને તે આના જેવો દેખાય છે: a -> b. ઉદાહરણ: "જો કંડક્ટર પસાર થાય છે વિદ્યુત પ્રવાહ, પછી કંડક્ટર ગરમ થાય છે.” સૂચિતાર્થના પ્રથમ સભ્યને પૂર્વવર્તી અથવા આધાર કહેવામાં આવે છે; બીજું પરિણામ અથવા પરિણામ છે. રોજિંદા ભાષામાં, જોડાણ "જો... તો" સામાન્ય રીતે એવા વાક્યોને જોડે છે જે ઘટનાના કારણ અને અસર સંબંધને વ્યક્ત કરે છે, પ્રથમ વાક્ય કારણને ઠીક કરે છે અને બીજું અસર. આથી સૂચિત સભ્યોના નામ.

ઉપરોક્ત સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને સાંકેતિક સ્વરૂપમાં પ્રાકૃતિક ભાષાના વિધાનોનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાનો અર્થ છે તેમની ઔપચારિકતા, જે ઘણા કિસ્સાઓમાં ઉપયોગી સાબિત થાય છે.

4) ગરમ સમુદ્રમાં એક સુંદર ટાપુ આવેલો છે. અને બધું સારું થશે, પરંતુ અજાણ્યાઓને આ ટાપુ પર સ્થાયી થવાની આદત પડી ગઈ. તેઓ દુનિયાભરમાંથી આવતા-જતા રહે છે અને આદિવાસી લોકો નીચોવવા લાગ્યા છે. વિદેશીઓના આક્રમણને રોકવા માટે, ટાપુના શાસકે એક હુકમનામું બહાર પાડ્યું: “દરેક મુલાકાતી જે આપણા આશીર્વાદિત ટાપુ પર સ્થાયી થવા માંગે છે તે થોડો નિર્ણય લેવા માટે બંધાયેલો છે. જો ચુકાદો સાચો નીકળે, તો અજાણ્યાને ગોળી મારી દેવી જોઈએ; જો ચુકાદો ખોટો નીકળે તો તેને ફાંસી આપવી જોઈએ. જો તમને ડર લાગે છે, તો પછી ચૂપ રહો અને પાછા વળો!

પ્રશ્ન એ છે કે: જીવંત રહેવા અને હજુ પણ ટાપુ પર સ્થાયી થવા માટે શું નિર્ણય લેવો જોઈએ?